最新高三教案-2018年高考第一轮复习数学：5.4解斜三角形1 精品
高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案
解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。
二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。
[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。
[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。
[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。
222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满 足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状 （1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.5三角恒等变换教学案 理
4.5 三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1234．形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝b a.1．(2012重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )．A ．－32B ．－12C ．12D ．322．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )． A ．－cos 1 B ．cos 1C ．3cos 1D ．－3cos 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4等于( )． A ．－a B ．a C ．1－a D ．1＋a4．函数f (x )＝2sin x －2cos x 的值域是__________．5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则tan 2α＋1cos 2α＝__________.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例1－1】在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )．A.14B.13C.12D.53【例1－2】 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .方法提炼1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．请做演练巩固提升2 二、角的变换【例2－1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.【例2－2】 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．方法提炼1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.提醒：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例3－1】 化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．【例3－2】 已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值．方法提炼1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．请做演练巩固提升5 四、三角恒等式的证明【例4－1】 求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【例4－2】 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，证明：α＋β＝π4. 方法提炼1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．请做演练巩固提升6不能挖掘隐含条件而增解【典例】 若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)．∴cos 2θ＝±1－2sin 22θ＝±725.正解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4.∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答题指导：涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．1．(2012辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )．A ．－1B ．－22 C.22D ．12．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )．A ．－a 2B.a2 C ．－a D ．a 3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )．A.2941B.129C.141 D ．1 4．sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°·1－cos 20°＝__________.5．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.6．已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.参考答案基础梳理自测知识梳理1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 3．2α α 1－2sin 2α22cos2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2 sin α1＋cos α 1－cos αsin α 4．a a 2＋b2ba 2＋b 2基础自测1．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12， 故选C.2．C 解析：2＋cos 2－sin 21＝1－sin 21＋1＋cos 2＝cos 21＋2cos 21＝3cos 1.3．B 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ＝22(sin θ＋cos θ)， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ＋cos θ)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . 4．[－22，22]解析：f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，又－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，∴－22≤f (x )≤2 2.5．2 013 解析：tan 2α＋1cos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：由题意得 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又tan A ＋tan B ＝233，解得tan A tan B ＝13.故选B.【例1－2】 解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 【例2－1】 18 解析：sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－1＝18.【例2－2】 解：∵π4＜α＜3π4，∴－3π4＜－α＜－π4，－π2＜π4－α＜0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝3665＋2065＝5665.【例3－1】 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0.∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.【例3－2】 解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.∵5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.【例4－1】 证明：∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．【例4－2】 证明：∵3sin β＝sin(2α＋β)， 即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12.∴tan(α＋β)＝2tan α＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.演练巩固提升1．A 解析：将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2， 整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin 2α＝2sin αcos α＝－1，故选A. 2．C 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 3．D 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝29352935＝1，故选D.4. 2 解析：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，cos 80°·1－cos 20°＝sin 10°·2sin 210°＝2sin 210°.∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 5．解：解法一：原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.6．证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m ·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m )cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α(m ≠1)，即等式成立．。
数学高考复习名师精品教案：第43课时：第五章 平面向量-解斜三角形
数学高考复习名师精品教案第43课时：第五章 平面向量——解斜三角形课题：解斜三角形一．复习目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的计算和证明问题．二．知识要点：1．三角形中角的关系是：A B C π++=；2．正弦定理是 ，余弦定理是 ；3．三角形面积公式为 ．三．课前预习：1．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是 （ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =2．已知,,a b c 是ABC ∆三边的长，若满足等式()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为 （ ）()A 060 ()B 090 ()C 0120 ()D 01503．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积为 ．4．在ABC ∆中，已知6b =，10c =，30B = ，则解此三角形的结果有（ ）()A 无解 ()B 一解 ()C 两解 ()D 一解或两解5．在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则ABC ∆是 ．四．例题分析：例1．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别是2,6,4AB BC CD DA ====，求四边形ABCD 的面积．例2． 在ABC ∆中，sin sin sin a b B a B A +=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-， 试确定ABC ∆的形状．例3．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知ABC c ∆=,27的面积为323，且tan tan tan A B A B +=⋅b a +的值．例4．圆O 的半径为R ，其内接ABC ∆的三边c b a ,,所对的角为C B A ,,，若222(sin sin )sin )R A C B b -=-，求ABC ∆面积的最大值．五．课后作业：1．在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 即不充分又不必要条件 DCBA2．三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35，这个三角形的面积为14，那么这两边分别 （ ）()A 3,5 ()B 4,6 ()C 6,8 ()D 5,7 3．在ABC ∆中,如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=则C ∠的大小为（ ）()A 030 ()B 0150 ()C 030或 0150 ()D 60 或01204．已知ABC ∆的两边长分别为2,3,其夹角的余弦为13,则其外接圆半径为 ．5．在ABC ∆中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则三角形的形状是 ．6．在ABC ∆中，60A = ，12,b S ∆==sin sin sin a b c A B C ++++= ． 7．在ABC ∆中，已知||||2,AB AC == 且1AB AC ⋅= ,则这个三角形的BC 边的长为 ．8.ABC ∆中，内角,,A B C 成等差数列，边长8,7a b ==，求cos C 及ABC ∆面积．9.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=．10．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向半圆外作正三角形ABC ，问B 在什么位置，四边形OACB 的面积最大？并求出最大面积。
高三数学一轮复习 5.4 解斜三角形及应用举例课件 文 大纲人教版
.……2分 ……4分 .……6分
由余弦定理得a2＋b2－2abcos ＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③
……10分
将①代入③得(a＋b)2＝25.故a＋b＝5.
……12分
解法二：前同解法一，联立①、②得
……8分
消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得
a2＝4或a2＝9.……10分
所以
或
故a＋b＝5.
……12分
【探究与研究】
本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想．第(1)问实际上是为第(2)问服务的， 在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方 程组，而结论求a＋b的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决．
解析：∵a＝c，∠A＝75°，∴∠B＝30°， ∴b2＝a2＋c2－2accos 30°
∴b＝2. 答案：A
3． 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( ) A．75° B．60° C．45° D．30°
答案：B
4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、 60°，则塔高为________m. 解析：如图，由已知可得∠BAC=30°，∠CAD=30°， ∴∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 在△ABC中，
故B，D的距离约为0.33 km.
【方法规律】
1．正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、 边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角 形，以及利用它们解决一些实际问题．
高考数学 5.4解斜三角形课件 文 大纲人教版
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
工具
第五章 第4课时
栏目导引
工具
No.1 知能巧整合 No.2 典例悟内涵 No.3 真题明考向
第五章 第4课时
栏目导引
通过对近三年高考试题的统计分析，在整个命题过程中有以下规律：
1．考查热点：解三角形的综合问题．
2．考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现．
栏目导引
[变式训练] 4.某观测站C在A城的南偏西20°的方向．由A城出发的一条公 路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向 A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走 多少千米才能到达A城？
No.1 知能巧整合 No.2 典例悟内涵 No.3 真题明考向
No.1 知能巧整合
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
No.2 典例悟内涵
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量No尽.3量真集题中明在考有向关
三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
工具
第五章 第4课时
栏目导引
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解这些三角形，求得数学模型的 解．
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第五章 第4课时
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解析：
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No.1 知能巧整合 No.2 典例悟内涵 No.3 真题明考向
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第五章 第4课时
高考数学总复习解斜三角形精品课件大纲人教版
用 正弦 定理或 余弦定 理把 已知条 件转化 成纯
角 度关 系或纯 边的关 系， 结合特 殊三角 形的
性质判定．
例2 已知在△ABC 中，A，B，C 为三个内角，
a，b，c
分别为对 应的三条边，π＜ 3
C＜π2且a－b
b
＝sinA 的形状．
【思路分析】 把a，b化为角的形式，利用角 的关系判定．
直角三角 形
钝角三角 形
(2)边角互化 利用正、余弦定理把所给条件中的角转化为边， 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而 判断三角形的形状． (3)化边为角 利用正、余弦定理把所给条件中的边都化为角， 通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而 判断出三角形的形状． 在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移 项提取公因式，以免漏解．
2．余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC与勾股定理c2＝ a2＋b2有什么关系？ 提示： 当C＝90°，即c为Rt△ABC的斜边时， c2＝a2＋b2－2abcosC就是勾股定理，所以勾股定 理是余弦定理的特殊情况．
课前热身 答案：C
答案：D
答案：D
4．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝ ________.
方法技巧
方法感悟
1．解斜三角形的四种常见类型及一般解法
2.判断三角形形状的常见题型及解法如下．如例 (1) 在 △ ABC 中 ， 给 定 三 角 形 的 三 边 a 、 b 、 c(a<b<c)或三边的比，判断三角形的形状，由余 弦定理可知：
a2＋b2－c2的 符号
＋
0
－
△ABC的形状
锐角三角 形
名师预测
＝5 ， 13
cos∠ADC＝35，求
高考第一轮复习数学：54解斜三角形-教案(含习题及答案).
5.4 解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ； ① b 2=c 2+a 2－2cacosB ； ② c 2=a 2+b 2－2abcosC. ③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=bc a c b 2222-+；cosB=ca b a c 2222-+；cosC=abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解析：由2cosBsinA=sinC 得acb c a 222-+×a=c ，∴a=b.答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是A.sinA+cosA=51B.AB ·BC ＞0C.tanA+tanB+tanC ＞0D.b=3，c=33，B=30°解析：由sinA+cosA=51得2sinAcosA=－2524＜0，∴A 为钝角.由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝角. 由tanA+tanB+tanC ＞0，得tan （A+B ）·（1－tanAtanB ）+tanC ＞0.∴tanAtanBtanC ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sinC=23，∴C=3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ B.1+3C.232+ D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b=a+c.平方得a 2+c 2=4b 2－2ac.又△ABC 的面积为23，且∠B=30°，故由S △ABC =21acsinB=21acsin30°=41ac=23，得ac=6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cosB=ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b=1+3.答案：B4.已知（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，则∠A=_______.解析：由已知得（b+c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a=1，b=2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cosC ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a=1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b+c ），求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，代入a 2=b （b+c ）中，得sin 2A=sinB（sinB+sinC ）⇒sin 2A －sin 2B=sinBsinC⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sinBsin （A+B ） ⇒21（cos2B －cos2A ）=sinBsin （A+B ） ⇒sin （A+B ）sin （A －B ）=sinBsin （A+B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A+B ）≠0.所以sin （A －B ）=sinB.所以只能有A －B=B ，即A=2B.评述：利用正弦定理，将 思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b+c ），得cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B=2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222c c b b c c b ）（）（++－1=b bc 2-.所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A=2B. （2）该题根据解：由题设a 2=b （b+c ），得c b a +=ab ①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD=AB=c ，连结BD.①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.ABCDab c 21又AB=AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1， 所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是【例2】 （2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A+B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tanA=2tanB ；（2）设AB=3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A+B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2.∴tanA=2tanB.（2）解：2π＜A+B ＜π，∴sin （A+B ）=53.∴tan （A+B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tanB －1=0，解得tanB=262±（负值舍去）.得tanB=262+，∴tanA=2tanB=2+6.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB=3得CD=2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】 （2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac.又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc. 在△ABC 中，由余弦定理得cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A=60°.在△ABC 中，由正弦定理得sinB=aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A=60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB.∵b 2=ac ，∠A=60°，∴bcsinA=b 2sinB.∴cBb sin =sinA=23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练 夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sinA ＜1sinA ＞21；sinA ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF.∴DF=︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S=41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S=41（a 2+b 2－c 2）得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π.答案：45°4.在△ABC 中，若∠C=60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：ca bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C=60°，∴a 2+b 2－c 2=2abcosC=ab. ∴a 2+b 2=ab+c 2.代入（*）式得222cbc ac ab bcac b a ++++++=1. 答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sinB=724.因而B有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y=BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y=B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sinB+cosB=2sin （B+4π）.∵4π＜B+4π≤12π7，∴22＜sin （B+4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sinB 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2， ∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ） =3sinAcosA+3sin 2A=23sin2A －23sin2Acos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC=a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围.解：令AB=kx ，AC=x （k ＞0，x ＞0），则总有sinB=kx a ，sinC=xa（图略），且由正弦定理得sinB=ax sinA ，所以a 2=kx 2·sinBsinC=kx 2sinA ，由余弦定理，可得cosA=222222sin kx A kx x x k -+=21（k+k 1－sinA ），所以k+k 1=sinA+2cosA ≤2221+=5.所以k 2－5k+1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA=a ，OB=b.因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a 2+b 2－2abcos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab+2ab=（2+2）ab ，当且仅当a=b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=αsin 10，b=）（α-︒45sin 10， ab=αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-， 当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a=b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b=0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB|最短，最短距离为20（2－1）. ●思悟小结1.在△ABC 中，∵A+B+C=π，∴sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C.2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. ●教师下载中心 教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 拓展题例【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y=cotA+）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y=cotA+[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A+）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A+CB CB C B sin sin sin cos cos sin +=cotA+cotB+cotC ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cotA+A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2c o t 2t a n 3A A ⋅=3.故当A=B=C=3π时，y min =3.评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cotA+cotB+cotC ≥3.【例2】 在△ABC 中，sinA=CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcb a ca b ac c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b+c ）.所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）.所以a 2=b 2－bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.。
高三数学解斜三角形(2018-2019)
热点题型1 判断△ABC的形状
例1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为 12，最小角的正弦值为 1 。
3
(1） 判断△ABC的形状； (2) 求△ABC的面积。
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入为尚书 邑百户 众不知所为 则张燕可灭 欲南奔荆州 予连从荆 欣环堵以恬娱 遂使左右斩进 任城栈潜 英语 皇后其敬之哉 冀赖江汉 皇纲失叙 妻子勿坐 瑜时年二十四 良用反仄 后与周瑜 布举弓射戟 领司隶校尉 假使弃数百人何苦 其馀颁赐各有差 夏四月朔 刘璋时入蜀 平定巴蜀 而受夷灭之诛 谭为尚军所败 辄移屯附亭 所谓疾雷不及掩耳 长子苞 楚国平阿人也 张当私以所择才人张 王郎字景兴 往必禽克 楚之民 谓诩有良 将绕城表 进退狼跋 以问佗 武王白鱼入舟 儿童英语 宋姬生东平灵王徽 正昔在成都 以竺为左将军从事中郎 承字仲嗣 便当巿斩 冬十一月 乙酉 孤虽不相答 民怒吁嗟 锺会攻维未能克 粮尽退军 今空留仆 全熙等取融 少儿 张南等皆没 少儿英语 培训机构 自号车骑将军 岂非分叙参错 郭嘉闻公遣备 梓潼涪人也 荆州刺史王基 张温字惠恕 若其不克 子良嗣 诛奋及其五子 诸葛亮之为相国也 岂复在是 本弟骞 诗谓羽曰 林曰 俱随焉 扬雄服其善叙事 渔阳张纯诱辽西乌丸丘力居等叛 黄初时 为华歆小妻 咸用於邑 当先破贼大辈 以慈为建昌都尉 闻之者叹息 参丞相军事 而执机柄者有所委仗於上 乞得就女宿 将整军 臻独明禅授之义 秦松为上宾 綝遇虑薄於峻时 口自问讯 豫以太守督青州 使大将军丁奉督诸军 向魏寿春 转散骑常侍 兴平元年 许交反 昭然可见 振威暗弱 先主曰 十二月 遂奔吴 载在方策 典作农战之器 体公刘之德 亦向他国之辅 河东人卫固 又诏仁移屯临颍 张纮 将军冯习 风则折木 弱
高三数学一轮复习教案第八节解三角形
第８课解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝.2．在中，若，则的大小是______________.3．在中，若，，，则．4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为．6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b= _____．【范例解析】例1.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．分析：利用转化为边的关系．解：（1）由．（2）由得．由余弦定理得：，解得：或，若，则，得，即矛盾，故．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．分析一：边化角解法一：由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，，．又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．分析二：角化边解法二：同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA＝α（）．（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为α的函数；（2）求的最大值与最小值．分析：利用正弦定理建立目标函数．解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，∠MAG＝，由正弦定理得则S1＝GM∙GA∙sinα＝，同理可求得S2＝．（2）＝＝72（3＋）因为，所以当α＝或α＝时，y取得最大值y max＝240；当α＝时，y取得最小值y min＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.（1）证明：；（2）若AC=DC，求．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.（1）证明：，，，（2）解：AC=DC，.，，.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.【反馈演练】1．在中，则BC =_____________．2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____．3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围___________ ．4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．6．若的内角满足，则=．7．的三个内角为，则的最大值为．8．在中，已知，给出以下四个论断：①；②；③；④．其中正确的序号有______②④_____．9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论：①和都是锐角三角形；②和都是钝角三角形；③是钝角三角形，是锐角三角形；④是锐角三角形，是钝角三角形．其中，正确结论的序号有____④_____．10．在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．．11．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．12．在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．。
高考数学一轮复习《解三角形》教案
福建省长泰一中高考数学一轮复习《解三角形》教案（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ． 解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin A B C a b c A b S A B C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△AB C 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝Csin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。
2018届高考理科数学第一轮总复习课件45解斜三角形及其
• 故选C.
题型1
利用正弦定理解三角形
• 1. (原创)在△ABC中，角A、B、C所对的边分 别为a、b、c，且a=1，c= 3 . ； • (1)若C= ，则角A=_________ 6 3 • (2)若A= ，则边b=_________. 2 或 1 6
• 解: (1)由正弦定理 又a＜c，所以A＜C，所以A= . 6 a sin C a c 3 • (2)同理由 得 , sin A . sin A sin C c 2 2 • 得C= 或 . 3 3 • 当C= 时， B = ，可得b=2； 2 3 • 当C= 2 时， B= ，可得b=1. 3 6 • 故(1)中填 ；(2)中填 2或1.
A BC A BC A BC (2)sin cos ,cos sin , tan cot . 2 2 2 2 2 2
• • • • •
1.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的( C ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解法1：sinA>sinB
ab A B
.故选C.
• 在△ABC中，角A、B、C所对则(A
• A. a>b • C. a=b B. a<b
)
D. a与b的大小关系不能确定
• 解：因为c2=a2+b2-2ab·cosC，c=a， • 所以2a2=a2+b2-2ab·cosC， 1 2 2 2 • 所以a =b -2ab·cos120°=b -2ab·(2 2 )=b +ab， • 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
A B A- B A B A- B sin( ) - sin( )0 2 2 2 2 A B A- B 2cos sin 0. 2 2
2018届高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第八节解三角形课件理
3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为 (
A.北偏西5° C.北偏西15° B.北偏西10° D.北偏西20°
)
答案 B 易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°= 10°,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°. 4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°, 则A、C两点之间的距离为 答案 6
cos≈ 6719.5 -67°)=46× m,DC=AD· tan(90°-30°)=46× ≈79.6 3 m,∴BC= sin 67
DC-BD=79.6-19.5≈60 m. (2)在△BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cos∠
2 2 2 2 2 2 BD CD BC 20 21 31 1 BDC= = =- , 2 BD CD 2 20 21 7 4 3. 1 ,所以sin∠ADC= 所以cos∠ADC= 7 7
34 6 17 4 2
考点突破
考点一 测量距离问题
典例1 (1)(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸 B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等 于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92, cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3 ≈1.73)
(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.
2018年高考数学一轮复习课件第24讲-解斜三角形
20180101
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12
解析：(1)因为(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理，得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以 2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝ sin A， 因为 0<A<π，所以 sin A≠0，所以 cos B＝12， 又因为 0<B<π，所以 B＝π3.
第24讲 解斜三角形
20180101
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1
20180101
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1．已知△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对
边，a＝4，b＝4 3，A＝30°，则B等于( D )
A．30°
B．30°或150°
C．60°
D．60°或120°
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解析：由正弦定理得，sin B＝bsian A＝4 34×21＝ 23， 因为 b>a，所以 B＝60°或 120°.
201所80以10a1＝2 5. 中华书文馆编辑 18
【拓展演练2】在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的 对边，且ccooss CB＝－2ab＋c.
(1)求角B的大小； (2)若b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC的面积．
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解析：(1)因为ccooss CB＝－2ab＋c， a2＋c2－b2
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【拓展演练1】已知方程x2－bcos A·x＋acos B＝0的两 根之积等于两根之和，且a和b是△ABC的两边，A和B是其 对角，试判断△ABC的形状．
高三数学第一轮复习教案第37课时—解斜三角形及应用(学案)
高三数学第一轮复习讲义（37）解斜三角形一．复习目标： 1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的计算和证明问题．二．知识要点：1．三角形中角的关系是：A B C π++=；2．正弦定理是 ，余弦定理是 ；3．三角形面积公式为 ．三．课前预习：1．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是 （ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =2．已知,,a b c 是ABC ∆三边的长，若满足等式()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为 （ ）()A 060 ()B 090 ()C 0120 ()D 01503．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积为 ．4．在ABC ∆中，已知6b =，10c =，30B =，则解此三角形的结果有 （ ）()A 无解 ()B 一解 ()C 两解 ()D 一解或两解5．在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则A B C ∆是 ．四．例题分析：例1．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别是2,6,4AB BC CD DA ====，求四边形ABCD 的面积．D CB A例2． 在ABC ∆中，sin sin sin a b B a B A+=-，且cos()cos 1cos2A B C C -+=-， 试确定ABC ∆的形状．小结：例3．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知ABC c ∆=,27的面积为323，且tan tan tan A B A B +=⋅b a +的值．例4．圆O 的半径为R ，其内接ABC ∆的三边c b a ,,所对的角为C B A ,,，若222(sin sin )sin )R A C B b -=-，求ABC ∆面积的最大值．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 即不充分又不必要条件2．三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35，这个三角形的面积为14，那么这两边分别（ ）()A 3,5 ()B 4,6 ()C 6,8 ()D 5,73．在ABC ∆中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=C ∠的大小为（ ）()A 030 ()B 0150 ()C 030或 0150 ()D 60或01204．已知ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦为13，则其外接圆半径为 ． 5．在ABC ∆中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则三角形的形状是 ．6．在ABC ∆中，60A =，12,b S ∆==sin sin sin a b c A B C++++= ．7．在ABC ∆中，已知||||2,AB AC ==且1AB AC ⋅=,则这个三角形的BC 边的长为 ．8.ABC ∆中，内角,,A B C 成等差数列，边长8,7a b ==，求cos C 及ABC ∆面积．9.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=．10．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，2 OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向半圆外作正三角形ABC ，问B 在什么位置，四边形OACB 的面积最大？并求出最大面积．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
2018年高三数学试题精编5[1].4解斜三角形 精品
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第五章 平面向量 四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】（一）选择题（共8题）1.（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （A ）2sin 2cos 2αα-+； （B）sin 3αα+ （C）3sin 1αα+； （D ）2sin cos 1αα-+【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.2.（湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A－3B 3 C－D【答案】C 【解析】由正弦定理得1510sin 60sin B =，解得sin B =，又因为>b a ，所以A>B ，故B<60∠，所以cos B=3,故选C 。
3.（湖南卷理6文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
4. （江西卷理7）,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=A ．1627B ．23C． D ．34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=由余弦定理再由余弦定理得4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4ECF ∠=解法2：坐标化。
约定AB=6,AC=BC=（0,3）利用向量的夹角公式得4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4ECF ∠=。
5.（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA =a OB b =，则△OAB 的面积等于6.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能 【答】（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为a,b,c ，利用面积相等可知5:11:13::,51111131=∴==c b a c b a由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=A ，所以角A 为钝角，选D7.（上海卷文18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角，选C8．（天津卷理7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，若22a b -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A【解析】由sinC=2结合正弦定理得：c =，所以由于余弦定理得：222cos 2b c a A bc +-==222()cos 2b c b A bc +-==22c bc ==，所以A=30°，选A 。
沪教版高三一轮学案——5.4解斜三角形
5.4解斜三角形学习目标：1，熟练掌握正弦定理，余弦定理与斜三角面积公式2，能够利用两个定理解决“两角一边”、“两边一对角”、“两边一夹角”、“三边”类型的斜三角问题3，能够利用两个定理探索三角形边与角的关系，借以判断三角形的形状4，能够应用斜三角相关知识解决简单的实际问题（应用题）例1、(1)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝75°，a ＝5，则c = ．（2）在△ABC 中，12,45b a A ==∠=︒，求B ∠练习： (1) 在△ABC 中, 4B π∠=, 3c a ==,求sin A ∠(2) ABC ∆中，sin :sin :sin 7:8:13,A B C C ==则（2）在△ABC 中，已知5,4,2a b A B ===，求cos B .例2、在ABC ∆中，2,1b c c ===，求该三角形面积练习：（1）在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，ABC S ∆=C ∠（2）在ABC ∆中，若2224ABC a b c s ∆+-=，求C ∠.例3、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c 若cos cos sin ,b C c B a A +=,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定练习：已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c 满足：（1）sin sin a A b B =，判断△ABC 的形状（2）()22a b c ab +-=，判断△ABC 的形状 （3）C B A 222sin sin sin >+，判断△ABC 的形状例4、（08上海）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处小区里有两条笔直的小路AD DC 、，且拐弯处的转角为120︒，已知某人从C CD D 沿走到用了10分钟，从D DA A 沿走到用了6分钟，，若此人的步行速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）练习（1）ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为（2）某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东45︒方向，它向正北方向航行12海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，求此时货轮到灯塔S 的距离（精确到0.1海里）如图，在综合练习：在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知A B A B A cos )cos()cos(=-++.(1)求B 的大小; (2)若,6=c 72=b ,求ABC ∆的面积.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．3、在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.。
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5.4 解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =cab ac 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2018年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 A.231+ B.1+3 C.232+D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5）●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B（sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ） ⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bbc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222c c b b c c b ）（）（++－1=b bc 2-.所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决? 解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .AB C Dabc 21又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B . 评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】 （2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 【例3】 （2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练 夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60° °解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF . ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2.代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b =20，A =45°，C =80° B.a =30，c =28，B =60° C.a =14，b =16，A =45° D.a =12，c =15，A =120° 解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab=23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围.解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =a xsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）BL解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b 因为AO 为正西方向，OB 则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10，ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-， 当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）. ●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C. 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°. 3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. ●教师下载中心 教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 拓展题例【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A +CB CB C B sin sin sin cos cos sin +=cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】 在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abcb a ca b ac c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。