Strongart数学笔记：从单复变函数到多复变函数
Strongart数学笔记：通向组合交换代数Stanley_Reisner理论
通向组合交换代数Stanley-Reisner理论(2014-10-1513:53:18)Stanley-Reisner环（又称为面环（face ring））把代数拓扑中单纯复形与多项式的单项商环联系起来，可以说是一张通向组合交换代数的入场券，下面就来介绍一下关于它的基本内容。
先看Stanley-Reisner环的定义，设k是作为系数的交换环，给定任何一个顶点集为{v_1，…，v_n}的单纯复形Δ，Δ关于k的Stanley-Reisner环是指齐次k-代数：k[Δ]=k[x_1，…，x_n]/I_Δ其中I_Δ是由所有使得不属于Δ的单形（v_iv_j…v_k）所对应的单项式x_ix_j…x_k生成的理想，也称为Stanley-Reisner 理想。
即I_Δ={m；m∉Δ}这个定义的要点就是各顶点v_i对应原子单项式x_i，若干顶点构成的单形（v_iv_j…v_k）对应原子单项式的积x_ix_j…x_k.请注意，这里各原子单项式的下标都是不同的。
换句话说，生成Stanley-Reisner理想的各单项式都是平方自由的，即不含任何平方项因子。
反之，给定平方自由的单项理想I，我们也可以得到它的Stanley-Reisner环复形Δ_I={m；m∉I}可以证明它们满足这样的自反关系：I_(Δ_I)=I，Δ_(I_Δ)=Δ对于平方自由的单项理想m，n，有m整除n iff对应的单纯复形m∈n，由此说明它们的自然序关系是一致的。
对于Stanley-Reisner理想I_Δ，我们有如下公式：I_Δ=∩B_F其中F取遍Δ的所有极大面（facet），B_F是指由各不属于F 的v_i对应的X_i生成的理想。
这个结论实际上就是Stanley-Reisner理想的准素分解，对于平方自由的情形而言，被分解项可以取为极小素理想，后者正好是与各极大面相对应的。
由此我们的可以得到Stanley-Reisner环的维数计算公式：dim k[Δ]=dimΔ+1此外，我们还有Stanley-Reisner环的深度计算公式：depth k[Δ]=max{r；Δ的r维骨架是Cohen-Macaulay的}+1这个公式涉及下文中的Cohen-Macaulay复形，并不适合直接用来计算。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
复变函数笔记
1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想(Riemann Hypothesis):黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。
延拓的概念和例子：复变函数要点：（1）基本是三块：cauchy积分理论，weirstass级数理论，riemann映射理论？函数的局部与整体性质：复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815.10.31-1897.2.19）这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。
函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abel，Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．？退而求其次一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．？曲面的局部与整体性质：在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．（2）cauchy积分理论更多是方法性的东西，需要你了解解析函数到底是什么，什么是奇点，什么是单连通，复连通区域，区域有洞怎么积分,若尔当曲线的形态（3）级数部分的重点是极点（特殊的奇点），零点，留数，无穷原点的性质（转化成为零点）留数定理。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对复变函数的一些重要知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们来看一下复数的定义和性质。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。
复数可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
此外，复数还可以表示为极坐标形式z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
接下来，我们介绍复变函数的概念和性质。
复变函数是将复数域上的一个集合映射到另一个复数域上的函数，通常表示为f(z)。
复变函数可以进行加减乘除、求导、积分等运算，并且满足柯西—黎曼方程等一些重要的性质。
复变函数的导数也具有柯西—黎曼方程的性质，这是复变函数理论中的一个重要定理。
在复变函数中，解析函数是一个重要的概念。
解析函数是指在某个区域内可导的函数，并且在该区域内具有泰勒级数展开式。
解析函数具有许多重要的性质，比如在其定义域内是无穷次可微的，且导数也是解析函数。
解析函数在物理学、工程学、金融学等领域都有着广泛的应用。
复变函数中的积分也是一个重要的概念。
复变函数的积分可以分为定积分和不定积分两种。
定积分在复变函数中的计算通常采用路径积分的方法，而不定积分则可以通过换元法、分部积分法等方法进行计算。
复变函数的积分在物理学中有着重要的应用，比如在电磁学中的麦克斯韦方程中就包含了路径积分的概念。
最后，我们来看一下复变函数在实际应用中的一些例子。
复变函数在电路分析、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
比如在电路分析中，复变函数可以用来描述电路中的电压、电流等信号，从而进行电路的分析和设计。
在信号处理中，复变函数可以用来描述信号的频谱、相位等特性，从而进行信号的处理和分析。
Strongart数学笔记：代数数论入门指南
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。
复变函数简单总结
复变函数简单总结复变函数简单总结对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。
那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy （x，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）来表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
复变函数知识点总结pdf
复变函数知识点总结pdf复变函数知识点总结pdf是一份非常重要的文献，它涵盖了许多数学领域的知识点。
本文为大家详细说明了复变函数的一些重要知识点。
1.复变函数的基础知识在复变函数的学习中，首先要掌握的是复数和复平面的知识。
在笛卡尔平面中，复数可以表示为(x, y)，而在复平面中，复数可表示为z=x+yi，其中i为虚数单位，满足i²=-1。
2.复变函数的解析性复变函数一般表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u和v是实函数。
在复平面中，如果一个函数在某一点处可导，则称该函数在该点处解析。
如果一函数在某一点处不可导，则称其不解析。
解析性是使用复变函数求解各种问题的基础，令它的应用广泛。
3.单值函数和多值函数在实数域中，正弦函数和余弦函数在一个周期内是单值函数。
然而在复变函数中，正弦函数和余弦函数在复平面中是多值函数。
为了解决这一问题，引入了复平面上的分支点、导入复平面上的割缝等进行处理。
4.共形映射共形映射是指一个复变函数在整个复平面上都是单射的，它将直线保持为直线，并保持所谓的角的大小不变。
由于它具有这些性质，所以它常常被应用于储存在一种几何意义下的问题的解法中。
5.复积分复变函数中的复积分与实变函数中的有许多相似之处，但它们之间还是存在很多不同。
例如，由于复变函数是二维的，因此涉及到复平面环境，所以复盘積分必须遵循平凡的或把握组成元素的库题结构。
总的来说，复变函数的知识点繁多，需要日积月累的学习和积累，随着时间的推移，掌握复变函数的技能和知识将越来越重要。
以上就是本文章对于“复变函数知识点总结pdf”的总结，希望能够帮到大家。
80后天才Strongart自学数学的非常故事(100%的真实经历)
女士们先生们，我是Strongart。
记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。
现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。
其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。
到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。
在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。
此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。
记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。
那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。
后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。
幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。
刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。
特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。
直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。
记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
复变函数重要知识点总结
03 复变函数的级数与幂级数展开
幂级数展开
幂级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为一个无 穷级数。
幂级数展开在复变函数中具有广泛的应用，例如在求解微分方程、积分方 程以及研究函数的性质等方面。
幂级数展开的收敛性是一个重要的问题，它涉及到级数的收敛范围和条件 。
洛朗兹级数展开
01
勒让德函数
01
勒让德函数是一种在复数域上的特殊函数， 它经常用于解决物理和工程问题。
03
02
勒让德函数分为两种类型：P型和Q型，每 种类型都有其特定的定义和性质。
勒让德函数的定义基于勒让德方程，该方程 是一个二阶线性常微分方程。
04
勒让德函数具有一些重要的性质，如正交性 、积分表示、零点和无穷大行为等。
洛朗兹级数展开是复变函数的一种特殊形式的幂级数展 开，它在研究函数的奇异点和分支点等方面具有重要作 用。
02
洛朗兹级数展开可以用来求解某些具有特定性质的复数 函数的积分和微分方程。
03
洛朗兹级数展开的收敛性和奇异性是一个重要的研究课 题，它涉及到级数的收敛范围和条件以及函数的奇异性 。
欧拉公式与双曲函数
复变函数在物理中的应用
波动方程
复变函数用于描述波动现象，如 电磁波、声波等。波动方程的解 是复变函数，描述了波的传播和
变化。
电路分析
在电路分析中，电压和电流可以用 复变函数表示，从而简化计算和分 析。
量子力学
在量子力学中，波函数通常可以表 示为复变函数，描述微观粒子的状 态和行为。
复变函数在工程中的应用
欧拉公式是复变函数中的一个基本公 式，它将三角函数与复数运算联系起 来，从而将实数域上的三角函数扩展 到复数域上。
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家(Strongart)
感动中国2012：推荐一位自学成才的80后数学家（Strongart）你只要在google上搜索一下“自学数学”，就能够一篇非常感人的文章，它讲述了一位网名为Strongart的年轻数学家自学成才的故事，当年华罗庚、陈景润之类的感人事迹，又一次在我们身边出现了。
Strongart，真名不详，江苏苏州人，曾在一所比较破旧的学校上小学，得到了全国奥数竞赛二等奖，初中时他自学完高中数学，开始自学数学系的分析课程，但迫于升学压力，高中时只是断断续续学了点数分高代。
正如很多天才都不能适应机械化的考试那样，他第一次高考也没考上如意的大学，此后一年他主要还是自学数学，最后带着一点泛函分析与抽象代数的基础进入了一所二流大学。
大学时他学得是哲学专业，这是他的另一个兴趣所在，但很快就发现课堂上教授的东西太落后了，根本就不是他所希望的，因此基本上都是自己借图书馆的书学习。
四年下来他已经能够阅读一些英文原版文献，可是现实又一次对他开了个玩笑，最终他因为学分不够，就这样默默的离开了学校。
对于这一段经历，或许他在某个视频中的一段话颇能说明问题：当同学们还处在惊讶之中，还没来得及以崇拜的目光注视我的时候，我便已经离开了他们的视线。
离开学校后，他靠网购一些图书学习，逐渐也有了一些自己的成就。
他把自己的研学心得写进自己的新浪博客，目前点击已经超过两百万，同时还制作成PDF电子书供学友们下载，深受一些专业人士的好评。
在他小结的那些数学笔记中，抽象代数、微分几何、泛函分析只能算是基础部分，此外还包括调和分析、Banach空间结构、多复变函数论、纤维丛几何、环与模的Morita理论、代数K理论等高端内容。
一般的数学系研究生只要能够掌握其中的一部分，就已经算是比较优秀的了。
从2010年起，他开始录制数学视频讲座，目前第一期交换代数视频1-30已经完成，现在又开始教授泛函分析新课，其不看讲稿的脱口秀风格颇具大家风范。
他的视频不仅思路清晰内容丰富，还非常具有自己的个性特征，在讲述投射模时联系了代数K理论，在讲述内射模时联系了一般环论中的半单环，讲述张量积的时候则是对比了微分流形上的张量场，几乎每一讲都有这样的亮点出现。
Strongart数学笔记：与陶哲轩谈谈什么是好数学(送数学论文写作指导)
与陶哲轩谈谈什么是好数学(最近看到一篇评论好数学的文章，感觉说得相当有道理，可见作者也是一位有素养的数学牛人。
后来查了一下，原来文章就是数学家陶哲轩写的，也真是大家所见略同了啊！下面我就对陶哲轩的好数学补充一下实例，而且尽量都选用与自己有关的例子，毕竟Strongart 教授的很多数学思想正是属于这样的好数学啊！好的数学题解(比如在一个重要数学问题上的重大突破)答：这一点我还没有明确的结果，只不过偶尔能回答一些网友的问题。
好的数学技巧(比如对现有方法的精湛运用，或发展新的工具)答：这一点我也没有明确结果，对技巧之类的并不在行。
好的数学理论(比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择)答：Strongart教授独立提出Noether算子与Artin算子的概念，它与Fredholm一样可以作为I-T紧算子的推广，假若你没有学过标准的泛函分析理论，很可能以为这两个概念在泛函分析中本来就有的呢！好的数学洞察(比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、类比或主题的实现)答：比如Fredholm算子中闭值域的条件可以省略，这个尽管不是我先发现的，但我立刻就领会到它的意义，并且把它解释为忽略了有限维空间的同构，引入到自己的泛函分析视频当中。
好的数学发现(比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示)答：大约十年前我找到一个很初等的反例，就是三维欧式空间中异面直线的距离不满足度量空间的公理，这是因为度量空间是对点之间距离的抽象，并不是适合集合之间的距离。
好的数学应用(比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)答：对物理工程的应用我不太关心，但Strongart教授提出S-divisor，把代数几何中的除子推广了集合上，并且给出了模糊数学的解释。
好的数学展示(比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证)答：我的数学视频A Story of Limit就是典型，它小结了微积分中极限概念是如何一部部发展到范畴理论的。
Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结
Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结.doc 代数K理论的代数基础小结最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。
代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。
所谓环R的K0群，就是R上的f.g.(有限生成)投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。
这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K?K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。
一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel群的结构定理;另一个答案则是局部环(未必交换)，这可以通过推广Nakayama lemma来证明。
顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊～对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain(DD)，它是交换的遗传环，有着各种等价的描述:1)从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。
这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[?-5]就是PID但不是DD的典型例子。
2)从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。
3)从理想的角度来看:DD的分式理想构成群。
此等价于其任意(分式)理想均可逆。
4)从模的角度来看:DD的f.g.投射模是理想的直和。
注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。
此外，DD还有一些重要的性质:a)1+1/2的Noether性:理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一门重要学科，它涉及复数域上的函数理论及其应用。
复变函数的研究有助于解决许多实际问题，例如电磁学、流体力学和量子力学等领域中的问题。
本文将总结一些复变函数的基本知识点。
一、复数与复平面复数由实部和虚部组成，形如a + bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。
复数可以用复平面上的点表示，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数的加法和乘法遵循相应的规则，即复数加法满足交换律和结合律，复数乘法满足交换律和分配律。
二、复变函数的定义复变函数可以看作是从复数集合到复数集合的映射。
若f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy为自变量，u(x, y)和v(x, y)为实函数，则f(z)为复变函数。
其中，u(x, y)称为f(z)的实部，v(x, y)称为f(z)的虚部。
三、解析函数解析函数是复变函数中的重要概念。
如果一个复变函数在某个域内处处可微，并且导数连续，那么它被称为解析函数。
根据小柯西—黎曼方程，解析函数必须满足一定的条件，如实部和虚部的一阶偏导数必须满足哈密顿方程。
四、柯西—黎曼条件柯西—黎曼条件是复变函数解析性的重要判据。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，若f(z)在某个域内可导，则必须满足柯西—黎曼条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x五、共轭函数复变函数的共轭函数是指将函数的虚部取负得到的新函数。
共轭函数在许多问题的求解中起到重要的作用，例如求解共轭系数和计算实部虚部等。
六、积分与留数定理在复变函数中，积分的概念与实变函数存在差异。
复变函数的积分可以沿任意路径进行，且路径不同，积分结果可能不同。
留数定理是复变函数积分的重要定理之一，它将函数的留数与曲线上的积分联系在一起。
通过计算留数，我们可以简化复杂的积分运算。
七、级数展开在复变函数中，级数展开是一种常见的分析工具。
泰勒级数是最常用的级数展开形式，它可以将函数在某点展开为幂级数。
Strongart数学笔记：从单复变函数到多复变函数
从单复变函数到多复变函数复变函数论的高维推广似乎并不像实变函数论那样为人所熟知，但我想其基本思想应该是一致的：以单复变函数理论作为基础模型，看看哪些理论是可以自然推广的，哪些理论推广时会遇到困难，这样的困难只是因为高维运算过于繁琐呢，还是有本质性的因素使之不能成立，既然现有的理论不能够成立，那又会出现什么新的构造呢？一般而言，分析方面结论大都可以自然推广。
最基本的恐怕要数幂级数了，幂级数的收敛不仅有相应的命题推广，而且还是一种重要的讨论方法，在证明全纯域与全纯凸域等价的过程中起着基础性的作用。
此外还有Cauchy-Riemann equation，在多复变理论中，我们经常使用的是共轭导数为零的形式。
值得注意的是，在n维复空间中这样的方程有n^2个，这就暗示着在高维（即n＞1）复空间中对单复变几何理论至关重要的Riemann mapping theorem不再成立。
一旦涉及到几何，单复变理论的推广就会受到限制。
先来看最基本的几何图形，复变函数中的圆在多复变理论中有两种常见的对应物，一种是无差别对称的球，另一种则是融合了复结构的多圆盘。
当我们推广Cauchy integral formula时，原本的积分圆周就会自然转化为多圆盘。
值得注意的是，这里被积分的并不是多圆盘的边界，而只是其边界的一部分，被称为骨架，这是积（带边）流形的边界并不等于流形边界的积的一个自然实例。
幸运的是，利用Cauchy integral formula，我们可以得到与单复变理论中类似的Cauchy inequality、唯一性定理、最大模原理、（球或多圆盘上的）Schwarz lemma等重要定理，而由Schwarz lemma可以证明高维球与多圆盘并不是双全纯等价的，因此高维Riemann mapping theorem不成立。
利用Cauchy integral formula，我们还可以通过积分定义全纯函数，这也是可以推广至多复分析的常用技术。
Strongart数学笔记：微分几何部分的学习小结
微分几何部分的学习小结最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完了。
尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。
书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。
先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gauss law，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致解释。
最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。
既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。
作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。
在此观点的影响下，作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。
作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。
很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。
但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。
复变函数知识点梳理
复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。
和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。
第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
完整word版,《复变函数》重点难点
重点难点第一篇 复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如i x y +的数为复数，记作i z x y =+.其中x 、y 分别称为复数z 的实部、虚部，记作()Re x z=，()Im y z =，i 称为虚数单位，它满足2i 1=-.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数i z x y =+可以用平面上起点在()0,0O ，终点在(),P x y的矢量（或向量）OP u u u r 表示；（2）代数表示：对于平面上的点(),P x y可用代数形式i z x y =+表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当i 0z x y =+≠时，复数可用三角函数()cos isin z r θθ=+形式表示.其中r z ==称为复数z 的模；=Arg arg 2z z k θπ=+（k 取整数）称为z 的辐角.当0k =时，对应于辐角的主值0arg z θ=，在本书中规定为πarg πz -<≤； 3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.（2）若()1111cos isin z r θθ=+，()2222cos isin z r θθ=+，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦()20z ≠（3）方根：设()cos isin z r θθ=+，则()()2π2πcos isink k nnθθ++⎤=+⎥⎦ 0,1,2,,1k n =-L关于复数的模和辐角有以下运算公式1212z z z z =；1122z z z z =()20z ≠ ()1212Arg Arg Arg z z z z =+4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D ：(i) 全由内点组成；(ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D 称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数 极限与连续函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 的极限等价于两个二元实函数(),u u x y =和(),x y =v v 的极限.函数()()(),i ,f z u x y x y =+v 在点000i z x y =+处的连续性等价于两个二元实函数(),u x y 和(),x y v 在该点的连续性.解题思路:例 研究什么原像通过映射2z =w 后变为相互垂直的直线,, (,0)u a b a b ==>v .【解】 由2222(i )i2z x y x y xy ==+=-+w ，可以视为从xy 平面到u v 平面的映射，即为从z 平面(原像)到w 平面（像）的映射，易得22,2u x y xy =-=v我们具体考察在w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到22, 2, (,0)u x y a xy b a b =-==>v =即有22,(0)x y a a -=> 显然原像为双曲线，如图1.11(a )实线所示； 即有 2, (0)xy b b =>v = 显然原像为双曲线，如图1.11(a )虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.1.11(a )的双曲线右分支实线上时，由u a =且2xy =v ，得到，2=v .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：,2u a ==v()y -∞<<∞很明显，当点(,)x y 沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b )沿直线u a =向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为, 2u a ==-v )(∞<<-∞y 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线u a=向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线0>图1.112xy b = (0)b >映像到直线b =v .变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章 解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab ，Mathcad ，Mathmatic ）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：()()()limz f z z f z f z z ∆→+∆-'=∆微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，d ()()d f z f z z '=.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若()f z 在0z 及其一个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R 方程）.函数()i f z u =+v 在区域D 内解析,u ⇔v 在D 内可微，且满足C-R 条件：,x y x yu u ==-v v .4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数(2) 若已知导数存在，可以利用公式()i i i i x x y y x y y xf z u u u u '=+=-=-=+v v v v求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D 内的解析函数()(,)i (,)f z u x y x y =+v 的实部和虚部都是D 内的调和函数.要想使得()i f z u =+v 在区域D 内解析，u 和v 还必须满足C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路例 已知 等势线的方程为22x y c +=，求复势. 【解】若设22u x y =+，则2, 2 0xx yy xx yy u u u u ==∴+≠，故u 不是调和函数.因而不能构建为复势的实部（或虚部）.若令 222,()x y u F ρρ=+=，采用极坐标有0uϕ∂=∂，故把极坐标系中的拉普拉斯方程 22211()0u u u ρρρρρϕ∂∂∂∆=+=∂∂∂简化为1()0uρρρρ∂∂=∂∂，即为112,ln uC u C C ρρρ∂=∴=+∂根据极坐标C-R 条件的得到 113,u C C ρϕϕρ∂∂==∴+∂∂v v =C ，故复势为1213123123()ln i i (ln i )i ln , (i )f z C C C C C C C C z C C C C ρϕρϕ=+++=+++=+=+我们可以总结出，当,u v 具有22()nx y ±+的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章 复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理−−柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式−−柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。
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从单复变函数到多复变函数
复变函数论的高维推广似乎并不像实变函数论那样为人所熟知，但我想其基本思想应该是一致的：以单复变函数理论作为基础模型，看看哪些理论是可以自然推广的，哪些理论推广时会遇到困难，这样的困难只是因为高维运算过于繁琐呢，还是有本质性的因素使之不能成立，既然现有的理论不能够成立，那又会出现什么新的构造呢？
一般而言，分析方面结论大都可以自然推广。
最基本的恐怕要数幂级数了，幂级数的收敛不仅有相应的命题推广，而且还是一种重要的讨论方法，在证明全纯域与全纯凸域等价的过程中起着基础性的作用。
此外还有Cauchy-Riemann equation，在多复变理论中，我们经常使用的是共轭导数为零的形式。
值得注意的是，在n维复空间中这样的方程有n^2个，这就暗示着在高维（即n＞1）复空间中对单复变几何理论至关重要的Riemann mapping theorem不再成立。
一旦涉及到几何，单复变理论的推广就会受到限制。
先来看最基本的几何图形，复变函数中的圆在多复变理论中有两种常见的对应物，一种是无差别对称的球，另一种则是融合了复结构的多圆盘。
当我们推广Cauchy integral formula时，原本的积分圆周就会自然转化为多圆盘。
值得注意的是，这里被积分的并不是多圆盘的边界，而只是其边界的一部分，被称为骨架，这是积（带边）流形的边界并不
等于流形边界的积的一个自然实例。
幸运的是，利用Cauchy integral formula，我们可以得到与单复变理论中类似的Cauchy inequality、唯一性定理、最大模原理、（球或多圆盘上的）Schwarz lemma等重要定理，而由Schwarz lemma可以证明高维球与多圆盘并不是双全纯等价的，因此高维Riemann mapping theorem不成立。
利用Cauchy integral formula，我们还可以通过积分定义全纯函数，这也是可以推广至多复分析的常用技术。
它的一个成果就是可以轻松得到连续性假设下的Hartogs theorem，更精密的分析证明了这里的连续性假设是可以省略的，n元复函数全纯iff其各分量全纯，这就是多复变理论中著名的Hartogs theorem.与之相关的一个现象就是所谓的Hartogs phenomenon，它是说高维全纯函数不存在孤立奇点。
考虑零点的情形（仅差一个倒数而已），这个结论也不难理解，n维（复）空间中的一个（复）方程的零点通常是n-1维的，只有在n=1的情形时才会出现孤立点！
在高维复空间中，并不是任意一点都可以作为全纯函数的零点，因此我们考虑怎样区域边界恰好能作为零点集，于是便得到所谓全纯域的概念，它可定义为某个全纯函数的极大定义域（沙巴特的《复分析导论第2卷：多复变函数》中还强调要排除多值性，这里暂时不考虑那么精致）。
然而，零点的思想方法还是被保留了下来，得到所谓边界上的障碍（无界点）判据：边界上存在稠密障碍的区域必为全纯域。
在一维情形中，任意点w都可以作为障碍（考虑f（z）=1/（z-w）），
因此任意区域都是全纯域，可见全纯域只有高维复空间中才有其价值。
利用这里的障碍判据，还可以证明欧式凸域比为全纯域，但反之如何呢？
这里处理欧式凸域需要一个视角转化，把欧式凸域视为线性凸包。
对此转化其重要作用是单复变理论中的Runge theorem，它暗示着多项式凸包的概念。
因此，我们完全可以仿照定义全纯凸包，它要弱于前两种凸包。
还是沙巴特的那本书中给了个非常有趣的直观解释：区域多项式凸包填满了内部的“洞”，而欧式凸包则进一步填满了边界的“坑”。
借助于幂级数的讨论，可以得到全纯凸性的同步延拓引理：在多圆盘度量的意义上可延拓紧集的全纯凸包也是可延拓的。
全纯凸包等于自身的区域称为全纯凸域，先用全纯凸域在内部穷竭，再构造收敛幂级数可以证明全纯凸域必为全纯域；而利用同步延拓引理则可以证明全纯域必为全纯凸域，也就是说全纯域与全纯凸域这两者是等价的。
还有一个与全纯域等价的概念称为伪凸域。
它的一个优点就是可以局部判定，伪凸域等价于局部伪凸域，这与全纯域的边界障碍不谋而合。
伪凸域的一个动机是实空间中可微函数的凸性判定，即对边界（二阶）光滑的区域而言，它是欧式凸域等价于其定义函数的Hessian 限制在切平面上半正定。
类似推广到复Hessian与全纯切空间就得到了边界光滑情形的伪凸域，这里的Hessian则密切联系着多次调和函数的概念，后者的均值不等式性质是讨论的重要工具。
这里最关键的函数是-ln d（Z），其中d（Z）是复空间中点Z到区域的距离，这个
函数对于全纯域是多次调和函数，而当它是多次调和函数时，又等价于局部的伪凸性。
然而，我们还需要去掉边界光滑的限制，为此定义伪凸域是可被多次调和函数穷竭的。
事实上，这里的多次调和函数还可以被光滑化与严格化，加强为光滑的强多次调和函数，甚至还能再要求其Hessian 在对角线上有给定的下界，这一点在证明Levi conjecture时是非常有用的。
显然，只要在上述-ln d（Z）稍加修改，补充一下相应平凡的情形，就可以使其定义的伪凸域与光滑情形一致。
对于全纯域的情形也有类似处理，这样就得到全纯域必为伪凸域的结论，而伪凸域是否一定为全纯域就是所谓的Levi conjecture.在Levi conjecture 的证明中，其中间环节就是复微分形式共轭导数方程的可解性，用同调论的语言来说就是其Dolbeault homology group H（p,q）=0，q≥1，在其证明中L^2不等式估计是非常关键的，但其中有不少繁琐的计算，因此我就不再继续详述了。
最后稍微说明一下，对高维复空间中特例的理解，实际上有一个认识在先与逻辑在先的差异。
一般人总先学单复分析，然后再进入高维理论的，因此以前的观点忽然改变，总是觉得不容易接受。
但要是先接受n维理论甚至于复流形，然后再考虑n=1的特例，很多类似问题就自然而然呈现出来了，大概这也算是未来复分析教材的一个改革方向。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。
然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。
这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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