二次根式训练提高(含详细解答)
二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共小题）30 ．计算：1﹣+）+（（1）+；（2）（）．．计算：2-20．）﹣﹣﹣）（π3.14）2| +| （1﹣（﹣）．﹣4（+（2）2．（3）（x﹣3）﹣2 ）（3﹣x）﹣（x．计算化简：3．6 +3）++（1）（22﹣．计算4．2）×÷（1（）+﹣．计算：5．2（+3×）1×2）+3﹣26（．计算：602）×﹣2﹣））（1（+|）（（2|﹣页）1第页（共122）﹣2+）（2）（2﹣）+（；（3）2﹣3+（4）（7+4．计算7÷2a≥0））（（（1）?））3+﹣﹣）（）（3+﹣4（（．计算：：8（+÷．）（+3﹣1（）+2）﹣．计算921+（（+）1+12）（﹣）（÷+﹣4）（1．）．计算：10）﹣+）4﹣）1（（2﹣（+2页）2第页（共120．1）﹣（﹣﹣）；（4）+3（）（2 +）（2．计算：112．2）+92x?﹣（3（1）（+﹣4）÷．计算：122．﹣②（；7+4 ）（7 4）﹣（）3﹣1﹣①4++4．计算题13+2）××1（2）﹣（）÷（4（+1）（﹣﹣）（﹣（3 1））﹣．÷）5（）×﹣6（+页）3第页（共1222+3ab+b的值．．已知：，求b=a=，a1415．已知x，y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；20162015﹣（）（）（3．）18．计算：．2+ y=19．已知的值．y，计算x﹣﹣420．已知：a、b、c 是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣| x﹣5|．第4页（共12页）22．观察下列等式：①==；②==；③==回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++?+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，?解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想=；）×（）（2）计算：（++?+24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1=﹣=；==﹣（1为正整数）的结果；）观察上面的等式，请直接写出（n（2）计算（；）=）（（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++?+）（）．第5页（共12页）25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算22﹣+12）﹣（1）（2﹣1）（2+7﹣1（）9 5+2（．）29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算22﹣1）（﹣1+1）﹣（9（1））（（+25﹣+72）第6页（共12页）《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析30 小题）一．解答题（共+5=7；）．计算：（11= 2+）+（﹣（2）（=4+2+2﹣=6+．+20﹣﹣2| ﹣﹣﹣）+|+（）π﹣3.142．计算：（1）（=1+24+9=12﹣5；（2）﹣4 ﹣（﹣）=2 ﹣4×﹣+2=+222（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）=﹣x+6x ﹣9﹣（x﹣2﹣13=﹣2x+10x4x+4）3．计算化简：=5+2++；（1）=2 +3 +2= 2×2 ﹣﹣（2）26 +36×+3×4= 14 4．计算（1）﹣2﹣2．﹣+= 6= 2+4（2）÷×．=2 ÷3 ×3= 2×）25．计算：（1×= 7+3+30= 37﹣2（2）2﹣6= 14+3+12= 420）﹣2+| ﹣| = 3﹣1+）（6．计算：（1=）（2（）×（﹣﹣）×= 24=3﹣﹣+2）3（3﹣= 412+5= 8+52）（2﹣）+（2+）（2）（7+4﹣（4）22（2﹣）+（2+）=1+1=2）（2﹣（）=2+=）a≥07．计算（1）（= 6a?）（2÷===2 +3 ﹣2 ﹣4=2 ﹣（3）+3﹣﹣）（﹣）=3 ﹣3+（4）（3 +2 ﹣5﹣﹣2=8．计算：（1）2﹣+；﹣=2=+3（2）3 +（﹣）+=+﹣2+= ．÷第7页（共12页）9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；2（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）=1﹣5+1+2 +5 =2+2 ．10．计算：（1）﹣4﹣2；=2++=3（）=2 2﹣3）﹣；﹣﹣（=3+2+2+（3）（2）（2=6；﹣）=12﹣6+0 =1）﹣﹣1（4）．﹣（=4+1+3+11．计算：2×2x ﹣43﹣（1）（）÷+3=4+=（﹣29 +）÷4﹣2=74÷=8．=5；=22 2x﹣）（2+912．计算：﹣①4 +2；﹣+2=7+4=4 +3+42）﹣（3）（7 7+4②（﹣4﹣﹣（﹣）﹣．）﹣1=45+6=49 4845+1613．计算题=2×3×（1）5 =30；××=== ；（2）﹣+2=×4 ﹣2 +2×=2 ﹣2 +）（1﹣（3）（﹣1﹣+1）=﹣（1+）=﹣（1﹣5）=4；）（﹣）=2）=2=12；（4）÷（﹣﹣÷÷（）（5÷÷﹣﹣；×=4++=4+2）6（．===22+3ab+b的值．，求．已知：，b=a14a=2﹣，解：=2+ ，b= a=则a+b=4，ab=1，第8页（共12页）222 +ab=（a+ba）+3ab+b．=17，求x，y 都是有理数，并且满足．已知15的值．，y 的值，因此，将已知等式变形：【分析】观察式子，需求出x，都是有理数，可得x，y ，求解并使原式有意义即可．，【解答】解：∵．∴2也是有理数，与y+4 x，y 都是有理数，∴x+2y ﹣17 ∵解得∴有意义的条件是∵，≥x y，﹣∴取x=5，y= 4．∴此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求【点评】解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．．a﹣16．化简：﹣=﹣a，=【分析】分别求出，代入合并即可．．【解答】解：原式=）=+（﹣a+1﹣a时，时，=a，当a≤0 0 【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥a．=﹣．计算：17；=712﹣=9 ﹣1（）9+53+10；×22=××）（22= 220162015﹣）（）（（3．）2015）]）（=[（+﹣）?（+ 2015）（）﹣（= 5 6? +）=+﹣（．﹣﹣=页）第页（共9 1218．计算：．2解：原式=+1﹣）﹣2 ++（=3+3﹣2+1﹣2+．=4﹣2的值．﹣y4，计算x19．已知y=+﹣【分析】的值，进，解不等式组可得x 根据二次根式有意义的条件可得：2 y求值即可．y 的值，然后代入x﹣而可求出【解答】解：由题意得：，解得：x=，+把x=代入y=﹣4，得y=﹣4，2=﹣16=﹣14．当x=，y=﹣4时x﹣y20．已知：a、b、c 是△．ABC的三边长，化简【解】解：∵a、b、 c 是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=| a+b+c| ﹣| b+c﹣a|+| c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣| x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=| x﹣1| ﹣| x﹣5|=（x﹣1）﹣（5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==?回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：第10 页（共12 页）．+2）计算：+++?（=1）根据观察，可发现规律；【分析】（，根据规律，可得答案；分子分母都乘以分母两个数的差，2）根据二次根式的性质，（可分母有理化．= =【解答】解：（1）原式；）++2）原式=（+?+1）．=（﹣，=，=，23 ．观察下面的变形规律：=?解答下面的问题：=，；﹣n 为正整数，请你猜想（1）若=）计算：（2））×（（+?++）+1）+?+（﹣]（）=[解：原式（﹣1）+（﹣）+（﹣）=）（+1（﹣1．﹣﹣221）=（1 = 2015=2016．阅读下面的材料，并解答后面的问题：241﹣==；﹣==﹣==；（（1）观察上面的等式，请直接写出n 为正整数）的结果﹣；=1 ））（（2）计算（）请利用上面的规律及解法计算：3（）（++（++?）．）?﹣+）（+﹣1+﹣=（）（﹣=（1）+11=2017﹣．=2016页）第页（共11 1225．计算：（1）6﹣2 ﹣3= 6﹣5= 6﹣；+﹣+4=4 +3 ）4﹣2=7+2．（2+4﹣2| = 2﹣﹣26．计算（1）|﹣2+2；=+2）（2+×﹣﹣×﹣﹣．===5+1+27．计算．﹣10=（6）÷+4﹣=（106）÷+418﹣40=（）÷+8=30÷．=1528．计算（1）9﹣20+=；+7﹣5+2= 9 +142（2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）= 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．29．计算下列各题．=6﹣6 +=6﹣﹣）×（1）（+35 ；﹣+=+1﹣+1﹣（2）2 ．﹣×= 2=．计算30+7﹣）（195+2+14 ﹣20+=；= 92（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2 ）=3﹣1﹣（1+12﹣4 ）=2﹣13+4=﹣11+4．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
二次根式专题训练。(完整版)
二次根式专题训练。
(完整版)二次根式专题训练一、最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1：下列根式中最简二次根式的个数有（）3xy^2.y^2ab。
22/33.5(a-b)。
75xy。
x+y。
2x。
5c^2/2A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个二、同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A。
24 B。
12 C。
3 D。
18例3：如果最简二次根式3a-8与17-2a是同类二次根式，则a=_____三、二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a≥0②二次根式a是非负数，即a≥0例4.要使(3-x+1)/(2x-1)有意义，则x应满足（）．A。
≤x≤3 B。
x≤3且x≠ C。
＜x＜3 D。
＜x≤3例5.（1）化简x-1+1-x=_______．2)若x-1-1-x=(x+y)^2，则x－y的值为()A。
-1 B。
1 C。
2 D。
3例6.(1)若a、b为实数，且满足|a-2|-b^2=0，则b-a的值为( )A。
2 B。
-2 C。
0 D。
以上都不是2)已知x,y是实数，且(x+y-1)与2x-y+4互为相反数，求实数y的负倒数。
四、二次根式的运算常考公式：⑴a×b=a×b(a,b≥0)⑵a/b=a/(a≥0,b>0)⑶a^2=a=a(-a)⑷(a)^2=a(a≥0)例7.(1)下列运算正确的是（）．A。
6/a^2=3a^2 B。
-2√3=(-2)^2×3C。
a^1/a=a D。
18-8=22)下列各式计算正确的是（）．A。
m^2×m^3=m^6 B。
16^(1/4)=16×(1/3) C。
32+3√3=2+3 D。
(a-1)/(a+1)=(a-1)/(a+1) 3)下列等式成立的是（）1/(1-a)=-1/(1-a)^2=-1-a/(1-a)A、a^2+b^2=a+bB、a-b=-ab/aC、a/a=1D、-a^2b^2=-ab/b^2例8．（1）若a<0，化简a-3-a^2=______.2）若整数m满足条件(m+1)^2=m+1且m<25，则m的值是．。
(完整版)二次根式提高练习题(含答案)
1．( ）（ ）；
2. － － ；
3.（a2 － ＋ ）÷a2b2 ；
4.（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
二.求值：
1.已知x＝ ，y＝ ，求 的值．
2.当x＝1－ 时，求 ＋ ＋ 的值．
三.解答题：
1．计算（2 ＋1）（ ＋ ＋ ＋…＋ ）．
2.若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
＝（2 ＋1）（ ）
＝9（2 ＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
2、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？ 你能求出x，y的值吗？
【解】要使y有意义，必须 ，即 ∴x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
y＝ ＝ ＝5－2 ．
∴x＋y＝10，x－y＝4 ，xy＝52－(2 )2＝1．
＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．
2、【提示】注意：x2＋a2＝ ，
∴x2＋a2－x ＝ （ －x），x2－x ＝－x（ －x）．
【解】原式＝ － ＋
＝
＝ = ＝
＝ ．当x＝1－ 时，原式＝ ＝－1－ ．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝ － ＋
＝ － ＋ ＝ ．
解答题：
1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（2 ＋1）（ ＋ ＋ ＋…＋ ）
＝（2 ＋1）[（ ）＋（ ）＋（ ）＋…＋（ ）]
又∵ － ＝ －
＝| |－| |∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
【精华版】二次根式计算专题训练-(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2．3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）•（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．12．计算：①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．22．观察下列等式：①==；②==；③==………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）计算：（++…+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9+7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．计算：（1）+= 2+5= 7；（2）（+）+（﹣= 4+2+2﹣= 6+．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2 =1+2﹣﹣4+9=12﹣5；（2）﹣4﹣（﹣）= 2﹣4×﹣+2= +（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2 =﹣x2+6x﹣9﹣（x2﹣4x+4）=﹣2x2+10x﹣133．计算化简：（1）++= 2+3+2= 5+2；（2）2﹣6+3= 2×2﹣6×+3×4= 144．计算（1）+﹣= 2+4﹣2= 6﹣2．（2）÷×= 2÷3×3= 2．5．计算：（1）×+3×2= 7+30= 37（2）2﹣6+3= 4﹣2+12= 146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| = 3﹣1+=（2）（﹣）×=（3﹣）×= 24（3）2﹣3+= 4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）=（2+）2（2﹣）2+（2+）（2﹣）= 1+1 = 27．计算（1）•（a≥0）= = 6a（2）÷= =（3）+﹣﹣= 2+3﹣2﹣4= 2﹣3（4）（3+）（﹣）= 3﹣3+2﹣5=﹣2﹣8．计算：（1）+﹣=+3﹣2=2；（2）3+（﹣）+÷=+﹣2+=．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+）+（1+）2 =1﹣5+1+2+5 =2+2．10．计算：（1）﹣4+=3﹣2+=2；（2）+2﹣（﹣）=2+2﹣3+=3﹣；（3）（2+）（2﹣）=12﹣6 =6；（4）+﹣（﹣1）0 =+1+3﹣1 =4．11．计算：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4=8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．12．计算：①4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2 =49﹣48﹣（45+1﹣6）=﹣45+6．13．计算题（1）××===2×3×5 =30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5）=4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．解：a==2+，b=2﹣，则a+b=4，ab=1，a2+3ab+b2=（a+b）2+ab =17．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式=﹣a+=（﹣a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3= 9+10﹣12= 7；（2）2= 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[（+）（﹣）]2015•（+）=（5﹣6）2015•（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【解】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=|x﹣1|﹣|x﹣5| =（x﹣1）﹣（5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；）（2）原式=+++…+=（﹣1）．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）计算：（++…+）×（）解：原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）=1；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．=（﹣1+﹣+…+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1 =2016．25．计算：（1）6﹣2﹣3= 6﹣5= 6﹣；（2）4+﹣+4= 4+3﹣2+4= 7+2．26．计算（1）|﹣2|﹣+2= 2﹣﹣2+2= ；（2）﹣×+= ﹣×5+= ﹣1+=﹣．27．计算．=（10﹣6+4）÷=（10﹣6+4）÷=（40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2 = 12﹣1﹣1+4﹣12 = 4﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3= ﹣+=6﹣6+=6﹣5；（2）﹣×= +1﹣= 2+1﹣2．30．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2=3﹣1﹣（1+12﹣4）=2﹣13+4=﹣11+4．。
二次根式计算专题训练附答案
二次根式计算专题训练一、解答题（共30小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2．3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）•（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．12．计算：①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．22．观察下列等式：①==；②==；③==………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）计算：（++…+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9+7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．计算：（1）+=2+5=7；（2）（+）+（﹣=4+2+2﹣=6+．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2=1+2﹣﹣4+9=12﹣5；（2）﹣4﹣（﹣）=2﹣4×﹣+2=+（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2=﹣x2+6x﹣9﹣（x2﹣4x+4）=﹣2x2+10x﹣133．计算化简：（1）++=2+3+2=5+2；（2）2﹣6+3=2×2﹣6×+3×4=144．计算（1）+﹣=2+4﹣2=6﹣2．（2）÷×=2÷3×3=2．5．计算：（1）×+3×2=7+30=37（2）2﹣6+3=4﹣2+12=146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣|=3﹣1+=（2）（﹣）×=（3﹣）×=24（3）2﹣3+=4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）=（2+）2（2﹣）2+（2+）（2﹣）=1+1=27．计算（1）•（a≥0）==6a（2）÷==（3）+﹣﹣=2+3﹣2﹣4=2﹣3（4）（3+）（﹣）=3﹣3+2﹣5=﹣2﹣8．计算：（1）+﹣=+3﹣2=2；（2）3+（﹣）+÷=+﹣2+=．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+）+（1+）2=1﹣5+1+2+5=2+2．10．计算：（1）﹣4+=3﹣2+=2；（2）+2﹣（﹣）=2+2﹣3+=3﹣；（3）（2+）（2﹣）=12﹣6=6；（4）+﹣（﹣1）0=+1+3﹣1=4．11．计算：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4=8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．12．计算：①4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2=49﹣48﹣（45+1﹣6）=﹣45+6．13．计算题（1）××===2×3×5=30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5）=4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．解：a==2+，b=2﹣，则a+b=4，ab=1，a2+3ab+b2=（a+b）2+ab=17．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式=﹣a+=（﹣a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3=9+10﹣12=7；（2）2=2×2×2×=；（3）（）2016（﹣）2015．=[（+）（﹣）]2015•（+）=（5﹣6）2015•（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【解】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=|x﹣1|﹣|x﹣5|=（x﹣1）﹣（5﹣x）=2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；）（2）原式=+++…+=（﹣1）．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）计算：（++…+）×（）解：原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12=2016﹣1=2015．24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）=1；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．=（﹣1+﹣+…+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1=2016．25．计算：（1）6﹣2﹣3=6﹣5=6﹣；（2）4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2．26．计算（1）|﹣2|﹣+2=2﹣﹣2+2=；（2）﹣×+=﹣×5+=﹣1+=﹣．27．计算．=（10﹣6+4）÷=（10﹣6+4）÷=（40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（1）9+7﹣5+2=9+14﹣20+=；（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2=12﹣1﹣1+4﹣12=4﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3=﹣+=6﹣6+=6﹣5；（2）﹣×=+1﹣=2+1﹣2．30．计算（1）9+7﹣5+2=9+14﹣20+=；（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2=3﹣1﹣（1+12﹣4）=2﹣13+4=﹣11+4．。
二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2．3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）•（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．12．计算：①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．22．观察下列等式：①==；②==；③==………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）计算：（++…+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9+7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．计算：（1）+= 2+5= 7；（2）（+）+（﹣= 4+2+2﹣= 6+．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2 =1+2﹣﹣4+9=12﹣5；（2）﹣4﹣（﹣）= 2﹣4×﹣+2= +（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2 =﹣x2+6x﹣9﹣（x2﹣4x+4）=﹣2x2+10x﹣133．计算化简：（1）++= 2+3+2= 5+2；（2）2﹣6+3= 2×2﹣6×+3×4= 144．计算（1）+﹣= 2+4﹣2= 6﹣2．（2）÷×= 2÷3×3= 2．5．计算：（1）×+3×2= 7+30= 37（2）2﹣6+3= 4﹣2+12= 146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| = 3﹣1+=（2）（﹣）×=（3﹣）×= 24（3）2﹣3+= 4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）=（2+）2（2﹣）2+（2+）（2﹣）= 1+1 = 27．计算（1）•（a≥0）= = 6a（2）÷= =（3）+﹣﹣= 2+3﹣2﹣4= 2﹣3（4）（3+）（﹣）= 3﹣3+2﹣5=﹣2﹣8．计算：（1）+﹣=+3﹣2=2；（2）3+（﹣）+÷=+﹣2+=．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+）+（1+）2 =1﹣5+1+2+5 =2+2．10．计算：（1）﹣4+=3﹣2+=2；（2）+2﹣（﹣）=2+2﹣3+=3﹣；（3）（2+）（2﹣）=12﹣6 =6；（4）+﹣（﹣1）0 =+1+3﹣1 =4．11．计算：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4=8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．12．计算：①4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2 =49﹣48﹣（45+1﹣6）=﹣45+6．13．计算题（1）××===2×3×5 =30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5）=4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．解：a==2+，b=2﹣，则a+b=4，ab=1，a2+3ab+b2=（a+b）2+ab =17．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式=﹣a+=（﹣a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3= 9+10﹣12= 7；（2）2= 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[（+）（﹣）]2015•（+）=（5﹣6）2015•（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【解】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=|x﹣1|﹣|x﹣5| =（x﹣1）﹣（5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；）（2）原式=+++…+=（﹣1）．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）计算：（++…+）×（）解：原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）=1；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．=（﹣1+﹣+…+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1 =2016．25．计算：（1）6﹣2﹣3= 6﹣5= 6﹣；（2）4+﹣+4= 4+3﹣2+4= 7+2．26．计算（1）|﹣2|﹣+2= 2﹣﹣2+2= ；（2）﹣×+= ﹣×5+= ﹣1+=﹣．27．计算．=（10﹣6+4）÷=（10﹣6+4）÷=（40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2 = 12﹣1﹣1+4﹣12 = 4﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3= ﹣+=6﹣6+=6﹣5；（2）﹣×= +1﹣= 2+1﹣2．30．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2=3﹣1﹣（1+12﹣4）=2﹣13+4=﹣11+4．教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)经典好题培优提升训练(附答案)
人教版八年级数学下册第16章二次根式经典好题培优提升训练（附答案）1．下列计算正确的是（ ）A．＝B．＝×C．4＝3D．＝2．下列各数：﹣3.141592，﹣，﹣0.16，，﹣π，0.1010010001…，，，﹣0.，是无理数的有（ ）个．A．5B．3C．4D．23．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．4．已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）A．4B．14C．D．14+45．若化成最简二次根式后，能与合并，则a的值不可以是（ ）A．B．8C．18D．286．我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则（）2是（ ）A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数7．已知是正整数，则实数n的最小值是（ ）A．3B．2C．1D．8．实数5不能写成的形式是（ ）A．B．C．D．9．化简，结果是（ ）A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．410．当，分式的结果为a，则 ）A．a＞1B．C．D．11．当代数式有意义时，x应满足的条件 ．12．若a≤0，化简|a﹣|的结果是 ．13．把中根号外的（a﹣1）移入根号内得 ．14．当a＞0时，化简的结果是 ．15．若＝3a﹣1，则a的取值范围是 ．16．计算：2×＝ ．17．把二次根式化为最简二次根式是 ．18．计算：（﹣+）（+﹣）＝ ．19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣﹣＝ ．20．已知|a|＝6，＝10，且|a﹣b|＝b﹣a，则＝ ．21．计算：（1）9÷×；（2）++﹣+；（3）（﹣+）•；（4）2a﹣﹣6ab（b≥0）．22．已知x+y＝﹣6，xy＝3，求+的值．洪庆同学的解答过程如下解：+＝+＝+＝（+）＝∵x+y＝﹣6，xy＝3，∴原式＝﹣2你认为洪庆同学的解答过程完全正确吗？如果你认为不完全正确，请你写出你的正确解答过程．23．对于“化简并求值：+，其中a＝”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：+＝+＝+﹣a＝﹣a＝；乙的解答是：+＝+＝+a﹣＝a＝．（1） 的解答是错误的；（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．（3）化简并求值：|1﹣a|+，其中a＝2．24．计算：（1）÷3×（﹣5）（2）5x÷3×（3）5•（﹣）÷3．25．老师在黑板上写出下面的一道题：已知＝a，＝b，用含a，b的代数式表示．两位在黑板上分别板书了自己的解答：同学甲：＝＝＝＝．同学乙：＝＝＝＝×＝×＝．（1）你认为两位同学的解答都正确吗？（2）同学并得出的结果为．老师说是正确的，你知道丙是怎样做的吗？请你写出丙的解答过程．26．阅读材料，回答问题：化简：＝＝＝﹣1；化简：：＝＝＝＝．（1）以上化简过程运用了哪个乘法公式？（2）依照上述化简方法化简；（3）计算：+++…+的值．参考答案1．解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、＝×，故此选项错误；C、4﹣＝3，故此选项错误；D、•＝，故此选项正确．故选：D．2．解：﹣3.141592，﹣，﹣0.16，＝10，﹣π，0.1010010001…，，，﹣0.，＝2是无理数的有：﹣，﹣π，0.1010010001…，，共5个．故选：A．3．解：A、＝4，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2x，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．4．解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．5．解：A、＝，能与合并，a的值可以是，本选项不符合题意；B、＝＝2，能与合并，a的值可以是8，本选项不符合题意；C、＝＝3，能与合并，a的值可以是18，本选项不符合题意；D、＝＝2，不能与合并，a的值不可以是28，本选项符合题意；故选：D．6．解：（）2＝2++10＝，所以（）2是型无理数，故选：C．7．解：是正整数，则实数n的最小值为．故选：D．8．解：A、＝5，B、＝5，C、（）2＝5，D、﹣＝﹣5，故选：D．9．解：由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得：3x﹣5≥0∴x≥∴1﹣3x＜0∴＝﹣（3x﹣5）＝3x﹣1﹣3x+5＝4故选：D．10．解：+＝+＝＝，当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，∵＜＜1，∴＜a＜1，故选：B．11．解：∵代数式有意义，∴4﹣x≥0，x2﹣1≠0，解得，x≤4且x≠±1，故答案为：x≤4且x≠±1．12．解：|a﹣|＝|a﹣|a||∵a≤0，∴原式＝|a+a|＝|2a|＝﹣2a，故答案为：﹣2a．13．解：∵﹣＞0，∴a＜1，∴a﹣1＜0，∴＝﹣（1﹣a）＝﹣•＝﹣＝﹣．故答案是：﹣14．解：∵a＞0时，∴b≤0∴＝﹣ab．故答案为：﹣ab．15．解：∵＝3a﹣1，∴3a﹣1≥0．∴a．故答案为：a．16．解：2×＝3＝15．故答案为：15．17．解：＝﹣a，故答案为：﹣a．18．解：原式＝[﹣（﹣）][+（﹣）]＝（）2﹣（﹣）2＝2﹣5+10﹣10＝10﹣13，故答案为：10﹣13．19．解：由数轴可知，a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|﹣﹣＝b﹣a﹣b+a+a＝a，故答案为：a．20．解：∵|a|＝6，∴a＝±6，∵＝10，∴b＝±10，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，当a＝﹣6，b＝10时，＝2，当a＝6，b＝10时，＝4，故答案为：2或4．21．解：（1）＝÷×，＝××，＝；（2）＝＝；（3）＝＝＝16；（4）＝2ab＝．22．解：不正确．∵x+y＝﹣6，xy＝3，∴x＜0，y＜0，∴+＝﹣﹣＝﹣（+）＝﹣＝＝2．23．解：（1）乙的解答是错误的，故答案为：乙．（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：＝|a|，故答案为：＝|a|．（3）∵a＝2，∴|1﹣a|+＝a﹣1+4a﹣1＝5a﹣2＝8．24．解：（1）÷3×（﹣5）＝××（﹣）＝﹣；（2）5x÷3×＝5x÷×＝5x××＝；（3）5•（﹣）÷3＝﹣×＝﹣a2b．25．解：（1）这两位同学解答的都正确；（2）丙同学的过程是：＝7＝．26．解：（1）化简过程运用了平方差公式；（2）＝＝＝＝﹣；（3）+++…+＝﹣1+﹣+2﹣+…+10﹣3＝10﹣1＝9．。
二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30 小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2．3．计算化简：（1）++（2）2﹣6 +3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣2+|﹣|（2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）?（a≥ 0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（ 2 +）（2 ﹣ ）； （4） + ﹣（ ﹣1）0．11．计算：（1）（3+ ﹣4 ）÷ （ 2） +9﹣2x 2?．12．计算：①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣ +2（3）（﹣ 1﹣）（﹣ +1） （4） ÷（ ﹣ ）（5）÷ ﹣ × + （6） ．．已知：a=，b=，求2+3ab+b2的值．14a15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9 +5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5|．22．观察下列等式：①==；②==；③==⋯⋯⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，⋯解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想=；（2）计算：（++⋯+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）=；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++⋯+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（ 1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（ 1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题）1．计算：（ 1）+= 2+5=7；（2）（+）+（﹣=4+2+2﹣ =6+． 2．计算：（ 1）（π﹣3.14） 0+|﹣2| ﹣+（ ）﹣2﹣ ﹣4 +9=1+2=12﹣5；（ 2）﹣4 ﹣（ ﹣ ）=2 ﹣4× ﹣ +2=+（ 3）（x ﹣3）（ 3﹣ x ）﹣（ x ﹣2）2=﹣x 2+6x ﹣ 9﹣（ x 2﹣4x+4）=﹣2x 2+10x ﹣133．计算化简：（1）++ =2 +3 +2=5+2；（2）2﹣6 +3= 2×2 ﹣6× +3×4 = 144．计算（ 1）+﹣= 2+4﹣2 = 6 ﹣ 2．（2）÷×=2 ÷3 ×3= 2 ．5．计算：（ 1）× +3×2 = 7 +30= 37 （2）2﹣ 6+3= 4 ﹣2+12 = 146．计算：（ 1）（）2﹣20+| ﹣ | = 3﹣1+ =（2）（﹣）×（ 3﹣）×= 24=（3）2﹣ 3+= 4﹣12+5 ﹣+5= 8（4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+）（2﹣）（2+ ） 2（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣） =1+1=2=7．计算（ 1） ? （a ≥0）== 6a（ 2）÷==（3）+ ﹣ ﹣=2 +3 ﹣2 ﹣4=2 ﹣3（4）（3+）（ ﹣ ）=3 ﹣3 +2 ﹣5 ﹣﹣= 28．计算：（ 1） +﹣=+3 ﹣2=2 ；（2）3 +（﹣）+ ÷=+﹣2+ = ．9．计算：（1）﹣4 + ÷ =3 ﹣2+ =3 ﹣2 +2 =3 ；（ 2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ）2=1﹣ 5+1+2 +5 =2+2 ．10．计算：（1）﹣4 + =3 ﹣ 2 + =2 ；（ 2） +2﹣（﹣）=2 +2﹣ 3 +=3﹣；（3）（2 + ）（2 ﹣ ）=12﹣6=6；（ 4）+﹣（﹣1）0= +1+3﹣1 =4．11．计算：（1）（3+﹣4 ）÷=4 +3﹣2x 2×=（9 + ﹣ 2）÷ 4=8 ÷4=7 ﹣2=2；=5 ．（2）+9﹣ 2x 2?12．计算： ①4 + ﹣ +4 =4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ；②（ 7+4）（7﹣4）﹣（ 3 ﹣1）2 ﹣ ﹣（ ﹣6 ）﹣ 45+6 ．=49 48 45+1 =13．计算题（1）××= ==2×3×5 =30；（2）﹣ +2=×4 ﹣2 +2×=2 ﹣2 += ；（3）（﹣ 1﹣ ）（﹣ +1）=﹣（ 1+ ）（1﹣ ） =﹣（ 1﹣5） =4；（4） ÷（ ﹣ ）=2 ÷（﹣）=2÷=12；（5） ÷﹣ ×+=4÷ ﹣+2 =4+ ；（6）===．．已知： a=， b= ，求2+3ab+b 2的值．14a解： a==2+ ，b=2﹣ ，则 a+b=4， ab=1，a 2+3ab+b 2=（ a+b ）2+ab =17．15．已知 x ， y 都是有理数，并且满足，求 的值．【分析】观察式子，需求出 x ，y 的值，因此，将已知等式变形：，x ，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】 解：∵，∴．∵x ，y 都是有理数，∴ x 2+2y ﹣17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵有意义的条件是 x ≥ y ，∴取 x=5，y=﹣ 4，∴．【点评】 此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a ．【分析】 分别求出=﹣ a，=﹣，代入合并即可．【解答】 解：原式 =﹣ a+=（﹣ a+1） ．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当 a ≥0 时，=a ，当 a ≤0 时，=﹣ a ．17．计算：（1）9+5 ﹣3 =9 +10 ﹣12 =7 ；（2）2= 2×2×2×=；（3）（）2016（ ﹣）2015．=[（+）（ ﹣ ）]2015?（ + ）=（ 5﹣ 6） 2015?（ + ）=﹣（+ ）=﹣﹣ ．18．计算：．解：原式 =+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2 +1﹣2+=4﹣．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出 y 的值，然后代入 x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把 x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当 x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．【解】解：∵ a、b、 c 是△ ABC的三边长，∴ a+b＞c， b+c＞a，b+a＞c，∴原式 =| a+b+c| ﹣ | b+c﹣a|+| c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（ b+c﹣a） +（ b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣ c．21．已知 1＜ x＜ 5，化简：﹣| x﹣5|．解：∵ 1＜ x＜ 5，∴原式 =| x﹣1| ﹣| x﹣ 5| =（ x﹣1）﹣（ 5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（ 1）原式 ==；）（2）原式=+++⋯+=（﹣1）．23 ．观察下面的变形规律：=，=，=，=，⋯解答下面的问题：（ 1）若 n 为正整数，请你猜想=﹣；（ 2）计算：（++⋯+）×（）解：原式 =[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+⋯+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12=﹣．2016 1 = 201524．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣ 1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）= 1 ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++⋯+）（）．=（﹣1+﹣+⋯+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1=2016．第 11 页（共 12 页）25．计算：（1）6﹣2 ﹣3= 6﹣5= 6﹣；（2）4+﹣+4=4 +3 ﹣2+4=7+2．26．计算（ 1） |﹣2| ﹣+2= 2﹣﹣2+2=；（ 2）﹣×+=﹣×5+=﹣1+﹣．=27．计算．=（ 10﹣ 6+4）÷=（ 10﹣6+4）÷=（ 40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（ 1）9 +7﹣5+2= 9 +14﹣20+=；（2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2= 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3=﹣+=6﹣6 +=6﹣5 ；（ 2）﹣×=+1﹣= 2+1﹣2 ．30．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14 ﹣20+=；（2）（﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣2 ）2=3﹣1﹣（ 1+12﹣ 4 ）=2﹣13+4=﹣11+4．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
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八年级数学二次根式提高练习及解析（一）判断题： （每小题 1 分，共 5 分）1． ( 2) 2 ab ＝－ 2 ab ．（ ） 2 ．3 －2 的倒数是 3 ＋ 2．（）3．( x 1) 2＝ (x 1)2．（） 4 ． ab 、1a 3b 、 2 a 是同类二次根式． （）3x b5． 8x ， 1 ，9 x 2 都不是最简二次根式． （）3（二）填空题： （每小题 2 分，共 20 分）6．当 x __________ 时，式子1有意义． 7 ．化简－ 152 10÷253＝_ ．x 38 2712 a8． a －a 2 1 的有理化因式是 ______． 9 ．当 1＜ x ＜ 4 时， | x －4| ＋x 2 2x 1 ＝ ______．10．方程 2 （ x － 1）＝ x ＋ 1 的解是 ______．11．已知 a 、 b 、 c 为正数， d 为负数，化简 ab c 2 d 2＝ ______．abc 2d 212．比较大小：－1 _____－ 1． 13 ．化简： (7 － 5 2 ) 2000·( － 7－5 2 ) 2001＝ _____．2 7 4 314．若 x1 ＋ y 3 ＝0，则 ( x － 1) 2＋ ( y ＋3) 2＝ ______．15． x ， y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则2xy － y 2＝ ____________ ．（三）选择题： （每小题 3 分，共 15 分）16．已知x 33x 2 ＝－ x x 3 （）（ A ） x ≤0（B ） x ≤－ 3（ C ） x ≥－ 3（ D ）－ 3≤ x ≤ 0 17．若 x ＜y ＜ 0，则x 2 2 xy y 2 ＋ x 2 2xy y 2 （）（ A ） 2x（ B ） 2y （ C ）－ 2x（ D ）－ 2y18．若 0＜x ＜ 1，则(x1 )2 4 － ( x 1 ) 2 4 等于（ ）x x（ A ）2（ B ）－2（ C ）－ 2x（ D ） 2xxx19．化简a 3( a ＜ 0 ) （）（ A ）a （B ）－ a （ C ）－a （D ） aa20．当 a ＜0， b ＜ 0 时，－ a ＋2 ab － b 可变形为（）（ A ） ( ab )2 （ B ）－ ( a b) 2 （C ） ( ab) 2（ D ） (ab) 2（四）在实数范围内因式分解： （每小题 3 分，共 6 分）21． 9 x 2－ 5 2； 22．4 4－ 4 x 2＋ 1． yx（ 五）计算题：（每小题 6 分，共 24 分）23．（ 532 ）（ 53 2 ）； 24 ．5 － 4 － 2 ；11 74 11 3725．（ a 2n－ab mn ＋ n m ）÷ a 2b 2n；m m m n m26．（a＋b ab）÷（a＋b－ab）（ a ≠b ）．ababbabaab（六）求 ：（每小 7 分，共 14 分）27．已知 x ＝3 2 ， y ＝ 3 2 ，求 x 3 xy 2的 ．4 y 2x 3 y 2 x 2 y 33232x七、 作 ：（每小8 分，共 16 分）28．当 x ＝1－2 ，求a 2 x a 2 ＋ 2x x 2 a 2 ＋ 1 的 ．x 2 x x 2x 2 x x 2 a 2x 2 a 229． 算（ 2 5 ＋ 1）（1 ＋1 ＋1＋⋯＋1）．23991 23 4 10030．若 x ，y 数，且 y ＝ 1 4x ＋ 4x 1 ＋ 1．求x2y－x 2 y的 ．2yxyx二次根式》提高测试答案（一）判断 ： （每小1 分，共 5 分）1． ( 2) 2 ab ＝－ 2 ab ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）【提示】( 2) 2 ＝ | － 2| ＝ 2．【答案】×．2． 3 － 2 的倒数是 3 ＋2．（ ）【提示】1＝3 23 ＋ 2）．【答案】×．33 ＝－（2 43． (x 1) 2＝ ( x 1)2．⋯（ ）【提示】(x 1)2 ＝ | x － 1| ， ( x 1)2＝ x － 1（ x ≥1）．两式相等，必 x ≥ 1．但等式左 x 可取任何数．【答案】×．4． ab 、1a 3b 、2 a是同 二次根式．⋯（）3x b【提示】1a 3b 、2a化成最 二次根式后再判断． 【答案】√．3x b5． 8x ，1 ， 9 x2 都不是最 二次根式． （）【答案】 ×． 9 x 2 是最 二次根式．3（二）填空 ： （每小2 分，共 20 分）6 当 x _____ ， 式 子1有 意 ．【 提 示 】 x 何 有 意 ？ x ≥ 0分 式 何 有 意 ？ 分 母 不 等 于x3零．7．化 －【答案】 x ≥ 0 且 x ≠ 9．15 10 25 3 ＝_．【答案】 － 2aa ．【点 】 注意除法法 和 的算 平方根性 的运用．2÷12a 8278 ． a －a 2 1 的有理化因式是____________ ．【提示】 （ a － a 21 ）（ ________ ）＝ a 2－ (a 2 1)2 ． a ＋a 21 ．【答案】 ＋a 21 ．a9．当 1＜ x ＜ 4 ， | x － 4| ＋ x 2 2x 1 ＝ ________________ ．【提示】 x 2－2x ＋ 1＝（ ）2， x － 1．当 1＜ x ＜4 ， x －4， x － 1 是正数 是 数？ x － 4 是 数， x － 1 是正数． 【答案】 3．10．方程（ －1）＝ x ＋ 1 的解是 ____________【． 提示】把方程整理成ax ＝ b 的形式后， 、 分 是多少？2 1 ，2 xa b2 1．【答案】 x ＝ 3＋22 ．11．已知 a 、 b 、 c 正数， d 数，化ab c 2d 2 ＝ ______．【提示】c 2d 2 ＝ | cd | ＝－ cd ．ab c 2d 2【答案】 ab ＋ cd ．【点 】∵ ab ＝ ( ab ) 2 （ ab ＞ 0），∴ ab － c 2d 2＝（ ab cd ）（abcd ）．12．比 大小：－1 _________－ 1 3 ．【提示】 27 ＝ 28 ， 4 3 ＝ 48 ．2 7 4【答案】＜．【点 】先比28 ， 48 的大小，再比1 ，1的大小，最后比 －1 与－1 的大28482848小．13．化 ： (7 － 5 2 ) 2000·( － 7－ 5 2 ) 2 001＝ ______________．【提示】 ( － 7－ 52 ) 2001＝ ( － 7－ 5 2 ) 2000·（ _________） [ －7－ 52 ． ]（ 7－ 5 2 ）·（－ 7－ 52 ）＝？ [1 ． ]【答案】－ 7－ 52 ．【点 】注意在化 程中运用 的运算法 和平方差公式．14．若x 1 ＋ y 3 ＝ 0， ( x － 1) 2＋( y ＋ 3) 2＝ ____________．【答案】 40．【点 】x 1 ≥ 0，y 3 ≥ 0．当 x 1＋y 3 ＝ 0 ， x ＋ 1＝0， y － 3＝ 0．15． x ， y 分8－ 11 的整数部分和小数部分，2xy － y 2＝ ____________．【提示】∵3＜ 11 ＜ 4，∴ _______＜ 8－ 11 ＜ __________ ．[4 ，5] ．由于 8－ 11 介于 4 与 5 之 ， 其整数部分 ＝？小数部分 y ＝？ [ x ＝ 4， y ＝ 4－11 ]【答案】 5．x【点 】求二次根式的整数部分和小数部分 ，先要 无理数 行估算．在明确了二次根式的取 范 后，其整数部分和小数部分就不 确定了．（三） ： （每小 3 分，共 15 分）16．已 知 x 3 3x 2＝－ x x 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（ A ） x ≤ 0 （ B ） x ≤－ 3 （C ） x ≥－ 3 （ D ）－ 3≤ x ≤0 【答案】 D ． 【点 】本 考 的算 平方根性 成立的条件，（ A ）、（ C ）不正确是因 只考 了其中一个算 平方根的意 ．17．若 x ＜y ＜ 0，x 2 2 xy y 2 ＋ x 2 2xy y 2＝⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（ A ） 2（ B ） 2 y （ C ）－ 2 x （ D ）－ 2xy【提示】∵x ＜ y ＜0，∴ x － y ＜ 0，x ＋ y ＜ 0．∴x 22xy y 2 ＝ ( x y) 2＝| x － y | ＝y － x ．x 2 2xy y 2 ＝ (x y)2＝ | x ＋ y | ＝－ x －y ．【答案】 C ．【点 】本 考 二次根式的性a2＝ | a| ．18．若 0＜x ＜ 1，(x 1 ) 2 4 － ( x 1 ) 2 4 等于⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）x x（ A ）2（ B ）－2（ C ）－ 2x（ D ） 2xxx【提示】 ( x －1 ) 2＋ 4＝( x ＋1) 2， ( x ＋1) 2－ 4＝ ( x －1) 2．又∵0＜ x ＜1，xxxx∴x ＋ 1＞ 0， x － 1＜ 0．【答案】 D ．xx0＜ x ＜ 1 ， x － 1＜【点 】 本 考 完全平方公式和二次根 式的性 ．（ A ）不正确是因 用性 没有注意当0．x19．化a 3 ( a ＜ 0 ) 得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）a（ A ）a（B ）－a（ C ）－a（ D ） a【提示】 a 3 ＝a a 2 ＝a · a 2 ＝ | a |a ＝－ aa ．【答案】 C ． 20．当 ＜0，＜ 0 ，－ a＋2ab － b 可 形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）ab（ A ） ( ab )2（ B ）－ ( a b )2 （ C ） (ab) 2 （ D ） (ab) 2【提示】∵a ＜ 0，b ＜ 0，∴ － a ＞ 0，－ b ＞ 0．并且－ a ＝ ( a ) 2 ，－ b ＝ (b) 2 ， ab ＝ ( a)( b) ．【答案】C( a ) 2 ＝ a （a 0A Ba．【点 】本 考 逆向运用公式 ≥ ）和完全平方公式．注意（）、（ ）不正确是因＜ 0， b ＜ 0 ， a 、 b 都没有意 ．【答案】 C ．（四）在 数范 内因式分解：（每小3 分，共 6 分）21． 9x 2－ 5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝ ( 5 y) 2．【答案】（ 3x ＋5 y ）（ 3x － 5 y ）．22． 4x 4－ 4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】 ( 2 x ＋ 1) 2( 2 x － 1) 2．（五） 算 ： （每小 6 分，共 24 分） 23．（ 53 2 ）（ 53 2 ）；【提示】将53 看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝ (53 ) 2－ ( 2)2 ＝ 5－ 2 15 ＋ 3－ 2＝ 6－ 2 15 ．24．5－4－ 2；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．4 1111 7 37【解】原式＝5(411) － 4( 117) － 2(37 )＝ 4＋ 11 － 11 － 7 － 3＋7 ＝ 1．16 1111 79 7 25．（ a 2n － ab mn ＋n m）÷ a 2b 2 n ；m mm nm【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（ a 2n － ab mn ＋nm）·1mmmm na 2b2 n ＝1n m － 1mnm＋n m m b 2 m n mab nma 2 b 2n n1 1 1 a2 ab 1＝2－ab ＋ 2 2 ＝2 b 2．ba ba26．（ a ＋bab）÷（a ＋ b－ a b）（ a ≠ b ）．abab b ab aab【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝aab babx y a a ( ab) b b( ab) (a b)(a b)÷aby2ab( ab )( ab )x2222a＝aa ＝ab÷ a aab b ab b a b ab( a b )( ab)bb ·ab( a b )( ab)ab ．ab (a b)＝－b【 点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（六）求值：（每小题 7 分，共 14 分）27．已知 x ＝32 ， y ＝3 2，求x 3 xy 23 的值．43y 22y3 23 2 x y 2xx【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵x ＝ 32＝ ( 32)2 ＝ 5＋26 ，3 2y ＝ 32＝ ( 32) 2 ＝ 5－ 2 6 ．3 2∴ x ＋ y ＝ 10，x － y ＝ 4 6 ， xy ＝ 52－ (2x3xy2＝ x(x y)( x y) x 4 y 2x 3 y 2x 2 y(x y)2 x 2 y 36 ) 2＝ 1． ＝ x y ＝ 46 ＝ 26 ．xy (x y) 1 10 5 【点评】本题将 x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“ x ＋ y ”、“ x － y ”、“ xy ”．从而使求值的过程更简捷．28．当 x ＝1－2 时，求x＋2xx 2 a 21 的值． a 2x x 2a 2 x 2 x x 2＋x 2x 2a 2a 2【提示】注意： x 2 ＋ a 2 ＝( x2a 2) 2，∴ x 2＋ a 2－ x x 2 a 2 ＝ x 2 a 2 （ x 2 a 2 － x ），x 2－ x x 2 a 2 ＝－ x （ x 2 a 2 － x ）． 【解】原式＝x －2x x 2 a 2 1x 2 a 2 ( x 2a 2x( x 2 a 2＋x 2 a 2x)x)x 2x 2 a 2 (2x x 2 a 2 ) x( x 2a 2x)＝x x 2a 2 ( x 2 a 2x)＝ x 22x x 2a 2 ( x 2 a 2 )2x x 2 a 2 x 2 = ( x 2a 2 ) 2 x x 2 a 2 ＝ x 2 a 2 ( x 2 a 2 x)x x 2a 2 ( x 2 a 2x)x x 2a 2 ( x 2 a 2x)x x 2 a 2 ( x 2a 2x)＝ 1．当 x ＝ 1－2 ，原式＝ 1 ＝－ 1－ 2 ．【点 】本 如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，x1 2 1那么化 会更 便．即原式＝x－ 2 x 2 2＋x 2 a 2 ( x 2a 2x a x 2 a 2x) x( x 2 a 2 x )＝ (1 1) － (x 21 x 1) ＋1＝ 1．x 2 a 2 x x 2 a 2 a 2xx 2 a 2 x七、解答 ：（每小8 分，共 16 分 ）29． 算（ 25 ＋ 1）（1＋1＋ 1 ＋⋯＋1）．1234 9923100【提示】先将每个部分分母有理化后，再 算．【解】原式＝（ 25 ＋ 1）（ 2 1 ＋ 32 2 ＋ 43 3＋⋯＋ 100 99 ）2 13 4100 99＝（ 2 5 ＋ 1）[ （ 2 1）＋（ 3 2 ）＋（ 4 3 ）＋⋯＋（ 10099 ） ]＝（ 25 ＋ 1）（ 100 1 ）＝ 9（ 2 5 ＋ 1）．【点 】本 第二个括号内有 99 个不同分母，不可能通分． 里采用的是先分母有理化，将分母化 整数，从而使每一 化成两数之差，然后逐 相消． 种方法也叫做裂 相消法． 30．若 x ，y 数，且 y ＝ 14x ＋ 4x 1 ＋ 1．求x 2 y － x 2y的 ．2yx y x14x 0x 14 ]y 有意 ，必 足什么条件？【提示】要使[] 你能求出 x ， y 的 ？ [4x 1 0.y1 .21 4xx1x ＝ 1 ．当 x ＝ 1， y ＝ 1．4 ∴【解】要使 y 有意 ，必 [，即4 x 1 0x 1 . 4424又∵x 2 y－＝( x y ) 2 － ( x y 2y x y x yx )＝ | xy| － |x y| ∵ x ＝ 1 ， y ＝ 1，∴x ＜ y ．yxyx42y x∴ 原式＝x y － y x ＝ 2 x 当 x ＝ 1，y ＝ 1，yxxyy421原式＝ 2 4 ＝2 ．【点 】解本 的关 是利用二次根式的意 求出x 的 ， 而求出 y 的12。
中考数学总复习《二次根式》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次根式》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 已知二次根式x＋1，请回答下列问题：(1)要使该二次根式有意义，则x的取值范围为__________；(2)若该二次根式能与5进行合并，则x的值可为________；(3)该二次根式为最简二次根式，则x可取的最小整数为__________．2.计算：(1)（－3）2＝________；(2)(－0.2)2＝________；(3)34＝________；(4)18－8＝________；(5)32÷2＝________；(6)3×(2＋8)＝________．3. 北师八上P34习题改编请按要求估计下列各数的值：(1)11在相邻的整数________和________之间；(2)17－3的值在相邻的整数________和________之间；(3)与15最接近的整数为________．知识逐点过考点1 二次根式的相关概念及性质相关概念1. 二次根式定义：形如 a (a≥0)的式子；2. 有意义的条件：被开方数①________；3. 最简二次根式必须同时满足的两个条件：(1)被开方数中不含分母(即分母中不含根号)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；4. 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式性质1. 双重非负性： a ≥0且a≥0；2. ( a )2＝a(a②________)；3. a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧③（a≥0）④（a＜0）；4. ab ＝⑤________(a≥0，b≥0)；5.ab＝⑥________(a≥0，b＞0)考点2 二次根式的运算加减法先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并乘法 a ·b ＝⑦______(a≥0，b≥0)除法ab＝ab(a≥0，b＞0)考点3 无理数的估值估值确定无理数的值在哪两个相邻整数之间：1. 先对无理数平方，如(7)2＝7；2. 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；3. 对以上两个整数开方，如4＝2，9＝3；4. 确定这个无理数的值在开方后所得的两个整数之间，即2＜7＜3确定无理数的整数部分和小数部分要确定a±b 的整数部分和小数部分，先对a±b 进行估值，如1＋7的整数部分是3，则它的小数部分是1＋7－3，即7－2【温馨提示】牢记常见的无理数的近似值：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，π≈3.142，5－12≈0.618真题演练命题点1 二次根式的相关概念及性质1. 若式子2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≠－22. 化简42的结果是()A. －4B. 4C. ±4D. 2命题点2 二次根式的运算3. 计算：3×12＝________．命题点3 无理数的估值4. 设6－10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋10)b的值是()A. 6B. 210C. 12D. 910基础过关1. 下列二次根式是最简二次根式的是()A. 8B. 13 C. 18 D. 72. 若a－4有意义，则a的值可以是()A. －1B. 0C. 2D. 63. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a ·b ＝ab .该运算法则成立的条件是()A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a≤0，b≤0D. a≥0，b≥04.如图，数轴上表示实数7的点可能是()第4题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S5. 下列计算正确的是()A. (2)0＝2B. 23＋33＝56C. 8＝42D. 3(23－2)＝6－236. 墨迹覆盖了等式“9－■＝1”中的一部分，则覆盖的部分可以是()A. 80B. 8C. 38 D. 237. 若a＝2，b＝7，则14a2b2＝()A. 2B. 4C. 7D. 28. 最简二次根式m－1与33可以合并，则m＝__________．9. 计算：2－8＝__________．10.计算：20×5＝__________．11. 已知x，y为正整数，且x<6<y，则y x的值可以是__________．12. 请写出一个正整数m的值使得8m 是整数：m＝__________．13. 计算：27÷32×22－62.综合提升14. 已知k＝2(5＋3)(5－3)，则与k最接近的整数为()A. 2B. 3C. 4D. 5二次根式（参考答案）1. (1)x ≥－1； 【解析】根据二次根式的非负性可得x ＋1≥0，解得x ≥－1.(2)4(答案不唯一)； 【解析】∵x ＋1 能与5 进行合并，∴x ＋1的值可以为5，解得x ＝4(答案不唯一).(3)1.2. (1)3；(2)0.2；(3)32；(4)2 ；(5)4；(6)36 . 3. (1)3，4；(2)1，2；(3)4； 【解析】∵9＜15＜16，∴9 ＜15 ＜16 ，3＜15 ＜4，∵3.52＝12.25，即9＜12.5＜16，∴与15 最接近的整数为4. 知识逐点过①大于或等于0 ②≥0 ③a ④－a ⑤ a ·b ⑥a b⑦ab 真题演练 1. B 【解析】∵2x －4 在实数范围内有意义，∴2x －4≥0，解得x ≥2. 2. B 【解析】∵a 2 ＝|a |，∴42 ＝4. 3. 6 【解析】原式＝3×12 ＝36＝6.4. A 【解析】∵9＜10＜16，∴3＜10 ＜4，∴－4＜－10 ＜－3，∴2＜6－10 ＜3，∴6－10 的整数部分是2，小数部分是6－10 －2＝4－10 ，即a ＝2，b ＝4－10 ，∴(2a ＋10 )b ＝(2×2＋10 )×(4－10 )＝6.基础过关1. D2. D 【解析】 ∵二次根式a －4 有意义，∴a －4≥0，解得a ≥4，∴a 的值可以是6.3. D 【解析】 根据二次根式有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0b ≥0ab ≥0，∴a ≥0，b ≥0. 4. B 【解析】∵4 <7 <9 ，∴7 位于2和3之间，∴数轴上表示实数7 的点可能是点Q.5. D【解析】A.(2)0＝1，故该选项不正确，不符合题意；B.23＋33＝53，故该选项不正确，不符合题意；C.8＝22，故该选项不正确，不符合题意；D.3(23－2)＝6－23，故该选项正确，符合题意．6. C【解析】9－38＝3－2＝1.7. A【解析】∵a＝2，b＝7，∴14a2b2＝14×（2）2（7）2＝14×27＝4＝2.8. 4【解析】∵最简二次根式m－1与33可以合并，∴m－1＝3，∴m＝4.9. －2【解析】2－8＝2－22＝－2.10. 10【解析】原式＝100＝10.11. 3(答案不唯一)【解析】∵4<6<9，∴2<6<3.∵x，y为正整数，∴x＝1或2，y≥3，∴y x的值不唯一，只要符合要求即可，可以是3，4，9，16等．12. 2(答案不唯一)【解析】当m＝2时，则8m ＝16＝4，符合题意，∴m的值可以为2(答案不唯一).13. 解：原式＝33×23×22－62＝122－62＝62.14. B【解析】k＝2(5＋3)(5－3)＝22＝8，∵4<8<9，9－8<8－4，∴与8最接近的整数为3.。
二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2．3．计算化简：（1）++（2）2﹣6+3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）•（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2•．12．计算：①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．22．观察下列等式：①==；②==；③==………回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想= ；（2）计算：（++…+）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果；（2）计算（）（）= ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9+7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9+7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．计算：（1）+= 2+5= 7；（2）（+）+（﹣ = 4+2+2﹣= 6+．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2 =1+2﹣﹣4+9=12﹣5；（2）﹣4﹣（﹣）= 2﹣4×﹣+2= +（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2 =﹣x2+6x﹣9﹣（x2﹣4x+4）=﹣2x2+10x﹣133．计算化简：（1）++= 2+3+2= 5+2；（2）2﹣6+3= 2×2﹣6×+3×4= 144．计算（1）+﹣= 2+4﹣2= 6﹣2．（2）÷×= 2÷3×3= 2．5．计算：（1）×+3×2= 7+30= 37（2）2﹣6+3= 4﹣2+12= 146．计算：（1）（）2﹣20+|﹣| = 3﹣1+=（2）（﹣）×=（3﹣）×= 24（3）2﹣3+= 4﹣12+5=﹣8+5（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）=（2+）2（2﹣）2+（2+）（2﹣） = 1+1 = 27．计算（1）•（a≥0）= = 6a（2）÷= =（3）+﹣﹣= 2+3﹣2﹣4= 2﹣3（4）（3+）（﹣）= 3﹣3+2﹣5=﹣2﹣8．计算：（1）+﹣=+3﹣2=2；（2）3+（﹣）+÷=+﹣2+=．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+）+（1+）2 =1﹣5+1+2+5 =2+2．10．计算：（1）﹣4+=3﹣2+=2；（2）+2﹣（﹣）=2+2﹣3+=3﹣；（3）（2+）（2﹣）=12﹣6 =6；（4）+﹣（﹣1）0 =+1+3﹣1 =4．11．计算：（1）（3+﹣4）÷=（9+﹣2）÷4 =8÷4=2；（2）+9﹣2x2•=4+3﹣2x2×=7﹣2=5．12．计算：①4+﹣+4=4+3﹣2+4=7+2；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2 =49﹣48﹣（45+1﹣6） =﹣45+6．13．计算题（1）××===2×3×5 =30；（2）﹣+2=×4﹣2+2×=2﹣2+=；（3）（﹣1﹣）（﹣+1）=﹣（1+）（1﹣）=﹣（1﹣5） =4；（4）÷（﹣）=2÷（﹣）=2÷=12；（5）÷﹣×+=4÷﹣+2=4+；（6）===．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．解：a==2+，b=2﹣，则a+b=4，ab=1，a2+3ab+b2=（a+b）2+ab =17．15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣a，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式=﹣a+=（﹣a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．17．计算：（1）9+5﹣3= 9+10﹣12= 7；（2）2= 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[（+）（﹣）]2015•（+）=（5﹣6）2015•（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【解】解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|．解：∵1＜x＜5，∴原式=|x﹣1|﹣|x﹣5| =（x﹣1）﹣（5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；）（2）原式=+++…+=（﹣1）．23．观察下面的变形规律：=，=，=，=，…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想= ﹣；（2）计算：（++…+）×（）解：原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：==﹣1==﹣；==﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）= 1 ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．=（﹣1+﹣+…+﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1 =2016．25．计算：（1）6﹣2﹣3= 6﹣5= 6﹣；（2）4+﹣+4= 4+3﹣2+4= 7+2．26．计算（1）|﹣2|﹣+2= 2﹣﹣2+2= ；（2）﹣×+= ﹣×5+= ﹣1+=﹣．27．计算．=（10﹣6+4）÷=（10﹣6+4）÷=（40﹣18+8）÷=30÷=15．28．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（2﹣1）（2+1）﹣（1﹣2）2 = 12﹣1﹣1+4﹣12 = 4﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3= ﹣+=6﹣6+=6﹣5；（2）﹣×= +1﹣= 2+1﹣2．30．计算（1）9+7﹣5+2= 9+14﹣20+= ；（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2=3﹣1﹣（1+12﹣4）=2﹣13+4=﹣11+4．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
二次根式经典提高练习习题(含答案)[2]
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《二次根式》(一)判断题：1．ab 2)2(-＝－2ab ．……………( ) 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…( ) 4．ab 、31b a 3、b a x 2-是同类二次根式（ ）5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式．（ ）(二）填空题：6．当x __________时，式子31-x 有意义．7．化简－81527102÷31225a ＝ ．8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1)＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数,化简2222d c ab d c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：（7－52)2000·(－7－52）2001＝______________．14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋（y ＋3）2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．(三）选择题：16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………（ ）(A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D)－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B)2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ）(A ）x 2（B ）－x 2（C ）－2x （D)2x19．化简a a 3-(a ＜0)得（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a 20．当a ＜0，b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（） (A)2)(b a + （B)－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）比较大小21（五）求值:22的整数部分为x ，小数部分为y ,试求2212x xy y ++的值．23。
二次根式练习题50道(含答案)
二次根式 50 题（含解析）1.计算：2．先分解因式，再求值：b2－2b+1－a2，其中a=－3，b=+4．3．已知，求代数式（x+1）2－4（x+1）+4的值．4．先化简，再求值：．5．（1）计算：；（2）化简，求值：，其中x=－1．6．先化简、再求值：+，其中x=，y=．7．计算：（1）（－2）2+3×（－2）－（）－2；（2）已知x=－1，求x2+3x－1的值．8．先化简，再求值：，其中．9．已知a=2+，b=2－，试求的值．10．先化简，再求值：，其中a=+1，b=．11．先化简，再求值：，其中，．12．先化简，再求值：，其中a=－1．13．先化简，再求值：（x+1）2－2x+1，其中x=．14．化简，将代入求值．15．已知：x=+1，y=－1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2－y2．16．先化简，再求值：，其中．17．先化简，再求值：，其中．18．求代数式的值：，其中x=2+．19．已知a为实数，求代数式的值．20．已知：a=－1，求的值．21．已知x=1+，求代数式的值．22．先化简,再求值：，其中x=1+，y=1－．23．有这样一道题：计算－x2（x＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1 005”错抄成“x=1 050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．24．已知：x=，y=－1，求x2+2y2－xy的值．25．已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．27．（1）计算28.（2）解不等式组．29．已知a=+2，b=－2，则的值为（）30．已知a=2，则代数式的值等于（）31．已知x=，则代数式的值为（）32．已知x=，则•（1+）的值是（）33．若，则的值为（）34．已知，则的值为（）35．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=．36．若最简根式与是同类二次根式，则ab=．37．计算：①= ；②=．38．化简－= ．39．化简－的结果是．40．计算：= ．41．计算：+=．42．化简：= ．43．化简：－+=．44．计算：= ．45．先化简－（－），再求得它的近似值为（精确到0.01，≈1.414，≈1.732）．46．化简：的结果为．47．计算：= ．48．化简：= ．49．化简：+（5－）=．50．计算：= ．解析：1．解：原式=2+（2+）－（7+4）=－－5．2．当a=－3，b=+4时，原式=×（+6）=3+6．3．解：原式=（x+1－2）2=（x－1）2，当时，原式==3．4．解：原式=－===．当时，=．5．解：（1）原式=4－－4+2=；（2）原式===x+1，当x=－1时，原式=．6．解：原式=－===x－y，当x=，y=时，（2）方法一：当x=－1时，x2+3x－1=（－1）2+3（－1）－1=2－2+1+3－3－1=－1；方法二：因为x=－1，所以x+1=，所以（x+1）2=（）2即x2+2x+1=2，所以x2+2x=1所以x2+3x－1=x2+2x+x－1=1+x－1=－1．8．解：原式====－x－4，当时，原式===．9．解：∵a=2+，b=2－，∴a+b=4，a－b=2，ab=1．而=，∴===8．10．原式==，∵∴．11．解：===，把，代入上式，得原式=．12．解：====；当a=－1时，原式====－（－1）=1．13．解：原式=x2+2x+1－2x+1=x2+2；当．14．解：原式=•=x－3；当x=3－，原式=3－－3=．15．解：（1）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）2=（+1+－1）2=12；（2）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）（x－y）=（+1+－1）（+1－+1）=4．16．解：===x－2；当时，原式=．17．解：原式=a2－3－a2+6a=6a－3，当a=时，原式=6+3－3=6．18．解：原式=+=+=；当x=2+时，原式==．19．解：∵－a2≥0∴a2≤0而a2≥0∴a=0∴原式=．20．解：原式=，当a=－1时，原式=．21．解：原式=－==，当x=1+时，原式=．22．解：原式===；当x=1+，y=1－时，原式=．23．解：原式==+－x2=－x2=－2．∵化简结果与x的值无关，∴该同学虽然抄错了x的值，计算结果却是正确的．24．解：当时，x2+2y2－xy==．25．解：根据二次根式的意义，得，解得x+y=8，∴+=0，根据非负数的意义，得解得x=3，y=5，a=4，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．26．解：（1）S=，=；P=（5+7+8）=10，又S=；（2）=（－）=，=（c+a－b）（c－a+b）（a+b+c）（a+b－c），=（2p－2a）（2p－2b）•2p•（2p－2c），=p（p－a）（p－b）（p－c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）27．解：27.（1）原式=3－－+1=3－－+1=+1；28.（2）由①得x+1＞3－x，即x＞1；由②得4x+16＜3x+18，即x＜2；不等式组的解集为1＜x＜2．29．解：原式=====5．30．解：当a=2时，=2－=2－=2－3－2=－3．31．解：=．32．当x=时，=－1，∴原式=1－（）=2－．33．解：原式==•－•=a－b，34．解：∵a==，b==，∴==5．35．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a－8=17－2a，解得：a=5．36．解：∵最简根式与是同类二次根式，∴，解得：，∴ab=1．37．解：①×===4；②－=2－=．38．解：原式=2－3=－．39．解：原式=2－=．故答案为：．40．解：原式=3－4+=0．41．解：原式=2+=3．42．解：原式=4－=3．43．（2010•聊城）化简：－+=．44．解：原式=2－=．45．解：原式=－（－）=－（－）=－+=3≈3×1.732≈5.196≈5.2046．解：原式=－20=－14．47．解：原式=2－3=－．48．解：=5．49．解：原式=+5－=5．50．解：原式=2－+=2．。
二次根式提高练习题(含答案)
一.计算题：1． (235+-）（235--）；2. 1145-－7114-－732+；3.（a2mn－mab mn ＋mn nm ）÷a 2b2mn ；4.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋aab b-－ab b a +）（a ≠b ）．二.求值：1.已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xyx ++-的值．2.当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．三.解答题：1．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．2.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a2mn－m ab mn＋mnnm）·221b a nm＝21bnm m n ⋅－mab 1nmmn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝ba ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 求值： 1．、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 2、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22ax +＝22ax +（22ax +－x ），x 2－x22ax +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+- ＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222ax x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．解答题： 1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．2、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21． 又∵xyy x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x+－2)(xy y x - ＝|xy y x+|－|x yyx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy ．∴ 原式＝xy y x +－yx xy +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
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二次根式训练提高（20141218）
一．选择题（共14小题）
2．（2003•常州）式子、、、中，有意义的式子个数为（）
3．（1997•西宁）下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）
4．若实数a满足方程，则[a]=（），其中[a]表示不超过a的最大整数．
5．（2014•丰润区二模）已知a为实数，则代数式的最小值为（）
D
6．（2002•深圳）化简二次根式，结果是（）
a
a a a
D
2+．
9．（2003•黄冈）下列各式经过化简后与不是同类二次根式的是（）
．C D．
22
11．观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，
（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，
（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（+++…+）（+1）的值为（）
32
．C D．
a2C
a2
D）
二．填空题（共6小题）
15．（2012•田阳县一模）若[x]表示不超过x的最大整数（如[]=3，[﹣π]=﹣4等），根据定义计算下面算式：[]+[]+…+[]=_________．
16．（2011•成都）设，，，…，．
设，则S=_________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
17．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=_________．
18．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=_________．
19．（2003•常德）化简：+2x﹣x2=_________．
20．（2002•黄冈）若，则代数式的值等于_________．
三．解答题（共1小题）
21．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．
二次根式训练提高（20141218）
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
中能开方的因数开方，然后再判断
解：∵=3，若是整数，则
2．（2003•常州）式子、、、中，有意义的式子个数为（）
=
的被开方数大于等于
3．（1997•西宁）下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）
二次根式有、、
4．若实数a满足方程，则[a]=（），其中[a]表示不超过a的最大整数．
﹣﹣
（负值舍去）
5．（2014•丰润区二模）已知a为实数，则代数式的最小值为（）
D =
的值最小，为
6．（2002•深圳）化简二次根式，结果是（）
a
a a a
解：∵
a
D
+3=3
2+．
2
）=6+4为无理数，故不能；
﹣=4
2×=6
9．（2003•黄冈）下列各式经过化简后与不是同类二次根式的是（）
．C D．
=2，然后把四个式子都化简，比较计算结果，看含有不含有即可．
，∴=3x，
；
=
、化简为
中都含有
22
﹣，
11．观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，
（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，
（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（+++…+）（+1）的值为（）
从题中可以得到（++（
（+++1
将原式化为的形式，再将数值代入，逐步进行验算．
=
时，=
时，==4=
时，==6
时，==6
时，==6
时，==6
时，==6
时，==6=2
时，==6
时，=2﹣
=﹣=62
时，=2﹣
时，=2﹣
时，=2﹣
时，=2﹣
时，=2﹣
时，=2﹣
时，=2﹣
32
．C D．当[﹣（
a2C
a2
D）
，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为，即正八边形的边长为x x+2x=a
x x 依题意得=
××2
二．填空题（共6小题）
15．（2012•田阳县一模）若[x]表示不超过x的最大整数（如[]=3，[﹣π]=﹣4等），根据定义计算下面算式：[]+[]+…+[]=2011．
=1+
[
=1+
[]
16．（2011•成都）设，，，…，．
设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
+=
，得出一般规律．
+==
∴==1+=1+﹣
+1+﹣++1+﹣
=
故答案为：
17．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=74．
8+
18．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=﹣2．
==﹣﹣
19．（2003•常德）化简：+2x﹣x2=﹣2x．
+2x2
+x5x
．
20．（2002•黄冈）若，则代数式的值等于．
=
．
三．解答题（共1小题）
21．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．
）由题意可得；
）可得：
时，时，时，。