复变函数课后习题答案(全)

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）1

32i

+ （2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

-- （4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+， 因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

1232, arg arctan , 3131313

z z z i ==-=+

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===---，

因此，31

Re , Im 1010

z z =-=，

1131, arg arctan , 3101010

z z z i π==-=--

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-， 因此，35

Re , Im 32z z ==-，

34535, arg arctan , 232

i z z z +==-=

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z

z =-=，

10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+

（3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

2

2

i

i

i e π

π

π

=+=

（2）13i -+2

3

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin

2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+ 2

2sin [cos

sin

]2sin 22

22

i

i e

πθ

θπθ

πθ

θ

---=+=

3． 求下列各式的值： （1）5(

3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-

（3）(13)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i i θθθθ-+-- （4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-

（5）3i （6）1i +

解：（1）5

(

3)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+-

5

552(cos()sin())16(3)66

i i ππ

=-+-=-+

（2）100

100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3）

(13)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i i θθθθ-+--

2[cos()sin()](cos sin )

332[cos()sin()][cos()sin()]44

i i i i ππ

θθππ

θθ-+-+=

-+--+-

2[cos()sin()](cos2sin 2)12

12

i i π

π

θθ=-

+-

+

(2)12

2[cos(2)sin(2)]212

12

i

i e

π

θπ

π

θθ-

=-

+-

=

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)

i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3

i 3cos

sin

2

2

i π

π

=+

11cos (2)sin (2)3232k i k ππ

ππ=+++31

, 02231, 122

, 2i k i k i k ⎧+=⎪

⎪⎪=-+=⎨

⎪-=⎪⎪⎩

（6）

1i +2(cos

sin )44

i π

π

=+ 4

112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48

482, 02, 1

i i e k e k π

π

⎧=⎪=⎨⎪-=⎩

4． 设1

21, 3,2

i

z z i +=

=-试用三角形式表示12z z 与12z z