第4讲 反比例函数(2)

第4讲 反比例函数（2）
【今日目标】
1、正确理解反比例函数k
y x =
中k 的几何意义，利用k 的几何意义解决有关面积问题．
2、以正、、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决
直线与双曲线的计算问题。

【精彩知识】
专题一：直线与双曲线的交点问题
【例1】（1）若反比例函数m y x =，当3
4
x =-时，4y =-，求这个函数的解析式；（2）若一次函数2y kx =-的图象与（1）中的反比例函数m
y x
=的图象有交点，求k 的取值范
围。

●变式训练：
1、如图，已知反比例函数k
y x
=
与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
2、（2013成都23，4分）若关于t 的不等式组0
214
t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰有三个整数解，则关于x 的一
次函数14y x a =
-的图象与反比例函数32a y x
+=的图象的公共点的个数为 。

★方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将 联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用 来确定。

专题二：用函数的图像解不等式
【例2】已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数x
y 6
2=的图象交于A 、B 两点，.已知当1>x 时，21y y >；当10<<x 时，21y y <.
⑴求一次函数的解析式；
⑵已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积.
●变式训练：
1、已知反比例函数k
y x
=
的图象过点(1,2)-，直线y x b =+经过第一、三、四象限。

（1）求反比例函数的解析式； （2）若直线y x b =+与反比例函数k
y x
=的图象只有一个公共点，求b 的值。

2、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象交于点P ，点P 在第一象 限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD ＝4，12
OC OA
=．
（1）求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.
专题三：反比例函数中最值问题 【例3】如图是反比例函数x
k
y =
的图象，且当－4≤x ≤－1时，－4≤y ≤－1。

（1）求该反比例函数的解析式；
(2)若M 、N 分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN 最短（不需
证明），并求出线段MN 长度的取值范围。

●变式训练：
如图，正比例函数12y x =
的图象与反比例函数k
y x
=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.
专题四：利用k 的几何意义解决有关面积问题 【例4】如图，已知动点A 在函数4
(0)y x x
=
>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC 。

直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。

当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于_______
●变式训练：
(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数x
k
y =
(k 为常数，且k >0)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若
m
BF BE 1
= (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则
2
1
S S = ． (用含m 的代数式表示)
【思维拓展】
O M x
y
A
【例5】一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数x
k y =
的图像相交于A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ,E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F 、D ，AC 与BD 交与点K ，连接CD 。

（1）若点A 、B 在反比例函数x
k
y =
的图像的同一分支上，如图（1），试证明：①CFBK AEDK S S 四边形四边形=;② AN =BM ； （2）若点A 、B 分别在反比例函数x
k
y =
的图象的不同分支上，如图（2），则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论；
（3）连结EF ,试判断EF 与MN 的位置关系，并说明理由。

【例6】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C
分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D
2 (4,)
3
.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取5
4
时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行
四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
【课后测控】
1、已知点A 在双曲线y=
6
x
上，且OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．（1）则△AOC 的面积为 ，（2）△ABC 的周长为。

第1小题图 第2小题图
第3小题图
2、如图，点A 在双曲线y ＝
x
k
的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．
3、如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且32211A A A A OA ==,分别过点1A 、2A 、3A 作
y 轴的平行线，与分比例函数)0(8
>=x x
y 的图像分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过
点1B 、2B 、3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C 、2C 、3C ，连接1OB 、2OB 、
3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 ．
4、如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数k
y x
=
(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；
(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′BC ．设线段MC ′、NA ′ 分别与函数k
y x
=
(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．
5、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C （1，
1
2）处．两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A ﹑B 恰好是直线y =kx +92与双曲线y =m
x
（ m ﹥0）的交点．
（1）求m 和k 的值; （2）设双曲线y =
m
x
（ m ﹥0）在A ，B 之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，
两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB 交于M ，N 两点，请探究是否存在点P 使得MN =
1
2
AB ， 写出你的探究过程和结论.
6、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点
的反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，
C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．。