6-频率域图像增强
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第4讲频率域图像增强
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
• 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系
– Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
•
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数
– G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
二阶GLPF 无振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
2
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
频率域图像增强
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
频率域图像增强处理PPT
∑ ∑ f (m, n)h( x m, y n)
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和 h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
冲激（脉冲）函数及筛选属性：
冲激函数的傅立叶变换：
1 F (u , v) = MN
筛选属性：
∑∑ δ ( x, y)e j 2π (ux / M +vy / N ) =
x =0 y =0
M
N
1 MN
∑∑ f ( x, y) Aδ ( x x , y y ) = Af ( x , y )
x=0 y =0 M N 0 0 0 0
信息与物理工程学院 中南大学
2. Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1 时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
f ( x, y ) h( x, y ) F (u , v) H (u , v); f ( x, y )h( x, y ) F (u , v) H (u , v)
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
信息与物理工程学院 中南大学
第四讲频率域图像增强 65页PPT文档
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
6第六章频率域图像增强解析
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 1 T1
n1
7
直流 系数
余弦分量 系数
1 a0 T1
t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数
t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2
一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u
f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 1 T1
n1
7
直流 系数
余弦分量 系数
1 a0 T1
t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数
t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2
一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u
f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
第6章频域图像增强
例
128*128 原始图像
理想低通滤波后图像 （模糊和振铃现象）
10
讨论题
〔数字信号处理〕
理想的低通滤波 器在工程上是不存在的，为 什么？
理想低通滤波器的单位取样响应hd（n)为无限 长、非因果序列，实际工程中是不可实现的。
11
• 1.理想的低通滤波器是 不存在的，实际工程中 如何实现低通滤波？
35
例
原始图像
一副图像在获得时 由于光照不均匀或光动 态范围过大而使图像的 某些细节分辨不清，为 消除这种光照影响可以 用同态滤波来解决。在 动态范围压缩的同时， 使对比度增加。
36
光照下获得景物图像模型：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
其中： f(x,y)为所获得图像. i(x,y)为入射光随坐标（x,y)不同的照 度分量. r(x,y)为从景物反射到眼睛的反射分量.
同态滤波步骤：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
(1)将上式两边取对数： lnf(x,y)=lni(x,y)+lnr(x,y) (2)将上式两边取傅立叶变换,从空域到频域： F(u,v)=I(u,v)+R(u,v) (3)在频域中用转移函数处理F(u,v)： H(u,v)F(u,v)=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v) (4)将上式两边取傅立叶反变换,从频域到空域： hf(x,y)=hi(x,y)+hr(x,y) (5)将上式两边取指数： g(x,y)=exp|hf(x,y)| =exp|hi(x,y)|+exp|hr(x,y)|
从透视图可以看出两个透视图可以合 成一个高度为H(u,v)的方体。
28
带阻滤波器转移函数： 0 D1(u,v) ≤ D0 或 D2(u,v) ≤ D0 H(u,v) 1 其他 其中：D1(u,v)=[(u-u0)2+(v-v0)2)1/2,是频域中以(u0,v0)
频率域波图像增强
频率域波图像增强本⽂主要包括以下内容频率域图像增强⾼通滤波器和低通滤波器本章的典型案例分析利⽤频域滤波消除周期噪声频域滤波基础频域滤波与空域滤波的关系傅⽴叶变换可以将图像从空域变换到频域，⽽傅⽴叶反变换则可以将图像的频谱逆变换为空域图像，即⼈可以直接识别的图像。
这样⼀来，我们可以利⽤空域图像与频谱之间的对应关系，尝试将空域卷积滤波变换为频域滤波，然后再将频域滤波处理后的图像反变换回空间域，从⽽达到图像增强的⽬的。
这样做的⼀个最主要的吸引⼒在于频域滤波的直观性特点，关于这⼀点稍后将进⾏详细的阐述。
根据著名的卷积定理：两个⼆维连续函数在空间域中的卷积可由其相应的两个傅⽴叶变换乘积的反变换⽽得：反之，在频域中的卷积、可由在空间域中乘积的傅⽴叶变换⽽得，即:频域滤波的基本步骤根据式（6-47）进⾏频域滤波通常应遵循以下步骤。
(1）计算原始图像f(x,y）的DFT，得到F(u, v).(2）将频谱F(u,v）的零频点移动到频谱图的中⼼位置。
(3）计算滤波器函数H(u, v）与F(u,v）的乘积G(u, v).(4）将频谱G(u, v）的零频点移回到频谱图的左上⾓位置。
(5）计算第（4）步计算结果的傅⽴叶反变换g(x,y）。
(6）取g(x,y ）的实部作为最终滤波后的结果图像．由上⾯的叙述易知，滤波能否取得理想结果的关键取决于频域滤波函数H(u,v)。
我们常常称之为滤波器，或滤波器传递函数，因为它在滤波中抑制或滤除了频谱中某些频率的分量，⽽保留其他的⼀些频率不受影响。
本书中我们只关⼼值为实数的滤波器，这样滤波过程中H 的每⼀个实数元素分别乘以F中对应位置的复数元素，从⽽使F中元素的实部和虚部等⽐例变化，不会改变F的相位谱，这种滤波器也因此被称为“零相移” 滤波器。
这样，最终反变换回空域得到的滤波结果图像 g(x,y）理论上也应当为实函数，然⽽由于计算舍⼊误差等原因，可能会带有⾮常⼩的虚部，通常将虚部直接忽略。
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计算1中的DFT F(u,v) 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v) 计算3中结果的反DFT 得到4中结果的实部 用(-1)x+y乘以5中的结果，取消输入图像的 乘数
频率域滤波
频率域滤波 Gu,v Hu, vFu,v
H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的 第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个 元素乘以F的第二个元素 一般，F的元素为复数，H的元素为实数 H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换 的相位，F中实部和虚部的乘数(H)可以抵消
陷波滤波器 低通（平滑）滤波器 高通（锐化）滤波器
频率域滤波
陷波滤波器
0 H u, v 1
(u,v)=(M/2,N/2) 其它
设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而 保留其它傅里叶变换的频率成分不变 除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级 的降低 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的 空间图像效果
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法
频率域滤波
定义：在(x0,y0)，强度为A的冲激函数表示为
Axx0, y y0 ,定义为
M 1 N 1 x0 y 0
sx, yA x x , y y Asx , y
1 H u, v 0
D u , v D 0
D u , v D 0
频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点 (u,v)到中心（原点）的距离如下
M N Du, v u v 2 2
陷波滤波器举例
陷波滤波器
由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级 的降低
频率域滤波
低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波 器
被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而 突出平滑过渡部分 对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波 器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡 而突出边缘等细节部分 对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
频率域图像增强
频率域函数H(u，v) 模糊且半径为5的ILPF 对应空间域h(x,y) f(x,y)由黑色背景 下5个明亮的像素组成， 明亮点可看作冲激 f(x,y)*h(x,y),在每 个冲激处复制h(x,y) 的过程，振铃现象 中心开始的圆环周期
频率域图像增强
巴特沃思低通滤波器
n级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下
1 x, y hx, y MN
M 1 N 1 m 0 n 0
m, n hx m, y n
1 1 h x 0, y 0 h x, y MN MN
结论
x , y h x , y x , y H u , v
频率域滤×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离 散卷积表示为f(x,y)*h(x,y)，定义为
1 M1N1 f x, y hx, y f m, nhx m, y n MN m0 n0
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用 m×n的滤波器进行线性滤波
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率 域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一 个理想工具
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采 用硬件实现它
频率域滤波
结论（高通滤波器）
空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负 数，就再也不会变为正数
为什么频率域中的内容在空间域要使用小空间 模板
频率域可以凭直观指定滤波器 空间域滤波效果取决于空间模板的大小
频率域图像增强
频率域平滑滤波器
理想低通滤波器 巴特沃思低通滤波器 高斯低通滤波器 应用实例
根据上式，原点处(0,0)单位冲激的傅里叶变换
1 M 1 N 1 x, y x, y e j 2 (ux / M vy / N ) MN x 0 y 0
1 0 e MN
1 MN
频率域滤波
假设 f x, y x, y ，根据上式计算原点处 (0,0)空间域的卷积
频率域图像增强
傅里叶变换的频率分量和图像空间特征 之间的联系
变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像 的平均灰度级
1 F 0,0 MN
M 1 N 1 x 0 y 0
f x, y f x, y
_
频率域滤波
傅里叶变换的频率分量和图像空间特征 之间的联系（续）
2 2
2
原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包含 % 的功率，其中
100 P u , v / PT u v
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
研究生课程
数字图像处理 Digital Image Processing
彭宇新 北京大学计算机科学技术研究所 E_mail:pengyuxin@
频率域图像增强
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
频率域图像增强
为什么要在频率域研究图像增强
I u, v 相角 u, v arctan , R u v
频率域滤波
频率域滤波的基本步骤
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像 变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后 的输出图像
频率域滤波
一些基本的滤波器：如何作用于图像？
0 0 0 0
s(x,y)是冲激函数 说明： s(x,y)只在(x0,y0)处有为A的图像 值，其它处的值全为0
频率域滤波
下式表明在原点处(0,0)的单位冲激情况，用
x, y 表示
M 1 N 1 x0 y 0
s x , y x , y s 0,0
2 2
1 2
频率域图像增强
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
频率域图像增强
理想低通滤波器
总图像功率值PT
P T Pu, v
u0 v0
M 1 N 1
Pu, v F u, v Ru, v I u, v
二维高斯低通滤波器(GLPF)定义如下
Hu, v e
空间域高斯低通滤波器
空间域高斯高通滤波器
频率域滤波
结论（低通滤波器）
当H(u)有很宽的轮廓时(大的 值)，h(x)有 很窄的轮廓，反之亦然。当 接近无限时， H(u)趋于常量函数，而h(x)趋于冲激函数 两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的 值均为正。所以，在空间域使用带正系数的 模板可以实现低通滤波 频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就 越多，使得图像就越模糊；在空间域，这意 味着低通滤波器就越宽，模板就越大
当从变换的原点移开时，低频对应着图像的 慢变化分量，如图像的平滑部分
进一步离开原点时，较高的频率对应图像中 变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐 部分
频率域滤波
频率域的滤波步骤
1.
用(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换
f x, y1
2. 3. 4. 5. 6.
x y
Fu M / 2, v N / 2
低通滤波器和高通滤波器举例
低通滤波函数 原图 低通滤波结果：模糊
高通滤波函数
高通滤波结果：锐化
低通滤波器和高通滤波器举例
原图 高通滤波结果 高通滤波改进结果
因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑 的灰度级细节，且图像较暗
在滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消 除，如图所示，对滤波器加上一个滤波器高度一 半的常数加以改进（高频加强）
h x , y H u , v
f x , y h x , y F u , v H u , v
频率域滤波
h x , y H u , v
上述公式表明，空间域和频率域中的滤波器组成了傅 里叶变换对
给出在频率域的滤波器，可以通过反傅里叶变换得到 在空间域对应的滤波器，反之亦然
频率域图像增强
频率域平滑滤波器
边缘和噪声等尖锐变化处于傅里叶变换的高 频部分
平滑可以通过衰减高频成分的范围来实现 理想低通滤波器：尖锐
巴特沃思低通滤波器：处于理想和高斯滤波 器之间
高斯低通滤波器：平滑
频率域图像增强
理想低通滤波器
截断傅里叶变换中的所有高频成分，这些高 频成分处于指定距离D0之外
巴特沃思低通滤波器
透视图 滤波器 阶数从1到4的滤波器横截面
应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮 廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常， BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。