必修2——3.3.3点到直线的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离选择题点到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由题已知：点，直线方程为：。
则：选择题已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于()A. B. －C. －D. 或－【答案】D【解析】根据点到直线的距离公式得：，解得m＝或－，故选D.选择题已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A. －6或B. －或1C. －或D. 0或【答案】A【解析】试题分析：∵两点和到直线距离相等，∴，解得，或．故选B．选择题到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()A. 3x－4y＋4＝0B. 3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C. 3x－4y＋16＝0D. 3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0【答案】D【解析】在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.选D选择题过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是()A. y＝1B. 2x＋y－1＝0C. y＝1或2x＋y－1＝0D. 2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0【答案】C【解析】∵kAB＝，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即：2x＋y－1＝0；又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.选C.选择题若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是()A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】表示直线上一点到原点的距离的平方，实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方,，选B填空题直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．【答案】【解析】由于两直线平行，所以由平行线间的距离公式可得.填空题．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．【答案】(－12,0)或(8,0)【解析】设P(a,0)，根据点到直线距离公式得：，解得a＝－12或8，∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．填空题与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________，【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0【解析】试题分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从而得到所求的直线的方程．解：设所求的直线方程为7x+24y+c=0，d==3，c=70，或?80，故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y?80=0，故答案为7x+24y+70=0，或7x+24y?80=0．填空题平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0【解析】设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝，∴c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.解答题已知直线经过点，且斜率为.（1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）本问考查直线方程的点斜式，所以过点，且斜率为的直线方程为，整理成一般式即可；（2）与平行的直线方程可设为，然后根据点到直线距离公式，列方程可以求出的值，即得到直线的方程.试题解析：（1）由点斜式方程得，，∴.（2）设的方程为，则由平等线间的距离公式得，，解得：或.∴或解答题已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．【答案】见解析【解析】试题分析：当两条直线的斜率存在时，两条直线平行只需斜率相等截距不等，当两条直线的斜率均不存在时，两条直线平行，当一条直线斜率不存在而另一条直线斜率存在，两条直线不平行；两条平行线间的距离可用两条平行线间的距离公式去求，但使用公式时要化为一般式，且x, y的系数一致.试题解析：∵l1∥l2，∴，∴或，(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴，解得n＝－22或n＝18.故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴，解得n＝－18或n＝22.故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.解答题已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；(2)求△ABC的面积．【答案】（1）x＋5y＋3＝0；（2）S△ABC＝3【解析】试题分析：求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程，已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积.试题解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y ＋3＝0.(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，所以点A到直线BC的距离d＝，故S△ABC＝.解答题已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【答案】（1）x＝2或3x－4y－10＝0；（2）【解析】试题分析：第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况，然后可设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即为所求.试题解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，∴l的方程为x＝2；②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得，∴k＝，∴l的方程为3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以＝－＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.。
山东省临清实验高中高中数学 3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2
3.3.3 点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】 导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B≠0).图1新知探究 提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-•.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A (1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案：1332.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52)， 则直线MO′的方程为y-3=413x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158--)即为所求， 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测 导学案当堂检测 【板书设计】一、点到直线距离公式 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4及导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学 编写人—张子云 审稿人--周静3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( )A.25 B.5 C.23D.252.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+答案：C 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案 一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立 二、学习过程知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By C d A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.典型例题例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习. 拓展提升 问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. .学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l :x-y+3=0的距离为( )A.24B.2C.22D.3 2.点P(m-n,-m)到直线nym x +=1的距离为( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +-D.22n m ±3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.13 B.22 C.6 D.24.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.23B.22C.33D.24 6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程. 8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222|323|=+-.答案：C 2.解析:⇒=+1nym x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得2224=.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=-555|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =1531---=-1， 即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍).(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ①若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ②由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(1837,91).。
高中数学必修二 3.3.3 点到直线的距离
+
2������
+
1|
=
|3������
+
2������
+
1| ,
������2 + 1
������2 + 1
解得
k=0
或
k=−
1.
2
故直线的方程为y=1或x+2y=0.
题型一 题型二 题型三
精选例题
方法2:当l∥AB或l过AB的中点时,满足点A,B到l的距离相等.
若
l∥AB,由于
kAB=−
1 2
题型一 题型二 题型三
精选例题
反思求点到直线的距离的步骤:
(1)将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0;
(2)将点(x0,y0)代入公式
d=
|������ ������ 0 +������������0 +������| ������2 +������ 2
,
计算可得.
题型一 题型二 题型三
精选例题
精选例题
题型一 题型二 题型三
题型一 求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解-1)+2-10| 22 +12
=
10 5
=
2
5.
(2)(方法一)把直线方程化为一般式为x-2=0.
本节结束，谢谢观看！
式
|A x 0 +B y 0 +C | A 2 +B 2
知识梳理
归纳总结点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
必修二第三章点到直线的距离公式说课稿
点到直线的距离公式说课稿今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.3点到直线的距离”，主要内容是点到直线的距离公式的推导和公式的简单应用．我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计．一一、、教教材材与与学学情情分分析析1．地位与作用：本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。
对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。
2．学情分析：学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的有关知识，如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等。
学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。
我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。
二二、、目目标标分分析析【知识与技能】让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及其简单应用【过程与方法】通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法.【情感态度价值观】引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神.【重点】 点到直线距离公式和简单应用．【难点】 点到直线距离公式的推导．三三、、教教法法学学法法数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。
为此我设计如下教法和学法：1．教学方法在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程。
人教版数学高一-人教A版高一数学必修二3.3《点到直线的距离》教案 王红敢
教案课题：点到直线的距离教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第七章第3节教学目标：（1）至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。
（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
（3）认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。
教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学时间：45分钟教学过程：1 .教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。
学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。
接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（1,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）(2)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C d y B=+） (3) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0C d x A =+） (4) 求P （6 ,7）到直线l ：3x-4y+5=0的距离d ；（答案：d=1）(5) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+By+C=0（AB ≠0）的距离d 。
第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______
高中数学 3.3.3点到直线的距离教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路： 利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法； 〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用． 〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离公式 教案课件(共16张PPT)
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教学目标
• 1、知识目标： （1）掌握点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。 （2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数
形结合、分类讨论等数学思想），掌握用化归思想来研究数 学问题的方法。 • 2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结， 发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳 能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。 • 3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其 非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
小结
思考：通过本节课的学习，你学到了什么？ 体验到什么？掌握了什么？
提示：从知识、思想方法和研究方法 三个方面进行总结.
布置作业 课本P.59 13,14,16
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人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大； 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难， 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极， 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己， 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子， 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
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解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
点到直线的距离
§3.3.3 点到直线的距离一、教材分析“点到直线的距离”选自高中数学课本必修2第三章“直线与方程”，其主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用。
“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离”是平面解析几何的一个重要知识点．二、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一年级学生，在此之前，学生们已经系统地学习了直线方程的三种表达形式，求两直线的交点以及两点间的距离公式，因此具备了学习本节课所需要的知识。
但是他们的抽象概括能力还比较薄弱，在遇到点到直线的距离公式推导这一过程中可能会有一定的困难，需要教师给予细心指导。
三、教学目标根据新课程标准的要求，结合高一学生的认知水平，我认为本节课的①知识与技能目标：理解点到直线的距离公式的推导思路；掌握点到直线的距离公式及其应用；会用点到直线的距离公式求两平行线之间的距离②过程与方法目标：在推导公式的过程中体会数形结合的思想，充分感受转化（化归）以及从特殊到一般的重要数学思想方法③情感态度价值观目标：通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感，激发学生的学习兴趣。
四、教学重难点在目标的指导下，我将本节课的重点确定为⑴点到直线的距离公式的推导和应用。
难点确定为发现点到直线的距离公式的推导方法。
五、教学方法为了达到良好的教学效果，我采用启发探究式教学方法，在公式推导过程中，通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体六、教学过程㈠创设情境，提出问题以学生熟知的人离高压电线的安全距离给出生活中的例子，创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，导出课题，从而有效调动学生的学习兴趣！那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，我们进入下一个教学环节㈡自主探索，推导公式（即为点到直线的距离的公式推导过程）首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离。
新课标人教A版数学必修2全部课件：3.3.3点到直线、两平行线间的距离
y
P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)
y
(x1,y0)
Q
P(x0,y0) x x=x1
o
x
o
PQ = y 0 - y 1
Page 3
PQ = xΒιβλιοθήκη 0 - x 1练习15
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
4
(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3
§3.3. 3
点到直线的距离
Page 1
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
Page 2
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的 形式.
的距离公式是
d =
Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d = C1 - C A
Page 12
2 2
2
+ B
练习4
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. 2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 的直线方程 .
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
2 13
点到直线的距离的不同求法
探索篇•方法展示在高中数学必修2，3.3.3点到直线的距离中对点到直线的距离公式是这样求导的。
如图1，已知点P 0（x 0，y 0），直线l ：Ax+By+C =0，如何求点P 0到直线l 的距离d 呢？其实点P 0到直线l 的距离就是点P 0到直线l 的垂线段的长，设点P 0到直线l 的垂线的垂足为Q ，设P 0Q 所在的直线为l ′，则l 垂直l ′，可知l ′的斜率为B A，dOxy P 0Qll ′图1∴l ′的方程：y-y 0=B A（x-x 0）与l 联立方程组解得交点Q （B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2，A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2）P 0Q 2=（B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2-x 0）2+（A 2y 0-ABx 0-BC A 2+B2-y 0）2=（-A 2x 0-ABy 0-AC A 2+B2）2+（-B 2y 0-ABx 0-BC A 2+B 2）2=A 2（Ax 0+By 0+C ）2+B 2（Ax 0+By 0+C ）2（A 2+B 2）2=（Ax 0+By 0+C ）2A 2+B2P 0Q =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√即d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√上述方法思路十分自然，但具体运算需要一定的技巧和运算量，所以在我们的教材中只是分析了它的思路，而没有进行具体的求解。
而我们的教材中采用了这种方法。
lOxyS Q RP 0d 图2如图2所示，设A ≠0，B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 的平行线，交直线l 于R 和S ，则直线P 0R 的方程为y=y 0，R 的坐标为（-By 0+C A，y 0）；直线P 0S 的方程为x=x 0，S 的坐标为（x 0，-Ax 0+C B ）。
于是有P 0R =-By 0+C A -x0=Ax 0+By 0+CA P 0S =-Ax 0+CB -y 0=Ax 0+By 0+C B RS =P 0R 2+P 0S 2√=A 2+B 2√A B Ax 0+By 0+C 设P 0Q =d ，由三角形面积公式可得d ·RS =P 0R ·P 0S ，于是得d =P 0R ·P 0S RS =Ax 0+By 0+C A 2+B 2√，因此，点P 0（x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2√可以验证，当A =0，或B =0时，上述公式也成立。
高中数学人教A版必修2第3章 3.3 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
|3×－1＋C2| 6 则 ＝ ，即|C2－3|＝6. 10 10
解得 C2＝9 或 C2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y
－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为 x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
17
14
高中数学人教版必修2课件
例 4：两平行直线 l1 、l2 分别过 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2 的距离为 5，求这两条直线方程． 错因剖析：易忽略 l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．
|5＋k| 正解： 设 l1 的方程为 y＝k(x－1)， 则点 B 到 l1 的距离为 2 k ＋1 5 ＝5，所以 k＝0 或 k＝12.
的思想使运算量减少．
13
高中数学人教版必修2课件
3－1.过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(－4,5)的 距离相等，求该直线的方程．
1 解：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝－3， 1 ∴直线的方程 y－2＝－3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线的方程为 x＝－1. 故所求直线的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
由两平行直线间的距离公式，得
|C－6| 2＝ 2 2， 5 ＋－12
解得 C＝32 或 C＝－20.
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
8
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(1)求两条平行线之间的距离，可以在其中的
一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行
4
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(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
•
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
•
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
高中数学：.3《点到直线的距离》【 新人教A 版必修 2】PPT 完美课 件
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例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的ABC面积
y
A
h
C O
B
x
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两条平行直线间的距离： 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
d=
C1 - C2 A2 + B2
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练习4 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离的教学设计（3课时）主备教师：谢太正一、内容及其解析点到直线的距离和两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离和平行线间的距离的公式的推导及应用。
在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。
点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。
二、目标及其解析目标：1、掌握点到直线的距离公式及其推导；2、会求两平行线间的距离。
解析：1、点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2、两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为三、问题诊断与分析学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学生基础较差，很难理解，还需要补充大量的练习。
四、教学设计（一）复习准备：（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B 不全为0)。
（2）平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-（3）三角形的面积公式。
（二）探究：点到直线的距离公式问题一：已知P (x 0，y 0)，直线l ：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?2200B A cBy Ax d +++=2221||B A C C d +-=过程：方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为B A (A ≠0)，根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ |，得到点P 到直线l 的距离为d .方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点()01,y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点()20,y x S ，由⎩⎨⎧=++=++002001C By Ax C By Ax 得0012,By C Ax C x y A B ----==所以0001||||||Ax By C PR x x A ++=-= 0002||||||Ax By C PS y y B++=-= 22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++ 由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |.所以0022d A B =+可证明，当A = 0时仍适用.追问：在应用此公式时对直线方程有什么要求？说明：必须是方程的一般式。
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2 2
y3
1 3
x 1 3 1
，
y
4 3 2 h 1
5.
A
5 2
.
B
因此
S ABC
1 2
2
2
5 2
C -1 O
1 2
3
x
小结
1.点到直线的距离公式的推导及其应用
2.点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0
的距离为：d
| A x0 B y0 C | A B
3.3.3
点到直线的距离
已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax +By +C=0，如 何求点P到直线 l 的距离？
点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足． y
Q
P0 o
l
x
分析思路一：直接法
y
Q
直线 l 的方程 直线 l 的斜率
O
P 0
l
l P0 Q
特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0
d | Ax 0 C | |A| | x0 C A |
2 例5.求点P0 1， 到直线 l : 3 x 2 的距离．
解
d
3 1 2 3 0
2 2
பைடு நூலகம்
5 3
是一般方程
Ax By C 0 吗?
例6 已知点 A 1，， B 3，， C －1， ，求 ABC 3 1 0 的面积． 分析：如图，设 AB 边上的高为 h ，则 y 1
2 2
9 5
;
(2)d
3 1
3
2
3
0;
2
点到直线的距离 为0表示什么？
2 5
1
(3) d
4 1 3 2 3 4
2 2
.
作业
P110习题3.3A组：8,9. 3.3B组：2,4
S
利用勾股定理求出SR
P 0
d
Q
R
l
面积法求出P0Q
O
x
y
S
A x0 C x0, B
Q l : Ax By C 0 d
y0
O
P0 (x0,y0)
B y0 C , y0 R A
x0
x
直线 l 的方程 Ax By C 0 , 当 A 0 且 B 0时： 过 P0 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，交直线
2 2
：
y
l S
.
o
. P (x0,y0)
0
d
Q R x
点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为：
d | A x0 B y0 C | A B
2 2
特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0
d | By 0 C | |B| | y 0 C B |
d
Q R x
当直线 l 的方程 Ax By C 0中 A 0 且 B 0时： 于是有： P0 R Ax 0 C B By 0 C A y0 x0 Ax 0 By 0 C A . ,
P0 S
Ax 0 By 0 C B
y
RS
2 2
练习2. 求下列点到直线的距离：
(1) A ( 2 , 3 ), l : 3 x 4 y 3 0 ; ( 2 ) B (1, 0 ), l : 3x y 3 0;
( 3 ) C (1, 2 ), l : 4 x 3 y 0 .
解 : (1) d 3 (2) 4 3 3 3 4
S ABC AB h .
2
2
1 3 2 2 .
AB
3 1
2
AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB
4 A 3 2 h 1 1 2 3
B
的距离．
C -1 O
x
解：AB 边所在直线的方程为： 即 x y40 . 点 C 1， 到 x y 4 0 0 的距离
则 P0 R 的方程为 y y 0 ， By 0 C R 的坐标为： , y 0 , A
y
l 于点 R ,
l S
则 P0 S 的方程为 x x 0 ， Ax 0 C S 的坐标为： x 0 , . B
o
. ) P (x ,y
0
0 0
x
点P0 的坐标
直线P0 Q 的斜率
直线 l 的方程 点P0 的坐标
直线P0 Q 的方程
点Q 的坐标
点P 、 Q 之间的距离 P0 Q （点 P0 到 l 的距离） 0
分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0 Q P0 S P0 R SR
y
求出P0R 求出P0S
2
P0 R
2
2
P0 S
2
l S
A B A B
Ax 0 By 0 C .
o
. P (x0,y0)
0
d
Q
R x
当直线 l 的方程 Ax By C 0中 A 0 且 B 0时： 设 P0 Q d ，由三角形面积公式得 d RS P0 R P0 S .
于是得： d P0 R P0 S RS Ax 0 By 0 C A B