灰色系统 级比值区间
灰色系统预测方法介绍
指 标 p越 大 越 好 , p越 大 , 表 明 残 差 与 残 差 平 均 值 之 差 小 于 给 定 值 0.67451的 点 较 多 , 即 拟 合 值 ( 或 预 测 值 ) 分 布 比 较 均 匀 . 按 C , p两 个 指 标 , 可 综 合 评 定 预 测 模 型 的 精 度 . 模 型 的 精 度 由 后 验 差 和 小 误 差 概 率 共 同 刻 划 .一 般 地 ,将 模 型 的 精 度 分 为 四 级 , 见 表 2-1
设X 0 = { X 0 (1), X 0 (2),⋯ , X 0 ( n)} 为参考序列, 其它序列, 则X 0与X 1的关联系数为 :
X i = { X i (1), X i (2),⋯ , X i ( n)} , i = 1, 2,⋯ , m为
ε ij =
min X 0 ( j ) − X i ( j ) + ρ max max X 0 ( j ) − X i ( j )
1 ε i = ∑ ε ij n j =1
n
(2 − 39)
(0) (0) (0) (0) 设原始数据序列X 0 = { x0 (1), x0 (2),⋯ , x0 ( n)} 为
参考序列, 用m种灰色建模方法所得模型值分别为 ˆ X (0) = { x (0) (1), x (0) (2),⋯ , x (0) ( n)} , i = 1, 2,⋯ , m .求出该
表2 − 1 精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值 均方差比值C 1级（好） 级 2级（合格） 级 合格） 3级（勉强） 级 勉强） C<=0.35 0.35<C<=0.5 0.5<C<=0.65 小误差概率p 小误差概率 0.95<=p 0.80<=p<0.95 0.70<=p<0.80 P<0.70
灰色预测理论详解
xN(0) (1), xN(0) (2),...,xN(0) (n)
为Z1相(1) 关为因X1素(1)序的列紧。邻X生i(成1) 为序列X i(，0) 的则1称-AGO序列 i 1,2,...,，N
N
x (0) 1
(k
)
az1(1)
(k )
bi xi (1) (k )
i2
为GM(1,N)灰色微分方程。
灰色预测
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息 的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、 与时间有关的灰色过程进行预测。
通过对原始数据的生成处理来和灰色模型的建立， 挖掘、发现、掌握寻求系统变动的规律。生成数 据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的 微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和 未来状态，对系统的未来状态做出科学的定量分 析。
x (1)(k 1) (x(1) (1) b )eak b
还原到原始数据
a
a
x (0)(k 1) x(1) (k 1) x(k)
DGM（1，1）模型
X(1() 1) 1
B
X(1() 1)
1
X(1() n
-
1 ）1
GM(1,1)和DGM(1,1)的关系
灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
1.累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数 列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
应用灰色预测模型精度检验初探
了应用 GM ( 1, 1) 模型的实例。有的用于车祸死亡人数预测及 慢性病预测, 相对误差高达 48% , 也未作精度检验, 拟合效果 也不好, 这说明 GM ( 1, 1) 预测并不适用于所有情况。 它不是万 能预测, 而是有条件的预测。 一般说来由于事物的发展惯性, 可以进行短期预测, 尤其内外环境变化不大的情况下。例如地 方病学中患病率短期预测还是比较成功的, 但长期预测就不 一定适用, 因未来的情况与目前的估计不一定相符, 对长期规 划和预测的估计尚有局限性。
在运用模型精度检验对用以往数字进行验证, 进行分析是否 合乎规律, 通过精度的检验可得知模型的准确度、 可靠性及适 宜条件。 进行精度检验, 是确定模型能否使用的关键。
412 用灰色理论建模, 一般采用三种精度检验方法: 残差检
误差概率 P ≥0. 95 ≥0. 8 ≥0. 7 < 0. 7
验是模型精度按点检验, 是一种直观的算述检验; 后验差检验 是按残差的概率分布进行的检验, 是统计学检验; 关联度检验 是根据模型曲线与数据曲线的几何相似程度进行的检验, 是 几何检验。 本文讨论了前两种方法。 在实际应用中往往是几种 相结合的检验。
是根据模型曲线与数据曲线几何相似程度进行检验, 是 一种几何检验 ( 也可以根据曲线间相似程度评判关联度。 精度检验往往是几种方法相结合, 得出的结果大致相符。
4 讨论 411 通过预测模型, 我们可以用以往数据预测以后, 也可以
评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的百 分比。 我们认为地方病学中一般百分比±5% 即为满意, 对±
・1 6 7 ・
3317, 3518, 37112, 37159…
表 1 平度 ( 大田) 地甲病患病率 年限 患病率◊
灰色关联分析法原理及解题步骤
灰色关联分析法原理及解题步骤---------------研究两个因素或两个系统的关联度(即两因素变化大小,方向与速度的相对性)关联程度——曲线间几何形状的差别程度灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密1> 曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2> 灰色关联度越大，两因素变化态势越一致分析法优点它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定参考数列——反映系统行为特征的数据序列比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列2》无量纲化处理参考数列和比较数列(1) 初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵(2) 均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵(3) 区间相对值化3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ(Xi) 参考数列X0比较数列X1、X2、X3……………比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ(i)称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ?(0，1)，常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。
两级最大差，记为Δmax。
为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。
记为Δoi(k)。
所以关联系数ξ(Xi)也可简化如下列公式:4》求关联度ri关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻(即曲线中的各点)的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。
因此有必要将各个时刻(即曲线中的各点)的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下:5》排关联序因素间的关联程度，主要是用关联度的大小次序描述，而不仅是关联度的大小。
灰色模型
灰色预测模型灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统.灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.一、GM(1,1)模型灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型.GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.1.1 GM(1,1)模型的建立灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上建立数学模型.GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.设时间序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}00001,2,,X x x x n =，为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令()()()()101tn xt x n ==∑从而得到新的生成数列()1X ，()()()()()()(){}11111,2,,X x x x n =，新的生成数列()1X 一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为dxax u dt+= 即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为(1)()a t u x t ce a--=+当t =1时，()(1)x t x =，即(1)uc x a=-，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为()()()11a t u u x t x e a a --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其中，ax 项中的x 为dxdt的背景值，也称初始值；a ，u 是待识别的灰色参数，a 为发展系数，反映x 的发展趋势；u 为灰色作用量，反映数据间的变化关系.按白化导数定义有0()()limt dx x t t x t dt t→+-= 显然，当时间密化值定义为1时，当1t →时，则上式可记为1lim(()())t dxx t t x t dt→=+- 这表明dxdt是一次累减生成的，因此该式可以改写为 (1)(1)(1)()dxx t x t dt=+- 当t 足够小时，变量x 从()x t 到()x t t +是不会出现突变的，所以取()x t 与()x t t +的平均值作为当t 足够小时的背景值，即(1)(1)(1)1()(1)2x x t x t ⎡⎤=++⎣⎦将其值带入式子，整理得(0)(1)(1)1(1)()(1)2x t a x t x t u ⎡⎤+=-+++⎣⎦ 由其离散形式可得到如下矩阵：(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)2(2)1(2)(3)(3)2()1(1)()2x x x x x x a u x n x n x n ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤-+ ⎪⎣⎦ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭令 (0)(0)(0)(2),(3),,()TY x x x n ⎡⎤=⎣⎦(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(2)211(2)(3)21(1)()12x x x x B x n x n ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎡⎤-+⎣⎦ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭()Ta u α=称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：Y B α=由最小二乘估计方法得()1T T a B B B Y uα-⎛⎫== ⎪⎝⎭上式即为GM(1,1)参数,a u 的矩阵辨识算式，式中()1T T B B B Y -事实上是数据矩阵B 的广义逆矩阵.将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则()1(1)()((1))a t u u x t x e a a--=-+其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得(1)(0)(1)ˆ()(1)a t u u xt x e a a --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 对序列()()1ˆxt 再作累减生成可进行预测. 即 ()(0)(1)(1)(0)(1)ˆˆˆ()()(1)(1)1a a t xt x t x t u x e e a --=--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式.或对()at ux t ce a-=+求导还原得(0)(0)(1)ˆ()((1))a t uxt a x e a--=-- 1.2 GM(1,1)模型的检验GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式. 每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. ➢ 残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验.设模拟值的残差序列为(0)()e t ，则(0)(0)(0)ˆ()()()e t x t xt =- 令()t ε为残差相对值，即残差百分比为(0)(0)(0)ˆ()()()%()x t xt t x t ε⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦令∆为平均残差，11()nt t n ε=∆=∑.设残差的方差为22S ，则[]22211()n t S e t e n ==-∑. 故后验差比例C 为21/C S S =，误差频率P 为{}1()0.6745P P e t e S =-<.对于,C P 检验指标如下表： 检验指标好 合格 勉强 不合格 P >0.95 >0.80 >0.70 <0.70 表 1 灰色预测精确度检验等级标准一般要求()20%t ε<，最好是()10%t ε<，符合要求.➢ 关联度检验关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别. 关联系数越大，说明预测值和实际值越接近.设 {}(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆ()(1),(2),,()Xt x x x n =⋯ {}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()X t x x x n =⋯序列关联系数定义为(){}{}{}(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆmin ()()max ()(),0ˆˆ()()max ()()1,0x t x t x t x t t t x t x t x t x t t σξσ⎧-+-⎪≠⎪=⎨-+-⎪=⎪⎩ 式中,(0)(0)ˆ()()x t x t -为第t 个点(0)x 和(0)ˆx 的绝对误差，()t ξ为第t 个数据的关联系数，ρ称为分辨率，即取定的最大差百分比，0ρ<<1,一般取0.5ρ=.(0)()x t 和(0)ˆ()xt 的关联度为 ()11nt r t n ξ==∑精度等级 关联度 均方差比值 小误差概率 好（1级） 0.90≥ 0.35≤ 0.95≥ 合格（2级） 0.80≥ 0.50≤ 0.80≥ 勉强（3级） 0.70≥ 0.65≤ 0.70≥ 不合格（4级） 0.70< 0.65> 0.70<表 2 精度检验等级关联度大于60%便满意了，原始数据与预测数据关联度越大，模型越好.➢ 后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验. 检验步骤如下：1、计算原始时间数列(){}0(0)(0)(0)(1),(2),,()X x x x n =的均值和方差()2(0)(0)2(0)11111(),()n n t t xx t S x t x n n ====-∑∑ 2、计算残差数列{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()e e e e n =的均值e 和方差22s ()2(0)2(0)21111(),()n n t t e e t S e t e n n ====-∑∑其中(0)(0)(0)ˆ()()(),1,2,,e t x t x t t n =-=为残差数列.3、计算后验差比值21C S S =4、计算小误差频率{}(0)1()0.6745P P e t e S =-<令0S =0.67451S ，(0)()|()|t e t e ∆=-，即{}0()P P t S =∆<.若对给定的00C >，当0C C <时，称模型为方差比合格模型；若对给定的00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型.P C 模型精度 >0.95 <0.35 优 >0.80 <0.5 合格 >0.70 <0.65 勉强合格 <0.70 >0.65 不合格表 3 后验差检验判别参照表1.3 残差GM(1,1)模型当原始数据序列(0)X 建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度.若用原始序列(0)X 建立的GM(1,1)模型(1)(0)ˆ(1)[(1)]at u uxt x e a a-+=-+ 可获得生成序列(1)X 的预测值，定义残差序列(0)(1)(1)ˆ()()()e k x k xk =-. 若取k=t , t+1, …, n ，则对应的残差序列为{}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()e k e e e n =计算其生成序列(1)()e k ，并据此建立相应的GM(1,1)模型(1)(0)ˆ(1)[(1)]e a k e ee eu u et e e a a -+=-+ 得修正模型(1)(0)(0)(1)(1)()()(1)e a k ak e e e u u u x t x e k t a e e a a a δ--⎡⎤⎡⎤+=-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1()0k tk t k tδ≥⎧-=⎨≤⎩为修正参数.应用此模型时要考虑：1、一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差.2、修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与()k t δ-中的t 的取值有关.1.4 GM(1,1)模型的适用范围定理：当GM(1,1)发展系数||2a ≥时，GM(1,1)模型没有意义.我们通过原始序列()0i X 与模拟序列()0ˆiX 进行误差分析，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加. 当发展系数0.3a -≤时，模拟精度可以达到98%以上；发展系数0.5a -≤时，模拟精度可以达到95%以上；发展系数1a ->时，模拟精度低于70%；发展系数 1.5a ->时，模拟精度低于50%.进一步对预测误差进行考虑，当发展系数0.3a -<时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数0.8a ->时，1步预测精度已低于70%.通过以上分析，可得下述结论：1、当0.3a -<时，GM(1,1)可用于中长期预测；2、当0.30.5a <-≤时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；3、当0.50.8a <-≤时，GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；4、当0.81a <-≤时，应采用残差修正GM(1,1)模型；5、当1a ->时，不宜采用GM(1,1)模型.1.5 GM(1,1)模型实例分析()()(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)79,74.825,74.29,76.98X x x x x ==对(0)X 作一次累加后的数列为()()(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)79,153.825,228.115,305.095X x x x x == 对(1)X 做紧邻均值生成. 令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)Z k x k x k =+-，得()()(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4)116.4125,151.47,150.1925Z z z z ==则数据矩阵B 及数据向量Y 为(1)(1)(1)(2)1116.41251(3)1151.471(4)1150.19251z B z z ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，(0)(0)(0)(2)74.825(3)74.29(4)76.98x Y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 对参数列ˆ[,]T aa b =进行最小二乘估计，得 176.61ˆ()[,]0.0144T T T T a B B B Y B Y a u -⎡⎤====⎢⎥-⎣⎦即 0.0144a =-，76.61u = 则GM(1,1)模型为()()110.014476.61dx x dt-= 时间响应式为(1)0.0144ˆ(1)5399.13895320.1389xk e -+=- 当1k =时，我们取(1)(0)(0)ˆˆ(1)(1)(0)79xx x === 还原求出(0)X 的模拟值. 由(0)(1)(1)ˆˆˆ()()(1)Xk x k x k =--，取2,3,4k =，得 ()()(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆ(1),(2),(3),(4)79,74.281,74.3584,76.4513xx x x x == 通过预测，得到实际值与预测值如下表：实际值 预测值相对误差()k ε 第一学期79 79 0 第二学期 74.825 74.2810 0.73% 第三学期 74.29 74.3584 0.0921% 第四学期76.9876.45130.7051%表 4 四学期的实际值与预测值的误差表因为()10%k ε<，那就可得学生的预测值，与现实值进行比较得出该模型精度较高，可进行预测和预报.我们对学生未来两个学期（也就是第五、六个学期）的成绩进行预测，分别为77.5602分和78.6851分.例：某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。
灰色理论模型
y (k)
y(0) (k 1) X
y(0) (k)
(k 2,3,, n)
18
2. 建立模型GM(1,1)
按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b (k 1,2,, n 1)
a
a
而且：
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k) (k 1,2,, n 1)
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0) 的１- 次累加生成数列
k
类似地有 x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x (0) 的 i 1
22
表1：商品的零售额（单位：亿元）
年代
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5
灰色系统概述讲解
灰数（grey number） 灰数是那些只知道大概范围而不知其确切 值的数（只知道部分数学特征，而不知道 具体数值的参数）。
没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围
（上限、下限）
A [ A, ) A (, A] A [ A, A]
当灰数的上限和下限相等时，就成为了确定数
a
即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取 数一致时，灰数的自差才等于0。
如： ∈[2，5]， - =0 取数一致
∈[-3，3] 取数不一致
再如： /
=1
取数一致
∈[2/5，5/2] 取数不一致
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型 的白化权函数。
f(x) 1
x为模糊数,它属于一个模糊集合
y必然也是一个模糊数,属于某个模糊集合…
灰色系统理论
灰色系统理论是我国学 者邓聚龙教授于19世纪 80年代初创立并发展的 理论，它把一般系统论， 信息论和控制论的观点 和方法延伸到社会，经 济，生态等抽象系统， 结合运用数学方法发展 的一套解决灰色系统的 理论和方法。
灰色关联分析
经济与管理学院 郭敏
课程结构
1 灰色系统概述 2 灰序列与灰色建模 3 灰预测 4 灰决策 5 灰关联分析
第一节 灰色系统理论概述
一、灰色系统
定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的 任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。 • 信息－－对系统的认知
输入x
区间灰数的运算
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
① 1 + 2 ∈[a+c,b+d]
GM(1,1)灰色系统模型在国学热度预测中的应用
GM（1，1）灰色系统模型在国学热度预测中的应用作者：王美艳来源：《科教导刊·电子版》2019年第05期摘要传统文化国学热度预测模型主要是根据采集到苏州市姑苏区某培训中心的关于国学培训的数据信息，建立GM（1，1）灰色预测模型，预测近期国学培训情况，为此培训中心的工作提供可靠的数据参考。
关键词国学培训数据预测模型 GM（1，1）灰色系统残差级比偏差中图分类号：F224 文献标识码：A1 GM（1，1）灰色预测系统GM（1，1）灰色预测系统是由华中科技大学邓聚龙教授首次提出并建立的，它是以关联空间、光滑离散函数等概念为基础，定义灰导数和灰微分方程，从而建立微分方程形式的动态预测模型。
灰色预测系统主要适用于时间序列中一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定性关系的模型，所以适用范围较广。
灰色预测的数据是通过生成数据的c所得到的预测值的逆处理结果。
2模型应用传统文化国学热度预测项目是与苏州市姑苏区某培训中心合作，通过对其以往国学培训数据，以及苏州其他培训机构的国学培训数据的分析，来预测以后近期的国学热度，为此培训中心的工作提供可靠的数据参考。
本培训中心自2015年至2017年国学培训数据：2.1 GM（1，1）灰色预测模型的建立2.1.1数据的检验首先，根据数学模型建立的原则，在建立灰色预测模型之前，必须要保障建模方法的可行性，即需要对已知的原始数据做检验处理。
3项目主要成果基于采集到的培训数据，我们严格按照GM（1，1）灰色系统预测模型的结构进行计算，利用最小二乘法的方法得到重要参数，从而计算出针对原始数据的预测值：4模型的创新点、先进性与社会意义常用的预测模型有回归预测模型、组合预测模型、卡尔曼滤预测模型、ARIMA时间序列预测模型、灰色系统预测模型等。
根据采集到的培训数据，我们做了严格的讨论分析与数据验证，经过计算比较，本项目采用了GM（1，1）灰色系统预测模型。
灰色系统分析
灰色系统分析“白”指信息完全确知，“黑”指信息完全不确知，“灰”则指信息部分确知，部分不确知，或者说信息不完全。
这是“灰”的基本含义。
对于不同问题，在不同的场合，“灰”可以引伸为别的含义。
如：从表象看：“明”是白，“暗”是黑，那么“半明半暗或若明若暗”就是灰。
从态度看：“肯定”是白，“否定”是黑，那么“部分肯定，部分否定”就是灰。
从性质看：“纯”是白，“不纯”是黑，那么“多种成分”就是灰。
从结果看：“唯一”是白，“无数”是黑，那么“非唯一”就是灰。
从过程看：“新”是白，“旧”是黑，那么“新旧交替”就是灰。
从目标看：“单目标”是白，“无目标”是黑，那么“多目标”就是灰。
类似地可以举出许多例子，就其基本含义而言，“灰”是信息不完全性与非唯一性。
信息不完全性与非唯一性在人们认识与改造客观世界的过程中会经常遇到的。
客观世界是物质世界，也是信息世界。
所谓系统是指：由客观世界中相同或相似的事物按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的整体。
例如工程技术系统，社会系统，经济系统等等。
所谓白色系统是指：信息完全明确的系统。
如，一个家庭，其人口、收入、支出、父子、母女上下间的关系等等完全明确；一个工厂。
其职工、设备、技术条件、产值、产量等等信息完全明确。
像家庭、工厂这样的系统就是白色系统。
所谓黑色系统是指：信息完全不明确的系统。
如遥远的某个星球，其重量、体积、是否有生命等等全然不知；湖北原始森林神农架的野人，其生活习性、群体关系，交换信息的方法等等完全不清楚，这样一类的系统都是黑色系统，还有飞碟、百暮三角洲等等目前只能看成黑色系统。
所谓灰色系统是指：介于白色系统与黑色系统之间的系统（Grey System），即系统内部信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。
例如人体，其身高、体重、年龄、血压、脉搏、体温等等都是已知的，而人体的穴位的多少，穴位的生物、化学、物理性能；生物信息的传递；温度场；意识流等等尚未确知或者知道不透彻。
灰色系统分析法
i (k ) maxmaxmaxi (k )
i j k
其中常数 [0,1] 为分辨率系数. x j 对 x i 的灰关联度为
1 n rij r ( xi , x j ) r ( xi (k ), x j (k )) (i 1,2,, m; j 1,2,, l ) n k 1
6 2015年2月21日
一、灰色系统分析的基本概念
2. 灰色关联分析---单因子的情况
对于所有的点 k 1,2,, n ，则定义比较数列 x i 对参考 数列 x0 的灰关联度为
n
1 ri r ( x0 , xi ) r ( x0 (k ), xi (k )) (i 1,2,, m) (2) n k 1 即用灰关联度 ri 可以表示因素 x i 对行为因子 x0 的关联 （影响）
( 0)
( 0)
(0)
前邻值.
对常数 [0,1] ，则称
z (k ) x (k ) (1 ) x (k 1)
( 0) ( 0) ( 0)
为由数列 x
(0)
的邻值在生成系数（权） 下的邻值生成数。
2015年2月21日
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列 ----均值生成数列
他的体温大约在38度39度之间关于体温是灰数记为2013年11月3日如果是离散灰数则有如果灰数中的白化数是按区间连续分布的则有灰数的概念及其表示法一灰色系统分析的基本概念一灰色系统分析的基本概念如果的白化默认即对形象形态实体数字的默认数简称为白化数则灰数是白化数灰色关联分析设系统行为因子的灰关联度来表示单因子的情况一灰色系统分析的基本概念一灰色系统分析的基本概念2013年11月3日对于所有的点对参考数列的关联影响程度
灰色系统GM(1,1)模型
(
)
(
)
从而
ɵ 1+| s | +| s | 1+11502+11430.5 = = 0.997 > 0.90 ε = ɵ ɵ 1+| s | +| s | +| s −s | 1+11502+11430.5+71.5
关联度为一级 计算均方差比 C
1 4 x = ∑ x ( k ) = 31151.5, 4 k =1 1 S = ∑ x (k ) − x 4 k =1
设X
X
0
= ( x 0 (1 ) , x 0 ( 2 ) , ⋯ , x 0 ( n ) )
1
= ( x 1 (1 ) , x 1 ( 2 ) , ⋯ , x 1 ( n ) )
Z 1 = ( z1 ( 2 ), z1 (3 ),⋯ , z1 ( n ))
其中 则称 x0 ( k ) + az1 ( k ) = b 为GM(1,1)模型的基本 形式。
2
X 0 D2 = (27260,29547,32411,35388) ≜ X = ( x (1) , x ( 2) , x ( 3) , x ( 4) )
X 1 = ( 27260,56807,89218,124606 ) X的1-AGO序列为
d x1 设 d t + a x1 = b
按最小二乘法求得参数的 a , b 估计值为
= ( x 1 (1 ) , x 1 ( 2 ) , ⋯ , x 1 ( n ) )
k
其中 x1 ( k ) = ∑ x0 (i )； k
i =1
= 1, 2, ⋯ n
； 1 为 X1 的紧邻均 Z
灰色系统分析方法33333
二、灰色GM（1,1）模型
（3）将灰色参数代入时间函数 X 然后对 X 1 求导还原得到
0
t 1 X 0 1
u at u e a a
0
X
（4）计算 x 差 t
0
t 1 a X
0
m 2 2 1 0 0 t 1
及残差的离差 m s 差比 c s 以及小误差概率
t 1
s2
2
1
1
m
(
0
t
0
0
t )
2
2
p |
t
0
在计算方
| 0 . 6745 s1
1
。根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当p >0.95和c<0.35时，模型精度良好；当p>0.8和c<0.5 时，模型合格；当p>0.7和c<0.65时，模型勉强合格； 当p<=0.7和p>=0.65时，模型不合格。
i (k )
min min
i k
x 0 k x i k
max max
i k k
x 0 k x i k
x 0 k x i k
max max
i
x 0 k x i k
式中，i (k ) 为第k个时刻比较曲线 x i 与参考曲线 x 0 的相对差值，称为 x i对 x 0 在k时刻的关联系数；
一、灰色关联度分析
如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操 作实现。
第一步：将数据输入DPS数据处理系统中；
第二步：在“其他”菜单栏中找到“灰色系统方 法”，在其箭头里找到“灰色系统分析” 第三步：在对话框中实现。
灰色预测
灰色预测方法介绍 一．基本概念1．灰数的概念在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为170cm 、体重大致为60kg ”，这里的“（约为）170（cm ）”、“60”都是灰数，分别记为170⊗、60⊗。
又如，“那女孩身高在157－160cm 之间”，则关于身高的灰数]160,157[)(∈⊗h 。
记⊗~为灰数⊗的白化默认数，简称白化数，则灰数⊗为白化数⊗~的全体。
灰数有离散灰数（⊗~属于离散集）和连续灰数（⊗~属于某一区间）。
灰数的运算符合集合运算规律。
2．灰色生成数列在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。
对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。
（1） 累加生成把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（Accumulated Generating Operation ，简称AGO ）。
由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。
设原始数列为))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =，令,,,2,1,)()(1)0()1(n k i x k x ki ==∑=称所得到的新数列))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =为数列)0(x 的1次累加生成数列。
类似地有1,,,2,1,)()(1)1()(≥==∑=-r n k i x k x ki r r ，称为)0(x 的r 次累加生成数列。
（2） 累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程（IAGO ）。
如果原始数据列为))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =，令,,,3,2),1()()()1()1()0(n k k x k x k x =--=称所得到的数列)0(x 为)1(x 的1次累减生成数列。
灰色控制PID控制算法
灰色控制PID 控制算法PID 控制算法即比例积分微分控制算法，该算法简单、鲁棒性好、可靠性高，在工业控制中应用广泛，尤其适用于建立精确数学模型的控制系统。
但是对于非线性、时变不确定和大时滞对象、难以建立准确数学模型时，PID 控制算法的控制品质不时很高，尤其是以误差作为基本调节项，微分作用只在系统出现明显偏差时起作用，属事后控制，故不能很好地抑制系统的超调。
而灰色PID 控制算法，以灰色系统理论为基础，对系统不确定部分建立灰色模型，进行灰色预估补偿，使控制系统的灰量得到一定程度的白化，可以提高PID 控制质量及其鲁棒性。
1、 灰色预测原理信息完全明确的系统称白色系统。
信息完全不明确的系统称黑色系统。
信息中部分明确、部分不明确的系统称灰色系统。
灰色系统的方法是对系统进行分析、建模、预测、决策、规划、控制的有效方法。
灰色预测是用灰色模型(,)GM M N 进行定量预测，灰色控制是指本征特性灰色系统的控制，或对系统中含灰参数的控制，或用 (,)GM M N 构成的预测控制。
1．1 灰色生成数列灰色理论对灰量、灰过程的处理，不是找概率分布求统计规律；而是用生成的方法，求得随机性弱化和规律性强化的新数列数据，称为生成数；利用生成数建模是其重要特点之一。
灰色生成可分为累加生成、累减生成、初值化生成、均值化生成、归一化生成等多种。
（1） 累加生成(AGO-Accumulated Generating Operation )对某原始数列处理，第一个数据不变，仍为新数列的第一个数据；新数列的第二个数据是原始的第一与第二个数据相加；新数列的第三个数据是原始的第一、第二与第三个相加；依此类推。
这样累加生成新数列的处理方式称累加生成。
累加生成能使非负数列(摆动的或非摆动的)转化为非减的递增的数列。
基本公式()()()()100ki xk x i ==∑ ()1()()()()()()11r r r xk x k x k -=-+ ()2没有规律的原始数据，经过累加生成后，如果能够得到较强的规律，并且接近某一函数，则该函数成为生成函数。
灰色系统预测模型GM（1,1）的基本思想与实现过程（xs）
灰色系统预测模型GM（1,1）的基本思想与实现过程（xs）灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程邓聚龙，jq ，佚名摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一定的意义。
关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点1 预备知识1.1 灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。
1.2 灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。
它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。
经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。
因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。
2 灰色系统预测模型GM(1,1) 2.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。
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灰色系统级比值区间
灰色系统是一种应用于决策分析、风险评估等领域的数学模型，其核心是通过建立系统的级比值来进行判断和决策。
级比值是指将不同层次的指标进行比较，并赋予不同的权重，以便进行综合评价和决策分析。
在灰色系统中，级比值可以用于确定各个层次指标的重要性，帮助决策者对问题进行排序和选择。
级比值区间是指在灰色系统中，对于不同层次指标的比较和评价，所使用的具体数值范围。
根据不同的应用场景和需求，级比值区间可以有所差异，但一般情况下，级比值区间可以分为以下几个范围。
1. 0.1~0.2：表示指标之间的差异较小，属于相对较低的级比值区间。
在决策分析中，这种情况可能意味着各个指标之间的重要性相对均衡，决策者在做出决策时应该综合考虑各个指标的影响。
2. 0.2~0.4：表示指标之间的差异适中，属于中等级别的级比值区间。
在决策分析中，这种情况可能意味着某些指标的重要性相对较高，但并不是最重要的指标。
决策者在做出决策时应该重视这些指标的影响，但也要考虑其他指标的作用。
3. 0.4~0.6：表示指标之间的差异较大，属于相对较高的级比值区间。
在决策分析中，这种情况可能意味着某些指标的重要性非常高，对决策结果的影响较大。
决策者在做出决策时应该高度重视这些指
标的影响，并将其作为决策的关键因素。
4. 0.6~0.8：表示指标之间的差异非常大，属于较高的级比值区间。
在决策分析中，这种情况可能意味着某些指标的重要性非常突出，几乎是其他指标的数倍甚至更多。
决策者在做出决策时应该将重点放在这些指标上，并且谨慎考虑其他指标的影响。
5. 0.8~1：表示指标之间的差异非常大，属于极高的级比值区间。
在决策分析中，这种情况可能意味着某些指标的重要性非常明显，对决策结果的影响巨大。
决策者在做出决策时应该将重点放在这些指标上，并且其他指标的影响可以忽略或降低。
通过对级比值区间的划分，决策者可以更加清晰地了解各个指标之间的重要性和差异程度，从而帮助他们做出更加准确和合理的决策。
同时，级比值区间的使用也可以提高决策过程的可重复性和可比较性，使决策结果更加科学和可信。
级比值区间在灰色系统中起到了重要的指导作用，帮助决策者进行综合评价和决策分析。
通过合理划分级比值区间，决策者可以更加准确地判断各个指标之间的重要性，从而做出更加科学和合理的决策。
级比值区间的使用不仅可以提高决策的效率和准确性，还能够提高决策结果的可信度和可比较性，对于各种决策问题具有重要的实际应用价值。