2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第10讲变化率与导数导数的运算分层演练文
高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理
§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。
高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
当 x< 0 时 y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由 y′＝1x，所以 y′|x ＝x1＝x11，所以切线方程为 y－ln(－x1)＝x11(x－x1)，
又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝x11(－x1)，解得 x1＝－e，所以切 线方程为 y－1＝－1e(x＋e)，即 y＝－1ex.
角度2 求切点坐标或参数的值(范围)
[例2] (1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x
＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 则a的取值范围是______________________________________________．
答案：e2
4．函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝________. 解析：∵f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋21f′π3，∴f′π3＝43π，∴f π6＝3π62＋23π. 答案：3π62＋23π
[一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
022x2 ＋ 021
1 xln
2，D
正确．
答案：A B D
2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系 式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为 ( )
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值 (2)
B.
D.
3
,+∞
2
3
,4
2
)
答案:(1)B (2)D
解析:(1)f(x)=|x2-3x+2|=
2 -3 + 2, ≤ 1 或 ≥ 2,
-( 2 -3 + 2),1 < < 2.
如图所示,函数的单调递增区间是
3
1, 2
和[2,+∞).
(2)要使 f(x)=ln(4+3x-x2)有意义,需 4+3x-x2>0,解得 x∈(-1,4).
断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进
行判断
对点训练2(1)(2021广西贵港模拟)下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的
是(
)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)在(-∞,0]上单调递增
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
1,为有理数,
例如:函数 f(x)=
它的定义域为 R,但不具有单调性.
0,为无理数,
2.函数的最值
前提
条件
结论
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; ③对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
④存在x0∈I,使得 f(x0)=M
故函数f(x)的最大值为2.
突破技巧求函数最值的五种常用方法及其思路
单调性法
图象法
基本不等
式法
导数法
换元法
先确定函数的单调性,再由单调性求最值
新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
高考数学大一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示课件理
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf
第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。
第2篇 第10节 导数的概念与计算课件 理 新人教A版 课件
质疑探究 1：如果 f(x)＝ln |x|，则 f′(x)＝1x？ 提示：正确，分 x>0，x<0 去绝对值，求导数可得．
4．导数的运算法则和复合函数的导数
(1)导数的运算法则 ①[f(x)± g(x)]′＝___f_′(_x_)_±__g_′(_x_)_____； ②[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_) ______；
解析：设过点(1,0)的直线与 y＝x3 相切于点(x0，x30)， 所以切线方程为 y－x30＝3x02(x－x0)， 即 y＝3x20x－2x30， 又(1,0)在切线上， 则 x0＝0 或 x0＝32， 当 x0＝0 时，由 y＝0 与 y＝ax2＋145x－9 相切可得 a＝－2654， 当 x0＝32时，
导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 ___Δ_lix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f_x_0_____.
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝
②几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) ． 相 应 地 ， 切 线 方 程 为 ___y_－__f(_x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)__________．
即f′(x＋T)＝f′(x)， 所以导函数为周期函数． 因为y＝f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 两边求导得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)， 即－f′(－x)＝－f′(x)， 所以f′(－x)＝f′(x)， 即导函数为偶函数，故选B. 答案：B
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
解析：D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.]
3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)( )
A．既是周期函数，又是奇函数
B．既是周期函数，又是偶函数
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第10节 导数的概念与计算
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”。
(1)y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
C．不是周期函数，但是奇函数
D．不是周期函数，但是偶函数
解析：B[因为y＝f(x)是周期函数，
所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，
得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，
即f′(x＋T)＝f′(x)，
所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．所以f′(x)为偶函数]
4．[人教A版教材P18A组T6改编]曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为__________．
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
高三第一轮复习 导数(导数的概念)
导 数导数的概念【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1. 导数的定义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2) 函数f (x )的导函数（导数）函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.2. 基本初等函数的导数公式：（1）若()f x c =(c 为常数),则()_____f x '=0； （2）若)()(Q x x f ∈=αα，则1)(-='ααx x f ；（3）若()sin f x x =，则()_____f x '=x cos ；（4）若()cos f x x =，则()_____f x '=x sin -； （5）若()x f x e =，则()_____f x '=x e ； （6）若()()01x f x a a a =>≠且，则()_____f x '=a a xln ⋅； （7）若()ln f x x =，则()_____f x '=x1； （8）若()()log 01a f x x a a =>≠且，则()_____f x '=ax ln 1⋅.方法规律总结1.应认真区分两个“导数”的定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数与函数f (x )的导函数（导数）.2.应注意公式的幂函数结构，不要与指数函数x a y =结构混淆.3.本节公式是下面几节课的基础，公式必须牢记.记准公式是学好本章内容的关键.4.对公式的记忆，要注意观察公式之间的联系.（1）上述基本初等函数的求导公式可分为四类，以便于记忆.① 幂函数类（注：指数α可推广到全体实数）；② 三角函数类；③ 指数函数类；④ 对数函数类.（2）对于()cos f x x =的求导公式，容易遗漏“-”. （3）对于()()01x f x a a a =>≠且和()()log 01a f x x a a =>≠且的导函数，容易弄错a ln 的位置.可用换底公式xa a x x a 1ln 1)ln ln ()(log ⋅='='加强记忆，找出差异并区分a a a x x ln )(⋅='.【指点迷津】【类型一】定义法求函数的导数【例1】：用定义法求下列函数的导数：(1) xy 2=； (2) 12+=x y . 【解析】：(1) x x x y 22-∆+=∆=x x x x )(2∆+∆-，∴=∆∆x y xx x )(2∆+-， ∴202limxx y y x -=∆∆='→∆.(2) 121)(2+-+∆+=∆x x x y ，∴x x x x x y ∆+-+∆+=∆∆121)(2121)(22+++∆+=x x x ，∴121lim0+=∆∆='→∆x xy y x .答案：(1) 22xy -='，(2) 121+='x y .【例2】：设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ,则)(0x f '＝ ( )A ．1B ．0C ．3D ．31【解析】：)(0x f '==∆-∆+→∆x x f x x f x 3)()3(lim 00031131)()3(lim 31000=⨯=∆-∆+→∆x x f x x f x .答案： D【例3】：已知函数x x x f 8ln 2)(+=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim的值为（ ）A ．﹣20B ．﹣10C ．10D ．20【解析】：由82)(+='xx f ，有10)1(='f , 所以=∆-∆+→∆x f x f x )1()21(lim 0=∆-∆+→∆xf x f x 2)1()21(lim 20=)1(2f '=20102=⨯.答案： D【类型二】基本初等函数的求导【例1】：求下列函数的导数：(1) 3π=y ，（π为圆周率）； (2) 21xy =； (3) 53x y =.【解析】：(1) 0='y .(2) 由221-==x x y ，有33222)(x x x y -=-='='--.(3) 由5353x x y ==，有52525315353)(x x x y =='='-. 答案：(1) 0='y . (2) 32x y -='. (3) 52153x y ='.【例2】：求下列函数的导数：(1) x x y =； (2) x y 5=； (3) x y 5log =. (4) 3sin π=y ；【解析】：(1) )(23'='x y 2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y . (3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 答案：(1) y '2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y .(3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 【类型三】导数的简单应用【例1】：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对水面的高度（单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h ，高台跳水运动员在t =1 s 时的瞬时速度为_______________.【解析】：5.68.9)(+-='t t h ,有3.35.68.9)1(-=+-='h m/s. 答案：3.3- m/s.【例2】：为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是________．(填写所有正确的图象的编号)【解析】：②中切线的斜率逐渐增大，故②正确． 答案：②【例3】：设x x f sin )(0=，=)(1x f )(0x f '， =)(2x f )(1x f '，……，=+)(1x f n )(x f n '，N n ∈，则=)(2016x f ________．【解析】：由x x f sin )(0=有=)(1x f x cos ， =)(2x f x sin -， =)(3x f x cos -，=)(4x f x sin ，……，有=)(x f n )(4x f n +，则=)(2016x f x x f sin )(0=.答案：x sin .【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．若'0()3f x =-，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【解析】：6)(22)()(lim 2)()(lim0000000-='=--+⨯=--+→→x f hh x f h x f h h x f h x f h h ,故选B.答案：B.2．已知函数f (x )＝f ′(2π)sin x ＋cos x ，则f (4π)＝ ( ) A ．0 B ．22 C ．22- D ．2 【解析】：由已知：f ′(x )＝f ′(2π)cos x －sin x . 则f ′(2π)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f (4π)＝0.答案：A .3．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.)21,41(B ．(1,2) C. )1,21(D ．(2,3)【解析】：由图象可得01=++b a ，210<<b ，所以2110<--<a ，有231<-<a ，即123-<<-a ， 由g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，有g (21)＝ln 21＋1＋a 0<，g (1)＝2＋a 0>，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点在)1,21(内．答案：C ．4．曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴及直线=x 1所围成的三角形的面积为 ( )A ．121B ．61C ．31 D ．21【解析】：求导得23x y =',所以3=切k ,所以曲线在点)1,1(处的切线方程为)131-=-x y （. 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,三个交点的坐标分别为)0,32(,)0,1(,)1,1(, 于是三角形的面积为=⨯-⨯132121）（61 答案：B ．5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝ ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】：因为点(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，所以1－2f (1)＋1＝0，得f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.答案：D ． 二、填空题6．设函数)(x f 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则f′(1)＝________． 【解析】：x x e x e f +=)(，利用换元法可得)(x f ＝x x +ln ，=')(x f x1＋1，所以=')1(f 2. 答案：2.7．若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________． 【解析】：∵y′＝k ＋x1，∴y ′|1=x ＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 答案：－1. 8．曲线xy 1=上点P 处的切线平行于直线074=-+x y ,则点P 的坐标为________. 【解析】：设曲线上的点为（001,x x ），则201|0x y x x -='=，由切k 4120-=-=x ，有210±=x ， 故所求点P 为：（2,21）或（2,21--）. 答案：（2,21）或（2,21--）.三、解答题9．求下列函数的导数：(1) y ＝sin2x cos 2x ； (2) y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3) y ＝x (1＋|x |)．【解析】：(1) ∵ y ＝sin2x cos 2x ＝12sin x ， ∴ y ′＝12cos x .(2) ∵ y ＝1－x x ＝1x－x ＝21-x －21x ， ∴ y ′＝－1223-x －1221-x .(3) ∵ y ＝x ＋x |x |＝⎩⎨⎧ x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x ＜0. ∴ y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.答案：(1) y ′＝12cos x . (2) y ′＝－1223-x －1221-x . (3) y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.10. 已知曲线1)(+=n x x f （*N n ∈）与直线1=x 交于点P ，设曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，求201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++的值.【解析】：n x n x f )1()(+='，=k 1)1(+='n f ，点P(1，1)处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，令0=y ，得1111+=+-=n n n x ，即1+=n n x n ，所以20151201421=⋅⋅⋅⋅⋅⋅x x x ， 所以201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++=)(log 2014212015x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1-.答案：1-.【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为（ ）A.2-B.2C.π2D.π2-【解析】：x a x f πcos )(⋅-=',有a f =')1(, 所以='=)1(f a 2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ,故选B.答案：B.2．如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x【解析】：设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图象经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2又图象过点(－5，2)，(5，－2)，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ， 将点(－5，2)代入得－125a －5c ＝2.又由该函数的图象在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ， 得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎨⎧=+=--07525125c a c a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==531251c a , 故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .答案：A ．二、填空题 3．已知函数x x f =)(，x a x g ln )(=，R a ∈.若曲线=y )(x f 与=y )(x g 相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________________．【解析】：x x f 21)(='，x a x g =')(（0>x ）,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==x a x xa x 21ln ，解得2e a =，2e x =. ∴ 两条曲线交点的坐标为),(2e e ，切线的斜率为ee f k 21)(2='=， ∴ 切线方程为)(212e x e e y -=-，即221ex e y +=.答案：221e x e y +=. 三、解答题4. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，求PQ 最小值.【解析】：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称， 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =，设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=， 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.min 2ln 2)d -【高考链接】1.（2015年全国I 卷文科第12题）设函数)(x f '是奇函数)(x f )(R x ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，-')(x f x 0)(<x f ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是 （ ）A.)1,0()1,( --∞B. ),1()0,1(+∞-C. )0,1()1,(---∞D. ),1()1,0(+∞ 【解析】：构造函数x x f x g )()(=，则由已知可得当0>x 时，0)()()(2<-'='x x f x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，又)(x f 是奇函数，有)(x g 是偶函数，所以)(x g 在)0(，-∞上单调递增，且0)1()1(==-g g ，所以当∈x )1,0()1,( --∞时，0)(>x f .故选A.A.5太贝克B.2ln 75太贝克C.2ln 150太贝克D.150太贝克 3.（2013年全国新课标卷Ⅰ理科第11题）已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x ，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】：方法一：若x ≤0，|f (x )|＝|x x 22+-|＝x x 22-，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥a x ，可得a ≤xx )1ln(+恒成立， 令h (x )＝x x )1ln(+，则h ′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+，再令g(x )＝1+x x －ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝2)1(+-x x<0，故g(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x )<g(0)＝0，可得h′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x 与直线y ＝ax 的图象，如下图，要使|f (x )|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x x 22-，x ≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y ′＝2x －2，所以y ′|0=x ＝－2，所以－2≤a ≤0.答案：D.。
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第10讲 变化率与导数、导数的运算课件 文
2．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－210(1＋k2)x2(k>0)表 示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地 点的横坐标．
则炮的最大射程为________．
12/11/2021
解析：在 y＝kx－210(1＋k2)x2(k>0)中， 令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0. 由实际意义和题设条件知 x>0，k>0.解以上关于 x 的方程得 x ＝12＋0kk2＝1k2＋0k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程是 10 千米． 答案：10 千米
C．24 小时
D．26 小时
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解析：选 C.由已知条件，得 192＝eb，所以 b＝ln 192.又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，所以 e11k＝1498212＝ 1412＝12.设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时，则 t＝e33k＋ln 192 ＝192e33k＝192·(e11k)3＝192×123＝24.故选 C.
_增__函__数__
y＝xn(n>0) 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象变化
随着 x 的增 随着 x 的增 随 n 值变化而
大，图象与 大，图象与 各有不同
_y_轴__接近平行 _x_轴__接近平行
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3.建模过程及应用框图
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(必修 1 P95 例 1 改编)下表是在某个投资方案中，整理得到的 投入资金 x(万元)与收益 y(万元)的统计表．
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考点三 建立函数模型解决实际问题 如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点 B 的正
新坐标2020版一轮数学：2.10-导数的概念及运
由①②可得 x30＋ax20＝－x0，即 x0(x20＋ax0＋1)＝0.④
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由③可得 3x20＋2ax0＋1＝0.⑤ 由⑤可得 x0≠0，所以④式可化为 x20＋ax0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得 x0＝±1，代入②式得 xy00＝ ＝1－，1 或xy00＝ ＝－ 1. 1， 即 P(1，－1)或 P(－1,1)．故选 D.]
1 [先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出 a 的值． ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1.]
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3．(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1 －x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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12
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t2＋3t (t 是时间，s
是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为( )
A.149
B.147
C.145
D.143
D [由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－t32，故当
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[规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式 公式形式
函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 含待定系数 如含 f′(x0)，a，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第10讲变化率与导数导数的运算分层演练文
一、选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝logx
解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．5.2 B．6.6
C．7.1 D．8.3
解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝，化简得0.9x
＝，即x ＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故选B.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13 m3
B ．14 m3
C ．18 m3
D ．26 m3
解析：选 A.设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧mx （0<x≤10），10m ＋（x －10）·2m（x>10）， 则10m ＋(x －10)·2m＝16m ，解得x ＝13.
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )
A ．x ＝15，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝15
C ．x ＝14，y ＝10
D ．x ＝10，y ＝14
解析：选A.由三角形相似得＝.得x ＝(24－y)，所以S ＝xy ＝－(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．
6．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －
1)][60－3(k －1)]＝－6k2＋108k ＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.
二、填空题
7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，
则y ＝⎩⎨⎧9
，0＜x≤3，
8＋2.15（x －3）＋1，3＜x≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，
由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：9
9．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．则8级地震的最大振幅是5级地震最
大振幅的________倍．
解析：设8级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则8＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝108，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝103.
即8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的1 000 倍． 答案：1 000
10．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x －0.1x2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x ＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43 三、解答题
11.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧kt ，0≤t≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －a ，t ＞1，
当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由＝4得a ＝3.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4t ，0≤t≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3，t ＞1.
(2)由y≥0.25得或⎩⎪⎨⎪
⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3≥0.25，
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．
12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120 吨(0≤t ≤24)，
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
解：(1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －120；
令＝x ，则x2＝6t ，即y ＝400＋10x2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t ＝6时，ymin ＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨． (2)令400＋10x2－120x<80，即x2－12x ＋32<0， 解得4<x<8，即4<<8，<t<.
因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．。