数学选修2-2 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义
人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.3导数的几何意义
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义A 级 基础巩固一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)与f ′(5)分别为( )A ．3，3B ．3，－1C ．－1，3D ．－1，－1解析：由题意得f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1.答案：B2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)＜0B ．f ′(x 0)＞0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：由导数的几何意义可知曲线在(x 0，f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x 0)＝3.答案：B3．曲线y ＝x 2在点P (1，1)处的切线方程为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝－2x解析：因为Δy Δx ＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx＝2x ＋Δx ，所以 Δy Δx ＝2x ，所以y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.答案：B4．曲线y ＝12x 2－2x 在点(2，－2)处切线的斜率为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2解析：f′(2)＝ f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝12（2＋Δx ）2－2（2＋Δx ）－（－2）Δx ＝Δx 2＝0. 答案：C 5．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1，1)，(－1，－1)C ．(2，8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18解析：k ＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝＝3x 2＝3，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1，1)，(－1，－1)．答案：B二、填空题 6．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件f （1）－f （1－x ）2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 解析：由 f （1）－f （1－x ）2x ＝－2，得12f ′(1)＝－2， 即f ′(1)＝－4.答案：－47.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝______．解析：由导数的概念和几何意义知，f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－28．曲线y ＝x 3在点(3，27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：因为f ′(3)＝ （x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝27， 所以在点(3，27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，即y ＝27x －54.此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2，0)，(0，－54)．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.答案：54三、解答题9．求过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的斜率， k ＝y ′|x ＝1＝ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－3＋4－2Δx ＝(3Δx ＋2)＝2.设过点P (－1，2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式得：y －2＝2(x ＋1)，化为一般式：2x －y ＋4＝0.所以，所求直线方程为2x －y ＋4＝0.10．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程． 解：因为y ′＝（1x ＋Δx －1x ）－（x ＋Δx －x ）Δx ＝－Δx x （x ＋Δx ）－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x （x ＋Δx ）－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . 所以y ′|x ＝4＝－116－14＝－516， 所以曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516(x －4)，即5x ＋16y ＋8＝0.B 级 能力提升1．y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12D ．1 解析：因为Δy Δx ＝a （x ＋Δx ）2＋1－ax 2－1Δx ＝a （Δx ）2＋2a （Δx ）x Δx＝a (Δx )＋2ax ，所以 Δy Δx ＝2ax ，即y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，所以x 0＝12a .因为切点在直线y ＝x 上，所以y 0＝12a .代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a ＋1，所以a＝14. 答案：B2．设f (x )＝f ′(1)＋x，则f (4)＝________．解析：f ′(1)＝ f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝ （f ′（1）＋1＋Δx ）－（f ′（1）＋1）Δx＝ 1＋Δx －1Δx ＝ 11＋Δx ＋1＝12， 所以f (x )＝12＋x ， 所以f (4)＝12＋4＝52.答案：523．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． 解：设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1. f ′(x 0)＝ （x 0＋Δx ）2＋1－（x 20＋1）Δx ＝2x 0. 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0， 所以Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，y 0＝73. 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。
数学选修2-2 1.1 1.1.3 导数的几何意义
(
)
标 •
探
新 知
A．1
B．12
固 双 基
合 作 探
C．－12 A [由题意可知，f′(1)＝2.
D．－1
课 时
究
分
• 攻 重 难
又 lim
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝
lim
Δx→0
a1＋Δx2－a Δx
＝
lim
Δx→0
(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2
层 作 业
得a＝1.]
返
首
页
探
课 时
究 • 攻 重
＝ lim
Δx→0
0＋Δx2＋aΔ0x＋Δx＋b－b＝1，∴a＝1.
分 层 作 业
难
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
[规律方法] 1.本例2中主要涉及了两点：①f′0＝1，②f0＝b• Nhomakorabea探
固
新 知
2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义
当 堂
预
达
习 •
角为________.
标 •
探
固
新
双
知
[解析] 设切线的倾斜角为 α，则
基
合
tan α＝f′(x0) ＝1，又 α∈[0°，180°)，
作
探 究
∴α＝45°.
• 攻
[答案] 45°
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预
4．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义1 新人教A版选修2-2
＋5＝0，求点 P 的坐标及切线方程．
解：设切点 P 的坐标为(x0，y0)，
因为 f′(x0)＝Δlxi→m0
类题通法
求函数 y＝f(x)的导数的步骤
(1)求 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)求ΔΔyx＝f(x＋ΔΔxx)－f(x)；
(3)计算 f′(x)＝Δlxi→m0
Δy Δx.
活学活用
1.利用定义求函数 f(x)＝x3＋x－2 的导数 f′(x)，并利用 f′(x)
求 f′(－1)，f′(1)．
∴y′＝Δlxi→m0 ΔΔyx＝Δlxi→m0 (2－6x－3Δx)＝2－6x. (2)∵Δy＝(x＋3Δx)2＋a－x32－a＝－6xx2·(Δx＋x－Δ3x()Δ2 x)2，
∴ΔΔyx＝－x62x(x·Δ＋xΔ－x3)2(ΔΔxx)2＝－x2(6xx＋－Δ3xΔ)2x，
∴Δlxi→m0 ΔΔyx＝Δlxi→m0 －x2(6xx＋－Δ3xΔ)x2 ＝－x63，即 y′＝－x63.
【答案】当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于过点 P 的切线 PT.
问题 3：当 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？ 【答案】kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k. 问题 4：如何求得过点 P 的切线 PT 的斜率？ 【答案】函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k， 即 k＝liΔxm→0 f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝f′(x0)．
知识点二 导函数
提出问题
对于函数 f(x)＝－x2＋2.
问题 1：如何求 f′(x0)?
【答案】f′(x0)＝Δlxi→m0
－(x0＋Δx)2＋2－(－x02＋2) Δx
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二
1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________． 解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程． 【解】 因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]， 即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)． 因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)． 探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12， 所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标． 解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)． 探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)， 所以f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2， 所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ， 由题意可知k ＝4， 即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0， 曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)， 切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
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1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
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第一章 导数及其应用
新人教版选修2-2第1.1.3节导数的几何意义课件
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
练习2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:(1)①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
y
y=f(x)
Q
割 线
T P
切 线
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
高中数学选修2-2知识点
(3) 复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
.
(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 .
(5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
6 若 f ( x) ex ,则 f ( x) ex
7 若 f ( x)
log
x a
,则
f
( x)
8 若 f ( x) ln x ,则 f ( x)
2）导数的运算法则
1 x ln a 1 x
1. [ f (x) g( x)] f ( x) g ( x)
2. [ f (x) g( x)] f ( x) g( x) f ( x) g (x)
2
z
2
z
a2 b2;(4) z
z;(5) z
z
zR
(6)i 4n 1 i ,i 4n 2 1, i 4n 3 i , i 4n 4 1;
2
2
1i 1i
1i
(7) 1 i
i ;(8)
i,
i,
i
1i 1i
2
(9) 设
1 3i 是 1 的立方虚根，则 1
2
2 0 ， 3n 1
, 3n 2
, 3n 3 1
5.复数的几何意义 复平面：用来表示复数的三章 数系的扩充与复数的引入
一 :复数的概念
(1) 复数 : 形如 a bi (a R, b R) 的数叫做复数， a 和 b 分别叫它的实部和虚部 .
(2) 分类 : 复数 a bi (a R, b R) 中 ,当 b 0 ,就是实数 ; b 0 ,叫做虚数 ; 当 a 0, b 0 时 ,叫做纯虚数 .
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义
例1 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)
作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在
点P的切线的斜率．
栏 目 链 接
Δy 分析：割线 PQ 的斜率是 ，曲线在点 P 的切线的斜 Δx Δy 率为 tan α＝Δ lim . x→0 Δx
解析： ∵Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ (1 ＋ Δx)3 － 1 ＝ 3Δx ＋ 3(Δx)2＋(Δx)3， ∴割线 PQ 的斜率 Δy Δx ＋3Δx ＋3Δx ＝ ＝(Δx)2＋3Δx＋3. Δx Δx 当 Δx＝0.1 时，割线 PQ 的斜率为 Δy tan β＝ ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. Δx Δy 曲线在点 P 的切线的斜率为 tan α＝Δ lim ＝3. x→0 Δx
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：曲线 f(x) ＝x2＋ 1 在 x＝2 处的导数 f′(2)＝
4 4 ________ ，在点 P(2,5)处的切线的斜率为__________ ．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是 变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又 有密切关系，f′(x0)是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0 处的一个 函数值，求函数在一点处的导数，一般先用公式求出函数 的导数，再计算这一点处的导数值．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2 1．曲线 f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程是________．
2 2 解析：因为点(－2，－1)在曲线 y＝x上，所以曲线 y＝x在点(－2， 2 －1)处的切线斜率就等于 y＝x在 x＝－2 处的导数．所以 k＝f′(－2) 栏 目 2 2 接 － －2＋Δx －2 f－2＋Δx－f－2 1 1 ＝Δ lim ＝ lim ＝ lim ＝－ ， x→ 0 Δx→0 Δx→0 －2＋Δx Δx Δx 2 2 1 所以曲线 y＝x在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－ (x＋2)， 2 整理得 x＋2y＋4＝0. 答案：x＋2y＋4＝0
高中数学选修2-2第一章-导数及其应用
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
人教a版数学【选修2-2】1.1.3《导数的概念》ppt课件
重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
导数的几何意义
新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当
Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的 直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 __________．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
132＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
＝Δlixm→0[4＋2·Δx＋13(Δx)2]＝4. ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y
)
A．1
B．π4
C．54π
D．－π4
[答案] B
[解析] ∵y＝12x2－2，
∴y′＝ lim Δx→0
12x＋Δx2－2－12x2－2 Δx
＝ lim Δx→0
12ΔxΔ2＋x x·Δx＝Δlixm→0
x＋12Δx＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
数f(x)的导函数__________．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0 处的函数值，f即′(xf)′(x0)＝__________.
f′(x)|x＝x0
牛刀小试
1．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线 方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2
导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】 因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)． 【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】 因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2， 所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． 【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】 设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0， 联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】 因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线， 所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ， 所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ， 代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修2-2
1.平均变化率
一般地，函数 f ( x) 在区间上 [x1, x2] 的平均变化率为
y f(x2)f(x1)
xx2Leabharlann x1y割线的斜率f(x2)
kyf(x2)f(x1)
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f (x0) .
limlim k 切 线 ＝ f(x 0 ) x 0 y x x 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
3
T
T
P4 P
xO
x
4
图3.12
y f(x)
y
相交
oP
x
曲线在点P处切线的定义
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
x
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于
确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
思
割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 考
当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线 是下降的，即函数在这点附近是单调递减．
【例 2】设 f (x) x2 ，求 f (x) ， f (1) ， f (2) 的值．
分析：先根据导数的定义求 f (x) ，再将自变量的值代入求 得导数值．
1.1.3导数的几何意义课件-人教A版高二数学选修2-2
因为 y' ＝li mx＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1
Δx →0
Δx
＝3x2－2x，
则 y′|x=x0=3x20－2x0=1，解得 x0=1 或 x0=－13，
当 x0＝1 时，y0＝x30－x20＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
将 x0＝1，y0＝1 代入得 a＝0 矛盾舍去． 当 x0＝－13时，y0＝(－13)3－(－13)2＋1＝2237， 则切点坐标为(－13,2237)，代入直线 y＝x＋a 中得 a＝3227.
下面来看导数的几何意义:
y
如图,曲线C是函数y=f(x)的
y=f(x) Q
图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意 一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一 点,PQ为C的割线,PM//x
Pβ Δx
O
Δy
M x
轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.则 : MP x, MQ y,
请问：y 是割线PQ的什么? y
0－1
＝x20＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝Δlix→m0fx0＋ΔΔxx－fx0
=li m Δx→0
x
0＋Δx
3－2x0＋Δx Δx
－x
30－2x
0=3x20－2，
∴x20＋x0－1＝3x20－2，∴2x20－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－12.∴k＝x20＋x0－1＝－54， ∴切线方程为 y－(－1)＝－5(x－1)，
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与 过点P的曲线y＝f(x)的切线． P为切点 P可以是切点，也可以不是切点
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A.y=-x-1 C.y=-x
(2)已知曲线y= x 和这条曲线上的一点P(2， 2 )，判断曲线 y= x 在点P处是否有切线，如果有，求出切线方程.
【解题探究】1.题(1)中求曲线上一点的切线方程的关键是什 么? 2.题(2)①曲线y= x 在x=2处的导数的意义是什么? ②过点P(x0，y0)，斜率为k的切线方程是什么? 【探究提示】1.关键是求曲线上切点处切线的斜率，即求该点 的导数. 2.①曲线y= x 在x=2处的导数就是该点切线的斜率. ②切线方程是y-y0=k(x-x0).
f(-x)=-f(x)， 于是 f′(-x)= lim f (x x) f (x)
x 0
lim
f (x x) f (x) f (x). x 0 x
所以f′(x)是(-1，1)内的偶函数．故选B．
【题型示范】
类型一 求过曲线上一点的切线的方程
【典例1】(1)抛物线f(x)=x2-3x+1在点(1，-1)处的切线方程
1 (Δx)3+Δx+(Δx)2， 3 y 1 y (x) 2 1 x， lim 1， x 0 x 3 x 1 3 1 3
设倾斜角为α，则tan α=1， 又0°≤α＜180°，所以α=45°.
知识点2
导函数的概念
“函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)”“导函数f′(x)”“导
所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8， 所以f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8. 将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.
所以f(x)= x2，f′(x)=2x，
所以y=f(x)在(1，f(1))处的切线斜率为2.
(1)极限的理解：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，
最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做
所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值 (绝对值)无
限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量无穷小.
(2)连续的理解：函数在某点连续的定义，是当自变量的增量 趋于零时，函数值的增量趋于零. (3)导数的理解：函数在某点处导数的定义，是当自变量的增 量趋于零时，函数值的增量与自变量的增量之比的极限 .
所以函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 y-1=2(x-1)，即y=2x-1. 答案：y=2x-1
2.求函数f(x)= 2 +1在点(-1，-1)处的切线方程. 【解析】f′(-1)= lim f (1 x) f (1)
x 0
x
2 2 1 1 2 1 x 1 lim lim 2. x 0 x 0 1 x x
f(x)的导函数(简称导数).
f (x x) f(x) lim _____________. x (2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)=y′= x 0
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( (2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( (3)函数f(x)=0没有导函数.( ) ) )
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT
f (x 0 x) f(x 0 ) x 的斜率k，即k= lim _______________=f′(x 0).
x 0
2.导函数的概念
f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为 (1)定义：当x变化时，_______
0
的方法之一.
【微思考】 任何一个函数都有导函数吗? 提示：不是.比如函数y=2x，x∈{1，2，3}就没有导函数.
【即时练】 若f(x)是在(-1，1)内的可导奇函数，且f′(x)不恒为0，则 f′(x)( )
A.必为(-1，1)内的奇函数 B.必为(-1，1)内的偶函数 C.必为(-1，1)内的非奇非偶函数 D.可能为奇函数也可能为偶函数
所以斜率k=2x=2，得x=1，y=2.故选B.
2 2 (x x) x 2 x (2)因为y= ，所以 y lim 4 4 lim 2x x x . 4 x 0 x 0 x 4 2
令 x 1， 得x=1，所以切点的坐标为(1，1 ).
2 2 4
答案：(1，1 )
x 0
x
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率. (4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程.
(6)将切线方程化为一般式.
【变式训练】求曲线y=f(x)=x2+1过点P(1，0)的切线方程.
【解析】设切点为Q(a，a2+1)， f a x f a
【误区警示】应注意题目中所给的点是否在曲线上，不要误以 为所给的点都在曲线上而造成错误 .
【补偿训练】
1.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线
y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是__________.
【解析】因为f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，
【解析】(1)由题意知，函数f(x)在x0处的导数f′(x0)就是函 数f(x)在x0处切线的斜率k，由k=1得，倾斜角为45°. 答案：45° (2)因为函数f(x)在点A(1，2)处的导数是-1，所以过点A的切
线方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
(3)可利用导数定义求f(x)=x2在x=x0处的导数，再把x0换成x即
【解析】选B.因为f(x)在(-1，1)内可导，所以对任意 x∈
(-1，1)，
f ( x) f′(-x)= lim f ( x x) f ( x) lim f［ (x x)］ ，
x 0
x
x 0
x
又因为f(x)为奇函数，所以f［-(x-Δx)］=-f(x-Δx)，
1.1.3 导数的几何意义
1.导数的几何意义是什么? 问题 2.导函数的概念是什么?怎样求导函数? 引航 3.怎么求过一点的曲线的切线方程?
1.导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时， 直线PT 称为点P 割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的_______ 处的切线.
4 2 即 2x 4y 2 2 0. y 2 (x 2)， 4
【方法技巧】
1.过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2.求过曲线y=f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x0，f(x0)). (2)利用所设切点求斜率k=f′(x0)= lim f (x 0 x) f(x 0 ) .
【微思考】 (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? 提示：割线PPn的斜率是kn= f(x n ) f(x 0 ) ，当点Pn沿着曲线无限
xn x0
接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k. (2)曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么? 提示：在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一 定是切点，点P也不一定在曲线上.
【解题探究】1.题(1)中由切线与直线平行能得到什么?
2.题(2)中曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么关系?
【探究提示】1.切线与直线平行说明直线的斜率就是切点的导
数. 2.曲线上一点切线的斜率就是该点的导数 .
(x x) 2 1 (x 2 1) 【自主解答】(1)选B.平均变化率 2x x， x
数”之间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f′(x0)，就是在该点处函数值的改变 量与自变量的改变量之比的极限值，它是一个常数，不是变数 . (2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x) 的导函数f′(x). (3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0 处的函数值，即f′(x0)= y |x x . 这也是求函数在点x0处的导数
【解析】(1)错误.导函数f′(x)与原来的函数f(x)不一定有相
同的定义域，如y=lnx的导数为y′= 1 .
x
(2)错误.这条切线可能与已知曲线还有其他交点或切点.
(3)错误.函数f(x)=0上每一点的导数都是0，故函数f(x)=0的
导函数是f′(x)=0.
答案：(1)〓 (2)〓 (3)〓
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)=1，则函数f(x)在x0 处切线的倾斜角为________. (2)若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是-1，那么过点A的切线 方程是________. (3)函数f(x)=x2的导数f′(x)=________.
2 【自主解答】(1)选C. (1 x) 3(1 x) 1 (1 3 1) 1 x，
x
当Δx趋于0时，得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-(x-1)，即 y=-x，故选C.
(2)在曲线y= x 上点P附近取一点Q.设Q点的横坐标为2+Δx，
则点Q的纵坐标为 2 x.
(a x) 1 (a 1) 2a x，当Δx趋于0时，(2a+Δx)趋于2a， x 2 (a 1) 0 解得a=1〒 ， 所以，所求切线的斜率为2a.因此， 2a， a 1
2 2
x
所求的切线方程为 2
(2 2 2)x (2 2 2).
或 y= y (2 2 2)x (2 2 2)
x
故切线方程为y+1=-2(x+1)，即2x+y+3=0.