1. 3.2 奇偶性 习题课
1.3.2 奇偶性
知识梳理1奇函数和偶函数的定义牛刀小试1：典例1 判断函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg x 2＋lg 1x2； (2)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0－x 2＋x ，x >0； (4)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2. （注意(1) (4)参考）小结：判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．考查f (－x )与f (x )的关系．例2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12知识梳理2：奇函数、偶函数图像性质奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称牛刀小试2：典例3奇偶函数的几何结论的应用函数f(x)＝1x－x的图象关于________对称．知识梳理3：与函数单调性的联系结论牛刀小试3典例4 奇偶性与单调性结论应用已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．注意(1)奇函数f(x)在x＝0处有意义，一定有f(0)＝0.(2)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．演练1 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)补充题型1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.2.（对称区间如何求解f(x)解析式）.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x －3，则x <0 ,f(x)=参考答案知识梳理1奇函数和偶函数的定义牛刀小试1：典例1 判断函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg x 2＋lg 1x2； (2)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0－x 2＋x ，x >0； (4)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2. （注意(1) (4)参考）【解】 (1)函数的定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (x )＝lg(x 2·1x2)＝0(x ≠0)． ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x≥0得定义域为[－1,1)，关于原点不对称， 故f (x )为非奇非偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．综上，对x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(4)易知f (x )的定义域是(－1,0)∪(0,1)，∴f (x )＝－lg (1－x 2)x，f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．小结：判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数．考查f (－x )与f (x )的关系．例2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案B知识梳理2：奇函数、偶函数图像性质奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y 轴对称牛刀小试2：典例3奇偶函数的几何结论的应用函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．（原点）知识梳理3：与函数单调性的联系结论牛刀小试3典例4 奇偶性与单调性结论应用已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．【解】 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1②综合①②可知，－1≤m <1.注意(1)奇函数f (x )在x ＝0处有意义，一定有f (0)＝0.(2)f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．演练1 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B.由已知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (2)＝0，f (x )＝f (|x |)，∴f (x )<0⇔f (|x |)<f (2)．∴|x |<2.得－2<x <2.（数形结合如何求解）补充题型1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________. 答案：－12.（对称区间如何求解f (x )解析式）.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则 x <0 ,f(x)=。
1.3.2函数的单调性.奇偶性的综合问题
函数的单调性．奇偶性的综合问题【学习目标】1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．【课前导学】1．函数单调性．奇偶性的定义；2．练习：（1）若()x f 为()+∞∞-,上的减函数，R a ∈则()12+a f 与()a f 的大小关系是 ．（2）判断函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0320203222x x x x x x x x f 的奇偶性为____________提示：可用图像法．【课堂活动】一．建构数学：1．函数奇偶性的判定方法有几种？答案：三种；定义法、图像法、等价形式法．2．与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考？（数与形）二．应用数学：例1 已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．变式练习： 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是（ ）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 例2 已知函数53()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f 的值．例3已知函数y=f(x)在R 上是奇函数，而且在()∞+，0是增函数． 求证：y=f(x)在()0，∞-上也是增函数． 证明：任取x 1<x 2 <0，则-x 1>-x 2>0.【变式】已知函数y=f(x)在R 上是偶函数，而且在()∞+，0是增函数．试探求并证明y=f(x)在()0，∞-上的单调性．【推广】（1）奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；（2）偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的．练习1、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->2。
高中数学 1.3.2单调性与奇偶性综合练习课件 新人教A版必修1
求
f(x)、 g(x)
的解析式。
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4、 判 断 函 数
f
(x)
( x (x
5)2 4, - 5) 2 4 ,
x (6, 1] x [1, 6 )
的奇偶性。
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5、 若 f (x)是 定 义 在 (-∞ ， +∞ ) 上 的 奇 函 数 ，且 x > 0 时 ，f (x ) = 2 x ( 1 - x ) ， 求 f(x)的 解 析 式 。
昨日难题 有谁找到了一个既奇又偶函数？
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练习中存在的问题 利用函数单调性求函数的值域或最 值时，应对函数单调性进行书面说明。
1、已知函 f(x) 数 x12，x[1, )，
2x 求函f(数 x)的最.小值
2、求函 f(x)数 x24x，x[0，5]的值 . 域
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经典例题
1 、 已 知 f (x )在 [a -1 ， 2 a ]上 为 奇 函 数 ， 求 a的 值 。
课前回顾
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
３、函数奇偶性的判定：
先看定义 f (x)=x5+ax3+bx ， 且 f (-2)=10，求 f (2)。
练习：若 f (x)=x5+ax3+bx-8， 且 f (-2)=10，求 f (2)。
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3、 设 f (x)为 偶 函 数 ， g (x)是 奇 函
高中数学初升高资料1.3.2 奇偶性(2)函数性质习题课
1.3.2奇偶性第2课时函数性质习题课1、网络构建2、规律小结：(1)判断函数单调性的步骤：①任取x1，x2∈R，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③变形(通分、配方、因式分解)；④判断差的符号，下结论．(2)求函数单调性要先确定函数的定义域．(3)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则．(5)奇函数的性质：①图象关于原点对称；②在关于原点对称的区间上单调性相同；③若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0.(6)偶函数的性质：①图象关于y轴对称；②在关于原点对称的区间上单调性相反；③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(7)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M；若偶函数f(x)在[a，b]上有最大值m，则在区间[－b，－a]上也有最大值m.专题1：函数单调性的应用精讲例题1：若函数f(x)x2＋2ax－2a，x≥1，＋1，x＜1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(－2,0)B．[－2,0)C．(－∞，1]D．(－∞，0)变式训练1：已知函数f(x)2＋1，x≥0，，x＜0，则满足不等式f(1－x)＞f(2x)的x的取值范围是________．专题2：奇偶性的应用精讲例题2：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋1，若f(a)＝3，则实数a的值为________.变式训练2：若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.专题3：奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性精讲例题3：已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？变式训练3：(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小．(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．专题4：函数性质的综合应用精讲例题4：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)变式训练4：已知奇函数f (x )定义在(－1,1)上，且对任意x 1，x 2∈(－1,1)(x 1≠x 2)都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0成立，若f (2x －1)＋f (x －1)＞0成立，则x 的取值范围是()A ．(23，1)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(0，23)精讲例题5：函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)证明f(x)是奇函数；(2)证明f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．变式训练5：函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．1、如果偶函数在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上()A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值2、函数f(x)在区间(－4,7)上是增函数，则使得y＝f(x－3)为增函数的区间为() A．(－2,3)B．(－1,7)C．(－1,10)D．(－10，－4)3、若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列命题：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0)上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确结论的序号是：________.5、已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．。
1.3.2奇偶性习题课
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[随堂即时演练]
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
答案：B
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2． 定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0， ＋∞)上是增函数， 则( A．f(3)>f(－4)<f(－π) C．f(3)<f(－π)<f(－4) B．f(－π)<f(－4)<f(3) D．f(－4)<f(－π)<f(3)
解：由 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知 f(x) 在(0，＋∞)上递减． 1 7 ∵2a2＋a＋1＝2(a＋ )2＋ >0， 4 8 12 5 2a －2a＋3＝2(a－ ) ＋ >0， 2 2
2
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且 f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)， ∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3， 2 即 3a－2>0，解得 a> ， 3 2 ∴a 的取值范围为{a|a> }． 3
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(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x>0 时，－x<0，则 －x2－－x＋4 x2＋x＋4 f(－x)＝－ ＝ ＝f(x)； x －x 当 x<0 时，－x>0，则 －x2＋－x＋4 x2－x＋4 f(－x)＝ ＝－ ＝f(x)． x －x
2 x ＋x＋4，x>0， x 综上可知，函数 f(x)＝ 2 x －x＋4 － ，x<0 x
解：设 x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1. ∴f(－x)＝x2－x－1. ∵函数 f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)＝x2－x－1. ∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
必修一1.3.2奇偶性习题
§1.3.2函数的奇偶性学习目标: 了解奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.学习重点：奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.学习难点:函数奇偶性概念的认识.课堂导学（一）自主学习：1、奇函数与偶函数的图像特征.下列四个图像分别是函数的图像.从对称的角度观察其图像特点.2,||y x y x==的图像关于_______对称，我们称这样的函数为偶函数.1,y x yx==的图像关于_______对称，我们称这样的函数为奇函数.练习：从下图中的函数图象判断各自的奇偶性情况：（二）合作探讨1、观察以上几个函数思考：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值y之间的关系.偶函数：当自变量取一对相反数a与—a时，相应的函数值()()f a f a-与___________.奇函数：当自变量取一对相反数a与—a时，相应的函数值()()f a f a-与___________.2、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()f x的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数()f x就叫做偶函数.偶函数的图象关于________________对称奇函数：如果对于函数()f x的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数()f x就叫做奇函数.奇函数的图象关于________________对称如果函数()f x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x具有奇偶性.否则该函数就不具备.根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.由于奇偶性反映了函数图像的对称性，因而具有奇偶性的函数的定义域必须是___________.思考：（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？（2）f（x）=x，x∈[—1，1）是奇函数吗？三、例题分析用奇偶性的定义判断下列函数的奇偶性（1）()4xxf=（2）()3f x x=（3）（4）(5)()f x=判断函数奇偶性的步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否_______；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论，可以简记为________________.（三）巩固练习：1、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.2、判断下列函数的奇偶性（1）()2432xxxf+=（2）()xxxf23-=（3）()0f x=（4）()21xf xx=+（5）（6）()[]2,1,2-∈=xxxf（四）学习收获：知识：方法：_____________________________21,||,,y x y x y x yx====()21f xx=()1f x xx=+()1f x xx=-。
高中数学 1.3.2 奇偶性习题 新人教A版必修1
1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].。
1.3.2奇偶性练习六
1.3.2奇偶性练习六班级 姓名1、下列函数中使偶函数的是（ ）A. )0(2>=x x yB. |1|+=x yC. 222+=x y D. 13-=x y 2、函数1)1(2++=x x x y （ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数3、定义在R 上的偶函数)(x f 的部分图像如图所示，则在区间)0,2(-内，下列函数中与)(x f 的单调性不同的是（ ）A. 12+=x yB. ||x y =C. 12+=x yD. xy 1= 4、函数x xx f -=1)(的图像关于（ ）对称. A. y 轴 B. 直线x y -= C. 坐标原点 D. 直线x y = 5、已知)(1)(3R x bx ax x f ∈++=，若2)(=t f ，则)(t f -的值为（ ）A. 3B. 0C. 1-D. 2-6、已知函数)(x f 是定义在),3[]3,(+∞--∞ 上的奇函数，当3≥x 时，15)(+=x x f ，则=-)9(f7、若奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-,，其y 轴右侧的图像如图所示，则0)(<x f 的x 的取值集合为8、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则=)6(f9、偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则=-)1(f10、函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0>x 时，函数的解析式为12)(-=x x f . （1）求)1(-f 的值；（2）求当0<x 时函数的解析式；（3）用定义证明)(x f 在),0(+∞上是减函数.。
1.3.2奇偶性
1.3.2奇偶性例题1.判断下列函数的奇偶性 （1）⎩⎨⎧<+-≥-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f （2）2|2|1)(2-+-=x x x f 例题2.已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域是[-3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图像如图所示，求不等式0)()(<x g x f 的解集。
例题3.（1）函数f(x)，x ∈R ，若对于任意实数a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b)。
求证：f(x)为奇函数（2）函数f(x)，x ∈R ，若对于任意实数x 1,x 2，都有f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)f(x 2)，求证：f(x)是偶函数（3）设函数f(x)定义在（-a,a ）上，证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数。
例题4.判断下列函数的奇偶性。
（1）x x x x f -+∙-=11)1()( （2）2|2|1)(2---=x x x f （3）⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x xx x x x x f 例题5.（1）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-2x-3，求f(x)的解析式。
（2）设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，求a 。
（3）设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2) 例题6.已知函数f(x)是偶函数，其定义域为（-1，1），且在[0,1]上为增函数，若f(a-2)-f(4-a 2)<0，试求a 的取值范围。
例题7.已知定义域为R 的奇函数f(x)，求证：若在区间[a,b](b>a>0)上f(x)有最大值M ，那么f(x)在区间[-b,-a]上必有最小值-M 。
例题8.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b ∈[-1,1]，a+b ≠0时，有0)()(>++b a b f a f 成立。
高中数学1.3.2_奇偶性-奇偶性的应用(一)优秀课件
[解] 设 x<0，则－x>0，
[规律方法] 利用函数奇偶性求解析式的方法
则 f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在
∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，哪个区间上设.
∴f(x)＝－f(－x)＝－(x＋1)， ∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1. 又 x＝0 时，f(0)＝0，
∴-f(2)- f(1)= f(1)+ f(2)+6，即：2f(1)+2f(2)=-6
∴f(1)+f(2)=-3
[合 作 探 究·攻 重 难]
用奇偶性求函数值 例 1 函数 f(x)是定义在（-5，5）的偶函数，当 x∈（0，5）时，f(x)=3x-2x,
则 f(-2)=_____5______;
g(3)=10,
分析：
奇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
g(3)=10 → f(3)=4 → f(-3)=-4 → g(-3)=2
[合 作 探 究·攻 重 难]
用奇偶性求解析式
例 3： 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1， 求 f(x)的解析式； 例 4：（2018 年杭州期末）已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且
f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求 f(x)，g(x)的表达式．
例3：函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)
＝－x＋1，求f(x)的解析式；
思路探究： 设x<0，则－x>0 fx― 当 ＝― x－>→x0＋1 求f－x 奇 ―― 函→ 数
得x<0时fx的解析式 奇 的 ―― 函 性→ 数 质 f0＝0 分―段―函→数 fx的解析式
高中数学 第一章1.3.2 奇偶性讲解与例题 新人教A版必
1.3.2 奇偶性1．函数奇偶性的概念谈重点对函数奇偶性的理解(1)定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x是函数定义域中的一个数值，则－x也必然在该定义域中．因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，即这个函数是非奇非偶函数．(2)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．(3)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0．(4)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．若f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数，此时f(x)＝－f(x)，即f(x)＝0．因此既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．【例1－1】函数f(x)＝1x，x∈(0,1)的奇偶性是( )A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数解析：因为函数f(x)＝1x，x (0,1)的定义域是(0,1)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．答案：C【例1－2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)等于( ) A．3 B．2C．－2 D．－3解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3．答案：D【例1－3】下列说法正确的是( )A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数解析：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如y＝x＋1．由此可判断A、C项错误，B项正确．奇函数若在原点处有定义，则f(0)＝0，反之不一定成立，如y＝x2，因此D项错误．故选B．答案：B2．奇偶函数图象的特点(1)偶函数图象的特点如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称；反之，若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．(2)奇函数图象的特点如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称；反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．析规律奇偶函数图象的作用由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．【例2－1】判断下列函数的奇偶性．解：对于(1)，函数图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴对称，故此函数不具有奇偶性．对于(2)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．对于(3)，函数图象关于原点成中心对称，此函数为奇函数．对于(4)，函数图象关于y轴对称，此函数为偶函数．【例2－2】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．分析：(方法一)(方法二)解：(方法一)∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)＜f(3)．(方法二)由图象可知f(－1)＜f(－3)．∵函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．【例2－3】设奇函数f(x)的定义域是[－2,2]且图象的一部分如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是__________．解析：由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示．从图上可以看出f(x)＜0的解集是(－1,0)U(1,2)．答案：(－1,0)U(1,2)3．函数奇偶性的判断方法(1)定义法利用定义判断函数f(x)的奇偶性主要分三步进行：①求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；②结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；③求f(－x)，可根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)图象法其步骤是：①画出函数f(x)的图象；②判断函数图象关于原点或y轴是否对称；③如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．【例3(1)f(x)＝2221x xx++；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)U(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．(2)函数的定义域为R．∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数．(3)函数的定义域为R．(方法一)∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(方法二)画出y＝x2＋1的图象如图，由图可知其图象关于y轴对称．故函数f (x )＝x 2＋1是偶函数．(4)∵函数的定义域为{－1,1}且f (x )＝0，f (－1)＝0，f (1)＝0，∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)．∴函数f (x )＝谈重点 判断函数奇偶性时易忽略定义域优先的原则 本题(1)易错解为：f (x )＝2x 2＋2x x ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2x x ＋1是奇函数，其原因是没有讨论函数的定义域．避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则．【例3－2】函数f (x )，g (x )在区间[－a ，a ]上都是奇函数，有下列结论：①f (x )＋g (x )在区间[－a ，a ]上是奇函数；②f (x )－g (x )在区间[－a ，a ]上是奇函数；③f (x )·g (x )在区间[－a ，a ]上是偶函数．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案：C【例3－3】求证：y ＝x 2＋41x的图象关于y 轴对称． 分析：转化为证明函数f (x )是偶函数．证明：函数f (x )的定义域是(－∞，0)U (0，＋∞)，定义域关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋41()x -＝x 2＋41x＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．【例3－4】判断f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ∈R )的奇偶性．分析：对a 进行分类讨论．解：若a ＝0，则f (x )＝|x |－|x |＝0．∵x ∈R ，定义域R 关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．当a ≠0时，∵f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－(|x ＋a |－|x －a |)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．综上，当a ＝0时，函数f (x )既是奇函数，又是偶函数；当a ≠0时，函数f (x )是奇函数．4．分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系．首先要特别注意的是x 与－x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x )与f (－x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)，x ≥0，－x (x ＋1)，x <0的奇偶性．解：函数的定义域是(－∞，0]U (0，＋∞)＝R ．∵当x ＞0时，有f (x )＝x (x －1)，－x ＜0，∴f (－x )＝－(－x )·(－x ＋1)＝x (1－x )＝－x (x －1)＝－f (x )．当x ＜0时，有f (x )＝－x (x ＋1)，－x ＞0，∴f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，f (－0)＝0＝－f (0)．∴对x ∈R ，均有f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例4－1】判断函数f (x )＝2211,(0),211,(0)2x x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩的奇偶性．解法一：函数的定义域为(－∞，0)U (0，＋∞)，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝12-(－x )2－1＝2112x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝212x ＋1＝2112x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝－f (x )． 综上所述，在(－∞，0)U (0，＋∞)上总有f (－x )＝－f (x )． 因此函数f (x )是奇函数．解法二：作出函数的图象，如图所示．函数的图象关于原点对称，所以是奇函数．点技巧 分段函数奇偶性的判断技巧 (1)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性，是一种非常不错的方法．【例4－2】已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数，则m ＝__________．解析：∵当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ．∴f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ．∴m ＝2．答案：25．抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f (x )，f (－x )的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．例如，函数f (x )，x ∈R ，若对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数．分析：为了使等式中出现f (x )和f (－x )，可以令a ＝x ，b ＝－x ，则等式变为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即有f (x )＋f (－x )＝f (0)．要弄清f (x )与f (－x )的关系，必须求出f (0)．令a ＝b ＝0，则有f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0．于是f (x )＋f (－x )＝0．这样可以得出f (x )是奇函数．【例5－1】函数f (x )，x ∈R ，且f (x )不恒为0．若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证：f (x )为偶函数．证明：令x 1＝0，x 2＝x ，则得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )．①又令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (x )f (0)．②由①②得f (－x )＝f (x )．故f (x )是偶函数．【例5－2】求证：定义域为R 的任何函数f (x )都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．分析：本题主要考查抽象函数的奇偶性，解决本题的关键是如何根据已知的f (x )构造出一个偶函数和一个奇函数，使其和等于f (x )． 证明：设F (x )＝()()2f x f x +-，G (x )＝()()2f x f x --， 则F (－x )＝()()2f x f x -+＝F (x )， G (－x )＝()()2f x f x --＝－G (x )， 因此F (x )和G (x )分别是偶函数和奇函数．又∵f (x )＝F (x )＋G (x )，∴f (x )可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．6．利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．当函数f (x )具有奇偶性时，已知函数f (x )在y 轴一侧的解析式，就可得到在y 轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x ) 的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )；(4)若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0．若做选择题或填空题还可以采用如下办法：(1)直接代换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的x 和y 分别换成“－x ”和“－y ”；若图象关于y 轴对称，只需把原函数中的x 变为“－x ”即可．(2)特殊点对称法：在函数y ＝f (x )的图象上找若干个(个数视y ＝f (x )的形式而定)特殊点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，…，若y ＝f (x )为奇函数，则(－a ，－f (a ))，(－b ，－f (b ))，…一定在另一半图象上；若y ＝f (x )是偶函数，则(－a ，f (a ))，(－b ，f (b ))，…也一定在另一半图象上．设出其解析式，利用待定系数法求解．【例6－1】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝__________．解析：(方法一)由于是填空题，故可采用直接代换法，将x 用－x 代替，即可得答案为－x －x 4．(方法二)设x ∈(0，＋∞)，则－x ∈(－∞，0)，则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4．又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )，x ∈(0，＋∞)，从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝－x －x 4．答案：－x －x 4【例6－2】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式． 分析：解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)． 故f (x )＝(2),(0),0,(0),(2),(0).x x x x x x x +>⎧⎪=⎨⎪-<⎩【例6－3】已知f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝3x 2－x ＋1，试求f (x )和g (x )的表达式．解：以－x 代替条件等式中的x ，则有f (－x )＋g (－x )＝3x 2＋x ＋1，又f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，故－f (x )＋g (x )＝3x 2＋x ＋1．又f (x )＋g (x )＝3x 2－x ＋1，联立可得f (x )＝－x ，g (x )＝3x 2＋1．7．利用函数的奇偶性求参数的值函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质．奇偶函数的定义域关于原点对称，解析式上则有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，利用上述两式的恒成立，可以求得解析式中所含参数的值．例如：已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，求实数a 的值．解：由奇函数的定义得f (－x )＝－f (x )，即a (－x )2＋2(－x )＝－(ax 2＋2x )，整理得ax 2－2x ＝－ax 2－2x ，即2ax 2＝0．故a ＝0．【例7－1】若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＝__________，b ＝__________．解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝－2a ，解得13a =． ∴f (x )＝213x ＋bx ＋b ＋1为二次函数． ∵函数f (x )为偶函数，∴对称轴x ＝123b -⨯＝0，即b ＝0． 答案：130 【例7－2】若函数f (x )＝22,0,,0x x x ax x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩是奇函数，求实数a 的值． 解：∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x，∴－f(x)＝ax2－x，即f(x)＝－ax2＋x．又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，∴－ax2＋x＝－x2＋x．∴a＝1．8．函数的奇偶性与单调性的综合应用(1)函数y＝f(x)的奇偶性与其单调性的关系：①如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)和(－b，－a)上具有“相同”的单调性．证明：当f(x)在区间(a，b)上是增函数时，设－b＜x1＜x2＜－a，则a＜－x2＜－x1＜b．由于f(x)在区间(a，b)上是增函数，则有f(－x1)＞f(－x2)．又函数y＝f(x)是奇函数，所以－f(x1)＞－f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间(－b，－a)上也是增函数．同理可证，当f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)上是减函数时，f(x)在区间(－b，－a)上也是减函数．综上所得，如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性．②如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)(0＜a＜b)和(－b，－a)上具有“相反”的单调性．证明略，与(1)的证明类似．(2)利用函数的奇偶性和单调性我们可以解决以下两种问题：①比较大小奇函数、偶函数单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断．②解抽象不等式解抽象不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．(3)两个重要结论①若f(x)为奇函数且在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0．证明：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．令x＝0，则f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)．∴f (0)＝0．②若f (x )为偶函数，则必有f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．证明：∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．1°当x ≥0时，f (|x |)＝f (x )，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)成立；2°当x ＜0时，f (|x |)＝f (－x )，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)成立．综上，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)成立．【例8－1】设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)由大到小的关系是__________．解析：利用函数f (x )为R 上的偶函数，将f (－2)，f (－3)转化到区间[0，＋∞)上，利用f (x )在此区间上是增函数比较大小．因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．又因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，且π＞3＞2，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，故f (π)＞f (－3)＞f (－2)．答案：f (π)＞f (－3)＞f (－2)【例8－2】已知函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式12f x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＜0的解集． 解：∵f (1)＝0，∴不等式可转化为12f x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＜f (1)． 又函数f (x )在(0，＋∞)上递增，∴0＜12x x ⎛⎫-⎪⎝⎭＜1， 解得12＜x ＜1174+或1174-＜x ＜0． 又f (x )是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且f (－1)＝－f (1)＝0，于是又得12x x ⎛⎫-⎪⎝⎭＜f (－1)， 即12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜－1，解得x ∈∅． ∴原不等式的解集是1117117,0244x x x ⎧⎫+-⎪⎪<<<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭或． 【例8－3】设定义在区间[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )单调递减，若g (1－m )＜g (m )成立，求m 的取值范围．解：∵g (x )是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且在区间[0,2]上单调递减，∴g (x )在区间[－2,0]上单调递增．又∵g (1－m )＜g (m )，∴22,1212,1.2|1|||,m m m m m -≤≤⎧⎪⎪-≤-≤-≤<⎨⎪->⎪⎩解得解得－1≤m ＜12． 【例8－4】函数f (x )＝21ax b x ++是定义在区间(－1,1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在区间(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f (t －1)＋f (t )＜0．分析：本题考查通过函数的单调性与奇偶性来确定f (x )的解析式，求a ，b 的值是解决本题的关键．解：(1)由题意知(0)0,12,25f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩即20,1022,1514ba b ⎧=⎪+⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩解得1,0.a b =⎧⎨=⎩故f (x )＝21xx +．(2)任取－1＜x 1＜x 2＜1，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝21222111xx x x -++ ＝21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++．∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴－1＜x 1x 2＜1,1－x 1x 2＞0．于是f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x )为区间(－1,1)上的增函数．(3)f (t －1)＜－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在区间(－1,1)上是增函数，∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12．。
高中数学1.3.2函数的奇偶性同步讲练新人教版必修1
课题：132函数的奇偶性学习目标展示1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；2. 会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；3. 以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性；衔接性知识1. 画出下列函数的图象k(1) f(x) kx (k 0) (2) f (x) (x 0) ( 3) f(x) |x|x2 2(4) f (x) x (5) f (x) x 2x2. 上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？1调性的关系与x 0时单调性相反判断函数奇 偶性的步骤 典例精讲剖析 求定义域 化简解析式 计算f ( x) 结论例1.判断下列函数的奇偶性 3 1⑴f(x) x 3-； (2) f (x) x 2x 1 ； (3) f (x)|x 1| | x 1| ； (4) f (x) 2x 1 ；f(x) x 2 1x 2 (7) f (x) (x 1)2 2x,1 x 2(8)f(x)|x 2| 2 解：(1)由已知，得 x f (x)的定义域为 ,0) U(0 ,) Q f( x) ( x)3— x1-f(x)， xf (x)x 3丄是奇函数x(2) f(x)的定义域为 Q f( x) ( x)2 1x 2 1 f (x)， f(x)x 2 1是偶函数(3) f(x)的定义域为 Q f( x) | x 1| | x 1| |x 1| |x 1| f (x)， f(x) |x 1| |x 1| 是偶函数 (4) f(x)的定义域为 Q f(1) 2 113， f( 1) 2 ( 1) 1 1， f( 1) f (1)，且 f( 1) f(1)f(x) 2x 1为非奇非偶函数 (5) 1 0，得x 1，所以 x 0 f (x)的定义域为｛x|x 1｝，定义域不关于原点对称, f(x) .1 x 为非奇非偶函数 (6)x 21 0x 20 1，f (x)的定义域为｛x|x 1｝，定义域关于原点对称f(x)f( x)f( x) f (x)，且 f( x) f (x)所以 f (x)'• x 2 1 1 x 2既然是奇函数也是偶函数(7) f(x)的定义域为 R , f(x) (x 1)2 2x x 21Q f( x) ( x)2 1 x 2 1 f (x) , f (x) (x 1)2 2x 是偶函数21 — x 》0(8)由得一1< X W1 且 X M 0,|x + 2| — 2M0定义域关于原点对称，又— K x W1且x M0时，f (x ) = xJ ——<2例2.已知函数 y f (x)的图象关于原点对称，且当x 0时，f(x) x 2 2x 3.试求f (x)在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 解： •••函数f (x)的图象关于原点对称.f (x)为奇函数，则 f(0) 0 ,2设 x 0,则 x 0 ,••• x 0时，f(x) x 2x 3,2• f(x) f( x) ［( x) 2( x) 3］x 22x 3 (x 0) 于是有：f(x)0 (x 0) x 2 2x 3(x 0)先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性 画出y 轴左边的图象.如下图.由图象可知f(x)的单调递增区间是(，1］、［1,8 )，单调递减区间是 ［1,0) ' (0,1］.f (x )在［—6, — 1］上是增函数还是减函数？求 f (x )在［—6, — 1］上的最大值和最小值解：设 6 为X 2 1，贝U 1 X 2 为 6 ,•/ f(x)在［1,6］上是增函数且最大值为10,最小值为 4 ,•4f(1) f ( X 2) f( xj f (6) 10,f (— x)1 —x 2 x=—f (x ),••• f(x)为奇函数.例3.如果奇函数f (x )在区间［1,6］上是增函数，且最大值为—xx10,最小值为 4，那么又••• f(x)为奇函数，••• 4 f(x2) f(xj 10,10 f(x i) f(X2) 4 ,即f (x)在［—6,—1］上是增函数，且最小值为—10，最大值为—4.例4. (1)如图①是奇函数y f(x)的部分图象，贝U f ( 4) f ( 2) =•必过点(—2, —1)和(—4,—2),f( 4) f( 2) = ( —2) X ( —1) = J(2) •/偶函数f(x)满足f( 3) f( 1) ,• f (3) f (1).精练部分A类试题(普通班用)1. 下列四个函数中，既是偶函数又在(0,+^)上为增函数的是()A. y = x3B. y= —x2+ 1 C . y= | x| + 1 D. y = 2—|x|［答案］C［解析］由偶函数，排除A;由在(0,+^)上为增函数，排除B, D,故选C2. 若函数f (x) = (x+ 1)( x + a)为偶函数，则a= ____________［答案］—1［解析］解法1: f(x) = x + (a+ 1)x + a为偶函数，• a+ 1 = 0, • a=— 1.解法2：•/ f (x) = (x+ 1)( x + a)为偶函数，•对任意x€ R,有f (—x) = f (x)恒成立，• f (—1) = f(1),即0= 2(1 + a), • a= —13•判断下列函数的奇偶性：B 类试题(3+3+4)(尖子班用) 1 .下列命题中错误的是()①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图 象与y 轴一定相交④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数 A.①② B.③④ C .①④D.②③［答案］D—x 2 + x (x >0) ⑴ f(x) = x 2+ x (X W0；⑵ f (x )1~~2x + x2—x ［解析］(1) f ( — x ) = 2 —x —(x >0)x (x <0),.•. f ( — x ) = — f (x )，二 f (x )为奇函数.1⑵ f ( — x ) = f (x ) , f ( — x ) — f (x ), •••f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.4. 函数f (x )ax + b1 L 是定义在(—1,1)上的奇函数，且 迟)1)-，求函数f (x )的解析式.55. ［解析］ 因为f (x )是奇函数且定义域为(一1,1)，所以f (O) = 0,即b = 0.f (^) 2，所以 25 1 歹 2 、 x厂=5，所以a = 1所以f (x )=亓亍 1+ 22已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )的图象是经过点(3 , — 6)，顶点为(1,2)的抛物线 的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象.2［解析］ 设 x 》0 时，f (x ) = a (x — 1) + 2,2 2•••过(3 , — 6)点，• a (3 — 1) + 2 = — 6,• a = — 2.即 f (x ) =— 2(x — 1) 当 x <0 时，一x >0,2 2f ( — x ) =— 2( — x — 1) + 2=— 2( x + 1) + 2,_ 2••• f (x )为奇函数，• f ( — x ) = — f (x ) ,••• f (x ) = 2(x + 1) — 2,2—2( x — 1) + 2 (x >0即 f (x ) =2,其图象如图所示.1x — 1 x［解析］f (x )=为奇函数，其图象不过原点，故②错；y =为偶函数,x— x - 1 x <- 1其图象与y 轴不相交，故③错.2.下列四个函数中， 既是偶函数又在 (0 ,+^)上为增函数的是() A. 3 y = x2 “B. y =- x + 1C . y = | x | + 1D. y = 2-|x|［答案］C［解析］ 由偶函数，排除 A ;由在(0 , + m )上为增函数，排除 B, D,故选C.3•已知偶函数f (x )在区间［0,+^)单调递增，则满足f (2x — 1)<fg 的x 取值范围是()［答案］A1 1 12 4 12［解析］ 由题意得 |2x - 1|< 3? -3<2x - 1<3? 3<2x <3? 3<x <3，二选 A . 4. 若函数f (x ) = (x + 1)( x + a )为偶函数，则 a = ____________ ［答案］—1［解析］ 解法 1: f (x ) = x 2 + (a +1)x + a 为偶函数，a + 1 = 0，二 a =- 1.解法 2： •/ f (x ) = (x + 1)( x + a )为偶函数，•对任意 x € R,有 f (-x ) = f (x )恒成立，• f (- 1) = f (1),即 0= 2(1 + a ), • a = — 15. 已知 f (x ) = x + ax + bx - 5，且 f ( — 3) = 5,贝U f (3) = _________ ［答案］—157575［解析］ 解法 1： f ( -3) = ( -3) + a ( -3) + ( -3)b -5 = - (3 + a-3 + 3b -5) - 10=- f (3) - 10= 5, •f (3) =- 15.75解法 2：设 g (x ) = x + ax + bx ,则 g (x )为奇函数，T f ( - 3) = g ( - 3) - 5 =- g (3) - 5 = 5, • g (3) =- 10,二 f (3) = g (3) - 5 =- 15.6. _________________________________________________________________________ 已知f (x )是偶函数，g ( x )是奇函数，且f (x ) + g ( x ) = x + x - 2,贝U f (x ) = ____________________g (x ) = ___________ •［解析］f ( - x ) + g ( - x ) = x 2-x - 2,由 f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x ) - g (x )2_ 22=x - x - 2 又 f (x ) + g ( x ) = x + x - 2，两式联立得：f (x ) = x - 2, g (x ) = x . 7. 判断下列函数的奇偶性:-x 2 + x (x >0)⑴ f(x) = x 2+ x (x wo21 2 1 2 1 2A 二 —B 二 - C— 3, 3 3, 3 2’ 3 D. 1 2, 1；⑵f(x)=耳(x >0) x (x <0) ,• f ( — x ) = — f (x ), • f (x )为奇函数.x —x ［解析］(1) f ( - x) = 2—x —［解析］因为f (x )是奇函数且定义域为(一1,1)，所以f (0) = 0,即b = 0.i a22 2 x-，所以= 5，所以 a = 1，所以 f (x ) = x 2125 1 十 x51十_29. 已知b > a > 0,偶函数y = f (x )在区间［—b , — a ］上是增函数，问函数y = f (x )在区间［a , b ］上是增函数还是减函数？［解析］设 a w X 1< X 2W b ,则一b < — X 2V — X 1W — a . v f (x )在［—b ,— a ］上是增函数. •- f ( — X 2) v f ( — X 1)又 f (X )是偶函数，• f ( — X 1)= f (X 1), f ( — X 2)= f (X 2) 于是 f (X 2)v f (xj ，故f (x )在［a , b ］上是减函数10. 已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )的图象是经过点(3 , — 6)，顶点为(1,2)的抛物 线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象.2［解析］ 设 x 》0 时，f (x ) = a (x — 1) + 2,2 2•••过(3 , — 6)点，• a (3 — 1) + 2 = — 6, • a = — 2.即 f (x ) =— 2(x — 1)十 2. 当 x <0 时，一x >0,f ( — x ) =— 2( — x — 1)2+ 2=— 2( x 十 1)2+ 2,2••• f (x )为奇函数，• f ( — x ) = — f (x ) , • f (x ) = 2(x — 1) — 2,其图象如图所示.⑵ f ( - X )=f (x ) , f ( — x )丰—f (x ),••• f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.&函数f (x )鵲是定义在(-1,1)上的奇函数，且f (-)-，求函数f (x )的解析式. 2 5(2)即 f (x )=—2(x — 1)2+ 2 (x >0 )22(x 十 1) — 2 ( x <0)。
必修1(第1.3.2奇偶性)
绝密★启用前1.3.2奇偶性一．选择题（本题共8个小题）1．【题文】若函数f(x)＝mx2＋(m－2)x＋(m2－m＋2)为偶函数，则m的值是()A．1 B．2 C．3 D．42．【题文】已知函数y＝f(x)是奇函数，其图象与x轴有5个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是() A．4 B．5 C．1 D．03．【题文】已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是() A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数4．【题文】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是() A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－|x|5．【题文】函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称6．【题文】设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) 7．【题文】函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－18．【题文】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式()()f x f xx--<的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)二、填空题（本题共3个小题）9．【题文】函数()3f x ax bx=+，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．10．【题文】已知定义在R上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.11．【题文】已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________.三、解答题（本题共3个小题）12.【题文】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是偶函数，并且f(1)＝2，f(2)＝14，求f(x)．13.【题文】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]； (2)f (x )；(3)f (x )＝(1x - (4)f (x )＝22,0,,0.x x x x x x ⎧-+>⎨+<⎩14.【题文】设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有()()0f a f b a b+>+.(1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系； (2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0.求实数m 的取值范围．1.3.2奇偶性参考答案与解析1. 【答案】B【解析】考查偶函数的定义．由f(－x)＝f(x)可得2(m－2)x＝0.因为x不恒等于0，所以m－2＝0，则m＝2，故选B.考点：偶函数定义【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D【解析】因为奇函数定义域关于原点对称，故原点左右各有两个交点，另一个交点必在坐标原点，故所有根之和为0，选D.考点：奇函数性质【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】B【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．考点：函数的奇偶性判断【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不符合．y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不符合．D中y＝－|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B符合．考点：函数的奇偶性和单调性【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】C【解析】∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－1x＋x＝－f(x)，∴函数f(x)＝1x－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．考点：函数奇偶性的判断【题型】选择题【难度】较易6. 【答案】A【解析】f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．考点：偶函数，单调性【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】若x＜0，则－x＞0. 又∵当x＞0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝x＋1. 又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x＋1.考点：根据函数的奇偶性求函数的解析式【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】 C【解析】∵f(x)为奇函数，∴()()f x f xx--<等价于()f xx<∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由于奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上，()f xx<的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．考点：函数的奇偶性及单调性【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】－3【解析】∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 考点：奇函数性质【题型】填空题【难度】较易10. 【答案】x2－x－1【解析】由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，又∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.考点：利用奇函数性质求函数解析式【难度】一般11. 【答案】－13【解析】f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.考点：利用奇函数性质求值【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】()242f x x=-【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)．即－ax3＋bx2－cx＋d＝ax3＋bx2＋cx＋d，即30ax cx+=对于任意x都成立，∴0,0a c==.()2f x bx d=+又()12f b d=+=，①f(2)＝4b d+＝14，②联立①②解得4,2b d==-，∴()242f x x=-.考点：利用奇函数性质求函数解析式【题型】解答题【难度】一般13. 【答案】见解析【解析】(1)虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，∴是非奇非偶函数．(2)由210,22,xx⎧-≥⎪⎨+≠⎪⎩得－1≤x<0，或0<x≤1.故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝22x +-于是f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )为奇函数．(3)∵11xx+-≥0，∴－1≤x <1. ∴定义域不关于原点对称．∴f (x )为非奇非偶函数． (4)当x >0时，−x <0 ,f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ， 当x <0时，−x >0,f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x . ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 考点：函数奇偶性的判断 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】见解析【解析】(1)∵a ＞b ，∴a －b ＞0，∵()()0f a f b a b +>+，∴()()0f a f b a b-->+，∴ f (a )＋f (－b )＞0.又∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－b )＝－f (b )，∴f (a )－f (b )＞0，即f (a )＞f (b )．(2)由(1)可知f (x )为R 上的单调递增函数， ∵f (1＋m )＋f (3－2m )≥0， ∴f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，∴1＋m ≥2m －3，∴m ≤4. ∴实数m 的取值范围为(－∞，4]． 考点：根据函数的奇偶性和单调性求参数范围 【题型】解答题【难度】较难。
课时作业1：3.2.2 第1课时 奇偶性的概念
3．2.2 奇偶性第1课时 奇偶性的概念1．下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x； ④f (x )＝1x 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3)答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )．∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2. 6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f (x )·f (－x )<0；④f (x )f (－x )＝－1. 其中一定正确的为________．(填序号)答案 ①②解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0，故①正确．f (x )－f (－x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )，故②正确．当x ＝0时，f (x )·f (－x )＝0，故③不正确．当x ＝0时，f (x )f (－x )分母为0，无意义，故④不正确． 9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值．(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小． 解 (1)由奇函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f (3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )，所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断抽象函数的奇偶性答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)． 答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称， ∴f (－x )＝4－x 2x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________． 答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋c x(x ≠0)， ∵g (－x )＝－ax 3－bx －c x＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5]＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3，又g (3)＝f (3)－5＝3，∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值． 解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0，∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3， 解得－1<a <2，∴a ＝0或1.∴b ＝12或1，由于b ∈Z ， ∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.。
1.3.2 奇偶性练习题及答案解析
1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.2．奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．－15D ．15解析：选C.f (x )在[3,6]上为增函数，f (x )max ＝f (6)＝8，f (x )min ＝f (3)＝－1.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15.3．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f (x )为奇函数，那么a ＝________. 解析：∵f (x )是[3－a,5]上的奇函数， ∴区间[3－a,5]关于原点对称， ∴3－a ＝－5，a ＝8. 答案：81．函数f (x )＝x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x |x ≥0}，不关于原点对称． 2．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．3．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析：选D.设F (x )＝f (x )f (－x ) 则F (－x )＝F (x )为偶函数． 设G (x )＝f (x )|f (－x )|， 则G (－x )＝f (－x )|f (x )|.∴G (x )与G (－x )关系不定． 设M (x )＝f (x )－f (－x )，∴M (－x )＝f (－x )－f (x )＝－M (x )为奇函数．设N (x )＝f (x )＋f (－x )，则N (－x )＝f (－x )＋f (x )． N (x )为偶函数．4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．5．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过点( ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(a ，f (1a))解析：选C.∵f (x )是奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )，即自变量取－a 时，函数值为－f (a )， 故图象必过点(－a ，－f (a ))．6．f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( )A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画f (x )的大致图象易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B. 7．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：18．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f (x )＝0(x ∈R )既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y 轴对称．其中正确的命题是________．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，不一定与y 轴相交，①错，④对；奇函数当x ＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对．答案：③④9．①f (x )＝x 2(x 2＋2)；②f (x )＝x |x |；③f (x )＝3x ＋x ；④f (x )＝1－x 2x.以上函数中的奇函数是________． 解析：(1)∵x ∈R ，∴－x ∈R ，又∵f (－x )＝(－x )2[(－x )2＋2]＝x 2(x 2＋2)＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵x ∈R ，∴－x ∈R ，又∵f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(4)f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]即有－1≤x ≤1且x ≠0，则－1≤－x ≤1且－x ≠0，又∵f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 答案：②④10．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x －1) 1＋x1－x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x ＜0)－x 2＋x (x ＞0).解：(1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(2)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )， 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )， 综上所述，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．11．判断函数f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2的奇偶性．解：由1－x 2≥0得－1≤x ≤1. 由|x ＋2|－2≠0得x ≠0且x ≠－4.∴定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称． ∵x ∈[－1,0)∪(0,1]时，x ＋2＞0，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x ，∴f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2是奇函数．12．若函数f (x )的定义域是R ，且对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立．试判断f (x )的奇偶性．解：在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝0， 得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.再令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 即f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．。
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式，然后把 f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解 f(x)， g(x)．
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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[解析]
用－x 代替 x 得
2 f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋ x ∵y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数 2 ∴f(x)＋g(x)＝－x －x
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题型讲解
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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1 奇偶性的应用
[例 1] 于( )
已知 f(x)＝x5＋bx－8，且 f(－2)＝10，则 f(2)等
A．－26 C．－10
第一章 1.3
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[点评]
对抽象函数的奇偶性与单调性的证明， 围绕证明
奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．
第一章 1.3
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第一章 1.3
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[解析]
由题意知 f(－2)＝f(2)＝0，
第一章 1.3
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当 x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2) 时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2，2)时，f(x)<0， 因此选 B.
[解析]
(1)令 y＝－x，得 f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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第一章
1. 3.2 奇偶性
第一章 集合与函数概念
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第一章
第 2 课时 习题课
第一章 集合与函数概念
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知 识 整 合
基础巩固训练 方法警示探究
题型讲解
能力强化提升
探索延拓创新 课后强化作业
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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(5)奇函数的性质： ①图象关于原点对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相同； ③若在 x＝0 处有定义，则有 f(0)＝0. (6)偶函数的性质： ①图象关于 y 轴对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相反； ③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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知识整合
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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1．网络构建
第一章 1.3
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第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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(7)若奇函数 f(x)在[a，b]上有最大值 M，则在区间[－b， －a]上有最小值－M；若偶函数 f(x)在[a，b]上有最大值 m， 则在区间[－b，－a]上也有最大值 m.
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
第一章 1.3
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3 分段函数的图象与最值
[例 3]
对于每个实数 x，设 f(x)取 y＝4x＋1，y＝x＋2，
y＝－2x＋4 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解 析式，并求 f(x)的最大值．
第一章 1.3
[答．(0，3)
第一章 1.3
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[解析] ＞－f(x－1)
fx2－fx1 由 ＜0 知 f(x)是减函数，因此 f(2x－1) x2－x1
即 f(2x－1)＞f(1－x)所以 －1＜2x－1＜1 －1＜1－x＜1 2x－1＜1－x 2 解得 0＜x＜3，故选 D.
[答案]
B
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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[点评] 示可知选 B.
可用数形结合法求解． 由题意画出示意图如图所
第一章 1.3
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(2012～2013 河南扶沟高中月考试题)已知奇函数 f(x)定义 fx2－fx1 在(－1,1)上， 且对任意 x1， 2∈(－1,1)(x1≠x2)都有 x ＜ x2－x1 0 成立， f(2x－1)＋f(x－1)＞0 成立， x 的取值范围是( 若 则 2 A．(3，1) C．(0,1)
第一章 1.3
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3 1 如图所示，分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝2x＋2，y＝ x2－4x＋3 的图象，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)． 从图象观察可得函数 f(x)的表达式 x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1， f(x)＝3 1 2x＋21＜x≤5， 2 x －4x＋3x＞5.
第一章 1.3
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[解析]
3 1 首先应理解题意，“函数 f(x)表示－x＋3，2x＋2，
x2－4x＋3 中的较大者”是指对某个区间而言，函数 f(x)表示 y 3 1 ＝－x＋3，y＝2x＋2，y＝x2－4x＋3 中最大的一个．
2．规律小结 (1)判断函数单调性的步骤： ①任取 x1，x2∈R，且 x1<x2； ②和差：f(x1)－f(x2)； ③变形(通分、配方、因式分解)； ④判断差的符号，下结论．
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(2)求函数单调性要先确定函数的定义域． (3)若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数． (4)复合函数 y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原 则．
(2)任取 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)] ＝－f(x2－x1)． ∵x1<x2，∴x2－x1>0。 又∵当 x>0 时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0， ∴－f(x2－x1)>0，即 f(x1)>f(x2)， 从而 f(x)在 R 上是减函数．
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f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1,2)， 故函数 f(x)的最小值是 2.
[答案]
2
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2 8 f3＝ . 3
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(2012～2013 重庆市风鸣中学月考试题)对于任意 x∈R， 3 1 2 函数 f(x)表示－x＋3， x＋ ，x －4x＋3 中的较大者，则 f(x) 2 2 的最小值是________
B．－18 D．10
第一章 1.3
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[解析]
令 g(x)＝f(x)＋8＝x5＋bx，则 g(x)是奇函数，
∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0， ∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选 A.
[答案]
A
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1．3.2 第2课时
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已知函数 y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，且对于定 2 义域内的任一 x 都有 f(x)－g(x)＝x － ，求 f(x)与 g(x)的解析 x
2
式． [分析] 利用函数的性质再得到一个关于 f(x)与 g(x)的等
第一章 1.3 1．3.2 第2课时
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(3)∵f(x)在 R 上是减函数． ∴f(x)在[－3,3]上的最大值是 f(－3)，最小值是 f(3)． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6. 从而 f(x)在区间[－3,3]上的最大值是 6，最小值是－6.
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[分析]
给出函数关系而未给出解析式， 要证明函数的奇