数列：第2讲等差数列

等差数列

1. 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，

那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．

2．等差中项

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．

3．等差数列的通项公式

若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .

①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．

②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．

4．等差数列的前n 项和公式

(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．

(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：

若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+

1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+ 1

n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

6．等差数列的性质

(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m

＝a p＋a q(p，q，m，n∈N*)．

(3)若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋q}，{a n±b n}也为数列，且公差分别为，，.

(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n，a n＋m，a n＋2m，…为等差数列，公差为md.

(5)等差数列的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.

(6)若等差数列的项数为2n，则有

S偶－S奇＝nd，S奇

S偶

＝

a n

a n＋1

.

(7){a n}为等差数列，S n为前n项和，则S2n－1＝(2n－1)a n；{b n}为等差数列，S′n为前n项和，

则S′2n

－1＝(2n－1)b n，

a n

b n＝

S2n－1

S′2n－1

.

(8)等差数列{a n}前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)．

练习题

1等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()

A．1 B．2 C．3 D．4

2已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．400

3等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S3＝()

A．－1 B．－1

3 C.

1

3D．1

4在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.

5已知递增的等差数列{}

a n满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.

6.在等差数列{a n}中，

(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；

(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；

7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；

8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；

9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；

10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )

A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

11.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )

A.2n ＋1n

B.n ＋1n

C.n －1n

D.n ＋12n

12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )

A ．－65

B ．－35

C ．65

D ．35

13．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )

A ．－23

B ．－13

C ．13

D ．23

14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )

A.94

B.32

C.53 D ．4

15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

16．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.

17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.

(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；

(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．