高三理科数学数列解答题专项训练资料

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2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。

题组二等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2，∴4624a a q ==.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差数列、等比数列的判定与证明题组一等差数列的判定与证明例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0，当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1；当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，因为a n ＋a n −1>0，所以a n −a n −1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。

高三数学数列综合练习题答案与解析

高三数学数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a 1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。

高考解答题专项突破(三) 数列的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析

[考情分析]预计2025年高考会从以下两个角度对数列的综合问题进行考查：(1)考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查；(2)以新定义为载体，考查对新数列性质的理解及应用，以创新型题目的形式出现．考点一等差、等比数列的综合问题例1(2024·山东滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝2，b 2＝4，a n ＝2log 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为b 2＝4，所以a 2＝2log 2b 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .又a n ＝2log 2b n ，即2n ＝2log 2b n ，所以n ＝log 2b n ，所以b n ＝2n .(2)由(1)得b n ＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项．设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝a 26＝a 64，b 8＝a 27＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 7＝107×（2＋214）2－2－281－2＝11302.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.1.(2022·浙江高考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝－1，公差d >1.记{a n }的前n项和为S n (n ∈N *)．(1)若S 4－2a 2a 3＋6＝0，求S n ；(2)若对于每个n ∈N *，存在实数c n ，使a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，求d 的取值范围．解(1)因为S 4－2a 2a 3＋6＝0，a 1＝－1，所以－4＋6d －2(－1＋d )(－1＋2d )＋6＝0，所以d 2－3d ＝0，又d >1，所以d ＝3，所以a n ＝3n －4，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝3n 2－5n2.(2)因为a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，所以(a n ＋1＋4c n )2＝(a n ＋c n )(a n ＋2＋15c n )，(nd －1＋4c n )2＝(－1＋nd －d ＋c n )(－1＋nd ＋d ＋15c n )，c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0，由已知可得方程c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0的判别式大于等于0，所以Δ＝(14d －8nd ＋8)2－4d 2≥0，所以(16d －8nd ＋8)(12d －8nd ＋8)≥0对于任意的n ∈N *恒成立，所以[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]≥0对于任意的n ∈N *恒成立，当n ＝1时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]＝(d ＋1)(d ＋2)≥0，当n ＝2时，由(2d －2d －1)(4d －3d －2)≥0，可得d ≤2，当n ≥3时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]>(n －3)(2n －5)≥0，又d >1，所以1<d ≤2，即d 的取值范围为(1，2]．考点二通项与求和问题例2(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S 3＝2a 3－15；②a 2＋6是a 1，a 3的等差中项；③2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n －1b n ，求数列2n n 项和T n .注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，若选①：由S 3＝2a 3－15，得a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－15，所以a 3－a 2－a 1＝15，又由a 1＝3，可得3q 2－3q －18＝0，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选②：由a 2＋6是a 1，a 3的等差中项，可得a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，又因为a 1＝3，可得3＋3q 2＝2(3q ＋6)，即q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选③：由2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)，当n ＝1时，2a 1＝6＝2S 1＝t 2－3，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)，所以2S n ＝3n ＋1－3，当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n ＋1－3－(3n －3)＝2·3n ，所以a n ＝3n (n ≥2)．经验证当n ＝1时，满足a n ＝3n ，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝3n ，所以b n －1b n ＝3n ，n ＝9n ，所以b 2n ＋1b 2n＝9n＋2，所以T n 2122 (2)n (91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n ＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n ＝9（1－9n ）1－9＋2n ＝9n ＋1＋16n －98.解决非等差、等比数列求和问题的两种思路思路一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成思路二不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2.(2024·广东深圳中学月考)若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差、公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表达式为a n ＝1＋n －12d ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，2qn －22，n ＝2k ，k ∈N *，若数列{a n }(n ∈N *)为“摇摆数列”且a 1＝1，a 1＋a 2＝a 3，a 2a 3＝20.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ∑ni ＝1i 2解(1)＋a 2＝a 3，2a 3＝202＝4，3＝52＝－5，3＝－4(舍去)，∴d ＝q ＝4，∴a n n －1，n ＝2k ＋1，k ∈N ，n ，n ＝2k ，k ∈N *.(2)b n ＝na n n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，·2n ，n ＝2k ，k ∈N *.先求奇数项的和：b n ＝2n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，S n ＝2×[12＋32＋…＋(2n －1)2]－n 2，引入W n ＝22＋42＋…＋(2n )2＝4(12＋22＋…＋n 2)，12(S n ＋n 2)＋W n ＝∑2ni ＝1i 2＝n （2n ＋1）（4n ＋1）3⇒S n＝2(∑2ni ＝1i 2－W n )－n 2＝2n （2n ＋1）（4n ＋1）3－4×n （n ＋1）（2n ＋1）6－n 2＝8n 3－3n 2－2n 3，再求偶数项的和：b n ＝n ·2n ，n ＝2k ，k ∈N *，S n ′＝2×22＋4×24＋…＋2n ×22n ，4S n ′＝2×24＋4×26＋…＋2(n －1)×22n ＋2n ×22n ＋2，两式相减，得－3S n ′＝2×22＋2×24＋2×26＋…＋2×22n －2n ×22n＋2＝8×（1－4n ）1－4－2n ×22n ＋2＝（1－3n ）×22n ＋3－83，∴S n ′＝（3n －1）22n ＋3＋89，∴T 2n ＝S n ＋S n ′＝8n 3－3n 2－2n3＋（3n －1）22n ＋3＋89.考点三数列与不等式的综合问题例3(2023·安徽十校联考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2(n ≥2且n ∈N *)，a 2＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：23≤T n <1.解(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－2，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－2，又a 2＝4，所以a 1＝2，a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为2n（a n －1）（a n ＋1－1）＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1<1，由n ≥1，得2n ＋1≥4，所以1－12n ＋1－1≥23，综上，2≤T n <1.1．数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．2．放缩法常见的放缩技巧(1)1k 2＜1k 2－1＝121k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k.(3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．(4)12n ＋1＜12n ＋1＜12n ，13n ＜13n －1≤12·3n －1.3.(2023·河南五市高三二模)已知数列{a n }满足a 1＝23，且2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，n∈N *.(1){a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，n ∈N *，S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n .证明：S n 解(1)由2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，得a n ＋1＝12－a n ，则11－a n ＋1－11－a n＝1，是首项为11－a 1＝3，公差d ＝1的等差数列，所以11－a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，整理得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，经检验，符合要求．(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，T n ＝a 1a 2…a n ＝2n ＋2，∴T 2n ＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝∴S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n －14＋…＋1n ＋2－即S n 考点四数列与函数的综合问题例4(2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列前n 项和T n .解(1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.则a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数综合问题的常见类型及注意事项常见类型类型一已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题类型二已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意事项注意点一数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或有限子集)，它的图象是一群孤立的点注意点二转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题注意点三利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sinn （n ＋1）π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sinS n ＝－m π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－m π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S nn ＝3m －2（m ∈N *），＝3m －1（m ∈N *），3m （m∈N *）.课时作业1．(2023·新课标Ⅱ卷){a n }为等差数列，b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .2．(2023·江苏徐州第七中学校考一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝12·3n ＋b (b 为常数)．(1)求b 的值和数列{a n }的通项公式；(2)记c m 为{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .解(1)由题设S n ＝12·3n ＋b ，显然等比数列{a n }的公比不为1，设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝a 11－q －a 1q n1－q ，∴b ＝a 11－q ＝－12且q ＝3，∴a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)令－3m ≤3n －1≤3m ，n ∈N *，解得0≤n －1≤m ，∴1≤n ≤m ＋1，数列{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数为m ＋1，则c m ＝m ＋1，∴a m c m ＝(m ＋1)×3m －1，∵T n ＝2×30＋3×31＋…＋(n ＋1)×3n －1，①3T n ＝2×31＋3×32＋…＋(n ＋1)×3n ，②两式相减，得－2T n ＝2×30＋31＋…＋3n－1－(n ＋1)×3n＝1＋1－3n1－3－(n ＋1)·3n ＝（－1－2n ）·3n ＋12，∴T n n －14.3．(2024·河南郑州外国语学校阶段考试)已知f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，确定b 1的值使得数列{b n }是等差数列．解(1)因为f (x )＝－4＋1x2，且点P n ，n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，所以1a n ＋1＝4＋1a 2n ，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，即a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，即为(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，整理得T n ＋14n ＋1－T n 4n －3＝1，T 1为首项，1为公差的等差数列，则T n 4n －3＝T 1＋n －1，即T n ＝(4n －3)(T 1＋n －1)，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4b 1＋8n －11，若{b n }是等差数列，则b 1适合上式，令n ＝1，得b 1＝4b 1－3，解得b 1＝1.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)在①S n ＝32a n －3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和；②a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1为数列{a n }中的项？若存在，求出m ；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选择条件①：(1)令n ＝1，则a 1＝321－3，所以a 1＝6，由于S n ＝32a n －3，则当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，两式相减，得a n ＝32a n －32a n －1，则a n a n －1＝3，所以{a n }是首项为6，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝6×3n －1＝2×3n .(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则2×3m ＋2×3m ＋1＝2×3k ，所以4×3m ＝3k ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m 满足题意．若选择条件②：(1)因为a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a n ≠0，1a n ＋1－1a n＝1，是首项为1a 1＝1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则1m ＋1m ＋1＝1k，化简得m 2＋(1－2k )m －k ＝0，解得m ＝2k －1＋1＋4k 22，因为2k <1＋4k 2<2k ＋1，所以2k －12<m <2k ，m 无正整数解，故不存在正整数m 满足题意．5．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围．解(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，S n ＝n （9－n ）2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m 1－1281m ，的值随m 增加而减小，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ，则10＜8＋λ，解得λ＞2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞)．6．(2024·河北衡水调研)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ，2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.解(1)由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3an ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n －1，所以a n ＝11.(2)证明：由(1)可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－<7528.综上所述，1271S n <7528成立．。

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

高三数列解答题训练-解析版

数列解答题训练一、解答题1.(2023·山东聊城·统考三模)记S n 是公差不为0的等差数列a n 的前n 项和，若a 4=a 21，S 4=3S 2．(1)求a n 的通项公式；(2)设b 1=12，b n +b n +1 S n =2，求数列b n 的前2n +1项的和T 2n +1．【答案】(1)a n =2n +1(2)T 2n +1=2n +12n +2【分析】(1)根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a 1,d ，进而得到a n ；(2)由(1)可得S n ，进而得到b n +b n +1，采用裂项相消法和并项求和法可求得结果.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d d ≠0 ，由a 4=a 21S 4=3S 2 得：a 1+3d =a 214a 1+4×32d =32a 1+2×12d，解得：a 1=3d =2 ，∴a n =3+2n -1 =2n +1.(2)由(1)得：S n =na 1+n n -12d =n 2+2n =n n +2 ，∴b n +b n +1=2S n =2n n +2=1n -1n +2，∴T 2n +1=b 1+b 2+b 3 +b 4+b 5 +b 6+b 7 +⋅⋅⋅+b 2n -2+b 2n -1 +b 2n +b 2n +1 =12+12-14 +14-16 +16-18 +⋅⋅⋅+12n -2-12n+12n -12n +2 =1-12n +2=2n +12n +2.2.(2023·河南·校联考模拟预测)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1⋅a n +2a n +1-2a n =0．(1)证明：1a n 为等差数列；(2)设b n =a n +1⋅a n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)证明过程见详解(2)2-4n +2【分析】(1)由题意可得1a n +1-1a n =12，再结合等差数列的定义即可证明结论；(2)结合(1)可得a n 的通项公式，从而得到b n =41n +1-1n +2，再利用裂项相消求和即可．【详解】(1)因为数列a n 满足a n +1⋅a n +2a n +1-2a n =0，整理得2a n -2a n +1=a n +1⋅a n ，所以1a n +1-1a n =12，又1a 1=1，所以1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．(2)结合(1)可得1a n =1+12n -1 =n +12，所以a n =2n +1，则b n =a n +1⋅a n =2n +2⋅2n +1=41n +1-1n +2 ，所以T n =412-13 +13-14 +⋯+1n +1-1n +2 =412-1n +2 =2-4n +23.(2023·湖北·高三校联考阶段练习)已知等差数列a n 和等比数列b n 满足a 1=5，b 1=2,a 2=2b 2+1,a 3=b 3+5.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)数列a n 和b n 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列c n ，求数列c n 的前50项和S 50.【答案】(1)a n =4n +1，b n =2n ；(2)4081.【分析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出{b n }的通项公式；(2)c n 的前50项中含有{b n }的前7项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出S 60．【详解】解：(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，因为a 1=5，b 1=2,a 2=2b 2+1,a 3=b 3+5.所以5+d =4q +15+2d =2q 2+5 ，解得d =4q =2 ，∴a n =4n +1，b n =2n (2)因为b 7=27=128，a 43=4×43+1=173，b 8=28=256，所以c n 的前50项中含有b n 的前7项且含有a n 的前43项∴S 50=435+1732+21-27 1-2=3827+254=4081.4.(2023·浙江嘉兴·统考一模)等比数列a n 的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1,a 23=9a 2a 6.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，求数列1b n的前n 项和T n .【答案】(1)a n =13n；(2)-2nn +1.【分析】(1)根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；(2)由an =13n化简bn =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3an ，可得到bn 的通项公式，求出1b n的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】(1)设数列{an }的公比为q ,由a 23=9a 2a 6得a 23=9a 24,所以q 2=19.由条件可知q >0,故q =13.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1,所以a 1=13.故数列{an }的通项公式为an =13n.(2)bn =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3an =-(1+2+⋯+n )=-n n +12.故1b n =-2n n +1=-21n -1n +1 .1b 1+1b 2+⋯+1b n=-21-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1 =-2n n +1所以数列1b n的前n 项和为-2nn +15.(2023上·广东江门·高三统考阶段练习)已知数列a n 和b n ，其中a n 的前项和为S n ，且2a n -S n =2，b n =log 2S n +2 .(1)分别求出数列a n 和b n 的通项公式；(2)记T n =b 1a 1+b 2a 2+⋯+b na n，求证：T n <3.【答案】(1)a n =2n ，b n =n +1(2)证明见解析【分析】(1)利用和与项的关系，结合等比数列的定义即可求解a n =2n ，进而可求解b n ；(2)利用错位相减法即可求解T n =3-n +32n，进而可证明.【详解】(1)当n =1时，2a 1-S 1=2a 1-a 1=2，所以a 1=2，n ≥2时，2a n -S n =2①，2a n -1-S n -1=2②，①-②得2a n -2a n -1 -S n -S n -1 =0，即2a n -2a n -1 -a n =0，a n =2a n -1，所以a n 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以a n =2n ，所以b n =log 22a n =log 22⋅2n =log 22n +1=n +1；(2)T n =b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n a n ，即T n =221+322+⋯+n +12n ③，2T n =21+321+⋯+n +12n -1④，④-③，得T n =2+121+⋯12n -1-n +12n =2+121-12 n -11-12-n +12n =3-12 n -1-n +12n=3-n +32n ，因为12 n >0，n +32n >0，所以T n <3.6.(2023·福建龙岩·统考二模)已知等差数列a n 的首项为1，公差d ≠0，前n 项和为S n ，且S nS 2n为常数．(1)求数列a n 的通项公式；(2)令b n =n a n a n +1-n +1a n +1a n +2，证明：b 1+b 2+b 3+⋯+b n <13．【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)由S n S 2n 为常数，则n [1+1+(n -1)d ]22n [1+1+(2n -1)d ]2=2-d +nd 4-2d +4nd 为常数，即d =2，然后结合等差数列的通项公式求解即可；(2)由(1)可得b n =n a n a n +1-n +1a n +1a n +2=n(2n -1)(2n +1)-n +1(2n +1)(2n +3)，然后累加求和即可得证．【详解】(1)依题意，得：S 1S 2=S 2S 4，即a 1a 1+a 2=a 1+a 2a 1+a 2+a 3+a 4所以，12+d =2+d4+6d ，化简得：d (d -2)=0因为d ≠0，所以d =2所以a n =1+2(n -1)=2n -1经检验：S n S 2n =n 24n2=14成立(2)解法一：因为a n =2n -1所以b n =n (2n -1)(2n +1)-n +1(2n +1)(2n +3)=144n (2n -1)(2n +1)-4(n +1)(2n +1)(2n +3)=1412n -1+12n +1 -12n +1+12n +3 =1412n -1-12n +3 ，所以b 1+b 2+b 3+⋯+b n =141-15 +13-17 +15-19 +⋯+12n -5-12n -1 +12n -3-12n +1 +12n -1-12n +3=141+13-12n +1-12n +3 =1443-12n +1-12n +3 <13．解法二：b n =n (2n -1)(2n +1)-n +1(2n +1)(2n +3)=2n +1(2n -1)(2n +1)(2n +3)=1(2n -1)(2n +3)=1412n -1-12n +3 所以b 1+b 2+b 3+⋯+b n =141-15 +13-17 +15-19 +⋯+12n -5-12n -1 +12n -3-12n +1 +12n -1-12n +3 =141+13-12n +1-12n +3 =1443-12n +1-12n +3 <13．7.(2023·福建厦门·厦门一中校考三模)记S n 为数列a n 的前n 项和.已知2S n +n 2=2na n +n .(1)证明：a n 是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)-78【分析】(1)应用等差数列定义证明等差数列；(2)应用等比数列列式求参，再应用等差数列求和公式计算求解.【详解】(1)证明：由2S n +n 2=2na n +n ，①，把n 换成n +1，2S n +1+n +1 2=2n +1 a n +1+n +1，②，②-①可得：2a n +1=2n +1 a n +1-2na n -2n ，整理得：a n +1=a n +1，由等差数列定义可得a n 为等差数列；(2)由已知有a 27=a 4⋅a 9，设等差数列a n 的首项为x ，由(1)可得其公差为1，故x +6 2=x +3 x +8 ，解得x =-12，故a 1=-12，所以a n =-12+n -1 ×1=n -13，故可得：a 1<a 2<a 3<⋯<a 12<0，a 13=0，a 14>0，故S n 在n =12或者n =13时取最小值，S 12=S 13=-12+0 ×132=-78，故S n 的最小值为-78.8.(2023·福建泉州·统考模拟预测)数列a n 中，a 1=1，且a n +1=a na n +1.(1)求a n 的通项公式；(2)令b n =2na n，记数列b n 的前n 项和为S n ，求S 8.【答案】(1)a n =1n(2)3586【分析】(1)两边去倒数后，构造等差数列求解即可；(2)利用错位相减法即可.【详解】(1)由a n +1=a n a n +1，可得1a n +1=1a n +1.因为a 1=1，所以1a 1=1.所以数列1a n 是首项为1，公差为1的等差数列.所以1a n =n ，即a n =1n.(2)因为b n =2n a n，所以b n =n ⋅2n .又S n =b 1+b 2+⋯+b n ，所以S 8=21+2×22+⋯+8×28①.①式两边同乘以2，得2S 8=22+2×23+⋯+8×28+1②，②-①，得S 8=-2+22+23+⋯+28 +8×29，所以S 8=-2×1-28 1-2+8×29=2+7×29=3586.9.(2023·福建三明·统考三模)已知数列a n 满足a 1=2，2a n +1+a n a n +1-2a n =0n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =-1 n 84n 2-1 a n，b n 的前n 项和为S n ，证明：-1<S 2n ≤-45.【答案】(1)a n =2n(2)证明见解析【分析】(1)取倒数结合等差数列的通项计算即可；(2)利用裂项法求得S 2n =-1+14n +1，结合0<14n +1≤15，即可证明结论.【详解】(1)因为a 1=2，2a n +1+a n a n +1-2a n =0n ∈N * ，所以a n ≠0，所以2a n +1-2a n +1=0.所以1a n +1-1a n =12，所以1a n 为等差数列，首项为1a 1=12，公差d =12，所以1a n =1a 1+n -1 d =12+n -1 12=n 2，所以a n =2n(2)证明：因为b n =-1 n 84n 2-1 a n=-1 n 84n 2-12n=-1n4n 2n -1 2n +1，所以b n =-1 n 12n -1+12n +1 .所以，S 2n =-11-13 +13+15 +-15-17 ⋅⋅⋅+14n -1+14n +1 =-1+14n +1n ∈N ∗因为0<14n +1≤15n ∈N ∗ ，所以-1<-1+14n +1≤-45，即-1<S 2n ≤-45.10.(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知数列a n ，b n ，a 1=1，a n +1=-a n +4×3n -1，b n =log 3a n +2an +2n ∈N * ．(1)求证：数列a n 是等比数列，并求数列a n 的前n 项和S n ；(2)求数列2+3n ⋅1b n的前n 项和T n ．【答案】(1)证明见解析；S n =12×3n -12(2)T n =13-1n +1 3n +1【分析】(1)根据递推关系式可得a n +1-a n -1=8×3n -2，根据累加法对n 进行分奇偶讨论，确定a n ，即可证明数列a n 为等差数列，从而求解前n 项和S n 即可；(2)根据裂项相消法求解数列前n 项和T n 即可．【详解】(1)因为a n +1=-a n +4×3n -1，所以a n +1+a n =4×3n -1，当n =1时，a 2=-a 1+4×30=3当n ≥2时，a n +a n -1=4×3n -2所以a n +1-a n -1=4×3n -1-4×3n -2=8×3n -2则当n 为偶数时，a 4-a 2=8×31,a 6-a 4=8×33,a 8-a 6=8×35,⋯,a n -a n -2=8×3n -3累加得：a n -a 2=8×31-8×3n -3×321-32=24-8×3n -1-8=3n -1-3，所以a n =3n -1当n 为奇数时，n +1为偶数，则a n +1=3n ，则此时a n =-a n +1+4×3n -1=-3n +4×3n -1=4×3n -1-3×3n -1=3n -1，综上可得a n =3n -1所以a n +1a n =3n3n -1=3，则数列a n 是以a 1=1为首项，q =3为公比的等比数列，其前n 项和S n =1-3n -1×31-3=12×3n -12(2)由(1)可得b n =log 3a n +2an +2=3n +1log 33n +1=n +1 ×3n +1则2+3n ⋅1b n =2n +3n ⋅1n +1 3n +1=3n -1n +1 ⋅13n +1=1n ⋅3n -1n +1 3n +1故其前n 项和T n =11×31-12×32 +12×32-13×33 +13×33-14×34 +⋯+1n ⋅3n -1n +1 3n +1=11×31-1n +1 3n +1=13-1n +1 3n +1．11.(2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测)已知数列a n 的前n 项的积记为T n ，且满足1T n =a n -1a n.(1)证明：数列T n 为等差数列;(2)若b n =T n ,n 为奇数，1T n -1T n +1,n 为偶数，求数列b n 的前2n 项和T 2n .【答案】(1)证明见解析(2)T 2n =n 2+n +n4n +4【分析】(1)将a n =T n T n -1(n ≥2)代入到1T n =a n -1a n中，得T n -T n -1=1，结合等差数列的定义可证结论正确；(2)由(1)求出T n ，再求出b n ，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.【详解】(1)当n =1时，1a 1=a 1-1a 1，得a 1=T 1=2，当n ≥2时，1T n =a n -1a n =T nT n -1-1T n T n -1=T n -T n -1T n，所以T n -T n -1=1，所以数列{T n }是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由(1)知，T n =2+(n -1)×1=n +1，当n 为奇数时，b n =T n =n +1，当n 为偶数时，b n =1T n -1T n +1=1n (n +2)=121n -1n +2 ，所以T 2n =b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n -1+b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n=2+4+6+⋯+2n +1212-14+14-16+16-18+⋯+12n -2-12n +12n -12n +2 =n (2+2n )2+1212-12n +2=n 2+n +n4n +4.12.(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知等差数列a n 满足(n +1)a n =n 2-8n +k ，数列b n 是以1为首项，公比为3的等比数列.(1)求a n 和b n ；(2)令c n =a nb n，求数列c n 的最大项.【答案】(1)a n =n -9，b n =3n -1(2)c 10=139【分析】(1)方法一：由等比数列通项公式求b n ，由数列a n 的通项公式求其前三项，由条件列方程求k ，由此可得a n ；方法二：由等比数列通项公式求b n ，设数列a n 的公差为d ，由条件结合等差数列通项公式化简条件可求a 1,d ，由此可得a n ；(2)由c n =a nb n可得n ≤9时，c n ≤0，n >9时，c n >0，再利用不等式法判断数列的单调性，由此可求结论.【详解】(1)解法一：因为数列b n 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以b n =3n -1，因为(n +1)a n =n 2-8n +k ，所以a 1=k -72，a 2=k -123，a 3=k -154.因为数列a n 是等差数列，所以2a 2=a 1+a 3，即2×k -123=k -72+k -154，解得k =-9.所以(n +1)a n =n 2-8n -9=(n +1)(n -9)，所以a n =n -9.解法二：因为数列b n 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以b n =3n -1，因为数列a n 是等差数列，设公差为d ，则a n =a 1+(n -1)d =dn +a 1-d .所以(n +1)a n =(n +1)dn +a 1-d =dn 2+a 1n +a 1-d =n 2-8n +k ，所以d =1a 1=-8k =-9，所以a n =n -9.(2)因为c n =a n b n =n -93n -1，当n ≤8时，c n <0；当n =9时，c n =0；当n ≥10时，c n >0.当n ≥10时，c n +1-c n =n -83n-n -93n -1=19-2n3n <0，即，c n +1<c n .所以数列c n 的最大项是第10项c 10=139.13.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ,S n =13n +2 a n ，且a 1=1.(1)求证：数列a nn 是等差数列；(2)求数列1a n 的前n 项和T n .【答案】(1)证明见解析；(2)T n =2nn +1.【分析】(1)利用a n 与S n 的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列a n 的通项，再利用等差数列定义推理作答.(2)利用(1)的结论，结合裂项相消法求和作答.【详解】(1)数列a n 中，3S n =(n +2)a n ，当n ≥2时，3S n -1=(n +1)a n -1，两式相减得3a n =(n +2)a n -(n +1)a n -1，即(n -1)a n =(n +1)a n -1，则a n n +1=a n -1n -1，于是a n (n +1)n =a n -1n (n -1)，因此数列a n (n +1)n 是常数列，则a n(n +1)n=a 12×1=12，从而a n =n (n +1)2，即a n n =n +12,a n +1n +1-a n n =12，所以数列a n n 是以1为首项，12为公差的等差数列.(2)由(1)知，1a n =2n n +1 =21n -1n +1 ，所以T n =1a 1+1a 2+⋯+1a n =21-12 +12-13 +⋯+1n -1n +1=2n n +1.14.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =32a n -1.(1)求数列a n 的通项公式；(2)记b n =a nS n ⋅S n +1，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =2×3n -1(2)T n =16-13n +2-3【分析】(1)由a n 与S n 的关系可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求数列的和即可.【详解】(1)当n =1时，a 1=32a 1-1，得a 1=2，当n ≥2时，S n -S n -1=a n =32a n -a n -1 ，得a n =3a n -1，所以数列a n 是以2为首项，公比为3的等比数列，所以a n =2×3n -1.(2)由(1)可得S n =32×2×3n -1-1=3n -1，b n =2×3n -13n -1 ⋅3n +1-1 所以b n =1313n -1-13n +1-1，T n =b 1+b 2+⋯+b n =13131-1-132-1+132-1-133-1+⋯+13n -1-13n +1-1 所以T n =13131-1-13n +1-1 =16-13n +2-315.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知S n =a n -n n +1 .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n -b n -1=a n 2n ∈N *,n ≥2 且a 1-b 1=1，1b n 的前n 项和为T n ，证明:1≤T n <2.【答案】(1)a n =2n(2)证明见解析【分析】(1)由S n -S n -1=a n =n +1 a n -na n -1-2n ，可得a n -a n -1=2，则数列{a n }是首项与公差都是2的等差数列，进而可得答案.(2)利用累加法求出通项公式，再利用裂项相消法求出T n ，进而可得答案.【详解】(1)由a 1=S 1=a 1-1 ×2⇒a 1=2，由S n =a n -n n +1 可得S n =n +1 a n -n n +1 ，则n ≥2时S n -1=na n -1-n n -1 ，两式相减可得S n -S n -1=a n =n +1 a n -na n -1-2n ，化为n a n -a n -1 =2n ，因为n ≠0，所以a n -a n -1=2，数列{a n }是首项与公差都是2的等差数列，所以a n =2+n -1 ×2=2n ；(2)由(1)得b n -b n -1=a n 2=2n2=n ，又b 1=a 1-1=1，所以b n =b n -b n -1 +b n -1-b n -2 +...+b 2-b 1 +b 1，=n +n -1 +...+2+1=n n +12，所以1b n =2n n +1=21n -1n +1 ，T n =21-12+12-13+...+1n -1n +1 =21-1n +1 ，∵0<1n +1≤12，∴1≤T n <216.(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S na n=n +1.(1)求a n 的通项公式；(2)记数列log 2a n +1a n的前n 项和为T n ，求集合k T k ≤10,k ∈N *中元素的个数.【答案】(1)a n =n(2)1023【分析】(1)根据递推关系及S n 与a n 的关系化简得出a n +1n +1=a nn，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出T n ，再解不等式即可得解.【详解】(1)因为2S na n=n +1，所以2S n =n +1 a n ，所以2a n +1=2S n +1-2S n =n +2 a n +1-n +1 a n所以na n +1=n +1 a n ，即a n +1n +1=a nn .又因为a 1=1，所以a n +1n +1=a n n =⋅⋅⋅=a 11=1，所以a n =n .(2)因为log 2a n +1a n =log 2n +1n=log 2n +1 -log 2n ，所以T n =log 22-log 21 +log 23-log 22 +log 24-log 23 +⋅⋅⋅+log 2n +1 -log 2n=log 2n +1 -log 21=log 2n +1令T n =log 2k +1 ≤10，得k ≤210-1，k ∈N *所以集合k ∣T k ≤10,k ∈N * 中元素的个数为210-1=1023.17.(2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测)已知数列a n 满足a 1=1,a na n +1=1+2a n ．(1)证明1a n 为等差数列，并a n 的通项公式；(2)设c n =4n 2a n a n +1，求数列c n 的前n 项和T n ．【答案】(1)证明见解析，a n =12n -1(2)T n =n +n2n +1【分析】(1)根据等差差数列的定义证明即可，从而可得a n 的通项公式；(2)利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得T n .【详解】(1)证明：因为a n a n +1=1+2a n ，所以1a n +1=1+2a n a n =1a n +2，即1a n +1-1a n=2所以1a n 是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列，则1a n =1+2n -1 =2n -1，所以a n =12n -1；(2)c n =4n 2a n a n +1=4n 22n -1 2n +1=4n 24n 2-1=4n 2-1+14n 2-1=1+12n -1 2n +1=1+1212n -1-12n +1 T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =n +121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1=n +n 2n +1.18.(2023·福建莆田·校考模拟预测)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2且a n +1=2S n +2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在a n 与a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为b n 的等差数列，求证数列b n n ⋅3n 的前n 项和T n <43.【答案】(1)a n =2⋅3n -1(n ∈N ∗)(2)证明见解析【分析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，根据题意求得q =a n +1a n=3(n ≥2)，由a 1=2，求得a 2=6，得到a 2a 1=3，即可等比数列的通项公式，即可求解；(2)根据题意得到a n +1-a n =n +1 b n ，求得b n =4⋅3n -1n +1，得到b n n ⋅3n=431n -1n +1 ，结合裂项法求和，即可求解.【详解】(1)解：设等比数列a n 的公比为q ，因为a n +1=2S n +2，可得a n =2S n -1+2(n ≥2)，两式相减得到a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n ，即a n +1=3a n ，所以q =a n +1a n=3(n ≥2)，又因为a 1=2，当n =1时，可得a 2=2S 1+2=2a 1+2=6，可得a 2a 1=3，适合上式，所以q =3，所以数列a n 的通项公式a n =2⋅3n -1(n ∈N ∗).(2)解：若在a n 与a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为b n 的等差数列，则a n +1-a n =n +1 b n ，即为2⋅3n-2⋅3n -1=n +1 b n ，整理得b n =4⋅3n -1n +1，所以b n n ⋅3n =4⋅3n -1n +1⋅1n ⋅3n =431n -1n +1 ，所以T n =431-12 +12-13 +⋅⋅⋅+1n -1n +1 =431-1n +1 因为1n +1>0，所以1-1n +1<1，所以T n =431-1n +1 <43.19.(2023·福建南平·统考模拟预测)设T n 为数列a n 的前n 项积．已知a n +1T n +1-a nT n=2．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列T n2n +3 的前n 项和．【答案】(1)a n =2n -12n +1；(2)n 6n +9.【分析】(1)利用给定的递推公式，结合前n 项积的意义求解作答.(2)由(1)的结论求出T n ，再利用裂项相消法求解作答.【详解】(1)依题意，a n T n 是以1为首项，2为公差的等差数列，则a n T n=1+(n -1)⋅2=2n -1，即(2n -1)T n =a n ，当n ≥2时，有(2n -3)T n -1=a n -1，两式相除得，(2n -1)a n 2n -3=a na n -1，显然T n ≠0，即a n ≠0，因此当n ≥2时，2n -12n -3=1a n -1，即a n -1=2n -32n -1，所以数列a n 的通项公式a n =2n -12n +1.(2)设T n 2n +3 的前n 项和为S n ，由(1)得，T n =a n 2n -1，于是T n =12n +1，因此T n 2n +3=1(2n +1)(2n +3)=1212n +1-12n +3 ，则S n =1213-15+15-17+⋯+12n +1-12n +3 =1213-12n +3 =n3(2n +3)，所以数列T n 2n +3 前n 项和为n 6n +9.20.(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知数列a n 满足a 2=2，n +1 a n +1=n +2 a n +1．(1)求a 1，a 3，并求a n ；(2)令b n =a n ⋅2an ，数列b n 的前n 项和为S n ，证明：S n =2b n -2n +1+2．【答案】(1)a 1=1，a 3=3，a n =n(2)证明见解析【分析】(1)方法一：根据题意可得等式a n +1+1n +2=a n +1n +1，即数列a n +1n +1 是常数列，即可求解；方法二：因为n +1 a n +1=n +2 a n +1，所以n +2 a n +2=n +3 a n +1+1，两式相减整理可得a n +2+a n =2a n +1，进而可得数列a n 是等差数列，即可求解；(2)错位相减法求和.【详解】(1)解法一：令n =1，则有2a 2=3a 1+1，解得a 1=1，令n =2，则有3a 3=4a 2+1，解得a 3=3，因为n +1 a n +1=n +2 a n +1，式子两边同除n +1 n +2 得：a n +1n +2=a n n +1+1n +1-1n +2，则a n +1n +2+1n +2=a n n +1+1n +1，即a n +1+1n +2=a n +1n +1，所以数列a n +1n +1 是常数列，又因为a 1+11+1=1，所以a n +1n +1=1即a n =n .解法二：由已知可求得a 1=1，a 3=3.因为n +1 a n +1=n +2 a n +1，所以n +2 a n +2=n +3 a n +1+1，所以n +2 a n +2-n +1 a n +1=n +3 a n +1-n +2 a n ，移项得n +2 a n +2+n +2 a n =2n +2 a n +1，即a n +2+a n =2a n +1，所以数列a n 是等差数列，又因为a 1=1，a 2=2，所以a n =n .(2)因为b n =a n ⋅2an =n ⋅2n ，所以S n =1×2+2×22+3×23+⋯+n -1 ×2n -1+n ×2n ，所以2S n =1×22+2×23+3×24+⋯+n -1 ×2n +n ×2n +1，两式相减得：-S n =2+22+23+24+⋯+2n -n ⋅2n +1=2(2n -1)2-1-n ⋅2n +1=2n +1-2-n ⋅2n +1，所以S n =n ⋅2n +1-2n +1+2=2n ⋅2n -2n +1+2=2b n -2n +1+2.21.(2023·福建厦门·统考模拟预测)数列a n 中，a 1=2，记T n =a 1a 2a 3⋯a n ，T n 是公差为1的等差数列.(1)求a n 的通项公式；(2)令b n =na n2n ，求数列b n 的前n 项和S n .【答案】(1)a n =n +1n(2)S n =3-n +32n【分析】(1)根据题意，由等差数列的通项公式即可得到结果；(2)根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】(1)当n =1时，T 1=a 1=2所以T n =T 1+n -1 ×1=n +1所以a 1a 2a 3⋯a n =n +1当n ≥2时，a 1a 2a 3⋯a n -1=n所以a n =n +1nn ≥2又a 1=2符合a n =n +1n所以a n =n +1n.(2)由(1)得b n =n +12n所以S n =22+322+423+⋯+n 2n -1+n +12n ①所以12S n =222+323+424+⋯+n 2n +n +12n +1②①-②得12S n =22+122+123+124+⋯+12n -n +12n +1=1+141-12 n -11-12-n +12n +1=32-12 n -n +12n +1所以S n =3-n +32n.22.(2023·福建泉州·统考模拟预测)数列a n 中，a 1=1，且a n +1=2a n +n -1．(1)证明：数列a n +n 为等比数列，并求出a n ；(2)记数列b n 的前n 项和为S n ．若a n +b n =2S n ，求S 11．【答案】(1)证明见详解，a n =2n -n(2)1360【分析】(1)根据题意结合等比数列的定义与通项公式分析运算；(2)由(1)可得2S n =b n +2n -n ，根据前n 项和与通项之间的关系结合并项求和分析运算.【详解】(1)因为a n +1=2a n +n -1，则a n +1+n +1 a n +n =2a n +n -1 +n +1a n +n =2a n +n a n +n=2，且a 1+1=2，所以数列a n +n 是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n +n =2×2n -1=2n ，可得a n =2n -n .(2)因为2S n =a n +b n =b n +2n -n ，即2S n =b n +2n -n ，当n =1时，则2b 1=b 1+1，解得b 1=1；当n ≥2时，则2S n -1=b n -1+2n -1-n +1，两式相减得：2b n =b n -b n -1+2n -1-1，整理得b n +b n -1=2n -1-1；所以S 11=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+⋅⋅⋅+b 11=b 1+b 2+b 3 +b 4+b 5 +⋅⋅⋅+b 10+b 11=1+22-1 +24-1 +⋅⋅⋅+210-1 =22+24+26+28+210 -4=1360，即S 11=1360.23.(2023·福建宁德·统考模拟预测)已知数列a n ,b n 满足b n =a n +n 2,a 1+b 1=3,a 2+b 2=8，且数列a n 是等差数列.(1)求数列b n 的通项公式；(2)记数列1b n的前n 项和为S n ，求证：12≤S n <1.【答案】(1)b n =n +n 2(2)证明见解析【分析】(1)由已知列式求得a 1=1,a 2=2，可得数列a n 的公差d ，进而可求得答案；(2)利用裂项相消法求出S n ，即可证得结论.【详解】(1)由b n =a n +n 2得b 1=a 1+1,b 2=a 2+4，代入a 1+b 1=3,a 2+b 2=8得2a 1+1=3,2a 2+4=8，解得a 1=1,a 2=2，又因为数列a n 为等差数列，故公差为d =a 2-a 1=1，因此a n =n ,b n =n +n 2.(2)由(1)可得b n =n +n 2，所以1b n =1n +n2=1n -1n +1，所以S n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+1n -1n +1 =1-1n +1，又因为n ∈N *，所以0<1n +1≤12(n =1时等号成立)，所以12≤1-1n +1<1，即12≤S n <1.24.(2023·福建·统考模拟预测)已知等差数列a n ，等比数列b n ，满足a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 3+1=b 3．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)令c n =a n +2a n a n +1b n +1，求满足c 1+c 2+⋯+c n >20222023的最小的正整数n 的值．【答案】(1)答案见解析(2)8【分析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可；(2)化简c n =a n +2a n a n +1b n +1，由c 1+c 2+⋯+c n >20222023⇒(n +1)⋅2n >2023，分析满足条件的最小的正整数n 的值即可．【详解】(1)设a n 公差为d ，由b 1b 3=b 22⇒1×2+2d =1+d 2⇒d =±1．当d =-1时，a 2=b 2=0不符合题意，舍去；故d =1，所以a n =n ，b n =2n -1；(2)由题意，可得c n =n +2n n +1 2n =2n +2 -n n n +1 2n =1n ⋅2n -1-1n +1 ⋅2n ，所以c 1+c 2+⋯+c n =11⋅20-12⋅21+12⋅21-13⋅22+⋯+1n ⋅2n -1-1(n +1)⋅2n =1-1(n +1)⋅2n，由c 1+c 2+⋯+c n >20222023⇒(n +1)⋅2n >2023，又n ∈Z +，所以当n =7时，8×27=1024<2023，当n =8时，9×28=2304>2023，故n 的最小值为8．25.(2023下·河北保定·高二校联考阶段练习)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=0，na n +1=n +1 a n +2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若T n =1S 2a 4+1S 3a 5+⋯+1S n +1a n +3，证明：112≤T n <18.【答案】(1)a n =2n -2；(2)证明见解析.【分析】(1)由条件可得a n +1n +1=a n n +2n n +1，利用累加法求a n n ，由此可求数列a n 的通项公式；(2)利用裂项相消法求T n ，再证明112≤T n <18.【详解】(1)因为na n +1=n +1 a n +2.所以a n +1n +1=a n n +2n n +1，所以a n +1n +1-a n n =21n -1n +1 .因为a n n -a n -1n -1=21n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=21n -2-1n -1 ，⋯，a 22-a 11=211-12，当n ≥2时，a n n -a 11=21n -1-1n +1n -2-1n -1+⋯+11-12 =21-1n.因为a 1=0，所以a n n =21-1n，又a 1=0也满足关系a n n =21-1n，所以a n n =21-1n，所以a n =2n -2.(2)因为a n =2n -2，所以S n =2n -2 n2=n n -1 .因为1S n +1a n +3=12n n +1 n +2 =141n n +1 -1n +1 n +2 ，所以T n =1S 2a 4+1S 3a 5+⋯+1S n +1a n +3，T n =1411×2-12×3+12×3-13×4+⋯+1n n +1 -1n +1 n +2 ，T n =1412-1n +1 n +2，所以T n =18-14n +1 n +2 .，因为14n +1 n +2 >0，所以T n <18.因为T n 在n ∈N ∗时单调递增，所以T n ≥T 1=112，故112≤T n <18.26.(2023·福建漳州·统考三模)已知S n 为等差数列a n 的前n 项和，n ∈N ∗，3a 2-a 5=6，S 6=54.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若n +3 b n 2=1a n，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =2n +2(2)T n =5n 2+13n12n +2 n +3【分析】(1)利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得a 1,d ，进而得到a n ；(2)由(1)可得b n ，采用裂项相消法可求得结果.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d ，则3a 2-a 5=3a 1+3d -a 1-4d =2a 1-d =6S 6=6a 1+6×52d =6a 1+15d =54，解得：a 1=4d =2，∴a n =4+2n -1 =2n +2.(2)由(1)得：n +3 b n 2=12n +2，∴b n =1n +1 n +3=121n +1-1n +3，∴T n =1212-14+13-15+14-16+⋅⋅⋅+1n -1n +2+1n +1-1n +3 =1212+13-1n +2-1n +3 =5n 2+13n12n +2 n +3.27.(2023·湖北·统考模拟预测)设数列a n 的前n 项和为S n ．已知a 1=1，2na n -2S n =n 2-n ，n ∈N *．(1)求证：数列a n 是等差数列；(2)设数列b n 的前n 项和为T n ，且T n =2n-1，令c n =a 2nb n，求数列c n 的前n 项和R n ．【答案】(1)证明见解析(2)R n =12-n 2+4n +62n -1【分析】(1)应用a n =S n -S n -1,结合等差数列定义证明即可;(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消【详解】(1)2na n -2S n =n 2-n ①，当n ≥2时，2n -1 a n -1-2S n -1=n -1 2-n -1 ②，①-②得：2na n -2n -1 a n -1-2S n -S n -1 =n 2-n -1 2-n +n -1 ,即2n -1 a n -2n -1 a n -1=2n -1 ，所以a n -a n -1=1，n ≥2且n ∈N *，所以a n 是以1为公差的等差数列．(2)由(1)得，a n =n ．当n =1时，b 1=T 1=1；当n ≥2时，b n =T n -T n -1=2n -1；又b 1=1满足上式，所以b n =2n -1n ∈N * ．所以c n =n 22n -1，记数列c n 的前n 项和为R n ．方法一：(两次错位相减)R n =1220+2221+3222+⋯+n 22n -1，①12R n =1221+2222+3223+⋯+n 22n ，②①-②得12R n =120+321+522+⋯+2n -12n -1-n 22n ，③则14R n =121+322+523+⋯+2n -32n -1+2n -12n -n 22n +1，④③-④得14R n =1+1+12+122+⋯+12n -2-n 22n -2n -12n +n 22n +1=1+21-12n -1 -2n -12n-n 22n +1=3-n 2+4n +62n +1，所以R n =12-n 2+4n +62n -1．方法二：(裂项)因为c n =n 22n -1=n 2+2n +32n -2-n +1 2+2n +1 +32n -1，所以R n =12+2×1+32-1-22+2×2+320-23+2×3+321+⋯+n 2+2n +32n -2-n +1 2+2n +1 +32n -1=12-n +1 2+2n +1 +32n -1=12-n 2+4n +62n -1．28.(2023·福建莆田·统考二模)已知正项数列a n 满足a 21+a 22+⋅⋅⋅+a 2n=4n 3-13．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =na n，记数列b n 的前n 项和为S n ，证明：S n <4．【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)分类讨论n =1与n ≥2两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得a n =2n -1；(2)结合(1)中结论，利用错位相减法求得S n ，由此得证.【详解】(1)因为a 21+a 22+⋅⋅⋅+a 2n =4n 3-13，当n =1时，a 21=1，因为a n >0，所以a 1=1，当n ≥2时，a 21+a 22+⋯+a 2n -1=4n -13-13，两式相减得，a 2n =4n 3-13-4n -13-13=4n -1=2n -1 2，因为a n >0，所以a n =2n -1,n ≥2,n ∈N *，经检验，上式对于n =1也适合，所以a n 的通项公式为a n =2n -1.(2)由(1)得b n =n a n =n ⋅12n -1，所以S n =1×1+2×12+3×12 2+⋯+n ⋅12n -1，12S n =1×12+2×12 2+⋯+(n -1)⋅12 n -1+n ⋅12 n，两式相减得，12S n =1+12+12 2+⋯+12 n -1-n ⋅12 n =1-12 n1-12-n ⋅12 n =2-(n +2)12n所以S n =4-(2n +4)12n，由于n ∈N *，显然(2n +4)12n>0，所以S n <4.29.(2023·福建漳州·统考二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2=0，且．在①S 7=a 4+12，②a 1+a 4+a 7=6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分)(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +2a n +2，求b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =n -2；(2)T n =n 2-3n2+2n +1-2.【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前n 和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式；(2)由(1)得b n =n -2+2n ，再利用分组求和法即可求得T n .【详解】(1)设等差数列a n 的首项为a n ，公差为d ，若选择条件①S 7=a 4+12，由题可得a 1+d =07a 1+21d =a 1+3d +12，解得a 1=-1d =1 ，∴a n =-1+(n -1)×1=n -2(n ∈N *)若选择条件②a 1+a 4+a 7=6，由题可得a 1+d =03(a 1+3d )=6，解得a 1=-1d =1 ，∴a n =-1+(n -1)×1=n -2(n ∈N *).(2)由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有a n =n -2，则b n =a n +2a n +2=n -2+2n ，∴T n =-1+21+0+22+⋯+n -2+2n=(-1+0+1+⋯+n -2)+(21+22+⋯+2n )=n (-1+n -2)2+2(1-2n )1-2=n 2-3n 2+2n +1-2.30.(2023·河北衡水·高三阶段练习)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=λ+1 S n +1n ∈N *,λ≠-2 且3a 1,4a 2,a 3+13成等差数列.(1)求a n 的通项公式；(2)若a n b n =log 4a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =4n -1；(2)T n =169-4+3n9×4n -1.【分析】(1)根据递推关系可得a n +1=λ+2 a n ，然后根据等差中项及等比数列的定义即得；(2)由题可得b n =n4n -1，然后利用错位相减法即得.【详解】(1)因为a n +1=λ+1 S n +1，a 1=1，当n =1时，a 2=λ+1 S 1+1=λ+2，当n ≥2时，a n =λ+1 S n -1+1，所以a n +1-a n =λ+1 a n ，即a n +1=λ+2 a n ，又因为λ≠-2，且a 1=1，a 2=λ+2，则a 2a 1=λ+2所以a n 是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，所以a 2=λ+2，a 3=λ+2 2，又3a 1，4a 2,a 3+13成等差数列，所以3+λ+2 2+13=8λ+2 ，即λ2-4λ+4=0，所以λ=2，a n =4n -1；(2)因为a n b n =log 4a n +1，所以4n -1⋅b n =log 44n =n ，即b n =n4n -1，所以T n =1+24+342+⋯+n4n -1，14T n =14+242+343+⋯+n 4n ，所以34T n =1+14+142+⋯+14n -1-n 4n =1-14n1-14-n 4n =43-4+3n 3⋅4n ，所以T n =169-4+3n9×4n -1.。

高三数学专题训练《数列》解析版

一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.答案：A4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则m 等于( )A ．a 1＋a 20B ．a 5＋a 17C ．a 27＋a 35D ．a 15＋a 26解析：S 40＝40(a 1＋a 40)2＝20(a 1＋a 40)＝20m ，m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.答案：D5．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( )A.b aB.b 2a2C.b 2aD.ba2解析：记等比数列{a n }的公比为q ，依题意得a 15＋a 16＝a 5q 10＋a 6q 10＝(a 5＋a 6)q 10，q 10＝a 15＋a 16a 5＋a 6＝b a，a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)q 20＝a ×(b a)2＝b 2a，选C. 答案：C6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a 21q 3＝－98 ②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n＋2＝0，a n ＋2a nq ＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关解析：依题意得，a 9S 8－a 8S 9＝a 1q 8·a 1(1－q 8)1－q－a 1q 7·a 1(1－q 9)1－q＝－a 21q 7>0，因此a 9S 8>a 8S 9，选A.答案：A9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于( )A ．42B ．45C ．48D ．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n 段n 个数，设a 1000＝k ，则a 1000在第k 个数段，由于第k 个数段共有k 个数，则由题意k 应满足1＋2＋…＋(k －1)<1000≤1＋2＋…＋k ，解得k ＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：依题意，∵a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (n ∈N *)，∴k ≠0，①正确，排除B ，C 选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A ，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意，记a 1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a 2＝[5＋12]＝1，a 3＝5＋12，若为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，不满足；若为等比数列，则(a 2)2＝a 1a 3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝__________.解析：由a 4＋a 6＝6，得a 5＝3，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，∴a 1＝1.∴4d ＝a 5－a 1＝2，d ＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则a 15·a 2a 10＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则依题意得a 71·q 42＝128，a 1·q 6＝2，a 7＝2，a 15·a 2a 10＝a 2·q 5＝a 7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则⎩⎨⎧5a ＝1003(a ＋d )＝3(2a －3d )解得⎩⎨⎧a ＝20d ＝5，则最少的一份为a －2d ＝10.答案：1016．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2005＝__________.解析：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3的值； (2)求此数列的通项公式； (3)求此数列的各项和S . 解：(1)由题意知⎩⎨⎧12S 2＋13S 3＝22S 2·3S 3＝36，解得S 2＝2，S 3＝3.(2)⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝4q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝1q ＝1(舍去)．∴a n ＝4·(－12)n －1.(3)∵|q |＝|－12|＝12<1.∴S ＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f (x )＝x3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋eq \f(x n ,a n )，求S n (x )．(1)证明：∵a n ＋1＝f (a n )，∴a n ＋1＝a n3a n ＋1.∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3.∴{1a n}是以1a 1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)解：S n (x )＝x ＋4x 2＋7x 3＋…＋(3n －2)x n ，① 当x ＝1时，S n (x )＝1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.当x ≠1时，xS n (x )＝x 2＋4x 3＋…＋(3n －5)x n ＋(3n －2)x n ＋1，②①－②，得(1－x )S n (x )＝x ＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n －(3n －2)x n ＋1＝3(x ＋x 2＋…＋x n )－2x －(3n －2)x n ＋1＝3x (1－x n )1－x－2x －(3n －2)x n ＋1，S n (x )＝3x －3x n ＋1(1－x )2－2x ＋(3n －2)x n ＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，① 又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *，所以满足条件的n 的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1. 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1， ∴1.05n ≥1.7343.两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n ＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x 元， ∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x ≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋a n －22(n＝3,4，…)．(1)求c 的值．(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2a n －2， a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2， ∴c 2＝1＋c 2. 解得c ＝1或c ＝－12. (2)当c ＝1时{a n }是一个常数数列，a n ＝1.此时S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当c ＝－12时，a n ＝(－12)n －1(n ∈N *)．此时S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－12)n －1.① －12S n ＝－12＋2(－12)2＋3(－12)3＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12)n .② ①－②，得(1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n ＝1－(－12)n 1＋12－n (－12)n .∴S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]． 22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1. (文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(理)(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想，数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．(2)当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立；当n ≥2时，易知0<x n －1<1，∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12， ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1) ＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. (文)(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2 ＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．。

高三一轮复习资料-数列.doc

江苏省13大市数学试题分类汇编-数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ． 2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += .3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为4、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 .6、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为．7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为．8、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝．二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k，当≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1）求数列}{n n b a +的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出ba ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数,0,<+n nb a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. 6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合（2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值（3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n)8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

高三数学练习题及答案：数列

高三数学练习题及答案：数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()A.6B.7C.8D.9解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.答案：A2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.答案：C3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2011等于()A.1B.-4C.4D.5解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，。

故{an}是以6为周期的数列，∴a2011=a6×335+1=a1=1.答案：A4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.d0B.a7=0C.S9S5D.S6与S7均为Sn的值解析：∵S5又S7S8，∴a80.假设S9S5，则a6+a7+a8+a90，即2(a7+a8)0.∵a7=0，a80，∴a7+a80.假设不成立，故S9答案：C5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公比q 的值为()A.-12B.12C.1或-12D.-2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，解得q=1(舍去)，或q=-12.综上，q=1，或q=-12.答案：C6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1，数列{an}的项为第x 项，最小项为第y项，则x+y等于()A.3B.4C.5D.6解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，∴n=2时，an最小;n=1时，an.此时x=1，y=2，∴x+y=3.答案：A7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25解析：∵3an+1=3an-2，∴an+1-an=-23，即公差d=-23.∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).令an0，即15-23(n-1)0，解得n23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a230，而a240，∴a23a240.答案：C8.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A.1.14aB.1.15aC.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1=a，wan=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.答案：C9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的值为()A.25B.50C.100D.不存在解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.又a70，a140，∴a7?a14≤a7+a1422=25.答案：A10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()A.在直线mx+qy-q=0上B.在直线q__my+m=0上C.在直线qx+my-q=0上D.不一定在一条直线上解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即q__my+m=0.答案：B11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，。

数列解答题的考法研究题型归纳练习-2023届高三数学一轮复习(含解析)

数列大题的考法研究题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列；3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式；（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ；（2）求{}n a 的前100项和100S ．4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =．（1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．题型三：裂项相消法求和1．已知数列{}n a 满足111,2(*,2)n n a a a n N n -==+∈≥ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11()n n n b n N a a +=∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求n S .2．已知数列{}n a 满足()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n S .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n =-∈N ；（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =+-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T ；（3）设()()1111n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n ∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值；题型四：错位相减法求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n a S -=+（2n ≥，n *∈N ）（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）记2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)2n n n a a S +=，0n a >．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）已知2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <．【课后精练】1．已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 均在函数()f x 的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数()442x x g x =+，令()*2021n n a b g n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前2020项和2020T ．2．已知数列{}n a 的前n 项和224()n n S n N ++=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足121(0)()()()(1).n n b f f f f f n n n-=+++++分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.3．在公差不为0的等差数列{}n a 中，257a a +=，2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n S ．4．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．已知数列{}n b 的前n 项和()22n S n n n N +=+∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．7．已知数列{}n a 满足111,2(1)n n a na n a +==+. （1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .8．已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.（1）若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}3n an a ⋅的前n 项和n S .9．已知数列{}n a ，{}n b 满足1118a =，11216n n n n a a a a ++-=，116n n b a =-.（1）证明{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）求11223377a b a b a b a b ++++.10．已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .数列大题的考法研究【答案解析】题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；【答案】证明见解析，32n a n =- 证明：因为2133(1)022n n nS n S n n +-+--=，所以()13(1)12n n nS n S n n +-+=+，所以1312n n S S n n +-=+，1111S a ==，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列，3122n S n n =-，所以23122n S n n =-，当2n ≥时， ()()2213131112222n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎢⎥⎣⎦32n =-，当1n =时，等式也成立，所以32n a n =-；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列；【答案】证明：由()11n n n a a n n++=+，可得111n n a a n n +=++，所以111n n a a n n +-++，由于nn a b n=，可得11n n b b +-=，又112b a ==，所以{}n b 为首项为2，公差为1的等差数列. 3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；【答案】由题意，数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-，当2n ≥时，113223n n a S --=-，两式相减，可得132n n n a a a --=，即12n n a a -=-，即()12,2n n a n a -=-≥，令1n =，可得113223a a =-，解得143a =，所以数列{}n a 是首项为43，公比为2-的等比数列，所以()()1124233n n n a +--=⋅-=，所以()222112233n nn a -=-=，21223n n a +=-，222123n n a ++=，又由21221214nn n n n a a a a -+--=-=，所以2n a ，21n a -，21n a +构成一个递增的等差数列.证明（判断）数列是等差（比）数列的4种基本方法题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式；（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．【答案】（1）232a =，352a =-（2）证明见解析，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析（1）因为数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，所以2113122a a =+=，323522422a a =-⨯=-=-．即232a =，352a =- （2）()()12221211122122122n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+-()()()2221111421122222n n n n a n n a a b -+-==-==-． ∵12122b a =-=-，∴数列{}n b 的各项均不为0，∴112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列， ∴1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴()1223111111112231n n c c c c c c n n -+++=+++⨯⨯-1111111112231n n n=-+-++-=-<-． 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）1,?2,?n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；（2）60．【详解】解：（1）当1n =时，112a S ==当n 为奇数，且3n ≥时，12(1)1n n n a S S n n n -=-=--=+，显然1n =满足；当n 为偶数时，12(1)2n n n a S S n n n -=-=--=-所以1,,2,.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）()()()20122012232021T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++()1220211212a a a a a a =++⋅⋅⋅++--211212S a a =--222122260=⨯⨯--=．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ；（2）求{}n a 的前100项和100S ．【答案】（1）22a =，32a =，43a =，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）2600.【详解】解：（1）2112a a =+=，322a a ==，4313a a =+=．当*N k ∈时，由题意，得2211k k a a -=+，212k k a a +=．于是21211k k a a +-=+，即21211k k a a +--=．所以，{}21k a -是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()21111k a a k k -=+-⋅=，即n 为奇数时，12n n a +=．当n 为偶数时，()11121122n n n n a a --++=+=+=．所以，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）法1：()()100139924100S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()1235023451=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1505025150260022+⨯+⨯=+=法2：由（1），当*N k ∈时，21k a k -=，21k a k =+．令212k k k b a a -=+，则21k b k =+．()()()1001234991001250S a a a a a a b b b =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+15031015050260022b b ++=⨯=⨯=． 4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =．（1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）2248002(41)3n n S n n ++-=. 【详解】解：（1）证明：1600a =，11000600400b ∴=-=，26000.84000.3600a =⨯+⨯=，由题意，可得10.80.31000n n n n n a a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得113002n n a a +=+，1600a =，600n a ∴=，即数列{}n a 是常数列.（2）由（1）可得，1000400n n b a =-=，2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，213212422400()()n n n S n c c c c c c -∴=⨯+++⋯++++⋯+24224002(13521)(222)n n n =⨯++++⋯+-+++⋯+ 248002(41)3n n n =++-．分组转化法求和的常见类型(1)若n n n a b c =±,且{}n b ,{}n c 为等差或等比数列,可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和 (2)通项公式为n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的数列,其中数列{}n b {}n c 是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和。

高三数学试卷专题训练答案

一、选择题1. 答案：D解析：由题意得，等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则有an = a1 + (n-1)d。

根据等差数列的性质，有a1 + a3 + a5 = 3a3，即a1 + 2d + 4d = 3a3。

又因为a3 = a1 + 2d，代入上式得a1 + 6d = 3a1 + 6d，即a1 = 0。

因此，首项a1为0。

2. 答案：B解析：由题意得，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，因此对称轴为x=1。

又因为f(1) = a + b + c，且f(x)在x=1时取得最小值，所以a>0。

又因为f(0) = c > 0，所以b^2 - 4ac < 0。

综上所述，选项B正确。

3. 答案：A解析：由题意得，圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0，化简得(x - 1)^2+ (y - 2)^2 = 2。

因此，圆心坐标为(1, 2)，半径为√2。

点P到圆心的距离为√((x - 1)^2 + (y - 2)^2)，代入P的坐标得√((2 - 1)^2 + (0 - 2)^2) = √5。

因为√5 > √2，所以点P在圆外。

4. 答案：C解析：由题意得，函数f(x) = (x - 1)^2 - 2在x=2时取得最小值，即f(2) = 1。

又因为f(x)在区间[0, 2]上单调递增，所以f(0) < f(2) < f(4)。

计算得f(0) = 3，f(4) = 9，因此f(0) < f(2) < f(4)。

5. 答案：D解析：由题意得，函数f(x) = log_a(x - 1)在(1, +∞)上单调递增，且f(2) = 1。

因为对数函数的定义域为(0, +∞)，所以a>1。

又因为f(2) = log_a(2 - 1) = 1，所以a = 2。

因此，选项D正确。

二、填空题1. 答案：3解析：由题意得，等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则有an = a1 + (n-1)d。

人教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第六章数列-解答题专项(三)数列中的综合问题

3
,
所以 = 1 + 2 + ⋯ + =
9
4
= −
3
9
+
2
4
3
9
4
= −
6+9
.
4×3
3
9
×0+
2
4
30
−
3
9
×1+
2
4
31
+ ⋯+
3
2
9
−1 +4
3−1
−
+
3
9
+
2
4
3

,
3
1
,
3
2.已知等差数列{ }满足 + 1 = 2 − 8 + ,数列{ }是以1为首项,3为公比的等
（1）求数列{ }的通项公式;
解因为1 = 2,2+1 + +1 − 2 = 0 ∈ ∗ ,所以 ≠ 0,
2
2
所以 + 1 −
= 0.

+1
1
1
1
所以
− = ,
+1

2
1
1
所以{ }为等差数列,首项

1
1
1
1
所以 = + − 1 =

1
（1）证明：{+1 − 2 }是等比数列.
证明∵ +2 = 5+1 − 6 ,
∴ +2 − 2+1 = 5+1 − 6 − 2+1 ,
∴ +2 − 2+1 = 3+1 − 6 = 3 +1 − 2 ,

高考数学复习考前专题训练—解答题(二)

高考数学复习考前专题训练—解答题(二)1.(2021·广东揭阳一模)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n,满足6S n=a n·a n+1+2(n∈N*),a1<2,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n lg(a n·a n+1),记数列{b n}的前n项和为T n,求T33.2.(2021·重庆八中适应性训练)在①cos 2A+2√2cos(B+C)+2=0,②√2+2cos C cos B=cos(C-B)-cos(C+B),③2c tan B=√2b(tan A+tan B)这三个条件中任选一个,补充到下面的横线上并作答.问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√5,c=√2,.(1)求cos C;,求sin∠DBC.(2)在边AC上取一点D,使得cos∠ADB=453.(2021·江苏盐城三模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BB1=2BC=2,∠CBB1=2∠CAB=π,且平面3ABC⊥平面B1C1CB.(1)求证:平面ABC⊥平面ACB1;(2)设点P为直线BC的中点,求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值.4.(2021·广东湛江二模)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学,现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元,每日销售的前5件每件奖励20元,超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查,统计了100名销售员1天的销售记录,其柱状图如图1;“送外卖员”没有底薪,收入与送的单数相关,在一日内:1至20单(含20单)每送一单3元,超过20单且不超过40单的部分每送一单4元,超过40单的部分,每送一单4.5元.小明通过随机调查,统计了100名送外卖员的日送单数,并绘制成如下频率分布直方图(如图2).图1图2(1)分别求出“销售员”的日薪y 1(单位:元)与销售件数x 1的函数关系式,“送外卖员”的日薪y 2(单位:元)与所送单数x 2的函数关系式;(2)若将频率视为概率,根据统计图,试分别估计“销售员”的日薪X 1和“送外卖员”的日薪X 2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望,分析选择哪种工作比较合适,并说明你的理由.5.(2021·湖北襄阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中:①已知点A (√3,0),直线l :x=4√33,动点P 满足到点A的距离与到直线l 的距离之比为√32;②已知点S ,T 分别在x 轴、y 轴上运动,且|ST|=3,动点P 满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =23OS ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OT ⃗⃗⃗⃗⃗;③已知圆C 的方程为x 2+y 2=4,直线l 为圆C 的切线,记点A (√3,0),B (-√3,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,动点P 满足|PA|=d 1,|PB|=d 2.(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点P 的轨迹方程;(2)记(1)中动点P 的轨迹为E ,经过点D (1,0)的直线l'交E 于M ,N 两点,若线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ,求点Q 纵坐标的取值范围.6.(2021·山东烟台一模)已知函数f (x )=a (x 2-x )-ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的单调性; (2)证明:当x>1时,2e x -1lnx≥x 2+1x 2-x.答案及解析1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则由6S n =a n ·a n+1+2,得6S n-1=a n-1·a n +2(n ≥2), 相减得6(S n -S n-1)=a n (a n+1-a n-1), 即6a n =a n ·2d (n ≥2). 又a n >0,所以d=3. 由6S 1=a 1·a 2+2,得6a 1=a 1·(a 1+3)+2,解得a 1=1(a 1=2舍去),由a n =a 1+(n-1)d ,得a n =3n-2. (2)b n =(-1)n lg(a n ·a n+1)=(-1)n (lg a n +lg a n+1),T 33=b 1+b 2+b 3+…+b 33=-lg a 1-lg a 2+lg a 2+lg a 3-lg a 3-lg a 4+…-lg a 33-lg a 34=-lg a 1-lg a 34=-lg 100=-2.2.解选①:cos 2A+2√2cos(B+C )+2=0,得2cos 2A-1-2√2cos A+2=0,即(√2cos A-1)2=0,解得cos A=√22. 因为0<A<π,所以A=π4.选②:因为√2+2cos C cos B=cos(C-B )-cos(C+B ),所以√2+2cos C cos B=cos C cos B+sin C sin B-cos C cos B+sin C sin B ,即2cos(C+B )=-√2,cos A=√22,因为0<A<π,所以A=π4.选③:2c tan B=√2b (tan A+tan B ),所以2sinBsinCcosB =√2sin B (sinA cosA +sinBcosB ),所以2sin B sinC cos A=√2sin B sin C.因为sin B ≠0,sin C ≠0,所以cos A=√22. 因为A ∈(0,π),所以A=π4.(1)在△ABC 中,由余弦定理:cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b,可得b=3,所以cosC=a 2+b 2-c 22ab=2√55.(2)因为cos ∠ADB=45,所以cos ∠BDC=-45. 即∠BDC 为钝角,且sin ∠BDC=35.又∠BDC+∠C+∠DBC=180°. 由(1)知,cos C=2√55,sin C=√1-cos 2C =√55.所以sin ∠DBC=sin(∠C+∠BDC )=sin ∠BDC cos ∠C+cos ∠BDC sin ∠C=35×2√55−45×√55=2√525.3.(1)证明连接AB 1,B 1C.因为AC=2BC=2,所以BC=1.因为2∠CAB=π3,所以∠CAB=π6. 在△ABC 中,BCsinA =ACsinB ,即1sin π6=2sinB ,所以sin B=1.即AB ⊥BC.又因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ,平面ABC ∩平面B 1C 1CB=BC ,AB ⊂平面ABC ,所以AB ⊥平面B 1C 1CB.又B 1C ⊂平面B 1C 1CB ,所以AB ⊥B 1C.在△B 1BC 中,B 1B=2,BC=1,∠CBB 1=π3,所以B 1C 2=B 1B 2+BC 2-2B 1B·BC·cos π3=3,即B 1C=√3,所以B 1C ⊥BC. 而AB ⊥B 1C ,AB ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,AB ∩BC=B ,所以B 1C ⊥平面ABC.又B 1C ⊂平面ACB 1,所以平面ABC ⊥平面ACB 1.(2)解以B 为坐标原点,以BC 为x 轴,BA 为y 轴,过B 作平面ABC 的垂线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (1,0,0),A (0,√3,0).∵B 1C ⊥平面ABC ,∴B 1(1,0,√3),∴BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3).在三棱柱中,AA 1∥BB 1∥CC 1,可得C 1(2,0,√3),A 1(1,√3,√3),∵P 为BC 中点,∴P (12,0,0).∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,-√3,-√3),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,√3),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3).设平面ACB 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则{AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√3y +√3z =0,√3z =0,不妨取x=√3,可得y=1,z=0,则n =(√3,1,0). 设直线A 1P 与平面ACB 1所成角为θ,则sin θ=|cos <A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n ||=|-√32-√3+052×2|=3√310.故直线A 1P 与平面ACB 1所成角的正弦值为3√310.4.解 (1)“销售员”的日薪y 1(单位:元)与销售件数x 1的函数关系式为y 1={20x 1+50,x 1≤5,x 1∈N ,30x 1,x 1>5,x 1∈N ,“送外卖员”的日薪y 2(单位:元)与所送单数x 2的函数关系式为y 2={3x 2,x 2≤20,x 2∈N ,4x 2-20,20<x 2≤40,x 2∈N ,4.5x 2-40,x 2>40,x 2∈N .(2)由柱状图知,日平均销售量满足如下表格:所以X 1的分布列为所以E (X 1)=110×0.05+130×0.2+150×0.25+180×0.4+210×0.1=162(元).由频率分布直方图可知,日送单数满足如下表格:所以X 2的分布列如下表:所以E (X 2)=30×0.05+100×0.25+182×0.45+275×0.2+365×0.05=183(元).由以上计算得E (X 2)>E (X 1),做“送外卖员”挣的更多, 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.5.解 (1)若选①:设P (x ,y ),根据题意,得√(x -√3)2+y 2|x -4√33|=√32,整理得x 24+y 2=1,所以动点P 的轨迹方程为x 24+y 2=1.若选②:设P (x ,y ),S (x',0),T (0,y'), 则√(x ')2+(y ')2=3.(i)因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OS ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OT ⃗⃗⃗⃗⃗, 所以{x =23x ',y =13y ',整理,得{x '=32x ,y '=3y , 代入(i)得x 24+y 2=1,所以动点P 的轨迹方程为x 24+y 2=1.若选③:设P (x ,y ),直线l 与圆相切于点H ,则|PA|+|PB|=d 1+d 2=2|OH|=4>2√3=|AB|. 由椭圆的定义,知点P 的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆, 所以2a=4,2c=|AB|=2√3,故a=2,c=√3,b=1. 所以动点P 的轨迹方程为x 24+y 2=1.(2)设Q (0,y 0),当直线l'的斜率不存在时,y 0=0.当直线l'的斜率存在时,设直线l'的斜率为k ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),线段MN 的中点为G (x 3,y 3).由{x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k=y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-2x34×2y3=-x 34y 3. 线段MN 的垂直平分线的方程为y-y 3=4y3x 3(x-x 3).令x=0,得y 0=-3y 3. 由k=-x 34y3=y 3x 3-1,得y 32=-14x 32+14x 3=-14(x 3-12)2+116.由y 32>0得0<x 3<1,所以0<y 32≤116,则-14≤y 3<0或0<y 3≤14,所以-34≤y 0<0或0<y 0≤34. 综上所述,点Q 纵坐标的取值范围是[-34,34].6.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a (2x-1)-1x =2ax 2-ax -1x. 令g (x )=2ax 2-ax-1.①当a=0时,g (x )=-1<0,f'(x )=g (x )x <0,故f (x )在(0,+∞)上单调递减;②当a ≠0时,g (x )为二次函数,Δ=a 2+8a.若Δ≤0,即-8≤a<0,则g (x )的图象为开口向下的抛物线且g (x )≤0,所以f'(x )≤0,故f (x )在(0,+∞)单调递减;若Δ>0,即a<-8或a>0.令g (x )=0,得x 1=a -√a 2+8a 4a ,x 2=a+√a 2+8a4a. 当a<-8时,g (x )图象为开口向下的抛物线,0<x 2<x 1,所以当x ∈(0,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时,g (x )<0, 所以f'(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(x 2,x 1)时,g (x )>0,所以f'(x )>0,f (x )单调递增; 当a>0时,g (x )图象为开口向上的抛物线,x 1<0<x 2,所以当x ∈(0,x 2)时,g (x )≤0,所以f'(x )<0,故f (x )单调递减; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,所以f'(x )>0,f (x )单调递增. 综上,当a<-8时,f (x )在(0,a+√a 2+8a 4a )和a -√a 2+8a4a,+∞上单调递减,在(a+√a 2+8a 4a ,a -√a 2+8a4a)上单调递增; 当a>0时,f (x )在(0,a+√a 2+8a 4a )上单调递减,在(a+√a 2+8a 4a,+∞)上单调递增;当-8≤a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减.(2)证明由(1)知,当a=1时,f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此对任意x>1恒有f (x )>f (1),即x 2-x>ln x. 因为0<ln x<x 2-x ,若2e x-1≥x 2+1成立,则2e x -1lnx ≥x 2+1x 2-x 成立. 令φ(x )=e x-1-12(x 2+1)(x ≥1),则φ'(x )=e x-1-x ,φ″(x )=e x-1-1.因为x ≥1,所以φ″(x )≥0,所以φ'(x )在[1,+∞)上单调递增,又φ'(1)=0,所以当x ≥1时,φ'(x )≥0,所以φ(x )在[1,+∞)上单调递增, 又φ(1)=0,所以对任意x>1恒有φ(x )>φ(1)=0,即2e x-1≥x 2+1. 当x>1时,0<ln x<x 2-x ,则1lnx >1x 2-x >0.由不等式的基本性质可得2e x-1lnx≥x2+1x2-x.因此,原不等式成立.。

高三理科数学数列解答题专项训练汇编

高三理科数学数列解答题专项训练为成等比数列，，且，满足数列已知公差不为零的等差n n S a a a a a a a 1751531,,12}{.1=++项和的前n a n }{。

的值成立的最大正整数）求使得的通项公式；（求数列n a s a n n n 52}{)1(<121,1...11)3(121<≤+++=-+n n n n n b a a a b 证明：设的等差中项是，且的前项和设数列3211,42}{.2a a a a a s a n n n +-=的通项公式求数列}{)1(n a221}{)2(<≤n n n T T n a n ，求证：项和的前求数列*),2(),2(2,3}{.311N n n n a a a a n n n ∈≥-+==-中，在数列的通项公式是等比数列，并求证明：数列}{}{)1(n n a n a + ns n 项和的前求数列}{a )2(n*)(,23,3,1}{.41221N n a a a a a a n n n n ∈-===++满足已知数列是等比数列；证明：数列}{)1(1n n a a -+21}{2)2(11<=+-n n n n n n n T n b T a a b 项和，证明：的前是数列，设 7,}{1}{.53=s a s a n n n 已知的前项和为数列的等比数列，是公比大于设构成等差数列且4,3,3321++a a an n n n n T n b n a b a 项和的前求数列，）令的通项公式；（求数列}{,...2,1ln 2}{)1(13==+n n n n a a a a 23,1}{.611+==+满足数列231...112}2{)1(21<++++n n n a a a n a ，有）对一切正整数是等比数列；（求证：数列*),2(,221}{.711N n n a a a a n n n n ∈≥+==-，且满足已知数列的最大项，试求数列设求的前项和）设数列（的通项公式；求数列}{a 33)3(,}{2}{)1(n n n n nn n n s b s s a a -= 的取值范围）求（与）求（，且公比为的各项均为正数，，等比数列项和为其前中，在等差数列n nn n n n s s s b a b s q s b q b b s n a a 1...1121,12,1}{,3}{.821222211+++==+==321...1131)3(21<+++≤n s s s 证明：n n n n n n n T n a a b s s a a s n a 项和的前，求数列）设的通项公式；（求为整数，且，，已知项和为的前等差数列}{b 12}{a )1(10}{.9n 1n 421+=≤=412...533}{2}{)1(.,,1,}{0}{.1022221342211<++++≤====nn n n n n s n s s s n a a b a b a b a b a ，求证：项和为的前）设（的通项公式求为等比数列，为为等差数列，且公差不已知数列231...11)2(}{}21{)1(13,1}{.112111<+++++==+n n n n n n a a a a a a a a a 证明：的通项公式是等比数列，并求证明满足已知数列2}24{)2(}{)1(42}{.121111<+-=+++++n n n n n nn n n n n s s n a a n a a a a a a a ，求证：项和为的前数列是等差数列证明：数列满足列已知各项均为正数的数由。

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高三理科数学数列解答题专项训练
为成等比数列，，且，满足数列已知公差不为零的等差n n S a a a a a a a 1751531,,12}{.1=++项和的前n a n }{。

的值成立的最大正整数）求使得的通项公式；（求数列n a s a n n n 52}{)1(<
121,1...11)3(121<≤+++=-+n n n n n b a a a b 证明：设
的等差中项是，且的前项和设数列3211,42}{.2a a a a a s a n n n +-=
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证明：数列满足列已知各项均为正数的数
由。

为等差数列？并说明理，使得）是否存在；（证明：为常数
其中，项和为的前已知数列}{2)1(,,0,1}{.132111n n n n n n n n n a a a s a a a a s n a λλλλ=-=≠=+-+
n n n n n n n s n na b a a a a a n 项和，求数列的前令的通项公式求数列满足设数列=⋅=-=-+)2(;}{)1(23,2}{.141
211
15.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
m
N n m s b b b s b a a b a s n s a a a n n n n n n n n n 成立，求最小正整数对一切若，令的通项公式
求数列项和，为其前中，已知等差数列*,...,31
)2(}{)1(335,6}{.162111562∈<+++====
=+-数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，
43b S =．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设1
1n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明： 12n T <。