【20套精选试卷合集】龙岩市重点中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
2020年福建省龙岩市高考数学一模试卷(理科)
2020 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 M={x|y= }，N={x|-2＜x＜3}，则 M∩N=（A. {x|-3＜x≤2}B. {x|-3＜x＜2} C. {x|-2＜x≤2}）D. {x|-2＜x＜2}2. 若复数 z 满足 z=（1-2i）•i，则复平面内 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限3. 已知 a=log38，b=21.1，c=0.83.1，则（A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. 第三象限）C. c＜b＜a4. （x+1）（2x- ）5 的展开式中常数项为（ ）D. 第四象限 D. c＜a＜bA. -40B. 40C. -80D. 805. 赵爽弦图（图 1）是取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．图 2 是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成．现随机向图 2 中大正方形的内部投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为 2 和 3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数 f（x）=2sin（2x+φ）满足 f（ -x）=f（ +x），则 f（ ）=（ ）A. -2B. 0C.D. 27. 函数 f（x）=（3x-3-x）log3x2 的图象大致为（ ）A.B.C.D.8. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若△AFB是直角三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 关于函数 f（x）=2sin sin（ + ）-x 有下述四个结论：①函数 f（x）的图象把圆 x2+y2=1 的面积两等分 ②f（x）是周期为 π 的函数 ③函数 f（x）在区间（-∞，+∞）上有 3 个零点 ④函数 f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ）第 1 页，共 13 页A. ①③④B. ②④C. ①④D. ①③10. 已知 O 是坐标原点，F 是双曲线 C： - =1（3a=4b＞0）的左焦点，过 F 作斜率为k（k＞0）的直线 l 与双曲线渐近线相交于点 A，A 在第一象限且|OA|=|OF|，则 k 等 于（ ）A.B.C.D.11. 已知在△ABC 中，AB=4，AC=6，其外接圆的圆心为 O，则 • =（ ）A. 20B.C. 10D.12. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角形，则△MNQ 面积的最小值为（ ）A.B. 3C. 2D. 6二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 曲线 y=（x2-2）lnx 在 x=1 处的切线方程为______．14. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积为，则A=______．15. 记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，2Sn+1=an+1，则=______．16. 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262-190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世 界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他 证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k＞0，且 k≠1）的点的 轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，则 当△ABC 的面积最大时，AC 边上的高为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知等差数列{an}的公差 d≠0，若 a6=11，且 a2，a5，a14 成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．18. 如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，AB=4， BC=CD=2，顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C． （1）求证：BC⊥平面 ACD1； （2）若直线 DD1 与底面 ABCD 所成的角为 ，求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成锐 二面角的余弦值．第 2 页，共 13 页19. 近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求．各 大养猪场正面临巨大挑战．目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发 养殖户积极性的作用正在逐步显现． 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有 1 万头猪，将其中重量（kg）在[1， 139]内的猪分为三个成长阶段如下表． 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期重量（Kg） [1，24） [24，116） [116，139] 根据以往经验，两个养猪场猪的体重 X 均近似服从正态分布 X～N（70，232）． 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重 视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同 的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 ， ．（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 600 元， 若为不合格的猪，则亏损 100 元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的 猪，则可盈利 500 元，若为不合格的猪，则亏损 200 元． （ⅰ）记 Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量 Y 的分 布列； （ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值． （参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ） =0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974）20. 已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）上一点 P（2，m），F 为焦点，△PFO 面积为 1． （1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切线 PA、第 3 页，共 13 页PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围．21. 已知函数 f（x）=xlnx-ax2（a∈R）． （1）讨论函数的极值点个数； （2）若 g（x）=f（x）-x 有两个极值点 x1，x2，试判断 x1+x2 与 x1•x2 的大小关系并 证明．22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ-6cosθ=0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2），倾斜角为 ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 + 的值．23 已知函数 f（x）=|x+1|+|x-2a|． （1）若 a=1，解不等式 f（x）＜4； （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m2-2m+4=f（x），求实数 a 的取值范围．2020 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）【答案】答案和解析第 4 页，共 13 页1. C2. D3. D4. A5. A6. B7. B8. D9. C10. B 11. C 12. B13. x+y-1=014.15. 3 16. 2 17. 解：（1）∵a6=11，∴a1+5d=11，①∵a2，a5，a14 成等比数列，∴，化简得 d=2a1，② 由①②可得，a1=1，d=2． ∴数列的通项公式是 an=2n-1；（2）由（1）得=，∴Sn==．18. 解：（1）证明：如图，连接 D1C，则 D1C⊥平面 ABCD，∵BC⊂平面 ABCD，∴BC⊥D1C， 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，过点 C 作 CG⊥AB 于点 G， ∵AB=4，BC=CD=2，AB∥CD，则 AG=3，BG=1，CG==，∴AG====2 ，因此满足 AC2+BC2=16=AB2，∴BC⊥AC， 又 D1C，AC⊂平面 AD1C，D1C∩AC=C， ∴BC⊥平面 AD1C． （2）解：由（1）知 AC，BC，D1C 两两垂直，∵D1C⊥平面 ABCD，∴，∴D1C=CD=2，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CD1，所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（0，0，0），A（2 ，0，0），B（0，2，0），D1（0，0，2），∴ =（-2 ，2，0）， =（-2 ，0，2），设平面 ABC1D1 的法向量 =（x，y，z），由，取 x=1，得 =（1，），又 =（0，0，2）为平面 ABCD 的一个法向量， 设平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成锐二面角为 θ，第 5 页，共 13 页则 cosθ===．∴平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 ．19. 解：（1）由于猪的体重 X 近似服从正态分布 X～N（70，232），设各阶段猪的数量分别 n1，n2，n3，所以 P（1≤X＜24）=P（70-3×23≤X＜70-2×23）=，所以 n1=10000×0.0215=215（头）； 同理 P（24≤X＜116）=P（70-2×23≤X＜70+2×23）=0.9544， 所以 n2=10000×0.9544=9544（头）P（16≤X＜139）=P（70+2×23≤X＜70+3×23）=所以 n3=10000×0.0215=215（头） 所以，甲养猪场有幼年期猪 215 头，成长期猪 9544 头，成年期猪 215 头．（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 ，随机变量 Y 可能取值为 1100，400，-300，P（Y=1100）= = ，P（Y=400）== ，P（Y=-300）= =所以 Y 的分布列为：Y1100400-300P所以 E（Y）=1100 +（元），由于各养猪场均有 215 头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为 785 元， 则总利润期望为 785•215=168775（元）．20. 解：（1）由已知得，，即 ，解得 p=2，所以抛物线 C 的方程为 x2=4y； （2）由（1）得 P（2，1），设直线 PA 斜率为 k1，则 PA 方程为 y-1=k（1 x-2），即 k1x-y+1-2k1=0，又∵直线 PA 与圆的相切，∴，∴，设直线 PB 斜率为 k2，同理得，∴k1，k2 是方程（4-r2）k2+8k+4-r2=0 的两个根∴△=4r2（8-r2）＞0 （∵），∴，k1k2=1，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由得 x2-4k1x+8k1-4=0，由韦达定理得 x1+2=4k1，第 6 页，共 13 页∴x1=4k1-2，同理 x2=4k2-2，所以 kAB= = = （x1+x2）=k1+k2-1=，又∵，∴，∴kAB∈（-5，-3），∴直线 AB 斜率的取值范围是（-5，-3）．21. 解：（1）f'（x）=lnx+x -2ax=lnx-2ax+1（x＞0），令 f'（x）=0，得 2a= ，记 Q（x）= ，则 Q'（x）= ，令 Q'（x）＞0，得 0＜x＜1；令 Q'（x）＜0，得 x＞1， ∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且 Q（x）max=Q（1）=1， ∴当 2a＞1，即 a＞ 时，f'（x）=0 无解，∴f（x）无极值点，当 2a=1，即 a= 时，f'（x）=0 有一解，2a，即 lnx-2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f（x）无极值点，当 0＜2a＜1，即 0＜a＜ 时，f'（x）=0 有两解，∴f（x）有 2 个极值点，当 2a≤0，即 a≤0 时，f'（x）=0 有一解，∴f（x）有一个极值点，综上所述：当 a 时，f（x）无极值点；0＜a＜ 时，f（x）有 2 个极值点；当 a≤0 时，f（x）有 1 个极点； （2）g（x）=xlnx-ax2-x，g'（x）=lnx-2ax（x＞0），令 g'（x）=0，则 lnx-2ax=0，∴2a= ，记 h（x）= ，则 h'（x）= ， 由 h'（x）＞0 得 0＜x＜e，由 h'（x）＜0，得 x＞e， ∴h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max=h（e）= ， 当 x＞e 时，f（x）＞0， ∴当 0＜2a＜ 即 1＜a＜ 时 g（x）有 2 个极值点 x1，x2，由得，ln（x1x2）=lnx1+lnx2=2a（x1+x2），∴，不妨设 x1＜x2，则 1＜x1＜e＜x2，∴x1+x2＞x2＞e， 又 h（x）在（e，+∞） 上是减函数，∴=2a=，∴ln（x1+x2）＜ln（x1x2）， ∴x1+x2＜x1x2．第 7 页，共 13 页22. 解：（1）曲线 C 的极坐标方程是 ρ-6cosθ=0，转换为直角坐标方程为（x-3）2+y2=9．直线 l 过点 M（0，2），倾斜角为 ．整理得参数方程为（t 为参数）．（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得，整理得，所以： 所以求 + =，t1t2=4， ．23. 解：（1）当 a=1 时，f（x）=|x+1|+|x-2|=．∵f（x）＜4，∴或或，∴或-1≤x≤2 或，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）∵对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m2-2m+4=f（x）， ∴m2-2m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集． ∵f（x）=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞）， 又 m2-2m+4=（m-1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3， ∴-2≤a≤1， ∴实数 a 的取值范围为[-2，1]． 【解析】1. 解：∵M={x|x≤2}，N={x|-2＜x＜3}，∴M∩N={x|-2＜x≤2}． 故选：C． 可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：z=（1-2i）•i=2+i，=2-i 在复平面内所对应的点（2，-1）位于第四象限．故选：D． 利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．3. 解：∵log33＜log38＜log39，∴1＜a＜2，∵21.1＞21=2，∴b＞2， ∵0＜0.83.1＜0.80=1，∴0＜c＜1， ∴c＜a＜b， 故选：D． 利用对数函数和指数函数的性质求解．第 8 页，共 13 页本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用．4. 解：∵（2x- ）5 的的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5-r（- ）r=（-1）r25-r x5-2r．令 5-2r=-1，或 5-2r=0， 解得 r=3，r= （舍去）．∴（x+1）（2x- ）5 的展开式中常数项：（-1）3×22 =-40．故选：A． 利用通项公式即可得出 本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5. 解：由题意可知：小正方形的边长为 3-2=1，面积为 1，大正方形的边长为：2+3=5，面积 25， 设飞镖投中小正方形（阴影）区域为事件 A，由几何概型中的面积型可得 P（A）= ．故选：A． 由图形可知小正方形的边长为 3-2=1，大正方形的边长为：2+3=5，分别求解面积，由 几何概型中的面积型即可求解． 本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属基础题．6. 解：由 f（ -x）=f（ +x）可知函数关于 x= 对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， φ=，k∈Z，故 φ=，f（ ）=2sin（）=0．故选：B．由 f（ -x）=f（ +x）可知函数关于 x= 对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求 φ，然后代入即可求解． 本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．7. 解：根据题意，函数 f（x）=（3x-3-x）log3x2，其定义域为{x|x≠0}，且 f（-x）=（3x-3-x）log3x2=-（3x-3-x）log3x2）=-f（x），即函数 f（x）为奇函数，排除 A、C， 又由 x→0 时，（3x-3-x）→0，则 f（x）→0，排除 D； 故选：B． 根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，且 x→0 时，f（x）→0，由排除法分析可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题．8. 解：在直角三角形 AFB 中，AO⊥BF，由射影定理可得 OA2=OF•OB， 即 b2=ac， 所以 a2-c2=ac，整理可得 e2+e-1=0，解得 e=，因为 e∈（0，1），所以 e=，第 9 页，共 13 页故选：D． 由题意和直角三角形的射影定理可得 a，b，c 之间的关系，进而求出离心率． 考查椭圆的性质及直角三角形的射影定理的应用，属于基础题．9. 解：f（x）=2sin sin（ + ）-x=2sin cos -x=sinx-x，对于①，因为 f（-x）=sin（-x）-（-x）=-sinx+x=-f（x），所以函数 f（x）为奇函数，关 于原点对称，而圆 x2+y2=1 也是关于原点对称，所以①正确； 对于②，因为 f（x+π）=sin（x+π）-（x+π）=-sinx-x-π≠f（x），所以 f（x）的周期不是 π，即②错误； 对于③，因为 f'（x）=cosx-1≤0，所以 f（x）单调递减，所以 f（x）在区间（-∞，+∞） 上至多有 1 个零点， 即③错误； 对于④，f'（x）=cosx-1≤0，所以 f（x）单调递减，即④正确． 故选：C． 先利用诱导公式和二倍角公式将函数化简为 f（x）=sinx-x，因为单位圆既是轴对称图形， 也是中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而即可判断①，利用函数的周期 性可判断②，利用导数判断函数单调递减，从而可以判断③④． 本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，以及利用导数判断函数的单调性，考 查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题．10. 解：由题意可得直线 l 的方程为：y=（k x+c）与渐近线 y= x 联立可得 x=k• ，y= ，因为 OA=OF，属于 x2+y2=c2，即（ ）2+（ ）2=c2，由 3a=4b，即 b= a，所以整理可得 =（ -k）2，k＞0，解得 k= ，故选：B．由题意设直线 l 的方程与渐近线 y= x 联立求出 A 的坐标，再由|OA|=|OF|即 3a=4b 可得 k的值． 考查双曲线的性质，及直线的交点坐标的求法，属于基础题．11. 解：如右图，过 O 作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，可得 D，E 为 AB，AC 的中点，则 • = •（ - ）=-=（ + ）• -（ + ）•=+ •- • -= 2+0- 2-0= ×（36-16） =10．第 10 页，共 13 页故选：C．作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案．本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义，属于中档题．12. 解：如图，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，-1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，，，∴，S==．故选：B．由题意画出图形，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，-1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13. 解：根据题意可得y′=2x lnx+x-，则当x=1时，y=0，y′=-1，所以曲线在x=1处的切线方程为y=-（x-1），整理得x+y-1=0，故答案为：x+y-1=0．根据条件求出x=1时y、y′的值即可表示出切线方程．本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．14. 解：由余弦定理可得a2-b2-c2=-2bc cos A，△ABC的面积为=-，又因为S△ABC==-，所以tan A=-，由A∈（0，π）可得A=．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15. 解：依题意，当n≥2时，由2S n+1=a n+1，可得2S n-1+1=a n，两式相减，可得2a n=a n+1-a n，即a n+1=3a n（n≥2）．∵a2=2S1+1=2a1+1=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．∴a n=3n-1，n∈N*．∴==3．故答案为：3．本题先根据a n=S n-S n-1（n≥2），进一步计算可发现数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．然后根据等比数列的通项公式和求和公式可计算出表达式的结果．本题主要考查等比数列的判别以及等比数列的性质应用．考查了转化思想，公式法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．16. 解：∵△ABC，AC=4，sin C=2sin A即=2．根据阿波罗尼斯圆的性质，∴点B的轨迹为：以AC的中点O为圆心，2为半径的圆上（去掉A，C两点）．∴OB⊥AC时，△ABC的面积最大．此时OB=AC=2．故答案为：2．△ABC，AC=4，sin C=2sin A即=2．fg根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为：以AC的中点O为圆心，2为半径的圆上（去掉A，C两点）．进而得出结论．本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. （1）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求；（2）把数列{a n}的通项公式代入，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和S n．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18. （1）连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，推导出BC⊥D1C，连接AC，过点C作CG⊥AB 于点G，推导出BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面AD1C．（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （1）由于猪的体重X近似服从正态分布X～N（70，232），根据参考数据求出对应的概率，再求出结果；（2）根据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出总利润．考查正态分布及其应用，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题．20. （1）由题意可知：，求出p的值，从而得到抛物线C的方程；（2）设直线PA斜率为k1，则PA方程为y-1=k1（x-2），即k1x-y+1-2k1=0，利用直线PA与圆相切，可得，设直线PB斜率为k2，同理得，所以k1，k2是方程（4-r2）k2+8k+4-r2=0 的两个根，从而得到，k1k2=1，联立直线PA与抛物线方程，由韦达定理得x1=4k1-2，同理x2=4k2-2，代入直线AB的斜率公式得k AB=，再根据r的范围即可求出直线AB斜率的取值范围．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21. （1）先求出f'（x）=ln x+x-2ax=ln x-2ax+1（x＞0），令f'（x）=0，得2a=，记Q（x）=，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y=2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）=Q（1）=1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；max（2）g（x）=x lnx-ax2-x，g'（x）=ln x-2ax（x＞0），令g'（x）=0，则ln x-2ax=0，所以2a=，记h（x）=，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max=h（e）=，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜即1＜a＜时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．22. （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）将a=1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2-2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2-2m+4的取值范围，再求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2019-2020学年福建省龙岩市高考数学监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695C ．311D ．10952．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．344．ABC ∆中，5BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．25B ．22C ．65D ．25．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2336．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．328．复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．3 B ．22 C ．2D ．29．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．10010．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.14711．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年福建省龙岩市高考数学二模试卷(文科)(有答案)
福建省龙岩市高考数学二模试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|0≤x＜3}，集合B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，1} C．[0，1] D．{﹣1，0，1，2}2．若i为虚数单位，则在复平面中，表示复数的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．己知命题p：∀x＞﹣2，x2＞4，命题q：∃x∈R，cosx=e x，则下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∨￢q4．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．65．若sinα+2sin2=2（0＜α＜π），则tanα的值为（）A．1 B．C．D．不存在6．在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则恰有一人获奖的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间是（）A．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z B．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z D．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z8．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+1）x是奇函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为（）A．y=x B．y=x+1 C．y=1 D．y=09．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=13010．在等腰梯形ABCD中， =2，||=1，点M是线段DC上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知点Q（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点P，使得∠OQP=60°，则x的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]12．一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系（例如：E任务必须在A任务完成后才能进行）如表所示：任务 A B C D E F G所需时间/周 2 1 4 3 2 1 2前期任务无要求无要求无要求A，B，C A A，B，C，D，E A，B，C，D，E则完成这场音乐会的筹备工作需要的最短时间为（）A．8周B．9周C．10周D．12周二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线x2﹣=1的焦点到渐近线的距离为______．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为正视图（主视图），侧视图（左视图），俯视图，则此几何体的表面积为______．15．若函数f （x ）=2|x+a |（a ∈R ）满足f （1﹣x ）=f （1+x ），f （x ）在区间[m ，n]上的最大值记为f （x ）max ，最小值记为f （x ）min ，若f （x ）max ﹣f （x ）min =3，则n ﹣m 的取值范围是______．16．在边长为1的正三角形ABC 的边AB ，AC 上分别取D ，E 两点，沿线段DE 折叠三角形ABC ，使顶点A 正好落在BC 边上，则AD 长度的最小值为______．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程 17．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=4，且S n =a n+1﹣2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式：（Ⅱ）若c n =﹣20+log 2a 4n ，求{c n }的前n 项和T n 的最小值．18．某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n （n ∈N *）名学生，再从这2n 名学生中随机选取其中n 名学生参加科目P 的测试．另n 名学生参加科目Q 的测试．每个科目成绩分別为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P 测试中，成绩为2分的学生有8人．（Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数 〔Ⅱ）根据统计图，分别估计：（i ）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii ）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明）19．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BC ⊥BD ，AD ⊥AC ，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO ⊥平面BCD ，垂足O 恰好在BD 上． （Ⅰ）证明：BC ⊥AD ；（Ⅱ）求三棱锥A ﹣BCD 的体积．20．已知点P 到两个顶点M （﹣1，0），N （1，0）距离的比为（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程（Ⅱ）过点M 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，设点A 关于x 轴的对称点为Q （A ，Q 两点不重合），证明：点B ，N ，Q 在同一条直线上． 21．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（Ⅰ）若a ≤1，证明：x ≥1时，x 2≥f （x ）恒成立； （Ⅱ）当a ＞0时，讨论函数y=f （x ）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC 是圆O 的直径，BD 是圆O 在点C 处的切线，AB 、AD 分别与圆O 相交于E ，F ，EF 与AC 相交于M ，N 是CD 中点，AC=4，BC=2，CD=8 （Ⅰ）求AF 的长；（Ⅱ）证明：MN 平分∠CMF ．[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知直线C 1：（t 为参数），圆C 2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C 1经过点（2，3），求直线C 1的普通方程；若圆C 2经过点（2，2），求圆C 2的普通方程； （Ⅱ）点P 是圆C 2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t 的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣1|+a|x ﹣2|，a ∈R（Ⅰ）若函数f （x ）存在最小值，求a 的取值范围； （Ⅱ）若对任意x ∈R ，有f （x ）≥，求a 的值．福建省龙岩市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|0≤x＜3}，集合B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，1} C．[0，1] D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】列举出A中的元素确定出A，求出B中不等式解集的整数解确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|0≤x＜3}={0，1，2}，集合B={x∈Z|x2≤1}={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}，故选：B．2．若i为虚数单位，则在复平面中，表示复数的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先将复数化简，再确定对应复平面上的点，由此可得结论．【解答】解：由题意，对应复平面上的点为，在第四象限故选D．3．己知命题p：∀x＞﹣2，x2＞4，命题q：∃x∈R，cosx=e x，则下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∨￢q【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=0时，不成立．命题q：如图所示，是真命题．或取x=0即可判断出真假【解答】解：命题p：∀x＞﹣2，x2＞4，是假命题，例如取x=0时，不成立．命题q：∃x∈R，cosx=e x，如图所示，是真命题．（或取x=0即可判断出真假）．则下列命题中为假命题的是p∧q．故选：B．4．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．6【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（2，4），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：4．故选：C．5．若sinα+2sin2=2（0＜α＜π），则tanα的值为（）A．1 B．C．D．不存在【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后求解所求表达式的值．【解答】解：sinα+2sin2=2（0＜α＜π），可得sinα+2sin2﹣1=1（0＜α＜π），即sinα﹣cosα=1（0＜α＜π），可得α=．则tanα的值为：不存在．故选：D．6．在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则恰有一人获奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖，由此利用对立事件概率计算公式能求出恰有一人获奖的概率．【解答】解：∵在3张奖券中，一等奖、二等奖各有1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，∴恰有一人获奖的对立事件是两人都获奖，∴恰有一人获奖的概率：p=1﹣=．故选：A．7．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的单调递增区间是（）A．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z B．[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z D．[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z【考点】正弦函数的单调性．【分析】由函数的周期求得ω，再由函数的图象平移得到g（x）的解析式，最后由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，∴，得ω=2．则f（x）=sin（2x﹣）．将其图象向左平移个单位，得g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由，得．∴函数y=g（x）的单调递增区间是[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．故选：C．8．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+1）x是奇函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为（）A．y=x B．y=x+1 C．y=1 D．y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由奇函数的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），可得a=0，f（x）=x3+x，求出导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即有﹣x3+ax2﹣（a+1）x=﹣x3﹣ax2﹣（a+1）x，可得a=0，即f（x）=x3+x，导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为k=1，切点为（0，0），即有曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x．故选：A．9．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=130【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，由输出的a，b分别为17，23，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，若输出的a，b分别为17，23，则：17=S﹣23，解得：S=40，由b=，可得：23=，解得：T=126．故选：B．10．在等腰梯形ABCD中， =2，||=1，点M是线段DC上的动点，则•的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，垂足为O，从而便可以O为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B点的坐标，并设OD=d，从而可设M（x，d），且0≤x≤1，从而可以求出向量的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得到，由x的范围即可求出的最大值．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为O，以O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则由题意得：，设OD=d，M（x，d），0≤x≤1；∴；∴；∵0≤x≤1；∴x=1时，取最大值3．故选：C．11．已知点Q（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点P，使得∠OQP=60°，则x的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，] 【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点Q（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OQP=60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP=60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP=1， =．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x的取值范围是[﹣，]．故选：D．12．一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系（例如：E任务必须在A任务完成后才能进行）如表所示：任务 A B C D E F G所需时间/周 2 1 4 3 2 1 2前期任务无要求无要求无要求A，B，C A A，B，C，D，E A，B，C，D，E则完成这场音乐会的筹备工作需要的最短时间为（）A．8周B．9周C．10周D．12周【考点】统筹问题的思想及其应用的广泛性．【分析】根据各筹备任务的先后顺序做出统筹安排，尽量将多项工作同时展开以节约时间．【解答】解：第一周任务ABC，第二周任务AC，第三周任务CE，第四周任务CE，第五周到第七周任务D，第八周任务FG，第九周任务G．故最短需要9周完成筹备任务．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线x2﹣=1的焦点到渐近线的距离为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣，0），（，0），渐近线方程为y=±3x所以焦点到其渐近线的距离d==3．故答案为：3．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为正视图（主视图），侧视图（左视图），俯视图，则此几何体的表面积为9+9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，由面积公式求出各个面，求出几何体的表面积． 【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是3， 且AC ⊥BC ，PB ⊥平面ABC ， ∴AB==3， PA==3，PC==3，∴PA 2=PC 2+AC 2，即PC ⊥AC ， 则几何体的表面积S==9+9，故答案为：9+9．15．若函数f （x ）=2|x+a |（a ∈R ）满足f （1﹣x ）=f （1+x ），f （x ）在区间[m ，n]上的最大值记为f （x ）max ，最小值记为f （x ）min ，若f （x ）max ﹣f （x ）min =3，则n ﹣m 的取值范围是 （0，4] ． 【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据函数f （x ）=2|x+a|满足f （1﹣x ）=f （1+x ）得出f （x ）的图象关于x=1对称，求出a 的值，写出f （x ）的解析式，再讨论m 、n 的取值范围，求出f （x ）在区间[m ，n]上的最大值与最小值的差，从而求出n ﹣m 的取值范围．【解答】解：∵函数f （x ）=2|x+a|（a ∈R ）满足f （1﹣x ）=f （1+x ）， ∴f （x ）的图象关于x=1对称，∴a=﹣1， ∴f （x ）=2|x ﹣1|；当m ＜n ≤1或1≤m ＜n 时，离对称轴越远，m 、n 差越小，极限值是0； 当m ＜1＜n 时，函数f （x ）在区间[m ，n]上的最大值与最小值的差为：f （x ）max ﹣f （x ）min =2|±2|﹣20=3，则n ﹣m 取得最大值是2﹣（﹣2）=4； ∴n ﹣m 的取值范围是（0，4]． 故答案为：（0，4]．16．在边长为1的正三角形ABC 的边AB ，AC 上分别取D ，E 两点，沿线段DE 折叠三角形ABC ，使顶点A 正好落在BC 边上，则AD 长度的最小值为 2﹣3 ．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】在图（2）中连接DP ，由折叠可知AD=PD ，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD ，又∠BDP 为三角形ADP 的外角，若设∠BAP 为θ，则有∠BDP 为2θ，再设AD=PD=x ，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x 的最小值，即为AD 的最小值． 【解答】解：显然A ，P 两点关于折线DE 对称， 连接DP ，图（2）中，可得AD=PD ，则有∠BAP=∠APD ， 设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ， 再设AD=DP=x ，则有DB=1﹣x ，在△ABC 中，∠APB=180°﹣∠ABP ﹣∠BAP=120°﹣θ， ∴∠BPD=120°﹣2θ，又∠DBP=60°， 在△BDP 中，由正弦定理知=∴x=，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ=90°，即θ=15°时，sin=1． 此时x 取得最小值=2﹣3，且∠ADE=75°．则AD 的最小值为2﹣3．故答案为：2﹣3．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程 17．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=4，且S n =a n+1﹣2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式：（Ⅱ）若c n =﹣20+log 2a 4n ，求{c n }的前n 项和T n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式结合a 2=4求得数列首项，得到S n ﹣1=a n ﹣2（n ≥2），作差后可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }的通项公式代入c n =﹣20+log 2a 4n ，分组求和后利用二次函数的最值得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵S n =a n+1﹣2， ∴S n ﹣1=a n ﹣2（n ≥2）， 则a n+1=2a n （n ≥2）， 又a 2=4，∴a 1=S 1=a 2﹣2=2，即a 2=2a 1．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 则；（Ⅱ）c n =﹣20+log 2a 4n =．∴T n ==2n 2﹣18n ．∴当n=4或5时，{c n }的前n 项和T n 的最小值． 此时T 4=T 5=﹣40．18．某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n （n ∈N *）名学生，再从这2n 名学生中随机选取其中n 名学生参加科目P 的测试．另n 名学生参加科目Q 的测试．每个科目成绩分別为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P 测试中，成绩为2分的学生有8人．（Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数 〔Ⅱ）根据统计图，分别估计：（i ）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii ）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明） 【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）求出参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．参加科目Q测试的学生人数也为40人，即可求在两个科目中成绩为5分的学生人数〔Ⅱ）（i）求出科目P、Q测试成绩的平均值，即可求出该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显．【解答】解：（Ⅰ）∵在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人．∴参加科目P测试的学生人数为8÷0.20=40．由题意，参加科目Q测试的学生人数也为40人，∴在科目P测试中，成绩为5分的学生人数为40×（1﹣0.375﹣0.25﹣0.20﹣0.075）=4；参加科目Q测试的学生中，成绩为5分的学生人数为40﹣2﹣18﹣15=5；〔Ⅱ）（i）科目P测试成绩的平均值为==3.1分；科目P测试成绩的平均值为==3.575分，∴由此估计该专业新生科目Q的平均成绩高于科目P的平均成绩；（ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显（即较不稳定）．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AO⊥平面BCD，得AO⊥BC，又已知BC⊥BD，且AO∩BD=O，由线面垂直的判定得BC⊥平面ABD，即可证得BC⊥AD；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，得AD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，得AD⊥AB，由已知CD，求得BD，AD，进一步可求出AB，得到△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点，求出OD，即可求出三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由AO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，得AO⊥BC，又∵BC⊥BD，且AO∩BD=O，∴BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AD ⊥BC ，又AD ⊥AC ，BC∩AC=C， ∴AD ⊥平面ABC ， 又∵AB ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥AB ，由已知CD=2，得BD=DCsin45°=，AD=DCsin30°=1， ∴AB=1，∴△ABD 为等腰直角三角形，故O 为BD 的中点． ∴OD=BD=， ∴×．20．已知点P 到两个顶点M （﹣1，0），N （1，0）距离的比为（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程（Ⅱ）过点M 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，设点A 关于x 轴的对称点为Q （A ，Q 两点不重合），证明：点B ，N ，Q 在同一条直线上． 【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用点P 到两个顶点M （﹣1，0），N （1，0）距离的比为，建立等式，化简，即可求得动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设出直线方程，代入轨迹C 的方程，利用韦达定理，证明k BN ﹣k QN =0，即可得出结论． 【解答】（Ⅰ）解：设P （x ，y ），则∵点P 到两个顶点M （﹣1，0），N （1，0）距离的比为，∴=，整理得x 2+y 2﹣6x+1=0，∴动点P 的轨迹C 的方程是x 2+y 2﹣6x+1=0；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 存在斜率，设为k （k ≠0），直线l 的方程为y=k （x+1） 代入x 2+y 2﹣6x+1=0，化简得（1+k 2）x 2+（2k 2﹣6）x+k 2+1=0， △＞0，可得﹣1＜k ＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），且x1x2=1，∴kBN ﹣kQN=﹣==0，∴B，N，Q在同一条直线上．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（Ⅰ）若a≤1，证明：x≥1时，x2≥f（x）恒成立；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，确定函数的单调性，求出函数的最小值，从而证明即可；（Ⅱ）求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调性，求出函数的最小值，通过讨论a的范围，判断最小值的符号，求出函数的零点个数即可．【解答】证明：（Ⅰ）令g（x）=x2﹣ax+lnx，（x≥1），则g′（x）=2x﹣a+，∵x≥1，∴g′（x）=2x﹣a+≥2﹣a，∵a≤1，∴g′（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数，∴g（x）≥g（1）=1﹣a≥0，即，当x≥1时，x2≥f（x）恒成立；解：（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=a﹣，∵a＞0，令f′（x）=0，得x=＞0，又∵f′（x）=a﹣是增函数，∴在区间（0，）上，f′（x）＜0，y=f（x）是减函数，在区间（，+∞）上，f′（x）＞0，函数y=f（x）是增函数，∴函数y=f（x）的最小值是f（）=1+lna，①当a＞时，∵f（）＞0，∴f（x）没有零点，②a=e时，∵f（）=0，∴f（x）有且只有1个零点，③0＜a＜时，∵f（）＜0，f（1）=a＞0，又当x 0＞，且x 0＞e a 时，f （x 0）＞f （e a ）=a （e a ﹣1）＞0， 故函数y=f （x ）有且只有2个零点， 综上，a ＞时，f （x ）没有零点， a=e 时，f （x ）有且只有1个零点，0＜a ＜时，函数y=f （x ）有且只有2个零点．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC 是圆O 的直径，BD 是圆O 在点C 处的切线，AB 、AD 分别与圆O 相交于E ，F ，EF 与AC 相交于M ，N 是CD 中点，AC=4，BC=2，CD=8 （Ⅰ）求AF 的长；（Ⅱ）证明：MN 平分∠CMF ．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连接CF ，证明AC ⊥CD ，利用射影定理求AF 的长； （Ⅱ）证明CF ⊥MN ，利用MC=MF ，即可证明：MN 平分∠CMF ． 【解答】（Ⅰ）解：连接CF ， ∵AC 是圆O 的直径， ∴CF ⊥AF ，∵BD 是圆O 在点C 处的切线， ∴AC ⊥CD ． Rt △ACD 中，AD==4，根据射影定理，AC 2=AF•AD， ∴AF；（Ⅱ）证明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°， ∴△ACB ∽△DCA ， ∴∠BAC+∠CAD=90°，∴EF 是圆的直径，即M 是圆心． ∵N 是CD 中点， ∴MN ∥AD ， ∴CF ⊥MN ．∵MC=MF ， ∴MN 平分∠CMF ．[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知直线C 1：（t 为参数），圆C 2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C 1经过点（2，3），求直线C 1的普通方程；若圆C 2经过点（2，2），求圆C 2的普通方程； （Ⅱ）点P 是圆C 2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t 的值． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（I ）直线C 1：（t 为参数），消去参数t 化为普通方程：y=（x ﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C 1的普通方程．由圆C 2：（α为参数），利用cos 2α+sin 2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t 2，即可得出圆C 2的普通方程． （II ）由题意可得：|OP|max =|OC 2|+|t|，代入解得t 即可得出． 【解答】解：（I ）直线C 1：（t 为参数），消去参数t 化为普通方程：y=（x ﹣1）tanα+2，∵直线C 1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1． ∴直线C 1的普通方程为y=x+1． 圆C 2：（α为参数），化为普通方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=t 2，∵圆C 2经过点（2，2），∴t 2=1，∴圆C 2的普通方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1． 圆心C 2=（1，2），半径r=1．（II ）由题意可得：|OP|max =|OC 2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4﹣）．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣1|+a|x ﹣2|，a ∈R（Ⅰ）若函数f （x ）存在最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．【考点】全称命题；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可知：f（x）=，由于f（x）存在最小值，可得，解得a即可得出．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a即可得出．【解答】解：（I）由题意可知：f（x）=，∵f（x）存在最小值，∴，解得a≥﹣1．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a=．。
(3份试卷汇总)2019-2020学年福建省龙岩市高考数学监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 2．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A． BC ．12-D ．123．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅=4．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．充分不必要条件5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<6．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]47．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．58．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷5001.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．1089．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215510．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个11．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-12．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省龙岩市2019-2020学年中考数学考前模拟卷(4)含解析
福建省龙岩市2019-2020学年中考数学考前模拟卷（4）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将2001×1999变形正确的是（）A．20002﹣1 B．20002+1 C．20002+2×2000+1 D．20002﹣2×2000+12．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°3．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是（）A．17B．27C．37D．474．如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．5 D．65．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．2B．22C．23D．46．在对某社会机构的调查中收集到以下数据，你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是（）年龄13 14 15 25 28 30 35 其他人数30 533 17 12 20 9 2 3A．平均数B．众数C．方差D．标准差7．不等式组21311326xx-≤⎧⎪⎨+>⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．如图，函数y1=x3与y2=1x在同一坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时（）A．﹣1＜x＜l B．0＜x＜1或x＜﹣1 C．﹣1＜x＜I且x≠0D．﹣1＜x＜0或x＞19．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝12，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( )A．②③④B．①②③C．①④D．①②④10．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣23；③213；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④12．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（）A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一组数据7，9，8，7，9，9，8的中位数是__________14．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，那么AODO等于（）A．253；B．13；C．23；D．12．15．如图，正△ABC 的边长为2，顶点B、C 在半径为2的圆上，顶点A在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点A 第一次落在圆上时，则点 C 运动的路线长为（结果保留π）；若A 点落在圆上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕 C 将△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转……，若此旋转下去，当△ABC 完成第2017 次旋转时，BC 边共回到原来位置次．16．如图，点P（3a，a）是反比例函kyx（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的表达式为______．17．已知点A(2,0),B(0,2),C(-1,m)在同一条直线上,则m的值为___________.18．不等式组1xx m>-⎧⎨<⎩有2个整数解，则m的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．20．（6分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和BD相交于P 点．如图（2）①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．21．（6分）试探究：小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．拓展延伸：小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：（1）求证：△ACF∽△FCE；（2）求∠A的度数；（3）求cos∠A的值；应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数34y x=与一次函数7y x=-+的图像交于点A，（1）求点A的坐标；（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交34y x=和7y x=-+的图像于点B、C，连接OC，若BC=75OA，求△OBC的面积.23．（8分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：甲7.2 9.69.67.89.3 4 6.58.59.99.6乙 5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7根据上面的数据，将下表补充完整：4.0≤x≤4.95.0≤x≤5.96.0≤x≤6.97.0≤x≤7.98.0≤x≤8.99.0≤x≤10.0甲 1 0 1 2 1 5乙____ ____ _____ ______ _____ _______（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：结论：人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）甲8.2 8.9 9.6乙8.2 8.4 9.7（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有______个；（2）可以推断出_____业务员的销售业绩好，理由为_______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD 于点C．（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；（2）若⊙O半径为2，TC＝，求AD的长．25．（10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的倾斜角∠BAH＝30°，AB ＝20米，AB＝30米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．26．（12分）先化简，再求值：(12a+-1)÷212aa-+，其中a3127．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（1）若△GEF的面积为1．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：原式=(2000+1)×(2000-1)=20002-1，故选A．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．2．C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.3．B【解析】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个．．∴B球一次反弹后击中A球的概率是2 7 .故选B．4．C【解析】分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．详解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x=6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选C.点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.5．B【解析】【分析】圆内接正六边形的边长是1，即圆的半径是1，则圆的内接正方形的对角线长是2，进而就可求解．【详解】解：∵圆内接正六边形的边长是1，∴圆的半径为1．那么直径为2．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于2．∴圆的内接正方形的边长是2．故选B．【点睛】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答．6．B【解析】分析：根据平均数的意义，众数的意义，方差的意义进行选择．详解：由于14岁的人数是533人，影响该机构年龄特征，因此，最能够反映该机构年龄特征的统计量是众数．故选B．点睛：本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．7．A【解析】分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可．详解：21311326xx-≤⎧⎪⎨+>⎪⎩①②由①得，x≤1，由②得，x>-1，故此不等式组的解集为：-1<x≤1．在数轴上表示为：故选A．点睛：本题考查的是在数轴上表示一元一此不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．B【解析】【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（1，1），（-1，-1）．由图象可以直接写出当y1<y2时所对应的x的取值范围．【详解】根据图象知,一次函数y1=x3与反比例函数y2=1x的交点是(1,1)，(-1,−1)，∴当y1<y2时，, 0<x<1或x＜-1；故答案选：B.【点睛】本题考查了反比例函数与幂函数，解题的关键是熟练的掌握反比例函数与幂函数的图象根据图象找出答案. 9．D 【解析】 【分析】根据图象得出a<0, a+b=0,c>0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y 1)，(52，y 2)到对称轴的距离即可判断④. 【详解】∵二次函数的图象的开口向下, ∴a<0,∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上, ∴c>0,∵二次函数图象的对称轴是直线x=12, ∴a=-b, ∴b>0,∴abc<0,故①正确; ∵a=-b, ∴a+b=0,故②正确; 把x=2代入抛物线的解析式得， 4a+2b+c=0,故③错误; ∵()151-2222->- , 12,y y <∴故④正确; 故选D.. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 10．C 【解析】 【分析】根据平方根，数轴，有理数的分类逐一分析即可. 【详解】 ①∵，∴是错误的；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③∵＝4，故-2是的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如和是错误的；⑥无理数都是无限小数，故说法正确；故正确的是②③④⑥共4个；故选C.【点睛】本题考查了有理数的分类，数轴及平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如等，也有π这样的数.11．B【解析】【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx 的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b∴b=233a -，∴a﹣b=a﹣（233a-）=4a﹣23＞-23，故②正确；由正弦定义sinα=2221313 1332==+，则③正确；不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．12．B【解析】试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.考点： 平均数；方差.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可得．【详解】解：将数据重新排列为7、7、1、1、9、9、9，所以这组数据的中位数为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．14．D【解析】【分析】利用△DAO 与△DEA 相似，对应边成比例即可求解．【详解】∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE 是公共角，∠DAO=∠DEA∴△DAO ∽△DEA ∴AO DO AE DA= 即AO AF DO DA= ∵AE=12AD ∴12AO DO = 故选D ．15．3π，1. 【解析】【分析】首先连接OA′、OB 、OC ，再求出∠C′BC 的大小，进而利用弧长公式问题即可解决．因为△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，推出当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次.【详解】如图，连接OA′、OB 、OC ．∵2，BC=2，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°；同理可证：∠OBA′=45°，∴∠A′BC=90°；∵∠ABC=60°，∴∠A′BA=90°-60°=30°，∴∠C′BC=∠A′BA=30°，∴当点A 第一次落在圆上时，则点C 运动的路线长为：30?21803ππ=． ∵△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，∴当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次， 故答案为：3π，1． 【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、规律问题等知识，解题的关键是循环利用数形结合的思想解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，所以中考填空题中的压轴题．16．y=12x【解析】设圆的半径是r ，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr 2=10π 解得：r=210.∵点P(3a ，a)是反比例函y=k x(k>0)与O 的一个交点， ∴3a 2=k.r =∴a 2=2110⨯=4. ∴k=3×4=12， 则反比例函数的解析式是：y=12x . 故答案是：y=12x. 点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键. 17．3【解析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.18．1＜m≤2【解析】【分析】首先根据不等式恰好有2个整数解求出不等式组的解集为1x m -<<，再确定12m <≤.【详解】Q 不等式组1x x m >-⎧⎨<⎩有2个整数解， ∴其整数解有0、1这2个，∴12m <≤.故答案为：12m <≤.【点睛】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）作图见解析；（2）5 2【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．【详解】解：（1）如图，∠ADE为所作；（2）∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=52．20．（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；【解析】试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PA•PC=12，∴PB=2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．考点：相似形综合题21．（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（451【解析】【分析】尝试探究：根据勾股定理计算即可；拓展延伸：（1）由AE 2＝AC•EC ，推出=AC AE AE EC ，又AE ＝FC ，推出=AC FC FC EC，即可解问题； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，根据cos ∠A ＝AM AF ，求出AM 、AF 即可； 应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；【详解】1；∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB∴AD ＝AE 1，∵AE 21）2＝6﹣AC•EC ＝2×[2﹣（1）]＝6﹣，∴AE 2＝AC•EC ，∴小张的发现正确；拓展延伸：（1）∵AE 2＝AC•EC ， ∴=AC AE AE EC∵AE ＝FC ， ∴=AC FC FC EC ， 又∵∠C ＝∠C ，∴△ACF ∽△FCE ；（2）∵△ACF ∽△FCE ，∴∠AFC ＝∠CEF ，又∵EF ＝FC ，∴∠C ＝∠CEF ，∴∠AFC ＝∠C ，∴AC ＝AF ，∵AE ＝EF ，∴∠A ＝∠AFE ，∴∠FEC ＝2∠A ，∵EF ＝FC ，∴∠C ＝2∠A ，∵∠AFC ＝∠C ＝2∠A ，∵∠AFC+∠C+∠A ＝180°，∴∠A ＝36°；（3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，由尝试探究可知AE 51 ，EC ＝35∵EF ＝FC ，由（2）得：AC ＝AF ＝2，∴ME ＝352-，∴AM ＝512， ∴cos ∠A ＝51+=AM AF ； 应用迁移： ∵正十边形的中心角等于36010︒＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形， ∴如图，当点A 是圆内接正十边形的圆心，AC 和AF 都是圆的半径，FC 是正十边形的边长时， 设AF ＝AC ＝2，FC ＝EF ＝AE ＝x ，∵△ACF ∽△FCE ， ∴AF FC EF EC= ， ∴22=-EF EF EF ， ∴51=EF ，∴半径为251．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．22．（1）A(4，3)；（2）28.【解析】【分析】（1）点A是正比例函数34 y x =与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把34y x=与y=-x+7联立组成方程组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA 的长，再由BC=75OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，根据12OBCS BC OP∆=⋅即可求得△OBC的面积.【详解】解：（1）由题意得:347y xy x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩，∴点A的坐标为（4,3）.（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，2222435OA OD AD+=+=∴775755BC OA==⨯=.∵P（a，0），∴B（a,34a）,C（a,-a+7），∴BC=37(7)744a a a--+=-，∴7774a-=，解得a=8.∴11782822OBCS BC OP∆=⋅=⨯⨯=.23．填表见解析；（1）6；（2）甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．【解析】【分析】（1）月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题,（2）根据中位数和平均数即可解题.【详解】解：如图，销售额数量x人员4.0≤x≤4.95.0≤x≤5.96.0≤x≤6.97.0≤x≤7.98.0≤x≤8.99.0≤x≤10.0甲 1 0 1 2 1 5乙0 1 3 0 2 4（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；（2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．【点睛】本题考查了统计的相关知识,众数,平均数的应用,属于简单题,将图表信息转换成有用信息是解题关键. 24．（2）65°；（2）2．【解析】试题分析：（2）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT 为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．试题解析：（2）连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，AE＝，∴AD=2AE=2．考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理．25．(1) BH为10米；(2) 宣传牌CD高约（40﹣3【解析】【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．【详解】（1）过B作BH⊥AE于H，Rt△ABH中，∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝12×20＝10（米），即点B距水平面AE的高度BH为10米；（2）过B作BG⊥DE于G，∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由（1）得：BH＝10，AH＝103，∴BG＝AH+AE＝（103+30）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（103+30）米，∴CE＝CG+GE＝CG+BH＝103+30+10＝103+40（米），在Rt△AED中，DEAE＝tan∠DAE＝tan60°＝3，DE＝3AE＝303∴CD＝CE﹣DE＝103+40﹣303＝40﹣203．答：宣传牌CD高约（40﹣203）米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题的基本方法.26．3【解析】分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将分式的分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将a 的值代入化简后的式子得出答案．详解：原式=()()22111112211.11a a a a a a a a a a-----+÷===++--+-将1a =代入得：原式==点睛：本题主要考查的是分式的化简求值，属于简单题型．解决这个问题的关键就是就是将括号里面的分式进行化成同分母．27．（1）证明见解析；（1）①16；②14；【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，AB=DC ，AB ∥CD 于是得到BE=CF ，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D ，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；（1）①根据相似三角形的性质得到219GEF GBC S EF S BC ==V V （），求得△GBC 的面积为18，于是得到四边形BCFE 的面积为16；②根据四边形BCFE 的面积为16，列方程得到BC•AB=14，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵GB=GC ，∴∠GBC=∠GCB ，在平行四边形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB=DC ，AB ∥CD ，∴GB-GE=GC-GF ，∴BE=CF ，在△ABE 与△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△DCF ，∴∠A=∠D ，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（1）①∵EF ∥BC ，∴△GFE ∽△GBC ，∵EF=13AD ， ∴EF=13BC ， ∴219GEF GBC S EF S BC ==V V （）， ∵△GEF 的面积为1，∴△GBC 的面积为18，∴四边形BCFE 的面积为16，；②∵四边形BCFE 的面积为16， ∴12（EF+BC ）•AB=12×43BC•AB=16， ∴BC•AB=14，∴四边形ABCD 的面积为14，故答案为：14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE ∽△GBC 是解题的关键．。
2019-2020学年福建省龙岩市福建中学高三数学文模拟试题含解析
2019-2020学年福建省龙岩市福建中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )A．36πB．16πC．12πD．π参考答案：B考点：球内接多面体．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D 到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=，AC=3，∴∠BAC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．点评：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．2. 若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=y﹣x，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z 最小．由，解得，即C（1，2），此时z的最小值为z=2﹣1=1，点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3. 已知集合，集合Q={}，则（）A．P B．Q C．{-1,1} D．参考答案：A4. 已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间[-5，1]上的所有实根之和为(A) -5 (B) -6 (C) -7 (D) -8参考答案：C略5. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A6. 函数的单调递增区间为（）A．（0，1）B．C．D．参考答案：D略7. 某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A．B．6 C．4 D．参考答案：A8. 若是关于的实系数方程的一根，则该方程两根模的和为（）A. B. C. D.参考答案：9. 已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：A【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正切公式，结合已知可得tanα=，代入万能公式，可得答案．【解答】解：∵tan（+α）==2，∴tanα=，∴sin2α==，故选：A10. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的值为．．．．参考答案：．由正弦定理得，因为，所以．所以，又，所以．由余弦定理得，即，又，所以，求得．故选．【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角，再由余弦定理列出关于，的关系式，然后进行合理的变形，求出的值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2009辽宁卷理）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.参考答案：1013解析：＝101312. 在边长为2的正中，则参考答案：13. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为；参考答案：4－2ln214. 定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________.参考答案：【分析】本题首先可以求出时函数的最小值，然后根据求出当时函数的最小值以及时函数的最小值，再然后根据恒成立得出，最后通过运算即可得出结果.【详解】当时，，当时，，所以当时，的最小值为.因为函数满足，所以当时，的最小值为，所以当时，的最小值为，因为时，恒成立，所以，即，解得，故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，若恒成立，则函数与差的最小值大于零，考查函数最值的求法，考查推理能力，是中档题.15. 设点A为圆上动点，点B（2，0），点为原点，那么的最大值为 .参考答案：45°16. 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.参考答案：15 10 2017. 设、满足约束条件，则目标函数的最大值为.参考答案：52略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年福建省龙岩市红星中学高二数学文模拟试卷含解析
2019-2020学年福建省龙岩市红星中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为2的正方体中，动点P在ABCD内，且P到直线AA1，BB1的距离之和等于，则ΔPAB的面积最大值是（）A． B．1 C．2D．4参考答案：B2. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A. B. C. D.4参考答案：C3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．8；B．18；C．26；D．80.参考答案：C4. 若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0，则称a与b互补，那么是a与b互补的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：C5. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值是A．B．C．D．参考答案：B6. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则参考答案：B7. 双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2参考答案：D【分析】取一条渐近线，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案.【详解】的一条渐近线为根据题意：故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.8. 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQMN的体积是()A．6 B．10C．12 D．不确定参考答案：A略9. 若命题“”为假，且“”为假，则（）A. “”为假B.假C.真D.不能判断的真假参考答案：B略10. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。
现有下列命题：①是的充要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的充分条件而不是必要条件；④是的充分条件而不是必要条件；⑤的必要条件而不是充分条件，则正确命题序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑤C.②③④D.③④⑤参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义域为R的函数满足，且对恒成立，则的解集为______.参考答案：(－3,+∞)【分析】构造函数，判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式得解. 【详解】构造函数，则有，且.由，可知，则为增函数，故.故答案为：(－3,+∞)【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. 已知数列具有性质：为整数；对于任意的正整数当为偶数时，当为奇数时，．（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）若为正整数，求证：当时，都有．参考答案：：（1）设，成等差数列，…………………………3分当为偶数时，此时………………………5分当为奇数时，此时…………… 7分综合上述，可得的值为或………………8分（2），，………………10分又由定义可知，略13. 若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是；参考答案：14. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是参考答案：略15. 曲线在点(1,0)处的切线方程为__________．参考答案：【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.16. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数个（用数字作答）．参考答案：2417. 给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为（写出所有正确的序号）参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据数列{a n}的前n项的“均倒数”为，即可求出S n，然后利用裂项法进行求和即可．④根据余弦定理进行求解判断．【解答】解：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；故①正确，②在△ABC中，“A＞B”等价于a＞b，等价为sinA＞sinB，则，“A＞B”是“sinA＞sinB 的充分必要条件”；故②错误，③∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴=，即S n=n（n+2）=n2+2n，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，当n=1时，a1=S1=1+2=3，满足a n=2n+1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，故③正确，④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，设AB=2x，则cos∠AOC=﹣cos∠BOC，即=﹣，即x2﹣4=﹣x2，即x2=2，则x=，则AB=2．故④正确，故答案为：①③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，充分条件和必要条件以及解三角形的应用，综合性较强，难度中等．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年福建省龙岩市高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知（m+2i）（2-i）=4+3i，m∈R，i为虚数单位，则m的值为（）A. 1B.C. 2D.2.已知，则sin2α=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{a n}的前8项和为（）A. B. C. D.4.如果执行如图的程序框图，输入正整数n，m，且满足n≥m，那么输出的p等于（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足不等式组，则x-y的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知双曲线：（a＞0，b＞0）和双曲线：（m＞0，n＞0）焦距相等，离心率分别为e1、e2，若，则下列结论正确的是（）A. 和离心率相等B. 和渐近线相同C. 和实轴长相等D. 和虚轴长相等7.己知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A.B.C.D.8.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.B.C.D.9.已知函数（ω＞0）在区间，上单调，则ω的取值范围为（）A. B. C. D.10.设，T=|a-s|，a∈N*，当T取最小值时a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为（）A. 8B. 4C.D.12.已知数列{a n}各项均为整数，共有7项，且满足|a k+1-a k|=1，k=1，2，…6，其中a1=1，a7=a（a为常数且a＞0）．若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为60°，，，则=______．14.若（1+x）（a+x）4的展开式中x3项的系数为16，则实数a=______．15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线交于A，B两点．若以QF为直径的圆过点B，则|AF|-|BF|的值为______．16.已知f（x）=|x|3-4x2，若f（x）的图象和y=ax的图象有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c cos B=2a-b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设D为BC中点，若AD=3，求△ABC面积的取值范围．18.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，BM⊥平面ABCD，DN∥BM，BM=2DN，点E是线段MN上的一点．O为线段BD的中点．（Ⅰ）若OF⊥BE于F且OF=1，证明：AF⊥平面ECB；（Ⅱ）若BM=4，，求二面角E-BC-M的余弦值．19.已知椭圆E的方程为，点A为长轴的右端点．B，C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB与直线AC的斜率k AB和k AC满足：．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+t与圆相切，且与椭圆E相交于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（ⅰ）试运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.791821.已知函数f（x）=ln x+（a∈R且a≠0），g（x）=（b-1）x-xe x-（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤-2恒成立，求实数b的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，＜），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=2．求α的大小．23.已知函数f（x）=|x-m|（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＞7-|x-1|；（Ⅱ）若存在x∈R，使f（x）＞7+|x-1|成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由（m+2i）（2-i）=（2m+2）+（4-m）i=4+3i，得，即m=1．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵，则sin2α=cos（-2α）=2-1=-，故选：A．由题意利用利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=-8，则{a n}前8项的和为-8×8+×8×7×2=-8．故选：C．设公差d=2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得：第一次循环：k=1，p=1，p=；第二次循环：k=2，p=•；第三次循环：k=3，p=••…第m次循环：k=m，p=••…此时结束循环，输出p=••…==C n m故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查了程序框图的应用问题，排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，程序要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：设z=x-y，则y=x-z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点A（-1，0）时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，最小值z=-1．x-y的取值范围为：[-1，+∞）．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，设z=x-y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a2+b2=m2+n2=c2，c＞0，由离心率公式，结合条件可得a=n，b=m，由双曲线的性质即可判断正确结论．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）焦距相等，可设a2+b2=m2+n2=c2，c＞0，由e1=，e2=，，可得+=1，即a2+m2=c2，可得b=m，a=n，则C1，C2的离心率不一定相等；C1，C2的实轴长不一定相等；C1，C2的虚轴长不一定相等；C1的渐近线方程为y=±x，C2的渐近线方程为y=±x，可得它们的渐近线相同．故选：B．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=，．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】A【解析】=4π-16（）=8，解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S白设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则P（A）=1-=1-=1-，故选：A．=4π-16（）=8，由几何概由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白型中的面积型可得：则P（A）=1-=1-=1-，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．9.【答案】B【解析】解：y=|cosx|的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，由kπ≤ωx+≤kπ+，k∈Z，得≤x≤，即函数的单调递减区间为[，]，k∈Z，若f（x）在区间上单调递减，则≤且≥，得，k∈Z，当k=0时，，即0＜ω≤，即ω的取值范围是（0，]．当f（x）在区间上单调递增时，ω无解，故选：B．根据y=|cosx|的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，求出x的范围，结合条件区间的关系进行求解即可．本题主要考查余弦函数单调性的求解，结合绝对值函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10.【答案】C【解析】解：s=logπ2+logπ3+logπ4+logπ5=logπ（2×3×4×5）=logπ120∈（4，4.5）．∴T=|a-s|，a∈N*，当T取最小值时a的值为4．故选：C．利用对数运算性质可得s的取值范围，再利用绝对值的意义即可得出．本题考查了对数的运算性质、绝对值的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则P（4，0，2），C（0，4，0），D1（0，0，4），B（4，4，0），设M（4，a，b），则=（4，a，b-4），=（4，-4，2），∵D1M⊥CP，∴•=16-4a+2b-8=0，解得2a-b=4，∴M（4，a，4-2a），|BM|===，∴a=2，即M（4，2，0）时，△BCM面积取最小值S==4．故选：B．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△BCM面积取最小值．本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】由已知，a k+1-a k=1，或a k+1-a k=-1，则a7-a1=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a7-a6），设有m个1，则有（6-m）个-1，a7-a1=a-1=m+（6-m）（-1）解得m=，从而=15，经验证得a=3．故选：B．由已知递推公式，考查使用裂项法求和，从而使用组合知识判断不同数列个数，带入验证即得．本题通过数列裂项相消法，考查排列组合知识．13.【答案】1【解析】解：由题意，可设=x．∵，∴2=（）2=2+9•2-6•=4+9x2-6•2•x•cos60°=4+9x2-6x=7．即：3x2-2x-1=0，解得：x=，或x=1．由题意，可知：x=1．故答案为：1．本题主要是根据向量模的平方等于向量的平方进行计算化简，最终得到结果．本题主要考查向量向量模的平方等于向量的平方计算，以及向量的数量积计算，属基础题．14.【答案】-2或【解析】解：（a+x）4的展开式中通项公式T r+1=a4-r x r，令r=3或2，则x3项的系数为16=+，解得a=或-2．故答案为：或-2．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：假设k存在，设AB方程为：y=k（x-1），与抛物线y2=4x联立得k2（x2-2x+1）=4x，即k2x2-（2k2+4）x+k2=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以QF为直径的圆过点B，∵=0，∴∠QBA=90°，∴（x1-2）（x1+2）+y12=0，∴x12+y12=4，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x 1=-2，∵x1x2=1，∴x 2=+2，∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，故答案为：4．假设直线方程与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF|-|BF|．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】（-4，0）∪（0，4）【解析】解：显然原点为f（x）与y=ax的一个交点．当x≠0时，令f（x）=ax可得a==，∴a=有三解．作出y=的函数图象如图所示：由图象可知当-4＜a＜0或0＜a＜4时，a=有三解．故答案为：（-4，0）∪（0，4）．当x=0时，a=，根据y=的图象即可得出a的范围．本题考查了函数图象与方程根的关系，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）由2c cos B=2a-b，得2sin C cos B=2sin A-sin B……………………（1分）即2sin C cos B=2sin（B+C）-sin B，∴2sin B cos C=sin B∵sin B＞0，∴……………………（5分）∵0＜C＜π，∴……………………（6分）（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得：……（7分）即9=AC2+DC2-AC•DC≥2AC•DC-AC•DC=AC•DC，∴0＜AC•DC≤9……………………（9分）∵△∴＜△ ，…………………（10分）∵S△ABC=2S△ADC∵……………………（12分）∴0＜S△ABC≤，即△ABC面积的取值范围是0＜S△ABC≤．【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简即可（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的性质，以及利用三角形的面积公式进行求解本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理结合基本不等式的性质是解决本题的关键．18.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，∴AC与BD交于点O且△ABC为等边三角形，∴AC=2，又∵，∴AF⊥CF………………（2分）∵BM⊥平面ABCD，∴AC⊥BM，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BMND∵OF⊂平面BMND，∴AC⊥OF，在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2=2，在Rt△BOF中，FB2=BO2-OF2=2，∴在△ABF中，AB2=4，AF2+FB2=4，AF2+FB2=AB2……………（4分）∴AF⊥BE，又∵CF，BE⊂平面CBE，CF∩BE=F，∴AF⊥平面ECB……………………（5分）（Ⅱ）在平面BMND中，过O作直线l∥BM，则l⊥平面ABCD，如图，以l为z轴，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立空间直角坐标系，………………（6分）∴，，，C（-1，0，0），M（0，，4），，，，∵，∴，，，∴，，，，，，设，，是平面BCE的法向量，则，即，取，，，取BC中点G，连结AG，∴AG⊥BC，AG⊥BM，∴AG⊥面BCM 因此，是平面BCM的法向量，∵，，，A（1，0，0）∴，，，…………………（10分）设二面角E-BC-M的大小为θ，则，∴二面角E-BC-M的余弦值为……………………（12分）【解析】（Ⅰ）证明AC⊥BM，AC⊥OF，推出AF⊥BE，然后证明AF⊥平面ECB．（Ⅱ）过O作直线l∥BM，则l⊥平面ABCD，如图，以l为z轴，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立空间直角坐标系．求出是平面BCE的法向量，是平面BCM的法向量，设二面角E-BC-M的大小为θ，通过向量的数量积求解二面角E-BC-M的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设B（x0，y0）则C（-x0，-y0），…………………（1分）由得，，…………………（2分）由k AB•k AC=，即得，，…………（4分）所以，所以a2=2，即椭圆E的标准方程为：…………………（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，，…………………（6分）=，又l与圆C相切，所以，即…………………（8分）所以=…………………（11分）所以，⊥，即∠MON=90°，所以，以线段MN为直径的圆经过原点．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）设B（x0，y0）则C（-x0，-y0），通过由，由k AB•k AC=，求出a2=2，然后得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合推出∠MON=90°，即可得到结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）P==，………………（3分）∴恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1，k+1．∴ ，，∴ =k+1-k（1-p）k……………（6分）若Eξ1=Eξ2，则k=k+1-k（1-p）k∴k（1-p）k=1∴∴∴p关于k的函数关系式（k∈N*且k≥2）………………（8分）（ⅱ）由题意可知Eξ2＜Eξ1，得＜，∵∴＜，∴＞，设＞……………（10分），∴当x＞3时，f'（x）＜0，即f（x）在（3，+∞）上单调递减，又ln4≈1.3863，，∴＞，ln5≈1.6094，，∴ ＜．∴ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0的最大值为4．………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）（ⅰ）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1，k+1．可得，，即可得出期望．根据Eξ1=Eξ2，解得k．（ⅱ）由题意可知Eξ2＜Eξ1，得，，，可得，设，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了古典概率、相互对立事件的概率生寄死归、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵，当a＜0时，∴f'（x）＞0，∴f（x）在|AB|=2单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得：＞；由f'（x）＜0得：＜＜，∴f（x）在，单调递减，在，单调递增综上：当a＜0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在，单调递减，在，单调递增．（Ⅱ）由题意：当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤-2，即．即在（0，+∞）恒成立，令，则，令u（x）=x2e x+ln x，则＞，∴u（x）在（0，+∞）单调递增又＞，＜，所以，u（x）有唯一零点x0（＜＜）所以，u（x0）=0，即--------（※）当x∈（0，x0）时，u（x）＜0即h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0即h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x0）为h（x）在定义域内的最小值．分）令＜＜则方程（※）等价于k（x）=k（-ln x）又易知k（x）单调递增，所以x=-ln x，………………（11分）所以，h（x）的最小值所以b-1≤1，即b≤2，所以实数b的取值范围是（-∞，2]．【解析】（Ⅰ）通过当a＜0时，当a＞0时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可，（Ⅱ）通过当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤-2，即在（0，+∞）恒成立，令，求出导函数令u（x）=x2e x+lnx，则，利用导函数的符号，求解函数的最值，转化证明求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化安心以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由消t得，直线l的普通方程为x tanα-y+2tanα+1=0，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0．得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x-2y-4=0．（Ⅱ）曲线C的方程化为（x-2）2+（y-1）2=9，曲线C是以（2，1）为圆心，3为半径的圆．由于|AB|=2，圆心到直线l的距离，又，∴，解得tanα=±1，∵＜，∴．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的应用和三角函数的求值求出结果．本题考查的知识要点参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）由已知|x-2|+|x-1|＞7当x＜1时，不等式等价于2-x+1-x＞7，解得x＜-2，∴x＜-2；当1≤x≤2时，2-x+x-1＞7，此时不等式无解；当x＞2时，x-2+x-1＞7，解得x＞5，∴x＞5综上：解集为{x|x＜-2或x＞5}；（Ⅱ）∵||x-m|-|x-1||≤|（x-m）-（x-1）|=|m-1|，∴|x-m|-|x-1|≤|m-1|，当且仅当（x-m）（x-1）≥0且|x-m|≥|x-1|时等号成立．依题意|m-1|＞7，解之得m＞8或m＜-6，∴m的取值范围为（-∞，-6）∪（8，+∞）．【解析】（Ⅰ）通过当x＜1时，当1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可．（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，转化推出|m-1|＞7，然后求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
福建省龙岩市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
福建省龙岩市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−x2+x+6>0,x∈N}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. {−1,0，1，2}2.1+2i−2+i=()A. −1+45i B. −45+i C. −i D. i3.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是边长为2，且一个内角为60°的菱形，俯视图是正方形，那么这个几何体的表面积为()A. 16B. 8√3C. 4√3D. 84.已知p：“x=2”，q：“x−2=√2−x”，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.直线x−y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为()A. √2B. 2C. 4D. 16.函数y=xcosx−sinx的部分图象大致为()A. B. C. D.7. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为( ) A. −3 B. 3C. 2D. −2 8. 函数f (x )=sin (x +π12)+sin (x +5π12)最大值是( )A. 2B. 32C. √3D. 2√39. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A. 440B. 330C. 220D. 11010. 过抛物线y 2=8x 焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，若x 1+x 2=5，则|AB|=( )A. 6B. 7C. 8D. 911. 已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=(2−x)5e 1−x ，那么函数f(x)的极值点的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −(x +y −1)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点N 满足BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当AM 、BN 最短时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13 B. 43 C. −43 D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗−2b⃗ |=______ ．14.若x，y满足{x−y≥0x+2y≤1y≥0，则z=x−2y的最小值为________．15.已知双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过原点的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AF|=6，|BF|=8，∠AFB=π2，则该双曲线的离心率为______．16.数列{a n}的通项公式为a n=2n cos nπ2，n∈N∗，其前n项和为S n，则S2016=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=√3sin xcos x−cos2x+m(m∈R)的图象过点M(π12,0)．(1)求m的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若ccos B+bcos C=2acos B，求f(A)的取值范围．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点．M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=12AB=2．(1)求证：MN//平面ADD1A1；(2)求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．19. 十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，若该村抽出5x 户( x ∈Z,1 ≤x ≤ 9)从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x 20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3−14x)万元(参考数据：1.13= 1.331，1.153≈ 1.521，1.23= 1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2)为了实现至2018年底，该村每户年均纯收入达到1.35万元，请求出从事包装、销售的户数．20. 已知点F(√3,0)，圆E ：(x +√3)2+y 2=16，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，并与(1)中轨迹交于不同的两点A 、B.当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ，且满足12≤λ≤23时，求△AOB 面积S 的取值范围．21. 已知函数f(x)=ln x +a x ，a ∈R ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a >0时，求证：f(x)≥2a−1a ．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数)，直线l 的方程为y =kx.以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2√3，求k的值．23.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．≤1；(1)求证：|a−b||1−ab|(2)若ab>0，求(a+b)(a3+b3)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|−x2+x+6>0,x∈N}={x|−2<x<3,x∈N}={0,1，2}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：1+2i−2+i =(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i．故选：C．3.答案：A解析：解：由三视图可知，原几何体为两个正四棱锥的组合体，其中正四棱锥的高为√3，底面正方形的边长为2，故斜高为2，组合体的表面积为：2×4×12×2×2=16，故选：A．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．4.答案：C本题考查了充分必要条件，考查了一元二次方程的解法，是基础题．直接求解一元二次方程，再分别判断p，q的关系，从而得到答案．解：由q：“x−2=√2−x”，解得：x=1(舍去)或x=2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．∴p是q的充分必要条件，故选C．5.答案：B解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，正确确定圆心在直线x−y=0上是关键．由圆的方程可得圆心坐标和半径，圆心在直线x−y=0上，即可求出弦长．解：圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径等于1，圆心在直线x−y=0上，故直线x−y=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2，故选B．6.答案：C解析：解：函数y=f(x)=xcosx−sinx满足f(−x)=−f(x)，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；当x=π时，y=f(π)=πcosπ−sinπ=−π<0，故排除A，x=π时，f(x)=−1<0，排除D，2故选：C．)<0排除选项，即可．分析出函数的奇偶性，排除选项，通过f(π)=−π<0，f(π2本题考查的知识点是函数的图象，排除法是解答此类问题的常用思路．7.答案：B本题主要考查平面向量基本定理，属于基础题．根据平面向量的运算法则一步步地用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ． 解：由已知：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以λ=23,μ=29，所以λμ=3故选B ． 8.答案：C解析：本题主要考查三角函数的最值，以及两角和差的公式的应用，难度一般．解：函数，最大值是=√2(√6+√24+√6−√24)=√3．故选C ． 9.答案：A解析：本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题． 由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1−n −2，容易得到N >100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码．解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n 2+1+⋯+a n(n+1)2=2n −1，(n ∈N +)， 则∑b i n i=1=∑a i n(n+1)2i=1， 由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21−1+22−1+⋯+2n −1=2n+1−n −2，可知当N为n(n+1)2时(n∈N+)，数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1−n−2，容易得到N>100时，n≥14，A项，由29×302=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230−29−2+25−1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知25×262=325，可知S330=T25+b5=226−25−2+25−1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知20×212=210，可知S220=T20+b10=221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知14×152=105，可知S110=T14+b5=215−14−2+25−1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．10.答案：D解析：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴p=4，可得抛物线的准线方程是x=−2，∵过抛物线y2=8x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)，∴根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+p2=x1+2，|BF|=x2+p2=x2+2，因此，线段AB的长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4，又∵x1+x2=5，∴|AB|=x1+x2+4=9．故选D．根据抛物线的方程求出准线方程是x=−2，结合抛物线的定义可得|AF|=x1+2且|BF|=x2+2，两式相加并结合x 1+x 2=5，即可得到|AB|的值为9．本题给出抛物线焦点弦AB 端点A 、B 的横坐标的关系式，求AB 的长度，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．11.答案：B解析：考查基本初等函数、积的函数和复合函数的求导公式，以及极值点的定义及求法，偶函数的定义，偶函数图象的对称性．解：x ≥0时，f′(x)=−(2−x)4e 1−x (7−x)；∴0≤x <2时，f′(x)<0，2<x <7时，f′(x)<0，x >7时，f′(x)>0； ∴x =7是f(x)在[0,+∞)上的极值点； ∵f(x)为偶函数，关于y 轴对称； ∴x =−7为f(x)的又一个极值点； ∴f(x)的极值点个数为2． 故选B ．可求出x ≥0时函数f(x)的导数，根据导数符号便可判断该函数在[0,+∞)上的极值点个数，根据f(x)为偶函数关于y 轴对称便可得出f(x)在(−∞,0)上的极值点个数，从而便可得出f(x)的极值点个数．12.答案：C解析：本题主要考查平面向量基本定理，属于基础题． 由题意可得，M 为△BCD 的中心，N 为线段AC 的中点，，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可求解． 解：M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN ⊥AC ，，M 为△BCD 的中心，N 为线段AC 的中点，，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−43． 故选C ．13.答案：5解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =x−2=0，解得x=2．∴a⃗−2b⃗ =(−3,4)，∴|a⃗−2b⃗ |=√(−3)2+42=5．故答案为：5．由a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，解得x.再利用数量积运算性质即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．14.答案：−13解析：本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出不等式组{x−y⩾0x+2y⩽1y⩾0表示的平面区域，如图将直线l：0=x−2y进行平移，当l经过点A(13,13)时，目标函数z达到最小值，z min=13−2×13=−13．故答案为−1．315.答案：5，由余弦解析：解：在△AFB中，|AF|=6，|BF|=8，∠AFB=π2定理可得：|BF|2=|AB|2+|AF|2−2|AB|⋅|AF|cos∠BAF，即有64=|AB|2+36−12|AB|⋅|AB|−28=0，化为|AB|2−365解得|AB|=10．由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．结合矩形性质可知，2c=10，利用双曲线定义，2a=8−6=2，=5．所以离心率e=ca故答案为：5．在△AFB中，由余弦定理可得|BF|2=|AB|2+|AF|2−2|AB|⋅|AF|cos∠BAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．(22016−1)16.答案：45解析：解：∵a n=2n cos nπ，n∈N∗，2∴a n=a2k=2n coskπ=2n(−1)k=(−1)n2⋅2n；a n=a2k−1=2n cos(2k−1)π=0.(k∈N∗).2∴S2016=a2+a4+⋯+a2n=−22+24−⋯+22016=−4[(−4)1008−1]−4−1=45(22016−1)．故答案为：45(22016−1)．由a n=2n cos nπ2，n∈N∗，可得a n=a2k=2n coskπ=2n(−1)k=(−1)n2⋅2n；a n=a2k−1=2n cos(2k−1)π2=0.(k∈N∗).可得S2016=a2+a4+⋯+a2n．本题考查了等比数列的前n项和公式、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinxcosx=12sin2x，cos2x=12(1+cos2x)∴f(x)=√3sinxcosx−cos2x+m=√32sin2x−12(1+cos2x)+m=√32sin2x−12cos2x−12+m=sin(2x−π6)−12+m∵函数y=fx)图象过点M(π12,0)，∴sin(2×π12−π6)−12+m=0，解之得m=12(2)∵ccosB+bcosC=2acosB，∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB∵B+C=π−A，得sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA∴sinA=2sinAcosB∵△ABC中，sinA>0，∴cosB=12，得B=π3由(1)，得f(x)=sin(2x−π6)，所以f(A)=sin(2A−π6)，其中A∈(0,2π3)∵−π6<2A−π6<7π6，∴sin(2A−π6)>sin(−π6)=−12，sin(2A−π6)≤sinπ2=1因此f(A)的取值范围是(−12,1]解析：本题给出三角函数的表达式，在图象经过已知点的情况下求参数m 的值，在△ABC 中研究f(A)的取值范围，着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．(1)根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数y =f(x)化简，得f(x)=sin(2x −π6)−12+m ，再将M 点坐标代入，可得m =12；(2)利用正弦定理，将ccosB +bcosC =2acosB 化简整理，得cosB =12，所以B =π3.由此得到函数f(A)=sin(2A −π6)，其中A ∈(0,2π3)，再结合正弦函数的图象与性质，可得f(A)的取值范围．18.答案：(1)证明：以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故A (1,0，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，A 1(1,0，1)，D 1(0,0，1)．因为E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点，所以E(12,2,0),P(12,0,1)． 因为M 、N 分别是AE 、CD 1的中点，所以M(34,1,0),N(0,1,12)． MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0,12)． 因为y 轴⊥平面ADD 1A 1，所以m⃗⃗⃗ =(0,1,0)是平面ADD 1A 1的一个法向量． 由于MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(−34)×0+0×1+12×0=0，故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ．又MN ⊄平面ADD 1A 1，故MN//平面ADD 1A 1．(2)解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,1)． 设平面PAE 的一个法向量为u ⃗ =(x,y,z)，则{u ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +2y =0u ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +z =0，即x =4y =2z ．取y =1，得u⃗ =(4,1,2)． 设直线MN 与平面PAE 所成的角为θ，则sinθ=|cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,u ⃗ >|=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|u ⃗⃗ |=√21×√134=8√273273因此直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值为8√273273．解析：(1)以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ADD 1A 1的一个法向量，证明MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =(−34)×0+0×1+12×0=0，故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ，即可证明MN//平面ADD 1A 1；(2)求出平面PAE 的一个法向量，即可求直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(1)至2020年底，种植户平均收入=(100−5x)(1+x 20)3100−5x⩾1.6，即(1+x20)3⩾1.6， 即x ⩾20(√1.63−1)，由题所给数据，知：1.15<√1.63<1.2， 所以3<20(√1.63−1)<4， 所以x 的最小值为4，5x ≥20，所以至少抽出20户从事包装、销售工作； (2)至2018年底，假设能达到1.35万元， 每户年均纯收入为：5x(3−14x)+(100−5x)(1+x 20)100⩾1.35，化简，得：3x 2−30x +70⩽0， 因为x ∈Z ，1 ≤x ≤ 9， 解得：x ∈｛4，5，6｝， 所以5x ∈｛20，25，30｝，所以，从事包装、销售的户数为20或25或30．解析：本题考查函数模型的应用，读懂题意是关键，属于中档题． (1)由题意得(1+x20)3⩾1.6，可得x ⩾20(√1.63−1)，即可求出结果． (2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元，由题意得不等式5x(3−14x)+(100−5x)(1+x 20)100⩾1.35有正整数解，化简整理得3x 2−30x +70⩽0，因为x ∈Z ，1 ≤x ≤ 9，即可得到答案．20.答案：解：(1)连接QF ，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4>|EF|=2√3，∴动点Q 的轨迹是以E(−√3,0)，F(√3,0)为焦点，长轴长2a =4的椭圆， 所以a =2，b =1， 即动点Q 的轨迹方程为：x 24+y 2=1；(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为x =my +n(m ∈R)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， ∵直线l 即x −my −n =0与圆O ：x 2+y 2=1相切， ∴2=1得n 2=m 2+1，又∵点A ，B 的坐标满足：{x =my +nx 2+4y 2−4=0，消去x 整理得(m 2+4)y 2+2mny +n 2−4=0， 由韦达定理得y 1+y 2=−2mn4+m 2，y 1y 2=n 2−44+m 2，又|AB|=√1+m 2⋅|y 1−y 2|，点O 到直线l 的距离d =√1+m 2=1，∴S △AOB =1d ⋅|AB|=1√1+m 2⋅|y 1−y 2|=12√1+m 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =2√3⋅√1+m 2(m 2+4)2， ∵λ=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(my 1+n)(my 2+n)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=5n 2−4m 2−44+m 2=m 2+14+m 2．∵12≤λ≤23，令t =1+m 2，则λ=t 3+t ∈[12,23]，即有t ∈[3,6]．∴S △AOB=2√3⋅√1+m 2(m 2+4)2=2√3⋅√t(t +3)2=2√3⋅√tt 2+6t+9=√3√t+t+6，∵t +9t ∈[6,152]，t +9t +6∈[12,272]，√t +9t+6∈[√12,√272]，∴S △AOB ∈[2√23,1]， ∴S △AOB 的取值范围为[2√23,1]．解析：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)连接QF ，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q 的轨迹方程； (2)设直线l 的方程为x =my +n(m ∈R)，由直线和圆相切的条件：d =r ，可得m ，n 的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB 的面积，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围．21.答案：解：(1)f′(x)=1x −a x 2=x−a x 2(x >0)．①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．②当a >0时，若x >a ，则f′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f(x)min =f(a)=ln a +1． 要证f(x)≥2a−1a，只需证ln a +1≥2a−1a．即证ln a +1a −1≥0．令函数g(a)=ln a +1a −1(a >0)，则g′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，当0<a <1时，g′(a)<0；当a >1时，g′(a)>0， 所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 所以g(a)min =g(1)=0． 所以ln a +1a −1≥0恒成立， 所以f(x)≥2a−1a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数f(x)的最小值，令g(a)=ln a+1a −1(a>0)，则g′(a)=1a−1a2=a−1a2，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(Ⅰ，所以曲线C的极坐标方程为(Ⅱ)设直线l的极坐标方程为θ=θ1(ρ∈R,θ1∈[0,π])，其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得设A，B所对应的极径分别为ρ1,ρ2，∵|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2√3，满足或5π6l的倾斜角为π6或5π6，则或−√33．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C的普通方程，可得其极坐标方程；(Ⅱ)l与C的极坐标方程联立，利用极坐标的几何意义即可．23.答案：(1)证明：要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明|a−b|≤|1−ab|，只要证明(a−b)2≤(1−ab)2，又由a2+b2=1，展开(a−b)2≤(1−ab)2，整理可得0≤a2b2，可知：不等式0≤a 2b 2恒成立， 则：(a −b)2≤(1−ab)2成立， 故原不等式成立．(2)解：根据题意，ab >0， 则(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4 ≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1，当且仅当a =b =√22或a =b =−√22时，等号成立，则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析： 本题考查不等式的证明方法，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)根据题意，要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，即可得证； (2)根据题意，利用基本不等式可求得最值．。
2019年龙岩市数学高考一模试卷(带答案)
2019年龙岩市数学高考一模试卷(带答案)一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( )A．310 B ．25 C ．12 D ．352．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 3．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ．16254．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30° 5．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．156．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±7．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤ 8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角9．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2511．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.14．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b +的最小值为__________． 15．复数()1i i +的实部为 ．16．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 17．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.22．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为63，求PF 的长度. 23．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.24．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．B解析：B【解析】【分析】 根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解．【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．A解析：A【解析】 试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4．C解析：C【解析】【分析】,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥，所以,b c 分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°，,b c 的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b 与c 所成的角为060.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.5．B解析：B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】∵函数2log (1),0()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【点睛】 本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．6．A解析：A【解析】【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．A解析：A【解析】【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系.【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.10．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】M N，是双曲线的两顶点，M O N，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．B解析：B【解析】等比数列的性质可知226416a a a⋅==,故选B.二、填空题13．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=- 求得3152P ⎛-⎝⎭，所以1521512PF k == 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.14．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个 解析：322+【解析】21a b +=，则1111223+322b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为322+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1 【解析】 【分析】先求出二项式9()a x x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r rr a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.17．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：【解析】 因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，的均值为，所以答案应填：．考点：均值的性质．18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++20．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 三、解答题21．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 22．（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===，解方程即得解.（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴26cos ,21411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭，得13λ=或1λ=-（舍去），∴5PF =.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）4A π=；（22【解析】 【分析】（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果.（1）∵cos 5C =-，∴sin 5C ===. 由正弦定理sin sin a c A C=，即sin A =.得sin 2A =，∵cos 05C =-<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4A π=.（2）∵()B A C π=-+，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+252510⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b a B A=102=得b = 在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅242222=+-⨯=，∴CD =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.24．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】线面平行与面面垂直． 25．（Ⅰ）3；（Ⅱ；（Ⅲ【解析】 【分析】（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉计算即可；（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m 与平面111B AC 的法向量n ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉即可；（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴， 由题意，111(0,0,0),B A C A B C ，（Ⅰ）11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-， 所以111111cos ,3||||3AC A B AC A B ACA B ⋅〈〉===⨯，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，则cos α=112|cos ,|3AC A B 〈〉=， 所以异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为3. （Ⅱ）易知111(0,22,0),(2,AA AC ==-， 设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令x =z =，所以(5,0,m =，同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =，则111100n A C nA B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令y =2z =，所以(0,5,n =，所以2cos ,7||||7m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅，设二面角111A AC B --的大小为θ，则sin 7θ==， 所以二面角111A AC B --的正弦值为7. （Ⅲ）由N 为棱11BC 的中点，得,,222N ⎛⎝⎭， 设(,,0)M a b ，则2MN a b ⎛=--⎝⎭，由MN ⊥平面111A B C ，得11110MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(02((a ab ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎫⎫⎪-⋅+-⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故M ⎫⎪⎝⎭，因此2BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以线段BM 的长为10||BM =.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。
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高考模拟数学试卷第1卷选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）l 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {l ，2，3}，B={2，5，7}，则集合M ∩（C U B ）= ( ) A{1} B{2} C {1，3} D {1，2,3}2若双曲线 22221x y a b-= 的离心率为5 ，则其渐近线方程为( )A ．y=±2x B. y=2x ± C. y=12x ± D y=22x ± 3．若△ABC 内角A 满足sin2A=34，则sinA +cosA=( ) A ．72±B.72C. 72- D 744执行如图所示的程序框图，若输入的rt 值为5，则输出结果为( ) A 5 8 6 C 11 D 165“a= —l ”是“直线(a —1)x —y —l=0与直线2x —ay+l=0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 10+ a 11=10，则20ln 1ln10S = A l B ．2 C 一l D.一27用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它体积的最小值与最大值分别为( )A 9与l 3B 7与10C 10与16D 10与I58平行四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（不含端点），AP AB λ=u u u r u u u r .若||AP uuu r =2，||AD uuu r=1，∠BAD =60°且1AP CP •=-u u u r u u u r．则λ=( )A ．14 B.13 C.12 D 239．若直线(m+l)x+(n+l)y-2=0(m ，n ∈ R)与圆（x —l ）2+(y —1)2=1相切，则m+n 的取值范围是( ) A ．[13,13]-+ B ．(,13][13,)-∞-⋃++∞C ．[222,222]-+D ．(,222][222,)-∞-⋃++∞10，已知函数y=f(x)是定义域为R 的奇函数．当x ≥0时f(x)= 2,01(1)1,1x x f x x ⎧≤≤⎨-+>⎩．若恰有5个不同的实数x 1，x 2，…，x 5，使得f(x)=mx 成立，则实数m 的值为( ) A 21- B 222- C ．22- D ．322-第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号位置上答错位置，书写不清．模棱两可均不得分11若复数z 满足1+z i= z (i 为虚数单位），则z =12已知下表所示数据的回归直线方程为 $y = 4x +242．则实数a =____2 3 4 5 6 y251254257a26613,若(1)2log log 0(01)a am n a +=><<，则关于x 的不等式0x n≥-的解集为 14,实数x 、y 满足242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x 2 +y 2 +2一2y 的最小值为——15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为n ，b ，c ，给出下列命题： ①若A>B>C ，则sinA ）sinB> sinC ；②若sin sin sin A B Ca b c==，则△ABC 为等边三角形； ③存在角A ，B ，C ，使得tanA tanB tanC< tanA +tanB+ tanC 成立； ④若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的△ABC 有两个； ⑤若0<tanA tanB<1，则△ABC 是钝角三角形. 其中正确的命题为____（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A( cosx ，1)，B(l ，- sinx)，∈R ， (I)求| AB |的最小值；(Ⅱ)设() f x OA OB =u u u r u u u r g ，将函数f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图像求函数g(x)的对称中心17（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC — A l B 1C 1中，A l B 1= A l C 1，D ，E 分别是棱BC ，C C 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证： (I)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (Ⅱ)直线A 1F ∥平面ADE.18（本小题满分12分）(I)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面抽取了第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 9212 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 6719 9810 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(Ⅱ)抽取的100人的数学与地理的学业水平测试成绩如下表：为良好的共有20 +18 +4=42人若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a．6的值；(Ⅲ)在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率19（本小题满分12分）函数f(x) =(x2+ax+1 )e x．(I)若函数f(x)在区间(2，3)上递增，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=l，求证：对任意x1，x2 ∈[0，1]，| f(x1) –f (x2) | <2．20（本小题满分13分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，且满足T n = 32n s - 3n , n ∈N* (I)求a 1的值。
(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式;122k k += (Ⅲ)记22(2)nn n a b a =-，n ∈N*,求证：b 1+ b 2+…+ b n <1.21．（本小题满分14分）如图,曲线C 1是以原点O 为中心，F 1 ,F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以原点O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 、B 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2 F 1为钝角，若1275||,||22AF AF == (I)求曲线C 1和C 2的方程；(Ⅱ)设点C 、D 是曲线C 2所在抛物线上的两点（如图）．设直线OC 的斜率为122k k +=CD 过定 点，并求该定点的坐标。
2015年二次数学质量检测（文科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11、21i+ 12、262 13、(]()+∞⋃∞-,,n m 14、0 15、①④⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()1sin ,cos 1---=x x()())4sin(2231sin cos 122π-+=--+-=x x x所以当1)4sin(-=-πx 12223-=-=…………………………………6分（Ⅱ）)4cos(2sin cos )(π+=-=⋅=x x x x f由题意得：)421cos(2)(π+=x x g令πππk x +=+2421得：ππk x 22+=所以函数)(x g 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,22ππk )(Z k ∈……………………………………12分17、（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE＝E ， 所以AD⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE⊥平面BCC 1B 1. …………………………………6分 （Ⅱ）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F.又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F⊥平面BCC 1B 1.由(1)知A D⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F∥AD.又AD 在平面ADE 内，A 1F 不在平面ADE 内，所以A 1F∥平面ADE. …………12分18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）最先检测的3个人的编号依次是785,667,199…………………………2分 （Ⅱ）由题意3.010097=++a，得14=a∵7+9+a +20+18+4+5+6+b =100∴17=b …………………………………………………6分 （Ⅲ）由题意得：31=+b a 且10≥a ，8≥b满足条件的),(b a 有()()()()()()(),15,16,16,15,17,14,1318,19,12,20,11,21,10(),14,17(),13,18(),12,19(),11,20()()()8,23,9,22,10,21共14组，且每组出现的可能性相同 …………………………9分其中满足“数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的),(b a 有：()()()()()()16,15,17,14,1318,19,12,20,11,21,10，共6组 .∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为73146=…………………………………12分19、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）[]1)2()(2++++='a x a x e x f x因为)(x f 在)3,2(上递增，所以0)(≥'x f 对)3,2(∈x 恒成立 即：01)2(2≥++++a x a x 对)3,2(∈x 恒成立所以0)2(≥'f ，所以3-≥a ………………………………6分 （Ⅱ）因为曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为1=y所以0)0(='f ，所以1-=a ，x e x x x f )1()(2+-=，()x x e x f x+='2)( 从而)(x f 在[]1,0上递增故)(x f 在[]1,0在最大值为e f =)1(，最小值为1)0(=f从而对任意[]1,0,21∈x x ，有21)()(21<-≤-e x f x f ……………………………12分20、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当2分由②-①得：13-=n n a a所以数列{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列.所以nn n a 32361⋅=⋅=- ……………………………………7分分21、（本小题满分14分）解 （Ⅰ）设A(x A ,y A ),F 1(-c,0),F 2(c,0),曲线C 1所在椭圆的长轴长为2a ，则2a=|AF 1|+|AF 2|=6 又由已知及圆锥曲线的定义得：4分高考模拟数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案. 【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。