8,多元函数的微分学-4

t
解
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z = ⋅ + ⋅ + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ t
= ve − u sin t + cos t
t
= e t cos t − e t sin t + cos t
= e (cos t − sin t ) + cos t .
t
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= f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) .
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可微， 由于所设函数 z = f (x , y ) 可微，故有
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∂f ∂f ∆z = ∆x + ∆y + α ρ , ∂x ∂y
其中α 是当ρ = (∆x)2 + (∆y)2 → 0时的无穷小.
中
u
x
y
中
y
x
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例3
具有二阶连续偏导数, 设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶连续偏导数,
∂w ∂ 2w 求 和 . ∂x ∂x∂z 解 令 u = x + y + z,
v = xyz ;
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v = f ( u, v ) + yz ⋅ f ( u, v ) = ⋅ + ⋅ u v ∂u ∂x ∂v ∂x ∂x
u z v w
x y
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特殊地 z = f ( u, x , y ), 其中 u = ϕ ( x , y ), 即
z = f (ϕ ( x , y ), x , y ). 令 v = x , w = y ,
∂v = 1, ∂x
z
u v w
t
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt 链式(导 法则 法则. 常称此公式为链式 导)法则.
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dz . 例 1 设 z = uv + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt
重点与难点
重点：多元函数的概念， 重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 多元复合函数的求导法则， 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 朗日条件极值求最大值应用问题， 导数与梯度。 导数与梯度。 难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。 难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。
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dz ∆z ∂z dx ∂z dy = lim = ⋅ + ⋅ . dt ∆t →0 ∆t ∂x dt ∂y dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
上式两边同除以 ∆ t ≠ 0, 得到
∂f ∆ x ∂ f ∆ y αρ ∆z . = ⋅ + ⋅ + ∂x ∆ t ∂y ∆t ∆t ∆t
根据所设x 根据所设 , y 对 t 可导性知 当 ∆ t → 0 时 ∆ x → 0 , ∆y → 0 .
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w = f ( x + y + z , xyz ), u = x + y + z,
v = xyz
∂ ∂ = [ f u ( u, v )] + [ yz ⋅ f v ( u, v )] ∂z ∂z ∂ ∂u ∂ ∂v = [ f u ( u, v )] ⋅ + [ f u ( u, v )] ⋅ ∂u ∂ z ∂v ∂z ∂u ∂ ∂v ∂ + y ⋅ f v ( u, v ) + yz [ f v ( u, v )] ⋅ + [ f v ( u, v )] ⋅ ∂z ∂v ∂z ∂u = f uu ( u, v ) + xy ⋅ f uv ( u, v ) = f uu ( u, v ) + y( x + z ) ⋅ f uv ( u, v ) + xy 2 z ⋅ f vv ( u, v ) + y ⋅ f v ( u, v ).
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多 元函数的情况： 元函数的情况：
z = f (ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )).
如 果 u = ϕ ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z = f ( u, v )在对应点 ( u, v )具有连续偏 的偏导数， 导数， 导数，则复合函数 z = f (ϕ ( x , y ),ψ ( x , y )) 在对应点 的两个偏导数存在， ( x , y ) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区 别 类 似
∂z ∂ f ∂u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂ u ∂x ∂ x
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂y ∂ u ∂ y ∂y
z = f (u, x , y )
z = f (ϕ ( x , y ), x , y )
中
∂w ∂ 2w . 求 和 ∂x ∂x∂z
解 ( 标准约定的写法 )
∂ ∂ ∂w ∂ 2w = ( ) = ( f 1′ + yz ⋅ f 2′ ) ∂z x∂ ∂ x∂ z ∂ z ∂ x ∂ ∂ = ( f 1′ ) + ( yz ⋅ f 2′ ) ∂z ∂z
∂w = f 1′ + yz ⋅ f 2′ ; ∂x
§8.4 复合函数的微分法
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一、复合函数的求导法则 定理1 可微, 定理 设 z = f (x , y) 可微 且 x = ϕ (t ), y = ψ (t ) 可导, 可导, 对 t 可导 则复合函数 z = f (ϕ (t ), ψ (t )) 对 t 可导 且
+
y
∂z ∂v ⋅ ∂v ∂x
u
z
v
∂z ∂z ∂u = ⋅ ∂y ∂u ∂y
x ( 视为常数 )
+
∂z ∂v ⋅ . ∂v ∂y
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∂z ∂z 哈 例 2 设 z = e sin v , u = xy , v = x + y , 求 . 和 ∂x ∂y 尔
= f u ( x + y + z, xyz) + yz ⋅ f v ( x + y + z, xyz) ;
∂ 2w ∂ ∂w ∂ = ( ) = [ f u ( u, v ) + yz ⋅ f v ( u, v )] ∂z ∂x∂z ∂z ∂x
∂ ∂ = [ f u ( u, v )] + [ yz ⋅ f v ( u, v )] ∂z ∂z －理学院工科数学教学中心－ 理学院工科数学教学中心－
′′ ′′ ′′ ′′ = f 11 + xy ⋅ f 12 + y ⋅ f 2′ + yz ( f 21 + xyf 22
)
′′ ′′ ′′ = f 11 + y( x + z ) f 12 + xy 2 z ⋅ f 22 + y ⋅ f 2′ .
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( 合并成一个)
+ y ⋅ f v ( u, v ) + yz ⋅ [ f vu ( u, v ) + xy ⋅ f vv ( u, v )]
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例3
具有二阶连续偏导数, 设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶连续偏导数
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练１
y 设z = f ( x y , ), f 具有连续的二阶偏导数 , x ∂z ∂ 2 z . 求 , ∂x ∂y∂x
2
y 解 记 z = f ( u, v ), 其中, u = x y , v = x y ∂z 则 = f u′ ⋅ u′ + f v′ ⋅ v ′ = f u′ ⋅ 2 xy + f v′ ⋅ ( − 2 ) x x x ∂x
= e xy ( x sin( x + y ) + cos( x + y )).
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类似地再推广， 类似地再推广，设 u = ϕ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、 w = w( x , y ) 的偏导数， 都在点( x , y ) 处具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2
1 ∂2z = 2 x ( y f u′ )′y − 2 ( y f v′ )′y x ∂ y∂ x
y = 2 xy f u′ − 院工科数学教学中心－
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