高考数学二轮复习 专题一 常考小题点 1.2 线性规划题专项练课件 文
高考数学文(二轮复习)课件《不等式与线性规划》
2．解不等式的四种策略 (1) 解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二 次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将 不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性 将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准， 依次讨论求解．
2．(2014· 全国新课标Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋ 2≤0}，则 M∩N＝( A．{1} C．{0,1} ) B．{2} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}， 所以 M∩N＝{1,2}．故选 D.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死” ，就不能“用活” ！ 1．牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法． 先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方 程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 最后根据相应二次函数图象与 x 轴 的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法．
a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(5)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a>0，b>0)． 2 2
3．快速判断二元一次不等式表示的平面区域
不等式 B>0 Ax＋By＋ C>0 Ax＋By＋ C<0
区域 B<0
直线 Ax＋By 直线 Ax＋By＋ ＋C＝0 上方 C＝0 下方
不等式与线性规划
2018届高考数学(理)二轮复习命题热点课件 专题 1.2 不等式线性规划
-10-
求线性目标函数的最值 【思考】 求线性目标函数最值的一般方法是什么? ������ + 2������ ≤ 1, 例 2(2017 全国Ⅰ,理 14)设 x,y 满足约束条件 2������ + ������ ≥ -1,则 ������-������ ≤ 0,
集为 - ,1 . (2)将不等式变形得3 >3-2x,则 -x2+8>-2x,从而 x2-2x-8<0, 即 (x+2)(x-4)<0,解得 -2<x<4,故不等式的解集是{x|-2<x<4}. (3)∵不等式(x-1) <3x-7 可化为 x -5x+8<0,即 ������2 2
-������ 2 +8
5 2 2
+ <0,∴A= ⌀ ,
4
7
故 A∩ Z 中没有元素 . (4)由题意得 Δ=(-4)2-4a2<0, 解得 a>2 或 a<-2.
关闭
(1)C (2){x|-2<x<4} (3)0 (4)(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 解析 答案
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
题型
命题规律 高考对线性规划考 查的频率非常高, 几乎每年都有题 目,重点是确定二 元一次不等式(组) 表示的平面区域, 求目标函数的最值 或范围,已知目标 函数的最值求参数 值或范围等.
复习策略
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
-4-
简单不等式的解法 【思考】 如何解一元二次不等式、分式不等式?解指数不等式、 对数不等式的基本思想是什么? 例1(1)不等式x2+2x-3≥0的解集为( ) A.{x|x≤-1或x≥3} B.{x|-1≤x≤3} C.{x|x≤-3或x≥1} D.{x|-3≤x≤1} 关闭 (2)不等式-x2≥x-2的解集为( ) A.{ -2得 或(x ≥ 1} (1)由 x2+x|x 2x-≤ 3≥0, x+ 3)( x-1)≥0,解得x≤-3或x≥1,故选C. B.{x|-2<x<1} 关闭 (2)原不等式可化为x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1.故选C. x|-2≤x≤1} (1)CC.{ (2)C D.⌀ 解析 答案
高三数学二轮复习 简单线性规划 课件(全国通用)
表示的平面区域的面积是
1
[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， 1 ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝2×2×1＝1.]
二元一次不等式(组)表示的平面区域
x＋y－3≥0， (1)(2016· 浙江高考)若平面区域2x－y－3≤0， x－2y＋3≥0 平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( 3 5 A. 5 3 2 C. 2 B． 2 D． 5 )
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上 方．( ) )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的 截距．( )
4．(2016· 保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝ 0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝ __________.
|4m－3－1| 6 [由题意得 ＝4及2m＋1≥3， 5 解得m＝6.]
【导学号：66482287】
x≥1， 5．在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0， x－y－4≤0 __________.
(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选 C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式 表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点． 2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出 图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
高考数学二轮复习 专题一 第2讲 不等式及线性规划课件
3.利用基本不等式求最值 已知 x，y∈(0，＋∞)，则(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时， 积 xy 取得最大值S42xy≤x＋2 y2＝S42；(2)若 xy＝P(积为定值)，则 当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 P(x＋y≥2 xy＝2 P).
真题感悟 1.(2015·福建卷)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则
a＋b 的最小值等于( C )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 由题意1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋
ab≥4，当且仅当 a＝b＝2 时，取等号.故选 C.
2.(2015·陕西卷)设 f(x)＝ln x，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f a＋2 b，
4.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不 等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集. 线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的 截距，把目标函数化为 y＝－abx＋bz，可知bz是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得 最大值、什么情况下取得最小值.
＋ln b)＝12ln a＋12ln b＝ln(ab)12＝f( ab)＝p.故 p＝r＜q.选 C.
3.(2015·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件xx＋ －y2－y＋2≤ 1≤0， 0，则 z＝3x 2x－y＋2≥0，
＋y 的最大值为________.
解析 作出不等式组所表示的可行域 ( 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ) ， 作 直 线 l0 ： 3x ＋y＝0，平移直线l0，当直线3x＋y＝z 过点(1，1)时，zmax＝3＋1＝4. 答案 4
版数学大二轮复习第二部分高考22题各个击破专题一常考小题点2.1.2线性规划题专项练课件理
把 A(-2,-2)代入 z=x-ay,z=-2+2a=4,得
a=3,符合题意;
把 B(2,0)代入得 z=2≠4.∴a=3,故选 C. 关闭
C
解析 答案
核心知识
-14-
一、选择题 二、填空题
������-������ + 6 ≥ 0, 12.已知实数x,y满足 ������ + ������ ≥ 0, 若目标函数z=ax+y的最大值为
作出不等式组 2������-������ ≤ 4, 表示的平面
������ ≥ 0,
数 z=3x+5y 的最-���大��� +值������为≤(1, )
A.6
������ ≥B.019
区域如图阴影部分所示.
C.21
D.45
由
������ + ������ = 5, 解得点 -������ + ������ = 1,
)
A.265
B.83
C.131
D.4
当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点
A(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,∴4a+6b=12,
即
2a+3b=6.
∴
3 ������
+
2 ������
=
3 ������
C������������.[==1,133],, D.(-∞,2]∪[5,+∞)
∴点 P(1,3).
联立
������-������ = 0, 解得 ������ + ������-4 = 0,
高考数学二轮复习 考点七线性规划课件 理
B．30 D．16
当 z＝5y－x 过 C(0，2)时，z＝10，
zmax＝a＝16，zmin＝b＝－8，
∴a－b＝24. 【答案(dá àn)】C
类型一 类型二
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
限时规范训练
类型五 类型四 类型三
第六页，共30页。
考题 ● 解法类编
类型一 求线性目标(mùbiāo)函数的最值
例题(lìtí)精编
通性通法 名师推荐 创新发现 探究演练
例 1：(2013·高考四川卷)若变量 x，y 满足约束
x＋y≤8， 2y－x≤4，
条件xy≥≥00，，
且 z＝5y－x 的最大值为 a，最
小值为 b，则 a－b 的值是( )
A．48
B．30
C．24
D．16
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
限时规范训练
类型一 类型二 类型五 类型四 类型三
第十六页，共30页。Fra bibliotek考题 ● 解法类编
类型三 根据目标函数(hánshù)最值求字母参数（范围）
考题解法类编
揭秘解题绝招
∴a∈12，4.
【答案】12，4
试题体验应用
限时规范训练
类型一 类型二 类型五 类型四 类型三
第十二页，共30页。
考题 ● 解法类编 类型(lèixíng)二 根据可行域求字母参数取值（范围）
通性通法 名师推荐 创新发现 探究演练
x＋y－3≤0， 2．若函数 y＝2x 图象上存在点(x，y)满足约束条件x－2y－3≤0，则实数 m 的最大值为( )
条件xy≥≥00，，
高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不
第3讲不等式与线性规划不等式的解法1.设f(x)=错误!未找到引用源。
则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(错误!未找到引用源。
,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,错误!未找到引用源。
)(C)(1,2]∪(错误!未找到引用源。
,+∞) (D)(1,错误!未找到引用源。
)解析:原不等式等价于错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
即错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
解得2≤x<错误!未找到引用源。
或x<1.故选B.2.(2015山东卷)若函数f(x)=错误!未找到引用源。
是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,由f(-x)=-f(x)得错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=错误!未找到引用源。
.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(2015广东卷)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)解析:-x2-3x+4>0⇒(x+4)(x-1)<0⇒-4<x<1.答案:(-4,1)简单的线性规划问题4.(2015北京卷)若x,y满足错误!未找到引用源。
,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C)错误!未找到引用源。
(D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A(错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
),B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(2015浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组错误!未找到引用源。
且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由错误!未找到引用源。
2021年高考数学总复习1.2线性规划课件理
关闭Leabharlann 解析答案-12-
一
二
关闭
+ -2 ≤ 0,+ -2 ≤ 0
10.已知 D=
+ 2 ≤ 0 ,给出下列四个命题:
不等式组
-(,)
+ 2 ≤ -
0, 的可行域如图阴
3- + 6 ≥3-
0 +6 ≥ 0
影部分所示.
p1:∀(x,y)∈D,x+y+1≥0;
对于命题
p1,x+y+1 在点 A 取最小值-1,所
)
-2 + 6 ≥ 0
A.2
B.1
C.-2
D.-1
目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为-6,
可知目标函数在点 B 处取得最小值.
= 0,
由
解得 B(-6,0),-6=a|-6|,
-2 + 6 = 0,
解得 a=-1,故选 D.
关闭
D
解析
答案
-10-
一
二
关闭
+ ≤ 0,
+ ≤ 0,
作出不等式组
表示的平面区域如图阴影部分所示.
≥ 0,
- + ≤ 1,
z=3x+5y的最大值为(
)
A.6
B.19 ≥ 0
+ = 5,
由
解得点 A 的坐标为(2,3).
- + = 1,
3
由 z=3x+5y,得 y=-5x+5.
由图可知,
3
当直线 y=- x+ 过点 A 时, 最大,即 z 最大.
高三理科数学线性规划复习精品PPT教学课件
2020年10月2日
12
考点讲解
三、含参变量线性规划问题的求解
x y 4 0 例3、已知变量x, y满足x y 0 ，
x 1
z -kx y在点1,3取得最大值，求
k的取值范围.
2020年10月2日
13
x y 4 0
例
4、
已
知
集
合
A
(
x
,
y)
x
y
0
，
x 1
B
=
(
x,
则平面区域B(x, y) (x y, x y)A
的面积为___________.
2020年10月2日
15
能力提升
已知函数f (x) 1 ax3 bx2 (2 b)x 1在 3
x x1处取得极大值，在x x2处取得极 小值，且0 x1 1 x2 2. (1)证明a 0； (2)若z a 2b，求z的取值范围.
简单的线性规划问题
2020年10月2日
1
考点分析
线性规划是优化的具体模型之一.考纲要 求 学生能够体会线性规划的基本思想，并能 借助几何直观解决一些简单的几何问题.
2020年10月2日
2
题型分析
题型一：简单的线性规划 题型二：非线性目标函数的最值问题 题型三：含参变量的线性规划问题 题型四：线性规划的应用
x 1
求 y的取值范围. x
2020年10月2日
8
y B A C
2020年10月2日
x
9
变式练习
x y 4 0
在约束条件
x
y
0
下，
x 1
请构造类似的非线性目标函数
的最值问题并求解.
高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题一常考小题点1.2线性规划题专项练课件文
图所示).当直线y=-x+z向右上方平移时,直线y=-x+z在y轴上的截距
z增大,由数形结合,知当直线过点A时,z取到最大值.
由
������ ������
+ 3������ = 0,
=
3,可得
A(3,0),此时
zmax=3,故选
D.
-4-
一、选择题 二、填空题
2������ + 3������-3 ≤ 0,
7,则实数a的值为 ( C ) A.-7 B.-1 C.1 D.7
-8-
一、选择题 二、填空题
������ ≤ 2, 解析: 不等式组 ������ + ������ ≥ 1,它的可行域如图:
������-������ ≤ ������, O 为坐标原点,点 A 的坐标为(3,-1),点 P(x,y),
注:其中Ax+By+C的符号即为给出的二元一次不等式的符号. 方法二:利用特殊点判断平面区域:同侧同号,异侧异号,特殊点常 取(0,0),(1,0),(0,1)等. 2.常见目标函数的几何意义 (1)z=ax+by(ab≠0):z 表示直线 y=-������������x+������������在 y 轴上的截距的 b 倍; (2)z=������������--������������:z 表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)连线的斜率; (3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)间的距离的 平方.
-5-
一、选择题 二、填空题
������-������ ≤ 0, 3.(2017 湖北武汉二月调考,文 5)设 x,y 满足约束条件 ������ + 2������ ≤ 4,则
高考数学(理)二轮专题练习【专题1】(2)不等式与线性规划(含答案)
第2讲 不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． (4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式(1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一 一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0. 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 故选C.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二 基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l .①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．答案 (1)①1 900 ②100 (2)B解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.(2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元， 则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 (1)D(2)C解析 (1)画出可行域，如图所示．w ＝y ＋1x 表示可行域内的点(x ，y )与定点P (0，－1)连线的斜率，观察图形可知P A 的斜率最小为－1－00－1＝1，故选D. (2)当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化． 2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3答案 D解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D. 2．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [1，32]解析 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.押题精练1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件．则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？( ) A ．1 B ．1.5 C ．2D ．3答案 A解析 设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋2PP)万元，所以y ＝2×(10＋2P P )×P －10－2P －x ＝16－4x ＋1－x (x >0)，所以y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13(当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.2．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，则OA →·OP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意，知OA →＝(3，3)，设OP →＝(x ，y )，则OA →·OP →＝3x ＋3y . 令z ＝3x ＋3y ，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y ＝－3x ＋33z 经过点B 时，z 取得最大值． 由⎩⎨⎧ 3x －y ＝0，x －3y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1，3)，故z 的最大值为3×1＋3×3＝6.即OA →·OP →的最大值为6.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1， 所以A ，B 错误； a d ＝－32，b c ＝－23， 所以a d <b c，所以C 错误．故选D.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0，则z ＝x ＋2y －1的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A (1,4)时取得最大值，故z ＝x ＋2y －1的最大值为1＋2×4－1＝8. 二、填空题6．已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________． 答案 (1e，e 2)解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1，∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)，又∵f (x )在R 上为减函数，∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 7．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________．答案 1解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.8．若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 32＋ 2 解析 ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m＋1) ≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2， 当且仅当2m n ＝n m，即n ＝2m 时取等号， ∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a)(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}， 若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明：a >0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)． 11．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2， 解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以 L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6， 当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号． 当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。
老高考适用2023版高考数学二轮总复习第3篇小题提速练透大题规范增分第2讲不等式线性规划课件
2x＋y－2≤0，
14．(2020·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件x－y－1≥0， y＋1≥0，
则 z＝x
＋7y 的最大值为__1___．
【解析】 绘制不等式组表示的平面
区域如图所示，
目标函数 z＝x＋7y 即：y＝－17x＋17z，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程：2x－x＋y－y－12＝＝00，， 可得点 A 的坐标为：A(1,0)， 据此可知目标函数的最大值为：zmax＝1＋7×0＝1． 故答案为 1．
15．(2022·南开区二模)已知 a＞0，b＞0，则
2a＋b 4a2＋b2－
的最大值 ab
是__2___2__．
【解析】 因为 a＞0，b＞0，则
4a2＋b2≥2a＋b，
2
2
即 4a2＋b2≥ 222a＋b，当且仅当 2a＝b 时，等号成立；
又 2ab≤2a2＋b，即 ab≤22a＋2b，当且仅当 2a＝b 时，等号成立，
所以A∩B＝{2，－2}．故选D．
x＋y≥4，
3．(2021·全国乙卷)若 x，y 满足约束条件x－y≤2， y≤3，
则 z＝3x＋y
的最小值为 A．18
B．10
(C )
C．6
D．4
【解析】 由题意，作出 可行域，如图阴影部分所示，
由xy＋ ＝y3＝，4， 可得点 A(1,3)， 转换目标函数 z＝3x＋y 为 y＝－3x＋z， 上下平移直线 y＝－3x＋z，数形结合可得当直线过点 A 时，z 取最小 值， 此时 zmin＝3×1＋3＝6．故选 C．
为
(C )
高考数学大二轮复习 专题一 常考小题点 1.2 线性规划题专项练课件 文
C
解析
(jiě xī)
解析
第四页，共二十页。
答案(dá
4
答案
àn)
一、选择题
二、填空题
3.(2019天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件
z=-4x+y的最大值为(
A.2
B.3
C.5
D.6
)
+ -2 ≤ 0,
- + 2 ≥ 0,
则目标(mùbiāo)函数
≥ -1,
≥ -1,
关闭
与直线 x+y+a=0 的交点 A 处,使目标函数 z=3x+y 取得最
x-2y+4=0
(
)
小值-5,当过点 B 时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,故由
A.2
B.3
C.4
D.5
3 + = -5,
= -2,
代入
解得
= 1,
-2 + 4 = 0,
+ + 1 = 0,
得
x+y+a=0 得 a=1,由
一、选择题
二、填空题
≥ 0,
+2+3
≥ 0,
2 + -2 = 0,
B(3,-4).当过点 B(3,-4)时,目标函数 z=3x+y
取得最大值,最大值为 5.故选 D.
D
关闭
解析(jiě
第十一页，共二十页。
解析
xī)
答案11
(dá
答案
àn)
一、选择题
二、填空题
+ -1 ≥ 0,
10.已知实数 x,y 满足约束条件 - + 1 ≥ 0,若 z=mx+y,z 的取值范围
高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划
第2讲 不等式及线性规划一、选择题1.(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞11＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A. 答案 A2.(2015·临汾模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 A3.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C.答案 C4.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号). 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋（x ＋2y ）x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2. 答案 B5.(2015·衡水中学期末)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为( ) A.[e ，4) B.[e ，＋∞) C.[1，3)D.[2，＋∞)解析 如图：点(1，e)满足ax －y ≥0，即a ≥e.答案 B二、填空题6.(2015·福建卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于________.解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52.答案 －527.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号， ∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－38.(2015·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6或t ≤－18(舍)，即x ＋3y ≥6. 答案 6 三、解答题 9.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3， －2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号. 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 10.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标 存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围. (1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值， 在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).当x ＜x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0， 由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.(2)解 在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67，B (2，2)，C (4，2).z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫167，8.。