19泰勒公式在证明不等式中的几个应用

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泰勒公式及其应用

本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。

本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。

对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。

泰勒公式及其应用ko

（ｋ－１）！（１＋ｘ）ｋ
（ｋ＝１，２，３，…）
故ｆ（ｋ）（０）＝（－１）（ｋ－１）（ｋ－１）！
ｌｎ（１＋ｘ）≈ｆ（０）＋ｆ＇（０）ｘ＋ｆ＂（0）ｘ２＋…＋ｆ（ｎ）（０）ｘｎ＝ｘ－１ｘ２＋１ｘ３－１ｘ４＋…＋（－１）ｎ－１ｘｎ
２！
ｎ！
２３４
ｎ
误差为Ｒｎ（ｘ）＝
ｆ（ｎ＋１）（θｘ）ｘｎ＋１（ｎ＋１）！
＝
（－１）ｎ（ｎ＋１）！
ｎ！（１＋θｘ）ｎ＋１
ｘｎ＋１
ｎ＋１
＜ｘｎ＋１
取ｘ＝０．２由于０．２６ ≈０．００００１１故取ｎ＝５６
则ｌｎ１．２＝ｌｎ（１＋０．２）≈０．２－１（０．２）２＋１（０．２）３－１（０．２）４＋１（０．２）５＝０．１８２３
２
３
４
２
（二）利用泰勒公式判断敛散性及求极限
图２金工实习与其前延后伸课程２．ＣＤＩＯ教学理论与４＋１指挥人才的培养所谓ＣＤＩＯ是Ｃｏｎｃｅｉｖｅ（构想），Ｄｅｓｉｇｎ（设计），Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ（实施），Ｏｐｅｒａｔｅ（操作）的简写，指的是现代工业产品从构思研发到运行改良乃至终结废弃的生命全过程。ＣＤＩＯ教学模式是以构思－设计－实施－运行全过程为载体培养学生的工程能力，此能力不仅包括学生的专业知识，而且包括创新能力、终生学习能力、团队交流能力和大系统掌控能力。ＣＤＩＯ教学模式不仅强调学生的基础知识，更重视教学实践，注重培
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泰勒公式及其应用
内蒙古财经学院统计数学学院高春香
［摘要］泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。本文介绍了泰勒公式及其余项定义，归纳总结了泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式判断敛散性及求极限，利用泰勒公式求函数的高阶导数，泰勒公式在无穷小中的应用，泰勒公式在不等式证明中的应用。［关键词］泰勒公式应用余项极限不等式

泰勒公式

泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。

由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。

泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。

泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。

但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。

虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。

困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。

作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。

所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。

例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。

我们回顾一下它的证明。

通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。

但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。

这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用作者：闫艳来源：《教育界·上旬》2015年第04期【摘要】泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，它能将一些复杂的函数近似地表示成简单的多项式函数。

本文主要探讨了泰勒公式在极限运算、近似计算、不等式的证明、级数敛散性的判断等方面的应用。

【关键词】泰勒公式极限不等式收敛性一、泰勒公式泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面都有着重要的应用。

泰勒公式的一般形式为：其中为拉格朗日余项或皮亚诺型余项。

若令，则泰勒公式变为麦克劳林公式，即：二、泰勒公式的应用1.利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

例如求极限，此为型极限，若用罗比塔法则很麻烦。

这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式，求得==.注：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。

我们知道，当时，等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。

2. 利用泰勒公式判断函数的极值讨论函数极值通用的方法是：当且（或）时，是的极小（大）值。

但如果此时，此方法不能判别是否为极值点，可用泰勒公式。

3. 泰勒公式判断广义积分的收敛性为一正值函数，要判定的收敛性，如果能找到恰当的，，使，由比较判别法的极限形式可判别出无穷积分的收敛性。

这里的问题也是如何选取，才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究的阶，就可以解决这类问题。

4. 利用泰勒公式近似计算和误差估计泰勒定理：若函数在的某邻域内有直到n+1阶的连续偏导数，则对内的任一点，存在相应的，使得=+…+）5.利用泰勒公式证明不等式在高等数学中，常常要证明一些不等式，而且证明不等式的方法很多。

泰勒公式除了上面介绍的一些应用外，在证明不等式时也很方便。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应⽤泰勒公式的应⽤内容摘要：泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及⾏列式的计算等⽅⾯有重要的应⽤。

本⽂着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯进⾏论述。

关键词：泰勒公式⽪亚诺余项级数拉格朗⽇余项未定式⽬录内容摘要 0关键词 01.引⾔ (2)2.泰勒公式 (2)2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式 (2)2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式 (2)2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)3.泰勒公式的应⽤ (3)3.1利⽤泰勒公式求未定式的极限 (3)3.2利⽤泰勒公式判断敛散性 (6)3.3 利⽤泰勒公式证明中值问题 (11)3.4 利⽤泰勒公式证明不等式和等式 (13)4. 结束语 (19)参考⽂献 (20)1.引⾔泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，微分学理论中最⼀般的情形是泰勒公式, 它建⽴了函数的增量,⾃变量增量与⼀阶及⾼阶导数的关系，将⼀些复杂的函数近似地表⽰为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有⼒杠杆。

我们可以使⽤泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定⽆穷⼩的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。

本⽂着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯的具体应⽤⽅法。

2.泰勒公式2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个ξ使得：当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。

2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有:2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内具有n+1阶导数,令x ∈()0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个t 使得:()()()()()()()()()dt t x t f n x x n x f x x x f x f x f n x x n n n -+-?+-+=?+010000'0!1!)(其中()()()dt t x t fn n x x n -?+01!1就是泰勒公式的积分型余项。

泰勒公式及其应用

1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。

由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。

使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。

只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。

2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

他的母校为剑桥大学圣约翰学院。

进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。

这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。

1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。

他也学习数学。

1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。

因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。

他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。

除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。

他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。

在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。

直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。

泰勒公式的证明及应用

泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。

它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。

本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。

关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。

泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用江爱珍 B09010108 通信一班摘要：本文简单介绍了泰勒公式，并从六个方面来简要地介绍了其广泛的应用，分别是等式与不等式的证明、极限的计算、近似计算和误差估计，求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值，判断级数的敛散性.关键词：泰勒公式，极限，近似计算和误差估计，极值，展开式，行列式，敛散性引言：泰勒公式是高等数学极其重要的内容，是函数展开的重要工具它可以使较为复杂的函数用简单的多项式函数来表示，更简便的解决数学问题。

本文将用例题来说明泰勒公式的应用的几个方面，并对解题方法做出总结。

一、泰勒公式的介绍18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在其著作《正的和反的增量方法》中，提出了著名定理——泰勒定理。

泰勒公式有如下两种定义：定义1]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n nfx x x o x x n +-+- （1）这里))((0nx x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnn x o xn fx f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n fR x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xnxxn en xxx eθ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nxo n xxxx x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxx o xn =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n nxo n xxxx x .)(1112nn x o x x x x+++++=- .二、泰勒公式的应用1.应用泰勒公式证明例1．证明 e x i x ixsin cos += 证明：将cosx ，sinx 在x=0点泰勒展开有：cosx=∑∞=-02)!2()1(n nnn x sinx=∑∞=++-012)!12()1(n n nn x又cosx=∑∞=-02)!2()1(n n n n x =∑∞=022)!2(n n nn xi=∑∞=02)!2()(n nn ixisinx=∑∞=++-012)!12()1(n n n n ix=∑∞=++012)!12()(n n n ix所以 cosx+sinx=∑∞=02)!2()(n n n ix +∑∞=++012)!12()(n n n ix =∑∞=0!)(n nn ix =e ix ,证毕。

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用

泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。

2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。

3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。

4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。

5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。

此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。

泰勒公式在不等式中的应用

泰勒公式在不等式中的应用泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它用于近似计算函数在一些点附近的值。

泰勒公式的应用非常广泛，不仅在数学中有重要地位，而且在物理、工程等领域中也有广泛应用。

在不等式中，泰勒公式的应用可以帮助我们解决许多复杂的问题，下面就详细介绍一些泰勒公式在不等式中的应用。

1.近似计算：泰勒公式可以将一个函数在特定点附近展开成一个幂级数，从而得到该点附近的函数值的近似值。

通过控制展开的项数，我们可以得到不同精度的近似值。

在不等式中，我们常常需要计算函数在一些特定点的值，而泰勒公式可以帮助我们进行快速的近似计算。

2.函数的最大值和最小值：对于一些函数，我们要求它在一些区间内的最大值或最小值时，通常会用到泰勒公式。

我们首先计算函数在区间端点处的值，然后使用泰勒公式计算函数在端点附近的近似值。

通过比较得到的近似值，我们可以确定函数在给定区间内的最大值或最小值。

3.不等式的证明：对于一些不等式问题，我们需要证明一些函数的性质。

泰勒公式可以帮助我们简化不等式的证明过程。

通过将不等式中的函数展开成泰勒级数，我们可以得到关于函数各阶导数的不等式，进而用数学归纳法证明原不等式的成立。

4.不等式的精确解：在一些不等式问题中，直接找到不等式的精确解并不容易。

泰勒公式可以提供一种逼近的方法，通过展开不等式中的函数，我们可以得到不等式的一个近似解。

然后，我们可以通过迭代等方法，不断提高近似解的精度，最终得到不等式的精确解。

5.不等式的证明：对于一些复杂的不等式问题，我们需要找到一种合适的方法进行证明。

泰勒公式可以帮助我们得到函数在一些点附近的近似值，从而将原不等式转化成一个更简单的不等式。

通过对近似不等式的分析，我们可以得到原不等式的一些性质，从而完成证明过程。

需要注意的是，泰勒公式在不等式中的应用需要一定的数学基础知识和推理能力。

在应用过程中，我们还需要注意确定合适的展开点、控制近似值的精度等问题。

因此，在进行不等式的计算和证明时，我们应该结合具体问题选择合适的方法，以达到更好的效果。

泰勒公式及泰勒级数的应用

泰摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析中有着很大的作用，是重要的数学工具。

除了我们熟悉的应用方面外，在其他问题解决中也有妙用。

本文举例介绍了泰勒公式及泰勒级数在求极限、求高阶导数值、判定级数和广义积分的敛散性、函数的不等式证明和近似计算中的应用等问题。

这对学生解决问题的能力及综合运用知识的能力有着很好的指导作用。

可以开阔学生的解题思路，提高学生的分析问题的能力。

关键词：泰勒公式泰勒级数应用The Application of a T aylor Formula and T aylor SeriesAbstract: Taylor formula and Taylor series have many important applications in mathematical analysis . This paper gives some examples to show several applications which include limit and differential coefficient calculation,judgement of convergence and divergence of progression and improper integral, proving variable function equation and so on. It is an important guide for us to exploit students’ thinking to study problems, to improve students’ ability in analyzing and solving problems.Key words: Taylor formula Taylor series application0引言泰勒公式和泰勒级数是极重要的数学工具。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用【摘要】：通过对数学分析的学习我们知道，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式是用一个n 次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.本文首先介绍了泰勒公式的概念，以及泰勒公式的两种不同余项的类型；接着对泰勒公式的应用做了详细的论述，如“近似计算”、“求极限”、 “根的唯一存在性的证明”、 “在不等式证明中的应用”、“判断函数的极值”、“函数凹凸性及拐点判断”等做了详细的介绍,并得出相应的结论.【关键词】：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项1 引言泰勒（ Taylor ）是18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一.泰勒公式是泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒从牛顿二项式展开定理得到启发，形式上得到下列展开式：,)()(432 +++++=+Dh Ch Bh Ah x f h x f但是他没有给出该展式的证明及其成立的条件.拉格朗日引进了导函数的概念，并证明了公式：,!)(!2)()()()()(2 +++''+'+=+n n h n x f h x f h x f x f h x f 并用余项讨论所展开的泰勒多项式的性质.泰勒公式在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 同时，泰勒公式在分析和研究数学问题中也有着重要作用,它可以应用于求极限、根的存在唯一性的证明、不等式的证明、判断函数的极值、函数凹凸性及拐点判断等方面.因此，本文对泰勒公式及其应用做了详细论述.2 泰勒公式的基本内容2.1 泰勒公式的概念我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f 在点0x 可导，则有).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量. 然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为))((0n x x -ο，其中n 为多项式的次数.为此，我们考察任一n 次多项式,)()()()(0202010n n n x x a x x a x x a a x P -++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到,!)(,,!2)(,)(,)(0)(201000n n n n n n a n x P a x P a x P a x P ==''='=即.!)(,,!2)(,!1)(),(0)(020100n x P a x P a x P a x P a n n n n n n =''='== 由此可见，多项式)(x P n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定. 定义1：对于一般函数f ，设它在点0x 存在n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T -++-''+-'+=称为函数f 在点0x 处的泰勒（Taylor ）多项式，)(x T n 的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k = 称为泰勒系数.由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的n 阶导数，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x f k n k ==定义2：若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则有 ))(()()(0n n x x x T x f -+=ο即).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 称上式为函数f 在点0x 处的泰勒公式注1：泰勒公式由)(x f 的n 次泰勒多项式)(x P n 和余项])[()(0n n x x x R -=ο组成，当1=n 时，有))(()()(0001x x x f x f x P -'+=是)(x f y =的曲线在点))(,(00x f x 处的切线（方程），称为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的一次密切.显然，切线与曲线的差异是较大的.当2=n 时，有,)(!2)())(()()(2000002x x x f x x x f x f x P -''+-'+= 是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的“二次切线”，也称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.2泰勒公式的类型及其证明（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒（Taylor ）公式：若函数)(x f 在点0x 存在n 阶导数，则有).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim 0=-x Q x R nn x x 由 n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n nn ，并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)()1(x f n -.于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到 0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立.注2：当00=x 时, 上式也称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即).(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式若函数f 在],[b a 上有n 阶连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意的],[,0b a x x ∈，必存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中.10),(00<<-+=θθξx x x 称 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ为拉格朗日型余项证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G 则要证明,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 成立，即证 )!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得 )!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ.注3：当00=x 时, 上式也称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ ).10(<<θ注4：泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有不同的特点.从定理的条件看，泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是)(x f 在点0x 存在n 阶导数；而拉格朗日型余项成立则要求函数)(x f 在点0x 的邻域内)()(x f n 连续，且存在)1(+n 阶导函数)()1(x f n +；后者所需条件比前者强.从余项形式看，佩亚诺型余项))((0n x x -ο是以高阶无穷小量的形式给出的，是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用)1(+n 阶导数形式给出的，利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计.从证明方法看，佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的.从应用方面看，佩亚诺型余项在求极限时用的较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用的较多（在后面的论述中可见）.（3）六个常用函数的麦克劳林(Maclaurin)公式 ),(!!212n nxx n x x x e ο+++++= );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()1(32)1ln(132n n n x nx x x x x ο+-+++-=+- ;1,10-><<x θ ),(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+;1,10-><<x θ )(1112n n x x x x x ο+++++=-.1,10<<<x θ3 泰勒公式的应用3.1在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经有很多方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例设函数)(x f 在]2,0[上二阶可导，且在]2,0[上1)(≤x f ，1)(≤''x f .证明在]2,0[上成立2)(≤'x f .证明：]2,0[∈∀x ，把)0(),2(f f 在点x 处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式，有x x f x x f x f f <<''+'-=1210,!2)()()()0(ξξ， 2,)2(!2)()2)(()()2(222<<-''+-'+=ξξx x f x x f x f f ，上面两式相减后有.2)()2(2)()0()2()(22122x f x f f f x f ξξ''+-''--=' 再应用1)(≤x f ，1)(≤''x f ，可得2)2(2)(222x x x f -++≤' 1)1(22+-+=x,4≤于是有2)(≤'x f3.2判断函数的极值例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明：由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式 ))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)(0'=x f ,因此 200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=- (*) 又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.3 证明根的唯一存在性例设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值性定理证明.证明：因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调递减,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调递减.在a 点展开一阶泰勒公式有 ''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有-∞=∞→)(lim x f x ,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值性定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.4判断函数凹凸性及拐点泰勒公式在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上具有一阶和二阶导数.若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.证明：设c d <为[,]a b 内任意两点，且[,]c d 足够小.12x x <为[,]c d 中的任意两点，记012()/2x x x =+由定理条件的泰勒公式 22000000()()()()()()()2!f x x x f x f x f x x x o x x ''-'=+-++- 由此，2012001002010()()()2()()()()()()2!f x f x f x f x f x x x f x x x x x ''''+=+-+-+- 2220102020()()()()2!f x o x x x x o x x ''+-+-+- 因为余项为2()n x x -的高阶无穷小，且12[,]x x 足够小，所以泰勒公式22000()()()2!f x x x o x x ''-+-的符号与0()f x ''相同. 又因为 012()/2x x x =+，所以 010020()()()()0f x x x f x x x ''-+-=，由此可得： 2222201200101020()()()2()()()()()02!x x f x f x f x f x x x o x x o x x -''+-=-++-+-> 即 120()()2()0f x f x f x +->，从而 012()[()()]/2f x f x f x <+.由12,x x 的任意性，可得()f x 在足够小的区间[,]c d 上是凹的.再由,c d 的任意性，可得()f x 在[,]a b 内任意一个足够小的区间内部都是凹向的. 例 ,4判断（0）是否是 x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.解： ()2sin ,x x x x ´-ƒ=e -e - (0)´ƒ0=()x x x ´´-ƒ=e -e -2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin ,x x x x ´´´-ƒ=e -e + (0)´´´ƒ=0(4)(),x x x -ƒ=e -e -2cosx (4)(0)ƒ=4≠0因为n =4时，(4)(0)ƒ=4≠0所以,4（0）不是x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点. 3.5利用泰勒公式进行近似计算例1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001.解：先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使 111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可.因此.0001.0R 1823.000006.000040.000267.002.02.02.15<=+-+-≈其误差Ln例2 计算lg11的值,准确到5-10.解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为23ln(1)23x x x x +=-++……+1n n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ，1x 0<θ<1, >-，要使 (1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+ 则 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故 11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139. 结论 1 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈+ + + + , 其误差是余项()n R x .当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.3.6利用泰勒公式求极限例1 求2240cos lim x x x e x -→-.分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较繁琐.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解：因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x e o -=+-+-+- 又244cos 1()2!4!x x x o x =-++ 所以 24442111cos ()()()2484x x e x o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故 2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x ex x -→∞→∞-+-==-.例2 求极限 )0(2lim 20>-+-→a xa a x x x 解：利用函数x a 带有佩亚诺型余项)(2x ο的麦克劳林展开有 )(!2ln ln |1222x x a x a a xο++⋅+=)(!2ln ln 1222x x a x a a x ο++⋅-=- 于是 a xx x a x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+⋅=-+→-→ο 结论2 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.参考文献:[1]华东师大数学系编.数学分析（上册，第三版）[M].北京：高等教育出版社.[2]吴良森等编著.数学分析学习指导书.上册/[M].北京：高等教育出版社.[3]裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社.[5]朱永生, 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报Taylor’s Formula and its ApplicationTeacher: ZhangChunXia student: WuQiaoLing(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou, 730070, China) Abstract: Through the analysis of the learning of mathematics we know, Taylor formula embodies the calculus "approximation" the essence. The Taylor formula is a polynomial approximation to function. The polynomial is simple in form, and easy to calculate and other advantages. This paper firstly introduces the concept of the Taylor formula, Taylor formula two different types of remainder; then Taylor formula application are discussed in detail, such as the "approximate", "limit", "the root of the only proof of existence", "Application in proving inequalities", "judging extremum of function", "convex function and turning point judgment." introduced in detail, and draws the corresponding conclusion. Keyword: Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder。

泰勒公式及其应用论

本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目录一、泰勒公式 (1)（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)二、公式的应用 (3)（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)三、结论 (14)参考文献 (15)序言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.[]1因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000'()''()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.[2]泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1[]3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n nn f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.证明作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，所以要证明的式子即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且 0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F ，又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ，其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.（二）带Peano 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2[]3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())nf x Tn x o x x =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()nx x -高阶的无穷小量.证明设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只需证0)()(lim0=-x Q x R nn x x .由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n .并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- ，因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当o0x U x ∈（）且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理2成立.当00x =时，得到泰勒公式)10(,)!1()(!)0(...!2)0('')0(')0()(1)1()(2<<++++++=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ，该式称为（带有Lagrange 余项的）麦克劳林公式. 当上式中00x =时有()2''(0)(0)()(0)'(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，它称为（带有Peano 余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x xn ≈++++[]4，其误差是余项()n R x . 例1[]5：计算e 的值，使其误差不超过610-.解应用泰勒公式有11111...2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++，(01)θ<<，估3(1)!(1)!n e R n n θ=<++，当=9n 时，便有6331010!3628800n R -<=<，从而略去9R 而求得e 的近似值为718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e . 例2[]5: 求21x edx -⎰的近似值，精确到510-.解因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+，逐项积分，得2421111121(1)2!!nx nx x edx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰111111(1)32!5!2n 1n n =-+-+-++11111111310422161329936075600=-+-+-+-+，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤<，所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明：例3[]6：求极限2240cos limx x x ex -→-.解考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4n ）245cos 1()224x x x o x =-++ ，)(82154222x o x x ex ++-=-，)(12cos 5422x o x ex x +-=--，因而求得，245244001()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-. 例4[]7: 求极限 )3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x xx x x x e x x +--+---→.解 )(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+ )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-)(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+，原式=5505527()40lim 6()5x x o x x o x →++=169.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况. (2)分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. (3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明：例5[]8: 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且()0f a >，'()0f a <，对(,)x a ∈+∞，''0f ≤证明 ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里()f x 是抽象函数，直接讨论()0f x =的根有困难，由题设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且()0f a >，'()0f a <，可考虑将()f x 在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明因为''()0f x ≤，所以'()f x 单调减少，又'()0f a <，因此>x a 时，''()()0f x f a <<，故()f x 在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<.由题设'()0f a <，'()0f ξ≤，于是有lim ()x f x →∞=-∞，从而必存在b a >，使得()0f b <，又因为()0f a >，在[,]a b 上应用连续函数的介值定理，存在0(,)x a b ∈，使0()0f x =，由()f x 的严格单调性知0x 唯一，因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.例6[]8：设()f x 在(,)-∞+∞内有连续三阶导数，且满足方程，()()'(),01f x h f x hf x h θθ+=++<<. （1）试证：()f x 是一次或二次函数.证明问题在于证明：''()0f x ≡或'''()0f x ≡.为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无关.我们有'()'()''()f x h f x h hf x h θθθ+=+++，（2）从而'()'()'()'()''()f x h f x f x f x h f x h hθθθ+-+-+=+.令0→h 取极限，得''()''()''()f x f x f x θθ-=，''()2''()f x f x θ=. 若21≠θ，由此知)(,0)(''x f x f ≡为一次函数；若21=θ，（2）式给出 111'()'()''()222f x h f x h hf x h +=+++，此式两端同时对h 求导，减去''()f x ，除以h ，然后令0→h 取极限，即得'''()0f x ≡，()f x 为二次函数. 例7[]9：已知函数)(x f 在区间(-1,1)内有二阶导数，且(0)'(0)0f f ==，''()()'()f x f x f x ≤+试证：0δ∃>，使得δδ-（，）内()0f x ≡. 证明为了证明)(x f 在0=x 处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的)(x f ，)('x f 在0=x 处按公式展开.注意到(0)'(0)0f f ==.我们有22''()1()(0)'(0)''()22f f x f f x x f x ξξ=++=， '()'(0)''()''()f x f f x f x ηη=+=.从而21()|'()|''()''()2f x f x f x f x ξη+=+，今限制11[,]44x ∈-，则()'()f x f x +在11[,]44-上连续有界，011[,]44x ∃∈-，使得 001144()'()max ()'().x f x f x f x f x M -≤≤+=+≡我们只要证明0M =即可.事实上20000001()'()''()''()2M f x f x f x f x ξη=+=+， ))('')(''(4100ηξf f +≤， ))()(')()('(410000ηηξξf f f f +++≤， 11242M M ≤⋅=. 即102M M ≤≤.所以0M =，在11[]44-，上()0f x ≡.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明：例8[]9：设)(x f 在],[b a 上三次可导，试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()'()()'''()()224a b f b f a f b a f c b a +=+-+-. 证明设k 为使下式成立的实数：31()()'()()()0224a b f b f a f b a k b a +-----=，这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =.令31()()()'()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +=-----=. 则0)()(==b g a g ，根据Rolle 定理，(,)a b ξ∃∈，使得,0)('=ξg 即：1'()'()''()()202228a a a f f f k a ξξξξξ++-----=. 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式： 21'()'()''()'''()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--=++=. （五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析. 例9[]9：设)(x f 在[0，1]上有二阶导数，10≤≤x 时|()|1f x ≤，''()2f x <.试证：当10≤≤x时，|'()|3f x ≤.证明 21(1)()'()(1)''()(1)2f f x f x x f x ξ=+-+-， 21(0)()'()()''()()2f f x f x x f x η=+-+-，所以2211(1)(0)'()''()(1)''()22f f f x f x f x ξη-=+--， 22)1(|)(''|21)(''21|)0(||)1(||)('|x f x f f f x f -+++≤ξη，222(1)213x x ≤+-+≤+=.例10[]10：设)(x f 二次可微，(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，试证01max ''()16x f x ≤≤≤-.证明因)(x f 在[0,1]上连续，有最大、最小值.又因01max ()2x f x ≤≤=，(0)(1)0f f ==，最大值在(0,1)内部达到.所以)1,0(0∈∃x 使得001()max ()x f x f x ≤≤=.于是)(0x f 为最大值.由Fermat 定理，有0'()0f x =，在0x x =处按泰勒公式展开，)1,0(,∈∃ηξ使得：22000110(0)()''()(0)2''()22f f x f x f x ξξ==+-=+， 22000110(1)()''()(1)2''()(1)22f f x f x f x ηη==+-=+-.因此22010044max ''()min{''(),''()}min{,}(1)x f x f f x x ξη≤≤≤=---. 而 01[,1]2x ∈时，222000444min{,}16(1)1x x x --=-≤---（）， 01[0,]2x ∈时，222000444min{,}16(1)x x x --=-≤--，所以 01max ''()16x f x ≤≤≤-.由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.[]7例11[]11：设)(x f 在],[b a 上二次可微，''()0f x <.试证：12...0,n i a x x x b k ∀≤<<<≤≥，11nii k==∑，有)()(11i ni i i ni i x f k x k f ∑∑==>.证明取01ni ii x k x==∑，将)(i x f 在0x x =处按泰勒公式展开有：20000))((''21))((')()(x x f x x x f x f x f i i i i -+-+=ξ， ))((')(000x x x f x f i -+<， (1,2,3...,)i n = 以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑，11()0nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑，得)()()(101∑∑===<ni i i i ni ix k f x f x f k.例12[]11: 当0x ≥时，证明31sin 6x x x ≥-. 证明取31()sin 6f x x x x =-+，00x =，则 '''''''''(0)0(0)0(0)0()1cos (0)0f f f f x x f ====-≥，，，，.带入泰勒公式，其中=3n ，得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-. 由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn na1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p n b nn p nn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn pn11（0>p 中的p 值）.如当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n ，当1=p 时，此时∑∞=11n n发散，但是01lim =∞→na n n . 在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得lim 1n n p a t n→∞=且0t <<+∞，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性. 例13[]11:讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到11lnln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的形式，相呼应，会使判敛容易进行.解因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<，所以<从而0n u=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>==-，所以332211)22nun n=-<-=.因为31212n n∞=∑收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14[]12:求211x x++的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xx x x-=++-36934679103467910(1)(1)1()222222222(1)[sin]3nnx x x x x x x x x x xx x x x x x xnxπ∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果()f x泰勒公式已知，其通项中的加项nxx)(-的系数正是)(!1)(xfnn，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15[]12: 求函数x exxf2)(=在1x=处的高阶导数(100)(1)f.解设=+1x u，则eeueuugxf uu⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(nn gf=，ue在=0u的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuue u++++++= ，从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ，而()g u 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ，从()g u 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 100(0)121()100!98!99!100!g e =++，100(0)10101g e =⋅,e gf 10101)0()1(100100==.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项nx x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n .在求导数时只需在系数上乘以!n 即可. 三、结论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，《数学分析》（上），高等数学出版社，2008，134-141[2]裴礼文，《数学分析中的典型问题及方法》，高等教育出版社，2009，150-157[3]同济大学数学教研室主编，《高等数学》，人民教育出版社，2007，139-145[4]刘玉琏，《数学分析讲义》，人民教育出版社，2000，120-138[5]张利凯，《高等数学学习辅导》，科学技术文献出版社，2002，138-156[6]M.克莱因，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1988，165-168[7]W.盖勒特、H.奎斯特纳等，《简明数学全书Ⅱ.高等数学与现代数学》，上海科学技术出版社，1985，295-297[8]H.J.巴茨，《数学公式书册》，科学出版社，1987，439-440[9]闵祥伟，《高等数学学习指导与例题分析》，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-540[10]吴炯圻，陈跃辉等，《高等数学及其思想方法与实验》（上），厦门大学出版社，2008，122-127[11]上海财经大学应用数学系，《高等数学》，上海财经大学出版社，2004，66-71[12]蔡子华，《新编高等数学导学》，科学出版社，2002，336-337，369-376（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。

泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。

本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。

这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。

它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。

这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。

2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。

本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。

3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。

3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。

泰勒公式和泰勒级数的应用（精品）

NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。

如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。

如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。

二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。

虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。

例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。

右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。

证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。

三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。

泰勒公式的几种证明及应用

泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.关键词：泰勒公式佩亚诺型余项拉格朗日型余项积分型余项应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;application1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-证：设()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-（1） ()()n n R f x T x =- ()0()nn Q x x x =-现在只要证 ()()0lim0n x x nR x Q x →=由关系式（1）可知()()()()0000n n n n R x R x R x '====并易知()()()()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==== ()()0!n n Q x n =因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到 ()()()()()()()()0011lim lim lim n n n n n x x x x x x n nn R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'===' ()()()()()()()()()110000lim12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--()()()()()()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0= 所以有()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-则此式得证.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则(),x a b ∀∈，有()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()()1101!n n f x x n ξ+++-+ （2）其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤'''-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者()()()()(1)101!n n n R x f n x x ξ++=+-. （3）为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出()()()()0000n n n n R x R x R x '====）： ()()()()()()()()011100101n n nn n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++'-==--+-()()()()()()()1021102011nn nnn R R x R n xn n x ξξξξ-''''-==+-+-()()()()201201nn n R R x n n x ξξ-''''-==+-()()()()0231n n n n R n n x ξξ=⋅+-()()()()()()00231n n n n n n R R x n n x ξξ-=⋅+-()()()11!n n R n ξ+=+ （4）在此推导过程中，1ξ是介于0x 与x 之间的某个点；2ξ是介于0x 与1ξ之间的某个点，，ξ是介于0x 与n ξ之间的点.因而，ξ介于0x 与x 之间. 又注意到 ()()()()11n n n R f ξξ++= ，所以（4）式就可以得到（3）式，进而推出（2）式. 即定理得证.在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式定理3[3] 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有n +1阶连续导函数，则()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()011!x nn x f t x t dt n ++-⎰ ，0[,].t x x ∈ （5）证：从已知条件可知()1,,,n f f f +'在0[,]x x 上是连续的.那么我们有()()()00x x f x f x f t dt '-=⎰ （6）在（6）中令(),()u f t v x t '==-- 则(),du f t dt dv dt ''==.利用分部积分公式我们就有()()()()()0||xxx xx x x x x x f t dt uv vdu f t x t x t f t dt ''''=-=--+-⎰⎰⎰（7）结合（6）式和（7）式得到()()()()()()0000x x x t f f x f d x x t x f x t '''=---+⎰这就是1n =时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出2n =时也成立. 假设1n -（此时指的是2n ≥的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的，即是有()()()()()()()()()()1200000002!1!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n -'''-=-+-++--()()()()0111!x n n x x t f t dt n -+--⎰ （8）在（8）式中令()()(),!n n x t u ft v n -==- 则()()()()11,1!n n x t du f t dt dv dt n -+-==-. 利用推广分部积分公式我们就有()()()()011!n xn x x t f t dt n ---⎰()()()()()()01!!xn n nxn x x x t x t f d n t f n t t +--=-+⎰()()()()()()0100!!nxn nn x x t x f x x n dt n f t +--=+⎰（9）将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在),(0x x ∈ξ有由推广的积分第一中值定理得到=)(x R ()()()011!x nn x f x t dt n ξ+-⎰=10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ.这就转化成了定理2中的余项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计例1.=3273=，所以可以设()f x = 先求027x =处()f x 的三阶泰勒公式：因 ()2313f x x -'=，()5329f x x -''=-，()831027f x x -'''=. 所以得(27)3f = ， 31(27)3f '= ， 72(27)3f ''=- ， 1110(27)3f '''= 及 11(4)3480()3fx x -=- ，故23411371243115803(27)(27)(27)(27).3334!3[27(27)]x x x x x θ=+---+---⋅+-其中()0,1θ∈，又30x =，于是43114380||(3027)4!3[27(27)]R x θ=-⋅+-454111280103 1.88104!333-<⋅=≈⨯⋅⋅2591153333≈+-+30.1111110.0041150.000254≈+-+ 3.10725=计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过50.310,-⨯再加上余项误差，总误差不超过52.210.-⨯用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n ，我们先令M x f n ≤+|)(|)1(，则有估计误差110)1()!1()()!1()(||+++-+≤-+=n n n n x x n Mx x n f R ξ.3.2求极限例2：求()2220112lim cos sin x x x x e x→+-- 的极限值.解：在这里由于22~sin x x ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有)(8121114422x o x x x +-+=+，那么分子变为244111()28x x o x +=+，分子式4=n ,则分母中可以将括号里展开成2=n 的情形，即有)(211cos 32x o x x +-= ， )(1222x o x e x ++= ，则有 )(23cos 222x o x e x x +-=-，所以此求极限的式子可以简化为244220022211()1182lim lim 312(cos )sin ()2x x x x o x x x e x x o x x →→++==-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故所求极限值是121-. 对于求0型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.有些求极限的问题并非0型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：例3：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 的极限值.解：因为⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121111ln x o x x x ，)(∞→x ，所以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 22211lim 12x o x x →∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦12=得到极限值是12.3.3研究函数的极值问题在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.例4：设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，在0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k)1,,2,1(-=n k ，0)(0)(≠x fn ，证明:若n 为偶数，则0x 是)(x f 的极值点；若n 为奇数，则)(x f 在0x 处不取极值.证:由定理1我们知道f 在点0x 处的n 阶泰勒公式即为()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-又由题目条件可以看到0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则上式可以简化成))(())((!1)()(000)(0n n n x x o x x x f n x f x f -+-+=，因此有n n x x o x f n x f x f )()1()(!1)()(00)(0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- （10）又因为0)(≠n f，故存在正数δδ'≤，当);(0δ'∈x U x 时，)(!10)(x f n n 与)1()(!10)(o x f n n +同号.所以，若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时（10）式取负号，从而对任意);(0δ'∈x U x 有)()(0x f x f <，则此时f 在0x 处取得极大值；同理0)(0)(>x fn 时f 在0x 处取得极小值. 故若n 为偶数，0x 是)(x f 的极值点.若n 为奇数，则任取),(001δ'+∈x x x ，),(002x x x δ'-∈，且0)(01>-n x x ，0)(02<-n x x 当0)(0)(<x f n 时，有)()()(201x f x f x f << ，在0x 处取不到极值；同理当0)(0)(<x f n 时也在0x 处取不到极值.故若n 为奇数，)(x f 在0x 处不取极值.题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.3.4.1证明等式问题例5：证明：若()f x 在[,]a b 上有n 阶导数存在，且()()()()()()10n f a f b f b f b f b -'''======，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n f ξ=.证：由于()f x 在[,]a b 上有n 阶导数，故可在x b =处展成1-n 阶泰勒公式()()()()()()1112()()()()()().2!(1)!!n n n n f b f f b f x f b f b x b x b x b x b n n ξ--'''=+-+-++-+-- 其中1ξ在x 与b 之间. 又因为()()()()()10,n f b f b f b f b -'''=====故由上式可得()()()()11!nn f x f x b n ξ=-. 当x a =时，有()()()()()1,!nn f a f a b a b n ξξ=-<<.又()()0,0,nf a a b =-≠故知在(),a b 内必有一点,ξ使得()()0.nf ξ=3.4.2证明不等式问题例6：证明：若函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()()0f a f b ''==，则在(),a b 内存在一点c ，使()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.证：将2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭分别在点a 和点b 展成泰勒公式，并注意()()0f a f b ''==，有()()211,22!22f a b b a a b f f a a ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()222,22!22f a b b a a b f f b b ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令 ()()()12||max{||,||}f c f f ξξ''''''=.则 ()()()()||22a b a b f b f a f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212222f f b a b a ξξ''''--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2211||||24b a f f ξξ-⎡⎤''''=+⎢⎥⎣⎦ ()()2||4b a fc -''≤即()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.例7：设函数f 在(,)-∞+∞上有三阶导数，如果()f x 与()f x '''有界，试证()f x '与()f x ''也有界.证：设 ()0||,f x M ≤ ()3||,()f x M x '''≤-∞<<+∞，其中03,M M 都是常数.将f 在任意一点x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式即有()()()()()()()()()()111,26111,26f x f x f x f x f f x f x f x f x f ξη''''''+-=++''''''--=-+-其中()(),1,1,x x x x ξη∈+∈-.以上两式加减分别得到 ()()()112f x f x f x ++--()()()1[],6f x f f ξη''''''''=+-()()()()()1112[],6f x f x f x f f ξη'''''''+--=++ 由以上两式分别得到 ()()()()()()1||112[]6f x f x f x f x f f ξη''''''''=++---- 0314,3M M ≤+ ()()()()()1|2|11[]6f x f x f x f f ξη'''''''=+---+ 03123M M ≤+，即()f x '与()f x ''在(,)-∞+∞上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的，进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知道：①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数()f x 的高阶导数研究函数()f x 的性态都要应用泰勒公式；②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定量的，如拉格朗日型余项等.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.134-140页.[2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社，1999.188-203页.[3] S.I.Grossmon ，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社，1988. 51-56页.[4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2004.127页.[5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第205期：36-38页.[6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145页.[7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，2003-6-第13卷第2期.[8] 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泰勒公式在证明不等式中的几个应用

个应用泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。

特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。

本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。

泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。

泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。

但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：定理1[1]设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0nf x n!0n (x -x )+()n R x ，其中()n R x =()(1)(1)!n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()f x = ()0f +()0'f x +()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!nf n nx +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。