等差数列与等比数列的综合应用12012-12-12
等差数列和等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款 问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列， 其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、 物理、工程等领域有广泛的应用
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求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
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推导过程：通过倒序相加法、裂项 相消法等技巧推导得到等差数列的 求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和 解决与等差数列相关的数学问题 应用于物理、化学等其他领域 拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中， 等差数列和等比数列 常用于描述数据分布、 抽样调查和概率计算 等方面。
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等差数列和等比数列 的求和公式与应用
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汇报
02
等比数列的求 和公式
03
等差数列与等 比数列的应用 实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每 一项与它的前 一项的差等于 同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项 与它的前一项的比 值都等于同一个常 数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等 公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比 推导：由等比数列的定义和性质推导得出 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
高二数学等差、等比数列的综合应用苏教版(理)知识精讲
高二数学等差、等比数列的综合应用苏教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用二、教学目标：综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题.三、本周知识要点：（一）等差数列1. 等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2. 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 3. n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4. 等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ （m ， n ， p ， q ∈N ） 5. 对等差数列前n 项和的最值问题有两种方法：（1）利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值。
（二）等比数列1、等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a ， q ， n 时用公式①；当已知1a ， q ， n a 时，用公式②2、n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列3、等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =【典型例题】例1. 在等差数列{n a }中， 已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450， 求2a ＋8a 及前9项和9S 。
等差数列与等比数列的综合问题
求和公式
对于混合数列，求和需要分别对等差数列部分和等比数列部分进行求和，然后合并结果。 等差数列部分的求和公式为$frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列部分的求和公式为 $frac{lambda(1-r^n)}{1-r}$。
实际应用举例
金融领域
混合数列可以用于描述金融产品 的价格波动，如股票价格既有长 期增长的趋势，又有短期波动的
特点。
物理学领域
在物理学中，混合数列可以用于描 述具有周期性和指数增长或衰减的 物理量，如放射性衰变。
计算机科学领域
在计算机科学中，混合数列可以用 于实现高效的算法和数据结构，如 二分搜索树。
PART 05
解题技巧与策略
第n项=首项×公比^(n-1)，代
入数值计算即可。
06
进阶练习题
题目：一个等差数列的首项是5，公 差是-8，求这个数列的前10项和。
答案：155
解析：根据等差数列的求和公式，前n项和=(首 项+末项)×n/2，代入数值计算即可。
题目：一个等比数列的首项是4，公 比是0.5，求这个数列的前5项和。
答案：10.5
等差数列与等比数列 的综合问
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REPORTING
• 引言 • 等差数列基础 • 等比数列基础 • 等差数列与等比数列的综合问题 • 解题技巧与策略 • 练习题与答案解析
目录
PART 01
引言
REPORTING
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主题简介
等差数列与等比数列是数学中两种重要的数列类型，它们在日常生活和科学研究中 有着广泛的应用。
性质
等比数列中，任意项的平方等于它前后两项的乘积。
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结数列是数学中常见的数值排列形式，其中等差数列和等比数列是两种重要的数列类型。
在实际应用中，等差数列和等比数列有着广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的应用进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个知识点。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
常见的等差数列应用包括：1. 数学题中的序号与数值计算等差数列常可以用来计算序号与数值之间的关系。
当已知等差数列的首项a，公差d和序号n时，可以快速计算出第n项的数值。
例如：已知等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的数值。
根据等差数列的性质可以得到：a10 = a1 + (n-1)d = 3 + (10-1)4 = 39。
2. 时间与距离的计算等差数列可以用来计算时间与距离之间的关系。
例如：一辆汽车从起点出发，每小时行驶50公里，问经过5小时之后，汽车距离起点的距离是多少？根据等差数列的性质可以得到：距离 = 初始距离 + 速度×时间 = 0 + 50 × 5 = 250公里。
3. 金融投资中的本金计算等差数列可以应用于金融投资中的本金计算。
当已知等差数列的首项a，公差d和时间n时，可以计算出在n个周期后的本金。
例如：假设本金为1000，每个月增加100，一年后本金共有多少？根据等差数列的性质可以得到：本金 = 初始本金 + 每周期增加金额 ×周期数 = 1000 + 100 × 12 = 2200。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
常见的等比数列应用包括：1. 计算复利等比数列可以应用于计算复利。
当已知等比数列的首项a，公比r 和时间n时，可以计算出在n个周期后的本息合计。
例如：某笔投资的初始本金为1000，年利率为5%，求5年后的本息合计。
根据等比数列的性质可以得到：本息合计 = 初始本金 × (1 + 年利率)^周期数 = 1000 × (1 + 0.05)^5 ≈ 1276.28。
等差数列和等比数列的综合应用
城东蜊市阳光实验学校第12课时等差数列和等比数列的综合应用〔二〕教学目的：⑴会运用公式⎩⎨⎧≥-==-)2(111n s s a s a n n n ⑵由an=Kan-1+b ⇒an=难点：递推公式一、问题情境过程：1、复习，等差〔等比〕数列的有关知识。
2、{}n a 的前n 项和是Sn ，假设Sn=3n2-6n+c ，那么an=，当c=时，{}n a 是等差数列。
3、{}n a 的前n 项和是Sn=4n+c ，那么an=，当c=时，{}n a 是等比数列。
4、数列{}n a 满足a1=2,an+1=an+2n(n *N ∈)，那么{}n a 的通项公式an= 二、教学运用例1：在等比数列{}n a 中，a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求n 及q 。
例2：在数列{}n a 中，a1=1，an=2an-1+1(n≥2)，求该数列的通项公式。
例3：设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项为Sn ，且对于所有正整数n ，an 与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项。
⑴求{}n a 的通项公式；⑵求13221111++++n n a a a a a a 的值。
稳固练习〔12〕1、假设数列{}n a 的前n 项和公式为)1(log 3+=n S n，那么a5=() A 、65log B 、563log C 、63log D 、53log2、一个等比数列的首项为1，公比为3，这个数列的前n 项的积为3、等差数列{}n a 中，S4=1，S8=4，求=+++20191817a a a a 〔〕A 、7B 、8C 、9D 、104、数列{}n a 的通项公式是2)1(+-+=n n a nn ，那么此数列中的数是〔〕 A 、1312B 、1713C 、20022001D 、20032002 5、设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a 、b 、c 是数列。
6、设有数列{}n a ，a1，a2-a1，a3-a2，……an -an-1是首项为1，公比为31的等比数列：⑴求通项an ；⑵求数列{}n a 的前n 项和。
等差数列和等比数列的应用教学课件
数学建模
等差数列在数学建模中有着广泛的应用，如解决物 理学、工程学等领域的问题。
统计学
在统计学中，等差数列常被用于描述和分析数据， 如时间序列分析、人口统计等。
计算机科学
在计算机科学中，等差数列被用于实现各种算法和 数据结构，如二分查找、快速排序等。
03 等 比 数 列 的 应 用
等比数列在日常生活中的应用
02
等比数列在物理学中 的应用
等比数列在物理学中也有着重 要的应用，例如在研究波的传 播、电磁波的传播等方面。
03
等比数列在经济学中 的应用
等比数列在经济学中也有着广 泛的应用，例如在研究复利、 股票价格等方面。
04
等差数列和等比 数列的交叉应用
等差数列和等比数列的相互转化
01 等差数列与等比数列的定义
储蓄和贷款
等比数列在计算复利、计算贷款利息
等方面有广泛应用。 01
增长率计算
等比数列可以用于计算增长率，例如
预测未来销售额、人口增长等。
03
资产评估
等比数列可以用于计算资产的增长和
折旧，例如房屋、车ຫໍສະໝຸດ 等。 02等比数列在数学和其他学科中的应用
01
等比数列在数学中的 应用
等比数列在数学中有着广泛的 应用，例如在解决几何问题、 组合数学问题等方面。
的应用。
等差数列和等比数列的组合应用题解析
解题思路
掌握等差数列和等比数列的性质，灵活运 用公式，是解决这类问题的关键。
等差数列和等比数列组合
等差数列和等比数列组合在一起，可以形 成多种复杂的应用题。
实际应用
等差等比组合应用题在日常生活和工作中 有着广泛的应用，掌握这类题目的解法十
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数列是数学中一种重要的概念，它基于一定的规律和规则顺序排列的一组数。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
它们在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ..., a₁+nd, ...其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
公差d表示数列中相邻两项之间的差值恒定。
等差数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ + (n-1)d；2. 公差与项数的关系：d = (aₙ - a₁)/(n-1)；3. 等差数列的和：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差数列可以通过首项和公差推导出后续的任意项，也可以根据已知的首项和末项来确定公差和项数。
它在数学和科学中有着广泛的应用，如物理学中的运动学问题、计算机科学中的算法分析等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ..., a₁rⁿ, ...其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
公比r表示数列中相邻两项之间的比值恒定。
等比数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)；2. 公比与项数的关系：r = (aₙ/a₁)^(1/(n-1))；3. 等比数列的和（当|r|<1时）：Sn = a₁ * (1 - rⁿ)/(1 - r)。
等比数列同样具有推导后续项和根据已知信息确定公比和项数的能力。
它在数学和科学中的应用很广泛，如经济学中的复利计算、生物学中的生长模型等。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是常见的数列形式，它们之间存在一些联系与区别。
1. 联系：等比数列是等差数列的一种特殊情况，当公比r等于1时，等比数列退化成等差数列。
等差数列等比数列综合经典例题
以下是等差数列和等比数列的经典例题：
等差数列求和问题：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，求前n项和Sn。
解法：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，得到Sn = (a1+an)n/2 = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2。
将其化简可得Sn = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2 = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+a1+(n-1)d)，其中a1和an可以根据公式计算出来，从而求得Sn。
等比数列求和问题：已知一个等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，求前n项和Sn。
解法：根据等比数列的通项公式an = a1q^(n-1)，得到Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。
将其化简可得Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) = a1*(1-q)*(1+q+q^2+...+q^(n-1))/(1-q)。
由于1+q+q^2+...+q^(n-1)是一个等比数列的前n项和，因此可以用等比数列求和公式S=q^n-1/(q-1)求出，将其代入上式，就可以得到Sn的表达式。
这些例题是等差数列和等比数列求和问题中比较经典的例子，掌握了这些例题的解法，就能够比较顺利地解决一类问题。
在实际应用中，还会有更加复杂的情况，需要根据具体的条件设计相应的求和方法。
等差数列与等比数列的综合应用学案
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、知识要点课前回顾三、合作探究：题型1 等差数列 与 等比数列 综合题例1 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2a n}的前n 项和S n .变式训练1 已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）.题型2 与“前n 项和S n 与通项a n ”常用求通项公式的结合例2 数列{a n }是公差大于零的等差数列，2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根。
数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈Nn ，求数列{}na ,{}nb 的通项公式。
题型3 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a2a 8＝25，a 3与a s 的等比中项为2。
（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n＝log 2 a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，当1212n S S S n++∙∙∙+最大时，求n 的值。
变式训练3 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值．题型4 数列在实际问题中的应用例4 某人计划年初向银行贷款10万元用于买房。
《等差数列、等比数列的综合应用》教案
《等差数列、等比数列的综合应用》教案一、教学内容：必修5：等差数列、等比数列的综合应用二、教学目标1、熟练地掌握等差、等比数列的相关知识及其性质，并利用这些知识解决相关数列的综合性问题。
2、利用等差数列、等比数列知识建立实际问题的数学模型。
3、充分利用方程的数学思想、函数的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等解决数列的综合问题。
三、知识要点分析1、等差数列、等比数列相关知识的类比与总结（1）等差数列、等比数列的定义：1n n a a d +-=（d 为常数）1,n n a qa +=（0q ≠）（2）等差数列、等比数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-（等差数列），11n n a a q -=（等比数列）（3）等差数列、等比数列的中项：112n n n a a a -+=+，（等差），)2n (,a a a 1n 1n 2n ≥⋅=+-（4）等差数列、等比数列的前n 项和公式：11()1(1)22n n n a a S na n n d +==+-， 11(1)(1),(2)1n n na n S a q n q =⎧⎪=-⎨≥⎪-⎩（5）等差数列与等比数列的性质比较：（a ）数列{}n a ，{}n b 成等差数列，则数列{}n n pa qb +成等差数列。
数列{},{}n n a b 成等比数列，则数列{},{}n n n na ab b 成等比数列 （b ）数列{}n a 成等差数列且m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+，数列{}n a 成等比数列且m+n=p+q,则m n p q a a a a ⋅=⋅（c ）n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，则232,,k k k k k s s s s s --成等差数列,等比数列也有类似的性质（d ）数列{},{}n n a b 分别成等差、等比数列，则数列)N t ,k ,m (},b {},a {t mk t mk +++∈分别成等差、等比数列。
数列的等差数列与等比数列的应用问题
数列的等差数列与等比数列的应用问题在数学的广阔领域中，数列是一个极为重要的概念。
其中，等差数列和等比数列作为两种常见且具有独特性质的数列，在实际生活和各种学科中都有着广泛而深刻的应用。
等差数列，其特点是从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
比如说，一个等差数列 2，5，8，11，14……每一项都比前一项大 3，这个 3 就是公差。
等差数列在日常生活中的应用随处可见。
假设你在一家工厂工作，生产线上的产品按照一定的数量递增进行生产。
第一天生产了 100 件，之后每天比前一天多生产 10 件。
那么第n 天的产量就可以用等差数列来表示。
我们设第 n 天的产量为 aₙ，首项 a₁＝ 100，公差 d ＝ 10。
根据等差数列的通项公式 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，就可以计算出任意一天的产量。
这对于工厂制定生产计划、评估产能、安排人力和资源等方面都具有重要的指导意义。
再比如，你打算存钱买一个心仪已久的物品。
你决定第一个月存100 元，以后每个月比上个月多存 20 元。
那么第 n 个月你存的钱数就是一个以 100 为首项，20 为公差的等差数列。
通过这个数列，你可以清楚地知道在未来的某个月你能存到多少钱，从而更好地规划自己的储蓄目标和消费计划。
等差数列在建筑领域也有应用。
比如在建造楼梯时，如果每级楼梯的高度相等，那么从一楼到二楼的楼梯高度就构成了一个等差数列。
通过等差数列的知识，我们可以计算出楼梯的总高度，以及设计合理的楼梯级数和每级的高度，以确保楼梯的舒适性和安全性。
等比数列则是从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数。
例如，一个等比数列 2，4，8，16，32……每一项都是前一项的 2 倍，这个 2 就是公比。
在金融领域，等比数列有着重要的应用。
假设你将一笔钱存入银行，年利率为 5%，并且利息每年复利计算。
那么第一年的本息和就是本金乘以（1 ＋ 5%），第二年的本息和就是第一年的本息和乘以（1 ＋5%），以此类推。
等差数列等比数列的应用
课题：等差数列与等比数列的应用班级：组姓名教师评价: 编制人：审核人：【学习目标】1．初步掌握用数列的基础知识解决实际应用问题。
2、培养学生的分析问题、解决问题的能力3、合作学习，探索发现问题重点：数列的综合应用举例难点：建立数列模型解决数列实际应用问题【预习案】【使用说明与学法指导】1.通读教材，完成预习案.重点两个求和公式2将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、相关知识1、等差数列与等比数列通项公式2、等差数列与等比数列公求和式二、教材助读：1、等差数列的通项公式：前n项和公式；2、等比数列的通项公式；前n项和公式三、预习自测：1.某林场计划今年造林50亩，以后每年比上一年多造林15亩，问从今年起10年内该林场共造林多少亩？2．某城区今年完成危房改造工程20万平方米，以后计划每年比前一年多完成8%，问从今年起的5年内，该城区可完成多少万平方米的危房改造程？【探究案】一、质疑探究探究点一：用数列知识解决下列问题例1、一个剧场，设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每排比前排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？2、一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块，往下每层多铺一块，斜面上共铺了19层，共铺瓦片多少块？3、某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过4小时，这种细菌可繁殖多少个？4、某企业2000年的利润为5万元，技术革新后，可望在今后5年内使利润每年比上年增长百分之二十，如果这一计划得以实现，那么该企业从2000年到2005年的总利润是多少万元？规律方法总结:探究点二：关于银行的还款问题例2 、我校机电专业近期计划购进一批新型的制冷压缩机,总价值20万元，以分期付款的方式购买。
由于机电专业向学校申请的是内部无息贷款，故还款时并不涉及利息问题，有如下两种付款方式第一种：首付款15500元，从第二年起每年比前一年多付1000元；问题1：此种付款方式我们需要几年能够还清贷款？第二种：首付款2万元，从第二年起还款数额每年比上一年增加20% 问题2：此种付款方式五年内机电专业总计还款多少万元规律方法总结:二、归纳梳理、整合内化1、2、三、当堂检测1“远望巍巍塔七层,灯光点点倍加增.共灯六百三十五,请问顶层几盏灯”2、用分期付款的方式购买价格11.5万元的小汽车，如果购买时首付1.5万元，以后每月付5千元加上欠款的利息，月利率为百分之一，若首付1.5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，那么第10个月该付多少钱？购买小汽车的钱全部付清后，实际共付出的款额是多少元？【训练案】一、P133页牛刀小试1,2,3 P133拓展训练10,11,13感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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(1)通项公式推广： an am (n m)d
(n, m N * )
始终带着一颗骄傲的心前进！ 要点回顾
sn 是 {an }的前 n 项和，d 为公差. 已知数列{an } 是等差数列，
等 差 * ( 2 ) s , s s , s s 成等差数列 ( m N ) m 2 m m 3 m 2 m 数 列 (3)关于非零等差数列奇数 项与偶数项的性质 各 s奇 an 若项数为 2 n , 则 s s nd ， . 项 奇 偶 s偶 an1 和 若项数为2n 1, 则s偶 (n 1)an , s奇 nan , s奇 s偶 an， 常 用 s奇 n 性 . s偶 n 1 质
分析：
(1)证明用“定义”. (2)先求{bn}的首项和公差,再求{an}.
(1) 证明 : ∵ b n＝ log2an, (1) 证明 : ∵ b ＝ log an, , 2a (1)证明:∵bn ＝ log n 2a n＋ n 1 a ＋ 1＝ log q 为常数， n＋ ∴ b n＋ 1－bn＝ log2an 1 ＝ log2 q 为常数， ∴ b － b ＝ log ＋ a 1 n 2 2q 为常数， ∴bn ＝log2 n＋ 1－bn＝log2 an n an ∴ 数列 { b n}为等差数列且公差 d＝ log2q. ∴ 数列 { b }为等差数列且公差 d＝log2q q ∴数列{bn .. n}为等差数列且公差 d＝log2
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例1
在等比数列{an} (n∈ N )中 ,a1>1,公比 q>0,设 bn＝ log 2 an , 且 b1＋b3＋ b5＝6，b1b3b5＝0.
*
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及 {an}的通项 an； (3)试比较 an 与 Sn 的大小．
) B.7 C.9 D.11
始终带着一颗骄傲的心前进！ 课前演练
1 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 2.
S5＝( A.5
解析
) B.7 C.9 D.11
∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得
3a3＝3，则 a3＝1， 5（a1＋a5） ∴S5＝ ＝5a3＝5，故选 A. 2 答案 A
(3) 显然 a ＝ 2 >0 n 9 S ＝ ≤ 0 ， n 9 － n n n (3) 显然 a ＝ 2 >0 ，当 n ≥ 9≥ 时， S ＝ ≤ 0 ， (3) 显然 a ＝ >0 n ≥ 9 时， S ＝ ≤ 0 ， (3) 显然 a2 ＝ >0，当 ，当 n ≥ 9 时， 时， Sn ≤ 0 ， － n n n n 52 n ，当 n n＝ 2 9 － n 2 2 － 2 n 9 － nn ≤0， 5 5－ n n>0，当 n≥9 时，Sn (3) 显然 a an ＝ 2 ＝ n 9 － (3)(3) 显然 ＝ 2 >0 ，当 n ≥ 9 时， S ＝ ≤ 0， 2 5－n >0，当 n≥9 时，Snn 显然nan＝2 ＝ ≤ 0， 2 (3) 显然 a ＝2 an >0 ，当 n≥9 时，Sn＝ 2 ≤0， n时， ∴ n ≥ 9 > S . n ∴ n ≥ 9 时， a > S . ∴ n ≥ 9 时， a > S . 2 ∴n≥9 时， >Sn. n n an n ∴ n≥ ≥ 9 时， 时， > n.. n≥ 9 时， an S ∴∴ n 9 aa > SS n> n n n. ∵ a ＝ 16 ， a ＝ 8 ， a ＝ 4 ， a ＝ ∵ a ＝ ， a ＝ 8 ， a ＝ 4 a ＝ 2 ， ∵ a ＝ 16 ， a ＝ 8 ， a ＝ 4 ， a ＝ 2 ，2 ∴ n ≥ 9 时， a S 1 2 3 4 11 22 3 4 3 4 ∵ a16 ＝ 16 ， a> ＝ 8 ， a ＝ 4 ， a ＝ 2， ， n n. 1 2 3， 4 ∵ a1 ＝ 16 ， a ＝ ， a ＝ 4 ， a 2， a 16 ， a ＝ ， a ＝ 4， ， a ＝ 2 1＝ 2 4 1＝ 2 3 4＝ ∵∵ a 16 ， a ＝ 88 ， a ＝ 4 ＝ 2， ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 33 4 1 1 1 ∵ a5 ＝ 16 ， a＝ ＝ 8 ， a ＝ 4 ， a ＝ 2 ， a ＝ 1 ， a ， a ＝ ， a ＝ ， a ＝ 1 ， a ＝ ， a ＝ ， a ＝ ， a ＝ 1 ， a ＝ ， a ＝ ， a ＝ ， 1 2 3 4 6 7 8 55 66 7 8 7 8 1 1 1 a a2 ＝ ， a ＝ ， a ＝ ， 1 1 1 5＝1， 6 7 8 1 ， 1， 1，8 2 4 4 8 2 4 8 2 4 8 a ＝ 1 ， a ＝ a ＝ a ＝ 5 6 7 8 a5＝ ＝1 1， ，a a ＝1， ， a ， a ， 1 1， ＝ a ， a ＝ 7＝ 8＝ 66 7＝ 8 2 4 8 8 a5＝1，a6＝22 ，a7＝44 ，a8＝8 ， 2 4 8 S ＝ 4 ， S ＝ ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， S ＝ 4 ， S ＝ 7 ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， S ＝ 4 ， S7 ＝ 7 ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， 11 22 33 4 4 1 2 3 4 S ＝ 4 ， ＝ 7 ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， 1＝ 2 3 4 S1 4 ， SS ＝ 7 ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， 2 3 4 ＝ 77 ， SS 9， S4 ＝ 10 ， S1＝ ＝4 4， ，S S ＝ ， 9， S 10 ， 22 3＝ 3＝ 4＝ S ＝ 10 9 7 4 ， S ＝ 10 ， S ＝ 9 ， S ＝ 7 ， S ＝ 4 ， S ＝ 4， S ＝ 7 ， S ＝ 9 ， S ＝ 10 ， S ＝ 10 ， S ＝ 9 ， S ＝ 7 ， S ＝ 4 ， 55 66 7 8 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 S ＝ 10 ， S ＝ 9 ， S ＝ 7 ， S ＝ 4 ， ＝ 10 ， S ＝ 9 ， S ＝ 7 ， S ＝ 4 ， 5 6 7 8 5 6 7 8 S5 ＝ 10 ， S ＝ 99 ， SS 7， S8 ＝ 4， 66 7＝ ＝ 10 ， S ＝ ， ＝ 7 ， S ＝ 4， 5 7 8 ∴ 当 n ＝ 3,4,5,6,7,8 时， a < S ；当 n ＝ 1,2 或 n ≥ 9 时， a > S .n ∴ 当 n ＝ 3,4,5,6,7,8 时， a < S ；当 n ＝ 1,2 或 n ≥ 9 时， a > S .> S5 ＝ 10 ， S ＝ 9 ， S ＝ 7 ， S ＝ 4 ， ∴ 当 n ＝ 时， a < S ；当 n ＝ 1,2 或 n ≥ 9 时， a n n n n n n n n 63,4,5,6,7,8 7 时， 8 n n ∴ ＝ 3,4,5,6,7,8 a S ；当 n ＝ 1,2 或 n ≥ 9 时， a > S . ∴当 当n n ＝ 3,4,5,6,7,8 时， a < S ；当 n ＝ 1,2 或 n ≥ 9 时， a n< n n n n n n> ∴ 当 n ＝ 3,4,5,6,7,8 时， an < S ；当 n＝ 1,2 或或 n≥ 9 时， an>a Sn . n n> ∴ 当 n ＝ 3,4,5,6,7,8 时， a < S ；当 n ＝ 1,2 n ≥ 9 时， n n ∴当 n＝3,4,5,6,7,8 时，an<Sn；当 n＝1,2 或 n≥9 时，an>Sn.
an S 2 n1 (4)若{bn }为等差数列前 n项和为Tn， 则 . bn T2 n1
sn 1 (1){ }也为等差数列，首项为 a1 , 公差为 d . n 2
始终带着一颗骄傲的心前进！ 课前演练
1 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 2.
S5＝( A.5
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第2讲 等差数列的性质及应用（必修五）
告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住； 让我自主参与，我会完全理解。 ————苏娜丹戴克（美国教育家）
始终带着一颗骄傲的心前进！ 要点回顾
Hale Waihona Puke sn 是 {an }的前 n 项和，d 为公差. 已知数列{an } 是等差数列，
等 * 差 (2)若m n p q, 则a a a a ( n , m , p , q N ) m n p q 数 列 * ( 3 ){ a } 也为等差数列，公差为 2 d ( n N ) 2n 常 用 推广：ak , ak m , ak 2m ,(k , m N * )组成公差为 d的等差数列 . 性 质
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(2) 解:: ∵b b ＋ b ＋b b ＝6 6 ， ∴ b ＝2 2 ， 1 3 5 3 (2) 解 ∵ ＋ b ＋ ＝ ， ∴ b ＝ ， 1 3 5 3 (2)解 解: :∵ ∵b b1＋ ＋b b3＋ ＋b b5＝ ＝6 6， ，∴ ∴b b3＝ ＝2 2， ， (2) 1 3 5 3 1 3 5 3 ∵ a >1 ， ∴ b ＝ log a >0 ， 1 1 2 1 ∵ a >1 ， ∴ b ＝ log a >0 ， 1 1 2 1 ∵ a >1 ， ∴ b ＝ log a >0 ， 1>1，∴b1＝log2a1>0， ∵ a1 1 2 1 1 2 1 1 ∵b b b b ＝0 0 ， ∴b b ＝ 0. 1 3 5 5 ∵ b b ＝ ， ∴ ＝ 0. 1 3 5 5 ∵b b1b b3b b5＝ ＝0 0， ，∴ ∴b b5＝ ＝0. 0. ∵ 1 3 5 1 3 52d＝2， 5 5 b ＋ b ＝4 4 ， 1 1 b ＋ 2 d ＝ 2 ， b ＝ ， 1 1 b1＋ ＋2 2d d＝ ＝2 2， ， b1＝ ＝4 4， ， ∴ 解得 b b 1 1 1 1 ∴ 解得 ∴ 解得 b ＋ 4 d ＝ 0 ， d ＝－ 1 ， 1 ∴ 解得 b ＋ 4 d ＝ 0 ， d ＝－ 1 ， 1 b1＋ ＋4 4d d＝ ＝0 0， ， d＝－ ＝－1 1， ，2 b d 1 1 2 n n － 1 9 n －n n 2 n n － 1 9 n － 2 n n n－ －1 1 × 9n n－ －n n 2.. ∴S S ＝ 4 n ＋ × ( － 1) ＝ n ∴ ＝ 4 n ＋ ( － 1) ＝ n 9 n ＝4n＋ 2 ×(－1)＝ 2 2 . ∴ S n＝4n＋ 2 ∴ Sn × ( － 1) ＝ . 2 2 n 2 2 1 1 log q ＝－ 1 ， 1， q ＝ ， 2 log q ＝－ 1 ， q ＝ 1 2 2， log2q q＝－ ＝－1 1， ， q ＝ 2 ∵ ∴ log q ＝ ， 2 2 2 ∵ ∴ ∵ ∴ 2 log a ＝4 4 ， 2 1 ∵ ∴ log a ＝ ， 2 1 a ＝16 16 ， log2a a1＝ ＝4 4， ， 1 a ＝ ， 1 log 2 2 1 1 a ＝ 16 ， 1 a ＝ 16 ， 1 1 －n * 5 － * 5 n － (n∈N * )． ∴a a ＝ 2 － * n 5 n ∴ ＝ 2 ( n ∈ N ． n ＝25 －n *) 5－ n (n∈N* ∴ a ) ． n ∴ an ＝ 2 ( n ∈ N ) ． n