导数的计算及其几何意义

导数的计算及其几何意义

一、导数的概念及其几何意义

1.函数的平均变化率：

定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=- 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商

00()()f x x f x y

x x

+∆-∆=∆∆称

作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注意：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．

2.函数的瞬时变化率、函数的导数：

定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化

00()()f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．

“当x ∆趋近于零时，00()()

f x x f x x

+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0

x ∆→时，

00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，

000()()

()f x x f x f x x

+∆-'→∆”

或 “0000

()()

lim ()x f x x f x f x x

∆

→+∆-'=∆”．

注：0'()f x 是个数．

3.可导与导函数：

定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构

成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 注意：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4.导数的几何意义：

内容：设函数()y f x =的图象如图所示：AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()

lim x f x x f x x

∆

→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数的几何意义可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．

5.在点00(())x f x ，

处的切线方程与过点()a b ，的切线方程 1）函数()y f x =在点00(())x f x ，

处的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-； 2）函数()y f x =过点()a b ，

的切线方程 此时()a b ，

可能是切点，也可能不是切点； 因此设切点为(())t f t ，

，求出在(())t f t ，处切线方程()'()()y f t f t x t -=- 代入()a b ，

，得()'()()b f t f t a t -=-，解出t ，再代入()'()()y f t f t x t -=-即可． 注意：①过点00(())x f x ，

的切线方程与在点00(())x f x ，处切线方程不同，应按（2）的做法进 行；

②函数()y f x =“在点00(())x f x ，

处切线方程”与“在0x x =处的切线方程”表达相同的意思； ③“函数()y f x =在点00(())x f x ，

处切线方程是y b =”．

二、导数的运算00'()0()f x f x b =⎧⇒⎨

=⎩

1.导数公式表

注意：2

11()'x

x =-，=这两个经常在考试中碰到，可当成公式记忆． 2.复合函数的导数

复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设()()y f u u g x ==，，则''()'()x y f u g x =⋅．

注意：为了便于理解，记

0'lim

x x y dy

y x dx ∆→∆==∆，（这里x d 表示x ∆趋于0的自变量的改变量，y

d 表示x ∆趋于0的因变量的改变量），因此

'x dy dy du

y dx du dx =

=⋅

，即复合函数求导法则．

3.导数的四则运算

1）(()())()()f x g x f x g x '''+=+，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和． 2）(()())()()f x g x f x g x '''-=-，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．