四川省乐山市十校2021-2022高二数学下学期期中联考试题 文
四川省乐山市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
乐山市2021-2022高二下学期期末教学质量检测数学（文科）试卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷．草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共60分）注意事项：1．选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样2.若复数2()m m mi -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】试题分析：若复数2()m m mi -+为纯虚数，则必有20{0m m m -=≠解得：1m =，所以答案为C ．考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】A【解析】【分析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．【详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22232x+=，∴x＝21故选：A．【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B【解析】区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B．5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A.118B.112C.16D.19【答案】D 【解析】 【分析】求出所有的基本事件数N 与所求事件包含的基本事件数n ，再由公式nN求出概率得到答案. 【详解】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是41369=， 故选：D ．【点睛】本题考查了古典概率模型问题，考查了列举法计算基本事件的个数，属于基础题．6.曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ）A. ()1,3B. ()1,3-C. ()1,3和()1,3-D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标.【详解】因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A.34B. 78C.1516D.3132【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，当输入的数为x ，则输出的数为1615x -，令16150x -=可得输入的数为1516. 【详解】1,21i x x ==-，2,2(21)143i x x x ==⋅--=-， 3,2(43)187i x x x ==⋅--=-， 4,2(87)11615i x x x ==⋅--=-，当16150x -=时，解得：1516x =. 【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案.8.设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（）A.29B.112C.16D.12【答案】A【解析】 【分析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ）， 共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1）， （2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个， ∴C 的概率P （C ）82369==， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．9.在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为（ ）A.12B.14C.23D.34【答案】D 【解析】 【分析】在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，其对应的数对(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率.【详解】因为函数()22f x x ax b =++无零点，所以2240a b -<，因为01,01a b ≤≤≤≤，所以22402a ab b -<⇔>， 则事件函数()22f x x ax b =++无零点构成的区域为梯形OABC ，在区间[]0,1上任取两个实数a ，b 所对应的点(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所以函数()22f x x ax b =++无零点的概率OABC ODBC 34S P S ==梯形正方形.【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10.根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 3456784.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-A. 0a >，B. 0a >，C. 0a <，D. 0a <，【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由表格数据,x y变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a >考点：回归方程11.若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A. 51[,)8+∞ B. (],3-∞C. 51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. [)3,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围.【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率为_____．【答案】120【解析】 【分析】总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5100. 【详解】因总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5110020=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有N 个个体，从中抽取n 个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为n N.14.已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____． 5【解析】【分析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |5=. 【详解】由()431243212ii z i z i i++=+⇒==-+， 所以22||215z =+=.【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．10 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2）， 设AE 与CD 1所成角为θ， 则cos θ111055AE CD AE CD ⋅===⋅⋅ ∴AE 与CD 110．故答案为：10．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，∞上存在公共点，则a 的取值范围为【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：根据题意，函数与函数在()0+，∞上有公共点，令2x ax e =得：2xea x= 设()2x e f x x =则()222x xx e xe f x x -'=由()0f x '=得：2x =当02x <<时，()0f x '<，函数()2xef x x =在区间()0,2上是减函数，当2x >时，()0f x '>，函数()2x ef x x=在区间()2,+∞上是增函数，所以当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+，∞上有最小值()224e f = 所以24e a ≥．考点：求参数的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈（1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围 【答案】（1）1a =；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+，由于二次函数'()f x 为偶函数，所以一次项系数为0，进而求得a 的值；（2）由题意得()0f x '=存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于0. 【详解】（1）∵()()()23212f x x a x a a '=+--+，由题因为()f x '为偶函数，∴()210a -=，即1a = （2）∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根，∴()()2411220a a a ∆=-++>，即24410a a ++>，∴12a ≠-. ∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根.18.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率. 【答案】（1）13；（2）215.【解析】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点。
四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学(文)试题 Word版含解析
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一、选择题：（每小题5分，共60分）
1. 复数2(12)i +的虚部是（ ）
A. 2
B. 2i
C. 4
D. 4i
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将复数写出标准形式，再根据复数的定义确定其虚部；
【详解】解：因为2(12)24i i +=+，故其虚部为4
故选：C
【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.
2. 函数2()cos f x x x =的导数是（ ）
A. 2sin x x
B. 2sin x x -
C. 22cos sin x x x x +
D. 22cos sin x x x x -
【答案】D 【解析】
【分析】
直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为2()cos f x x x =
所以()
()222()cos cos 2cos sin f x x x x x x x x x '''=+=- 故选：D
【点睛】本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题.
3. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（ ）
A. 13
B. 12
C. 23
D. 34
【答案】B
【解析】。
2019-2020学年四川省乐山市十校高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部是A. 2B. 2iC. 4D. 4i2.函数的导数是A. 2x sinxB.C. D.3.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是A. B. C. D.4.阅读如图框图，运行相应的程序，若输入n的值为8，则输出n的值为A. 0B. 1C. 2D. 35.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.6.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米648石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为注：石古代重量单位，1石千克A. 74石B. 72石C. 70石D. 68石7.某高校调查了100名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是根据直方图，求出a的值是A. B. C. D.8.函数的极小值是A. 4B. 2C.D.9.如图，点M是正方体的棱CD的中点，则异面直线AM与所成角的余弦值是A.B.C.D.10.如图在中，，，在内作射线BD与边AC交于点D，则使得的概率是A. B. C. D.11.已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是A. B. C. D.12.已知函数，，若存在正实数，，使成立，则的最大值是注：e是自然对数的底数A. B. C. D. e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验．利用随机数表抽取样本时，先将60袋牛奶按00，01，，59进行编号，若从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则第4袋牛奶的编号为______．下面摘取了随机数表第7行至第9行14.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的S的是______．15.已知函数的导函数是，若的图象在点的处的切线过点，则______．16.已知函数是定义在上的单调函数，是的导函数，且对任意的都有，若函数的一个零点，则整数m的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数，记其共轭复数为．求的值；若复数，求复数w的模．18.鲜花店名称A B C D E销售额千元35679利润额千元23345用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；如果某家鲜花店的销售额为8千元时，利用的结论估计这家鲜花店的利润额是多少．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为．19.已知函数．求函数的单调区间；若方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20.如图，AB是圆O的直径，C是圆上的点，平面平面ABC，．求证：平面ABC；若，求点A到平面PBC的距离．21.2020年，我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取50人调查专项附加扣除的享受情况．Ⅰ应从老、中、青员工中分别抽取多少人？Ⅱ抽取的50人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有5人，分别记为A，B，C，D，享受情况如表，其中“”表示享受，“”表示不享受．现从这5人中随机抽取2人接受采访．员工A B C D E项目子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除全都不相同”，求事件M发生的概率．22.已知函数．讨论函数的单调性：当时，记函数在上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为复数；故其虚部为：4；故选：C．先把复数整理，直接由复数的概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：．故选：D．根据基本初等函数和积的导数的求导公式进行求导即可．本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，基本事件总数，这名女生被选中包含的基本事件个数，这名女生被选中的概率．故选：B．基本事件总数，这名女生被选中包含的基本事件个数，由此能求出这名女生被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：C解析：解：当时，不能被3整除，故，不满足退出循环的条件；当时，不能被3整除，故，不满足退出循环的条件；当时，能被3整除，故，满足退出循环的条件；故输出的，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.答案：A解析：解：的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，化为，故选：A．求得的导数，将代入可得曲线的切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：这批米内夹谷约占的比例为，故这批米内夹谷约为石，故选：B．先求出这批米内夹谷约占的比例，再用总的米数乘以此比例，即为所求．本题主要考查用样本数字特征估计总体数字特征，属于基础题．7.答案：C解析：解：由频率分布直方图可得：，解得：，故选：C．利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1即可求出a的值．本题主要考查了频率分布直方图的应用，是基础题．8.答案：D解析：解：函数定义域：R．，令，得或1，在，上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，故选：D．求导，分析单调性，可得极小值．本题考查导数的应用，考查利用导数求函数单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：如图，连接，，，四边形为平行四边形，则，则为异面直线AM与所成角，连接设正方体的棱长为2，则，．．即异面直线AM与所成角的余弦值是．故选：A．连接，证得，可得为异面直线AM与所成角，连接，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线AM与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．10.答案：C解析：解：如图，由，，得，则，．在中，当D为AC的中点时，，此时为等边三角形，．要使，则，又，由测度比为角度比，可得使得的概率是．故选：C．由已知结合直角三角形的性质可知，当D为AC的中点时，，此时为等边三角形，要使，则，又，再由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型，考查数形结合的解题思想方法，明确测度比是角度比是关键，属易错题．11.答案：D解析：解：设，则，，，，在为增函数，，即，故选：D．由已知当时，总有成立，可判断函数为增函数，得到，得到答案．本题关键是证明为增函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．12.答案：B解析：解：由题意，，，则，由，得，可知当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增．作出函数的草图如下：由图可知，当时，有唯一解，故，，且．．设，，则．令，得到或．当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即的最大值是．故选：B．利用导数分析函数的单调性，可得在上单调递增，当时，有唯一解．由题意，，则，可得，且得到构造函数，，利用导数求其最大值．本题考查函数的最值及其意义，训练了利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．13.答案：10解析：解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是59，第二个数是16，第三个数是55，16重复，第四个数是10，故答案为：10．找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是59，第二个数是16，三个数是55，第四个数是10．本题主要考查抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14.答案：6解析：解：执行如图所示的程序框图知，输入，则，；所以输出的S是6．故答案为：6．模拟执行程序的运行过程，即可得出输入输出S的值．本题考查了程序框图的运行问题，是基础题．15.答案：1解析：解：因为，故，，故在点处的切线为．将代入该方程得，解得．故答案为：1．先求出在处的切线方程，然后将代入，即可解出a的值．本题考查利用求曲线的经过某点的切线方程的方法，一般是先设切点，表示出切线方程后，将切线经过的点代入即可，属于中档题．16.答案：2解析：解：由题意，可知是定值，不妨令，则又，整理得，解得所以有，，，则，令，解得：或，令，解得：，故F在递增，在递减，在递增，故F，，由，，故零点，故，故答案为：2．由题意，可知是定值令，得出，再由求出t 的值即可得出的表达式，求出函数的导数，确定m的值即可．本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度17.答案：解：，，；由，得，．解析：由已知z求得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；把z与代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．18.答案：解：设回归直线方程是．由题中的数据可知，．，，利润额y关于销售额x的回归直线方程为．由知，当时，，即当销售额为8千万元时，可以估计该鲜花店的利润额为千元．解析：求出样本中心，回归直线的斜率，求出截距，然后得到回归直线方程．把代入回归直线方程，求出观测值，即可得到结果．本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．19.答案：解：分当时，，当时，；分即的单调递增区间是，单调递减区间是分由得，分将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，分由知函数在时有极大值，作出其大致图象，分实数a的取值范围是分解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题转化为函数与的图象的交点问题，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，数形结合思想，转化思想，是一道常规题．20.答案：证明：是圆O的直径，，又平面平面ABC且平面平面，平面PAC，，又，，平面ABC．由知，，令，，，，，设点A到平面PBC的距离为d，则由得：，，即A到平面PBC的距离为．解析：证明，通过平面PAC，证明，结合，证明平面ABC．设点A到平面PBC的距离为d，由，转化求解A到平面PBC的距离即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．21.答案：解：老年员工应抽取人人，中年员工应抽取人，青年员工应抽取人．所有可能的抽取结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种．由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有AC，BC，DE共3种，事件M发生的概率．解析：利用分层抽样能求出应从老、中、青员工中分别抽取多少人．利用列举法求出所有可能的抽取结果．由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有3种，由此能求出事件M发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.答案：解：，当，即时，，单调递增，当，即时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减．当，即时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减．当时，，由知在上，单调递减，上，单调递增，所以，，，所以，所以，令，当时，单调递减，所以，即，当时，，，单调递减，所以，即，所以的取值范围．解析：，分三种情况当，当，当，讨论函数单调性．当时，，由知在上，单调递减，上，单调递增，所以，，，，进而，令，求分段函数值域，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，取值范围，属于中档题．。
2018-2019学年四川省乐山市十校高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2.函数f（x）=x-ln x的减区间为（）A. B. C. D.3.函数f（x）=x2-x-2，x∈[-5，5]，那么任意一点x0∈[-5，5]，使f（x0）≤0的概率是（）A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.，则f′（x0）等于（）A. 2B. 1C.D. 06.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，则m的取值范围是（）A. B. C. D.7.林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是（）A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是（）A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球9.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一20据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A. B. C. D.10.某厂生产某种新产品x件的总成本：C（x）=1200+x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为（）A. 25件B. 20件C. 15件D. 30件11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用秦九韶算法求多项式f（x）=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中，V1的值等于______．14.若六进制数1m05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m=______．15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为______．16.若函数f（x）=在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z-2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|．18.对某城市居民家庭年收入x（万元）和年“享受资料消费”y（万元）进行统计分析，（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式：=，=-）19.若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-．（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．20.2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．21.已知函数f（x）=x+a ln x（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．22.已知函数f（x）=e x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵=，∴复数的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵f（x）=x-lnx∴f'（x）=1-=令＜0，则0＜x＜1故选：B．先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．3.【答案】C【解析】解：由f（x0）≤0，得到x02-x0-2≤0，解得：-1≤x0≤2，∴使f（x0）≤0的概率是：P===0.3，故选：C．由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．本小题主要考查二次函数、几何概型、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．4.【答案】B【解析】解：若输入的a值为1，则k=0，b=1，a=，不满足退出循环的条件，故k=1；a=-2，不满足退出循环的条件，故k=2；a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义，属于基础题．根据=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．【解答】解：∵，∴=f′（x0）=.故选C．6.【答案】B【解析】解：设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3，∵3∉[-2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：f（-1）=-1-3+9+2=7，f（2）=8-12-18+2=-20，∴y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，∵关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，∴m≤-20，故选：B．设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3（舍），由f （-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，由此能求出关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范围．本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7.【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知得：甲的中位数是×（25+29）=27，乙的中位数是×（27+30）=28.5；且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．由茎叶图中的数据求出甲、乙的中位数，根据数据的分布情况得出甲、乙树苗长得整齐情况．本题考查了茎叶图与中位数、方差的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．故选：B．所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．依此结合互斥事件、对立事件的概念加以判断．本题考查了互斥事件与对立事件的区别与联系，即互斥未必对立，对立一定互斥．9.【答案】B【解析】解：20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：191，271，932，812，393，共5个，∴估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P==0.25．故选：B．20组随机数中，用列举法求出表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数的个数，由此能估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10.【答案】A【解析】解：设产品单价为p，则有p2=，将x=100，p=50代入，得k=250000，所以p=p（x）=，设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=•x-（1200+x3）（x＞0），即L（x）=•x-1200-x3，L'（x）=-，令L'（x）=0，即-=0，解得x=25，因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点．故选：A．分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L（x）=•x-（1200+x3）（x ＞0），注意定义域，然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可．本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|，设x=10+t，y=10-t，由（x-10）2+（y-10）2=8得t2=4；∴|x-y|=2|t|=4，故选：D．由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|，利用换元法来解出结果．本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．12.【答案】D【解析】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g（x）=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）（0，3）．故选：D．先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（-3）=0可求得答案．本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．13.【答案】30【解析】解：由“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4+2x2+x+4=（（（3x+0）x+2）x+1）x+4，在求当x=10时的值的过程中，v0=3，v1=3×10+0=30．故答案为：30．利用“秦九韶算法”可知：f（x）=（（（3x+0）x+2）x+1）x+4，即可得出．本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：先转化为10进制为：1*216+m*36+0*6+5=293∴m=2．故答案为：2．（m为正整数）化为10进制，然后由题意列出m的方程，最后首先对1m05（6）即可求出m的值．本题主要考察进位制的换算，属于基础题．15.【答案】（-4，0）【解析】解：模拟程序的运行，可得x=1，y=1，k=0执行循环体，s=0，t=2，x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，执行循环体，s=-2，t=2，x=-2，y=2，k=2不满足条件k≥3，执行循环体，s=-4，t=0，x=-4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（x，y）的值为：（-4，0）．故答案为：（-4，0）．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．16.【答案】-1＜m≤0【解析】解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得-1＜m≤0故填-1＜m≤0．若函数变形为，只要考查函数就行了．研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助．17.【答案】解：（1）（1+bi）2=1-2bi-b2，∴1-b2=0，．又b为正实数，∴b=1．∴z=3+i．（2），∴．【解析】（1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题．18.【答案】解：（1）由数据求得，，∴ ，，，，∴ ，则，故y关于x的线性回归方程为：；（2）当x=18时，由线性回归方程求得，故家庭年收入为18万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为10.3万元．【解析】（1）由表中数据结合已知求得，的值，则线性回归方程可求；（2）把x=18代入线性回归方程求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）f′（x）=3ax2-b由题意；，解得a=，b=4，∴所求的解析式为f（x）=．（2）由（1）可得f′（x）=x2-4=（x-2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=-2，∴当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=-2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数f（x）=的图象大致如图．由图可知：＜＜．【解析】（1）求出f′（x）=3ax2-b，利用当x=2时，函数f（x）有极值-．列出方程组求解即可．（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后推出a的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点个数，考查分析问题解决问题的能力．20.【答案】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 （4分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5 （6分）（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），（7分）车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）（8分）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种（10分）其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种（12分）所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．（13分）【解析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．21.【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=x+ln x，∴＞，∴f（1）=1，f'（1）=2，所以切线方程为2x-y-1=0，（II）∵＞，当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；函数f（x）无极值；当a＜0时，由f′（x）=0，解得x=-a．又当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=-a处取得极小值，且极小值为f（-a）=-a+a ln（-a），无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-a lna，无极大值．【解析】（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≥0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＜0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax得f′（x）=e x-a．又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，∴f（x）=e x-2x，f′（x）=e x-2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2-2ln2=2-ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x-x2，则g′（x）=e x-2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．【解析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．。
四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版含解析
乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题本试卷共6页.满分150分. 考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1. 已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数为（ ） A. 20 B. 25C. 30D. 35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分层抽样的比例关系得到答案.【详解】根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为200030252400⨯=人， 则高三抽取90302535--=人. 故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.3. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养低于乙B. 乙的六大素养中逻辑推理最差C. 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】B 【解析】 【分析】根据雷达图依次判断每个选项得到答案. 【详解】甲的数据分析素养低于乙，故A 正确；乙的六大素养中数学建模、数学抽象和数学运算最差，故B 错误； 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养，C 正确； 甲只有数学运算高于乙，其他均低于乙，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生的理解能力和读图能力. 4. 已知2()cos 2xf x x e =+，则'()f x =（ ）A. 22sin 22x x e -+B. 2sin 2x x e +C. 22sin 22x x e +D. 2sin 2x x e -+【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】由题意22()sin 2222sin 22x xf x x e x e '=-⋅+⋅=-+， 故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨 C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖 【答案】C 【解析】 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生. 【详解】解：对于A ，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B ，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无法预料，错误； 对于C ，正确；对于D ，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题. 6. 设()f x 是可导函数，且000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=-∆，则'0()f x =（ ）A. 2B. 1-C. 1D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义计算． 【详解】000000(2)()(2)()lim2lim 22x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→-∆--∆-=-⨯=-∆-∆，∴000(2)()lim 12x f x x f x x∆→-∆-=-∆，∴0000000()()(2)()limli ()m 12x x f x x f x f x x f x x x xf ∆→∆→+∆--∆-==∆-∆'=． 故选：C ．【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，分子分母都是x 的增量x ∆，两者一样．根据极限的性质000000()()()()limlim x x f x x f x f x m x f x x m x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆，（m 是常数且0m ≠）． 7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（ ）A.15B.25C.310D.14【答案】A 【解析】 【分析】这是一个古典概型，先算出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总数，再利用列举法求出其和等于9的基本事件数，代入公式求解.【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总数4520n =⨯=个， 其和等于9的基本事件有()()()()2,7,4,5,6,3,8,1共4个，所以其和等于9的概率是41205m p n ===. 故选：A【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8. 函数()cos xf x e x =在区间(0,)2π上（ ）A. 最大值为1，最小值为0B. 最大值为422e π，最小值为0C. 最大值为42e π，无最小值D. 最大值为1，无最小值【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()cos xf x e x =，求导，令()0f x '=，解得4x π=，再按照最值的求法求解.【详解】因为()cos xf x e x =， 所以()()cos sin 2cos 4xx f x ex x e x π⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，解得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>，当42x ππ<<时，()0f x '<，所以当4x π=时，()f x 取得极大值即最大值422e π，无最小值.故选：C【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9. 执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A. 112-B.2360C.1120D.4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.10. 设a 为正实数，函数322()34f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. [2,)+∞ B. (2,)+∞C. (0,2]D. 2(0,)3【答案】A 【解析】 【分析】对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数()f x 在(,2)a a 上的单调性，根据函数()f x 在(,2)a a 上单调性结合已知进行求解即可.【详解】322'2()34()363(2)f x x ax a f x x ax x x a =-+==-⇒-，因为0a >，当(,2)x a a ∈时，所以有'()0f x <成立，因此函数()f x 在(,2)a a 上单调递减，因此当(,2)x a a ∀∈时，()0f x <恒成立，一定有()0f a ≤成立， 即22320(2)340a a a a a a ⋅⇒--+≤≥，因为0a >，所以有2a ≥. 故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于6的面的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图，得到几何体是一个四棱锥，求得各面的面积比较即可. 【详解】如图所示：几何体是一个四棱锥，其中，面PCD ⊥面ABCD ，PCD ，PAB △是等腰三角形，PAD △，PBC 是直角三角形，ABCD 是正方形，所以12222S PCD =⨯⨯=，1222222S PAB =⨯⨯=122S PAD S PBC ==⨯=S 正方形ABCD 224=⨯=，的面的个数为2个。
2021-2022年高二数学下学期期中试题 文 新人教版
2021-2022年高二数学下学期期中试题文新人教版注意事项：1．答第Ⅰ卷前考生务必将自己的姓名、班级、考号涂写在答题卡和答题纸上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3.考生只需要交数学答题纸和答题卡.解答题只能答在指定区域，超出矩形边框限定区域的无效不给分。
第Ⅰ卷（客观题共80分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．）1.计算的结果是（）A． B． C． D．2.已知命题，则（）A. B.C. D.3.若，则的值为（）A． B.2 C.-1 D.1实用文档4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。
5.曲线在点处的切线的倾斜角为 ( )A．30° B．45° C．60° D．120°6. 设，若，则（）A．B．C．D．7.“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，上述推理是（）A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（）A. B. C. D.9.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表实用文档实用文档附表：0.050.0250.010 0.0013.8415.0246.63510.828 参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 则认为“喜欢玩电脑游戏与作业量有关系”的把握有（ ） A. B. C. D.10. 某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内应填 入的条件是 （ ）认为作业多 认为作业不多总数 喜欢玩电脑游戏 20 10 30 不喜欢玩电脑游戏5 15 20 总数252550实用文档A ． k ＞4B ．k ＞5C ． k ＞6D ．k ＞711.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.12.已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出横线上填上正确结果）13.若复数i m m m m z )3()65(22-++-=是纯虚数，则=______________. 14.已知集合，，则是的______________条件.15.抛物线上一点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为______________. 16.已知函数32()234f x x x ax a =+++有一个极大值和一个极小值，则常数的取值范实用文档围是______________.第卷（主观题 共50分）三、解答题：（本大题共5小题，每题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知曲线，(1)求与该曲线相切并垂直于直线的切线方程; (2)求此切线与轴、直线所围成三角形的面积.18.某城市理论预测xx 年到xx 年人口总数与年份的关系如下表所示: (1)请根据下表提供的数据，求最小二乘法求出关于x 的线性回归方程； (2)据此估计xx 年该城市人口总数.参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑ 19.设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆上一点到两点的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程及焦点坐标;(2)该椭圆的弦的中点为，求直线的方程. 20.已知函数在处取得极值.(1)求的值;(2)若有极大值28，求在上的最小值.附加题：21.已知，函数32()23(1)6=-++.f x x a x ax(1)若，求曲线在点处的切线方程;(2)若，求在闭区间上的最小值.实用文档一、选择题1.B2.C3.D4.B5.B6.B7.B8.C9.C 10.A 11.D 12.B二、填空题13．___2___ 14. 充分不必要条件 15. 8 16.三．解答题17．解：(1)设切点坐标为，切线斜率直线斜率为，,切点坐标为则切线方程为(2)三角形面积为24.18.解：(1)552112,10,132,30,520,5100i i ii ix y x y x x x y========∑∑，，，线性回归方程.(2)xx年时，，估计xx年该城市人口总数为196万.19.解：(1),所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.实用文档实用文档(2)设，直线的斜率为，则直线方程为，即，联立椭圆方程和直线方程221,1,43y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(43)8(1)4(1)120k x k k x k ++-+--=，为弦中点, ，解得，所以直线的方程为. 20.解：(1)3'2(),()3f x ax bx c f x ax b =++∴=+在处有极值.'(2)16,8216,1(2)0,120,12f c a b c c a f a b b =-++=-=⎧⎧⎧∴∴∴⎨⎨⎨=+==-⎩⎩⎩ (2)由(1)得，3'2()12,()312f x x x c f x x =-+∴=- 令得由此可知在处有极大值28，即(2)1628,12f c c -=+== 在处有极小值，即实用文档， 故在上的最小值为 附加题：21解：（1）当时，32'2'()266,()6126,(2)6f x x x x f x x x f =-+∴=-+∴= 又，即切线方程为（2）记为在闭区间 上的最小值. 由题意，得'2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a =-++=--令，得若，则当变化时，，的变化情况如下表：比较和的大小可得若，则当变化时，，的变化情况如下表：由上表可知.综上可知，若在闭区间上的最小值为E24423 5F67 彧33184 81A0 膠39881 9BC9 鯉22106 565A 噚J38542 968E 階30951 78E7 磧P33630 835E 荞22999 59D7 姗37371 91FB 釻32822 8036 耶32375 7E77 繷实用文档。
2021-2022学年四川省乐山市十校高二上学期期中数学复习卷(文科)(含解析)
2021-2022学年四川省乐山市十校高二上学期期中数学复习卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A. 4B. 8C. 12D. 162.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么()A. m//l，且l与圆相交B. m⊥l，且l与圆相切C. m//l，且l与圆相离D. m⊥l，且l与圆相离3.圆心为(−1,2)，半径为5的圆的方程为()A. (x−1)2+(y+2)2=5B. (x+1)2+(y−2)2=5C. (x−1)2+(y+2)2=25D. (x+1)2+(y−2)2=254.已知平面α⊥平面β，m是α内的一条直线，n是β内的一条直线，且m⊥n，则()A. m⊥βB. n⊥αC. m⊥β或n⊥αD. m⊥β且n⊥α5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P的轨迹是()A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分6.已知z1≠−1，z1−1z1+1=bi(b∈R)，z=4(z1+1)2−1，则z对应的点在()A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上7.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A. a⊥α，b//β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α//βC. a⊂α，b⊥β，α//βD. a⊂α，b//β，α⊥β8.一条光线从点(−2,3)射出，经x轴反射后与圆x2+y2−6x−4y+12=0相切，则反射光线所在直线的斜率为()A. 65或56B. 45或54C. 43或34D. 32或239.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成．如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为()A. 107π3B. 323+33πC. 32+99πD. 163+33π10.设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y−6=0，点P(x0,y0)∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°(O为坐标原点)，则x0的取值范围是()A. [−12,1] B. [0,1] C. [0,65] D. [12,32]11.如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③12.已知点A∈直线a，点A∈平面α，则()A. a∈αB. a∩α=AC. a⊂αD. a∩α=A或a⊂α二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过直线l：y=2x上一点P作圆C：(x−6)2+(y−2)2=5的切线l1，l2，A，B为切点，若l1，l2关于直线l对称，则∠APB=______ ．14.正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一球面上，且该四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为_______。
四川省乐山市十校2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题 文
四川省乐山市十校2020-2021学年高二数学下学期期中联考试题 文本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，第一部分1至2页，第二部分3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数1z i =+，则 z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若()sin cos f x x α=-，则()f x '等于A ．sin xB ．cos xC ．cos sin x α+D ．2sin cos x α+3．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是 A ．168B ．167C ．153D ．1354．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为()54322341f x x x x x x =+-+-+，用秦九韶算法求这个多项式当2x = 时3v 的值为A ．15B ．14C ．13D ．125．甲､乙两组数的数据如右茎叶图所示，则甲､乙的平均数､方差､ 极差及中位数中相同的是A ．极差B ．方差C ．平均数D ．中位数6．已知样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，则121x +，221x +，…，21n x +的平均数和方差分别为A ．4和10B ．5和11C ．5和21D ．5和207．曲线()y f x =在点00,x y 处切线为21y x =+，则等于 A ．4-B ．2-C ．4D ．28．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中 A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°9．某单位为了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了其中4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（C ︒）18 13 10 1-用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程y bx a =+，其中2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量的度数约为A ．64B ．68C ．68.8D ．69.6 10．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的 关于k 的条件是A ．7k ≥？B ．6k >？C ．6k ≥？D ．5k ≥？11．若定义在R 上的函数()y f x =的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()()20x f x '+>的解集为 A ．()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞ B ．()()3,11,--⋃+∞ C ．()()3,10,1--D ．()()3,21,1--⋃-12．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是A ．1(0,)30 B ．1(0,)29 C ．1(0,)28 D ．1(0,)27第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 2．本部分共10小题，共90分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访，决定从600名机械车操控人员，320名管理人员和n 名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，若从工人中抽取的人数为7，则n =_________.14．执行左下图中的程序，如果输出的结果是9，那么输入的x 是______．15．某几何体的三视图如右上图所示，则该三棱锥的外接球表面积为_________.16．已知函数()xf x e mx =-，且当121x x <<时，()()1221f x f x x x <，则实数m 的取值范围为___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.17.（本题满分10分）设复数z 1＝2＋ai (其中a ∈R )，z 2＝3－4i . （1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|.18.（本题满分12分）某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50),[50,60),,[90,100]分组，得到如下频率分布直方图：15题图（1）求图中a 的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的平均数； （每组数据以区间中点值为代表）（3）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19.（本题满分12分）已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7． （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值. 20.（本题满分12分）新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）． （1）当每月生产5万件口罩时，利润为多少万元？（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？ 21.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．22.（本题满分12分） 已知函数2()1(x f x e ax a =-+为常数）．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y bx =+，求a ，b 的值；（2）讨论函数()f x '的单调性；（3）当1a =，0x >时，求证：()(2)2f x e x ≥-+．乐山十校高2022届第四学期半期联考数学（文科）试题评分细则 一、选择题：1． D 2．A3．A4．B5．C6．D 7．C8．D 9．B10．C11．A12．D二、填空题：13．23014．315．15π 16．(,]e -∞ 三、解答题： 17．解：（1）12z ai =+（其中)a R ∈，234z i =-，125(4)z z a i ∴+=+-，由12z z +是实数，得4a =．…………（3分）124z i ∴=+，234z i =-，则12(24)(34)224z z i i i =+-=+…………（5分）（2）由122(2)(34)643834(34)(34)2525z ai ai i a a i z i i i +++-+===+--+是纯虚数，得640380a a -=⎧⎨+≠⎩，即32a =．…………（8分）135|||2|22z i ∴=+=…………（10分）18．解：（1）由题意(0.0050.0100.0300.015)101a a +++++⨯=，解得0.020a =…………（4分） （2）这些应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（8分）（3）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知[60,70)x ∈， 且(70)0.020.30.20.150.75x -⨯+++=， 解得65x =．故估计应该把录取的分数线定为65分…………（12分）19．解：（1）因为32()2f x x ax bx =+++，所以2()32f x x ax b '=++………（2分）又函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7，(1)17(1)320f a b f a b -=+-=⎧⎨-=-+='⎩…………（5分） 解得39a b =-⎧⎨=-⎩…………（6分）所以3()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+， 由()0f x '>得3x >或1x <-由()0f x '<得13x ；满足题意………（8分） （2）因为[2,2]x ∈-，由（1）得()f x 在(2,1)x ∈--上单调递增 在(1,2)x ∈-上单调递减…………（10分） 因此max ()(1)7f x f =-=…………（12分）20．解：（1）由己知，当07x <<时，()21453p x x x =-+-， ∴()2520520533p =-+-=． 即当每月生产5万件口罩时，利润为203万元．…………（4分）（2）当07x <<时，()()21673p x x =--+，∴当6x =时，()p x 的最大值为()67p =（万元）；…………（6分）当7x ≥时，()3e 12ln p x x x =--，()33221e e x p x x x x-'=-+=，令()0p x '=，解得3e x =…………（9分）∴当37e x ≤<时，函数()p x 单调递增，当3e x ≥，函数()p x 单调递减，∴当3e x =时，()p x 取最大值()33e 12ln e 18p =--=（万元）………（11分）∵87>，∴当3e x =时，()p x 取得最大值8万元．故当月产量约为3e 万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元…（12分）21．解：（1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ,因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点,又E 为PD 的中点，所以//EO PB …………（3分）EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC所以//PB 平面AEC .…………（6分） （2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=,所以3AB =…………（8分）所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD , 所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC …………（11分） 又BD ⊂平面PBD所以平面PAC ⊥平面PBD .…………（12分）22．解：（1）)2(x f x e ax '=-，f '（1）2e a =-，f （1）1e a =-+，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1(2)2y e a e a x e a -+-=--+，即：(2)1y e a x a =-++由题意：2e a b -=，12a +=1a，2b e =-…………（3分）（2）()2x f x e ax '=-，设()(),()2x h x f x h x e a =''=-…………（4分）当0a ≤时，()0h x '>在R 上恒成立…………（5分） 当0a >时，令()0h x '>，即20x e a ->，解得ln(2)x a >， 令()0h x '<，即20x e a -<，解得ln(2)x a <．综上所述，当0a ≤时，函数()f x '在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x '在(ln(2)a ，)+∞上单调递增， 在(-∞，ln(2))a 上单调递减…………（7分）（3）证明：令2()()(2)2(2)1x x f x e x e x e x φ=---=----， 则()2(2)x x e x e φ'=--- 令()()t x x φ='，则()2t x ex '=-，令()0t x '<得：0ln 2x << 令()0t x '>得：ln 2x >，()()t x x φ∴='在(0,2)ln 上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增…………（9分）(0)(0)30t e φ='=->，t （1）φ='（1）0=，0ln 21<<， (ln 2)(ln 2)0t φ∴='<，∴存在0(0,1)x ∈使00()()0t x x φ='=，且当0(0,)x x ∈或(1,)x ∈+∞时，()()0t x x φ='>， 当0(x x ∈，1)时，()()0t x x φ='<，()x φ∴在0(0,)x 上递增，在0(x ，1)上递减，在(1,)+∞上递增…………（11分）又(0)φφ=（1）0=，所以有：()0x φ≥，即()(2)20f x e x ---≥，()(2)2f x e x ∴≥-+…………（12分）。
四川省乐山市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 文
四川省乐山市2021-2022高二数学下学期期末考试试题 文一、选择题1．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为11000，则买1000张这种彩票一定能中奖.其中必然事件是（ ） A ．②B ．③C ．①②③D ．②③2．复数21i -的共轭复数是（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．2i +D ．2i -3．某校有高中生3500人，初中生1500人，为了了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为a 的样本，已知从高中生中抽取70人，则a 的值为（ ） A ．100B ．150C ．200D ．2504．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1125．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛.C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长.如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知样本数据1x ，2x ，…，n x 的均值5x =，则样本数据122x +，222x +，…，22n x +的均值为（ ） A ．5B ．10C ．7D ．128．广告投人对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）： 广告费x 2 3 4 5 6 销售额y2941505971由上表可得回归方程为10.2y x a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（ ） A ．101.2B ．108.8C ．111.2D ．118.29．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．44πB ．22πC ．223πD ．883π10．若函数()321233f x x x =+-在区间(),5a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5,0-B ．()5,0-C ．[)3,0-D ．()3,0-11．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值能使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．1512．已知实数0a >，且1a ≠，函数()2,1,4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．15a <≤ B ．25a ≤≤ C ．1a > D ．05a <≤二、填空题13．设复数z满足21z =（i 是虚数单位），则z 的模为______.14．已知随机事件A 和B 互斥，且()0.7P A B =，()0.2P B =，则()P A =______.15．在区间[]0,4内随机取两个数a 、b ，则使得函数()22f x x ax b =++有零点的概率为______. 16．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,x e ∈有两个零点，则a 的取值范围为______. 三、解答题 17．设函数()()3103f x x ax a =->，()221g x bx b =+-.若曲线()y f x =与()y g x =在它们的交点()1,c 处有相同的切线，求实数a ，b 的值，并写出切线l 的方程.18．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. 19．已知函数()()32f x ax xa R =+∈在43x =-处取得极值. （1）确定a 的值；（2）若()()xg x f x e =，讨论()g x 的单调性.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ，PC ⊥面ABCD ，224AB AD CD PC ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥P ACE -的体积.21．为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标大于30的产品为优秀品，质量指标值在(15,30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示,新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标值 频数 (15,20] 2 (20,25] 8 (25,30] 20 (30,35] 30 (35,40] 25 (40,45] 15 合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高，说明设备的性能越高，根据已知图标数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.非优质品优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计附：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.879()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标值t 的关系式为2,3045,1,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩，若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.22．已知函数()()22ln 2f x ax a x x=-+-+，其中a R ∈. （1）当4a =时，求函数()f x 的极值；（2）若02a <<，试讨论函数()f x 在()1,e 上的零点个数.参考答案1-5：ABAAD6-10：CDCBC11-12：CB 13．1 14．0.5 15．1416．,11e e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭17．解：∵()()3103f x x ax a =->，()221g x bx b =+-， ∴()2f x x a '=-，()2g x bx '=.∴曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线， ∴()()11f g =，且()()11f g ''=，即1213a b b -=+-，且12a b -=， 解得13a =，13b =，得切点坐标为()1,0.∴切线方程为()213y x =-，即2320x y --=. 18．解：（1）因为样本容量与总体的个数比是615015010050=-+，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.（2）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；1B ，2B ，3B ；1C ，2C . 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{}1,A B ，{}2,A B ，{}3,A B ，{}1,A C ，{}2,A C ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}11,B C ，{}12,B C ，{}23,B B ，{}21,B C ，{}22,B C ，{}31,B C ，{}32,B C ，{}12,C C 共15个.每个样品被投到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D 包含的基本事件有{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ，{}12,C C ，共4个.所以()415P D =，即这2个商品来自相同地区的概率为415. 19．解：（Ⅰ）对()f x 求导得()232f x ax x '=+. ∵()()32f x ax xa R =+∈在43x =-处取得极值， ∴403f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，∴16432093a ⎛⎫⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，∴12a =； （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3212x g x x x e ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴()23231222x x g x x x e x x e ⎛⎫⎛⎫'=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()1142x x x x e =++ 令()0g x '=，解得0x =，1x =-或4x =， 当4x <-时，()0g x '<，故()g x 为减函数； 当41x -<<-时，()0g x '>，故()g x 为增函数； 当10x -<<时，()0g x '<，故()g x 为减函数；当0x >时，()0g x '>，故()g x 为增函数；综上知()g x 在(),4-∞-和()1,0-内为减函数，在()4,1--和()0,+∞内为增函数. 20．（1）证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PC ⊥， ∵4AB =，2AD CD ==，∴22AC BC ==， ∴222AC BC AB +=，得AC BC ⊥， 又BCPC C =，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ；（2）在直角梯形ABCD 中，由已知求得22BC =， ∵PC ⊥底面ABCD ，4PC =，∴26PB =， ∵E 是PB 的中点，∴1111824422323P ACE P ACB V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=.21．（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为3025150.770%100++==；估计旧设备所生产的产品的优质品率为()50.060.030.020.5555%⨯++==. （2）由已知可得如下表所示2×2列联表：非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计75125200∴()2220030554570 4.8 3.84175125100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴能够有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.（3）∵新设备所生产的产品的优质品率为70%，∴每台新设备每天生产的1000件产品，估计有1000×0.7=700（件）优质品， 有1000－700=300（件）合格品，∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700×2+300×1=1700（元）. ∵800000÷1700≈471（天），∴估计至少需要生产471天方可回收设备成本.22．（1）当4a -时，()246ln 2f x x x x =--+，()64f x x'=-，()()2222112x x x x --+-0x >，易得()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1x =时，函数取得极小值()14f =，。
四川省乐山市高二下学期期中数学(文)试题(解析版)
一、单选题1．设，是两个集合，则“”是“”的 A B A B A = A B ⊆A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：若，对任意，则，又，则，所以A B A = x A ∈x A B ∈⋂A B B ⋂⊆x B ∈，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，A B ⊆A B ⊆x A ∈x B ∈x A B ∈⋂x A B ∈⋂则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C ． x A ∈A B A = 【解析】充分必要条件．2．曲线在点处的导数是（ ） 311y x =+()1,12P A ． B ． C ． D ．9-3-143【答案】D【分析】先利用公式对求导，在某点处的导数就是把该点横坐标代入导函数中，这里把311y x =+1代入即可.【详解】解：因为，所以，()311y f x x ==+2()3f x x '=在点处的导数为. ()1,12P 2(1)313f '=⨯=故选：.D 3．下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为210,125m n ==nA ．B ．C ．D ．2375【答案】D【详解】第1次执行循环体， ，不满足退出循环的条件； 8512585r m n ，，===第2次执行循环体， 不满足退出循环的条件； 408540r m n ===，，，第3次执行循环体， ，不满足退出循环的条件； 5405r m n ===，，第4次执行循环体， ，满足退出循环的条件； 050r m n ，，===故输出的值为5． n 故选D ．4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．16【答案】D【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解． 【详解】由题可得，系统抽样的间距为13， 则在样本中． 31316+=故选D【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题． 5．命题，，的否定应该是（ ） x ∀R y ∈0xy ≠A ．，， B ．，， x ∃R y ∈0xy ≠x ∀R y ∉0xy =C ．，， D ．，，x ∃R y ∈0xy =x ∀R y ∈0xy =【答案】C【分析】根据全称命题的否定可得答案.【详解】命题，，的否定是，，. x ∀R y ∈0xy ≠x ∃R y ∈0xy =故选:C.6．函数的单调递减区间为（ ） ()ln f x x x =-A ． B ． C ． D ．，()0,1()0,∞+()1,+∞(),0∞-()1,+∞【答案】A【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.()f x 【详解】，当时，单调递增，当时，()'111x f x x x-=-=1x ＞()()'0,f x f x ＞01x ＜＜()()'0,f x f x ＜单调递减；的减区间是；()f x \()0,1故选：A.7．已知，．若是的充分条件，则实数的取值范围是:44p x a -<-<()():230q x x -->p ⌝q ⌝a （ ） A ． B ．C ．D ．[]1,6-()7,+∞(),2-∞-()1,6-【答案】A【分析】先解出，然后求出，，根据是的充分条件，得出关于的不等式即可p q ，p ⌝q ⌝p ⌝q ⌝a 求解.【详解】4:444p x a a x a -<-<⇔-<<+(2)(30:)q x x -->⇔23x <<或，:4p x a ⌝≤-4x a ≥+或.:2q x ⌝≤3x ≥又因为是的充分条件，p ⌝q ⌝所以，解之得.4243a a -≤⎧⎨+≥⎩16a -≤≤故选：A8．已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ） f x （）f x '（）21ln f x xf x '=+（）（）1f '=（）A ． B ． C ．1 D ．e -1-e 【答案】B【分析】求得函数的导数，令，即可求解. 121f x f x'='+（）（）=1x 【详解】由，可得，所以 ，则 . 21ln f x xf x '=+（）（）121f x f x'='+（）（）1211f f '='+（）（）11f '=-（）故选：B.9．函数在处有极值为7，则 322()f x x ax bx a a =++++1x ==a A ．-3或3 B ．3或-9C ．3D ．-3【答案】C【分析】题意说明，，由此可求得 '(1)0f =(1)7f =,a b 【详解】，2'()32f x x ax b =++∴，解得或，2(1)17'(1)320f a b a a f a b ⎧=++++=⎨=++=⎩39a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩时，，当时，，当时，3,9a b ==-2'()3693(1)(3)f x x x x x =+-=-+31x -<<'()0f x <1x >，是极小值点；'()0f x >1x =时，，不是极值点．3,3a b =-=22'()3633(1)0f x x x x =-+=-≥1x =∴． 3a =故选C ．【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充()f x 0'()0f x =0x 分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．0'()0f x =0x 10．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为()f x R ()12f -=x R ∈()2f x '>()24f x x >+（ ） A ． B ．C ．D ．()1,1-()1,-+∞(),1-∞-(),-∞+∞【答案】B【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式()()24g x f x x =--()y g x =R 转化为，利用函数的单调性即可求解. ()24f x x >+()()1g x g >-()y g x =【详解】依题意可设，所以. ()()24g x f x x =--()()20g x f x ''=->所以函数在上单调递增，又因为. ()y g x =R ()()11240g f -=-+-=所以要使，即，只需要，故选B.()()240g x f x x =-->()()1g x g >-1x >-【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数 有两个极值点，求的范围（ ）．()2e xf x a x =-a A ．B ．C ．D ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭20,e ⎛⎫⎪⎝⎭2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】原问题等价于导函数有2个零点，求导，参数分离，构造新函数，根据新函数的值()'f x 域求解.【详解】 ，有2个极值点等价于有2个零点，令()'e 2x f x a x =-()f x ()'f x ()'e 20x f x a x =-=， 有，令，则 ， 2e x x a =()2e x x g x =()()'21e xx g x -=当时，单调递减，当时，单调递增， 在时，取得极大1x ＞()()'0,g x g x ＜1x ＜()()'0,g x g x ＞1x =值也是最大值， ()21eg =当x 趋于时，趋于，当x 趋于时，趋于0，函数大致图像如下图：-∞()g x -∞+∞()g x所以，a 的取值范围是 ；20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B.12．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是()1ex x f x +=()1,P m -()y f x =m （ ） A ．B ．C ．D ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得，设，求，利用导数求的单调()000001e e x x x x y x x +--=-()0201e x x m +=()()21e xx g x +=()g x '()g x 性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.y m =()g x 【详解】设切点为，由可得，0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭()1e x x f x +=()()2e e 1e ex x x x x x f x -⋅+-=='所以在点处的切线的斜率为，0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭()000e x x k f x -=='所以在点处的切线为：，0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭()000001e e x x x x y x x +--=-因为切线过点，所以， ()1,P m -()0000011e ex x x x m x +--=--即，即这个方程有三个不等根即可，()021e x x m +=切线的条数即为直线与图象交点的个数，y m =()g x设，()()21exx g x +=则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由可得，由可得：或，()0g x '>11x -<<()0g x '<1x <-1x >所以在和上单调递减，在上单调递增，()()21exx g x +=(),1-∞-()1,+∞()1,1-当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，x ()g x x ()g x 的图象如下图，且， ()g x ()41eg =要使与的图象有三个交点，则. y m =()()21e xx g x +=40em <<则的取值范围是:.m 40,e ⎛⎫⎪⎝⎭故选：A.二、填空题13．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． 【答案】3【分析】根据命题得否命题、逆命题，逆否命题，再判断真假,(本题举反例说明为假命题) 【详解】若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.【点睛】本题考查四种命题关系及其真假，考查简单应用以及判断能力.14．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取1200:5:3k 240的人数为___________人. 【答案】360【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，得到高三年级抽取的人数． k 【详解】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得， 240112005=1535k k =++2k =故高三年级抽取的人数为．31200360253⨯=++故答案为：360 15．若函数有两个实根，则的取值范围是______． ln 2kx x=k 【答案】20e ,⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解. 【详解】，原问题等价于直线与曲线有2个交点， ln ,2ln 2kx k x x x=∴=y k =()2ln f x x x =，当时，单调递增，当时，单调递()()'2ln 1f x x =+1e x -＞()()'0,f x f x ＞10e x -＜＜()()'0,f x f x ＜减，在处，取得极小值也是最小值，，当时， ，1e x -=()f x ()11e 2ef --=-01x ＜＜()0f x ＜，当时，，当趋于时，趋于；()10f =1x ＞()＞0f x x +∞()f x +∞函数的大致图像如下：所以，k 的取值范围是 ；()12e ,0k -∈-故答案为：.2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭16．若函数，则下列结论正确的有______． ()sin cos 2f x x x =-①是周期函数 ②在 有4个零点 ()f x ()f x []π,π-③在 上是增函数 ④的最小值为．()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 1-【答案】②③【分析】根据函数的对称性，单调性和周期性逐项分析.【详解】对于①,不存在实数T ，使得，不是周期函数，错误； ()()f x T f x +=()f x \对于②， ，是偶函数，()()()sin cos 2sin cos 2f x x x x x f x -=---=-=区间关于原点对称，当时，[]π,π-x ＞0()()()2sin cos 22sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x =-=+-=+- ，令， ()0f x =当时，解得，由对称性知：在内有4个零点，正确； (]0,πx ∈12π5π,66x x ==[]π,π-对于③，当时， ，当时，x ＞0()()'sin cos 2,cos 2sin 2f x x x f x x x =-=+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，正确；()()'0,f x f x ＞对于④，时， ，令 ，x ＞0()2sin cos 22sin sin 1f x x x x x =-=+-()2sin ,21t x f x t t ==+-当时，取得最小值，错误；14t =-()f x 98=-故答案为：②③.三、解答题17．某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级 高二年级 高三年级女生 373xy 男生 377370z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19． （1）求的值；x （2）现用分层抽样在全校抽取48名学生，则高三年级抽取多少名？ 【答案】（1）380；（2）12.【解析】（1）根据已知条件，根据分层抽样是等比抽样，即可求得； x （2）根据（1）中所求，求得高三年级人数，再根据抽样比即可求得结果. 【详解】（1）∵，∴． 0.192000x=380x =（2）高三年级人数为：， ()2000373377380370500y z +=-+++=现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人． 48500122000⨯=18．已知：存在，，：任意，．p 0x ∈R 2010mx +≤q x ∈R 210x mx ++>(1)若为假命题，求实数的取值范围； p q ∨m (2)若为真，为假，求实数的取值范围． p q ∨p q ∧m 【答案】(1) 2m ≥(2)或 2m ≤-02m ≤<【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列p q m p q ∨p q 不等式组求解即可.（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解. p q ∨p q ∧p q 【详解】（1）解：真：恒过，显然不成立，开口向下，p ()0,10m =0m <真：，解得.q 240m ∆=-<22m -<<为假，则假假p q ∨p q 0222m m m m ≥⎧⇒≥⎨≤-≥⎩或（2），一真一假p q 假真则有，p q 00222m m m ≥⎧⇒≤<⎨-<<⎩真假则有p q 0222m m m m <⎧⇒≤-⎨≤-≥⎩或综上：或2m ≤-02m ≤<19．已知函数f （x ）＝x 3＋（1－a ）x 2－a （a ＋2）x ＋b （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； （Ⅱ）若曲线y ＝f （x ）存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 【答案】（I ）；（II ）.【详解】试题分析：（I ）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可()f x 3-得进而可求得；（II ）由曲线存在两条垂直于轴的切线得()y f x =y 有两个不同的根，即，可解得的取值范围.a 试题解析：．2()32(1)(2)f x x a x a a =--+'+（Ⅰ）由题意得，解得．（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，y ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 2()32(1)(2)0f x x a x a a =+--+='∴即∴∴a 的取值范围是【解析】导数的几何意义.20．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，将△ADE 沿AE 折到△APE 的位置．（1）证明：AE ⊥PB ；（2）当四棱锥P -ABCE 的体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在等腰梯形ABCD 中连接BD ，结合已知条件可证BD ⊥AE ，由△ADE 翻折后，根据线面垂直判定证AE ⊥面POB ，再由线面垂直的性质可证AE ⊥PB ；（2）由，点C 到C P A ABC P B V V --=平面PAB 的距离为以面为底的高，而即可求出C 到平面PAB 的距离.PAB 13P ABC ABC V OP S -=⋅⋅A 【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝，BD ⊥BC ，3π∴BD ⊥AE .如图，翻折后可得，OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .（2）当四棱锥P -ABCE 的体积最大时，有平面PAE ⊥平面ABCE ；又面PAE ∩面ABCE ＝AE ，PO ⊂面PAE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE .∵OP ＝OB∴PB ∵AP ＝AB ＝1，∴12PAB S =A 连接AC ，则， 111338P ABC ABC V OP S -=⋅⋅==A 设点C 到平面PAB 的距离为d ，∵，13P ABC C PAB PAB V V S d --==⋅⋅A ∴3P ABC PAB V d S -==A 【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质证明异面直线垂直，应用等体积法求点面距，属于基础题.21．已知函数． ()232x f x x a-=+（1）若，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =()()1,1f （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．()f x =1x -()f x 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为450x y +-=()f x (),1-∞-()4,+∞，最大值为，最小值为. ()1,4-114-【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出()10f '-=a ()f x 结果.【详解】（1）当时，，则，，， 0a =()232x f x x -=()()323x f x x-'=()11f ∴=()14f '=-此时，曲线在点处的切线方程为，即；()y f x =()()1,1f ()141y x -=--450x y +-=（2）因为，则， ()232x f x x a -=+()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++由题意可得，解得，()()()224101a f a -'-==+4a =故，，列表如下： ()2324x f x x -=+()()()()222144x x f x x +-'=+ x(),1-∞- 1- ()1,4- 4 ()4,+∞ ()f x ' + 0 - 0+ ()f x 增 极大值 减 极小值 增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.()f x (),1-∞-()4,+∞()1,4-当时，；当时，. 32x <()0f x >32x >()0f x <所以，，. ()()max 11f x f =-=()()min 144f x f ==-22．已知函数，. ()1ln f x a x x =+()xe g x x=（1）讨论函数的单调性；()f x （2）证明：时，． 1a =()()21ln e f x g x x e x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先对求导，再对分类讨论即可得出函数的单调性；()f x a （2）时，将所证不等式转化为，令，，分别根1a =1ln x e e x x ex -+>()1x F x e ex =-+l (n )e G x xx =据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式.()F x ()G x【详解】解：（1），， ()1ln f x a x x=+((0,))x ∈+∞. '2211()a ax f x x x x-=-+=当时，，函数在上单调递减；0a ≤'()0f x <()f x ()0,x ∈+∞时，由，得，由，得， 0a >'()0f x <10x a<<'()0f x >1x a >此时函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x 1(0,)a 1(,)a+∞（2）证明：时，要证， 1a =()()21ln e f x g x x e x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭即要证：，， 21ln ln 01x x e e e x x e e ex x x x x +-->⇔-+>(0,)x ∈+∞令，则，()1x F x e ex =-+'()x F x e e =-当时，，此时函数单调递减；(0,1)x ∈'()0F x <()F x 当时，，此时函数单调递增.(1,)x ∈+∞'0F >()F x 可得时，函数取得最小值，.1x =()F x (1)1F =令，， l (n )e G x xx ='2(1ln )()e x G x x -=当时，，此时为增函数，0<<x e '()0G x >()G x 当时，，此时为减函数，>x e '()0G x <()G x 所以时，函数取得最大值，.x e =()G x ()1G e =与不同时取得，因此，即，. 1x =x e =()()F x G x >1ln x e e xx ex -+>(0,)x ∈+∞故原不等式成立. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。
四川省乐山市十校2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题文【含答案】
0a 2
3
分
于是
M
m
4a3
4
4a3 12a 4
2 a 1 3 0a 2
3
分
当
2 3
a
1时，
M
m
4a3
4
是关于
a
的减函数，
∴
M
m
(8,140] 27
当
0
a
2 3
时，
M
m
4a3
12a
4
也是关于
a
的减函数，
∴M
m ( 140 27
, 4)
分
综上可得 M m 的取值范围是 (8, 4) 。
7 8 9
19. 解：（1）∵ f (x) ex xex 1 x
(ex )2
ex
分
∴当 x 1时， f (x) 0 ，当 x 1时， f (x) 0 ；
即 f (x) 的单调递增区间是 (,1) ，单调递减区间是 (1, ) 。
（2）由 f (x) x a 0 得 a x ，
ex
ex
将此方程的根看作函数
（II）事件 M 发生的概率为0.3 。
12
分
22.解：（1）∵ f (x) 3x2 6ax 3x(x 2a)
1
分
∴当 a 0 时，由 f (x) 0 得， x 0 或 x 2a ，由 f ( f (x) 0 ，
3分
当 a 0 时，由 f (x) 0 得， x 2a 或 x 0 ，由 f (x) 0 得， 2a x 0 ，
f (x) 的导函数，且对任意的 x (0, ) 都有 f ( f (x) x2 ) 2 ， 若函数 F (x) xf (x) 2 f (x) 3 的一个零点 x0 (m, m 1) ，则整数 m 的值是
2022-2023学年四川省乐山市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省乐山市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.2．命题:p “21,10∀>->x x ”，则⌝p 为（）A ．21,10∀>-≤x xB ．21,10∀≤-≤x x C ．2001,10x x ∃>-≤D ．2001,10x x ∃≤-≤【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式求解.【详解】命题:p “21,10∀>->x x ”为全称命题，其否定为特称命题，即⌝p ：2001,10x x ∃>-≤.故选：C3．已知()21i 32i z -=+，则z =（）A ．31i2--B ．31i2-+C ．3i2-+D ．3i2--【答案】B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4．函数()22ln f x x x =-的单调递减区间是（）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．[)(]1,00,1- 【答案】A【分析】求导，不等式()0f x '≤的解集与函数的定义域取交集即可求出结果.【详解】由题意知()()222220x f x x x x x-'=-=>，由()0f x '≤，得01x <≤．故选：A5．函数y ＝xe x 的最小值是()A ．－1B ．－eC ．－D ．不存在【答案】C【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝e x ＋xe x ＝(1＋x)e x ，令y′＝0，则x ＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x ＝－1时，y min ＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.6．已知函数()2xf x x =+，则函数在=1x -处的切线方程是（）A ．2x -y +1=0B ．x -2y +2=0C ．2x -y -1=0D ．x +2y -2=0【答案】A【分析】利用导数求(1)f ¢-，并求(1)f -的值，写出在=1x -处的切线方程即可.【详解】由题设，22()(2)f x x ='+，则2(1)2()212f '-==-+，而(1)1f -=-，∴函数在=1x -处的切线方程是2(1)1y x =+-，即2x -y +1=0.故选：A7．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种【答案】D【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目.8．72()x x-的展开式中3x 的系数为（）A ．168B ．84C ．42D ．21【答案】B【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的系数．【详解】解：由于72()x x-的展开式的通项公式为7217(2)r r r r T C x -+=- ，则令72r 3-=，求得2r =，可得展开式中3x 的系数为27484C = ，故选：B ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的通项公式以及系数的性质．9．已知函数()322sin x f x x x -＝＋，若()(12)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞【答案】B【分析】先根据函数解析式确定函数的奇偶性，然后利用导数确定函数的单调性，再把不等式化为()()f m f n >的形式，然后去“f ”化为一般不等式，从而得解.【详解】()f x 的定义域为R ，()32sin ()2f x x x f x x +=--＝--，所以()f x 是奇函数，又2()322cos 0f x x x '=+-≥恒成立（仅当0x =时等号成立），所以()f x 在R 上单调递增，由()(12)0f a f a +->得()(21)f a f a >-，所以21a a >-，解得1a <，故选：B.10．已知函数3211()(0,0)62f x x ax bx a b =-->>的一个极值点为1，则ab 的最大值为（）A ．1B ．12C ．14D ．116【答案】D【分析】求出()f x 的导函数，由题意可得()10f '=，可得12a b +=，再根据基本不等式可求ab 的最大值.【详解】函数3211()(0,0)62f x x ax bx a b =-->>，()212f x x ax b '=--，函数()f x 的一个极值点为1，可得()10f '=，即102a b --=，得12a b +=，所以21216a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14a b ==时等号成立，故ab 的最大值为116.故选：D11．若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是（）A ．(),0∞-B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．R【答案】C【分析】先构造函数()()e xg x f x =，由()()0f x f x '+<确定()g x 单调递减，从而得到()0g x <的解集，即为()0f x <的解集.【详解】设()()e x g x f x =，则()()()()()()e e e x x xg x f x f x f x f x'''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+.故选：C.12．已知函数()2,0ex x f x x =>.若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，则正实数m 的取值范围为（）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()0,1D ．(]0,1【答案】A【分析】依题意，令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，求出()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于max 12()f g a m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，进而转化为()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，再根据函数()2,0e x x f x x =>的单调性，得到10210m m ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，从而求出正实数m 的取值范围.【详解】令()[]32112e ,0,12g a a a a a -=--+∈，则()()()232321g a a a a a '=--=+-，∴当[]a 0,1∈时，()0g a '≤，函数()g a 在[]0,1上单调递减，∴()1max ()0e g a g -==，若存在实数[]a 0,1∈，使得不等式3211122e 2f a a a m -⎛⎫-≤--+ ⎪⎝⎭成立，等价于1max 12()e f g a m -⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭成立，又 ()11e f -=，∴()121f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()2e xx f x =，所以()()222,0e e x x x x x x f x x --==>'.当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,2上单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，m 为正实数，∴122m-<，又 函数()f x 在()0,2上单调递增，∴1021m m ⎧<-≤⎪⎨⎪>⎩，解得1 1.2m <≤∴正实数m 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、填空题13．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是________.【答案】若2x ≥或2x ≤-，则24x ≥【分析】根据逆否命题的概念填空即可.【详解】由题,则命题“若24x <,则22x -<<”的逆否命题为“若2x ≥或2x ≤-,则24x ≥”,故答案为:若2x ≥或2x ≤-,则24x ≥【点睛】本题考查命题的逆否命题,属于基础题.14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．已知函数()()1ln e xf x a x a R =+∈．若函数()f x 在定义域内不是单调函数，则实数a 的取值范围是__________．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】转化为函数在定义域内有极值点求解，分离参数后得x xa e=，从而求出函数()(0)x x g x x e =>的值域即可．【详解】由函数()f x 在定义域()0,+∞内不单调，得函数()f x 在定义域内有极值点．∵()1ln e xf x a x =+，∴()0xaf x e x-+'=-=，∴xx a e =．令(),0xxg x x e =>，则()1x x g x e ='-，∴函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()00,g x =→+∞当时，()0g x →，()11g e=，∴()10g x e<≤．∴实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用．16．已知a ，b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为______．【答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()()ln 10a g a a a--=>求解.【详解】设()()ln 0f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于()max 0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意．当0a >时，()()110ax f x a x x x-'=-=>，∴当10x a <<时，()0f x ¢>，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()max 1ln 1f x f a b a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭．由()max 0f x ≤得ln 1b a ≥--，∴ln 1b a a a --≥．令()()ln 10a g a a a --=>，则()2ln a g a a'=，当01a <<时，()0g a '<，()g a 在()0,1上单调递减，当1a >时，()0g a '>，()g a 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 11g a g ==-，∴1ba ≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1a =，1b =-．故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于依题意得出ln 1b a ≥--，进而得出ln 1b a a a--≥.三、解答题17．一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，(1)其中至少有一名男生的选法有几种？(2)至多有1名男生的选法有几种？【答案】(1)100（种）(2)80（种）【分析】（1）可知直接法处理，分类后利用分类加法计数原理求解，也可间接法求解；（2）分无男生和一名男生两类情况求解，再由分类加法计数原理即可.【详解】（1）方法一：(直接法)．第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为1246C C 60⋅=(种)；第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为2146C C 36⋅=(种)；第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为34C 4=(种)；故共有60＋36＋4＝100(种)．方法二：(间接法)．从10名同学中选出3名同学的选法种数为310C 种．其中不适合条件的有36C 种，故共有33106C C 100-=(种)．（2）第一类：3名代表中有一名男生，则选法为1246C C 60=(种)；第二类：3名代表中无男生，则选法为36C 20=(种)；故共有60＋20＝80(种).18．已知函数ln ()1xf x x=-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[]π,5上的最大值．【答案】(1)单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.(2)ln π1π-【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间；（2）根据函数在区间内的单调性求最大值.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=，由()00f x x '⎧>⎨>⎩得0e x <<；由()0 0 f x x >'⎧<⎨⎩得e x >.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞．（2）由（1）得()f x 在[]π,5上单调递减，∴max ln π()(π)1πf x f ==-.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；[方法二]:空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由10n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.又∵向量()12,0,2BC = ,()1·2201220BC n =⨯+⨯+⨯-= ,又1BC ⊄ 平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ，又∵11//BC AD ,∴1//AD EF ,所以平面1AD E 即平面1AD FE ,连接1D G ，作11C H DG ⊥,垂足为H ,连接FH ,∵1FC ⊥平面1111D C B A ,1D G ⊂平面1111D C B A ,∴11FC DG ⊥，又∵111FC C H C ⋂=,∴直线1D G ⊥平面1C FH ,又∵直线1D G ⊂平面1D GF ,∴平面1DGF ⊥平面1C FH ,∴1C 在平面1D GF 中的射影在直线FH 上,∴直线FH 为直线1FC 在平面1D GF 中的射影，∠1C FH 为直线1FC 与平面1D GF 所成的角，根据直线1//FC 直线1AA ，可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角.设正方体的棱长为2，则111C G C F ==,15D G =,∴121255C H ⨯==,∴223155FH ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,∴112sin 3C H C FH FH ∠==,即直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面1AD E 的法向量()2,1,2n =-，又∵()10,0,2AA = ,∴11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅，∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法三]：几何法+体积法如图，设11B C 的中点为F ，延长111,,A B AE D F ，易证三线交于一点P ．因为111,BB AA EF AD ∥∥，所以直线1AA 与平面1AD E 所成的角，即直线1B E 与平面PEF 所成的角．设正方体的棱长为2，在PEF !中，易得5,2PE PF EF ===，可得32PEF S =．由11B PEF P B EF V V --=三棱锥三棱锥，得113111123232B H ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，整理得123B H =．所以1112sin 3B H B EH B E ∠==．所以直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ，在1AED △中，115,22,3AE AD D E ===，22211119585cos 25235D E AE AD AED D E AE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以125sin 5AED ∠=，易得13AED S = ．由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ ，解得43h =，设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II ）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.20．已知函数()2ln f x x ax x x =--，a ∈R ，()f x '是()f x 的导函数．（1）若0a =，求函数()f x '的最小值；（2）若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）ln 2；（2）(],ln 2-∞．【分析】（1）当0a =时求出()f x '，设()()g x f x '=，利用()g x 的单调性可得答案；（2）设()()h x f x ='，利用()h x 的单调性求得最小值1ln 22h a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由已知只需()()min min 0f x h x '=≥可得答案．【详解】（1）当0a =时，()2ln f x x x x =-的定义域为()0,x ∈+∞，故()21ln f x x x '=--，设()21ln g x x x =--，则()21x g x x-'=，当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当12x =时，()g x 有最小值，所以()()min min 11121ln ln 2222f x g x g ⎛⎫'===⨯--= ⎪⎝⎭．（2）因()21ln f x x a x '=---，设()21ln h x x a x =---，则()21x h x x-'=，由（1）可知()h x 的最小值是1ln 22h a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要使()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，只需()()min min ln 20f x h x a '==-+≥，所以ln 2a ≤，故a 的取值范围为(],ln 2-∞．【点睛】本题考查了求函数的最小值及求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21．已知函数()2ln f x x ax bx =+-.（1）若函数()y f x =在2x =处取得极值1ln 22-，求a ，b 的值;（2）当18a =-时，函数()() g x f x bxb =++在区间[]1,3上的最小值为1，求() y g x =在该区间上的最大值.【答案】（1）180a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；（2）5ln 28+【分析】（1）本小题根据题意建立方程组，直接解题，再检验即可；（2）本题先判断函数的单调性，再根据最小值建立方程组求参数，最后根据单调性求最大值即可.【详解】（1）()()120f x ax b x x'=+->∴()()1240212ln 242ln 22f a b f a b ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=-⎩'⎪，解得：180a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()()()()221044x x x f x x x x-+'=-=>，当'()002f x x >⇒<<，当'()02f x x <⇒>，∴()f x 在()0,2递增，()2,+¥递减，满足2x =在处取到极值，∴180a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩满足条件.（2）当18a =-时，()()()()22211ln ,844x x x g x x x b g x x x -+'=-+=-=()1,2x ∈时，()() 0;2,3g x x '>∈时，()0g x ¢<，()g x ∴在[1]2，单增，在[2]3，单减()()max 12ln 22g x g b ∴==-+又()()191,3ln 3,88g b g b =-+=-+()()31ln 310g g -=->；()()min 1118g x g b ∴==-+=，98b ∴=，()52ln 28g ∴=+，∴函数()g x 在区间[1]3，上的最大值为()52ln 28g =+.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值、单调区间的求法，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用，求解时要注意定义域优先法则的应用，同时注意第（1）问中求得,a b 的值后，还要进行验证，是中档题．22．已知函数2()2(1)e x f x a x x =--（其中,e a ∈R 为自然对数的底数）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，2(1)ln 3f x x x x +>---，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；（2）分离参数，构造新函数，利用新函数的单调性求解最值或者利用换元法求解最值，可得答案.【详解】（1）由2()2(1)e x f x a x x =--可得()()2e 1x f x x a '=-，当0a 时，e 10x a -<，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，从而()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当0a >时，由()0f x '=得，10x =，21lnx a=，①若1ln 0a=，即1a =时，()0f x ' 恒成立，故()f x 在R 上单调递增：②若1ln 0a <，即1a >时，由()0f x '>可得，1ln x a<或0x >．令()0f x '<可得1ln0x a<<，此时()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若1ln 0a >，即01a <<时，由()0f x '>可得，0x <或1ln x a>，令()0f x '<可得10lnx a<<，此时()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a 时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e x x x a x +->对任意的0x >恒成立，令ln 2()(0)e xx x g x x x +-=>，则22211e (1)e (ln 2)(1)(3ln )()e e xx x xx x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-++- ⎪+--⎝⎭'==，令()3ln h x x x =--，则1()10h x x'=--<，则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，不妨设该实根为0x ，故当()00,x x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故()000max 00ln 2()e x x x g x g x x +-==，又因为003ln 0x x --=，所以00ln 3x x +=，00ln 3e e x x -=，030e e x x =，所以()000030ln 21e ex x x g x x +-==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．另解：（2）由不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e x x x a x +->，()ln e 22e ex x x a x ->对任意的0x >恒成立，令e 0x t x =>，ln 2()(0)t g t t t-=>，则23ln ()tg t t '-=，故当()30,e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当()3e ,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，故()3max 31()e e g t g ==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.。
四川省乐山市十校2019年高二第二学期期中联考文科数学试题及答案解析
乐山市十校高2021届第四学期半期联考数学文科试题一、选择题:(每小题5分,共60分) 1.复数2(12)i +的虚部是( ) A.2B.2iC.4D.4i【参考答案】C 【试题解答】首先将复数写出标准形式,再根据复数的定义确定其虚部； 解:因为2(12)24i i +=+,故其虚部为4 故选:C本题考查复数的相关概念,属于基础题. 2.函数2()cos f x x x =的导数是( ) A.2sin x x B.2sin x x - C.22cos sin x x x x+D.22cos sin x x x x -【参考答案】D 【试题解答】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 解:因为2()cos f x x x =所以()()222()cos cos 2cos sin f x x x x x x x x x '''=+=-故选:D本题考查导数的计算,基本初等函数的导数公式的应用,属于基础题.3.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动,则这名女生被选中的概率是( ) A.13B.12C.23D.34【参考答案】B 【试题解答】首先求出基本事件总数,再求出满足条件的事件数,最后根据古典概型的概率公式计算可得；解:基本事件总数为246C=(种),这名女生被选中的有11133C C=(种)故概率3162 P==故选:B本题考查古典概型的概率计算问题,属于基础题.4.按如图的程序框图运行相应的程序,若输入N的值为8,则输出N的值为( )A.0B.1C.2D.6 【参考答案】C【试题解答】根据初始值8,依次循环,直至3N≤终止循环,输出N.8N=,第一次循环:7N=,第二次循环:6N=,第三次循环:23N =≤, 终止循环,输出2 故选:C本题主要考查程序框图的条件结构和循环结构,还考查了逻辑推理的能力,属于基础题. 5.曲线()f x 3222x x =-+在点(1,1)处的切线方程为( ) A.2y x =-+ B.y x =-C.2y x =-D.y x =【参考答案】A 【试题解答】利用导数的几何意义可得切线的斜率,再根据点斜式可得切线方程.因为32()22f x x x =-+,所以2()34f x x x '=-,所以所求切线的斜率为(1)341f '=-=-, 又(1)1221f =-+=,所以所求切线方程为1(1)y x -=--,即2y x =-+. 故选:A本题考查了导数的几何意义,属于基础题.6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米648石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得288粒内夹谷32粒,则这批米内夹谷约为( )(注:石dàn 古代重量单位,1石＝60千克) A.74石 B.72石C.70石D.68石【参考答案】B 【试题解答】根据题意,列出方程,根据这批米内夹谷数,得到答案. 设送来648石米内夹谷约为x 石,因为抽样取米一把,数得288粒内夹谷32粒,可得32648288x =,解得72x =石. 故选:B.本题主要考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用问题,其中解答中根据题意列出方程是解答的关键,属于基础题.7.某高校调查了100名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30]．根据直方图,求出a 的值是( )A.0.18B.0.17C.0.16D.0.15【参考答案】C 【试题解答】根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程,解得即可； 解:根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1,可得()0.02+0.04+0.08+0.1+ 2.51a ⨯=解得0.16a =故选:C本题考查频率分布直方图的性质的应用,属于基础题. 8.函数3()3f x x x =-的极小值是( ) A.4B.2C.-4D.-2【参考答案】D 【试题解答】首先求出函数的导函数,说明其单调性,即可得到函数的极值点,从而求出函数的极小值； 解:因为3()3f x x x =-,所以()()2()33311f x x x x '=-=+-令()0f x '=,解得1x =或1x =-,可得1x >或1x <-时()0f x '>,当11x -<<时()0f x '<,所以()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增,()1,1-上单调递减； 故函数在1x =处取得极小值,()()12f x f ==-极小值 故选:D本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,属于基础题.9.如图,点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点,则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是( )A.105B.25C.5 D.10 【参考答案】A 【试题解答】 【连接1AD ,1D M ,根据异面直线所成角的定义,转化为求1D AM ∠(或其补角),然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得.连接1AD ,1D M ,如图:易得11//AD BC ,所以1D AM ∠(或其补角)是异面直线AM 与BC 1所成角,设正方体的棱长为a ,1AD 2a =,15AM D M a ==, 在三角形1D AM 中,2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552445222a a a a a +-=⨯⨯10=, 所以异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是10. 故选:A本题考查了求异面直线所成角,通过找平行线转化为两条相交直线所成角(或其补角)是解题关键,属于基础题.10.如图在ABC ∆中,90ABC ∠=,22AC BC ==,在ABC ∠内作射线BD 与边AC 交于点D ,则使得DC DB<的概率是( )A.13B.12C.23D.34【参考答案】C 【试题解答】由题意可得60DCB ∠=,根据三角形中“ 大边对大角,小边对小角”的性质,将DC DB <转化为求DBC DCB ∠<∠的概率,又因为60DCB ∠=,090DBC <∠<,从而可得DC DB <的概率．解:在ABC ∆中,90ABC ∠=,22AC BC ==, 所以60ACB ∠=,即60DCB ∠=,要使得DC DB <,则DBC DCB ∠<∠,又因为60DCB ∠=,090DBC <∠<,则DC DB <的概率是602903P ==． 故选:C本题考查几何概型及其计算方法的知识,属于基础题．11.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的函数,其导函数是()'f x ,且当0x >时总有()()xf x f x '>,则下列各项表述正确的是( ) A .2(1)(2)f f ≥ B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f ≤D.2(1)(2)f f <【参考答案】D 【试题解答】设函数()(),0f x g x x x=>,根据题意,求得()g x 为单调递增函数,得到()()21g g >,进而得出答案.由题意,设函数()(),0f x g x x x =>,则()2()()xf x f x g x x '-'=, 因为()()xf x f x '>,可得()0g x '>,所以()g x 为单调递增函数, 可得()()21g g >,即(2)(1)21f f >,所以2(1)(2)f f <. 故选:D.本题考查了导数的四则运算,以及函数的单调性的应用,其中解答中根据题意,构造新函数()(),0f x g x x x=>,求得()g x 的单调性是解答的关键,着重考查构造思想,以及推理与运算能力.12.已知函数()xf x xe =,()lng x x x =,若存在正实数12,x x ,使12()()f x g x t ==成立,则22122t x x e的最大值是( )(注:e 是自然对数的底数) A.24e B.22e C.1eD.e【参考答案】B 【试题解答】当0t >时,()f x t =有唯一解,而1122,x x e t x lnx t ==,通过变形可得22lnx lnx e t =,比较可得12x lnx =,进而得到()12222112222x ttt x e x xt ee e==,运用导数即可求最大值．【详解】解:由题意,11xx e t =,22x lnx t =,则22lnx lnx e t =,作函数()xf x xe =的草图如下,由图可知,当0t >时,()f x t =有唯一解,故12x lnx =,12x e x =且1>0x ,∴()12222112222x ttt x e x xt ee e==,设202(),t h t t e t =>,则()222222)2(2t t th t t t t t t e e e t '=---==,令()0h t '=,解得2t =或0t =, 易得当(0,2)t ∈时,()0h t '>,函数()h t 单调递增,当(2,)t ∈+∞时,()0h t '<,函数()h t 单调递减,故2()()22h t h e =,即22122t x x e的最大值为22e ． 故选:B本题考查利用导数求函数的最值,考查化简变形能力及数形结合思想,属于中档题． 二、填空题:(每小题5分,共20分)13.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,先将60袋牛奶按00,01,…,59进行编号,若从随机数表第8行第7列的数开始向右读,则第4袋牛奶的编号为____________； (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【参考答案】10 【试题解答】根据利用随机数表抽取样本的规则一一读取即可；解:从随机数表第8行第7列的数开始向右读,分别是78(舍去),59,16,95(舍去),55,67(舍去),16(重复),98(舍去),10,…… 故第4袋牛奶的编号为10 故答案为:10本题主要考查简单随机抽样的应用,正确理解随机数法是解决本题的关键,属于基础题． 14.执行如图所示的程序框图,如果输入的2t =-,则输出的S 的是__________；【参考答案】6 【试题解答】依次列出程序执行的步骤即可. 此程序执行的步骤为:2t =-,满足条件,9t =,不满足条件,6S =,输出6S =故答案为:6本题考查的是程序框图,较简单.15.已知函数3()1f x ax x =-+的导函数是()'f x ,若()f x 的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,3),则a ＝________； 【参考答案】1 【试题解答】求出函数的导数,求出切线方程,得到关于a 的方程,解出即可；2()31f x ax '=-,()131f a '∴=-,又()1f a =,∴切线方程为(31)(1)y a a x -=--, 切线过点(2,3), 331a a ∴-=-,解得1a =； 故答案为:1本题考查导数的几何意义,利用导数求函数的切线方程,属于基础题.16.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,()'f x 是()f x 的导函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+,则整数m 的值是__________.【参考答案】2 【试题解答】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--,再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点,函数()F x 的零点在(2,3)内,即得m 的值.因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,所以2()f x x -是一个定值,设2()f x x t -=,所以2()=+f x x t ,()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-(舍去). 所以2()=+1,()2f x x f x x '=,所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--, 所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-,所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数,在(0,1)是减函数,因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数, 所以函数()F x 的零点在(2,3)内, 所以2m =. 故答案为:2本题主要考查函数的单调性的应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数研究零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题:(共70分)17.已知复数12z i =+,记其共轭复数为z . (1)求(z 1)(3)z i ++的值； (2)若复数532zw i z=+-,求复数w 的模w . 【参考答案】(1)4i ；(2)2. 【试题解答】(1)由复数12z i =+,求得12z i =-,根据复数的运算法则,即可求解； (2)根据复数的运算法则,化简得2wi ,利用模的计算公式,即可求得w .(1)由题意,复数12z i =+,可得12z i =-,则122,31z i z i i +=++=+,所以(z 1)(3)(22)(1)4z i i i i ++=++=.(2)由25(12)5(12)32323432212(12)(12)i i w i i i i i i i i ++=+-=+-=-++-=--+, 所以2w =.本题主要考查了共轭复数的概念,复数的模的计算,以及复数的四则运算的综合应用,着重考查了计算能力,属于基础题.18.据统计,某5家鲜花店今年4月的销售额和利润额资料如下表:(1)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程ˆy=ˆb x +ˆa ； (2)如果某家鲜花店的销售额为8千元时,利用(1)的结论估计这家鲜花店的利润额是多少.参考公式:回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为nnii i ii 1i 1nn222iii 1i 1(xx)(y y)x ynxy b ,a y bx (xx)xnx====---===---∑∑∑∑【参考答案】(1)ˆy=0.5x +0.4.(2)4.4千元. 【试题解答】(1)根据回归直线方程的计算方法,分别计算x ,y 以及b 与a 即可. (2)代入8x =到(1)中所求得的回归方程估算即可.解:(1)设回归直线方程是ˆy=ˆb x +ˆa . 由题中的数据可知y =3.4,x =6.∴121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑(3)( 1.4)(1)(0.4)0(0.4)10.63 1.691019-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=++++100.520==, a y bx =-=3.4-0.5×6=0.4,∴利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为ˆy =0.5x +0.4. (2)由(1)知,当x =8时,ˆy=0.5×8+0.4=4.4, 即当销售额为8千万元时,可以估计该鲜花店的利润额为4.4千元.本题主要考查了根据线性回归方程的求解方法以及实际意义与估算的问题.属于基础题. 19.已知函数()()x xf x a a R e=-∈ (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)()f x 的单调递增区间是(,1)-∞,单调递减区间是(1,)+∞.(2)10a e<< 【试题解答】(1)首先求出函数的导函数,再解不等式即可得到函数的单调区间； (2)由()0x x f x a e =-=得x x a e =, 将此方程的根看作函数xx y e=与y a =的图象交点的横坐标,结合(1)中相关性质得到函数的图象,数形结合即可得到参数的取值范围； 解:(1)∵()()xxf x a a R e =-∈ 所以21()()x x x x e xe xf x e e--'== ∴当1x <时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<；即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞,单调递减区间是(1,)+∞. (2)由()0xxf x a e =-=得x x a e =,将此方程的根看作函数x xy e=与y a =的图象交点的横坐标, 由(1)知函数x xy e =在1x =时有极大值1e,作出其大致图象,∴实数a 的取值范围是10a e<<. 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题,属于基础题. 20.如图,AB 是圆O 的直径,C 是圆上的点,平面PAC ⊥平面ABC ,PA ⊥AB .(1)求证:PA ⊥平面ABC ；(2)若PA =AC =2,求点A 到平面PBC 的距离． 【参考答案】(1)见解析2 【试题解答】(1)证明BC ⊥平面PAC 得到BC ⊥PA ,结合题目条件PA ⊥AB 得到证明. (2)令BC ＝a ,利用等体积法A PBC P ABC V V --=,解得距离. (1)∵AB 是圆O 的直径,∴ AC ⊥BC ,又平面PAC ⊥平面ABC 且平面PAC 平面ABC ＝AC , ∴ BC ⊥平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,∴ BC ⊥PA , 又PA ⊥AB ,AB BC B ⋂=,∴ PA ⊥平面ABC .(2)由(1)知PA ⊥AC ,BC ⊥PC ,令BC ＝a ,∵PA =AC =2,∴PC ＝2,∴ 122ABCS a a ∆=⋅⋅=,12PBC S a ∆=⋅=,设点A 到平面PBC 的距离为d ,则由A PBC P ABC V V --=得:11233d a ⋅=⋅⋅,∴ d =即A 到平面PBC 本题考查了线面垂直,点面距离,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,等体积法的灵活运用是解题的关键.21.2020年,我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取50人调查专项附加扣除的享受情况.(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(Ⅱ)抽取的50人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有5人,分别记为,,,,A B C D E .享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这5人中随机抽取2人接受采访.(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(2)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除全都不相同”,求事件M 发生的概率.【参考答案】(Ⅰ)12人、18人和20人；(Ⅱ)(1)所有可能的抽取结果有AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE 共10种；(2)0.3.【试题解答】(Ⅰ)根据分层抽样的方法,即可求解老、中、青员工中分别抽取的人数； (Ⅱ)(1)从已知的5人中随机抽取2人,利用列举法,即可求得所有的基本事件；(2)由表格中数据,利用列举法得到符合题意的所有基本事件,利用古典概型的概率计算公式,即可求解.(Ⅰ)由题意,单位老、中、青员工共有72108120300++=人, 根据分层抽样的分法,可得:老年员工应抽取人725012300⨯=人, 中年员工应抽取1085018300⨯=人,青年员工应抽取1205020300⨯=人 (Ⅱ)(1) 从编号为,,,,A B C D E 的5人中随机抽取2人接受采访,可得所有可能的抽取结果有AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE ,共有10种.(2)由题中表格可知,事件M 包含的基本事件只有AC ,BC ,DE ,共有3种, 所以事件M 发生的概率3()0.310P M ==. 本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及分层抽样的计算,其中解答中利用列举法求得基本事件的总数,以及所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查运算与求解能力.22.已知函数32()32()f x x ax a R =--∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当01a <<时,记函数()f x 在[0,2]上的最大值为M ,最小值为m ,求M m +的取值范围. 【参考答案】(1)见解析(2)(8,4)- 【试题解答】(1)对函数()f x 求导,讨论a 的取值范围,分别求出()0,()0f x f x ''><的范围,从而确定函数()f x 的单调性.(2)根据(1)的结论,确定函数()f x 在[0,2]上的单调性,从而确定函数取最值的位置,即可求出M m +的表达式,然后根据a 的范围求出M m +的取值范围.解:(1)∵2()363(2)f x x ax x x a '=-=-∴当0a >时,由()0f x '>得,0x <或2x a >,由()0f x '<得,02x a <<, 当0a =时,()0f x '≥当0a <时,由()0f x '>得,2x a <或0x >,由()0f x '<得,20a x <<,∴当0a >时,()f x 的单调递增区间是(,0)-∞,(2,)a +∞,单调递减区间是(0,2)a ； 当0a =时,()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞；当0a <时,()f x 的单调递增区间是(,2)a -∞, (0,)+∞,单调递减区间是(2,0)a . (2)∵当01a <<时,022a <<,又[0,2]x ∈, ∴由(1)知,()f x 在()0,2a 递减,在()2,2a 上递增, 故3(2)42m f a a ==-- 又(0)2f =-,(2)612f a =-,∴2213261203a M a a ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,于是33244132412403a a M m a a a ⎧--≤<⎪⎪+=⎨⎪--+<<⎪⎩当213a ≤<时,344M m a +=--是关于a 的减函数, ∴140(8,]27M m +∈-- 当023a <<时,34124M m a a +=--+也是关于a 的减函数,∴140(,4)27M m +∈-综上可得M m +的取值范围是(8,4)-.本题考查利用导数讨论函数的单调性,考查根据单调性求函数的最值,考查学生分类讨论的思想和分段函数求最值,属于中档题.。
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四川省乐山市十校2021-2022高二数学下学期期中联考试题 文一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. 复数2(12)i +的虚部是A.2B.2iC.4D.4i2. 函数2()cos f x x x =的导数是A. 2sin x xB. 2sin x x -C. 22cos sin x x x x +D.22cos sin x x x x -3. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是A ．13 B. 12 C. 23 D. 344. 按如图的程序框图运行相应的程序，若输入N 的值为8，则输出N 的值为A ．0B ．1C ．2D ．6 5. 曲线32y 22x x =-+在点(1,1)处的切线方程为A ．2y x =-+B ．y x =-C ．2y x =-D ．y x =6. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米648石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为 （注：石d àn 古代重量单位，1石＝60千克）A ．74石B ．72石C ．70石D ．68石 7. 某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]．根据直方图，求出a 的值是A ．0.18B ．0.17C ．0.16D ．0.15 8. 函数3()3f x x x =-的极小值是A ．4B ．2C ．-4D ．-29. 如图，点M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是A.105B.255C.55D.101010. 如图在ABC ∆中，90ABC ∠=，22AC BC ==，在ABC ∠内作射线BD 与边AC 交于点D ，则使得DC DB <的概率是A. 13B. 12C. 23D.3411. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，其导函数是()f x '，且当0x >时总有()()xf x f x '>，则下列各项表述正确的是A. 2(1)(2)f f ≥B. 2(1)(2)f f >C. 2(1)(2)f f ≤D. 2(1)(2)f f <12. 已知函数()xf x xe =，()lng x x x =，若存在正实数12,x x ，使12()()f x g x t ==成立，则22122tx x e 的最大值是（注：e 是自然对数的底数）A ．24e B ．22e C ．1eD ．e二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验。
利用随机数表抽取样本时,先将60袋牛奶按00,01,…,59进行编号,若从随机数表第8行第7列的数开始向右读,则第4袋牛奶的编号为 ； (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5414. 执行如图所示的程序框图，如果输入的2t =-，则输出的S 的是 ；15. 已知函数3()1f x ax x =-+的导函数是()f x '，若()f x 的图像在点(1,(1))f 的处的切线过点(2,3)，则a ＝ ；16. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是 。
三、解答题：（共70分）17.（10分）已知复数z 12i =+，记其共轭复数为z 。
（1）求(z 1)(3)z i ++的值； （2）若复数532zw i z=+-，求复数w 的模w 。
18.(12分)据统计，某5家鲜花店今年4月的销售额和利润额资料如下表：(1)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程ˆy=ˆb x+ˆa ； (2)如果某家鲜花店的销售额为8千元时，利用(1)的结论估计这家鲜花店的利润额是多少。
参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为 nnii i ii 1i 1nn222iii 1i 1(xx)(y y)x ynxy b ,a y bx (xx)xnx====---===---∑∑∑∑19. (12分)已知函数()()x xf x a a R e=-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围。
20.(12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆上的点，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB。
（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）若PA=AC=2，求点A到平面PBC的距离．21.(12分)2021年，我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。
某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取50人调查专项附加扣除的享受情况。
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？A B C D E.享受情（Ⅱ）抽取的50人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有5人，分别记为,,,,况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这5人中随机抽取2人接受采访.员工A B C D E项目子女教育○○×○×继续教育××○×○大病医疗×○×○×住房贷款利息○○××○（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（2）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除全都不相同”，求事件M 发生的概率.22. (12分)已知函数32()32()f x x ax a R =--∈。
（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a <<时，记函数()f x 在[0,2]上的最大值为M ，最小值为m ，求M m +的取值范围。
参考答案与参考评分意见：1－12： CDBCAB CDACDB13. 10 14. 6 15. 1 16. 217.解：（1）∵z 12i =+ ∴12z i =- 2分 ∴(z 1)(3)(22)(1)4z i i i i ++=++= 5分（2）∵25(12)5(12)32323432212(12)(12)i i w i i i i i i i i ++=+-=+-=-++-=--+ 8分∴2w = 10分18.解：(1)设回归直线方程是ˆy=ˆb x+ˆa . 由题中的数据可知y =3.4，x =6. 2分∴nii i 1n2ii 1(xx)(y y)b (xx)==--=-∑∑(3)( 1.4)(1)(0.4)0(0.4)10.63 1.691019-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=++++100.520==, 5分a y bx =-=3.4-0.5×6=0.4, 7分∴利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为ˆy=0.5x+0.4。
8分 (2)由(1)知，当x=8时，ˆy=0.5×8+0.4=4.4， 10分即当销售额为8千万元时，可以估计该鲜花店的利润额为4.4千元。
12分19. 解：（1）∵21()()x x x x e xe xf x e e --'==2分 ∴当1x <时，()0f x '>，当1x>时，()0f x '<； 4分即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞。
6分（2）由()0x x f x a e =-=得xx a e =， 7分 将此方程的根看作函数x xy e=与y a =的图象交点的横坐标， 8分 由（1）知函数x x y e =在1x =时有极大值1e，作出其大致图象， 10分∴实数a 的取值范围是10a e<<。
12分20.证明：∵AB 是圆O 的直径∴ AC ⊥BC 1分又平面PAC ⊥平面ABC 且平面PAC ∩平面ABC ＝AC∴ BC ⊥平面PAC ， 3分∴ BC ⊥PA ， 4分又PA ⊥AB ， 5分∴ PA ⊥平面ABC 。
6分（2）由（1）知PA ⊥AC ，BC ⊥PC ， 令BC ＝a ，∵PA=AC=2，∴PC ＝22 8分∴ 122ABCS a a ∆=⋅⋅=，12222PBC S a a ∆=⋅⋅=10分 设点A 到平面PBC 的距离为d ，则由A PBC P ABC V V --=得：112233a d a ⋅⋅=⋅⋅ ∴ 2d=即A 到平面PBC 的距离为2。
12分21.解：（Ⅰ） ∵72108120300++=∴老年员工应抽取人725012300⨯=人， 2分 中年员工应抽取1085018300⨯=人， 4分 青年员工应抽取1205020300⨯=人； 6分（II ）(1)所有可能的抽取结果有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10种； 8分 (2)由题中表格可知，事件M 包含的基本事件只有AC,BC,DE 共3种， 9分∴事件M 发生的概率3()0.310P M ==11分答：（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取的人数是12人、18人和20人；（II ）事件M 发生的概率为0.3。
12分22.解：（1）∵2()363(2)f x x ax x x a '=-=- 1分∴当0a >时，由()0f x '>得，0x <或2x a >，由()0f x '<得，02x a <<， 2分 当0a =时，()0f x '≥， 3分当0a <时，由()0f x '>得，2x a <或0x >，由()0f x '<得，20a x <<， 4分 ∴当0a >时，()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)a +∞，单调递减区间是(0,2)a ； 当0a =时，()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间是(,2)a -∞， (0,)+∞，单调递减区间是(2,0)a 。