新北师八下第一章三角形的证明学案

A
E B D C
模块四：课下练习 1、 2、 在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则 ∠B 如图，已知∠ABC＝20°，BD＝DE＝EF＝FG，求∠CGF 和∠AFG 的度数分别是_________．
等于________度．
3、
如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于 E，过 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D，交 AC 于 F．若 ）. D．6 A．9 B．7 C．8
A D B C
2． 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，且 DE⊥AB，DF⊥AC。 A 求证：∠1 =∠2。
E F 1 2 模块四：课下练习 B ☆能力提升 C D 1.△ABC 中，AB＝AC，∠A＝50°，P 是△ABC 内一点，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC 的度数
A 12 15 D 9 C B
2、若直角三角形的三条边长分别是 6，8，a，则 a =__________。
3、已知：如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC=4，BC=3， （1）求 DC 的长； （2）求 AD 的长； （3）求 AB 的长；
DB= 9 。
5
（4）求证：△ABC 是直角三角形.
第一章
第一节
三角形的证明
等腰三角形（一）
模块一 一．知识点 1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） 。 （论证） 2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。 3、等腰三角形性质定理： （等边对等角） 。 （论证） 4、推论（三线合一） ： 。 （论证） 5、等边三角形性质定理： 。 （论证） 论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程） 二、自学互帮 6、已知：△ABC 是等腰三角形，AB=AC 求证：∠B=∠C（利用三角形全等证明）
模块二 基础训练 D 1.如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且 AE = BF。求证：AD = BC。
C
A
E
F
B
2．如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥AC∠BAC = 100°。 求∠1、∠3、∠B 的度数。
A
12 3
B
D
C
3．如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。
模块三 能力提升 1、 填空： （1）直角三角形的两直角边为 9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为 13，其中一条 直角边为 5，则另一条直角边为 。 （2）如果一个三角形的三边分别是 6、10、8，则这个三角形是 三角形。 2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 1）等边对等角； 2）对顶角相等； 3）平行四边形的两组对边相等； 4）正方形的四条边都相等； 3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图 5 所示，∠ACB＝90°，AC＝80 米，BC＝60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点 在距 A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
(2)如果 AD=
1 1 1 1 AC，AE= AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD= AC，AE= AB 呢?由 2 2 3 3
A E D
此你得到什么结论?
2．想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第 B 一步写出来。 a) 三角形中必有一个内角不少于 60 度； b) 一个三角形中不能有两个角是钝角； c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。
于
3 、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
C D B
A
第二节
直角三角形（二）
模块一 知识点 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （ “斜边、直角边”或“HL” ） （证明） A 模块二 基础训练 1、在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 DE⊥AB，CD = ED， 求证：AD 是∠BAC 的角平分线。
A D
B
C
模块三 能力提升 1． 填空： （1）如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD。 请找出所有的等腰三角形 。 （2）等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角为 。 （3）等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为 。 （4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°。
C D
E
B
2、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E 是 AB 上的一点。求证：CE = DE。
C
A
E
B
3、 在△ABC≌△A'B'C'中， CD， C'D'分别分别是高， 并且 AC＝A'C'， CD=C'D'． ∠ACB=∠A'C'B'． 求 证：△ABC≌△A'B'C'．
6.如图，△ABC 中，AB=AC，E 在 CA 的延长线上，且 ED⊥BC 于 D，求证：AE=AF．
7.如图，△ABC 的内角∠ABC 的平分线与外角∠ACG 的平分线交于点 D，过 D 点作 BC 的平行线交 AB 于 E，交 AC 于 F，那么 EF 与 BE，CF 之间存在怎样的关系.
第一节
求证： （1）G 是 CE 中点; （2）∠B=2∠BCE.
DG⊥CE,G 是垂足，
5.C 是线段 AB 的中点，CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD，CD＝CE． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D＝50°，求∠B 的度数．
第一节
等腰三角形（二）
模块一 知识点 1、等腰三角形两个底角的平分线相等； 2、等腰三角形腰上的高相等； 3、等腰三角形腰上的中线相等； 4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等； （以上定理画图、写出已知、求证、证明过程） 5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60。 6、两个角相等的三角形是等腰三角形。 （等角对等边） 7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理 或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 模块二 基础训练 1. 在如图的等腰三角形 ABC 中， (1)如果∠ABD= 1 1 ∠ABC，∠ACE= ∠ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论? 3 3
_________． 2． 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 是△ABC 的角平分线. 求证：BD＝CE. A
E 3．如图，A、B、F、D 在同一直线上，AB=DF， AE=BC，且 AE∥BC. 求证：⑴△AEF≌△BCD， ⑵EF∥CD.
E C 1 2
D
B
C
A
B
F
D
4.已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE,
C C'
D
A
D
B
A'
D'
B'
模块三
能力提升
1、填空：.如下图，Rt△ABC 和 Rt△DEF，∠C=∠F=90°。 （1）若∠A=∠D，BC=EF，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是__________. （2）若∠A=∠D，AC=DF，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是__________. （3）若∠A=∠D，AB=DE，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是__________. （4）若 AC=DF，AB=DE，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是__________. （5）若 AC=DF，CB=FE，则 Rt△ABC≌Rt△DEF 的依据是__________.
BD＋CF＝8，则线段 DF 的长（
4.在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于 D，AB＝a，则 DB 等于（ A.
）.
3 a 2
B.
a 2
C.
a A=20°，D 在 AB 上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3， 求：∠ABC 的度数.
归纳： 1、等腰三角形的性质定理：____________________________（简称“等边对等角” ） ； 推理格式：因为 AB=AC,所以__________________________（等边对等角） ； 2、推论（三线合一） ：______________________________________________； 推理格式： （1）因为 AB=AC,AD⊥BC,所以 BD=DC,AD 平分_______________； （2）因为 AB=AC,BD=DC,所以______ ⊥ ______，______平分______； （3）因为 AB=AC，______ 平分______，所以__________ ； 实践练习： 1.等腰三角形的两边分别是 7cm 和 3cm，则周长为__________________。 2.如图在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥ AC, ∠BAC=100°。求：∠1、∠B 的度数。
图5
模块四：课后练习 1、 找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。 （1）矩形是平行四边形 。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）如果 x y ，则 x 2 y 2 。 （4）全等三角形对应角相等。 （5）对顶角相等 （6）如果 ab=0,那么 a=0,b=0； 2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则 AD 等 。
A
，则△ABC 是等边
A
B
D
图1
C
B
D
C
图2
2、已知： ABC 中， ACB 90 ， CDAB ， A 30 ，AB = 40， 求 DB 的长。