1.4：矢量的线性关系与矢量的分解

证明: 先证充分性, 即已知存在实数x使 r xe ,
证明
e
唯一确定.
称为共线矢量的基底.
// e . ? r
(由数乘以矢量的定义得到).
// 证明存在实数x使 再证必要性. 即已知 r e. r xe. e 事实上,当 r 与 e 同向时, 可取 x r 当 与 反向时, 就可以满足 r xe . r e
情形2
OE2 E3 , OE1E3 , OE1E2平行,
E3 e3 PE 2 E1 e e2
r
B
A
1
易见, OP是平行六面体的对角线.
C
E3 e3 PE 2 E1 e e2
于是可得
OP OA OB OC
两式相加：
因为 ,
A M
B N
D
C
2MN MA AB BN MD DC CN 注意 MA MD 0, BN CN 0, 所以， 2MN AB DC 1 即 MN ( AB DC ) 2
那么有
( x x)e1 ( y y)e2 ( z z)e3 0 如果 x x
y y z z e1 e2 e3 x x x x 这说明矢量 e1 , e2 , e3 共面(前面的定理1.4.2), 这与假 假定矛盾. 所以 x x, 同理可得 y y, z z .
D
解: 连接AF,
1 1 1 而 EA e1 , AF ( AC AD) (e2 e3 ) 2 2 2
所以,
EF EA AF
则由图可知
A
E e1
e2
B
F C
P1
又若P1是EF的中点, 将 AP 表示成e1 , e2 , e3的线性组合. 1
特别地,
a
也叫做矢量
a 的线性组合.
与矢量 定理4.1 那么矢量 r e 可以用矢量 线性表示, 共线的充分必要条件是 r e 可以写成 的线性组合. 即 或者说 r e
如果矢量 e 0,
两个矢量的情形
其中系数 x 被 r , e
这时, 矢量
r xe
1 AP是AEF的边EF上的中线,所以,AP ( AE AF ) 1 1 2
1 1 1 EF e1 e2 e3 2 2 2
由前面的结论
1 AE e1 , 2
所以
1 1 AF ( AC AD) (e2 e3 ) 2 2
1.4 矢量的线性关系与矢量分解
• 线性运算：矢量的加、减法 和数与矢量的乘法 统称为 矢量的线性运算. 定义1.4.1 由n个矢量 a1 , a2 ,, an 与数量
1 , 2 ,, n
所组成的矢量
a 1a1 2 a2 n an 叫做矢量 a1 , a2 ,, an 的线性组合. 也称矢量 a 可以分解 可以用 a1 , a2 ,, an 线性表示. 亦称矢量 a 成矢量 a1 , a2 ,, an 的线性组合.
e 可取x , 就可以满足 r
r xe.
最后证明x 是被唯一确定的. 假设另有一个x/ 满足
( x x )e 0,
/
/ r x e.
/ 则有 xe x e ,
注意
也即
e 0,
所以有
xx
/
证毕.
例 如图, 三角形ABC中,中位线矢量 MN xBC ,
B
D
C
四个矢量的情形
e3 e1 不共面, 那么空e2 , e3 矢量 r 可以由矢量 e1 , e2 , e3 线性表示,或者说空间任 可以分解成矢量 e , e , e 的线性组合. 即 意矢量 r 1 2 3
如果矢量 e1 , e2 不共线, 那么矢量 r
证明: 必要性, 即已知 r 与 e1 , e2 共面, 求证: 存在 两个实数x, y 使 r xe ye 1 2
情形1
r 与e1或e2共线，比方说，与e1共线， 则存在实数x使r xe1 xe1 0e2 ,
a
A
设 NP nNA n(OA ON ) n(a b ) 所以 b B p OM MP N b P a m(b a ) O p (1 m)a mb a M a p ON NP 由于 a, b不共线， 所以 b n( a b ) (1 m) n na (1 n)b m (1 n)
r xe1 ye2 ze3
被矢量 r , e1 , e2 , e3
其中的系数x, y, z
证明:
因为 e1 , e2 , e3 不共面, 所以它们每一个都不为0,
唯一确定.
而且彼此不共线. (如图) 下面分两种情形来证明.
如果r 和e1 , e2 , e3之中任何两个矢量共面，比方说 r 和e1 , e2共面，则由前面的结论（定理1.4.2） 知r xe1 ye2 0e3 结论成立.
三个矢量的情形
定理1.4.2
共面的充分必要条件是 可以用矢量 与 e ,e r 1 2 线性表示, 或者说矢量 r 可以分解为 e1 , e2 的线性组合, 即 e1 e1 , e2 r xe1 ye2 e2 r e , e 唯一确定. 其中,系数x, y由 r , 1 2 此时, 矢量 e1 , e2 叫做共面矢量的基底.
即 点P，P2，P 重合. 1 3 又因为 点P，P2，P 都是相应线上的中点, 结论成立. 1 3
注意：本例题所蕴含的思想方法.
而M, N分别是三角形两边OA, OB 上的点, 且有 N b OM a , ON b , O p
例 已知三角形OAB, 其中OA a , OB b ,
1 x . 2
A
M
B
N
C
例 梯形ABCD中, AB yDC ,
中位线矢量
MN x( AB DC )
A M D
B N C
x?
1 x 2
为什么?
MN MA AB BN MN MD DC CN
结论成立。 情形2 r 与e1，e2都不共线，把它
O e1 E1 A 过P点分别做OE1,OE2的平行线, 交点分别为A,B.
们归结到共同的始点O，
E 2 e2
B
r
P
由图可知,（矢量加法的平行四边形 2 E e2 r 法则） r OA OB xe1 ye2 . O e E 1 1 再证充分性, 即已知 r xe1 ye2 . 求证 情形1 若x, y中有一个为0，比方说x 0， 那么r ye1，即r 与e2共线，因此 2 r 与e1，e2共面。 情形2 若x, y全不为0，
情形1
如果r 和e1 , e2 , e3之中任何两个矢量都不共面， 将矢量r 和e1 , e2 , e3归结到共同的始点O，并设 OEi ei , (i 1, 2,3), OP r .(如图) C
过P点做三个平面分别与平面
分别交直线OE1 , OE2 , OE3于A, B, C,
那么, 证毕. 例 如图, 四面体中,
e3
A
D
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
e1
e2
B
C
E , F 分别是棱AB, DC的中点,
试将矢量 EF表示成矢量e1 , e2 , e3的线性组合.
e3
D
e2
B
F
P1
C
利用前面的结论
所以
1 AP (e1 e2 e3 ), 1 4 1 AP2 (e1 e2 e3 ), 4 1 AP3 (e1 e2 e3 ), 4 AP AP2 AP3 1
B
P A
与 e , e 共面. r 1 2
由r xe1 ye2和平行四边形法则， 知道r 与xe1 , ye2共面, 而xe1 // e1 , 充分性得证. ye2 // e2 , 所以r 与e1 , e2共面.
最后证明x, y 的唯一性. 假定有另外的x/,
唯一性得证.
同理
可得
y y.
/
例
如图, 在ABC中, D为BC边上一点.
则 AD x AB y AC
A
当D为BC的中点时, x, y 各等 于多少?
1 1 x y ,即AD ( AB AC ) 2 2
为什么?
A
r
B
由前面的定理1.4.1可知 所以,
1
OA xe1 , OB ye2 , OC ze3
OP xe1 ye2 ze3
x, y, z满足
下面证明唯一性
如果有另外的实数
r xe1 ye2 ze3 xe1 ye2 ze3
/ / 使 r x e1 y e2 . / / x e1 y e2 xe1 ye2