最不利原则
抽屉原理与最不利原则学生版
抽屉原理与最不利原则学生版一、抽屉原理：抽屉原理也称为鸽巢原理，是一种用来证明或解决一些问题的方法。
它的基本思想是：如果n+1个物体分到n个盒子中，那么至少有一个盒子中会有两个或更多的物体。
在学生生活中，我们可以用抽屉原理来解决一些有关分类和分组的问题。
比如说，假设我们有7个苹果，要把它们放进5个相同大小的篮子中。
根据抽屉原理，至少有一个篮子中会有两个或更多的苹果。
因为如果每个篮子中最多只能放一个苹果，那么最多只能放进5个苹果，无法满足7个苹果的要求。
除了物体的数目和盒子的数量，抽屉原理还可以用来解决其他类型的问题。
比如说，如果我们有8个球，每个球只能涂成红色或蓝色，并且要求有至少3个球的颜色相同。
根据抽屉原理，我们可以将这8个球分成两组，至少有一组有3个球的颜色相同。
总之，抽屉原理告诉我们，在一些情况下，我们可以利用物体和盒子的数量来判断是否存在其中一种情况或解决一些问题。
二、最不利原则：最不利原则也称为最坏情况原则，是一种在决策或解决问题时常常采用的方法。
它的基本思想是：在做出决策或解决问题时，我们应该假设最坏的情况会发生，然后选择对这种情况最有利的方法或策略。
在学生生活中，最不利原则可以帮助我们制定合理的学习计划。
比如说，假设我们要在一周内准备3门考试，每门考试的内容都很多。
根据最不利原则，我们应该预估最坏的情况是每门考试内容都很难，然后制定学习计划，确保在考试前充分复习每门课程。
除了学习计划，最不利原则还可以应用在其他方面的决策中。
比如说，我们要出去玩，但是天气预报说可能会下雨。
根据最不利原则，我们应该假设最坏的情况是会下雨，然后带上雨伞或选择室内活动，以免被雨水淋湿。
总之，最不利原则教会我们在面对各种决策或问题时，要充分考虑最坏的情况，并选择最有利的方法来解决问题或应对情况。
三年级下第4讲 最不利原则
三春第4讲最不利原则一、学习目标1.理解最不利原则，学会从“最倒霉”情况思考问题。
2.利用最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
二、知识要点日常生活中，我们经常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则.最不利原则就是从“最糟糕”的情况下考虑问题，如果最不利的情况下都能满足要求，那么其他的情况下也必然能满足要求.三、例题精选【例1】教室的讲桌上放着大小及形状相同的白板笔，有5支黑笔，4支蓝笔，3支红笔．小倩蒙着眼睛从中摸笔，那么她要从中至少取出多少支笔，才能保证取出的笔中有蓝笔？【巩固1】一个口袋中装着大小及形状相同的乒乓球，有6个白球，5个黑球，10个黄球．小红闭着眼睛从中摸球，那么她要从中至少取出多少个球，才能保证取出的球中有黑球？【例2】桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车.问：（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？（2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？【巩固2】一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个．问：（1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？（2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？【例3】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、绿颜色的弹珠各10个．问：依次最少摸出几个弹珠，才能保证至少有3个弹珠颜色相同？【巩固3】有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个．问：一次至少要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？【例4】小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中．鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条．小白每次取2条鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有？【巩固4】笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的有10个，黄的有5个，绿的有3个．若每次取2个精灵球，至少取几次才能保证有4个颜色不同的精灵球？【例5】在布袋中装有18根红色的筷子，16根黑色的筷子，14根黄色的筷子，5根白色的筷子，3根蓝色的筷子：那么（1）至少取出多少根才能保证有3双同色的筷子?（2）至少取出多少根才能保证有3双颜色各不相同筷子?（3）至少取出多少根才能保证有3双筷子?【例6】桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个。
抽屉原理
抽屉原理在抽屉原理中，通常会出现“保证”“至少”等肯定性等词语。
在解决这些问题时，通常会考虑“最不利原则”。
所以首先要学习什么是最不利原则。
最不利原则：即最不利的情况，运气最差的情况。
如果在最不利的情况下都能满足，那么在其他情况下一定能满足。
一、“最不利原则”的运用构造最不利的情况，完成答题；题干都有“保证、、”，保证后面的内容就是最不利的对象。
例题1：有红球12个、白球10个、黑球15个混合放在布袋里，至少要摸出多少个小球才能保证有1个白球？分析：最不利的原则，要保证摸到至少1个白球，最不利的是：摸到白球前，摸到的全部是其它颜色的球。
所以至少要摸到：12+15+1=28（个）题中要求摸到白球,那么与白球无关的其它颜色的小球就称作“无关元素”。
变型1：为了保证摸到2个白球，至少要摸出多少个球？分析：最不利原则：先把其他颜色的小球摸光，最后才摸出2个白球。
需要：12+15+2=29（个）变型2：为了保证摸到2个颜色相同的小球，至少要摸出多少个小球？分析：最不利的原则：先摸到3个颜色不相同的小球，再随便摸出一个球。
需要：1×3+1=4（个）变型3：为了保证摸到4个颜色相同的小球，至少要摸出多少个小球？分析：最不利的原则：每种颜色的小球开始都只摸出了3个，然后再从袋子中随便摸出1个小球。
需要的小球数为：3×3+1=10（个）变型4：为了保证摸到2个颜色不同的小球，至少要摸出多少个小球？分析：摸到两个颜色不同的球，这两个球可能是红球和白球，红球和蓝球，白球和蓝球。
但是最不利的原则是：要尽可能的让摸到的小球数多且颜色不同。
所以只有把15个蓝色的球摸完，再摸其它的小球才能保证。
要摸的小球数为：15+1=16（个）例题2：某班20人开展第二课堂活动，他们借来112本书，规定每人借的书不超过6本，至少有几人借足6本？分析：利用最不利原则：要求借6本的人最少，则可以假设除了借6本的其他的人都借了5本。
四年级 第5讲 最不利原则(教师版)
第5讲最不利原则一、学习目标1.理解最不利原则，学会从“最倒霉”情况思考问题。
2.利用最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
二、知识要点日常生活中，我们经常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则.最不利原则就是从“最糟糕”的情况下考虑问题，如果最不利的情况下都能满足要求，那么其他的情况下也必然能满足要求.三、例题精选【例1】桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车.问：（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？（2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？【★★★★★】【解析】（1）最不利的情况：取出了1个水晶球和1个小汽车.在这种情况下，再取1个，必然会有两个颜色相同的礼物．故至少取出3+（个）才2=1能保证；（2）最不利的情况：取出9个都是小汽车．在这种情况下，再加1个，必然会有两个不同的礼物．故至少取出10+（个）才能保证．9=1【巩固1】一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个．问：（1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？（2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？【★★★★★】【解析】（1）最不利的情况：取出了1个黑的1个白的.在这种情况下，再加1个，必然会有两个颜色相同的球.故至少摸出3+（个）才能保证；2=1（2）最不利的情况：取出7个都是白球.在这种情况下，再加1个，必然会有两个颜色不同的球.故至少摸出8+（个）才能保证．7=1【例2】教室的讲桌上放着大小及形状相同的白板笔，有5支黑笔，4支蓝笔，3支红笔．小倩蒙着眼睛从中摸笔，那么她要从中至少取出多少支笔，才能保证取出的笔中有蓝笔？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了5支黑笔，3支红笔.在这种情况下，再加1支，必然会有蓝笔出现.故她要从中至少取出9+（支）笔才能保证．+15=3【巩固2】一个口袋中装着大小及形状相同的乒乓球，有6个白球，5个黑球，10个黄球．小红闭着眼睛从中摸球，那么她要从中至少取出多少个球，才能保证取出的球中有黑球？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了6个白球，10个黄球.在这种情况下，再加1个，必然会有黑球出现.故她要从中至少取出17++（个）球才能保证．6=110【例3】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、绿颜色的弹珠各10个．问：依次最少摸出几个弹珠，才能保证至少有3个弹珠颜色相同？【★★★★★】【解析】最不利的情况：每种颜色的小球各拿出了2个.在这种情况下，再加1个，必然会有3个小球颜色相同．故最少摸出9⨯（个）才能保证．+4=12【巩固3】有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个．问：一次至少要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？【★★★★★】【解析】5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2 个“苹果”，共有：5210⨯=个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出11个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同．【例4】 小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中．鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条．小白每次取2条鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了6条红鱼，8条蓝鱼.在这种情况下，再取1条，必然会有黄鱼出现，即3种颜色都有.故至少要取15186=++（条）才能保证，所以要取)(1(7215条次）=÷，即至少要取817=+（次）．【巩固4】笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的有10个，黄的有5个，绿的有3个．若每次取2个精灵球，至少取几次才能保证有4个颜色不同的精灵球？【★★★★★】【解析】最不利的情况：取出了10个黑色，9个白色，5个黄色.在这种情况下，再取1个，必然会有白色精灵球出现，即4种颜色都有.故至少要取2515910=+++（个）才能保证，所以要取)(1(12225个次）=÷，即至少要取13112=+（次）．【例5】 桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个，那么，至少需要多少个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的？（每种水果足够多）【★★★★★】【解析】在取水果时，一共有10种情况：1个桔子1根香蕉、1个桔子1个梨、1个桔子1个苹果、1根香蕉1个梨、1根香蕉1个苹果、1个梨1个苹果、2个桔子、2根香蕉、2个梨、2个苹果.最不利的情况是有10个人，他们选取的水果各不相同，可是只要再有一个人，就一定会和前面的某个人选取的水果相同，所以要10+1=11人就能保证有两人取出的水果是完全相同的.【巩固5】有蓝、绿、白三种颜色的卡片各若干张，每个人可以从中任意选取两张．那么，需要多少个人才能保证至少两人选的卡片颜色相同？【★★★★★】【解析】在选取卡片时，一共有6种情况：蓝绿、蓝白、绿白、蓝蓝、绿绿、白白.最不利的情况是有6个人，他们选取卡片的颜色各不相同，可是只要再有一个人，就一定会和前面的某个人选取的卡片颜色相同，要选7张．【例6】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能够保证：（1）至少有5张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃。
四年级第15次：最不利原则
四年级春季教案学员姓名：第 15 次上课时间：课题最不利原则1、学习抽屉原理的一种情况“最不利原则”，就是考虑最差的一种情况。
2、复习巩固，租车问题、消去法解题一、专题《最不利原则》1、自主探索桌子上一共有10张相同的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
闭着眼睛，一次性至少拿（）张卡片才能保证，一定有2张卡片上的数字是双数。
2、例题：有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个，混合装在一个暗盒里。
①一次性至少摸出几个，才能保证有2个小球是同色的？②一次性至少摸出几个，才能保证有4个小球是同色的？③一次性至少摸出几个，才能保证有2个小球是不同色的？④一次性至少摸出几个，才能保证有3个小球是不同色的？课堂练习1、有红、黄、蓝、白四种颜色的小球各20个，混合放在一个暗盒中，一次性至少摸出几个小球，才能保证有6个球的颜色是同色的？一次性至少摸出几个小球才能保证有3种颜色的球？2、一副扑克牌共有54张（4种不同的花色和大小王各一张），至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有3种花色？奥赛训练：在盒子中有70个球,其中20个红色球、20个绿色球、20个黄色球，其余的10个是黑色及白色球，不同色的球彼此仅颜色不同，在黑暗中摸球，要使某种颜色的球不少于10个,必须最少摸取多少个球?二、复习巩固1、公园里只售两种门票：个人票每张5元，团体票（10人）每张30元。
某学校四年级有师生208人，购票最少需要多少钱？2、公园里只售两种门票：普通票每张10元，团体票（20人）打七折优惠（相当于每人7元）。
最少多少人时，购买团体票比买普通票便宜？3、商店里有大、小两种书包。
买大书包4个，小书包6个，需要392元；买大书包7个，小书包3个，需要416元。
求两种书包的价格分别多少钱？4、求角的度数。
5、在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，在等腰三角形ADC中，∠ADC=∠DAC，已知∠BAD=21°，求∠B=？∠1=（）度∠2=（）度三、课后练习1、从自然数1--20中，至少取出多少个数字才能保证一定有3的倍数？2、有红、黄、蓝三种同样大小的小球各20个，放在黑暗的盒子里。
最不利原则
最不利原则
最不利原则是指在进行决策或评估时，要考虑可能产生
的最不利结果或最不利情况。
该原则要求我们预先思考可能发生的最坏情况，并采取相应的措施以最小化潜在风险。
最不利原则的应用范围非常广泛。
在个人生活中，我们
可以运用最不利原则来规划未来，确保我们有足够的应对策略应对任何可能发生的不利事件。
在工作中，最不利原则可以帮助我们进行风险评估和管理，以及制定应对危机的计划。
在法律和政策制定中，最不利原则可以用来确保公平和正义，保护弱势群体的权益。
最不利原则的核心思想是要勇敢面对可能的最坏情况，
而不是贪图一时的便利或利益。
通过考虑最不利情况，我们能够更好地做出决策并做好准备，降低潜在风险并保护自己的利益。
不能因为漏掉最不利的情况而导致无法弥补的损失。
因此，最不利原则是一种重要的思维方式，值得我们在各个方面应用和推广。
只有这样，我们才能更好地面对挑战，保护自己和他人的利益，避免潜在的风险和损失。
总之，最不利原则是一种重要的决策原则和思维方式。
它要求我们在进行决策或评估时，要优先考虑可能的最不利结果或最不利情况。
通过这种方式，我们能够增加决策的准确性和安全性，降低潜在风险并保护自身的利益。
因此，我们应该积极应用最不利原则，并将其融入到我们的日常决策和工作中，以促进个人和社会的进步。
（字数：338）。
第7讲 最不利原则
练习4
一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验 多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
选讲题
在一副54张的扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取 出的牌中四种花色都有？
13×3+2+1=42（张）
练习2
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各 20个．问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
例题3
一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有 10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．现在闭着眼睛 从中摸球，请问：至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有 三种颜色？
知识要点：
最不利原则就是从“最不凑巧”“最糟糕”的 极端情况考虑问题．如果最不利的情况都满足 题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要 求．
很多时候，要保证完成一项任务，经常 要考虑所有的最不利情况．
知识要点：
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三 种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个 球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都 相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证 它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相 同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相 同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考 虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么 其它情况必然也能满足题目要求。
知识要点：
“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话 说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相 反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？ 那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝 球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同 色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时 我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是 黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。 所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有 4个小球颜色相同。
(完整版)第十四讲最不利原则
第十四讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。
只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。
因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。
本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。
例1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n 个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
最不利原则知识点
最不利原则知识点一、知识概述《最不利原则知识点》①基本定义：最不利原则呢，简单说就是考虑最倒霉、最糟糕的情况。
打个比方，你想从一堆盒子里找一个特定的东西，最不利的情况就是你把除了这个东西在的盒子之外的所有盒子都翻了个遍。
②重要程度：在数学学科里特别是在一些概率、组合数学相关的板块中挺重要的。
它可以帮忙在一些问题中确定下限，就像兜底似的，知道最不好的情况就能有所准备。
③前置知识：要知道一些基础的计数知识，像数个数之类的，还有基本的逻辑推理就行了。
④应用价值：在生活中也有用。
比如说抽奖，商家想算一下最坏情况得准备多少奖品，就可能用到这个原则。
还有规划东西的存放等很多实际场景。
二、知识体系①知识图谱：它是数学组合学和概率论里的一个重要补充知识。
比一般的计算情况更加深入地考虑问题。
②关联知识：和概率中的一些事件关系密切，还有组合数学里的排列组合在构建最不利情况时可能会用到。
③重难点分析：难点在于准确判断什么是最不利情况，要想得很周到。
重点是清楚这个概念的核心就是想最倒霉的场景。
掌握的关键是多做实例，积累经验。
④考点分析：在考试里如果涉及到类似要找最坏情况的题目就会用到。
考查方式可能会让你计算在最不利情况下的某个数值，或者判断某个行动在最不利情况下什么时候结束。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：最不利原则的准确含义就是要找到一种情况，这种情况对达成目标来说是最不顺利的。
并不是随随便便找个不好的情况，而是那种离成功就差那么一点点的最糟状态。
②特征分析：主要特点就是它是一种极端情况。
性质上是具有唯一性或者说是极限性的，就是说这个糟糕程度在设定问题下不能再糟糕了。
③分类说明：在不同类型的题目里，比如数字抽取型，那最不利就是把所有不符合目标数字的都抽完；物品分配型，就是把最不希望的分配方式都弄完还没达到理想的分配。
④应用范围：适用在各种需要找极限情况的资源分配、搜索目标等问题。
局限性在于题目要是有明确的目标状态，如果目标很模糊那就不太适合用。
四年级奥林匹克数学基础资料库第28讲最不利原则
第28讲最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。
《有趣的小学数学—最不利原则》
最不利原则【知识点】1、当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则分析问题。
最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。
才能达到“保证”目的。
2、要求：从最不利的条件开始分析；考虑所有最坏的可能。
例题1：一个盒子中装有10个黑球、6个白球和4个红球，一次至少取出多少个球才能保证其中有白球？【答案】15个【分析】最不利的情况是每次取出的都是黑球或红球，就是没有白球。
这时取了10个黑球和4个红球。
然后第15个球就必然能取到白球。
所以一次至少取出10+4+1=15（个）球。
例题2：泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖16颗、黄色糖20颗，紫色糖3颗。
如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？【答案】20元【分析】要想保证有5颗颜色相同的糖，根据最不利原则，先把数量不够5的得到。
然后让剩下4种颜色的糖都各得到了4颗，那么再任意得到一颗糖就能达到“保证有5颗颜色相同的糖”，算式：3+4×4＋1=20（元），至少投20元钱。
例题3：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有3种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红色球和黄色球？【答案】（1）19（2）15【分析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多的取出其中某2种颜色的球，且这2种球的数量要最多。
显然红球和黄球最多，全都取出共有10+8=18个球，此时再多取1个球，就可以保证至少有3种颜色，因此取19个球即可。
（2）要使取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，然后红色和黄色的其中一种颜色的球都取出（选最多）。
算式：3+1+10+1=15个球。
例题4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
奥数知识十一——最不利原则
奥数知识十一——最不利原则最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3:一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
组合数学第19讲_最不利原则(教师版)A4
组合数学第19讲_最不利原则一．最不利原则考虑最坏的情况．这一原则不仅体现在抽屉原理中，还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常重要．二．利用最值原理解题1．将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变的非常简单，任意取值，特殊化法；2．在黑袋摸球问题中：要求取同色则尽量取一异色，要求取异色则尽量取一同色．重难点：取袜子、筷子中一双、一只要认清，同色、异色要做到心中有数．题模一：基础例1.1.1袋子里有红色的球3个，黄色的球5个，蓝色的球6个，绿色的球8个，那么一次至少拿__________个球，才能保证一定有绿色的球．【答案】15【解析】保证一定有绿色的球，那么最不利的情况下，先拿完红色、黄色、蓝色的球，再+++=个球．拿1个就是绿色的了．所以至少拿356115例1.1.2一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？【答案】（1）19个（2）15个【解析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某2种，且这2种的数量最多．红球和黄球显然最多，全都取出共有10818+=个球．此时只要再多取1个球，就保证至少有3种颜色了，因此取19个球即可．（2）要保证取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，并且红色和黄色的其中一种颜色的球都取出．因为要尽可能多取出球，就要选择多的那种球．因此在红色和黄色中，应选择将红色球全部取出．因此最不利的情况是取出所有的蓝色，绿色以及红色球，此时共取出311014++=个球．从而至少要取出15个球，才能保证其中必有红色和黄色球．例1.1.3将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）【答案】（1）13只（2）14只【解析】（1）题目不仅要求有两双袜子，并且这两双的颜色要一样，也就是至少有4只同色的袜子．如果每种袜子都足够多，最不利情况就是：每种颜色都只摸出3只．但现在白色和黑色袜子都不足3只，而红色只有3只．因此最不利情况为：白色，黑色和红色全取出，其他两种颜色各3只，一共有1232312+++⨯=只．因此最少要摸出13只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子．（2）题目不仅要求有两双袜子，并且这两双的颜色还必须不同，则最不利的情况就是：尽可能多地拿出袜子，但是能够配成一双的都是同一种颜色．绿色的袜子最多，所以把绿色的9只袜子全部拿出，这样能配成双的袜子全是绿色的．接下来，在剩下的四种颜色中还能各取1只袜子，共取了91413+⨯=只．因此至少要摸出14只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子．例1.1.4一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？【答案】33张【解析】扑克牌中的两张王牌是不算花色的，所以最不利的情况首先要取出这2张，这时还剩下四种花色各13张．此时问题相当于要求“至少有三种花色的牌都不少于3张”．反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张．”最不利的情况就要使取的牌尽量多，应该将其中两种花色尽量多取（取完为止），剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取13222232⨯+⨯+=张牌．因此至少应该取出33张扑克牌才能保证满足条件．例 1.1.5新春佳节，商场举办抽奖活动．抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32，30，28，26，24张．每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2元钱．奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用11张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型．请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？【答案】146元【解析】考虑最不利原则：如果抽不中15张同色的奖券，最坏情况下可以取到14570⨯=张奖券；如果抽到了15张同色的奖券和另一种颜色的10张同色奖券，，但抽不中11张另一种颜色的同色奖券，最坏情况下可以取到3210472+⨯=张奖券；如果抽到了15张同色的奖券和另一种颜色的11张同色奖券，但抽不中第三种颜色的4张同色奖券，最坏情况下可以取到32303371++⨯=张奖券．综合起来，要想保证可以换到三种模型，至少要买+=张奖券才行，因此至少要146元．72173题模二：进阶例1.2.1将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入布袋中，请问：一次至少要摸出多少只袜子，才能保证一定有颜色相同的两双袜子？【答案】13【解析】最不利情况是白、黑、红拿光，黄、绿各拿3只，此时仍不满足要求，但再取1只即可，故至少需()++⨯+=只．1233113例1.2.2从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？【答案】27【解析】对1到50分组：（1，49）、（2，48）、（3，47）、……、（24，26）、（50）．除最后一组外，每组2个数，且和为50．根据最不利原则，至少要选26127+=个数．例1.2.3从1，2，3，···，23这23个自然数中，至少要选出多少个不同的数，才能保证其中有一个数是5的倍数？【答案】20【解析】1至23中有4个是5的倍数，23419-=个不是5的倍数，故至少要选出+=个数才能保证其中有一个数是5的倍数．19120例1.2.4有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字．其中写0的有1个，写1的有2个，写2的有3个，……，写9的有10个．如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678？（考虑“9”倒过来看是“6”）【答案】48个【解析】根据题意，袋中共有1231055++++=个球．从反面分析，“保证有3个球上面的数字恰好组成678”的反面是“任意3个球上的数字都不会刚好是678”．也就是说这3个球不能同时写了“678”或“789”．则这些球的可能情况有以下几种：①没有7；②没有8；③没有6，9．①不取写有数字7的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出55847-=个球．②不取写有数字8的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出55946-=个球．③不取写有数字6和9的球，但写着其它数字的球全部取出，那么此时共取出--=个球．因为问题的最不利情况是取出最多的球，使得取出的3个球不能同5571038时写了“678”或“789”．比较三种情况取出的球数，可知情况①是最不利情况．因此至少要取出47148+=个球，就能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678．随练1.1盘子里有一些饺子，韭菜味的5个，牛肉味的8个，辣椒味的6个．那么至少吃__________个饺子，才能保证一定能吃到2个口味一样的饺子．【答案】4【解析】一定能吃到2个口味一样的饺子，那么最不利的情况下，每种口味的饺子都吃了⨯+=个饺子．1个，再吃1个就可以了．所以至少吃3114随练1.2布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出_______个球．【答案】21【解析】60÷6=10，有10种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了2个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球,所以答案为2×10+1=21．随练1.3黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根，混杂放在一起．在黑暗中取出一些筷子．要使得这些筷子能够搭配成两双（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？【答案】7根【解析】“最少有两双”这句话的反面是“最多只有一双”，所以最不利情况是：取出了一双筷子，另外4种颜色的筷子各1根，最多可以取2146+⨯=根．因此最少要取出7根筷子才能保证达到要求．随练1.4一个口袋中装有10种颜色不同的珠子，每种都是100个，要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种珠子至少10个，那么至少要摸出_________个珠子．【答案】273【解析】考虑最不利的情况，即有两种珠子都摸出了100个，剩下的8种珠都再摸出9个，那么接下来只要再随便摸出一个珠子就可以满足条件，所以至少要摸出2100891273⨯+⨯+=个．随练1.5袋子里有4种硬币：金币、银币、铜币、乐币，每种硬币都有很多，那么一次至少拿__________枚，才能保证其中一定有5枚是同一种类型的硬币．【答案】17【解析】一定有5枚是同一种类型的硬币，那么最不利的情况下，每种硬币都拿了4枚，再拿1枚就可以了．所以至少拿44117⨯+=枚．随练1.6一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．那么至少抽出__________张牌，才能保证取出的牌中至少包含2种花色，并且这2种花色的牌至少都有3张．【答案】22【解析】最不利的情况下，先取走王牌，接下来考虑花色，先取完1个花色，其余的花色每种取2张，那么再任取1张，就能保证取出的牌中至少包含2种花色，并且这2种花色的牌至少都有3张．所以至少取21323122++⨯+=张．随练1.7口袋里有10双黑筷子，8双红筷子，7双白筷子，总共50根筷子．至少从中取出多少根筷子，才能保证每种颜色的筷子都至少有1双？【答案】38【解析】最不利的情况是取完两种颜色的筷子，才取到一双第三种颜色的筷子．所以至少从中取出()1082238+⨯+=根筷子，才能保证每种颜色的筷子都至少有1双．随练1.8如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取________根才能保证达到要求．【答案】16【解析】最不利的情况是每种颜色的筷子最多有3根，共3515⨯=根．所以至少取出16根才能保证达到要求．作业1盘子里有一些饺子，韭菜味的5个，牛肉味的8个，辣椒味的6个．那么至少吃__________个饺子，才能保证一定能吃到3个口味一样的饺子．【答案】7【解析】一定能吃到3个口味一样的饺子，那么最不利的情况下，每种口味的饺子都吃了2个，再吃一个就可以了．所以至少吃2317⨯+=个饺子．作业2在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻．请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？【答案】（1）41个（2）21个【解析】（1）要保证拿出的果冻中有牛奶口味的，最坏的情况应该是：拿完了其它口味的果冻，但是始终没有牛奶味的．此时共拿了202040+=个．在这种最不利的情况下，只要再多拿1个，这个果冻必然是牛奶味的因此最少需要拿41个果冻，才能保证一定有牛奶口味的．（2）拿出的果冻至少有两种口味，反面情况是：所有的果冻口味都相同．那么最坏的情况是：把某一种口味的果冻拿完，还没有出现其他的口味，则最多能拿20个．利用最不利原则，至少要拿出20121+=个果冻，才能保证有两种口味．作业3一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．那么至少抽出__________张牌，才能保证取出的牌中至少包含3种花色，并且这3种花色的牌至少都有2张．【答案】31【解析】最不利的情况下，先取走王牌，接下来考虑花色，先取完2个花色，剩下的花色每种取1张，那么再任取一张就能保证包含3种花色，并且这3种花色的牌至少都有2 +⨯+⨯+=张．张．所以至少抽出213212131作业4一副扑克牌有大小王各一张，还有四种花色，每种花色有13张，分别是1到13，从中任意抽牌：（1）最少要抽______张牌，才能保证有4张牌是同一花色的；（2）至少抽______张牌才能保证有4张牌是同样的大小；（3）至少抽______张牌，才能保证有3张牌的数字是连续的．（改自2013年8月26考试真题）【答案】（1）15（2）42（3）39【解析】（1）最不利情况是抽了大小王，每种花色各抽了3张，此时再抽1张即可，共+⨯+=张．234115（2）最不利情况是抽了大小王，每种大小各抽了3张，此时再抽1张即可，共+⨯+=张．2313142（3）最不利情况是抽了大小王，大小为1、2、4、5、7、8、10、11、13的全被取走，此时再抽1张即可，共249139+⨯+=张．作业5四年级一班选班长，每人投票从甲、乙、丙三位侯选人中选一人，已知全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票，如果得票最多的侯选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选（）．A．1张B．2张C．4张D．8张【答案】C【解析】还有521716118---=票未统计，甲再得4票即可．作业6羊村小学四年级进行一次数学测验，测验共有10道题．如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒都是恰好答对8道题，那么他们四人都答对的题至少有__________道．【答案】2【解析】每人错两题，按照最不利原则，错的题各不同，则四个人共错8题，还有108=2-题是没人错的．作业7在箱子中有3种颜色的袜子各10只，问：（1）至少取多少只才能保证三种颜色都有？（2）至少取多少只才能保证有2双颜色不同的袜子？（3）至少取多少只才能保证有2双颜色相同的袜子？【答案】（1）21（2）13（3）10【解析】（1）最不利情况是有2种全拿光，这时再拿1只即可，故至少取102121⨯+=只．（2）最不利情况是1种拿光，另2种各拿1只，这时再拿1只即可，故至少取()+++=只．1011113（3）最不利情况是每种拿2213⨯+=只．⨯-=只，这时再拿1只即可，故至少取33110。
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例1 一个袋里装有5个白球，6个黑 球，从中最少摸出多少个球，才能保 证 拿到白球？
提示：“保证拿到”就 是一定要拿到！只要口 袋里还有黑球，就不能 保证拿到的是白球。
最不利情况：先摸出6个黄球
6+1=7（个）
答：最少摸出７个球，才能 保证 拿到白球。
小结：解决这类问题特点就 是，如何找到最不利的情况。
只有3个座位至少坐几人可以满足要求呢？
如果只有3个座位： 如果只有6个座位：
如果只有9个座位：
最不利情况： 每三个座位中间坐一人
15÷3=5（个）
答：在小亮之前已就座的最少有5人。
例5 在一副54张的扑克牌中，最少要取出多少 张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
提示： 一副扑克牌有大、小 王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、 “方块”、“梅花”四种花色各13 张，共计有54张牌。
安博学校
数学思维
主讲：张立萍
你会吗？小喵
最不利原则就是从“最不凑 巧”“最糟糕”的极端情况考虑问 题。如果最不利的情况都满足题目 要求，那么其它情况必然也最不凑巧”、“最 糟糕”的极端情况， 这样的情况被我们称 之为“最不利情况”
在很多时候，要保 证完成一项任务，经 常要考虑到所有的最 不利情况。
例2 一个口袋里有白球7个，黑球8个，从中最少 摸出多少个球，才能保证有3个颜色相同的球？
最不利情况：每种球各取出1个
2+2+1=5（个）
答：最少摸出３个球，才能 保证有2个颜色相同 的球。
小结：最不利的情况就是与你的愿 望相反的情况。
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例4一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座， 小亮来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已 就座的人相邻。问：在小亮之前已就座的最少有 几人？ 提示：我们可以从较少的情况来寻找规律，如果
最不利情况： 取出四种花色中的三种花 色的牌各13张，再加上2 张王牌。
13+13+13+2+1=42
（张） 答：最少要取出42张，才能保证取出的牌中
四种花色都有。
例6 某小学四年级的学生身高（按整厘米计算）， 最矮的是138厘米，最高的是160厘米。如果任意 从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少 人，才能保证有5人的身高相同？
提示：从最矮的138厘 米到最高的是160厘米， 一共有多少种身高？要 保证有5人身高相同， 会出现怎样的最不利的 情况呢？
一共有身高：
160-138+1=23（种）
最不利情况： 每种身高4人
23×4+1=93（人）
答；至少要选出93人，才能保证有 5人的身高相同。
谢本 谢节 ！课
结 束 ，