离散数学-数理逻辑

离散数学-第一部分数理逻辑-第二章命题逻辑等值演算

名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0

离散数学课件第一章(第1讲)

3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或例如：灯泡有故障或开关有故障。今天下雨或打雷。以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时，则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例：他通过电视看杂技或到剧场看杂技。他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》：具有唯一值的陈述句叫命题。讨论定义：
(1)命题的值：命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时既为真又为假。
(2)命题的真假值表示：命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取，读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ，则ＰΛＱ的真值为Ｔ。否则，其真值为Ｆ。
第一篇数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合理的结论的规律。数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑和谓词逻辑。数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处理思维的形式和规律。
第一章命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词

精品文档-离散数学(方世昌)-第1章

2
第1章数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的，故将它归属于命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于命题。
6
第1章数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命题。这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子命题或本原命题。例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值，因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称为命题常元。
35
第1章数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。但这样描述过于表面，它没能指出命题公式的结构。因为不是由命题变元、联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成规则生成的公式叫命题公式(简称公式):

离散数学练习-第1部分数理逻辑(解答)

5、下列命题公式为重言式的是（ D ），为矛盾式的是（ C ）
A、(P→Q)⋀Q⋀R
B、(P→P)→Q
C、(Q⋁R)⋀R
D、((P→Q)⋀(Q→R))→(P→R)
6、命题公式 (P→Q) 的主合取范式中含有（ D ）个极大项，主析取范式中含有（ B ）个极小项 A、0 B、1 C、2 D、3
7、下列式子不正确的是（ D ） A、∃xA(x) ⇔ ∀xA(x) B、∃x(A→B(x)) ⇔ A→∃xB(x) C、∀xA(x) ⇔ ∃xA(x) D、∀x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B
以下方案任选一：①A不去,B不去,C去；②A不去,B去,C不去； ③A去,B不去,C去
9、证明下列谓词公式为永真式
(xF( x) yG( y)) (yG( y) xF( x))
证明：题中的谓词公式为 (P Q) (Q P) 的代换实例
(P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) 1 (A A 1)
(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) m001 m000 m011 m111 m0 m1 m3 m（7 主析取范式） M2 M4 M5 M（6 主合取范式） (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)
命题“并不是所有汽车都比火车跑得慢”可符号化为（ C ）
命题“说汽车都比火车快是不对的”可符号化为（ C ） A、∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) B、∃x∃y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) C、∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) D、∀x(F(x)∧∃y(G(y)→H(x,y)))

离散数学_数理逻辑

15
1.2.6字位运算与布尔检索
计算机用位串表示信息，而位串是 0 个或多个字位的序列。每个字位有两个可能的值，即 0 或 1，字位的这种取值来自二进制数字，因为 0 和 1 是用在数的二进制表示中的数字。1946 年著名的统计学家图凯（John Tukey）引入了这一术语。因为真值只有两个取值，即真（T）和假（F），所以可以用字位表示真值，即用 1 表示真（T）表示假（F），0 。计算机的字位运算对应于逻辑运算，只要在运算符、和的真值表中用 1 代替 T，用 0 代替 F，就能得到表 1.2.6 所示的对应的字位运算表。这里，NOT 、OR 和 AND 表示、和相对应的字位运算，许多程序设计语言正是这样表示的。
离散数学讲义之
数理逻辑
主讲:邱晓红
数理逻辑简介
• 数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的科学。数学方法即符号方法，故数理逻辑又称符号逻辑。包含命题逻辑、谓词逻辑、证明论、模型论、递归函数、公理化集合论、归纳逻辑、模态逻辑、多值逻辑和时态逻辑等内容，与计算机有密切关系。
2
各知识点关联图
命题逻辑简单命题命题复合命题对偶式命题公式真值表主合取范式主析取范式合取范式析取范式蕴含式前提引入 P 规则置换等 T 规则推理规则推理系统置换归结原理自动推理合一量词引入规则量词消去规则
16
例 1.2.6
求位串 0 110 110 110 的按位 NOT 以及与位串 1 100 011 101 的按位
Hale Waihona Puke AND 和 OR 按位（这里以及本书其它地方均把位串按 3 个字位分块以便于阅读）。
解位串 0 110 110 110 的按位 NOT 由对应字位的 NOT 运算得到；两个位串的按位 AND 和按位 OR 分别由对应字位的 AND 和 OR 运算得到，其结果是

数理逻辑和离散数学的关系

数理逻辑和离散数学的关系数理逻辑和离散数学是两个与数学紧密相关的学科，它们在逻辑推理和离散结构上有着密切的联系。

数理逻辑是研究符号逻辑、形式逻辑和数理符号系统的学科，而离散数学则是研究离散对象、离散结构和离散算法的学科。

本文将从数理逻辑和离散数学的定义、研究内容以及它们之间的关系进行探讨。

我们来了解一下数理逻辑。

数理逻辑是研究推理和证明的一门学科，它利用符号和形式系统来研究逻辑的规律和原理。

数理逻辑主要包括命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等分支。

命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，用于研究量化和谓词之间的逻辑关系，而模态逻辑则研究命题的可能性和必然性等模态概念。

数理逻辑在数学、计算机科学、哲学等领域有着广泛的应用，例如在证明定理、验证计算机程序、人工智能等方面起着重要的作用。

接下来，我们来介绍一下离散数学。

离散数学是研究离散对象和离散结构的一门学科，它主要包括集合论、图论、代数结构、组合数学等分支。

离散数学研究的对象是离散的、不连续的数学结构，与连续的实数和实数运算相对应。

离散数学的研究内容包括集合的运算和关系、图的性质和算法、代数系统的结构和性质、组合数学中的排列组合等。

离散数学在计算机科学、密码学、网络优化等领域有着广泛的应用，例如在网络拓扑设计、图像处理、密码算法等方面发挥着重要作用。

数理逻辑和离散数学之间存在着密切的关系。

首先，数理逻辑为离散数学提供了严密的推理和证明方法。

数理逻辑的符号系统和形式化推理方法为离散数学的证明和推理提供了基础。

通过数理逻辑的方法，我们可以准确地表达和证明离散数学中的结论，确保其准确性和严谨性。

离散数学为数理逻辑提供了具体的应用背景和实例。

离散数学中的离散结构和离散算法为数理逻辑提供了实际的应用场景。

例如，图论中的图模型可以用于表示逻辑推理的过程，集合论中的集合运算和关系可以用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的逻辑关系。

离散数学中的算法和计算复杂性理论也为数理逻辑中的计算问题提供了解决方案。

数理逻辑与离散数学

数理逻辑与离散数学数理逻辑与离散数学是一门研究数学中的逻辑和离散结构的学科。

它们在数学领域中扮演着重要的角色，为数学家和计算机科学家提供了强大的工具和方法。

在这篇文章中，我们将探讨数理逻辑与离散数学的基本概念、应用和发展。

1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的数学分支，它主要关注命题、谓词和推理的形式化。

数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和形式系统等。

命题逻辑研究的是命题的真假和推理的正确性，谓词逻辑则引入了个体和谓词的概念，用于描述更加复杂的逻辑结构。

形式系统则是数理逻辑的基础，它定义了逻辑推理的规则和语法。

2. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散结构的数学分支，它主要关注离散对象和离散关系的性质。

离散数学的基本概念包括集合论、图论、代数结构等。

集合论研究的是集合的性质和运算，图论则研究的是图的性质和算法。

代数结构则是研究代数系统的抽象结构，包括群、环和域等。

3. 数理逻辑与离散数学的应用数理逻辑和离散数学在数学和计算机科学中有广泛的应用。

在数学领域，它们被用于证明和推理，帮助数学家发现新的定理和结论。

在计算机科学领域，数理逻辑和离散数学为计算机科学家提供了建模和分析的工具。

例如，图论被广泛应用于网络和路由算法的设计，离散数学的概念被用于设计和分析算法的正确性和复杂性。

4. 数理逻辑与离散数学的发展数理逻辑和离散数学作为学科的发展可以追溯到19世纪末。

随着数学和计算机科学的发展，它们变得越来越重要。

在20世纪，数理逻辑和离散数学得到了快速发展，涌现出了许多重要的理论和方法。

例如，哥德尔的不完备性定理揭示了数理逻辑的局限性，图论的四色定理解决了染色问题的一个重要难题。

总结起来，数理逻辑与离散数学是一门研究数学逻辑和离散结构的学科，它们在数学和计算机科学中有重要的应用和发展。

通过形式化和抽象化，数理逻辑和离散数学帮助数学家和计算机科学家研究和理解复杂的问题。

随着科学技术的不断进步，数理逻辑和离散数学将继续发展，为人类的认知和计算能力提供更强大的支持。

离散数学-第1章

27
练习1解答
提示：分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题真命题不是命题不是命题
不是命题不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101

数理逻辑重要公式离散数学

关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 取式析取三段论假言三段论等价三段构造性二难
4
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC)
推理定破律坏性(续二难)
说明： A, B, C为元语言符号若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
等值公式
双重否定律 : AA
结合律:
(AB)CA(BC)
分配律:
基(A本B等)C值式A(BC)
A(BC)(AB)(AC)
A(BC) (AB)(AC)
交换律:
ABBA, ABBA
等幂律： AAA, AAA
1
德·摩根律 : (AB)AB
(AB)AB
吸收律: 零律:
A(AB)A, A(AB)A A11, A00
5
基本等值式
1、基本等值式:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
2、消去量词等值式设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
3、否定等值式 x(x)= x(x) x(x)= x(x)
6
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现

离散数学数理逻辑期末练习题

数理逻辑1、下列解释中只有_______使公式(p q)r ↔→成假。

(A ) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B ) (p ,q ,r )＝(1,0,1) (C ) (p ,q ,r )＝(0,1,0)(D ) (p ,q ,r )＝(0,0,1)2、下列解释中只有_______使公式p q r ↔∨成真。

(A) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C) (p ,q ,r )＝(1,0,0)(D) (p ,q ,r )＝(0,1,1)3、下列解释中只有_______使公式r q p ∨→成假。

(A ) (p ,q ,r )＝(1,0,0) (B ) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C ) (p ,q ,r )＝(1,1,0)(D ) p ,q ,r )＝(0,0,0)4、下列公式是重言式的是（）。

()()A. P Q P Q ⌝∧→∨ ()P P Q →∧B.()P Q Q ⌝→∧C.()P P Q →∨D.5、下列公式是重言式的是（）。

()()A. P Q P Q ⌝∧→∨()()()()P Q P Q Q P ↔↔→∧→B. ()P Q Q ⌝→∧C.()P P Q ⌝→∨D.6、下列解释中只有_______使公式r q p ∧→成假。

(A) (p ,q ,r )＝(0,0,0) (B) (p ,q ,r )＝(0,1,0) (C) (p ,q ,r )＝(1,1,0)(D) (p ,q ,r )＝(1,1,1)7、下列解释中只有_______使公式r q p →∨成假。

(A ) (p ,q ,r )＝(0,0,0)(B ) (p ,q ,r )＝(0,1,1) (C ) (p ,q ,r )＝(1,0,0)(D ) (p ,q ,r )＝(1,1,1)8、下列解释中只有_______使公式r q p →→)(成真。

离散数学基础-第二章-数理逻辑

41
g) 你获得这一职位表明你有最好的信誉。 h) 要成为美国公民，只要你生在美国就行了。 i) 除非下大雨，否则我是一定要出门的。 j) 要在服务器登录必须有一个有效的口令。
42
【定义】设P, Q是两个命题,复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的等价式，记做 P Q，称为等价联结词。
是可兼或还是不可兼或。
▶若是可兼或，以及p, q不能同时为真的不可兼或①，均可直接符号化为p∨q的形式。 ▶如果是不可兼或②，并且p与q可同时为真，就应符号化为 (p∧┐q)∨(┐p∧q) 的形式。
31
【例】将下列命题符号化。 (1)张三选修了英语课或者微积分课。 (2)今晚张三要么只看书要么只听音乐。 (3)a>0或a=0。
例：如果1+1=2，那么雪是白的。
37
4) 在数学和其他自然科学中， “如果p, 则q” 往往表达前件p为真，后件也为真的推理关系；而在数理逻辑中，当前件p为假，不管后件是真是假，规定 p→q都是真 (∵复合命题p →q应有真值)。
例：校长宣布：如果气温超过38℃，则全校停课。
38
关于“只有……, 才……”和“除非……, 否则……”的符号化：
做 p → q， → 称为蕴涵联结词， p称为前件， q称为后件。
“→ ”的读法：implies, if…then… （英）
蕴涵、如果…则… （中）
p→q的真值定义为：
p→q为假 iff p为真而q为
假
34
p→q的真值定义为： p→q为假 iff p为真而q为假
表2.4 p→q真值表
pq 00 01 10 11
(1) 相容或(可兼或)：用它联结的命题具有相容性：命题可以同时为真，如：张三会讲英语或日语。

离散数学

26
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式设A0是含命题基本等值式变项 p1, p2, …, 第一组命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式，例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等是n个谓词公式，第二组用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式处代替A0中的设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一次，则称此简单合取式为极小项。在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定，并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法附加前提证明法归谬法 (反证法)

离散数学第五-六章

例如实数集上对+可分配,但+ 对不可分配; 集合上的运算, ;,命题集合P上的,都是相互可分配
例题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?

离散数学命题逻辑第一章(1)

第一篇数理逻辑
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假，也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。土星上有生物。３＋２≥9。 1+101=110 请关门！你要出去吗？如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。我正在撒谎。
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第一章命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
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第一章命题逻辑
1
命题及其表示方法联结词

离散数学-数理逻辑共87页

段
想。
12
英国数学家 G.Bool于1847年发表《逻辑的数学分
析》，创建一套表示逻辑推理的基本符号以及符号的
创运算规律，建立了布尔代数。
立
阶
段
德国数学家 G.Frege于1879年在《概念的演算》
一书中引进谓词符号和量词符号，创建第一个比较严
Hale Waihona Puke 格的逻辑演算系统。13
英国逻辑学家 A.N.Witehead和B.Russel于1910
3.通过演算规则，得出结果
8
（3）内容
命题逻辑谓词逻辑
9
（4）分支
证明论模型论递归论公理集合论
10
§1.2 数理逻辑的发展简史
起源阶段
发
展
历
创立阶段
史
完善阶段
11
德国数学家、哲学家 G.Leibniz
起源
（1646~1716），提出建立一种普遍的符
阶号语言，利用符号语言进行思维演算的设
– 《Discrete Mathematics and Its Applications》(Sixth Edition)， [美]Kenneth H. Rosen，机械工业出版社影印版、译本
1
课程主要内容
• 数理逻辑 • 集合论 • 图论 • 代数系统*
2
目的、意义和要求
• 研究内容：离散量的结构及其相互间的关系。 • 意义：计算机科学的理论基础。 • 目的：打基础
数理逻辑是采用数学方法研究抽象思维推理规律（形式推理）的一门科学。
命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分之一
推理的基本要素是命题把命题作为基本单位来分析
符号化
研究公式间的关系

离散数学1命题逻辑

第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来研究推理形式结构和推理规律的数学学科。通过引入一套符号体系来研究推理规律的学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系否定——不是、没有、非、不合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑

离散数学数理逻辑基础知识

离散数学数理逻辑基础知识离散数学是计算机科学的基础，数理逻辑是离散数学中最重要的分支之一。

它们提供了描述和分析计算机科学中的问题所需的工具和方法。

本文将介绍离散数学和数理逻辑的基础知识。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的对象组成的整体。

用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。

集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}表示A和B的交集，A∪B={1, 2, 3, 4}表示A和B的并集。

二、命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数理逻辑分支。

命题是陈述句，可以判断为真或者为假。

常见的逻辑关系有与、或、非，分别用∧、∨、¬表示。

例如，如果P表示"今天是星期一"，Q表示"明天是星期二"，则P∧Q表示"今天是星期一并且明天是星期二"，P∨Q表示"今天是星期一或者明天是星期二"。

三、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展的命题逻辑，它引入了谓词和量词。

谓词是陈述句中的关系词，描述了对象之间的关系。

量词则用来说明集合中的元素是否满足某个条件。

谓词逻辑的语句可以用∀表示全称量词，表示对于集合中的所有元素都成立；用∃表示存在量词，表示存在至少一个元素使语句成立。

四、关系和函数关系是用来描述元素之间的联系的数学工具。

关系可以是二元的，也可以是多元的。

例如，设A={1, 2, 3}，则可以定义一个关系R={(1, 2), (2, 3)}，表示元素1与元素2之间存在关系，元素2与元素3之间也存在关系。

函数是一种特殊的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一对应的输出。

函数可以表示为f: A→B，表示定义在集合A上的函数f，其输出是集合B中的元素。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5}，则可以定义一个函数f={(1, 4), (2, 5)}，表示元素1映射到4，元素2映射到5。

离散数学--数理逻辑测验答案

数理逻辑测验一、符号化下列命题1. 如果张三和李四都不去，他就去。

（命题符号）解：设P ：张三去；Q ：李四去；R ：他去。

R Q P →⌝∧⌝)(。

2. 我将去上街，仅当我有时间。

（命题符号）解：设P ：我将去上街；Q ：我有时间。

)Q P (→。

3. 有些人喜欢所有的花。

（谓词符号）解：设P(x)：x 是人； Q(y)：y 是花； R(x ，y)：x 喜欢y 。

))),()()(()()((y x R y Q y x P x →∀∧∃。

4. 所有运动员都敬佩某些教练。

（谓词符号）解：设P(x)：x 是运动员；Q(y)：y 是教练；R(x ，y)：x 敬佩y 。

))),()()(()()((y x R y Q y x P x ∧∃→∀。

5. 每个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。

（谓词符号）解：设P(x)：x 是人；Q(x)：x 喜欢乘汽车；R(x)：x 喜欢骑自行车；)))()(()()((x R x Q x P x ∨→∀；二、简答题1、写出R Q P →→)(的析取范式，合取范式。

合取范式））析取范式--(()()()(R Q R P R Q P RQ P RQ P ∨⌝∧∨=--∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→2、设P ：今天下雨。

Q ：我去上街。

R ：我有空。

用自然语言写出以下命题：)(P R Q ⌝∧↔，)(Q R ∨⌝。

解：)(P R Q ⌝∧↔：我去上街当且仅当我有空并且今天不下雨； )(Q R ∨⌝：我没空，并且我不去上街。

3、设Q P ,的真值为0，S R ,的真值为1，求以下命题的真值： )()(S R Q P ∨⌝∧↔，)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝。

解：)()(S R Q P ∨⌝∧↔的真值：1))()((.1)(,1)(,1)(,1)(.0,0,1,1,1,1,0,0=∨⌝∧↔∴=⌝∨=⌝∧=∨⌝=↔∴=⌝=⌝=⌝=⌝∴====S R Q P S R P R S R Q P S R Q P S R Q P)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值：.1))()))((((1))()((.1))()))((((;0))))((((,1))((真值为；真值为即：S R P R Q P S R Q P S R P R Q P P R Q P P R Q ⌝∨→⌝∧→∨⌝∨⌝∧↔=⌝∨→⌝∧→∨⌝∴=⌝∧→∨⌝=⌝∧→∴4、写出谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束范式。