数列：第2讲等差数列

等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m＝a p＋a q(p，q，m，n∈N*)．(3)若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋q}，{a n±b n}也为数列，且公差分别为，，.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n，a n＋m，a n＋2m，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a na n＋1.(7){a n}为等差数列，S n为前n项和，则S2n－1＝(2n－1)a n；{b n}为等差数列，S′n为前n项和，则S′2n－1＝(2n－1)b n，a nb n＝S2n－1S′2n－1.(8)等差数列{a n}前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)．练习题1等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A．1 B．2 C．3 D．42已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．4003等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S3＝()A．－1 B．－13 C.13D．14在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.5已知递增的等差数列{}a n满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.6.在等差数列{a n}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2411.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35C ．65D ．3513．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2314．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．616．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n|}的前n项和T n.等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为 数列，且公差分别为 ， ， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (7){a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；{b n }为等差数列，S ′n 为前n 项和，则S ′2n －1＝(2n －1)b n ，a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1. (8)等差数列{a n }前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n )．【答案】1．差 常数 公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n2．等差中项3．a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d )②单调递增 单调递减 常数列4．(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2倒序相加法 (2)≥0 ≤0 ≤0 ≥06．(1)(m －n ) (2)a n 2(3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 21 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B .2 已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A ．100B ．210C ．380D ．400解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92×4＝210.故选B .3 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 3＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．14 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解：因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝37，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝74，故填74.5 已知递增的等差数列{}a n 满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解：∵{}a n 是等差数列，a 1＝1，a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝()1＋d 2－4得d 2＝4，又{}a n 是递增数列，∴d ＞0.∴d ＝2，a n ＝2n －1.故填2n －1.6.在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得⎩⎨⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4.∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－3330＝4， 由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解得a 1＝－5，d ＝3.∴S n ＝－5n ＋n （n －1）2·3＝32n 2－132n .7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；7.解：(1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝1100.故填1100. 8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；8.因为数列{}a n ，{}b n 都是等差数列，所以数列{}a n ＋b n 也是等差数列．故由等差中项的性质，得()a 5＋b 5＋()a 1＋b 1＝2()a 3＋b 3，即a 5＋b 5＋7＝2×21，解得a 5＋b 5＝35.故填35.9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；9.∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝124，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝160，即a 1＋a n ＝40.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝20n ＝780，解得n ＝39.故填39.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2410.解：在等差数列中，S 3＝3a 2＝6⇒a 2＝2.∴3d ＝a 5－a 2＝6⇒d ＝2.所以a 9＝a 5＋4d ＝16.故选C .11.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n11.解：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n （a 2＋a 2n ）2，a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B .12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于() A ．－65 B ．－35 C ．65 D ．3512.解：由⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －（6a 1＋15d ）＝27 得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.故选D .13．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2313.解：a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10（a 1＋10）2＝70，解得d ＝23.故选D .14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．414.解：设S 2＝x ，则S 4＝4x ，因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以S 6－S 4＝5x ，即S 6＝9x ，所以S 6S 4＝9x 4x ＝94.故选A . 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．615.解法一：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.又S m ＋1＝(m ＋1)a 1＋（m ＋1）m 2＝3，①，a m ＋1＝a 1＋m ＝3.将a 1＝3－m 代入①得m 2－5m ＝0，解得m ＝5或0(舍去)．解法二：设S n ＝an 2＋bn ，通过题意建立并解方程组获解．故选C .16．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解：∵S 2＝a 3，∴a 1＋a 2＝a 3，又{a n }为等差数列．∴a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d .∴d ＝a 1＝12.∴a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝14n (n ＋1)．故填1；14n (n ＋1)． 17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n |}的前n 项和T n . 解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，即a 4＞a 3，所以a 3＝9，a 4＝13. 易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．。