2014届高三数学(文)一轮总复习同角三角函数的基本关系式与诱导公式

2
sin α+cos α=0 故 tan
sin α= cos
sin
=-1.
α=-cos α,
法二 等式 sin α-cos α=
2 两边平方,得
1 sin αcos α=- , 2 sin cos 1 ∴ =2 2 sin cos 2 tan 1 =- ,∴tan α=-1.故选 A. 2 tan 1 2
变式训练 2 1:设 f(α )=
2 sin(π ) cos(π - ) cos(π ) 3π 2 2 π 1 sin cos sin 2 2
(1+2sin α
23 π ≠0),则 f = 6
(1+2sin α ≠0),
23π ∴f = 6
1 = 23 tan π 6
=
1
1
π π tan 4 π tan 6 6
答案:
=
3.
3
诱导公式在三角形中的应用
【例 3】 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=sin(π -B),
(3)消去 B 后如何求得 A?(求出 A 的某个三角函 数值即可求得 A 的大小)
sin A 2 sin B ① 解:由已知得 3 cos A 2 cos B ②
① +② 得 sin A+3cos A=2,
2 2 2 2
∴1-cos A+3cos A=2, ∴2cos A=1,
π 含义;再就是将α“看成”锐角,然后分析 ·k± 2 α(k Z)为第几象限角,再判断公式左边这个三角
函数(原函数)在此象限是正还是负,也就是公式右 边的符号.
同角三角函数的基本关系
sin 3 cos 【例 1】(1)(2012 潍坊模拟)已 3 cos sin
则 sin α -sin α cos α 的值是(
αபைடு நூலகம்
解析:根据诱导公式 sin(π+α)=-sin α,得 sin
1 α= , 2
π 又α∈ ，π , 2
故 cos α=-
1 sin
2
=-
3 2
.
答案:-
3 2
1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin α +cos α =1; (2)商数关系 tan α
2 2
第 节 同角三角函数的 基本关系式与诱导公式
基础自主梳理 考向互动探究
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式: sin x+cos x=1,
2 2
π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α 2
π ±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
sin x cos x
=tan x. ,
1.(2012 年高考辽宁卷)已知 sin α -cos α = α
=4,
=4,∴sin
1 2θ= .故选 D. 2
sin 3 cos (2) sin cos
答案:(1)D
tan 3 = tan 1
1 =- . 3
1 (2)3
诱导公式
【例 2】 (1)(2012 皖南八校联考)已知
π 3 cos = 6 3
3 π -cos =3 6
,
(2)∵cos(α -7π )=cos(7π -α )=cos(π -α )=
3 -cos α =- , 5 3 ∴cos α = . 5
∴sin(3π +α
7 )·tan π = 2
7 =sin α ·tan π = sin(π +α )· tan π 2 2
1 α) = , 25 12 α=, 25
2
∵α (0,π),∴sin α>0,cos α<0,
∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α =
sin cos
2
=
1 2 sin cos
=
7 . 5
法二 ∵α (0,π),
4 1 sin cos , 得 sin 5 , ∴由 5 sin 2 cos2 1 cos 3 . 5
.
(2 sin )( cos ) cos 解析:∵f(α )= 2 2 1 sin sin cos
2 sin cos cos cos (1 2 sin ) = = = 2 sin (1 2 sin ) 2 sin sin 1 tan
sin = cos
.
2. 诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆 规律 一 2kπ+ α( Z ) k si α n cosα t α an 二 π+α -si α n -cosα t α an 三 -α -si α n cosα -t α an 四 π-α si α n
-cosα
2,

(0,π ),则 tan α 等于( A
)
(A)-1
(B)-
2 2
(C)
2 2
(D)1
解析:法一 将等式 sin α-cos α= 方,得 2sin αcos α=-1,
2 两边平
2
整理得 1+2sin αcos α=0 sin α+cos α+
2
2sin αcos α=0 (sin α+cos α) =0
2 2
cos 1 cos α= = 等. 2 2 2 sin cos tan 1
2
2
1 cos
2
,sin α=cos α·tan α,
变式训练 1 1:(1)(2012 年高考江西卷)若 tan θ
1 + tan 1 (A) 5
=4,则 sin 2θ 等于(
)
1 (B) 4
π π π 解析: si =si = n n 4 4 2
π 2 cos = . 故选 A . 4 3
4.若 sin(π+α)== .
1 π ,α∈ ，π ,则 cos 2 2
五
六
π -α 2
cosα si α n
π +α 2
cosα
-si nα
-t α an
函数名不变 符号看象限 奇变偶不变, 符号看象限
函数名改变 符号看象限
质疑探究:怎样理解诱导公式的口诀:奇变偶不变, 符号看象限? 提示:诱导公式的左边为 π ·k±α(k Z)的正弦或 2 余弦函数,当 k 为奇数时,右边的函数名称与左边的 函数名称不同(即正弦变余弦、余弦变正弦),即谓 “变”;当 k 为偶数时,右边的函数名称与左边函数 名称相同,即谓“不变”,这就是“奇变偶不变”的
2 2 2 2
1 1 = + sin cos
π 5π =π , 解:(1)∵ + 6 6
5π π ∴ -α =π - . 6 6
π 5π =cos π - = ∴cos 6 6
(1)诱导公式在三角形中经常使用, 常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,
A 2
B C π + + = 等,于是可得 sin 2 2 2
C A B =sin 2 2
等;
(A+B)=
sin C,cos
(2)求角时,通常是先求出该角的某一个三角 函数值,再结合其范围,确定该角的大小.
sin cos =sin θ + +cos θ + cos sin
cos sin + cos = sin sin cos
2 2
sin cos cos sin = + sin cos
2
2
2
即 cos A=
2 2
或 cos A=-
2 2
.
当 cos A= 的内角,
2 2
时,cos B=
3 2
,又 A、B 是三角形
π π ∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π-(A+B)= π. 12
当 cos A=-
2 2
时,cos B=-
3 2
.
又 A、B 是三角形的内角,
3 5 ∴A= π,B= π,不合题意. 4 6 π 7 π 综上可知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12
π sin 2 =sin α · cos =cos α = 3 . sin α · sin 5 π cos 2
运用诱导公式进行三角函数式 的化简与求值时,一定要根据题中角之间 的关系,选择恰当的诱导公式,同时注意角 的范围和三角函数值的符号.
2
=5,
)
2 (A) 5
(B)-
2 5
(C)-2
(D)2
(2)若 sin α +cos α -cos α 的值为
1 = ,α 5
.
(0,π ),则 sin α
sin 3 cos 解析:(1)由 3 cos sin
∴tan α=2. ∴sin α-sin αcos α
2
tan 3 =5 知 =5, 3 tan
sin sin cos tan tan 2 = = = 2 2 2 sin cos tan 1 5