2015届湖南省岳阳市高三质量检测(二)数学(理)试题
湖南省岳阳市高三教学质量检测(二)(二模)理数试题
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，则，应选答案D。
2. 已知为虚数单位，复数满足，则的值为（）A. 2B. 3C.D. 5【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
3. 设数列是等差数列，为其前项和，若，则（）A. 4B. -22C. 22D. 80【答案】C【解析】由题意可知，解之得，故，应选答案C。
4. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设可知，所以函数是奇函数，依据图像排除A，C，应选答案B，D，由于，即，故排除答案D，应选答案B。
5. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】A考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由平面，，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.6. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设将直线代入可得，则，则，应选答案C。
7. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可知该几何体是一个四棱锥与直三棱柱的组合体如图，其表面面积，应选答案A。
8. 执行如下图所示的程序框图，输出的值为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出：当结束运算程序，所以此时输出，应选答案B。
2015湖南高考数学(理)试题及答案
2015湖南高考数学（理）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共10小题）1.已知（为虚数单位），则复数=（）A．B．C ．D ．2.设A，B是两个集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．-7B．-1C．1D．25.设函数，则是（）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A．B．C．6D．-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则，.A．2386B．2718C．3413D．47728.已知点A，B，C在圆上运动，且．若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）A．6B．7C．8D．99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A．B．C．D．10.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）11._________。
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。
若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是。
13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为。
14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则。
15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是。
湖南省岳阳市高考数学信息卷 理
岳阳市2015届高考信息卷（理数）时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）． 1. 已知全集U =R ，集合{|2,R}x A y y x ==∈，{}|2B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ C ） A ．Æ B. {0,1} C. (0,2) D. (,2)-∞2. 若复数z 满足()12i z i +=-，则z i +=( B )A.1223. 用辗转相除法求294和84的最大公约数，则所求 最大公约数为 ( B ) A. 21 B. 42 C.84 D.1684. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ A ）5. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，对k *∈N ，5k k a a a +=，1015k k a a b ++=，则1520k k a a ++=（ B ）A ．2b a BC6. 在ABC ∆中，若2||AC AB AC ⋅>，则有（ D ）A ．||||AC BC >u u u r u u u rB ．||||BC AC > C ．||||AC AB >D ．||||AB BC >A BC D（第4题图）7. 设命题2:R,210p x ax x ∃∈-+<，则命题p 为假命题的一个充分不必要条件是（ B ）A. a ≥1B. a >1C. a ≤1D. a <28. 已知定义在R 的函数()f x 满足：①()()f x f x -=；②(2)()f x f x -=；③12,[0,1]x x "?（12x x ¹），2121()()0f x f x x x ->-.则（ C ）A ．函数()f x 的图像关于直线12x =对称B ．函数()f x 的图像关关于点1(,0)2对称 C ．函数(1)f x +在区间[]2013,2014内单调递增 D ．函数(1)f x +的最小正周期为19. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左，右两支于点B ，C ，且2||||BC CF =，则双曲线的渐近线方程为（ C ） A ．3y x =±B．y =± C．1)y x =± D．1)y x =±10. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ A ）A.14 B.12C.2D.4二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）（一）选做题（11～13题，考生只能从中选做二题，三题都做记前两题的得分）11. 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，AC 是⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上一点，且PC为⊙O的一条切线，若AO =2PB =，则PCP12. 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），点P 在曲线C 上，以Ox 为极轴建立极坐标系，点Q 的极坐标为2，）π，则P ，Q 两点距离的最大值为 2+13. 不等式33|21log (1)||21||log (1)|x x x x ---<-+-的解集是 (2,)+? .（二）必做题（14～16题）14. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 180 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 15. 已知下面的数列通项和递推关系：①数列{})(n a a n n =有递推关系n n n a a a -=++122；②数列{})(2n b b n n =有递推关系n n n n b b b b +-=+++12333； ③数列{})(3n c c n n =有递推关系4321464n n n n n c c c c c ++++=-+-；④数列{}4()n n d d n =有递推关系n n n n n n d d d d d d +-+-=+++++12345510105；试猜测： 数列{}5()n n e e n =的类似的递推关系65432161520156n n n n n n n e e e e e e e ++++++=-+-+- .16. 设实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知1x y≤≤且三数1,,x y 能构成三角形的三边长，记11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，求：（1）若2y x =，则t 的最小值为 1 ；（2）t 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 向量(4,7),(,sin )m b n a A ==满足//m n .（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【解析】（Ⅰ）∵(4,7),(,sin )m b n a A ==，//m n………………………5分 （Ⅱ）∵,,a b c 成等差数列，∴2a cb +=，①③ 又a b c <<，A B C <<，∴00090B <<，cos cos A C >，………………………12分 18．（本小题满分12分）有A ，B ，C 三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”， 求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．【解析】（Ⅰ）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ．…………………………4分（Ⅱ）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43． 故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41． 故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ③1272452451)1(=--==ξP ． ∴ξ的分布列为ξ 0 12P245 127 245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ． …………………………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1AB =，BC =，45ABC ∠=，点E 在PC 上，AE PC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150，求异面直线PD 与AB 所成角的大小．【解析】（Ⅰ）∵1AB =，BC =45ABC ∠=，∴2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-仔=，1AC =，∴AB AC ⊥， ∵//AB CD ，∴CD AC ^，（第19题图）∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ^，又∵AC AP A =I ， ∴CD ⊥平面PAC ，∵AE Ì平面PAC ，∴CD AE ⊥ ， ∵AE PC ⊥，又∵PC CD C =I ， ∴AE ⊥平面PCD ， 又∵AE ⊂平面AEB∴平面AEB ⊥平面PCD . ………………………6分 （Ⅱ）如图，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系A －xyz ，设AP t =，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，(1,1,0)D -，(0,0,)P t （0t >）.∵AB PC ⊥，AE PC ⊥，AB AE A =，∴PC ⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-r u u u r.∵AE PC ⊥，∴AE =设EAC APC θ∠=∠=，∴sin θ=cos θ=∴222(0,,)11t tE t t ++. 设平面AED 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ，∵222(0,,)11t tAE t t =++uu u r ，(1,1,0)AD =-u u u r，∴2220110t t y z t t x y ⎧⋅+⋅=⎪++⎨⎪-+=⎩，令1x =，得(1,1,)m t =-u r . ∵二面角B AE D --的大小为150，∴2|||cos ,||cos150|||||n m n m n m ⋅====o r u rr u r r u rt =∴在Rt PCD D中，PC =1CD =，∴60PDC ∠=.∵//AB CD ，∴异面直线PD 与AB 所成角为PDC Ð，∴异面直线PD 与AB 所成角的大小为60 ……………………………12分 20. (本小题满分13分)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润函数()()()1, 120N *,1, 2160N *10x x f x x x x ⎧≤≤∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为 ()x g x x =第个月的利润第个月的资金总和，例如()()()()338112f g f f =++．（Ⅰ）求()10g ；及第x 个月的当月利润率；（Ⅱ）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．【解析】（Ⅰ）依题意得()()()()12391f f f f =====，()()()()()101108112990f g f f f ∴==++++． ………………………3分当1x =时，()1181g =． 当120x <≤时，()()()()1211f f f x f x ===-==，则()()()()()18112180f x g x f f f x x==++++-+， 而1x =也符合上式，故当120x ≤≤时，()180g x x =+． 当2160x ≤≤时，()()()()()()()811220211f x g x f f f f f x =+++++++-()()()()2112101021208120211160010120x xx x x f f x x x ===-+++++--++， ∴，第x 个月的当月利润率为()21,120802,21601600x xg x x x x x ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪≤≤⎪-+⎩．……………………8分（Ⅱ）当120x <≤时，()180g x x =+是减函数，此时()g x 的最大值为()1181g =． 当2160x ≤≤时，()222216001600791x g x x x x x==≤-++-，当且仅当1600x x=，即40*x N =∈时，()g x 有最大值为279．217981>，∴当40x =时，()g x 有最大值为279，即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为279．………… 13分21. (本小题满分13分)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，线段FA 的中点在抛物线上. 设动直线:l y kx m =+与抛物线相切于点P ，且与抛物线的准线相交于点Q ，以PQ 为直径的圆记为圆C ． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）证明：圆C 与x 轴必有公共点；（Ⅲ）在坐标平面上是否存在定点M ，使得圆C 恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】，故线段FA 的中点的坐标为代入方程得，解得1p =. ……………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为22y x =，从而抛物线的准线方程为， 由22y x y kx m⎧=⎨=+⎩得方程∴PQ 的中点C 的坐标为，圆心C 到x 轴距离，∴圆C 与x 轴总有公共点.(或，以线段PQ 为直径的方程为:令0y =得，所圆与x 轴总有公共点）. ………………8分（Ⅲ）假设平面内存在定点M 满足条件，由抛物线对称性知点M 在x 轴上， 设点M 坐标为1(,0)M x ，∴ 111(,),(MP x MQ =-=--由0MP MQ ⋅=得，11()(x --，使得圆C 恒过点M . ……………………13分证法二：由（Ⅱ）知PQ 的中点C 的坐标为∴圆C 的方程为，， 上式对任意0k ≠均成立，，，使得圆C 恒过点M . ……………………13分 22. (本小题满分13已知函数()sin x f x e x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）如果对于任意的[0,]2x π∈，()kx f x ≥总成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()cos x F x f x e x =+，20132015,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 过点1(,0)2M π-作函数()F x 图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值.【解析】（Ⅰ）由于()sin x f x e x =，∴'()sin cos (sin cos )sin()4x x x x f x e x e x e x x x π=+=+=+.当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >； 当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <. ∴()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈. …4分（Ⅱ）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )x g x e x x k '=+-，令()(sin cos )xh x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=>，((0,)2x π∈)∴()h x 在[0,]2π上为增函数，∴2()[1,]h x e π∈.对k 分类讨论：①当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，∴()g x 在[0,]2π上为增函数，∴min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立； ②当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，∵()h x 在(0,)2π上为增函数，∴当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，∴0()(0)0g x g <=，不符合题意； ③当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，∴()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数k 的取值范围是(,1]-∞. (8)分 （Ⅲ）∵()()cos (sin cos )x x F x f x e x e x x =+=+，∴()2cos x F x e x '=， 设切点坐标为0000(,(sin cos ))x x e x x +，则斜率为000'()2cos x f x e x =，切线方程为000000(sin cos )2cos ()x x y e x x e x x x -+=⋅-，将1(,0)2M π-的坐标代入切线方程，得0000001(sin cos )2cos ()2x x e x x e x x π--+=⋅-001tan 12()2x x π---=--，即00tan 2()2x x π=-，令1tan y x =，22()2y x π=-，则这两个函数的图像均关于点(,0)2π对称， 它们交点的横坐标也关于2π对称成对出现，方程tan 2()2x x π=-，20112013[,]22x ππ∈-的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{}n x 的项也关于2π对称成对出现， 在20132015,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内共构成1007对，每对的和为π， 因此数列{}n x 的所有项的和1007S π=.……………………13分。
2015届湖南省岳阳市部分省重点高三联考理科数学试卷
已知由非负整数组成的数列 满足下列两个条件：
① ， ，②
（1）求 ；
（2）证明 ；
（3）求 的通项公式及其前 项和 .
解：（1）由题设得 ，且 、 均为非负整数，所以 的可能的值为1，2，5，10.
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ， ，与题设矛盾，
解：可取 ，
答案：A
10、已知 ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
解：法一:构造函数 在 时单调递减.又
所以 即
法二:结合函数 图象交点判断.
答案：A
三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知 为角 终边上的一点，则 =．
解：
答案:
12、设函数 在 内有定义，下列函数： ； ； ； 中必为奇函数的有.
答案:（2）（4）
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体 中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
答案:
14、已知两个向量 的夹角为 且 ，设两点 的中点为点 ,则 的最小值为.
解:设
当且仅当 时取等号
的最小值为1
15、定义在 上的函数 如果满足：对任意 ,存在常数 ,都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的界.已知函数 在区间 上是以3为界的有界函数，则实数 的取值范围是.
解： 对区间 上任意 恒成立
设 ，记
可知 在区间上递减， 在区间 上递增
所以 最大值为－5, 最小值为1
答案：
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
湖南2015届十三校数学试题联考理数——答案
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高三教学质量检测试卷(二).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）数学（文科）本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分，共21题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}1,3,4C ．{}2,4,5D ．{}2,3,4,52．如图程序运行后,输出的值是（ ）A ．-4B ．5C ．9 D. 143．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字。
若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ） A ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定 B ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定 C ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定 D ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定4．已知平面,αβ不重合，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=（其中O 为原点）， 则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．2-或2D ．1-或16．函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，则()1f =（ ） A ．32-B ．12- C ．12 D ．327．已知x 、y R ∈，不等式组2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．129．已知a ，b 是平面内一组单位正交基底，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值 是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2210．设3()3f x x x =-，若函数()()()g x f x f t x =+-有零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(23,23)-- B ．(3,3)- C ．[23,23]- D ．[3,3]- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．已知z x yi =+，,x y R ∈，i 为虚数单位，且2(1)z i =+，则x yi+= ． 12．已知曲线C 的参数方程是231x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数），点(3,)M a 在曲线C 上，则a = ．13．三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________. 14．已知,a b 都是正实数，且21a b +=，则12a b+的最小值是 _______．15．把数列}12{+n 的项依次按以下规则排在括号内：第一个括号一个数，第二个括号两个数， 第三个括号三个数，第四个括号四个数；第五个括号一个数，第六个括号两个数，……， 依次类推，分别为： （3）， （5，7）， （9，11，13），（15，17，19，21）， （23），（25，27）， （29，31，33），（35，37，39，41）， （43），（45，47），……，则（1）第104个括号内各数之和为 .（2）奇数2015在第 个括号内.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）2016年欧洲杯将于2016年6月10日到7月10日在法国举行。
高三数学二模考试试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值X围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值X围为__________．14．设O是△A BC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值X围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值X围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，某某数m的取值X围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．某某市耀华中学2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值X围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y 化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( ) A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f （x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( ) A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，某某数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值X围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值X围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值X围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值X围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值X围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的X围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的X围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值X围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，某某数m的取值X围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值X围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值X围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。
2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，则a＝（）A．1B．﹣1C．±1D．02．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．4．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8B．9C．10D．115．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．246．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝（）A．2B．3C．4D．57．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④8．（5分）已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|＝，单位圆的圆心为O，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）若（1﹣3x）2015＝a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣310．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＝且f（x+2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣7B．﹣8C．﹣9D．﹣10二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，则圆心C到直线l距离为．12．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．13．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．（二）必做题（14-16题）14．（5分）计算定积分（x2+sin x）dx＝．15．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为5，直线mx﹣y+m＝0过该平面区域，则m的最大值是．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝log n（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1•a2•…•a K为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k＝3时，则a1•a2•a3＝；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y＝g（x）的图象，求m 的最小值．18．（12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求数学期望Eξ．19．（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝4，BC＝8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．20．（13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．22．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求实数k的最小值；（3）证明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，则a＝（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，可知复数是实数：a2﹣1＝0，解得a＝±1．故选：C．2．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m⊂α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m⊂α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d＝．故选：D．4．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选：C．5．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．24【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，化为2x+3y＝3，∴+＝＝＝8，当且仅当2x＝3y＝时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．6．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴a＝b，∴一条渐近线为l：y＝x，代入抛物线C2：y2＝4x可得P（4，4），∵抛物线C2：y2＝4x的焦点为F（1，0），∴|PF|＝＝5．故选：D．7．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA 1和平面BB1CC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选：C．8．（5分）已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|＝，单位圆的圆心为O，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：（如图），在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝1，AB＝，由余弦定理可得cos∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°∴向量的夹角为180°﹣30°＝150°∴＝1××cos150°＝故选：C9．（5分）若（1﹣3x）2015＝a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3【解答】解：由题意得：展开式的每一项的系数a r＝C2015r•（﹣3）r，∴＝﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015＝（1﹣1）2015＝0∴＝﹣1．故选：C．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＝且f（x+2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣7B．﹣8C．﹣9D．﹣10【解答】解：由题意知g（x）＝，且函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t＝﹣7，故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，则圆心C到直线l距离为．【解答】解：因为直线l的参数方程为．∴消去参数t可得直线的普通方程为：y＝（x+3）⇒x﹣y+3＝0．又因为圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0；所以：圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+3＝0，即：（x﹣2）2+y2＝1；圆心为（2，0），半径为1．故圆心到直线的距离为：＝．故答案为：．12．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．【解答】解：在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，所以BC＝3，CD⊥AB，，可得CD＝．故答案为：．13．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【解答】解：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（二）必做题（14-16题）14．（5分）计算定积分（x2+sin x）dx＝．【解答】解：由题意，定积分＝＝＝．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为5，直线mx﹣y+m＝0过该平面区域，则m的最大值是．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，其中A（a，2a），B（a，﹣），∴△ABC的面积为，解得，a＝2，故A（2，4），B（2，﹣1）．又直线mx﹣y+m＝0可化为y＝m（x+1），可知直线过定点（﹣1，0），斜率为m结合图象可知该直线过点A（2，4）时，m取最大值，把点A的坐标代入直线可得，m＝，故答案为：16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝log n（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1•a2•…•a K为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k＝3时，则a1•a2•a3＝2；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为2024．【解答】解：（1）当k＝3时，则a1•a2•a3＝1•log23•log34＝log24＝2；（2）∵a n＝log n+1（n+2），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）＝log2（k+2）为整数，设log2（k+2）＝m，则k+2＝2m，∴k＝2m﹣2，∵211＝2048＞2015，∴区间[3，2015]内所有和谐数为：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，其和M＝23﹣2+24﹣2+…+210﹣2＝23（1+2+22+…+27）﹣2×8＝﹣16＝2024．故答案为：2，2024．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y＝g（x）的图象，求m的最小值．【解答】解：（1）化简可得f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x）＝3sin x cos x+sin2x﹣cos2x﹣sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由（1）可知，g（x）＝2sin[2（x+m）﹣]＝2sin（2x+2m﹣），∵函数y＝g（x）为偶函数，∴函数y＝g（x）的图象关于y轴对称∴2m﹣＝kπ+，解得m＝+，k∈Z，又∵m＞0，∴当k＝0时m取得最小值18．（12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求数学期望Eξ．【解答】解：用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3．由题意得，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为及得．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，，，P（ξ＝3）＝1﹣﹣﹣＝．∴．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．19．（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝4，BC＝8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．【解答】解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，∴OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC＝O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO＝OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE＝O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC＝90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1＝m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E （2，2，0），A（2，0，m）．∴＝（2，0，﹣m），＝（﹣4，4，0），＝（2，2，﹣m）．设平面ABCD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝1，z＝，即＝，设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝＝，解得m＝或m＝2，∴V A﹣BOC＝＝＝或．20．（13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【解答】（本题满分13分）解：（1）由题意：当0≤x≤30时v（x）＝85；当30≤x≤200时，v（x）＝ax+b．再由已知得解得，故函数v（x）的表达式为：v（x）＝…（6分）（2）依题意并由（Ⅰ）可得f（x）＝…（8分）当0≤x≤30时，f（x）为增函数，故当x＝30时达到最大，其最大值为85×30＝2550；当30≤x≤200时，f（x）＝，当且仅当x＝100时，f（x）在区间[30，200]上取得最大值5000，综上，当x＝100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值5000．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为5000辆/小时．…（13分）21．（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．【解答】解：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），∴在椭圆E：中有c＝2，又△PF1F2的周长为4+4，∵|PF1|+|PF2|＝4＝2a，a＝2，b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为，（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程组，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0，即（8k2﹣m2+4）＞0，∴x1+x2＝﹣，，要使，需使x1x2+y1y2＝0，即+＝0，∴3m2﹣8k2﹣8＝0，8k2﹣m2+4＞0对于k∈R恒成立，而原点到直线l的距离d＝，d2＝＝＝，d＝，同时有＝＝＝＝，∴|AB|＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴，∴≤12，∴＜|AB|≤2，当且仅当k＝时取”＝”．②当k＝0时，|AB|＝．当直线l的斜率不存在时，直线为x＝与椭圆＝1的两个交点为或满足，此时|AB|＝，综上，|AB|的取值范围为，∴S△OAB＝＝|AB|∈．因此S△OAB∈．22．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求实数k的最小值；（3）证明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．【解答】解析：（1）f（x）的定义域为x∈（﹣1，+∞）．f（x）＝ax﹣ln（x+1）⇒f′（x）＝a﹣⇔．所以f′（x）＞0⇔，f′（x）＜0⇔．得：时，，所以a＝1．（2）由（1）知，f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（0）＝0，x∈（0，+∞）．所以⇔kx2﹣f（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立设g（x）＝kx2﹣f（x）＝kx2﹣x+ln（x+1）（x≥0）．则g（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即g（x）min≥0＝g（0）．（*）由g（1）＝k﹣1+ln2≥0得k＞0．．①当2k﹣1＜0即k时，g′（x）≤0⇔⇒g（x0）＜g（0）＝0与（*）矛盾②当时，g′（x）≥0⇒g（x）min＝g（0）＝0符合（*）得：实数k的最小值为．（3）由（2）得：对任意的x＞0值恒成立取：．当n＝1时，2﹣ln3＜2 得：．当i≥2时，．得：．。
湖南省岳阳市2016届高三数学教学质量检测(二模)试题 理
岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)数 学（理科）满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,3}A =,{2,3,4}B =则()U C A B =( )A.{2,3}B.{5,6}C.{1,4,5,6}D.{1,2,3,4}2．已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．阅读下边程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ） A. 3?i ≤ B. 4?i ≤ C. 5?i ≤ D. 6?i ≤4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）.A.π6B.π7C.π8D.π96.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、,如果满足条件:2sin sin cos a A B b A +=,则ba=（ ） A C 题图7．若二项式213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和是512,则展开式中的常数项为( )A. 3927C - B. 3927C C. 499C - D. 499C8．变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3|||3|z x y =+-的取值范围是 ( )A 3[,9]2B 3[,6]2- C [2,3]- D [1,6] 9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π10.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为23，前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）A.827 C.408111.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．73B．D12．定义在R 上的连续函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x +=-,且其导函数()f x '满足()02f x x'>-,则当24a <<时,有（ ） A ．()()()22log 2af f a f <<B ．()()()2log 22af a f f <<C ．()()()222log af f f a << D ．()()()2log 22af a f f <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．若向量 a =（1,1）， b ＝（-1,2），则 a ·b 等于_____________.14．计算：00cos102sin 20sin10-= ____________ .15．抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X ，则X 的期望()E X =____ . 16．直线3440x y -+=与抛物线24xy =、圆()2211x y +-=从左至右的交点依次为,,,A B C D ，则CD AB的值为 ____________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）公差不为零的等差数列{}n a 中，125,,a a a 成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足21,n n S b n N *=-∈. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）令14nnna cb +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 18．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1， AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ)证明：B 1C 1⊥CE ；(Ⅱ)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(Ⅲ)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1的长.图(5)第19题图1第19题图2其中2ln()z y = ，35,455,11.55x y z === 62i 1()1750i i x x ==-=∑ ，61()()34580i iii x x y y ==-⋅-=-∑，61()(z)175.5i iii x x z ==-⋅-=-∑，()261776840i ii y y ==-=∑ ，()()613465.2i i i i y y z z ==-⋅-=∑(Ⅰ)根据散点图判断，y 与x 、z 与x 哪一对具有较强线性相关性？(给出判断即可，不必说明理由)（Ⅱ）根据(Ⅰ)的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字) （Ⅲ）利润为多少元/kg 时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线y bx a =⋅+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211bi ni niiiii i i ni n i i i i x x y y x y n x yx xx n x========-⋅-⋅-⋅⋅==--⋅∑∑∑∑ , a y bx =-⋅20. （本题满分12分）已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且21cos PF F ∠的最小值为91-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知(0,3)D ，若M 、N 在动点P 的轨迹E 上,且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数21()()2g x f x x b x =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20+x y =垂直.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求12()()g x g x -的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】在ABC ∆中，AB AC =，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （Ⅰ）求证：PC PDAC BD=； （Ⅱ）若3AC=，求AP AD 的值．23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x =--+（Ⅰ）解不等式()3f x >； （Ⅱ）存在0x R ∈，使得20()24f x m m +<，求实数m 的取值范围.第22题图岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符.13． _1__ 14．． _7 。
湖南省岳阳市高三数学教学质量检测试题(二)理湘教版
1=k 0=S50≤kk S S 2+=1+=k kS高三教学质量检测试题（二）数 学（理科）时量120分钟 满分150分。
参考公式：1、锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
2、22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2与k 对应值表：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}2|log (1),1B y y x x ==->，则=⋂B A（ ）A 、()1,-+∞ B ．()+∞,0 C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z= （ ）A. i 2323+-B. 322-C. 322i +D. 322-- 3．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = （ ）A ．2400B ．2450C ．2500D ．25504． 实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，那么目标函数y x z 42+=的最小值是 （ ） A ．-2 B.-4 C.-6 D.-85．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M 、，O 是坐标原点，则·= （ ）.A - 2 .B - 1 .C 1 .D 26．连续投掷两次骰子得到的点数分别为{}6,5,4,3,2,1,,,∈n m n m ，向量(,)a m n =与向量)0,1(=b的夹角记为α,则α)4,0(π∈的概率为（ ） A ．185 B.127C.125 D.21 7．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 （ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3) 8．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．)1,(--∞U ),1(+∞D ．（-1，1）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上。
2015年高三第二次教学质量调测附答案
2015年高三第二次教学质量调测数学 文科姓名 准考考号注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{24}B =，，则()UA B =ðA ．{1235}，，， B ．{24}， C ．{13}， D ．{25}， 2．已知m ，n 都是非零实数，则“m n =”是“22m n =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．为得到函数sin(3)4y x π=+的图象，只要把函数sin()4y x π=+图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的31倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的31倍，横坐标不变 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为A ．1B ．2 CD ．45．已知实数x ，y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为A ．4-B ．3-C ．0D ．16．已知双曲线2222C :1(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为ABC ．2 D7．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底 面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11BD EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥8．已知向量b a ⊥，2=-b a ，定义：b a c )1(λλλ-+=，其中10≤≤λ．若1212λ⋅=c c ，则λc 的最大值为A ．12 BC ．1 DE1D1C 1DCB 1AA（第7题图）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()()2log 23f x x =+-，则(6)f = ▲ ，()(0)ff =▲ .10．已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的 体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．11．直线l ：210x y --=与圆()221x y m +-=相切．则直线l 的斜率为 ▲ ，实数m 的值为 ▲ ． 12.已知α，β为锐角，3sin 5α=，tan 2β=， 则sin 2απ⎛⎫+=⎪⎝⎭▲ ， ()tan αβ+= ▲ ．13．已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ， 则ab 的最小值为 ▲ .14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为正整数．．．d .若22331S a +=，则d 的值为 ▲ ．15．设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. （本题满分15分）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知()2cos cos c a B b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若21a c -=，且△ABC，求边a 的长.126正视图 侧视图俯视图（第10题图）17．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：12a =，21n n n a a ka k +=-+，（k ∈R ），1a ，2a ，3a 分别是公差不为零的等差数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求证：对任意的N n *∈，n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列. 18．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，△ABC 是边长为2的正三角形，90PCA ︒∠=， E ，H 分别为AP ，AC 的中点，4AP =，BE = （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEH ；（Ⅱ）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本题满分15分）已知a ∈R ，函数()21f x x a x =--． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当0a <时，讨论()y f x =的图象与y x a =-的图象的公共点个数． 20．（本题满分14分）抛物线C ：24x y =，直线1l ：y kx =交C 于点A ，交准线于点M ．过点M 的直线2l 与抛物线C 有唯一的公共点B （A ，B 在对称轴的两侧），且与x 轴交于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求:AOB MON S S ∆∆的取值范围．（第20题图）HECBAP（第18题图）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．0，1- 10．288，336 11．12，12- 12．45，112-13．12 14．1 15．30,2⎛ ⎝⎭ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)16. （本题满分15分）解：（Ⅰ）因为()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos C A B B A -=．………………………………………… 2分即()2sin cos sin cos cos sin sin sin C B A B A B A B C =+=+=． ………… 5分 所以1cos 2B =，即3B π=． …………………………………………………… 7分（Ⅱ）因为△ABC ， 所以1sin 2ABC S ac B ∆== ． ………… 9分 所以10ac =． ……………………………………………………………… 11分又因为21a c -=， 所以5a =．……………………………………………… 15分 17．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为12a =，所以24a k =-，2321116a k k =-+．……………… ２分又因为2132a a a =+，所以229100k k -+=，解得2k =或52． ………… 5分 又因为{}n b 的公差不为零，所以52k =．…………………………………… 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，52n nb -=．…………………………………………………… 10分 假如n b ，2n b ，4n b 成等比数列，则242n n n b b b =．………………………… 12分代入化简得： ()()()255452n n n --=-，解得0n =．……………………14分 与N n *∈矛盾， 故n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列．…………………… 15分18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为△ABC 是边长为2的正三角形, 所以AC BH ⊥．………………２分又因为E ，H 分别为AP ，AC 的中点， 得//EH PC ，因为︒=∠90PCA ， 所以EH AC ⊥．……………………………… 5分故⊥AC 平面BEH ．…………………………………………………… 7分 （Ⅱ）取BH 得中点G ，连接AG ．……………………………………………9分因为EH BH BE ==，所以BH EG ⊥． 又因为⊥AC 平面BEH ， 所以AC EG ⊥，所以⊥EG 平面ABC ．所以EAG ∠为PA 与平面ABC 所成的角．… 12分 在直角三角形EAG 中，2AE =，23=EG , 所以3sin 4EG EAG EA ∠==．………… 15分 所以PA 与平面ABC 所成的角的正弦值为34．19．（本题满分15分）（Ⅰ）解：()221,1,1, 1.x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………… ２分当1x ≥时，()()11f x f ≥=； 当1x <时，()1524f x f ⎛⎫≥-=-⎪⎝⎭．……………………………………… 4分 所以，()min 1524f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．………………………………………… 5分 （Ⅱ）解：设()()2()1h x f x g x x a x x a =-=----0a <时，()()()()22212,1,1,1,12..x a x a x h x x a x a x x a x a x a ⎧-++≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪++-<⎪⎩ ………………………………………… 7分1x ≥时， (1)0h a =<．所以1x ≥时，一个零点．……………………………………………………………9分1a x ≤<时，10x =，211x a =->，（舍去）所以，1a x ≤<时，一个零点．………………………………………………… 11分G BHECAPx a <时，2101a a ∆=++，对称轴12a x +=-，()()210h a a a =-> 所以（ⅰ）13a ≤-时，0∆>，对称轴12a x a +=-≥，无零点；（ⅱ）153a -<<-+21010a a ∆=++<，无零点；（ⅲ）5a =-+25x a =<=-+（ⅳ）50a -+<<时，21010a a ∆=++>，对称轴12a x a +=-<，两个零点．………… 13分 综上，（ⅰ）5a <-+ ()y f x =与()y g x =的图像的公共点有2个；（ⅱ）5a =-+()y f x =与()y g x =的图像的公共点有3个；（ⅲ）50a -+<<时，()y f x =与()y g x =的图像的公共点有4个．………… 15分20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：1y =-．………… 4分 （Ⅱ）解：不妨设点A 在y 轴的左侧．则1(,1)M k--，设2l 的斜率为m ，2l ：211()4y m x k x y⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， 24440m x mx k -+-=，…… 6分 24164(4)0m m k ∆=--=，得 2110m k m-=<．………8分得2(2,)B m m ，所以有1m >．2(4,)A k k ，11(,0)N m k -，11||ON m m k =-=,12MON S m ∆=．…………………………………… 10分 B 到1l的距离2d =4||OA k =所以，212|||2|2AOBS OA d k km m ∆==-=2422|2|||(1)m m m m +-．……………………… 12分第20题图故:AOBMON S S ∆∆=24224()(1)m m m +-． 令21,(0)m t t -=<，则2131:8()442AOB MON S S t ∆∆=-->．………………………… 14分。
湖南省岳阳市2015届高三质量检测(二)数学(理)试卷
（第4题图2） ≤≥1（第4题图1）7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 510 3 111 4岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2|(1)M x x a a i ==+-(,)a R i ∈是虚数单位，若M R ⊆，则a =（ ）A.1B. ―1C. ±1D. 0 2. 已知,αβ为不重合的两个平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．12 B ．815 C ．1631 D ．16294．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶 图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流 程图输出的结果是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 5．已知向量()()1,,2,3-=-=y x b a ，且b a //,若y x ,均为正数,则32x y+的最小值是（ ） A ．35 B ．38C ．8D ．246．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线为l ，抛物线2C ： 24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是：第12题图A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④8. 已知,A BO ，则AB OA ∙=（ ）A ．32B ．32- CD． 9．若20152015012015(13)()x a a x a x x R -=+++ ∈ ，则20151222015333a a a ++ 的值为( ) A ．3 B ．0 C ．―1 D ．―310．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为( ) A. ―7 B. ―8 C. ―9 D. ―10二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
湖南高三第二次模拟考试数学(理)试题
湖南省2015届高三十三校联考第二次考试数学（理）京翰高考网试题（）长郡中学衡阳八中永州四中岳阳县一中湘潭县一中湘西州民中石门一中澧县一中郴州一中益阳市一中桃源县一中株洲市二中一．选择题1．集合{}{}26,30A x N xB x R x x=∈=∈->≤，则A B=I（ B ）A．{}3,4,5B．{}4,5,6C．{}36x x<≤D．{}36x x<≤2．下列命题中，真命题是（D ）A．x R∃∈，使得00xe≤B．22sin3(π,)sinx x k k Zx+≠∈≥C．函数2()2xf x x=-有两个零点D．1,1a b>>是1ab>的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )A．123B．273C．363D．64．)sin()(ϕω+=xAxf（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ D ）A．)1(-xf一定是奇函数B．)1(-xf一定是偶函数C．)1(+xf一定是奇函数D．)1(+xf一定是偶函数5．已知函数()cos6xf xπ=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M=，现从M中任取两个不同的元素,m n，则()()0f m f n⋅=的概率为( A )A．512B．712C．718D．79麓山国际联合命题由（第10题6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ D ） A.1008 B.2015 C.1007D. 1007-8．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立的是（ B ）A.[][])0()0(p p f f f f = B. [][])1()1(p p f f f f =C. [][])2()2(f f f f p p =D. [][])3()3(f f f f p p =9.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ B ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞ 10．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为(B )ABC D 7．已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ B ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?二．填空题 （一）选做题11．如图，BD 是半圆O 的直径，A 在BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点E ，AC BC ⊥，若23AD =，6AE =，则EC = 3 .12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点，点Q 为曲线2(14x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则||PQ 的最小值为322. 13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x )≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为[]2,3 .（二）必做题 14．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是____-160_____.15．如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 75 。
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（第4题图2）≤≥1（第4题图1）7 9 8 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 2015届湖南省岳阳市高三质量检测（二）数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2|(1)M x x a a i ==+-(,)a R i ∈是虚数单位，若M R ⊆，则a =（ ）A.1B. ―1C. ±1D. 02. 已知,αβ为不重合的两个平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16294．图1是某高三学生进入高中三年的数学考试成绩的茎叶 图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流 程图输出的结果是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 5．已知向量()()1,,2,3-=-=y x ，且//,若y x ,均为正数,则32x y+的最小值是（ ） A ．35 B ．38C ．8D ．246．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线为l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是：第12题图A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 8. 已知,A B是单位圆上的动点，且AB =O ，则AB OA ∙=（ ） A ．32 B ．32-CD． 9．若20152015012015(13)()x a a x a x x R -=+++ ∈ ，则20151222015333a a a ++ 的值为( ) A ．3B ．0C ．―1D ．―310．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为( )A. ―7B. ―8C. ―9D. ―10二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （ρ＞0，0≤θ＜2π），则圆心C 到直线l 的距离为 . 12．如图，在Rt ABC ∆中，斜边5AB =，直角边4AC =，如果以C为圆心的圆与AB 相切于D ，则C 的半径长为 . 13．不等式|1||2|5x x -++≥的解集是 . （二）必做题（14—16题） 14．计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰.15．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线m x ―y +m =0过该平面区域，则m 的最大值是 .16．已知数列{}n a 满足11a =，*log (1)(2,)n n a n n n N =+≥∈，定义：使乘积12k a a a 为正整数的k *()k N ∈叫做“简易数”. （1）若k=3时，则123a a a = ;（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-=，R x ∈，（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）将)(x f y =的图象向左平移m (0>m )个单位后得到偶函数)(x g y =的图象，求m的最小值.18．（本小题满分12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p 、q （p q <），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：（1）求该生至少有1 门课程取得优秀成绩的概率及p ，q 的值； （2）求数学期望ξE ． 19．（本小题满分12分）如图一所示，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，4=AD ，8=BC ，O 、1O 分别为BC 、AD 的中点，将梯形1ABOO 沿直线1OO 折起，使得平面1ABOO ⊥平面DC OO 1，得到如图二所示的三棱台BOC D AO -1，E 为BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面E OO1；（2）若直线E O 1与平面ABCD 所成的角的正弦值为1010，求三棱锥BOC A -的体积.图一图二20. （本小题满分13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况,对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查。
统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆 /千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当20030≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当0200x ≤≤时，求函数()x v 的表达式； （2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =⋅可以达到最大，并求出最大值.21.（本小题满分13分）已知椭圆E 22221x y a b+=)0(>>b a 与双曲线G ：1322=-y x 共焦点，21、F F 是双曲线的左、右焦点，P 是椭圆E 与双曲线G 的一个交点，O 为坐标原点，21F PF ∆的周长为244+。
（1）求椭圆E 的方程； （2）已知动直线l 与椭圆E 恒有两个不同交点B A ,，且OA OB ⊥，求OAB ∆面积的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数)1ln()(+-=x ax x f 的最小值为0，其中>0a .（1）求a 的值；（2）若对任意的),0(+∞∈x ,有1)(2>x f kx 成立,求实数k 的最小值;（3）证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.岳阳市2015届高三第二次质量检测试题数学(理科)参考答案一、选择题：1-5 CADCC 6-10 DCBCA二、填空题：（一）选做题（11—13题）11．12． 12513． {|32x x x ≤-≥或}（二）必做题（14—16题）14． 2315． 4316．（1）2；（2）2035 三、解答题：17．（本题满分12分）解：(1) 法一：因为)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-==x x x x x x cos sin cos 3sin 3cos sin 322--+ =x x 2cos 32sin -=)32sin(2π-x ………3分法二：因为)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-==112(sin cos )2(sin )2222x x x x -⨯+ =4sin()cos()66x x ππ--=)32sin(2π-x ………3分由 223222πππππk x k ≤-≤-得 12512ππππ+≤≤-k x k ………5分 所以)(x f 的单调递增区间为]125,12[ππππ+-k k )(Z k ∈; ………6分 (2) 由 (1) 可知，)322sin(2]3)(2sin[2)(ππ-+=-+=m x m x x g ………8分因为函数)(x g y =为偶函数，所以函数)(x g y =的图象关于y 轴对称所以 232πππ+=-k m 所以 1252ππ+=k m )(Z k ∈ ………10分又因为0>m ，所以当 0=k 时m 取得最小值125π。
…………12分18．（本小题满分12分）解：用i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”， i=1，2，3()1236125A A A =…………2分()1该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为()123611911125125P P A A A =-=-=………4分 又由p q <分(2分 分分 19．（本题满分12分）解：法一：（1）在等腰梯形ABCD 中，O 、1O 分别为两底BC 、AD 的中点，所以BC OO ⊥1，所以在三棱台B O C D AO -1中，BO OO ⊥1，OC OO ⊥1，又O OC BO = ，所以BOC OO 平面⊥1，所以BC OO ⊥1，又OC BO =，E 为BC 的中点，所以BC OE ⊥，因为O OE OO = 1，所以BC ⊥平面E OO 1。
……………… 6分（2）如图所示，取AD 的中点F ，连结BF 、BO 1、O 1F 、FE ，则O 、1O 、E 、F 四点共面。
设点O 1到平面ABCD 的距离为h 。
由平面1ABOO ⊥平面DC OO 1及BOC OO 平面⊥1知OC BO ⊥，又4==OC BO ，所以22=OE ，同理21=F O ，所以11122211OO OO F O S EF O =⨯⨯=∆，………………FE BA DO 1CO8分由BC ⊥平面E OO 1且BO BC 2=得22=BE所以1323111OO BE S V EF O EF O B ⨯=⨯⨯=∆- ………① 因为2)(212121+=-+=OO F O OE OO EF 又易知四边形ABCD 为等腰梯形，所以BC EF ⊥ 所以422121+=⨯⨯=∆OO EF BE S BEF 所以h OO h S V BEF EFO B 34231211+=⨯⨯=∆- ………② 由①②得422211+=OO OO h又8212211+=+=OO OE OO E O由题意得8422212111+⨯+=OO OO OO EO h =1010 解得 21=OO 或221=OO ……………………10分所以131OO S V BOC BOC A ⨯⨯=∆-328=或3216……………12分 法二：在等腰梯形ABCD 中，O 、1O 分别为两底BC 、AD 的中点，所以BC OO ⊥1，所以在三棱台BOC D AO -1中，BO OO ⊥1，OC OO ⊥1，又O OC BO = ，所以BOC OO 平面⊥1，又平面1ABOO ⊥平面DC OO 1， 所以︒=∠90BOC 。