吉林省长春市2014届高三数学毕业班第一次调研测试试题 理

2014年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只1.【试题答案】【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B .2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B .3.【试题答案】A【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D . 5.【试题答案】C【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q ，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C . 6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫⎝⎛⊗-，1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

又由约束条件()⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥011y x a a y x 作出可行域如图，先画出x y -=，经平移至经过x y =和a y =的交点()a a A ,时，z 取得最大值，代入()a a A ,，即4m ax =+=a a z ，所以2=a ，故选A . 8.【试题答案】D【试题解析】A 选项，直线m 可能在平面α内；B 选项，如果直线n 不在平面β内，不能得到n α⊥；C 选项，直线l 与m 可能平行，可能异面，还可能相交；故选D .9.【试题答案】B=得0=⋅，又()0,a A ，()b B -,0，)0,(c F -则()b a ,=，()b c ,-=，所以有02=-ac b ，即022=--ac a c ，从而210ee --=解得251±=e ，又1>e ，所以251+=e ，故选B . 10.【试题答案】D【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉41球的表面积，再加上6个41圆面积，故2222294164414R R R R S ππππ=⋅+⋅-=，又球半径1=R ，29π=S ，故选D . 11.【试题答案】C【试题解析】不等式y x ≥表示的平面区域如图所示，函数)(x f 具有性质S ，则函 数图像必须完全分布在阴影区域① 和②部分，1)(-=xe xf 分布在区 域①和③内，)1ln()(+=x x f 分布 在区域②和④内，x x f sin )(=图像 分布在区域①和②内，x x f tan )(=在每个区域都有图像，故选C12.【试题答案】C【试题解析】验证01)0(>=f ，第11题图020131201215141312111)1(<--⋯⋯------=-f2012321)(x x x x x f +⋯⋯+-+-='易知0≤x 时，0)(>'x f ；0>x 时，()01111)(20132013>++=+--='xx xx x f所以0)(>'x f 在R 上恒成立，故)(x f 在R 上是增函数，又0)0()1(<⋅-f f ，∴)(x f 只有一个零点，记为1x ，则()0,11-∈x .同理可证明)(x g 也只有一个零点，记为2x ，且()2,12∈x .故)4()3()(-+=x g x f x F 有2个不同零点3x ，4x ,3x 即将1x 向左平移3个单位，4x 即将2x 向右平移4个单位，∴()3,43--∈x ，()6,54∈x ， 又函数)(x F 的零点均在区间[]b a ,内，且Z ,,∈<b a b a ，故当4-=a ，6=b 时，即a b - 的最小值为10)4(6=--，故选C第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13.【试题答案】215 【试题解析】()215931cos1202AB AD AB AB BD AB AB BD ⋅=⋅+=+⋅=+⨯⨯= .14.【试题答案】33【试题解析】设球半径R ，上下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则R OA =，由ππ1242=R ，得3==OA R ，又易得2=AM ，由勾股定理可知，1=OM ，所以2=MN ，即棱柱的高2=h ，22⨯=15.【试题答案】4024【试题解析】设圆1C 与圆2C 交于A ,B ，则直线AB 的方程为：()0224420132222=--+---+-y a x a y x y x y x n n ，化简得：()()0222013=-+--y a x a n n又圆2C 平分圆1C 的周长，则直线AB 过()2,21C ,代入AB 的方程得：42013=+-n n a a ,∴()()()100710062011220121201221a a a a a a a a a ++⋯⋯++++=+⋯⋯++402441006=⨯=.16.【试题答案】 ③【试题解析】[]()5.0sin 5.1-5.1sin )5.1(==f ，[]()5.0sin 5.15.1sin )5.1(=---=-f ，则)5.1()5.1(-=f f ，故①错。

[]()[]()[]())(sin 11sin 11sin )1(x f x x x x x x x f =-=--+=+-+=+，∴1=T ，故②错。

[]x x x g -=)(在[)1,+k k ()Z ∈k 是单调递增的周函数，知[)1,0)(∈x g ，故[)1sin ,0)(∈x f ，故③正确，易知④错。

综上，正确序号为③。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则2793125=+=-d a S S ，又31=a ，则2=d ，故12+=n a n . ……………………………………………6分 （2）由（1）可得n n S n 22+=，又212)1(8+=⋅++n n n a S S ， 即22)42(8)4()2(+=++n n n n ，化简得03242=-+n n ，解得4=n 或8-=n （舍），所以n 的值为4.……………………………………12分 18.【试题解析】（1）=)(x f m n m ⋅+)(232sin 2322cos 123cos sin 3cos 2+++=++=x x x x x 262sin 22sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x …………4分 因为2=ω，所以最小正周期ππ==22T . ……………………6分 （2）由（1）知262sin )(+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，67626πππ≤+≤x .由正弦函数图象可知，当262ππ=+x 时，)(x f 取得最大值3，又A 为锐角所以6,262πππ==+A A . ……………………8分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得6cos32312π⨯⨯⨯-+=b b ，所以1=b 或2=b经检验均符合题意. ……………………10分 从而当1=b 时，△ABC 的面积436sin 1321=⨯⨯⨯=πS ；……………11分 236sin 2321=⨯⨯⨯=πS . ……………………12分19.【试题解析】（1）连结1AD 交D A 1于F ， ∵四边形D D AA 11为正方形， ∴1AD ⊥D A 1，∵正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AD ，AD AE ⊥， ∴AE ⊥平面D D AA 11，又D A 1⊂平面D D AA 11∴AE ⊥D A 1，又1AD AE A =，∴⊥D A 1平面E AD 1，又E D 1⊂平面E AD 1，∴⊥D A 1E D 1.……………………………………………6分 （2）存在满足条件的332-=AM . 【解法一】假设存在满足条件的点M ，过点D 作 DN CM ⊥于点N ，连结1D N ，则1D N CM ⊥，所以1D ND ∠为二面角1D CM D --的平面角，……………………9分所以16D ND π∠=，F ABC D EA 1D 1第19题图（1）AC A 1M第19题图（2）在1Rt D ND ∆中，11D D =所以DN = 又在Rt DNC ∆中，2CD AB ==，所以6NDC π∠=，∴ 6π=∠MCB ，在Rt MCB ∆中，336tan=⋅=πBC BM ，∴2AM =-． 故在线段AB 上存在一点M ，使得二面角1D CM D --为6π，且2AM =. ………………………………………12分 【解法二】依题意，以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为22==AD AB ，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()1,0,01D ，()1,0,11A ，所以()1,0,01=DD ，()12,01-=，C D . 易知1DD 为平面MCD 的法向量，设()0,,1a M ()20≤≤a ，所以()0,2,1a --=,设平面MC D 1的法向量为()z y x n ,,= ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01n D n ，即()()()()⎩⎨⎧=--⋅=-⋅00,2,1,,01,2,0,,a z y x z y x ，所以⎩⎨⎧-==y a x yz )2(2，取1=y ，则()2,1,2a n -=，又二面角D MC D --1的大小为6π， 所以2221121)2(1|)2,1,2()10,0(|||||6cos++-⋅-⋅=⋅=a a n DD ，π，即0111232=+-a a ，解得332±=a . 又因为20≤≤a ，所以332-=a . 故在线段AB 上是存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6π，且332-=AM .……………………………………………12分y第19题图220.【试题解析】（1）设半焦距为c .由题意,AF AB 的中垂线方程分别为)2(2,2a x b a b y c a x -=--=， 于是圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b ac b c a 2,22.所以0222≤-+-=+b ac b c a q p ， 整理得02≤-+-ac b bc ab ， ……………………………………………4分 即0))((≤-+c b b a ，所以c b ≤，于是22c b ≤，即22222c c b a ≤+=. 所以21222≥=a c e ，即122<≤e . ……………………………………………6分 （2）当22=e 时，c b a 22==，此时椭圆的方程为122222=+cy c x ， 设()y x M ,，则c x c 22≤≤-， 所以()()21121212222-+-=+-=⋅+c x c x x . …………………8分 当22≥c 时，上式的最小值为212-c ，即27212=-c ，得2=c ；…………10分 当220<<c 时，上式的最小值为222)2(21c c c +-，即272)2(2122=+-c c c ， 解得4302+=c ，不合题意，舍去. 综上所述，椭圆的方程为14822=+y x . ……………………………………12分21.【试题解析】（1）由题意x a xx x F ln 1)(--=，其定义域为()∞+，0，则221)(x ax x x F +-='，2分 对于1)(2+-=ax x x m ，有42-=∆a .①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，∴)(x F 的单调增区间为),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x ∴)(x F 的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24,02a a 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,242a a ， )(x F 的单调减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--24,2422a a a a . 综上：当22≤≤-a 时，)(x F 的单调增区间为),0(+∞；当2>a 时，)(x F 的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24,02a a 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,242a a ， )(x F 的单调减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--24,2422a a a a . ………6分 （2）对x a xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(xax x x a x x h ++=++='， 由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， ………8分 ∴121x x =，从而有111x x a --= 1111111()ln ln 2ln H x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----+--=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，……10分 ()()22ln 112ln 112)(x x x x x x x H +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='. 当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 时，0)(<'x H ，∴)(x H 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单调递减， 又)()()1()()(21111x h x h x h x h x H -=-=， ∴[]32ln 5)21()()(m in 21-==-H x h x h . ………………12分 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【试题解析】 (1) 由题意知，AB 与圆D 和圆O 相切，切点分别为A 和B ，由切割线定理有：22EB EC EF EA =⋅=所以EA EB =，即E 为AB 的中点.…5分(2)由BC 为圆O 的直径，易得CE BF ⊥ ， ∴BE CB CE BF S BEC ⋅=⋅=2121△， ∴CE CB BE BF = ∴a BF 55=. ………10分 23. 【试题解析】（1）直线l 的参数方程1cos 35sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 235211（t 为参数）由题知C 点的直角坐标为()4,0，圆C 半径为4，∴圆C 方程为16)4(22=-+y x 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得圆C 极坐标方程 8sin ρθ= ………5分（2）由题意得，直线l 的普通方程为0353=---y x ，圆心C 到l 的距离为42392354>+=---=d ，∴直线l 与圆C 相离. ………10分24. 【试题解析】（1）由4)(<x f ，即411<-++x x ，当1-≤x 时，则411<-+--x x ，得2->x ，∴12-≤<-x ；当11<<-x 时，则411<-++x x ，得42<，恒成立，∴ 11<<-x ； 当1≥x 时，则411<-++x x ，得2<x ，∴21<≤x ；综上，{}22|<<-=x x M . ………5分（2）当M b a ∈,时， 则22<<-a ，22<<-b .即：42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b∴()()04422>--b a ，即044162222>+--b a b a ，也就是22221644b a b a +<+，∴2222816484b a ab b ab a ++<++，即：()()22422ab b a +<+， 即ab b a +<+42. ………10分。