教案王建国任意角1.1.1

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1.1.1任意角教案

1.1.1任意角教案

1.1.1任意角一、学习目标:1、掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3、体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;二、教学重点、难点重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法.难点:终边相同的角的表示.三、教学方法:讲授法、讨论法、媒体课件演示四、内容分析:本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法,通过实际问题,教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确“规定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的.五、教学过程:(一)创设情境思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度?(提出问题,引发学生的认识冲突,说明角的概念扩展的必要性)学生:针对上述问题,组织学生进行讨论。

学生容易回答前面一个问题,但在回答后面一个问题是会发现问题,从而引起认知冲突。

教师:[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转,有时之间,这就是我们本节转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0~360课所要学习的主要内容——任意角。

(二)新概念产生1.角概念的推广在初中,我们对角的定义是从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

这种概念的,优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来定义角,因此角的范围是0~360内,这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘”。

1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)

1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)

1.1.1任意角
一、教学目标:
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.教学难点:“旋转”定义角; 终边相同的角的表示.
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业:
五、教学反思:
这堂课从实际问题引入,引起学生的认知冲突。

说明角的概念扩展的必要性,然后通过学生的自主探索,得出了定义,为后面的探究打下了基础,体现了新课程理念,教学效果好,是一堂好课。

由于学生的计算机技术不高,导致教学时间过紧。

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计作者:刘燕来源:《读写算》2019年第19期摘要本文从情境引入、概念引入、例题教学、课堂小结和作业布置五个方面阐述了如何采用MPCK理论进行课堂教学模式设计,利用弗赖登塔尔的“再创造”理论进行设计教学,希望给广大初中数学架势提供参考。

关键词任意角;教学设计中图分类号:G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码:A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章编号:1002-7661(2019)19-0155-01本节课主要采用MPCK理论进行课堂教学模式设计.利用弗赖登塔尔的“再创造”理论进行设计教学,学生在初中已经学过静态定义的角,本节从运动的观点来定义角,从而发展和完善角的定义。

下面对必修四《1.1.1任意角》这一课进行具体的分析。

1.教学目标经历任意角概念的生成过程,理解角的概念推广的必要性;理解象限角和终边相同的角的概念,能写出与已知角终边相同的角的集合;通过天文现象、生活现象解释三角学时刻画与研究现实生活中的周期现象;接着回顾初中角的定义和生活中汽车里程表和车轮的关系,学生产生认知冲突,认识到角度推广的必要性;通过通过关于三角学的数学史的融入教学,让学生体会角的概念源远流长,提高学生的学习兴趣。

该节课渗透的数学思想,进一步培养学生用数学眼光看世界、用数学语言表达世界的数学素养。

2.教学重、难点重点:将0°~360°的角的概念推广到任意角。

难点:角的概念的推广;终边相同的角的表示。

教学过程一、情境引入(老师PPT展示日月交替的小视频.)自然现象中有很多循環往复、周而复始的现象,在数学中称为“周期现象”。

同学们,你们还见过哪些周期现象?能举例说明吗?你们还见过哪些周期现象?能举例说明吗?生:日夜交替、四季变换……设计意图:创设情境,让学生在直观感知的过程中,体会数学源于生活,高于生活。

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计本节课主要采纳MPCK理论进行课堂教学模式设计.利用弗赖登塔尔的“再制造”理论进行设计教学,同学在中学已经学过静态定义的角,本节从运动的观点来定义角,从而进展和完善角的定义。

下面对必修四《1.1.1任意角》这一课进行详细的分析。

1.教学目标经受任意角概念的生成过程,理解角的概念推广的须要性;理解象限角和终边相同的角的概念,能写出与已知角终边相同的角的集合;通过天文现象、生活现象说明三角学时刻画与讨论现实生活中的周期现象;接着回顾中学角的定义和生活中汽车里程表和车轮的关系,同学产生认知冲突,认识到角度推广的须要性;通过通过关于三角学的数学史的融入教学,让同学体会角的概念源远流长,提高同学的学习爱好。

该节课渗透的数学思想,进一步培育同学用数学眼光看世界、用数学语言表达世界的数学素养。

2.教学重、难点重点:将0°~360°的角的概念推广到任意角。

难点:角的概念的推广;终边相同的角的表示。

教学过程一、情境引入〔老师PPT展示日月交替的小视频.〕自然现象中有许多循環往复、周而复始的现象,在数学中称为“周期现象”。

同学们,你们还见过哪些周期现象?能举例说明吗?你们还见过哪些周期现象?能举例说明吗?生:日夜交替、四季变换……设计意图:创设情境,让同学在直观感知的过程中,体会数学源于生活,高于生活。

二、概念引入师:中学我们已经学习了角的概念,是怎样定义的呢?学了哪些角?角的范围分别是多少?生:从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

锐角、直角、钝角,平角,周角。

〔视频展示体操运动员、跳水运动员旋转的图片〕师:能不能从动态的、旋转的视角对角作出定义?刻画这些角的关键是什么?我们可以把角看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师:顺时针旋转得到的角和逆时针得到的角一样吗?师:有什么符号可以刻画这两个相反的量?哪个符号更符合“简约、有用又统一”?生:正负号师:那究竟顺时针为正还是逆时针为正?同学争论沟通,劝服对方。

1.1.1任意角教案(可编辑修改word版)

1.1.1任意角教案(可编辑修改word版)

1.1.1 任意角教案一、教材分析1、本节教材的地位和作用:本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。

三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型。

这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。

角的概念的推广正是这一思想的体现之一,是初中相关知识的自然延续。

为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件,也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具,所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。

2、教学目标:知识与技能目标:(1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;(2)理解任意角以及象限角的概念;(3)掌握所有与角 a 终边相同的角(包括角 a)的表示方法;过程与方法目标:(1)提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力;(2)通过画图和判断角的象限,培养学生数形结合的思想方法;情感态度与价值观目标:(1)创设问题情景,激发分析探求的学习态度,强化参与意识;(2)学会运用运动变化的观点认识事物.3、教学重点、难点:重点:理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。

难点: 终边相同的角的表示方法。

二、学生情况分析学生在初中就已经学过角的定义。

从学生学过的东西出发,结合实际生活中的例子,将任意角的范围扩展到大于 360 度,可以引发学生的的认知冲突,激发学生的求知欲望,为这节课的顺利进行提供了有利的条件。

三、教法学法教法分析:探索与发现新知识是教学的重点。

所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得新知识。

学法指导:建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动的建构知识的过程,学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。

在教学中,采用自主探索与合作交流的学习方式,让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,发展能力。

四、教学过程五、教学反思1.学生在初中已经接触到角的定义,角的范围仅限于 0--360 。

1.1.1任意角(教学设计)

1.1.1任意角(教学设计)

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角(教学设计)教学目标:1、知识与技能(1)推广角的概念、引入大于360︒角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境:“转体720︒,逆(顺)时针旋转”,角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物.教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.一、复习回顾,创设情境思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度?[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1.初中时,我们已学习了0360︒︒~角的概念,它是如何定义的呢?角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720︒” (即转体2周),“转体1080︒”(即转体3周)等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,二、师生互动,新课讲解1、任意角:我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒;图1.1.3(2)中,正角210α︒=,负角150,660βγ︒︒=-=-;这样,我们就把角的概念推广到了任意角(any angle ),包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可简记为α.2、象限角:在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合。

《1.1.1任意角》教学案

《1.1.1任意角》教学案

《1.1.1任意角》教学案●三维目标1.知识与技能(1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念;(3)理解任意角的概念,掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合;(5)能进行简单的角的集合之间的运算.2.过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述,现在是从运动的观点阐述,类比初中所学的角的概念,进行角的概念推广,引入正角、负角和零角的概念;由于角本身是一个平面图形,因此,在角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系;引出象限角、非象限角的概念,以及象限角的判定方法;通过几个特殊的角,画出终边所在的位置,归纳总结出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习.3.情感、态度与价值观通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识;树立运动变化观点,学会运用运动变化的观点认识事物;揭示知识背景,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求.●重点难点1.重点:理解正角、负角和零角及象限角的定义,掌握终边相同角的表示法及判断.2.难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.●教学建议1.任意角的概念:建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性.教学时,可以先让学生自己描述“校准”手表的过程,然后引导学生体会仅用0°~360°之间的角已经无法解决当前的问题.2.象限角的概念:建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系,引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示,并注意讲解“终边落在坐标轴上的角,它不属于任何一个象限”.3.终边相同的角的表示:建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知,通过具体角寻找终边相同角的规律,归纳其一般表示形式.教学时,有条件的可以利用信息技术,利用动态的观点,旋转角的终边,观察角的变化规律,从而将数、形联系起来,使角的几何表示和集合表示相结合,从而达到对终边相同角的认知的统一.●教学流程创设问题情境,复习初中角的定义,引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义,理解正角与负角的概念并加以区分,理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中,按角的终边的位置不同定义不同的象限角,并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈矫正.1.在初中时我们是如何定义角的?【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.2.如果你的手表慢了10分钟,你是怎样校准的?【提示】校准方法很多,由于分针转一圈为360°,故10分钟分针需要转过60°,且要调快分针可顺时针转,故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.1.如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点,角的始边为x轴正半轴,那么角终边的位置在坐标系中有几种情况?【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合.2.0°角与360°角的终边相同吗?【提示】相同.(1)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.这样,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.(2)终边相同的角:一般地,与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.例1①终边相同的角一定相等;②第一象限角都是锐角;③锐角都是第一象限角;④小于90°的角都是锐角.(2)下列说法正确的是________.(填序号)①一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多,则这个角越大.②在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时,则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角.【思路探究】根据各种角的含义进行判断.【自主解答】(1)对于①,-60°角和300°角是终边相同的角,但它们并不相等,∴应排除①.对于②,390°角是第一象限角,但它不是锐角,∴应排除②.对于④,-60°角是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},∴锐角是第一象限角.∴③正确.(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转,则它形成负角,旋转的圈数越多,则这个角越小,故①不正确.在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时,是按顺时针方向旋转,故它形成的角为-90°,故②不正确.将钟表调快一个小时,也是按顺时针转动,故分针转了-360°,③不正确.顺时针方向旋转形成的角为负角,它一定小于逆时针方向旋转形成的正角,故④正确.【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题,一是利用定义直接判断;二是利用反例排除错误答案,要说明一个命题不正确,只需举出一个反例即可.下列说法正确的是________.(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角;②第一象限角一定是正角;③第二象限角一定比第一象限角大;④与30°终边相同的角有无穷多个.【解析】90°可以是三角形的内角,但它既不是第一象限角,又不是第二象限角,故①错;-330°是第一象限角,但不是正角,故②错;120°是第二象限角,390°是第一象限角,但390°>120°,故③错;④正确.【答案】④终边相同的角例2在0°~360°范围内,请指出与下列角的终边相同的角,并说出此角是第几象限角.(1)430°(2)909°(3)-60°(4)-1 550°【思路探究】将所给角α写成α=k·360°+β(0°≤β<360°)的形式,则β即为所求.【自主解答】(1)430°=1×360°+70°,所以在0°~360°范围内与430°终边相同的角为70°,此角为第一象限角.(2)909°=2×360°+189°,所以在0°~360°范围内与909°终边相同的角为189°,此角为第三象限角.(3)-60°=-1×360°+300°,所以在0°~360°范围内与-60°终边相同的角为300°,此角为第四象限角.(4)-1 550°=-5×360°+250°,所以在0°~360°范围内与-1 550°终边相同的角为250°,此角为第三象限角.将任意角写成α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时),也可用除以360°的方法.要注意:正角除以360°,按通常的除法进行,负角除以360°,商是负数,余数是正数.如图1-1-1,分别写出终边落在所示直线上的角的集合.图1-1-1【解】 由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内),因此相对应的角的集合为:(1)S ={α|α=90°+k ·180°,k ∈Z }; (2)S ={α|α=45°+k ·180°,k ∈Z }; (3)S ={α|α=135°+k ·180°,k ∈Z };(4)S ={α|α=45°+k ·180°,k ∈Z }∪{α|α=135°+k ·180°,k ∈Z }={α|α=45°+2k ·90°,k ∈Z }∪{α|α=45°+(2k +1)·90°,k ∈Z }={α|α=45°+k ·90°,k ∈Z }.例3 已知α为第一象限角,求2α,α2,α3所在的象限.【思路探究】 用不等式表示α→求2α,α2,α3的范围→分类讨论→得出结论 【自主解答】 ∵α为第一象限角, ∴360°·k <α<360°·k +90°,k ∈Z , ∴360°·2k <2α<360°·2k +180°,k ∈Z ,∴2α是第一或者第二象限角,或是终边在y 轴正半轴上的角. ∵180°·k <α2<180°·k +45°,k ∈Z , 当k 为奇数时,α2是第三象限角; 当k 为偶数时,α2是第一象限角. ∴α2为第一或第三象限角.又∵120°·k <α3<120°·k +30°,k ∈Z ,当k =3n (k ∈Z )时,360°·n <α3<360°·n +30°,n ∈Z , ∴α3是第一象限角;当k =3n +1(k ∈Z )时,360°·n +120°<α3<360°·n +150°,n ∈Z ,∴α3是第二象限角; 当k =3n +2(k ∈Z )时,360°·n +240°<α3<360°·n +270°,n ∈Z ,∴α3是第三象限角. ∴α3为第一、第二或第三象限角.1.用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法. 2.α,α2,2α终边位置关系: α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 错误第一、三 象限 第一、三 象限 第二、四 象限 第二、四 象限 2α第一、二象限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴第一、二象 限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”,求角2α,α2所在的象限.【解】 由角α是第三象限角可知,k ·360°+180°<α<k ·360°+270°,k ∈Z , 于是,2k ·360°+360°<2α<2k ·360°+540°,k ∈Z , 即(2k +1)·360°<2α<(2k +1)·360°+180°,k ∈Z . 所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角. 因为k ·180°+90°<α2<k ·180°+135°,k ∈Z ,当k 为奇数时,设k =2n +1,n ∈Z ,则n ·360°+270°<α2<n ·360°+315°,n ∈Z ,此时α2为第四象限角;当k 为偶数时,设k =2n ,n ∈Z ,则n ·360°+90°<α2<n ·360°+135°,n ∈Z ,此时α2为第二象限角.因此α2为第二象限角或第四象限角.区间角表示错误图1-1-2典例 用角度表示顶点在原点上,始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在图1-1-2所示的阴影区域内的角的集合(含边界).【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°,所以它表示的角的集合为{α|k·360°+300°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}.【错因分析】因为45°≤300°,所以上式是错误的,由于没有弄清角的大小而造成了错误,出现了矛盾不等式.【防范措施】表示区间角时,应先按逆时针方向,确定在(0°,360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α,β(α<β),再在所得到的范围{x|α<x<β}两边加上k·360°,即得区域角的集合{x|k·360°+α<x<k·360°+β,k∈Z}.【正解】由题意可知300°角与-60°角的终边相同,所以它表示的角的集合为{α|k·360°-60°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}.1.对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字:(1)要明确旋转的方向;(2)要明确旋转的大小;(3)要明确射线未作任何旋转时的位置.2.在运用终边相同的角时,需注意以下几点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉;(2)α是任意角;(3)k·360°与α之间用“+”连结,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)(k∈Z);(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________.【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角,且旋转了240°,故填-240°.【答案】-240°2.在148°,475°,-960°,-1 601°,-185°这五个角中,属于第二象限角的个数是________.【解析】148°显然是第二象限角.而475°=360°+115°,-960°=-3×360°+120°,-185°=-360°+175°,都是第二象限角,而-1 601°=-5×360°+199°,不是第二象限角.【答案】 43.若角α=2 008°,则与角α具有相同终边的最小正角为________,最大负角为________.【解析】∵2 008°=5×360°+208°,∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α=208°+k·360°,k∈Z},∴最小正角是208°,最大负角是-152°.【答案】208°-152°4.求0°~360°范围内与-30°终边相同的角.【解】与-30°角终边相同的角为k·360°-30°,k∈Z,取k=1,得1×360°-30°=330°,0°≤330°<360°,因此所求角为330°.一、填空题1.(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时,时针转过的度数为________,分针转过的度数为________.【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转,其中分针连续转过4周,时针转过13周.【答案】-120°-1 440°2.543°是第________象限角.【解析】543°=183°+360°,又183°是第三象限角,故543°也是第三象限角.【答案】三3.与405°终边相同的角的集合为________.【解析】405°-360°=45°,故与405°角终边相同的角可表示为k·360°+45°,k∈Z.【答案】{α|α=k·360°+45°,k∈Z}4.(2013·南京高一检测)已知角α=-3 000°,则与α终边相同的最小正角是________.【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ=-3 000°+k·360°,k∈Z},与θ终边相同的最小正角是当k=9时,θ=-3 000°+9×360°=240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5.若α是第二象限角,则180°-α是第________象限角.【解析】因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,所以k·360°<180°-α<k·360°+90°,k∈Z,所以180°-α是第一象限角.【答案】一6.(2013·曲阜师大附中检测)在-720°~720°内与-1 050°角终边相同的角是________.【解析】与-1 050°终边相同的角可表示为k·360°-1 050°(k∈Z),k=1时,1×360°-1 050°=-690°,k=2时,2×360°-1 050°=-330°,k=3时,3×360°-1 050°=30°,k=4时,4×360°-1 050°=390°.【答案】-690°或-330°或30°或390°7.在-360°~0°内与160°角终边相同的角是________.【解析】与160°角终边相同的角α=k·360°+160°,k∈Z.∵-360°≤α<0°,∴取k=-1,得α=-360°+160°=-200°.故在-360°~0°内与160°角终边相同的角是-200°.【答案】-200°8.若角α和角β的终边关于x 轴对称,则角α可以用角β表示为________.【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称,∴α+β=k ·360°(k ∈Z ).∴α=k ·360°-β(k ∈Z ).【答案】 k ·360°-β(k ∈Z ) 二、解答题9.写出终边在如图1-1-3所示阴影部分(包括边界)的角的集合.图1-1-3【解】 先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,则 (1){α|30°+k ·360°≤α≤150°+k ·360°,k ∈Z }; (2){α|-210°+k ·360°≤α≤30°+k ·360°,k ∈Z }.10.写出与15°角终边相同的角的集合,并求该集合中满足不等式-1 080°≤β<720°的元素β.【解】 与15°角终边相同的角的集合为S ={β|β=15°+k ·360°,k ∈Z },其中,满足-1 080°≤β<720°的元素有:k =-3时,β=-1 065°;k =-2时,β=-705°;k =-1时,β=-345°;k =0时,β=15°;k =1时,β=375°,∴集合中满足条件的元素β有-1 065°,-705°,-345°,15°,375°. 11.在角的集合{α|α=k ·90°+45°(k ∈Z )}中: (1)有几种终边不相同的角?(2)有几个大于-360°且小于360°的角? (3)写出其中是第二象限的角的一般表示法.【解】 (1)当k =4n ,4n +1,4n +2,4n +3,n ∈Z 时,在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由-360°<k ·90°+45°<360°,得-92<k <72. 又k ∈Z ,故k =-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. ∴在给定的角集合中大于-360°且小于360°的角共有8个. (3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°+135°,k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求角α的取值范围.【思路探究】先在-180°~180°范围内找出终边落在阴影内的角,然后写出角的集合(注意边界).【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时,α∈{α|k·360°+30°<α≤k·360°+150°,k∈Z},当角α的终边落在阴影的下半部分时,α∈{α|k·360°-150°<α≤k·360°-30°,k∈Z}.由此可知满足题意的角α为{α|k·180°+30°<α≤k·180°+150°,k∈Z}.1.角的终边为虚线,则不等式中应不带“=”号.2.本题实质上是求两个范围内角的并集,应注意化简为最简结果.如图所示,写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________.【解析】与-30°角终边在一条直线上的角的集合为S1={α|α=-30°+k·180°,k∈Z}={α|α=150°+k·180°,k∈Z}.与45°+90°=135°角终边在同一直线上的角的集合为S2={β|β=135°+k·180°,k∈Z},从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°+k·180°≤α≤150°+k·180°,k∈Z}.【答案】{α|135°+k·180°≤α≤150°+k·180°,k∈Z}。

1.1.1任意角教案

1.1.1任意角教案

1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念,它又是学好本章教学内容的关键。

它是学生在学习了锐角三角函数后,对三角函数有一定的了解的基础上,进行的推广。

它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。

并且,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

二、教学目标1.理解任意角的概念;2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写。

三、教学重点难点1.判断已知角所在象限;2.终边相同的角的书写。

四、学情分析五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下,学生发现就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用,是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.2.学案导学:见后面的学案。

3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排:1课时八、教学过程(一)复习引入:1.初中所学角的概念。

2.实际生活中出现一系列关于角的问题。

(二)新课讲解:1.角的定义:一条射线绕着它的端点O ,从起始位置OA 旋转到终止位置OB ,形成 一个角α,点O 是角的顶点,射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。

说明:在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可以简记为α.2.角的分类:正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。

说明:零角的始边和终边重合。

3.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负轴重合,则(1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。

例如:30,390,330-都是第一象限角;300,60-是第四象限角。

数学:1.1.1《任意角》教案(新人教A必修4)

数学:1.1.1《任意角》教案(新人教A必修4)

1.1.1 任意角教学目的:使学生认识角的始边、终边,知道什么是正角、负角、零度角,0到360 度以外的角,会用集合表示与角α终边相同的角。

教学重点:任意角的理解与表示方法。

教学难点:用集合表示与角α终边相同的角。

教学过程一、新课引入在体操中旋转1周多少度?旋转2周呢?旋转3周呢?二、新课1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

如图,从起始位置OA逆时针方向旋转到终止位置OB,形成一个角α,射线OA、OB分别是角α的始边和终边。

2、任意角体操中,旋转2周(720°),旋转3周(1080°),角度大于360°,有没有负角呢?我们规定:按逆时针方向旋转形成的角叫正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边与终边重合,若α是零角,则α=0°。

角包括正角、负角和零角,时针旋转形成的角都是负角。

角的顶点与原点重合,角的绐边与x轴非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角在第几象限,如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限。

3、终边相同角的表示328°=-32°+360°-392°=-32°-360°设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z}328°、-392°、-32°角都是S的元素,因此,所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任一元素显然与-32°角终边相同。

所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。

4、例题讲解例1、在0°-360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限的角。

《§1.1.1任意角》教学设计

《§1.1.1任意角》教学设计

k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整个周角
的和. 注意: ⑴
k∈Z
⑵ α 是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同 的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k·720 °与角α 终边相同,但不能表示与角 α 终边相同的所有 角. 例 3.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们 是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'.
1, 钟慢(或快)了 5 分钟,如何调整钟上的分针? 二、 质 疑 提问

1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形. ②角的名称: 三、 问 题 探究 ③角的分类: B 终 边 始 边 O 顶 点 A
正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的 负角:按顺时针方向旋转形成的 角 角 ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α 是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤ 练 习 : 请 说 出 角 α 、 β 、 γ 各 是 多 少 度 ? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那 么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.

例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角?
y
45°
B1 x
60o
y
30° x O B 2 ⑵
O

B3
例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60 °; ⑵ 120 °; ⑶ 240 °; ⑷ 300 °; ⑸ 420 °; ⑹

1.1《任意角》教学教案1

1.1《任意角》教学教案1

1.1.1任意角学习目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

学习重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点:“旋转”定义角课标要求:了解任意角的概念学习过程:一、引入同学们在初中时,曾初步接触过三角函数,那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容,在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容,它能够简单地解决许多数学问题,在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1.回忆:初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”师:初中时,我们已学习了0○~360○角的概念,它是如何定义的呢?生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师:如图1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师:在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720o ” (即转体2周),“转体1080o ”(即转体3周);再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了5分钟,又该如何校正?生:逆时针旋转30o ;顺时针旋转30o .师:(1)用扳手拧螺母;(2)跳水运动员身体旋转.说明旋转第二周、第三周……, B α O A 图1则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握~角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.2.角的概念的推广:(1)定义:一条射线OA由原来的位置OA,绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB,就形成了角α。

1.示范教案(1.1.1任意角)

1.示范教案(1.1.1任意角)

第一章三角函数本章教材解析1.本章知识结构以下:2.本章学习的内容主若是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一种重要函数 ,与其他的函数对照,拥有好多重要的特色:它以角为自变量 ,是周期函数 .三角函数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个根本初等函数,是深入函数性质的极好素材 .本章的认知基础主若是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别重申了单位圆的直观作用 ,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.3.本章授课的重点是三角函数的定义,同角三角函数的根本关系式,正弦函数的图象及根本性质 .难点是弧度制和图象变换的正确理解和掌握.重点是学好三角函数定义. 从实质授课情况来看 ,授课中应重视学生的画图. “五点画图〞诚然简单 ,但却易学难掌握.在本章授课中 ,教师应依照学生的生活经验和已有的数学知识,经过列举熟知的实例,创立丰富的情境 ,使学生领悟三角函数模型的意义 .授课时 ,可结合本章序言的章头图,让学生围绕这些问题张开谈论,经过思虑 ,让学生知道三角函数能够刻画这些周期变化规律,进而激发学生的求知欲 .4.三角函数的内容素来是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低 , 倒是长久不衰的高考观察内容 .5.本章授课时间约需 16课时 ,详尽分配以下 (仅供参照 ):标题课时1.1 任意角和弧度制约 2课时1.2 任意角的三角函数约 3课时1.3 三角函数的引诱公式约 2课时1.4 三角函数的图象与性质约 4课时1.5 函数 y=Asin(ω x+ φ)的图象约 2课时1.6 三角函数模型的简单应用约 2课时本章复习约 1课时任意角和弧度制任意角整体设计授课解析教材第一经过实责问题的显现,惹起学生的认知矛盾,尔后经过详尽例子, 将初中学过的角的见解实行到任意角,在此基础上引出终边相同的角的会集的见解.这样能够使学生在已有经验 (生活经验、数学学习经验)的基础上 ,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等见解.让学生领悟到把角实行到任意角的必要性 ,引出角的见解的实行问题 .本节充分结合角和平面直角坐标系的关系 ,成立了象限角的见解 .使得任意角的谈论有一个一致的载体 .授课中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法 ,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题终边相同的角的会集.让学生初步学会在平面直角坐标系中谈论任意角,是本节的一个重要任务..能熟练写出与角学生的活动过程决定着课堂授课的成败,授课中应频频挖掘“研究〞栏目及“研究〞示图的过程功能 ,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思虑,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了会集S={β| β=α+k·360∈°Z,k}的含义 .如能借助信息技术 ,那么能够动向表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边地址的关系让学生在动向的过程中领悟,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能正确刻画角的形成过程的道理 ,更好地认识任意角的深刻涵义.三维目标,1.经过实例的显现,使学生理解角的见解实行的必要性象限角、终边相同角的见解及表示,成立运动变化的见解,理解并掌握正角、负角、零角、,并由此深刻理解实行此后的角的概念.2.经过自主研究、合作学习 ,认识会集S 中 k、α的正确含义 ,明确终边相同的角不用然相等,终边相同的角有无量多个 ,它们相差 360°的整数倍 .这对学生的平生张开 ,形成科学的世界观、价值观拥有重要意义 .3.经过类比正、负数的规定 ,让学生认识正角、负角并领悟类比、数形结合等思想方法的运用 ,为今后的学习与张开打下优异的基础.重点难点授课重点 :将 0°— 360°范围的角实行到任意角 ,终边相同的角的会集.授课难点 :用会集来表示终边相同的角.课时安排1课时授课过程导入新课图1思路 1.(情境导入)如图1,在好多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影局部即可获得高额奖品.由此提问 :指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运发动旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样讲解?在学生急迫想知道的期望中引入角的见解的实行.进而引入角的见解的实行的问题.思路 2.(复习导入)回忆初中我们是怎样定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样讲解现实生活的一些现象,比方你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能讲解这些现象 ?由此让学生张开谈论,进而引入角的见解的实行问题.推进新课新知研究提出问题①你的手表慢了 5 分钟 ,你将怎样把它调整正确 ?假设你的手表快了 1.25 小时 ,你应当怎样将它调整正确 ?当时间调整正确后 ,分针转过了多少度角 ?②体操运中有体两周,在个作中 ,运体多少度?③ 两名男生( 或女生、或多名男女学生)起立 ,做由“面向黑板体背向黑板〞的作.在个程中 ,他各体了多少度?活 :学生到台利用准好的教具——表,地演示表的程. 学生站立原地做体作 .教学生察旋方向和旋量, 并思虑怎表示旋方向.答复正确的学生及予激励、表,答复不正确的学生提示引考的思路.角能够看作是平面内一条射着端点从一个地址旋到另一个地址所形成的形,一条射的端点是O,它从初步地址OA 按逆方向旋到止地址OB,形成了一个角α,点O 是角的点 ,射 OA 、 OB 分是角α的始和.我定 : 一条射着它的端点按逆方向旋形成的角叫做正角,按方向旋形成的角叫做角.表的和分在旋程中所形成的角是角,了便起,在不惹起混淆的前提下, “角α〞或“∠ α〞能够作“α〞.若是一条射没有作任何旋,我称它形成了一个零角,零角的始和重合,若是α是零角 ,那么α=0°.果 :① 方向旋了30°;逆方向旋了450°.② 方向旋了720°或逆方向旋了720°.③-180 °或 +180°或 -540 °或 +540°或 900°或 1080 °⋯⋯提出①可否以同一条射始作出以下角:210 °,-45 °,-150 °.②怎样在坐系中作出些角,象限角是什么意思? 0 °角又是什么意思?活 :先学生看、思虑、并些,教提示、点 ,并答复正确的学生及表 ,答复不正确的学生,教提示、引考的思路 .学生作的角 ,使用一条射作始 ,没有固定的参照 , 因此会作出好多形式不相同的角.教能够适地提示学生:若是将角放到平面直角坐系中,会怎呢 ?并学生思虑在直角坐系内角的好:使角的获得化 ,能有效地表出角的“周而复始〞的象 .今后我在坐系中研究和角,了的方便,我使角的点与坐原点重合,角的始与 x 的非半重合.那么角的在第几象限,我就个角是第几象限角 .要特角与直角坐系的关系——角的点与坐原点重合 ,角的始与x 的非半重合 .果 :①能.②使角的点与坐原点重合 ,角的始与 x 的非半重合.角的在第几象限,我就个角是第几象限角.:210 °角是第三象限角;-45 °角是第四象限角 ;-150 °角是第三象限角 .特地 ,落在坐上的角不属于任何一个象限,比方 0°角.能够借此一步:角是第几象限角 ?角是第几象限角 ?直角是第几象限角 ?反之怎样 ?将角依照上述方法放在直角坐系中,定一个角 ,就有唯一一条与之,反之 ,于直角坐系中的任意一条射OB, 以它的角可否唯一?若是不唯一 ,那么相同的角有什么关系 ?提出① 在直角坐系中出210°,-150°的角的 , 你有什么 ?它有怎的数量关系?328°,-32 °,-392 °角的及数量关系是怎的?相同的角有什么关系 ?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动 :让学生从详尽问题下手,研究终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示 :演示象限角、终边相同的角,并及时地引导 : 终边相同的一系列角与0°到 360°间的某一角有什么关系,进而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以够用教具作一个32°角 ,放在直角坐标系内,使角的极点与坐标原点重合 ,角的始边与 x 轴的非负半轴重合 ,形成 -32 °角后提问学生这是第几象限角 ?是多少度角 ?学生对后者的答复是多种多样的 .至此 ,教师因势利导,予以启示 ,学生对问题研究的结果已经水到渠成,本节难点得以打破.同时学生也在这一学习过程中,领悟到了研究的乐趣, 激倡导了极大的学习热情,这是比学习知识自己更重要的.谈论结果 :①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍 .设 S={β|β=-32 °+k·360°,k∈Z }, 那么 328°,-392 °角都是 S 的元素 ,-32 °角也是 S 的元素 ( 此时 k=0).因此 ,所有与 -32 °角的终边相同的角 ,连同 -32 °在内 ,都是会集 S 的元素 ;反过来 ,会集 S 的任何一个元素显然与 -32 °角终边相同 .②所有与α终边相同的角,连同角α在内,能够构成一个会集S={β|β=k·360°+∈α,k Z}.即任一与角α终边相同的角,都能够表示成α与整数个周角的和.合时引导学生认识:① k∈Z ;② α是任意角 ;③终边相同的角不用然相等,终边相同的角有无数多个 ,它们相差360°的整数倍 .应用比方例 1在0°—360°范围内,找出与-950°12角′终边相同的角,并判断它是第几象限角.解 :-950°12′=129°-348×′360°,因此在0°—360°的范围内,与-950°12角′终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角 .谈论 :教师可引导学生先估计-950°12大′致是 360°的几倍 ,尔后再详尽求解.例 2写出终边在y 轴上的角的会集.活动 :终边落在y 轴上 ,应分 y 轴的正方向与y 轴的负方向两个.学生很简单分别写出所有与 90°,270 °的终边相同的角构成会集 ,这时应启示引导学生进一步思虑 :可否化简这两个式子 ,用一个式子表示出来 .让学生观察、谈论、思虑 ,并逐渐形成共识,教师再标准地板书出来.并重申数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简短的形式.图 2解 :在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即 90°和 270°角 ,如图 2.因此 ,所有与 90°的终边相同的角构成会集S1={ β|β =90 ° +k · 360∈°Z},k.而所有与270°角的终边相同的角构成会集S2={ β|β =270 ° +k · 360∈ °Z}.,k于是 ,终边在 y 轴上的角的会集S=S1∪ S2={ β|β =90°+2k·180°,k∈ Z}∪ {β|β =90° +180° +2k·∈180Z}° ,k={ β|β =90 ° +2k · 180∈ °Z},k∪ { β|β =90 ° +(2k+1) ={ β|β =90 ° +n· 180∈°Z},n.谈论 :本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示· 180∈Z°} ,k.授课中,应引导学生领悟用会集表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简短的形式.变式训练①写出终边在x 轴上的角的会集.②写出终边在坐标轴上的角的会集.答案 :①S={β|β=(2n+1)·180°∈,n Z}.②S={β|β=n·90°∈,n Z }.例 3 写出终边在直线y=x 上的角的会集S,并把 S 中适合不等式-360°≤β <720的°元素β写出来.图 3解 :如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,能够发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线 y=x 上的角有两个 :45 °和 225°,因此 ,终边在直线 y=x 上的角的会集S={ β|β =45 ° +k · 360∈ °Z} ,k∪ { β|β =225 ° +k · 360∈°Z}.,kS 中适合 -360 °≤β <720的元°素是 :45°-2 ×180 °=-315 °,45°-1 ×180 °=-135 °,45°+0×180 °=45 °,45°+1×180 °=225 °,45°+2×180 °=405 °,45°+3×180 °=585 °.谈论 :本例是让学生表示终边在直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按必然顺序取 k 的值 ,应训练学生掌握这一方法 .例 4 写出在以下象限的角的会集:①第一象限 ;②第二象限 ;③第三象限 ;④第四象限 .活动 :此题重点是写出第一象限的角的会集,其他象限的角的会集依此类推即可,若是学生阅读例题后没有解题思路,也许把①中的范围写成0°— 90°,可引导学生解析 360°— 450°范围的角可否是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解 :①终边在第一象限的角的会集:{ β| n·360°<β<n·360°+90∈Z°},n.②终边在第二象限的角的会集:{ β| n·360°+90°<β<n·360°+180∈Z°}. ,n③终边在第三象限的角的会集:{ β| n·360°+180°<β<n·360°+270∈Z°}. ,n④终边在第四象限的角的会集:{ β| n·360°+270°<β<n·360°+360∈Z°}. ,n谈论 :教师给出以上解答后可进一步提问: 以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、谈论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本本节练习 .解答 :1.锐角是第一象限角,第一象限角不用然是锐角;直角不属于任何一个象限 ,不属于任何一个象限的角不用然是直角 ; 钝角是第二象限角 ,可是第二象限角不用然是钝角 .谈论 :要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的差异与联系 ,并理解记忆 .为弄清见解的实质属性,还可以够再进一步启示设问 :锐角必然小于90°吗 ?小于 90°的角必然是锐角吗?钝角必然大于90°吗 ?大于 90°的角必然是钝角吗?答案自然是 :不用然 .让学生张开谈论,在争论中 ,将对问题的认识进一步升华,并牢牢的记忆这些基础知识.2.三、三、五 .谈论 :此题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际,把教科书中除数 360 换成每个星期的天数7,利用了“同余〞来确定 7k 天后、7k 天前也是星期三 ,这样的练习难度不大 ,能够口答 .3.(1) 第一象限角 .(2) 第四象限角 .(3) 第二象限角 .(4) 第三象限角 .谈论 :能作出给定的角,并判断是第几象限的角.4.(1)305 °第42四′,象限角 .(2)35 °第8′,一象限角 .(3)249 ° 30第′,三象限角 .谈论 :能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角,并判断是第几象限的角 .5.(1){|ββ =1 303 ° 8′ +k ·∈360Z},°-496,k ° 42-136′,° 42′ ,223 ° 18′.(2){β|β=-225 °+k ·360 °,k∈Z},-585,°-225 ,135°°.谈论 :用会集表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的会集,并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角 .课堂小结以提问的方式与学生一同回忆本节所学内容并简要总结:让学生自己回忆 :本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己获得以下结论:本节课实行了角的见解,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的见解以及终边相同的角的表示方法 ,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角 ,重点是看这个角的终边落在第几象限 ,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1) 与角α终边相同的角 ,这些角的会集为S={ β|β =k · 360 °∈+αZ};(2),k 在 0°— 360 °内找与角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以 360°,所得的商为k,余数为α( α必定是正数 ), α即为所找的角 .数形结合思想、运动变化见解都是学习本课内容的重要思想方法.作业①课本习题 1.1 A 组 1、3、 5.②预习下一节 : 弧度制 .设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,假设用信息技术辅助授课收效会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂演出示给学生;有条件的学校,能够让学生利用计算机或计算器进行研究 ,让学生在动向中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象见解的理解.在学生得出象限角的见解后 ,能够充分让学生谈论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生领悟: 在直角坐标系中角的“周而复始〞的变化规律 ,为研究三角函数的周期性确定基础.3.几点说明 :(1)列举不在 0°— 360 °的角时 ,应注意所有的角在同一个平面内 ,且终边在旋转的过程中 ,角的极点不动 .(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k 的正确取值是重点 ,应让学生独立思虑领悟 .(3) 在写出终边相同的角的会集时,可依照详尽问题,对相应的会集内容进行复习.你曾落的泪,最都会成阳光,照亮脚下的路。

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一、教学目标;
1、知识目标:
(1)理解任意角以及象限角的概念,掌握正角、负角、零角的定义;
(2)掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法;
2、能力目标:
(1)提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力;
(2)通过画图和判断角的象限,培养学生数形结合的思想方法;
3、情感目标:
(1)通过创设问题情景,激发分析探求的学习态度,强化参与意识;
(2)学会运用运动变化的观点认识事物.
4、教学重点、难点
重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断.
难点:把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来.
二、学生的特征分析;
学习对象为高中一年级学生,虽然有一定的观察能力,数学基础普遍较差。

但凡“数学”二字出现,就已经泄气,而不管所涉及内容的难易度和是否可接受,这种排斥心理很大程度上阻碍了数学教学的有效进行,这种抵触情绪也极大地打断了学习的可持续性。

学生课堂上更喜欢看而不喜欢写和说,遇到问题羞于提问。

学生思想有些偏激与极端,看待问题易存在片面性和表面性。

对待学科任由情感支配,喜欢数学学科的任课老师就对课程感兴趣,愿意付出努力和耐心;不喜欢任课老师,则表现为对数学课程的厌学。

三、学生知识情况分析;
0~360.结合实际生活中的例子,
1. 学生在初中已经接触到角的定义,角的范围仅限于00
由教材的“思考”出发,引发学生的的认知冲突,激发学生的求知欲望,让学生体会角的推广的必要性.
2.“终边相同的角之间的关系”的学习,可以从特例出发,通过填空的方式,使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程,学生易于接受.
四、教法学法分析;
教法分析:
我将采用探究式为主,加以简单的教具,讲练结合法为辅的教学方法.
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段.
探索与发现新知识是教学的重点.所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得新知识.
五、教学过程;
(一)、回忆初中学习过的角:
例如:
最小角
0, 最大角︒360
问题1;体操运动员在空中转一圈是多少度?转两圈多少度?
显然以前学习的角不够用啦,需要将角的概念进行扩展。

(二)、将角放入平面直角坐标系中:
以︒30角为例
︒30
问题2;︒30与︒390与︒750是同一个角吗?
分析 ;不是同一个角,有相同的终边。

问题3;与︒30角终边相同的角有多少个?
分析:(1)逆时针旋转:︒390, ︒750, ︒1110
至此角扩展到︒360以外,及大于︒360
问;︒30角的基础上逆时针旋转K 周之后的角怎样表示?
︒+︒⋅30360k
(2)顺时针旋转:
问:顺时针旋转和逆时针旋转角是否相同?
︒-30 ︒30 ︒-330 ︒-690
090α︒<<︒90180α︒<<︒
90α=︒ x y
o
至此角扩展到负角------- 顺时针旋转的角
结论;︒30角终边的角有无数多个,可能是正角,可能是负角,可能转了一周,可能转了两周,---------,其共同点是它们相差︒360的整数倍。

例如; ︒+︒⨯=︒303601390
︒+︒⨯=︒303602750
︒+︒⨯=︒3036031110
︒+︒⨯-=︒-303601330
︒+︒⨯-=︒-303602690
题型一;在坐标系中画出以下角。

(1) ︒-300 (2) ︒225 (3) ︒-60 (4) ︒-400
(三)、终边相同角的集合;βα与终边相同 {}z k k ∈+︒⨯=,360αββ
题型二;例2,写出与︒-︒︒-60,45,215角终边相同角的集合。

题型三;例3,在︒︒3600 范围内找出与下列角终边相同的角。

(1) ︒1000 (2) ︒-1000 (3)︒-1845 问题4,︒+︒⨯︒︒⨯-3153606-45-3605与终边是否相同?
问题5,︒+︒⋅⨯︒-︒⋅31536045360k k 与终边是否相同?
分析;终边相同的角的集合表示方法不唯一。

注;(题型三为本节的难点还会补充练习知道熟练为止)
例4;已知︒-=1845α在与α终边相同的角中求满足下列条件的角:
(1);最小的正角;(2);最大的负角;(3)720360 ︒-之间的角; 问题6,终边相同的角是否都相等?
相等的角的终边是否相同?
(四)、课堂练习:
(1)下列各组中,终边相同的是;
A.︒︒690390与
B.︒︒-750330与
C.︒︒420-480与
D.︒︒840-3000与
(2)︒50角的始边与X 轴非负半轴重合,把其终边按顺时针方向转3周所得角是—————。

(3)与︒-2002角终边相同的最小正角是—————。

(五)、总结;⎩⎨⎧︒︒︒以外角以内角角3603600 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧︒角
负角正角角0 (六)、角扩展后在实际生活中的应用:
例5;将分针拨快10分钟,则钟表的分针转过的角度是多少?
(七)、作业:课本第五页;1,2,3,4,5
(八)、思考题:终边在x y =上的角的集合是什么?。

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