2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十三3.5.2简单的三角恒等变换理

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2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理

运用多个公式解决含多个未知数的问题。
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检查概念与公式的掌握程度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公式，为下一步的练习做好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多次温习概念与公式，通过追溯源头的方式加深理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三角函数，然后进行化简，避免表达式过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式，并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C，其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用课时提升作业理

两角和、差及倍角公式的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·成都模拟)下列各式中,值为错误！未找到引用源。

的是( )A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=错误！未找到引用源。

.2.(2016·宁德模拟)已知sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,则tan2α= ( )A.-错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.-错误！未找到引用源。

D.2【解析】选A.因为sinα=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,所以cosα=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,tanα=错误！未找到引用源。

=2,所以tan2α=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=错误！未找到引用源。

,则cos2α的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.将sinα+cosα=错误！未找到引用源。

两边平方,得1+sin2α=错误！未找到引用源。

,所以sin2α=-错误！未找到引用源。

,所以sinα>0,cosα<0,可知错误！未找到引用源。

<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以错误！未找到引用源。

<α<错误！未找到引用源。

,即π<2α<错误！未找到引用源。

,所以cos2α=-错误！未找到引用源。

.4.已知α∈R,sinα+2cosα=错误！未找到引用源。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质理

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质理[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，题目难度中等．一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( C ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2017·浙江模拟)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．3．(2017·辽宁模拟)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( B )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增解析：由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B ．4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|＝π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( D )A ．1B ．12C ．22D ．32解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 5．(2017·河南郑州模拟)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( A )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，故|φ|min ＝π6.6．(2017·河南豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( D )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 即φ＝k π－13π6，k ∈Z .又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D ．二、填空题7．(2017·天津模拟)函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π22解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.根据正弦曲线，得当2x －π4＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值为－22.故f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为22.8．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为1.解析：f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.9．把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.解析：把函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为π12.三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14.所以k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z .可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求ω，φ的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，求f (x )的最大值与最小值，解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π，且 k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1，当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第4讲函数y=asin(ωx+φ)的图象课时作业理.docx

第4讲函数尸Msin(必+ 0)的图象知能」训纟东函数 y=sin((^x+ 0) (/GR, 。

>0, OW 0<2 n )的部分图象如图 X3-4-1,见I (C.向左平移令个单位长度D.向左平移专个单位长度3. (2017年四川眉山中学统测)将函数f(0 =3sin (2x+*j 的图彖向右平移手个单位长度，所得图彖对应的函数()A. 其一条对称轴方程为x=—~ P Ji 7 n ~lB. 在区间叵，-j^~上单调递增C. 当x=^+k^ (Aez)时取得最大值JI JI iD. 在区间［―石，力上单调递增4. (2015年湖南)将函数/V)=sin2尢的图象向右平移O (0V 个单位长度后得到函数呂3的图象，若对满足I f(x} —glxb | =2的%1, X2,有I 曲一疋|血=寸~,则e=()5 n JI JI JTG>0, -y<JI周期为n,将该函数的图象向左平移云个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，6则/V)的图象()< n A 5 nA.关于点辰，0丿对称B.关于直线x=—^i 称/5 兀、 JTC.关于点(-了莎，0丿对称D.关于直线x=—^\称6. _____ 设f(x) =£si n 3x+cos 3x,若对任意实数/都有| f(x) | W 曰，则实数臼的取值范围是 _________ .A. C.2. A. 兀兀 2，屮4JIJI°=匸，^=~B.D.67 =TJI —亍3^+cos 为了得到函数y=sin向右平移令个单位长度B.向右平移*个单位长度 3%的图象，可以将函数y=£cos 3丸的图象( 于)的最小正5. (2017年湖北咸宁模拟)已知函数f(x)=sinS+ 0) 心石,5 JT，兀、JI JI7. 已知函数f\x ） =sin^2%+—J,其中——, & .当日=可时，f （*）的值域是_________ ;若心）的值域是一右1，则超的取值范围是 ________________ •8. （2015年湖南）己知Q>0,在函数y=2sin QX 与y=2cos ex 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 並则.9. （2015年天津）已知函数f （x ）=sin ®/+cos e 无（e>0）, 若函数f （x ）在区间（—3、 •）内单调递增，吐函数代方的图象关于直线X= 3对称，则3的值为10. （2014 年北京）函数 /a ）=3sin 2x+⑴写出f （0的最小正周期及图中必，风的值;11. （2017 年山东）设函数 f\x ） =sin （G”一" j + 一•］其中 0< 以3,己知 j=0.⑴求0（2）将函数y=f\^的图象上各点的横坐标伸长为原來的2倍（纵坐标不变），再将得到JT r JT 3 JT '的图彖向左平移才个单位，得到函数尸呂3的图彖，求£（力在一才，T 上的最小值.的部分图象如图X3-4-2.⑵求“方在区间第4讲函数y=Ssin （ g+妙）的图象1. C 解析：V-=3-l=2, A 7=8, ：■ 32兀兀 ■ HJT 兀~=~+ ^=~f 得(t)=~'故选C.2. A 解析：由于 y=sin 3%+cos 3/=£sin （3jv+_j _） y=y[2 因此只需将y=£cos3/的图象向右平移誇个单位长度，即可得到y=^2si n 3（xcos 3x=y/^si n (3卄寿)1 71'12 2( JIsin^3jr+—J 的图彖.（JI \JI3. B 解析：Ax ）=3sinl2^+yJ 的图象向右平移㊁个单位长度所得图象对应的函数为f Jl \ Jl K =—3sin( 2^r+—I,其对称轴方程为 2x+—=—+k^ (&GZ), 兀开、3 2\“ jsJI kn・Ji(nA即 x=Ti+丁('WZ )，排除 A.当 x=—+kTi (Aez),得一3sin (2«Ji +_J= —3.故C 错误.由勺~+2&兀 W2/+丁 W'^_+2&JT («WZ),得石+&”(«WZ),即 f(x)的增区间r n7 兀 ~i为 ~+k71 (Rwz).故选 B .4. D 解析：向右平移妙个单位长度后，得到g(x) =sin(2x —2 0), T | f(xj —gg) |=2,・；不妨令 2xi=—+2k^ (A^Z), 2x2 —2 © = —~ +2〃5(〃WZ).Xi — X2=~■—0 +JIJIJTJT^i —^Lin=—."=w ”=飞・故选 D .5. B 解析：由己知，得e = 2,则fd)=sin(2x+C).设平移后的函数为,则 “…(71) 3,…3/ 令2x ——=kn +—(/rEZ),易得f(x)的图象关于直线*=令■对称.故选B.6. [2, +°°) 解析：f(x) =£sin 3x+cos 3x=2sin (3/+石1 □ 1f\x) =3sin 2 x(JTg{x) =sinl 2^+—+ O一专-〈如自，且为奇函数，所以。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练(含答案)

第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、填空题1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．|sin α|sin αtan α|tan α|答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以|sin α|sin αtan α|tan α|＋＝0.|sin α|sin αtan α|tan α|2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为，则cos 45α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－.由4535三角函数的定义可得cos α＝－.353. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．sin α－cos αsin α＋cos α答案：－3解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.1525sin α－cos αsin α＋cos α4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 15α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x ＝，15x x2＋1615x x2＋16解得x ＝－3，所以tan α＝＝－.4x 435. 函数y ＝的定义域为________．2sin x －1答案：(k∈Z )[2k π＋π6，2k π＋5π6]解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)12．∴ x∈(k∈Z )．[2k π＋π6，2k π＋5π6]6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－43解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故a－43＝，解得a ＝－4.a－4337. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为2π3________．答案：(－12，32)解析：由弧长公式l ＝|α|r，l ＝，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q 的2π32π3坐标为，即.(cos 2π3，sin 2π3)(－12，32)8. 已知角α的终边在直线y ＝－x 上，则2sin α＋cos α＝________．34答案：或－2525解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，34故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，35453545∴ 2sin α＋cos α＝或－.25259. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O 作OC⊥AB于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt△AOC 中，AO ＝＝.AC sin ∠AOC 1sin 1即r ＝，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝.1sin 12sin 110. 已知角x 的终边上一点的坐标为，则角x 的最小正值为________．(sin5π6，cos 5π6)答案：5π3解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x 的终边经过点，所以角x 是第四象限角，5π6125π632(12，－32)tan x ＝＝－，∴ x ＝2kπ＋，k∈Z ，∴ 角x 的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x ＝－321235π35π3得出)sin xcos x 11. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则sin 的值的符号是________．|c osθ2|θ2θ2答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z )，kπ＋<<kπ＋(k∈Z )．3π2π2θ23π4又＝－cos ，所以cos ≤0，|c osθ2|θ2θ2从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z )．π2θ23π2综上可知：2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z )，即是第二象限角，所以sin >0.π2θ23π4θ2θ2二、解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q 按π3顺时针方向每秒钟转弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧π6长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·＋t·＝2π.π3|－π6|所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在·4＝的位置，π34π3则x C ＝－cos ·4＝－2，y C ＝－sin ·4＝－2.π3π33所以点C 的坐标为(－2，－2)．3点P 走过的弧长为4··4＝，点Q 走过的弧长为4··4＝.π316π3π68π313. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解：(1) 由题意可得B ，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(－45，35)y x 34(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝.π3故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z }．|β＝π3)(3) 若α∈，则S 扇形AOB ＝αr 2＝α，α∈.(0，2π3]1212(0，2π3]而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝α－sin α，α∈.第2课时　同角三角函数的基本关1212(0，2π3]系式与诱导公式一、填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝.122. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．(－π2，π2)35答案：45解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.(－π2，π2)3545453. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．1213答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－12131－sin2α513sin αcos α.125 4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin(π2＋β)α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.310105. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.sin2x －5 sin x· cos x sin2x ＋ cos2x tan2x －5tan x tan2x ＋152－5×552＋16. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．25答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos 252425θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.72531257. 已知sin(π－α)＝log 8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．14(－π2，0)答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 8＝－.1423又α∈，得cos α＝＝，(－π2，0)1－sin2α53tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.sin αcos α2558. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝.22＋2－222＋1459. 设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________．(23π6)答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ＝f ＝f ＝f＝f ＋sin π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f (236π)(116π＋2π)(116π)(π＋56π)(56π)56＝0＋＝.(236π)121210. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、解答题11. 已知＝－，求的值．1＋sin αcos α12cos αsin α－1 解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即1＋sin αcos αcos α1－sin αcos α1－sin α12＝.cos αsin α－11212. 已知f(x)＝(n∈Z )．cos2（n π＋x ）·sin2（n π－x ）cos2[（2n ＋1）π－x](1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ＋f 的值．(π2 017)(2 015π4 034)解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝＝cos2（2k π＋x ）·sin2（2k π－x ）cos2[（2·2k ＋1）π－x]cos2x·sin2（－x ）cos2（π－x ）＝＝sin 2x ；cos2x·（－sin x ）2（－cos x ）2当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos2[（2k ＋1）π＋x]·sin2[（2k ＋1）π－x]cos2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos2（2k π＋π＋x ）·sin2（2k π＋π－x ）cos2[2·（2k ＋1）π＋π－x]＝＝＝sin 2x.cos2（π＋x ）·sin2（π－x ）cos2（π－x ）（－cos x ）2·sin2x（－cos x ）2综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ＋f (π2 017)(2 015π4 034)＝sin 2＋sin 2π2 017 2 015π4 034＝sin 2＋sin 2π2 017(π2－π2 017)＝sin 2＋cos 2＝1.π2 017π2 01713. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式(－π2，π2)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．{sin （3π－α）＝2cos(π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）)解：存在α＝，β＝使等式同时成立．π4π6由{sin （3π－α）＝2cos (π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），)得{sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，)两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝，即cos α＝±.1222因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.(－π2，π2)22π4π4将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.π43232由于β∈(0，π)，所以β＝.π6将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．π4212综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时　三角函数的图象和性质π4π6一、填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan＋2的定义域为____________．(x ＋π6)答案：{x |x ≠k π＋π3，)k ∈Z}解析：由x ＋≠kπ＋，k∈Z ，得x≠kπ＋，k∈Z .π6π2π32. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移(2x ＋π6)变换：____________.答案：向左平移个单位π12解析：y ＝sin＝sin 2，所以要得到函数y ＝ sin 的图象，只需要将函数(2x ＋π6)(x ＋π12)(2x ＋π6)y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位．π123. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得(2x ＋π3)(0<φ<π2)函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z )．又0<φ<，(2（x －φ）＋π3)π3π2π2所以φ＝.5π124. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos (ω∈N )图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．(ωx ＋π6)(π6，0)答案：2解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.πω6π6π26. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函(0<φ<π2)3数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：(π12，7π12)解析：由题意可得2sin(2×0＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在332π3(2x ＋π3)[0，π]上的单调递减区间是.(π12，7π12)7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin .因为2πωπ4(π4x ＋φ)(3，0)为函数f(x)＝3sin 的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得(π4x ＋φ)π4φ＝＋2kπ(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，则f(0)＝3sin ＝π4π4(π4x ＋π4)π4.3228. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．[0，π3]2答案：34解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，π3ωπ3π3则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，[0，π3]2ωπ32ωπ3π3所以＝，解得ω＝.ωπ3π4349. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝时，函数取得最大值2，x ＝时函数取得最1254小值－，所以|x 2－x 1|的最小值是－＝.254123410. 若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．(ωx －π4)(0，π2)答案：(0，32]解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z ，得－＋≤x≤＋，k∈Z .取k ＝0，得π2π4π2π4ω2k πω3π4ω2k πω－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又π4ω3π4ω(ωx －π4)(0，π2)3π4ωπ232ω>0，所以ω的取值范围是.(0，32]11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在上是增函数；(π2，5π6)⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，(π2)(－π2)∴ f(x)不是偶函数．∵ x∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sinx －1＝0，解得sin x ＝，当x∈[－π，0]时，sin x ＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在1±521－52[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x·(－sin x)＋cos x ＝cos x·(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，<sin x<1，∴ f′(x)＝cos x·(1－2sin x)>0，(π2，5π6)12∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(π2，5π6)＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．(sin x －12)2 54[－1，54]二、解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最π2低点为M .(2π3，－3)(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜成立的x 的取值集合．32解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z ，即(4π3＋φ)4π3π2φ＝－π＋2kπ，k∈Z .116而0＜φ＜，所以k ＝1，φ＝.π2π6故f(x)＝3sin.(2x ＋π6)(2) f(x)＜等价于3sin＜，即32(2x ＋π6)32sin＜，(2x ＋π6)12于是2kπ－＜2x ＋＜2kπ＋(k∈Z )，7π6π6π6解得kπ－＜x ＜kπ(k∈Z )，2π3故使f(x)＜成立的x 的取值集合为{x|kπ－＜x ＜kπ，k∈Z }．322π313. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y 轴(ω>0，0≤φ≤π2)交于点(0，)，最小正周期是π.3(1) 求ω，φ的值；(2)已知点A ，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈(π2，0)32时，求x 0的值．[π2，π]解：(1) 将点(0，)代入y ＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.332∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.π2π6∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.2πT (2) 由(1)知y ＝2cos.(2x ＋π6)∵ A ，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝，(π2，0)32∴ P .(2x0－π2，3)∵ 点P 在y ＝2cos的图象上，(2x ＋π6)∴ 2cos＝，∴ cos ＝－.(4x0－π＋π6)3(4x0＋π6)32∵ x 0∈，∴ 4x 0＋∈，[π2，π]π6[2π＋π6，4π＋π6]∴ 4x 0＋＝2π＋π－或4x 0＋＝2π＋π＋，π6π6π6π6∴ x 0＝或.第4课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式2π33π4一、填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝.2＋642. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin (48°－18°)＝sin 30°＝.123. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．5531010答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴ cos α＝，sin β＝，－2551010∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.224. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则310tan β＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan310110β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α－2＋31＋6175. 已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin(α－β)＝__________．(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513答案：1665解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)π6(π2，π)5π6(－π2，0)(α＋π6)355π6＝－，1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[×－×]＝.π65π645513(－35)(－1213)16656. 已知sin ＋sin α＝，则sin＝__________.(π3＋α)435(α＋7π6)答案：－45解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos (π3＋α)435π3π34353232α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin 435321245(α＋7π6)7π67π632α＋cos α)＝－.12457. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．33答案：π3解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β33又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.π38. 计算：＝________．2sin 50°－3sin 20°cos 20°答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝＝1.cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．551010答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，551010∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin 25531010αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.22π410. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝.π4在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.55255sin ∠CED＝sin (π4－∠BEC)＝cos ∠BEC－sin ∠BEC 2222＝×＝.22(255－55)1010二、解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝，求A ；π6(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A －)，(A ＋π6)π6∴ sin A ＋cos A ＝2.3212(32sin A －12cos A)化简，得sin A ＝cos A ，∴ tan A ＝.33又A∈(0，π)，∴ A ＝.π3(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B.又cos Acos B≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝.2312. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1) 已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，α2α262得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.α2α23212又<α<π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.3545则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋31013. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan ·cos ωxsin φ的图象关3π3(ω>0，－π2≤φ<π2)于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.π3(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ＝，求cos 的值．(α2)34(π6＜α＜2π3)(α＋3π2)解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，3因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝＝2.2πT 又f(x)的图象关于直线x ＝对称，π3所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z .π3π2由－≤φ<得k ＝0，π2π2所以φ＝－＝－.π22π3π6(2) 由(1)得f(x)＝sin，3(2x －π6)所以f ＝sin＝，(α2)3(2·α2－π6)34即sin＝.(α－π6)14由<α<得0<α－<，π62π3π6π2所以cos＝＝(α－π6)1－sin2(α－π6)1－(14)2 ＝.154因此cos＝sin α＝sin (α＋3π2)[(α－π6)＋π6]＝sin cos ＋cos sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.1432154123＋158第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式一、填空题1. －sin 2的值为________．12π12答案：34解析：－sin 2＝＝cos ＝×＝.12π1212(1－2sin2π12)12π61232342. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．cos 2αsin (α＋7π4)22答案：12解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.cos2α－sin2α22（sin α－cos α）22124. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．210答案：725解析：由sin (α－45°)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 21015α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝.35457255. 若函数f(x)＝sin 2＋cos 2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．(x ＋π4)(x －π4)答案：(k∈Z )[－π4＋k π，π4＋k π]解析：f(x)＝sin 2(＋x)＋sin 2(＋x)－1＝2sin 2(＋x)－1＝－cos ＝sin 2x.易得函数f(x)的π4π4π4(π2＋2x)单调增区间是(k∈Z )．[－π4＋k π，π4＋k π]6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．13答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin131010310102α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.101031010357. 已知sin 2α＝，则cos 2＝___________．13(α－π4)答案：23解析：cos 2＝＝＝＝.(α－π4)1＋cos (2α－π2)21＋sin 2α21＋132238. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．1＋tan α1－tan α1cos 2α答案：2 017解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.1cos 2α2tan α1－tan2αcos2α＋sin2αcos2α－sin2α（1＋tan α）21－tan2α1＋tan α1－tan α9. 设f(x)＝＋sin x ＋a 2sin的最大值为＋3，则常数a ＝____________．1＋cos 2x2sin (π2－x )(x ＋π4)2答案：±3解析：f(x)＝＋sin x ＋a 2sin ＝cos x ＋sin1＋2cos2x －12cos x (x ＋π4)x ＋a 2sin＝sin ＋a 2sin ＝(＋a 2)sin(x ＋)．依题意有＋a 2＝＋3，(x ＋π4)2(x ＋π4)(x ＋π4)2π422∴ a ＝±.310. 已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________．(0，π2)(θ－π4)210答案：－247解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，(θ－π4)21015(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.754535432tan θ1－tan 2θ24711. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－·sin (0<φ<π)，将函数f(x)的图象向1212(π2＋φ)左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g ＝，则φ＝________．π12(π4)12答案：2π3解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－sin1212(π2＋φ)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ12cos 2x ＋1212＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ1212＝cos(2x －φ)，12∴ g(x)＝cos ＝cos .12[2(x ＋π12)－φ]12(2x ＋π6－φ)∵ g ＝，(π4)12∴ 2×＋－φ＝2kπ(k∈Z )，即φ＝－2kπ(k∈Z )．π4π62π3∵ 0<φ<π，∴ φ＝.2π3二、解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin ＋2cos 2x －1，x∈R .(2x ＋π3)(2x －π3)(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[－π4，π4]解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝sin，π3π3π3π32(2x ＋π4)∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝＝π.2π2(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，[－π4，π8][π8，π4]又f＝－1，f ＝，f ＝1，(－π4)(π8)2(π4)∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.[－π4，π4]213. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x.12(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ＝，求tan 的值．(α4－π8)22(α＋π3)解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x)＝sin 12121222，(4x ＋π4)∴ f(x)的最小正周期T ＝.π2令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z ，π2π432得＋≤x≤＋，k∈Z .k π2π16k π25π16∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z .[k π2＋π16，k π2＋5π16](2) ∵ f ＝，即sin ＝1，(α4－π8)22(α－π4)又α∈(0，π)，－<α－<，π4π43π4∴α－＝，故α＝.π4π23π4因此tan＝＝＝2－.(α＋π3)tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3－1＋31＋33第6课时　简单的三角恒等变换一、填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝，则cos 4α＝________．23答案：－19解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos2α＝，∴cos234α＝2cos 22α－1＝2×－1＝－.(23)2 192. 若sin ＝，则cos 2α＝________．α233答案：－79解析：cosα＝1－2sin 2＝1－2×＝，cos2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.α2(33)2 13(13)2 793. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A ＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A·tan B ，则C ＝__________．33答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝(tan A·tan B －1)，3∴ tan(A ＋B)＝＝－.又0＜A ＋B ＜π，tan A ＋tan B1－tan Atan B 3∴ A ＋B ＝，∴ C ＝.2π3π35. 若2cos 2α＝sin ，且α∈，则sin 2α＝___________．(π4－α)(π2，π)答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ，得2(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin (π4－α)22α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.2418786. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．1＋sin 2α 答案：∪[0，3π4][7π4，2π)解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，1＋sin 2α2(α＋π4)2所以α的取值范围为∪.[0，3π4][7π4，2π)7. ＝___________．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°38. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．2425(3π4，π)答案：35解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)(3π4，π)2＝1＋sin 2α＝1－＝，2425125∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，1575∴ sin α＝.359. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝＝＝.2sin 36°cos 36°4cos 18°sin 72°4cos 18°1410. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．12(0，π2)cos 2αsin (α－π4)答案：－142解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，1212∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，1434∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.74又α∈，∴ sin α＋cos α＝，(0，π2)72∴ ＝＝－(sin α＋cos α)cos 2αsin (α－π4)cos2α－sin2α22（sin α－cos α）2＝－.142二、解答题11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ·cos ＝.(B －π6)(B －π3)12(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sincos (B －π6)(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B)＝sin 2B －cos 2B ＝sin 2B －＝，34141412所以sin 2B ＝.34因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝，即B ＝.32π3(2) 因为B ＝，所以A ＋C ＝.π32π3又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝＝－，tan A ＋tan C1－tan Atan C 3所以tan A ＋tan C ＝tan Atan C －＝2　①.333又tan Atan C ＝3　②，由①②解得tan A ＝tan C ＝，所以A ＝C ＝.3π312. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ＝，α∈.(α＋π4)210(π2，π)(1) 求cos α的值；(2) 求sin的值．(2α－π4)解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.(π2，π)π4(3π4，5π4)又sin＝，所以cos ＝－＝－＝－.(α＋π4)210(α＋π4)1－sin2(α＋π4)1－(210)2 7210所以cos α＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－.[(α＋π4)－π4](α＋π4)π4(α＋π4)π47210222102235(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，(α＋π4)210π4π4210即sin α＋cos α＝　①.15又sin 2α＋cos 2α＝1　②.由①②解得cos α＝－或cos α＝.3545因为α∈，所以cos α＝－.(π2，π)35(2) 因为α∈，cos α＝－，(π2，π)35所以sin α＝＝＝.1－cos2α1－(－35)2 45所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，45(－35)2425cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.(－35)2 725所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.(2α－π4)π4π4(－2425)22(－725)221725013. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四π3边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt△OEQ 中，OE ＝QE ＝PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－sinθ，所以S ＝MN·PD ＝333333·sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ，θ∈.(cos θ－33sin θ)33(0，π3)(2) 由(1)得S ＝sin 2θ－(1－cos 2θ)1236＝sin 2θ＋cos 2θ－123636＝sin－，33(2θ＋π6)36因为θ∈，所以2θ＋∈，(0，π3)π6(π6，5π6)所以sin ∈.(2θ＋π6)(12，1]当θ＝时，S max ＝(m 2)．π636第7课时　正弦定理和余弦定理一、填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．2答案：23解析：由已知及正弦定理得＝，即AC ＝＝＝2.AC sin B BC sin A BC·sin B sin A 32·sin 45°sin 60°32. 在△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．3答案：2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得＝，则BC ＝，所以BC ＝AC sin B BC sin A AC·sin Asin B ＝.3×223223. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为____________．32答案：3解析：S ＝AB·ACsin 60°＝×2××AC ＝，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°12123232＝3，所以BC ＝.34. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案：3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝.12∴ A ＝.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为bcsin A ＝.π31235. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －a ，则角B 的大小为________．3答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－sin A ⇒2sin33Acos B ＝sin A ．∵ A∈(0，π)，∴ cos B ＝.∵ B∈(0，π)，∴ B ＝.332π66. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝.π47. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形B 2a ＋c2c 状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2＝，所以2cos 2－1＝－1，所以cos B ＝，所以＝，所以B 2a ＋c 2c B 2a ＋c c a c a2＋c2－b22ac ac c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝2，a ＋b ＝6，3＝2cos C ，则c ＝________．acos B ＋bcos Ac 答案：23解析：∵ ＝2cos C ，acos B ＋bcos Ac 由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ，∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴ cos C ＝，∴ C ＝.12π3∵ S △ABC ＝2＝absin C ＝ab ，∴ ab ＝8.31234又a ＋b ＝6，∴或{a ＝2，b ＝4){a ＝4，b ＝2，)∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2.39. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝acos C ，则sin A ＋sin B 3的最大值是______．答案：3解析：由csin A ＝acos C ，得sin Csin A ＝sin Acos C ，即sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝，∴ 3333C ＝，A ＝－B ，π32π3∴ sin A ＋sin B ＝sin ＋sin B ＝sin.(2π3－B )3(B ＋π6)∵ 0＜B ＜，∴ ＜B ＋＜，2π3π6π65π6∴ 当B ＋＝，即B ＝时，sin A ＋sin B 的最大值为.π6π2π3310. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则的取值范围是________．ab 答案：(，)23解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以所以<B<.{0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，)π6π4因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以＝＝2cos B∈(，)．a b sin Asin B 23二、解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋bc ＝0，2bsin 3A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为.14(1) 求角A 和角B 的大小；(2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝＝，∴ A ＝.b2＋c2－a22bc 32π6由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝.π6(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋－2x··＝()2，解得x ＝2，故S △ABC ＝×2×2×＝2.x24x 2(－12)142122232312. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且·a2＋b2－c2ab ＝1.(a c cos B ＋bc cos A )(1) 求角C ；(2) 若c ＝，△ABC 的周长为5＋，求△ABC 的面积S.77 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝，∴ C ＝.12π3(2) ∵ a ＋b ＋c ＝5＋且c ＝，∴ a ＋b ＝5.77由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝absin C ＝.1233213. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sincos x ．(1) 若0≤x≤ ，求函数f(x)的值域；(x ＋π3)π2(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．32 解：(1)f(x)＝2sincos x ＝(sin x ＋cos x)cos x ＝sinx cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos (x ＋π3)3312322x ＋＝sin ＋.32(2x ＋π3)32由0≤x≤，得≤2x＋≤，π2π3π34π3∴－ ≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴ 0≤sin＋≤1＋，(2x ＋π3)3232∴ 函数f(x)的值域为.[0，1＋32](2)由f(A)＝sin＋＝，(2A ＋π3)3232得sin＝0，(2A ＋π3)又0＜A ＜，∴ ＜2A ＋＜，π2π3π34π3∴ 2A ＋＝π，解得A ＝.π3π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝.7由正弦定理＝，得sin B ＝＝.a sin Ab sin B bsin Aa217∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝，277∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝×＋×＝.12277322175714第8课时　解三角形应用举例一、填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案：6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴ AC ＝×＝.AC sin 60°2sin 45°2223262. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：－13解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理＝，∴ BC ＝ 200sin 15°.100sin 30°BCsin 15°在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得＝，∴ cos θ＝－1.50sin 45°200sin 15°sin （90°＋θ）33. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝20 m ，AC ＝30 m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得105cos∠CAD＝＝＝＝.AC2＋AD2－CD22AC·AD （305）2＋（2010）2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC ＝50 m.1275. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是2__________n mile/h.答案：32。

近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标20三角函数的图象与性质(2021年整理)

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第20讲三角函数的图象与性质［解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．一、选择题1．函数y＝错误!的定义域为( C)A．错误!B．错误!kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!,k ∈ZC．错误!2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!,k∈Z D．R 解析∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z.2．(2018·浙江温州模拟）为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象,可以将函数y＝错误!cos 3x的图象( A）A．向右平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移错误!个单位解析因为y＝sin 3x＋cos 3x＝错误!cos错误!,所以将y＝错误!cos 3x 的图象向右平移错误!个单位后可得到y＝错误!cos错误!的图象.3．（2018·辽宁营口模拟)将函数y＝3sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,所得图象对应的函数（B)A．在区间错误!上单调递减B．在区间错误!上单调递增C．在区间错误!上单调递减D．在区间错误!上单调递增解析由题可得平移后的函数为y＝3sin错误!＝3sin错误!,令2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!，故该函数在错误!（k∈Z）上单调递增，当k＝0时,选项B满足条件,故选B．4．函数f（x)＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示,若x1，x2∈错误!,且f(x1）＝f(x2）,则f（x1＋x2）＝( D)A．1 B．错误!C．错误!D．错误!解析观察图象可知,A＝1，T＝π，∴ω＝2,f(x)＝sin（2x＋φ)。

2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上．变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限．答案：三解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；－223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角；因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称．答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________．答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________．答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴ C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________．答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小．【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的，所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________．答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32，即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________．答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记]。

2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝得 2sin
2 α cos α＝－，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝

全国通用近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业二十二3.5.2简单的三角恒等变换文(

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课时分层作业二十二简单的三角恒等变换一、选择题（每小题5分，共35分)1.化简:= ( )A。

sin2α B.tan2α C.sin2D。

tan2【解析】选D。

原式==tan2。

2。

(2018·沈阳模拟)化简= （)A。

1 B.C。

D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C。

原式====。

3。

（2016·浙江高考）设函数f（x）=sin2x+bsin x+c，则f（x）的最小正周期（）A.与b有关,且与c有关B。

与b有关,但与c无关C。

与b无关，且与c无关D。

与b无关，但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选B。

f（x）=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=—+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x）=-+c+,此时周期为π；当b≠0时，周期为2π，而c不影响周期。

4。

已知锐角α,β满足sin α-cos α=，tan α+tanβ+·tan αtanβ=，则α,β的大小关系是( ）A.α〈〈βB。

高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文

例 1 (1)[2017·衡水中学二调]cos130°－sin1170°＝(
)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析]
3－ 1 ＝
3－ 1 ＝
cos10° sin170° cos10° sin10°
3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
3 2

，1，f(x)∈0，1＋

23.
故

f(x)的值域为0，1＋
23.
核心规律重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2sin20°
2sin20°
(2)4cos50°－tan40°＝(
)
A． 2
B．
2＋ 2
3
C． 3 [解析]
D．2 2－1
4cos50°－
tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°＝ cos40°
2sin80°－sin40°
＝
cos40°
2sin100°－sin40°
＝
cos40°
2sin60°＋ cos4400°°－sin40°＝2×
23cos10°＋12sin10° cos20°
考向三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
例 2 [2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝(

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质课时作业

第三节三角函数的图象与性质课时作业A 组——基础对点练1．以下函数中，最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是()．＝ cos 2x ＋ π．＝ sin 2x ＋ π A y 2B y 2C ． y ＝ sin 2 x ＋ cos 2 xD ． y ＝sin x ＋ cos x剖析： y ＝ cos 2x ＋ π ＝－ sin 2 x ，最小正周期＝2π ＝ π，且为奇函数，其图象关于原 2T 2点对称，故A 正确； y ＝sin2 ＋ππ，且为偶函数，其图象关x2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为于 y 轴对称，故 B 不正确； C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C ， D 不正确．答案： A2．已知函数y ＝ sin ω x ( ω>0) 在区间 0， π上为增函数，且图象关于点(3 π ，0) 对称，2则 ω 的取值会集为 ()1 211A. 3， 3， 1B ． 6，31 21 2 C. 3，3D ． 6，3π ≥ π，0<ω ≤1， 1 2 剖析：由题意知2ω2即k其中 k ∈Z ，则 ω ＝，ω ＝或 ω3ωπ ＝ k π，ω ＝ 3，331 2＝ 1，即 ω 的取值会集为 3，3， 1 .答案： A3．(2018 ·长春调研 ) 函数 f ( x ) ＝ (sin x ＋ cos x ) 2 图象的一条对称轴方程是 ()ππA ． x ＝ 4B ． x ＝ 3C ． x ＝ πD ． x ＝π2剖析： f ( x ) ＝ (sinx ＋ cos x ) 2＝ sin 2 ＋ cos 2 ＋ 2sin x cos x ＝ 1＋ sin 2 x ，将各选项代入验x xπ证可知，当 x ＝时， f ( x ) 获取最值，应选 A.答案： A．函数 f ( x ) ＝tan 2x －的单调递加区间是 ()4 3k ππ k π5πA. 2 － 12， 2 ＋ 12 ( k ∈ Z)B.k π － π， k π ＋5π( k ∈ Z) 212212π5πC. k π － 12， k π ＋ 12 ( k ∈ Z)D k π ＋ π ， π ＋2π( k ∈ Z)6 k3πππk π π k π 5π剖析：由 k π － 2 <2x － 3 <k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，得 2 － 12 <x < 2 ＋ 12 ( k ∈Z) ，因此函数 f ( x )π k π π k π 5π＝tan 2x － 3 的单调递加区间为 2 －12， 2 ＋12 ( k ∈ Z) ．答案： Bπ5．(2018 ·云南五市联考 ) 若函数 f ( x ) ＝ 2sin ω x (0 ＜ω ＜ 1) 在区间 [0 ，3 ] 上的最大值为 1，则 ω ＝ ( )11 A. 4B ． 31D ．3C.22πππ剖析：因为 0＜ ω＜1,0 ≤ x ≤ 3 ，因此 0≤ ω x ＜ 3 .因此 f ( x ) 在区间 [0 ， 3 ] 上单调递加，则 f ( x ) max ＝ f ( π) ＝ 2sin ω π ＝ 1，即 sin ω π＝ 1 . 又 0≤ ω x ＜ π ，因此 ω π＝ π，解得 ω3 3 3 2 3 3 61 ＝ 2，选 C.答案： C2x 136．函数 f ( x ) ＝ 3cos 2－ 2sin x － 2 ( x ∈ [0 ，π ]) 的单调递加区间为 ()5π 2π A ．[0， 6 ]B ．[0， 3 ]5π2πC ． [，π ]D ． [， π ]63剖析： f ( x ) ＝ 3cos 2x1x －3 3(2cos 2x1 x ＝3 x 1x ＝ cos(x－ sin＝2 － 1) － sincos－ sin2 222 222ππ7ππ6k x 6 k k k 6 x k 6k x5ππ] ，因此当 k ＝ 1 时， f ( x ) 的单调递加区间为 [ 6 ， π ] ，应选 C.答案： C7．函数 y ＝ (sin x ＋ cos x ) 2－1 是() A ．最小正周期为 2π 的奇函数 B ．最小正周期为 2π 的偶函数 C ．最小正周期为 π 的奇函数D ．最小正周期为 π 的偶函数剖析： y ＝ sin 2x ＋ 2sin x cos x ＋cos 2x － 1＝ sin 2 x ，应选 C.答案： Cππ π8．函数f ( x ) ＝ 2sin( ω x ＋φ )( ω ＞0) 对任意 x 都有 f 6 ＋ x ＝ f 6 － x ，则 f 6 等于()A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或 0ππ剖析：因为函数 f ( x ) ＝ 2sin( ω x ＋ φ ) 对任意 x 都有 f 6＋ x ＝ f 6 －x ，因此该函数图象π关于直线 x ＝ 6 对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，因此选B.答案： B9．已知函数f ( x ) ＝ sin ω x － 3cos ω x ( ω ＞ 0) 在 (0 ， π ) 上有且只有两个零点，则实数ω 的取值范围为 ()4 4 7A ．(0， ]B ．(， ]33 37 1010 13C ．(3， 3]D ．( 3， 3]剖析：易得 f ( x ) ＝ 2sin( ω x －π ) ，设 t ＝ ω x － π，因为 0＜ x ＜ π ，因此－ π ＜ t ＜ ωπ －3 3 3 πf ( x ) 在 (0 ，π ) 上有且仅有两个零点，因此 π＜ ω π － π4 73 ，因为函数 3 ≤2π ，解得 3＜ ω ≤ 3，应选 B. 答案： B10.(2018· 长沙模拟)已知函数f ( x) ＝ sin( ω x ＋ φ )( >0 ，AAω>0,0< φ <π ) 的部分图象以下列图，其中图象最高点和最低点的横坐π 7π标分别为 12和 12 ，图象在 y 轴上的截距为3，给出以下四个结论：①f ( x ) 的最小正周期为 π ；② f ( x ) 的最大值为 2；π ＝1；④ f x － π为奇函数．③f4 6其中正确结论的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4剖析：由图知，周期 T ＝ 27π－ π＝π ，12 12πππ则 ω ＝ 2，由 2× 12＋ φ ＝ 2 ，得 φ ＝ 3 .π由 f (0) ＝3，得 A sin 3 ＝ 3，即 A ＝2.π因此 f ( x ) ＝ 2sin 2x ＋ 3 ，ππ ππ则 f 4 ＝ 2sin 2 ＋ 3 ＝ 2cos 3 ＝ 1，f x － π ＝ 2sin 2π ＋ π ＝ 2sin 2 x 为奇函数．因此四个结论都正确．x －6 6 3 答案： D．已知 x ∈ (0 ，π ，关于 x 的方程2sin x ＋ π＝ a 有两个不相同的实数解，则实数 a 的取 11 ] 3值范围为 __________．剖析：令 y 1＝ 2sinx ＋π， x ∈ (0 ， π ] ，y 2＝ a ，作出 y 1 的图象如图所3示．若 2sinπy 1 与 y 2x ＋＝ a 在 (0 ，π ] 上有两个不相同的实数解，则3应有两个不相同的交点，因此3<a <2.答案： ( 3， 2)π12．若函数 f ( x ) ＝ sin( x ＋ φ ) ＋ cos( x ＋φ ) | φ |< 2 为偶函数，则 φ ＝ __________.剖析：由题意可知 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ φ＋ π | φ|< π 为偶函数，因此 φ ＋π ＝ π＋ π ( k 4 2 4 k2ππ∈Z) ．又由 | φ |< 2 ，得 φ ＝ 4 .π答案： 413．当函数 y ＝ sin x － 3cos x (0 ≤ x ＜ 2π ) 获取最大值时， x ＝ ________.丰富丰富纷纷剖析：由已知条件可得y ＝2sinx － π ，又由 ≤ x＜ π 得－ π ≤ － π ＜ 5π ，当 x－π ＝3 02 x3333π时 y 获取最大值，此时x ＝ 5π. 265π答案： 6B 组——能力提升练1．函数 y ＝ tan x ＋sin x － |tanx － sin x | 在区间 π ， 3π 内的图象是 ()2 2π剖析： y ＝ tan x ＋ sin x － |tanx － sin 2tan x ， x ∈ 2 ， π ，x | ＝3π比较选项，2sin x ， x ∈ π ， 2 ，可知选 D. 答案： D2．已知函数 f ( x ) ＝－ 2sin(2 x ＋ φ )(| φ |< π) ，若 f π ＝－ 2，则 f ( x ) 的一个单调递加区8 间可以是 ()A. － π ， 3πB ． 5π， 9π88883π ππ 5π C.－8，8D ．8，8ππππ π剖析：∵ f8 ＝－ 2，∴－ 2sin 4 ＋ φ ＝－ 2，即 sin 4 ＋ φ ＝1. ∴ 4 ＋φ ＝ 2 ＋ 2k π，又∵ | φ |< π ，∴ φ ＝ π ，∴ f ( x ) ＝－ 2sin 2x ＋ π . 由 2 k π ＋π ≤2 ＋π ≤2 π＋ 3π， k 4 4 2 xk 4 2π 5ππ 5π∈Z ，得 k π ＋ 8 ≤ x ≤ k π ＋ 8 ， k ∈ Z. 当 k ＝ 0 时，得 8 ≤ x ≤ 8 . 即 f ( x ) 的一个单调递加π 5π . 区间可以是 8 ， 8 答案： D3．若函数 y ＝ tan ω x ( ω ∈ N *) 的图象的一个对称中心是π，则 ω 的最小值是 ()， 06A ． 2B ． 3C ．6D ． 9剖析：因为正切函数 f ( x ) ＝ tan x 图象的对称中心为 k π ， 0 ( k ∈ Z) ，且函数 y ＝ tan ω x ( ω2∈N * ) 的一个对称中心是π ， 0 ，因此 π ω ＝ k π ( k ∈Z) ，因此 ω ＝ 3 ( k ∈ Z) ．因为 ω ∈ N * ， 6 6 2 k因此当 k ＝1 时， ω 获取最小值 3，应选 B. 答案： B4．已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋ φ )( A >0，ω >0) 的图象与直线 y ＝ b (0< b <A ) 订交，其中一个交点 P 的横坐标为 4，若与 P 相邻的两个交点的横坐标为 2,8 ，则 f ( x ) 的单调递减区间为()A ． [6 k π ，6k π ＋ 3] ， k ∈ ZB ． [6 k － 3,6 k ] ，k ∈ ZC ． [6 k, 6k ＋ 3] ， k ∈ZD ． [6 k π － 3,6 k π ] ， k ∈Z剖析：依照题设中供应的数据信息可知周期 T ＝ 6，结合 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋ φ)( A >0， ω>0)的图象可知 f ( x ) 在区间 [6 k －3,6 k ] ， k ∈ Z 上是单调递减的，应选 B. 答案： B5．若函数 f ( x ) ＝ sinω ＋ π( ω >0) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π，且该函数x 62π图象关于点 ( x 0, 0) 成中心对称， x 0∈ 0， 2 ，则 x 0＝ ()A. 5πB ． π124ππC. 3D ． 6剖析：由题意得 T ππk π π2＝ 2， T ＝ π，则 ω ＝ 2. 由 2x ＋6 ＝ k π ( k ∈ Z) ，得 x ＝2－ 12( k ∈ Z) ，π5π又 x 0∈ 0， 2 ，因此 x 0＝ 12 . 答案： A6．已知函数 f ( x ) ＝cos 2ω x＋312 sin ω x － ( ω＞ 0) ， x ∈R ，若 f ( x ) 在区间 ( π ， 2π) 内没22有零点，则 ω 的取值范围是 ()555 11A ． (0 ， 12]B ． (0 ，12] ∪ [ 6， 12)555 11C ．(0 ，6]D ． (0 ，12] ∪ [ 6， 12] 剖析：函数23 1 1 cos ω x ＋ 3f ( x) ＝ cos ωx＋2 sin ω x －＝2 sin ω x ＝ sin( ω x ＋π) ，可得 T22 26＝2ωπ≥ π， 0＜ω ≤2， f ( x ) 在区间 ( π ，2π ) 内没有零点，函数的图象如图两各种类，结合三角函数可得：ππω π ＋ 6π ω ＋ 6 ≥ π或，2ω π＋ π≤ π2ωπ ＋ π≤2π6 655 11解得 ω ∈ (0 ， 12] ∪ [ 6， 12) ．答案： B7．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin ω x －π( ω >0) 和 g ( x ) ＝ 2cos(2 x ＋φ ) ＋ 1 的图象的对称轴完好6相同，若 x ∈ 0， π，则 f ( x ) 的取值范围是 ()2 3B ． [ －3,3]A.－，323333C. －2，2D ．－2，2剖析：因为两个函数图象的对称轴完好相同，因此这两个函数的周期相同，即ω ＝ 2，因此ππ π π 5π函数 f ( x ) ＝ 3sin(2 x － 6 ) ．当 x ∈ [0 ， 2 ] 时， 2x － 6 ∈ [ － 6， 6 ] ，由正弦函数的图象及 3 π 其性质知， f ( x ) min ＝ f (0) ＝－ 2， f ( x ) max ＝ f ( 3 ) ＝ 3，应选 A.答案： A3π1π8．(2018 ·长沙市模拟 ) 已知函数 f ( x) ＝ 2 sin(x ＋ 6 ) － 2cos( x ＋ 6 ) ，若存在 x ，x ，，12x 满足 0≤ x ＜ x ＜＜ x ≤6π ，且 | f ( x) －f ( x )| ＋| f ( x ) － f ( x )| ＋＋ | f ( x n －1 ) － f ( x )|n12n1223n＝12( n ≥2， n ∈ N * ) ，则 n 的最小值为 ( )A ． 6B ． 10C ． 8D ． 12丰富丰富纷纷3 π 1ππ π剖析： f ( x ) ＝ 2 sin( x ＋ 6 ) － 2 cos( x ＋ 6 ) ＝ sin( x ＋ 6 － 6 ) ＝ sin x ，因此 | f ( x n － 1) －f ( x n )| ≤2，又 | f ( x 1) － f ( x 2)| ＋ | f ( x 2) － f ( x 3)| ＋＋ | f ( x n － 1) －f ( x n )|*＝ 12( n ≥2， n ∈N ) ，因此要使 n 取最小值，需 x 1＝0， x 2＝ π ， x 3＝ 3π ，x 4＝ 5π，， x 7＝11π， x 8＝ 6π. 故满2 2 22足条件的最小整数 n 为 8. 答案： C．设函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ π( x ∈ R) ，则f ( x )( )9 3πA ．在区间－ π ，－ 2 上是减函数2π 7πB ．在区间 3， 6 上是增函数π πC ．在区间 8 ， 4 上是增函数D ．在区间 π ， 5π36 上是减函数剖析：由 f ( x )＝ sinx ＋π 可知， f ( x )的最小正周期为.kx ＋ π ≤ π k π ( k∈π 由 π ≤ ＋33 2Z) ，得－ π ＋ k π ≤ x ≤ π＋ k π ( k ∈ Z) ，即 f ( x ) 在－ π ＋ k π， π＋ k π ( k ∈ Z) 上单调递加；3636ππ π 2π由 2 ＋ k π ≤x ＋ 3 ≤ π ＋ k π( k ∈ Z) ，得 6 ＋ k π ≤ x ≤ 3 ＋ k π( k ∈ Z) ，即 f ( x ) 在π＋ k π ，2π＋ k π ( k ∈ Z) 上单调递减．将各选项逐项代入考据，可知 B 正确．63答案： Bπ10．若函数 f ( x ) 同时拥有以下两个性质： ①f ( x ) 是偶函数； ②对任意实数 x ，都有 f 4 ＋ x＝f π－ x . 则 f ( x ) 的剖析式可以是 ( ) 4A ． f ( x ) ＝ cos xB ． f ( x ) ＝ cos 2 ＋ πx 2． f ( x ) ＝ sin 4x ＋ π ．＝ cos 6 xC 2D f ( x )π剖析：由题意可得，函数f ( x ) 是偶函数，且它的图象关于直线x ＝ 4 对称．因为 f ( x ) ＝cosπ2πx 是偶函数， f4 ＝ 2 ，不是最值，故不满足图象关于直线 x ＝ 4 对称，故消除 A. 因为函丰富丰富纷纷数 f ( x ) ＝ cos 2x ＋π＝－ sin 2 x 是奇函数，不满足条件①，故消除 B. 因为函数f ( x ) ＝2πππsin 4x ＋ 2 ＝ cos 4 x 是偶函数，且 f 4＝－ 1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝ 4 对称，故 C 满足条件．因为函数 f ( x ) ＝ cos 6 x 是偶函数， fπ4 ＝ 0，不是最值，故不满足图π 象关于直线 x ＝ 4 对称，故消除 D. 答案： C11．已知 f ( x ) ＝ sin( ω x ＋ φ)ππ ， f (0) ＝ 1ω >0， | φ |< 2 图象相邻对称轴间的距离为2 2 ，则 g ( x ) ＝ 2cos( ω x ＋ φ ) 在区间 0， π )2 上的最小值为 (A ．－ 3B ．－ 2C ．－ 1D ． 11π剖析：由题意得函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ，则 ω ＝ 2，由 f (0) ＝ 2，可得 φ ＝ 6 ，因此2 ＋π . 因为 x ∈0， ππ π ， 7 g ( x ) ＝ 2cos( ω x ＋ φ) 即为 g ( x ) ＝2cos x 6 2 ，因此 2x ＋ 6 ∈6 6π， π ≤ 3 ) 在区间 0， π得－ 1≤cos 2x ＋，则 ( 上的最小值为－ 2. 6 g x 2 2答案： B12．已知函数 f ( x ) ＝ 2cos 22x － 2. 给出以下命题：①? β ∈ R ，f ( x ＋ β ) 为奇函数； ②? α ∈(0 ，3π) ，f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2α ) 对 x ∈ R 恒成立；③ ? x 1， x 2∈ R ，若 | f ( x 1) － f ( x 2)| ＝ 2，则 |x 1 4－ x 2| 的最小值为π4 ；④ ? x 1，x 2∈ R ，若 f ( x 1) ＝ f ( x 2) ＝ 0，则 x 1－x 2＝ k π ( k ∈Z) ．其中的真命题有()A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④剖析：由题意， f ( x ) ＝ 2cos 22x －2＝ cos 4x －1. 关于①， f ( x ) ＝cos 4x － 1 的图象以下列图，函数 f ( x ＋ β ) 的图象是 f ( x ) 的图象向左或向右平移 | β | 个单位长度获取的，它不会是奇函数，故①错误；关于②， f ( x ) ＝ f ( x ＋2α ) ，因此 cos 4 x － 1＝ cos(4 x ＋8α ) － 1，因此 8α＝2 k π ， ∈ Z ，因此 α ＝k π ， ∈Z. 又 α ∈ (0 ，3π) ，因此取 α ＝ π 或π时， f ( ) ＝ ( xk 4 k 4 4 2 x f＋2 α ) 对 x ∈ R 恒成立，故②正确；关于③，| f ( x 1) － f ( x 2)| ＝ |cos 4 x 1－ cos 4 x 2| ＝ 2 时，丰富丰富纷纷T2π π，因此③正确；关于④， ? x 1，x 2∈ R ，当 f ( x 1) ＝ f ( x 2) ＝ 0 | x 1 －x 2| 的最小值为＝＝ 4 22×4时， x 1－ x 2＝ kT ＝ k · 2π k π ，k ∈ Z ，因此④错误．综上，真命题是②③，应选C.4 ＝2答案： C13．函数 y ＝ tan 2x ＋π的图象与 x 轴交点的坐标是 __________ ．4剖析：由 2x ＋π＝ π ∈ 得，＝k π － π ( k ∈ Z) ．∴函数 y ＝ tan 2x ＋ π 的图象与 x 轴 4 k ( k Z) x 2 8 4k ππ交点的坐标是－， 0 ，k ∈ Z.答案： k π－π， 0 ， k ∈ Z 2 814．设函数f ( x ) ＝ sin( ω x ＋ φ )( ，ω，φ 是常数， >0，ω>0) ．若 f ( x ) 在区间 π ， πAAA6 2π2π π上拥有单调性，且 f 2 ＝ f3 ＝－ f6 ，则 f ( x ) 的最小正周期为 __________ ．剖析：由 f ( x ) 在区间 π， π 上拥有单调性，且π＝－π 知， ( x ) 有对称中心 π， 0 ，62f 2 f 6f3π 21 π 27由 f 2 ＝ f3π 知 f ( x ) 有对称轴 x ＝2 ＋3π ＝ 12π .21 π π 记 f ( x ) 的最小正周期为 T ，则2T ≥ 2－ 6，2 7 π π T即 ≥＝＝，T 3π . 故 12π － 34 4解得 T ＝ π.答案： πππ1 π15．已知函数：① f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋ 3 ) ；② f ( x ) ＝ 2sin(2 x － 6 ) ；③ f ( x ) ＝ 2sin( 2x ＋ 3 ) ； ④f ( x ) ＝ 2sin(2 x －π) ．其中，最小正周期为 π 且图象关于直线 x ＝π对称的函数序号是 ________．332πππ＝2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质课时作业11 / 11丰富丰富纷纷x ＝k π2 ＋12π( k ∈ Z) ，显然 x ＝ π3 不是函数 f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋ π3 ) 图象的对称轴， ①错误；关于2ππ πk π π②，其最小正周期 T ＝ 2 ＝ π ，其图象的对称轴为 2x － 6 ＝ k π＋ 2 ( k ∈ Z) ，即 x ＝ 2 ＋ 3( k ∈ Z) ，显然 x ＝ π 是函数 f ( x ) ＝2sin(2 x － π) 图象的对称轴， ②正确；关于③，其最小正362π2ππ周期T ＝1 ＝ 4π ，③错误；关于④，其最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，其图象的对称轴为 2x － 32 ＝ π ＋ π( k ∈Z) ，即 x ＝k π＋ 5π( k ∈ Z) ，显然 x ＝ π 不是函数 f ( ) ＝ 2sin(2 x － π ) 图象 k 2 2 12 3 x 3的对称轴，④错误．答案：②11。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十 3.3 三角函数的图象与性

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十 3.3 三角函数的图象与性质理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω=( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(xx·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是 ( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(xx·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(xx·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________. 【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2. 答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 ( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(xx·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cosωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(xx·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(xx·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.*20445 4FDD 保WXs39029 9875 页 e34649 8759 蝙 37328 91D0 釐39922 9BF2 鯲25719 6477 摷28844 70AC 炬36073 8CE9 賩。

高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A版

高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(2019广州测试)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )(A)1 (B)2 (C)4(D)8B 解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k ∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.故选B.2．(2019九江模拟)下列关系式中正确的是( ) (A)sin 11°＜cos 10°＜sin 168° (B)sin 168°＜sin 11°＜cos 10° (C)sin 11°＜sin 168°＜cos 10° (D)sin 168°＜cos 10°＜sin 11°C 解析：根据诱导公式sin 168°＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，由正弦函数的单调性可知， sin 11°<sin 12°<sin 80°，所以sin 11°<sin 168°<cos 10°.3．对于函数f (x )＝sin(πx ＋π2)，下列说法正确的是( )(A)f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 (B)f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 (C)f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 (D)f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减答案：B4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )(A)2－ 3 (B)0 (C)－1 (D)－1－ 3答案：A5．(2019济南调研)已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )(A)π，[0，π](B)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4(C)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(D)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 C 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C.6．(2019青岛调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下列结论错误的是( )(A)f (x )的最小正周期是π (B)f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 (C)f (x )的一个零点是π6(D)f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上递减答案：B7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 8．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )9．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案：210．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．答案：(1)12 (2)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8，k ∈Z 11．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)∵f (－x )＝2sin －x1＋cos2－x －sin2－x＝－2sin x 1＋cos 2x －sin 2x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤πf (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )．能力提升练(时间：15分钟)12．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )(A)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(B)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8(C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 (D)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 答案：C13．(2019泸州高中)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x＋φ)的图象( )(A)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 (B)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 (C)关于直线x ＝π6对称(D)关于直线x ＝π3对称A 解析：∵函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ＝π6时，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称中心．故选A.14．(2018洛阳三模)函数y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4的单调递减区间是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z (D)⎝⎛⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋5π8，k ∈Z B 解析：根据题意有y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＞0，结合复合函数单调性法则，实则求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间，所以有2k π＜2x －π4＜2k π＋π2，解各k π＋π8＜x ＜k π＋3π8，所以函数的单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z ，故选B.15．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解：(1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π解得k π－58π≤x ≤k π－π8，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π解得k π－18π≤x ≤k π＋38π，函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.∴f (x )∈[－2，1]． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为1，当x ＝38π时，f (x )的最小值为－ 2.16．(2019荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2019届高考数学(文)大一轮复习检测：第三章三角函数、解三角形课时作业23 Word版含答案

课时作业23 正弦定理、余弦定理一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则a b c 等于( )A ．12 3B ．32 1C ．13 2D ．23 1解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，ab c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，且b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.34B.32C.36D.38解析：由正弦定理可得sin B ＝2sin A cos B ，即tan B ＝2sin A ＝3，所以B ＝π3，因此△ABC 是一个正三角形，所以S △ABC ＝12×32×1×1＝34. 答案：A4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4.∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3. 答案：C5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.答案：B6．(2019·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.答案：C 二、填空题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.解析：由a sin A ＝b sin B ，得a 13＝5sin π4，所以a ＝523.答案：5238．(2019·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解析：∵a ＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C 必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C ，∴b ＝c ，∴b c＝1.答案：19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为cos A ＝－14，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315.所以，bc ＝24，则(b ＋c )2＝(b －c )2＋4bc ＝4＋4×24＝100，所以，b ＋c ＝10，又b －c ＝2，所以，b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64，所以a ＝8.答案：8 三、解答题10．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin2B ＝3b sin A .(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(Ⅰ)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (Ⅱ)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．(2019·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c.(Ⅰ)证明：sin A sin B ＝sin C ； (Ⅱ)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理，可设asin A＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (Ⅱ)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(Ⅰ)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( )A.32B.332C. 3 D ．2 3解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc－4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案：C3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋bc的取值范围为________．解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎥⎤32，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤1，2334．(2019·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(Ⅰ)证明：A ＝2B ；(Ⅱ)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(Ⅰ)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(Ⅱ)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.。

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课时分层作业二十三简单的三角恒等变换
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.化简:= ( )
A.sin2α
B.tan2α
C.sin2
D.tan2
【解析】选D.原式==tan2.
2.(2018·沈阳模拟)化简= ( )
A.1
B.
C.
D.2
【解析】选C.原式=
===.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
选C.原式=
===.
3.(2016·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期
( )
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.
【解析】选B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.
4.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+·tan αtan β=,则α,β的大小关系是
( )
A.α<<β
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
【解析】选B.因为α是锐角且sin α-cos α=>0,
所以sin α>cos α,即tan α>1,故α>,
又因为tan α+tan β=(1-tan αtan β),
所以tan(α+β)==,
故α+β=,
所以α=-β>,故β<,所以β<<α.
5.计算:= ( )
A. B.- C. D.-。