甘肃省天水一中2011届高三第二阶段考试(数学理)

天水一中2008级2010—2011学年第一学期第二阶段考试数学（理科）命题人：林永强 审核人：蔡恒录本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1、“sin α=21”是“212cos =α”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件2、数列}{n a 满足,3,1121==+a a a n （ ）A ．15B ．10 3、已知函数()sin()f x x ωϕ=+，(如图所示.，求函数的解析式 A 、)+sin(=)(πx x f B 、(fC )22sin()(π+-=x x(,)c b c R ∈与21()x x g x x ++=在同一点取得相同的区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是A ．4B ．134C ．8D ．545、设,a b 是夹角为60的单位向量，若c 是单位向量，则()()a c b c -⋅+ 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．⎡⎣C ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦6、已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或-2C ．3D ．-27、已知函数,lg )(x x f =若b a <<0，且)()(b f a f =,则b a 2+的范围是 （ ）A ．（+∞,22）B ．[)+∞,22 C ．[)+∞,3D ．（3，∞+）8、等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前11项和为 ( )A.－45B.－50C.－55D.－669、若向量,,a b c 两两的夹角相等，且满足1,2,4===a b c ，则=a +b+c （ ）A ．7B ．7CD ． 710、在,cos cos ABC A B A B ∆><中是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 11、若数列*1611{}(),2010,n n n a a a n n N a a +=+∈=满足且则= （ ）A ．1670B ．240C ．180D ．17512、函数()ln xf x x=的单调递减区间是 （ ） A ．),(e -∞B ．),0(eC ．),(+∞eD ．)1,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）5分，共20分。

a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________；且a b 与的夹角为135°，b c 与的夹角为120°，2c = ，)2a 上有最小值，实数a 的取值范围为___________； 13lim 3n nnnn a a +→∞-=+____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<< （I ）若,a b ⊥ 求;θ（II ）求a b +的最大值。

18．（ 12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin2A =，且ABC ∆的面积为2．⑴求bc 的值；⑵若6b c +=，求a 的值．19、（12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S = 33120b S =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。

20、（12分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[]2,0上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．21、（12分）已知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a . （Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，求证}{n b na 求证}{n C 是等差数列；（Ⅲ）求数列}{n a 的通项公式. 22、（12分）设函数xa x x f 1)(--=（I ）若1=x 是函数)(x f （II ）当),1[]11,(+∞++-∞∈e e a ，使1)(0->e x f 成立，求a 的取值范围．天水一中2008级2010—2011学年第二阶段考试试题数学答案（理科）13、8； 14、31+ 15、2-≤三、解答题 17.14π-18、⑴∵sin2A =0πA<<．∴∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴⑵∵sin 2A =∴cos 1A =∵5bc =，6b c +=，∴2a b =∴a =19、（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 3(1)n a n d =+-，12n n b q -=依题意有23322(93)2120(6)232S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩，即2(93)60(6)16d q d q ⎧+=⎨+=⎩，解得⎩⎨⎧==22q d 或65103d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），故32(1)21,2n n n a n n b =+-=+=。

（4分/ （2）(21)2n n n a b n =+⋅。

213252(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅ ， 23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅ ，两式相减得23132222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+23112112222(21)222(21)2(12)22n n n n n n n n +++++=++++-+=--+=-- ，所以1(21)22n n T n +=-⋅+。

（8分） 20、解：（Ⅰ）121)(--+='x ax x f ．…………………………………2分 ∵0=x 时，)(x f 取得极值，∴0)0(='f ．…………………………3分故010201=-⨯-+a，解得1=a ．经检验1=a 符合题意，∴1=a ．……………4分（Ⅱ）由1=a 知x x x x f --+=2)1ln()(，由b x x f +-=25)(，得 023)1ln(2=-+-+b x x x ，令b x x x x -+-+=23)1ln()(2ϕ，则b x x f +-=25)(在[]2,0上恰有两个不同的实数根等价于0)(=x ϕ在[]2,0上恰有两个不同实数根．23211)(=+-+='x x x ϕ6分 当)1,0(∈x 时，)(>'x ϕ7分当)2,1(∈x 时，)(<'x ϕ8分≤->-00b b ，…………………………11分b 的取值范围是212ln 13ln +<≤-b ．…12分12+++n a ∴ 112424+-++=+n n n a a a11--n n n 且32121=-=a a b ∴ }{n b 是等比数列 （2）}{n b 的通项11123--⋅=⋅=n n n q b b ∴ )(4322222*111111N n b a a a a C C n n n n n n n n n n n ∈==-=-=-++++++ 又21211==a C ∴ }{n C 为等差数列--------------------------------8分（3）∵ d n C C n ⋅-+=)1(1 ∴ 43)1(212⋅-+=n a n n∴ )(2)13(*2N n n a n n ∈⋅-=-22)13(22)13(42421+⋅-=+⋅-⋅=+⋅=-+n n n n n n a S∴ )(22)43(*1N n n S n n ∈+-=-----------------------------12分当所述，当11a ->，即2a >时，1=x 是函数)(x f 的极大值点．………………6分（2）问题等价于当],1[e ex ∈时,max ()1f x e >-．………………7分由（1）知，①当11a e ≤+，即11a e -≤时，函数)(x f 在1[,1]e 上递减，在[1,]e 上递增，m a x1()m a x {(),()}f x f f e e ∴=．由11()(1)1f a e a e e e=--+>-，解得21e a e e+<-．由1()1a f e e a e e -=-->-，解得1a <211e e e+<- ，1a ∴<；………………9分②当1a e ≥+，即1a e -≥时，函数)(x f 在1[,1]e上递增，在[1,]e 上递减，max ()(1)211f x f a e e ==-≤-<-．………………11分综上所述，当1a <时，在x ∈1->e 成立．…12分。