导数的计算及其几何意义

导数的计算及其几何意义
一、导数的概念及其几何意义
1.函数的平均变化率：
定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=- 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商
00()()f x x f x y
x x
+∆-∆=∆∆称
作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注意：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．
2.函数的瞬时变化率、函数的导数：
定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
“当x ∆趋近于零时，00()()
f x x f x x
+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0
x ∆→时，
00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，
000()()
()f x x f x f x x
+∆-'→∆”
或 “0000
()()
lim ()x f x x f x f x x
∆
→+∆-'=∆”．
注：0'()f x 是个数．
3.可导与导函数：
定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构
成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 注意：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
4.导数的几何意义：
内容：设函数()y f x =的图象如图所示：AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()
lim x f x x f x x
∆
→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数的几何意义可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．
5.在点00(())x f x ，
处的切线方程与过点()a b ，的切线方程 1）函数()y f x =在点00(())x f x ，
处的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-； 2）函数()y f x =过点()a b ，
的切线方程 此时()a b ，
可能是切点，也可能不是切点； 因此设切点为(())t f t ，
，求出在(())t f t ，处切线方程()'()()y f t f t x t -=- 代入()a b ，
，得()'()()b f t f t a t -=-，解出t ，再代入()'()()y f t f t x t -=-即可． 注意：①过点00(())x f x ，
的切线方程与在点00(())x f x ，处切线方程不同，应按（2）的做法进 行；
②函数()y f x =“在点00(())x f x ，
处切线方程”与“在0x x =处的切线方程”表达相同的意思； ③“函数()y f x =在点00(())x f x ，
处切线方程是y b =”．
二、导数的运算00'()0()f x f x b =⎧⇒⎨
=⎩
1.导数公式表
注意：2
11()'x
x =-，=这两个经常在考试中碰到，可当成公式记忆． 2.复合函数的导数
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设()()y f u u g x ==，，则''()'()x y f u g x =⋅．
注意：为了便于理解，记
0'lim
x x y dy
y x dx ∆→∆==∆，（这里x d 表示x ∆趋于0的自变量的改变量，y
d 表示x ∆趋于0的因变量的改变量），因此
'x dy dy du
y dx du dx =
=⋅
，即复合函数求导法则．
3.导数的四则运算
1）(()())()()f x g x f x g x '''+=+，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和． 2）(()())()()f x g x f x g x '''-=-，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．
3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．
4）2
()()()()()(()0)()()f x g x f x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦
，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方． 注意：①[()]''()C f x Cf x ⋅=，这里C 为常数； ②21'()
[
]'(()0)
()()g x g x g x g x =-≠． ③12121212[()()
()]''()()()()'()()()()'()
n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x =+++
一．选择题（共12小题）
1．（2018•蚌埠一模）函数f（x）=e|x|﹣2x2的大致图象为（）A．B．
C．D．
2．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（）
A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数
B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数
C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数
D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数
3．（2018春•福州期末）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=12x+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）
A．1B．5 2
C．3D．0
4．（2017•白山二模）设f（x）存在导函数且满足lim
△x→0f(1)−f(1−2△x)
2△x=﹣1，则
曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）
A．﹣1B．﹣2
C．1D．2
5．（2018•邵阳三模）已知函数f（x）=f′（﹣2）e x﹣x2，则f′（﹣2）=（）
A．
e2
e−1
B．
4(e2−1)
e
C．e2−1
4e
D．
4e2
e−1
6．（2017秋•黄陵县校级期末）已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1
C．e D．1 e
7．（2018春•江门期末）设f（x）=sinx﹣cosx，则f（x）在x=π
4
处的导数f′（π
4
）
=（）
A．√2B．﹣√2
C．0D．√2 2
8．（2017秋•定边县校级期末）已知函数f（x）=1
x
，则f′（1
2
）=（）
A．﹣1
4
B．﹣
1
8
C．﹣8D．﹣16
9．（2017秋•沙坪坝区校级期末）设函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（）
A．1B．﹣1 2
C．1
2
D．﹣1
10．（2016秋•东莞市校级月考）函数y=x+1
x
的导数是（）
A．1−1
2B．1−
1
x
C．1+1
x2
D．1+
1
x
11．（2016秋•福州期末）函数y=cosx
x
的导数是（）
A．−sinx
x2
B．﹣sinx
C．−xsinx+cosx
x2
D．−
xcosx+cosx
x2
12．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）
C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）
二．填空题（共4小题）
13．（2009春•亭湖区校级期中）若y=e x2+1，则y′=．14．函数y=√2x+5的导数是．
15．（2016秋•盐都区校级期中）已知f（x）=x3﹣2，则曲线y=f（x）在x=1
2
处的
切线斜率为．
16．（2012•天宁区校级模拟）抛物线y=x2+x﹣2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为．
三．解答题（共2小题）
17．求下列函数的导数
（1）y=x e e x
（2）y=x 3−1
sinx
（3）y=2e﹣x
（4）y=2xsin（2x+5）
18．求下列隐函数的导数（1）y2+x2﹣3xy=0，（2）x2e2+y2=1．。