导数公式表、导数的四则运算法则、导数的几何意义
(完整版)导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
导数的概念、运算及几何意义
导数的概率、运算以及几何意义 １．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x +∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x =【例1】 平均变化率与瞬时变化率⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1()f x x=⑤()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x =④1()f x x=⑤()f x 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，提高班学案1【拓1】 求函数3()2f x x x =-在[]11x +∆，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．尖子班学案1【拓2】已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．导数的运算1.常用函数的推导过程如下：()()00lim lim 0x x f x x f x C CC xx ∆→∆→+∆--'===∆∆；()()()00lim lim 1x x f x x f x x x xx x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；()()()()()222000lim lim lim 22x x x f x x f x x x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆； ()()()2000111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭；()()limlimlim x x x f x x f x x∆→∆→∆→+∆-'====∆2．基本初等函数的导数公式⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=；⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=； ⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-3．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数： (()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；[()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥（()0g x ≠） 考点2： 导数的运算【例2】导数的运算⑴ 求下列函数的导数①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x = ⑵ 求下列函数的导数①3cos y x x =+ ②()231e x y x x =-+ ③e sin x y x =④ln xy x=⑤()tan f x x = ⑶ 求下列函数的导数① ()2211f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭②)11y ⎫=-⎪⎭③()sin cos 22x xf x x =-考点3： 导数的几何意义【例3】 导数等于切线斜率⑴ 如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f '=．⑵ 如图，曲线()y f x =在点(2(2))M f ，处的切线方程是23y x =-，(2)(2)f f '+=．⑶ 函数sin y x =的图象上一点π3⎛ ⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A ．1 BCD ．12⑷ 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为2，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为．考点突破，作业训练1.1ln 3sin )2();12)(43(222+=+-=x xx x y x x x y ）；（2.已知曲线34313+=x y （1）求曲线在点p(2,4)处的切线方程（2）求曲线过点p(2,4)的切线方程 （3）求斜率为1的曲线的切线方程3.已知函数），的图像在点（)1(11)(3f x ax x f ++=处的切线过点（2,7），则=a4.已知函数)1(,ln )1(2)(),()('''f x xf x f x f x f 则且满足的导函数为+=。
高中导数知识点总结大全
高中导数知识点总结大全目录高中导数知识点总结高中数学的学习方法如何提升高中数学成绩高中导数知识点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a 即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数的概念与导数运算考点及题型全归纳
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
导数的基本公式及四则运算法则
导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则 之一，它指出两个函数的导数的差等于 它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处 可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一 个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该 函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛 应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数 的最大值或最小值。在经济学、工程技术和 科学研究等领域中，求解最大值和最小值问 题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数 ，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题 等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变 化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益 ；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。
基本初等函数的导数公式及四则运算
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
导数的定义与几何意义例题和知识点总结
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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栏目索引
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数四则运算法则
意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数．因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u (x )v (x ) u (x )v (x ).
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) u2(x) .
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
第三章 函数的微分学
第二节 导数的四则运算法则
一、导数的四则运算 二、偏导数的求法
一、导数的四则运算
定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，
则它们的和、差、积与商 v(x) (u(x) 0) u(x)
在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
另外可求得
(arcsin x) 1 , 1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
,
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
(以后补证)
一、偏导数的求法
例 6 求 函 zx数 23x y2y3 在点 (2 , 1) 处
导数的几何意义及四则运算
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
11
§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.
导数概念及几何意义意义-2023届高三数学二轮复习讲义
目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义(精讲)(解析版)
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义【考纲要求】1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如()f ax b +)的导数）.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.【知识清单】知识点1．导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数 称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识点3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【考点梳理】考点一：导数的概念【典例1】一质点运动的方程为283s t =-. （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-. 【解析】（1）∵283s t =- ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt -3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00limlim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆求导法：质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.【规律方法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()limx yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数 【变式探究】 若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为0000()()()lim3h f x h f x f x h→+-'==-，所以00000000()(3)()()[(3)()]limlimh h f x h f x h f x h f x f x h f x h h→→+--+----= 0000000000030()()(3)()()()(3)()limlim lim 3lim3h h h h f x h f x f x h f x f x h f x f x h f x h h h h→→→-→+---+---=-=+- 000()3()4()12f x f x f x '''=+==-，选B ；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为0000()()()lim3h f x h f x f x h→+-'==-，所以0000000()(3)()(3)lim4lim 4'()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-（其中：00()(3)4x h x h h +--=），故选B.考点二： 导数的计算【典例2】（2020·全国高考真题（文））设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．3-12-9-6-【答案】1 【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【典例3】（2018年天津卷文）已知函数f (x )=e x ln x ，为f (x )的导函数，则的值为__________．【答案】e【规律方法】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 【变式探究】1.（2018届北京市人大附中十月月考）已知函数()πcos sin ,6f x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 【答案】1【解析】由题得()166666262f x f sinx cosx f f sin cos f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'所以3266f f ππ⎛⎫⎛⎫=∴=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，所以11sin 1636622f πππ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，故填1. 2（2018届陕西省咸阳市三模）已知三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则f′(0)f′(1)=__________．【答案】1. 【解析】f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由f(x)的图象知f′(x)=3ax 2+2bx +c =3a(x +1)(x −2)，∴f′(0)=−6a ，f′(1)=−6a ， ∴f′(0)f′(1)=1， 故答案为1. 【总结提升】(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 考点三 求曲线的切线方程【典例4】（2020·全国高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【典例5】（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【典例6】（2019·天津高考模拟（文））曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________. 【答案】12 【解析】由题意可得：()2f'39x x x =+,∴()f'13912=+= ∴曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为12， 故答案为：12 【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程． 【变式探究】1.（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．2.（2019·天津高考真题（文）） 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=。
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用1.常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =- ()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x= 1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦. 2.导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=-.3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.4.可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数； 若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f '（x ）.（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.函数的极值、最值及应用3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5.求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.。
导数的四则运算
( 2) Sn [ Pn ( x )]
n(1 n) x n1 2( n2 1) x n n( n 1) x n1 2 . 3 (1 x )
例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都 是l的方程.
即:
y ( uv ) u v u v .
(轮流求导之和)
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
即:
(Cu ) C u .
小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函 数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些 公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数, 而不必从导数定义出发了.
• 例1 •
(1) y=(2+x)(3-x)
(2)y=(2x2+3)(3x-2)
课本p119 练习
• 例２ :求下列函数的导数
导数的基本公式与运算法则(1)
u ( x x)v( x) u ( x)v( x x) lim x 0 v( x x)v( x)x
[u ( x x) u ( x)]v( x) u ( x)[v( x x) v( x)] lim x 0 v( x x)v( x)x u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) v( x) u ( x) x x lim x 0 v( x x)v( x)
i 1
n
( x) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n f i( x ) f k ( x );
C f ( x) (4) [ ] C ; 2 f ( x) [ f ( x)]
i 1k 1 k i n n
例题分析
例： 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 2 解 y 3 x 4 x cos x. 例： 求 y sin 2 x ln x 的导数 . 解
注意: [u( x) v( x)] u( x) v( x);
u( x ) u ( x ) [ ] . v( x ) v ( x )
证(1)：
[u ( x) v( x)]
[u ( x x) v( x x)] [u ( x) பைடு நூலகம்v( x)] lim x 0 x
1 x
1 (loga x) log a e x
(ln x)
二、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
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题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重 新组合，达到巩固知识、提升能力的目的. 【知识要点】 1．几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x
2
导函数 f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 导函数 y′＝____ y′＝______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______
【巩固练习】 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于 ( ) x x A．－2e cos x B．－2e sin x
C．2exsin x )
D．－2ex(sin x＋c－1，－1)处的切线方程为( x＋2
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 3 2 3．已知 f(x)＝ax ＋3x ＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值是( ) 19 A． 3 16 B． 3 13 C． 3
1 f(x)＝ x f(x)＝ x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 y＝c y＝x (n∈N＋) y＝sin x y＝cos x y＝a (a>0，a≠1) y＝e
x x n
y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 3. 导数的运算法则 设两个可导函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的 和的导数
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D．y＝－2x＋2 10 D． 3
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1 4．已知 f(x)＝ x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝_______ 3 5．已知曲线 f(x)＝2x2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为 ( A．4 B．16 C．8 D．2 ) )
6．若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则 ( A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
济南市长清中学 高二数学（理科）导学案
编号：X2-2-1 课型：新授课 编制人： 李震 审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名： 课题：导数公式表、导数的四则运算法则、导数的几何意义 【学习要求】 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 2．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 3．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 4．理解导数的几何意义．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【学法指导】 1．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公 式之间的联系． 2. 应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问 个性笔记
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跟踪训练 2 已知曲线 y＝2x2－7，求： （1）曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? （2）曲线过点 P(3,9)的切线方程．
探究点三 导数的应用 例 3（1）曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_______________ （2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在第二象限内，已知 曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为________ （3）已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝ 3 s 时物体的瞬时速度． t－1 ＋2t2(位移单位： m ，时间单位：s)，求 t＝ t2
[f(x)＋g(x)]′＝________________
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两个函数的 差的导数 两个函数的 积的导数 两个函数的 商的导数 4.导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的 就是说，曲线 y ＝ f(x) 在点 P(x0 ， f(x0)) 处的切线的斜率是 _______________________． 【问题探究】 探究点一 导数的运算法则 x5＋ x7＋ x9 . x ． 也 [f(x)－g(x)]′＝_________________
跟踪训练 3 （1）曲线 y＝ 1 A．－ 2
sin x 1 － 在点 M (0, ) 处的切线的斜率为 ( sin x＋cos x 2 4
1 B. 2 C．－ 2 2 D． 2 2
)
1 a （2）设函数 f(x)＝ x3－ x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1， 3 2 确定 b、c 的值．
3
x
)
B．锐角
2
C．直角
D．钝角
4．曲线 y＝x ＋3x ＋6x－10 的切线中，斜率最小的切线方程为___________ 【教学反思】
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f ( x) g ( x) ＝____________________
f ( x) g ( x) ＝___________________
．相应地，切线方程为
例 1 求下列函数的导数： （1）y＝3x－lg x； （2）y＝(x2＋1)(x－1)； （3）y＝
跟踪训练 1 求下列函数的导数： （1）f(x)＝x· tan x； x （2）f(x)＝2－2sin2 ； 2 x－1 （3）f(x)＝ ； x＋1 （4）f(x)＝ sin x . 1＋sin x
，f (1)) 处的切线方程是 y 1．已知函数 y f ( x) 的图象在点 M (1
1 x 2 ，则 f (1) f (1) 2
2． 设 P 为曲线 C ：y x 2 2 x 3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0， ， 4 则点 P 横坐标的取值范围为 3．若函数 f(x)＝e cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( A．0°
探究点二
求切线的方程
问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
问题 2 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
例 2 已知曲线 y＝x2，求： （1）曲线在点 P(1,1)处的切线方程； （2）曲线过点 P(3,5)的切线方程．
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
7．已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_______ 8．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的 值．
【课堂小结】 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公 式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该 点为切点的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表 示出切线方程，然后求出切点. 【拓展提高】