333点到直线距离
点到直线的距离教学设计
课题:点到直线的距离 教学目标:1、知识与技能：（1）熟记点到直线的距离公式，了解公式的推导过程； （2）理解两平行线之间距离公式的推导方法，会求两平行线之间的距离；（3）能灵活应用点到直线的距离公式来解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法：本节课主要通过讲练结合以练为主的方法进行教学。
3、情感态度与价值观：通过引导学生了解点到直线的距离公式的求解步骤和推导两平行线之间的距离公式，渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想，培养学生形成严谨的科学态度。
教学重难点：重点：点到直线的距离公式及应用。
难点：灵活应用点到直线的距离公式解决实际问题。
课时安排：1课时教学过程知识回顾：1、 两点),(111y x p ，),(222y x p 间的距离公式是什么？22122121)()(y y x x P P -+-=2、已知两点的坐标，如何求过这两点的直线方程？先根据已知两点的坐标，求出过这两点的直线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程。
3、直线的一般式方程的形式？0=++C By Ax （其中A 、B 不全为零）导入新课：在平面直角坐标系中，如何求出一个已知点),(00y x P 到一条已知直线0:=++C By Ax l （其中A 、B 不全为零）的距离呢？这就是我们本节课要探究的内容。
新知探究1:我们知道求点P 到直线l 的距离，先要过点P 作直线l 的垂线PH ，垂足为H ，再求出垂线段PH 的长度，这就是点P 到直线l 的距离。
所以在平面直角坐标系中求点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l （其中A 、B第一步：确定直线l的斜率k = -BA第二步：求与l 垂直的直线l '的斜率k ='第三步：运用点斜式求过点P 垂直于l 直线l '的方程第四步：联立两直线方程，求l 与l '第五步：用两点间距离公式求点P 与点H 的距离第六步：得到点P 到l 的距离PH d =有兴趣的同学，下去以后可以按照上面步骤自己求一下。
高一数学必修二两条平行线间的距离公式
择恰当的点，最好选 择坐标为整数的点。
l1: 2x-7y-8=0
3、利用点到直线的距离公式求解。
应用新知
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
点到直线的距离
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习
d |12 (5) 5 7 3 | 22
12、. 求求点点BA((-d-52，，d73|))3到到|2直直(线2线2121322(2)x2x1+1+)24554y21y+0+|333==7005的3的51|3距距离离9..
22 (7)2
53
所以平行线l1与l2的距离为
12 53 53
应用新知
例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试
判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距
离。
y
分析：
l2:6x-21y-1=0
Байду номын сангаас
1、判断两线平行应 分别求出它们的斜率。 2、在一条直线上选 o
d
x
A
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
333点到直线的距离公式
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（ ，0）．在直线l上任取一点M（0，－ ），易让向量 ＝（ ， ）与向量n＝（3，－4）垂直．
设向量 与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，
∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝ ，
3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①
(北师大版)石家庄市高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．已知直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )A．3B．2CD ．74．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 5．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A．125BCD 6．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ）A．2+BC．4+D．7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)- B．3)-C．(D．3(,9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B．5C．5D．510．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知曲线C参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l方程为：x y-+=，将曲线C横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C，则曲线1C上的点到直线l距离的最小值为______.14．曲线C的参数方程为4cossinxyαα=⎧⎨=⎩（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T 极坐标方程2sin cos20ρθρθ+=，则点M到T的距离的最大值为__________．15．直线415{315x ty t=+=--（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭所截得的弦长为 . 16．已知曲线C：2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P在曲线C上运动，点Q为直线:0l x y+=-上的动点，则PQ的最小值为________．17．直线122x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）被双曲线221x y-=截得的弦长为_________.18．已知在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2sin4cos0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是112x tty⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （0l与曲线C的公共点为P，Q，则11PM QM+=_______19．已知(,)P x y是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y+的最大值是__________．20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为1cos,sinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩（t为参数），曲线C的方程为4cosρθ=（02πθ≤≤），()2,0C.直线l与曲线C相交于A，B两点，当ABC的面积最大时，tanα=______.三、解答题21．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>. （1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.23．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在平面直角坐标系xOy 中，()1,2P ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与曲线M 交于A ，B 两点. （1）求曲线M 的直角坐标方程； （2）求PA PB ⋅的值.24．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为42x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由.25．在直角坐标系xOy 中直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为(x m ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．D解析：D 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α． 【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆. 因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =， 所以214tan 77α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
坐标轴点到直线距离公式
坐标轴点到直线距离公式
在数学中，我们常常遇到需要计算坐标轴上某点与直线之间的距离的情况。
为了解决这个问题，我们可以使用坐标轴点到直线的距离公式。
在直角坐标系中，一条直线可以由方程表示，例如直线的方程为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线经过y轴的截距。
给定一个坐标轴上的点P(x, y)，我们可以利用以下公式计算点P 到直线的距离。
距离D = |y - mx -c| / √(1 + m^2)
其中，|*|表示绝对值函数，√表示平方根。
举个例子来说明。
假设我们需要计算点P(3, 4)到直线y = 2x + 1的距离，我们可以将坐标值代入公式中进行计算。
将直线的斜率m = 2和截距c = 1带入公式得到：
距离D = |4 - 2(3) - 1| / √(1 + 2^2) = |4 - 6 - 1| / √(1 + 4) = |-3| / √5 = 3 / √5
所以，点P(3, 4)到直线y = 2x + 1的距离为3 / √5。
通过使用坐标轴点到直线距离公式，我们可以准确计算出任意给定坐标轴上的点到直线的距离。
这个公式在几何学和物理学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
课时作业3：2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离
2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值为( ) A ．10 B ．22 C ．6D ．22．已知两条直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0，则l 1，l 2的距离为( ) A ．255 B ．355 C ．5D ．253．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)4．与直线x ＋y ＝0平行，且它们之间的距离为2的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋1＝0或x ＋y －1＝05．在平面直角坐标系中，点A (1,2)，点B (3,1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．1二、填空题6．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1)，B (3,4)，C (－2，－1)，则△ABC 的面积为________．7．已知直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0相互平行，则它们之间的距离是________．8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．三、解答题9．已知直线l的斜率为－34，且直线l经过直线kx－y＋2k＋5＝0所过的定点P.(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．10.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．11．(多选题)两条平行线分别经过点A(6,2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是()A．4B．7C．9D．1112．(多选题)下列过(2,2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8,2)的距离相等的是()A．x＋y－4＝0B．x＝2C．2x＋y－6＝0D．x－2y＋2＝013．(一题两空)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，若点A(5,0)到直线l的距离为3，则直线l的方程为________，点A(5,0)到直线l的距离的最大值是________．14．若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是21313，则c＋2a的值为________．15．已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．参考答案一、选择题 1．B【解析】原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离为d ，由点到直线距离的性质知d ＝|OP |min ，因此，|OP |min ＝|0＋0－4|12＋12＝22，故选B. 2．A【解析】因为两直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0平行，则它们之间的距离即为l 1：2x ＋y －1＝0与l 2：4x ＋2y ＋2＝0之间的距离为：d ＝|－2－2|16＋4＝425＝255.3．C【解析】直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C. 4．C【解析】依题意设所求直线方程为x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，则|c －0|12＋12＝2⇒|c |＝2，故c ＝±2.因此所求直线方程为x ＋y ±2＝0，故选C.5．B 【解析】由点A (1,2)，点B (3,1)可得|AB |＝4＋1＝5＜1＋2，所以不存在与线段AB 相交的符合题意的直线，故存在两条符合题意的直线，这两条直线在线段AB 的两侧，如图，故选B. 二、填空题 6． 5【解析】由两点式得AB 的直线方程为y －14－1＝x －23－2，即3x －y －5＝0.再由点到直线距离公式得点C 到直线AB 的距离为d ＝|－6＋1－5|32＋(－1)2＝10.又|AB |＝(3－2)2＋(4－1)2＝10.∴S △ABC ＝12×10×10＝5. 7． 2【解析】因为直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －4×6＝0， 解得m ＝8，所以6x ＋my ＋14＝0，即是3x ＋4y ＋7＝0， 由两条平行线间的距离公式可得d ＝|7＋3|32＋42＝2. 8．3【解析】直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ |min ＝3. 三、解答题9．[解] (1)kx －y ＋2k ＋5＝0，即k (x ＋2)＋(5－y )＝0，所以过定点P (－2,5)，又直线l 的斜率为－34.因此其方程为y －5＝－34(x ＋2)，即l ：3x ＋4y －14＝0.(2)设直线m ：y ＝－34x ＋b ，则3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34×(－2)＋5－b 916＋1⇒b ＝－14或294.∴直线m 为：y ＝－34x －14，或y ＝－34x ＋294. 10. [解] 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )， ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1， ∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.11．ABC【解析】当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x ＝6，x ＝－3，则d ＝9. 当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y －2＝k (x －6)与y ＋1＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋2－6k ＝0，kx －y ＋3k －1＝0， ∴d ＝|2－6k －3k ＋1|k 2＋1＝|9k －3|k 2＋1.由此可得(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0.当81－d 2＝0，即d ＝9时，k ＝－43，∴d ＝9成立．当d ≠9时，由k ∈R ，可得Δ＝(－54)2－4(81－d 2)(9－d 2)≥0， 即d 4－90d 2≤0，∴0＜d ≤310且d ≠9. 综上所述，d ∈(0,310]．故应选ABC.12．AD 【解析】显然斜率不存在时x ＝2不合适，设l ：y －2＝k (x －2)即kx －y ＋2－2k ＝0，由条件可知|4－2k |k 2＋1＝|6k |k 2＋1，解得k ＝12或－1.当k ＝12时，l ∥AB ，方程为x －2y ＋2＝0，当k ＝－1时，l 过AB 中点，方程为x ＋y －4＝0.13．4x －3y －5＝0或x ＝210【解析】经过两已知直线交点的直线方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|5(2＋λ)－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0， 解得λ＝2或12，∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2. 由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0， 解得交点P (2,1)，过点P 任意作直线l (图略)，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)，∴d max ＝|P A |＝10. 14．±1【解析】由两平行直线得3a ＋12＝0，解得a ＝－4.方程3x －2y －1＝0可化为6x －4y －2＝0，利用平行线间的距离公式得|c ＋2|62＋42＝21313，解得|c ＋2|＝4，所以c ＋2a ＝±4－4＝±1.15．[解] 由点A (3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于直线y ＝x 的对称点为B (1,3)，同样可求得点A 关于直线y ＝0的对称点为C (3，－1)，如图所示．则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |＝25，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为2 5.由B (1,3)，C (3，－1) 可得直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53.对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝52，故N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故在直线y ＝x 上找一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53，在直线y ＝0上找一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，可使△AMN的周长最短，为2 5.。
333点到直线、两平行线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
d C1 - C2 A2 B2
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1 - C2
A2 B2
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是 d C1 - C2
§3.3. 3 点到直线的距离
两点间的距离公式是什么？
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
y
A2 B2
P
l1 证明：B l2
0时，在l1上取一点P
0，-
C1 B
，
o
Q
x
则P到l2的距离d
A
0
B
C1 B
C2
A2 B2
注意:两直线方程的 A,B应相同
C1 C2 A2 B2
B 0时，则A 0，同理可证它们之间的距离为 d C1 C2
A2 B2
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
d RS PR • PS PR • PS
d RS
d Ax0 By0 C A2 B2
2.3.3 点到直线的距离公式~2.3.4 两条平行直线间的距离(解析版)..
2．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离知识梳理知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2题型探究题型一、求点到直线的距离1．已知点()2,1P 和直线:2l y x =+，则点P 到直线l 的距离为_______.【答案】322【详解】由:2l y x =+可得20x y -+=，则点P 到直线l 的距离为222123221(1)d -+==+-，故答案为：322.2．(1)求点P (2，－3)到下列直线的距离．①y ＝43x ＋13；②3y ＝4.(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P (－1,0)的距离是3105的直线l 的方程．【详解】(1)①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185.②3y ＝4可化为3y －4＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|－3×3－4|02＋32＝133.(2)设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知，d ＝|3×(－1)－0＋m |32＋(－1)2＝|m －3|10＝3105.所以|m －3|＝6，即m －3＝±6.得m ＝9或m ＝－3，故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.题型二、由点到直线的距离求参数或范围1．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【答案】D【详解】因为(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，所以有22223(2)0(4)13441134523(4)3(4)a a a ⨯-+⨯-+⨯-+=⇒-=⇒=+-+-，或92a =，故选：D2．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,3【答案】D【详解】由题意知直线():22l y k x =-+过定点()2,2A ，且不与x 轴垂直，当直线():22l y k x =-+经过点()1,2P -时，，点()1,2P -到直线l 的距离最小为0，当过点()2,2A 的直线垂直于x 轴时，点()1,2P -到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：由于():22l y k x =-+的斜率存在，故点()1,2P -到直线l 的距离小于3，即点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是[)0,3，故选：D.3．已知点()M a b ，在直线34200x y +-=上,则22a b +的最小值为_____.【答案】4【详解】根据题意知，22a b +表示原点到直线34200x y +-=上的点的距离，∴22a b +大于等于原点到直线34200x y +-=的距离，原点到直线34200x y +-=的距离为2045=，∴224a b + ，∴22a b +的最小值为4．故答案为：4．题型三、两平行线间的距离1．直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】524【详解】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|52242d --==，故答案为：5242．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（）A ．235B ．2310C ．72D ．27【答案】C【详解】因为直线34120x y +-=与直线8110ax y ++=平行,所以8113412a =≠-,解得6a =,将68110x y ++=化为113402x y ++=,所以两平行直线34120x y +-=与113402x y ++=之间的距离为2211|12|72234--=+.故选：C3．若直线230x y +-=与直线420++=x y a 之间的距离不大于5，则实数a 的取值范围为（）A ．4a ≤B ．164a -≤≤C ．416a -≤≤D ．16a ≤或4a ≥【答案】B【详解】直线230x y +-=化为4260x y +-=，则两直线之间的距离226542a d +=≤+，即610a +≤，解得164a -≤≤.所以实数a 的取值范围为164a -≤≤.故选：B.4．过点(1,0)A 的直线1l 与过点(1,4)B -的直线2l 平行，且它们之间的距离为2，求直线1l 和2l 的方程．【答案】1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为1x =，1x =-，此时它们之间的距离为2，不满足题意；当两直线的斜率存在时，设方程分别为(1)y k x =-与()14=++y k x ，即kx y k 0--=，40kx y k -++=．它们之间的距离为2，22421+∴=+k k ，化简得287=0++k k ，解得1k =-，或7k =-，∴这两条直线的方程为1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=题型四、距离的综合应用1．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．【详解】(1)如图，显然有0<d ≤|AB |.而|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直．而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.2．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1)，B (m ，m )，C (4,2)，1<m <4.当m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【详解】|AC |＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，直线AC 的方程为y －12－1＝x －14－1，即x －3y ＋2＝0.因为点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|12＋(－3)2，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|m －322－14|.因为1<m <4，所以1<m <2，所以0<|m －322－14|≤14，0<S ≤18.所以当m ＝32，即m ＝94时，△ABC 的面积S 最大．跟踪训练1．点(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为___．【答案】165【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为22|31425|16534⨯+⨯+=+.故答案为：1652．在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．【答案】4【详解】()1,A a 在一象限，所以0a >，点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则43135a +-=，解得：4a =或6a =-.因为0a >，所以4a =.故答案为：4.3．在平面角坐标系xOy 中，直线l ：(21)10k x ky -++=，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为_____________．【答案】5【详解】由直线(21)10k x ky -++=可化为(1)(2)0x k x y -++=，联立方程组1020x x y -=⎧⎨+=⎩，解得x 1,y 2==-，即直线过定点(1,2)P -，由于直线(21)10k x ky -++=经过定点(1,2)P -，又221(2)5OP =+-=所以原点到直线l 的距离的最大值为5.4．已知点(,)M a b 在直线3410x y +=上，则22a b +的最小值为______【答案】2【详解】由点(,)M a b 在直线上得3410x y +=上，且22a b +表示点M 与原点的距离∴22a b +的最小值为原点到直线3410x y +=的距离，即2210234d ==+∴22a b +的最小值为2故答案为25．两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.【答案】12【详解】直线4310x y +-=可化为8620x y +-=，又直线8620x y +-=与直线8630x y ++=的距离为22|3(2)|8+6--，所以平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是12，故答案为：12.6．已知直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，则=a ___________，此时1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】1-2【详解】直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，所以10a a ⋅-=，解得1a =±，当1a =时，1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，此时1l 与2l 重合，故舍去；当1a =-时，1l ：10x y -++=，2l ：10x y -+=，此时1l 与2l 平行；故1a =-；若12l l ∥，即1l ：10x y -++=，即1l ：10x y --=，2l ：10x y -+=，所以1l 与2l 之间的距离为()()2211211--=+-.故答案为：1-，2.7．若直线1:21l y x =-与直线2l 平行，且它们之间的距离等于5，则直线2l 的方程为___________.【答案】240x y -+=或260x y --=【详解】设直线2:2l y x b =+，将直线1l 与直线2l 化为一般式可得1:210l x y --=，2:20l x y b -+=，故它们之间的距离为22152(1)b +=+-，解得4b =或6-，故直线2l 的方程为240x y -+=或260x y --=.故答案为：240x y -+=或260x y --=.8．已知直线l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【答案】x ＋2y －3＝0【详解】当两条平行直线与A ，B 两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)．所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.高分突破1．与点()21M ,之间的距离为2，且在x 轴上的截距为4的直线是（）A ．4x =B ．34120x y --=C ．4x =或34120x y --=D ．4y =或34120x y --=【答案】C【详解】4x =与()21M ,的距离为2，在x 轴上的截距为4，故4x =符合要求；对于直线34120x y --=，有22|324112|23(4)d ⨯-⨯-==+-且0y =时4x =，故也符合要求；4y =与()21M ,的距离为3且x 轴无交点，不符合要求.∴4x =、34120x y --=都是与点()21M ,距离为2且在x 轴上的截距为4的直线.故选：C2．直线1l ：230x y --=与2l ：3610x y -+-=之间的距离为（）A ．455B ．253C ．4515D ．5【答案】B【详解】由3610x y -+-=可得1203x y -+=，即1l 与2l 平行，故1l 与2l 之间的距离为2231331(252)--=+-.故选：B.3．已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（）A ．4B ．1020C ．104D ．71020【答案】D【详解】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++=，则距离是221371022031+=+.故选：D.4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为20x y +=，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）A ．220x y +±=B ．250x y +±=C ．240x y +±=D ．2250x y +±=【答案】D【详解】由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为20x y c ++=，则22221c =+，∴25c =±，∴与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2250x y +±=.故选：D.5．①点()3,2P -到直线:34210l x y +-=的距离是___________.②两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离是___________.【答案】41326【详解】①()3,2,:34210P l x y -+-=；则点P 到直线l 的距离()22334221204534d ⨯+⨯--===+.②6430x y --=即为33202x y --=，所以两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离22311322632d -==+.6．点P 为直线3420x y +=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.【答案】3【详解】由题意得当点P 和点(3,1)-的连线和直线3420x y +=-垂直时距离最小，此时距离等于点(3,1)-到直线3420x y +=-的距离()223341233(4)⨯-⨯-+=+-，故P 到点(3,1)-的距离的最小值为3.故答案为：3.7．点(2,3)P 到直线(1)30mx m y +-+=的距离等于4，则实数m ___________.【答案】47或4【详解】由题意可得：22|23(1)3|4(1)m m m m +-+=⇒+-2103267m m -+=，解得47=m 或4．故答案为：47或4．8．两平行线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为______．【答案】210m n -【详解】因为直线1:340l x y m ++=，即为1:6820l x y m ++=，所以两平行直线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为22221068m n m n d --==+.故答案为：210m n-.9．设3450x y +-=，则22x y +的最小值是___________.【答案】1【详解】22xy +表示直线3450x y +-=上任意点(,)P x y 到原点的距离的平方，显然原点到直线3450x y +-=上的点的最小距离就是原点到直线3450x y +-=的距离，即2203045134d ⨯+⨯-==+，所以22x y +的最小值是2211d ==.故答案为：110．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【答案】(1)360x y --=；(2)24【详解】(1)因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．(2)()2227(21)310BC =++--=，直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 的距离为223334161013+⨯+=+，则ABC 的面积为11631024210⨯⨯=.11．求与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线．【答案】3243130x y -++=或3243130x y -+-=.【详解】设所求直线方程为320x y m -+=，由()22|4|332m -=+-，得4313m =+或4313m =-，所以与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线方程为3243130x y -++=或3243130x y -+-=.12．两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.【答案】(1)12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=；(2)(0,26⎤⎦【详解】(1)当1l ，2l 斜率不存在时，易知12:1,:0l x l x ==，1l ，2l 之间的距离为1，不合题意；当1l ，2l 斜率存在时，设斜率为k ，则12:(1),:5l y k x l y kx =--=，化为一般式得1:0l kx y k --=，2:50l kx y -+=，由1l ，2l 之间的距离为5，可得()22551k k --=+-，解得0k =或512k =，当0k =时，12:0,:5l y l y ==；当512k =时，12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.故两直线方程为12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.(2)如图：当1l ，2l 旋转到和AB 垂直时，1l ，2l 之间的距离d 最大为()2210(05)26-+-=，当1l ，2l 旋转到和AB 重合时，距离为0，又两平行直线1l ，2l 不重合，故(0,26d ⎤∈⎦.13．已知直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，且直线1l 与直线2l 之间的距离为10，求m 、n 的值．【详解】因为直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，所以2312m n =≠，解得6m =，4n ¹，又因为直线1l 与直线2l 之间的距离为10，所以2241062n -=+，解得24n =或16n =-.综上，m 的值为6；n 的值为24或16-.14．已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.【详解】设点P 的坐标为(,)a b .∵(4,3)A -，(2,1)B -，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-.而AB 所在直线的斜率31142AB k -+==--，∴线段AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=.∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=……①；又点(,)P a b 到直线4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±……②.联立①②，解得1,4,a b =⎧⎨=-⎩或27,78.7a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求点P 的坐标为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知平行四边形ABCD ，(1,2)A 、(2,4)B 、1(,5)2C ，求：(1)点D 的坐标及点A 到直线CD 的距离；(2)平行四边形ABCD 的面积．【详解】(1)设点00(,)D x y ，则有线段BD 的中点坐标为00(1,2)22x y ++，依题意，线段AC 中点坐标为37(,)42，由平行四边形性质知：0031247222x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得001,32x y =-=，所以点D 的坐标为1(,3)2D -；直线CD 的斜率53211()22k -==--，直线CD 的方程为152()2y x -=-，即240x y -+=，所以点(1,2)A 到直线CD 的距离22|2124|4552(1)d ⨯-+==+-.(2)由（1）知，线段CD 长2211||()(35)522CD =--+-=，所以平行四边形ABCD 的面积45||545S CD d =⋅=⨯=.。
原创1：2.3.3 点到直线的距离公式
例2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程.
解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率 不存在时,直线l的方程为x=-1, 恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相 等,
故x=-1满足题意; 当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时, 设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相 等,得
93
所以选C.
化简得 | 3a 3 || 6a 4 | .
答案：C
规律方法
点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应 用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距 离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d | x0 a |或
A2 B2
A2 B2
A2 B2
P
l
M
n
Q
新知探索
两种方法的对比
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问 题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果， 思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运 算求出结果，简化了运算.
典例精析
题型一：点到直线距离公式得应用
例1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积.
A2 B2
l : Ax By C 0
x
新知探索
点到直线的距离公式
因此，Q(
B2 x0
ABy0 A2 B2
AC
,
ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
(完整word版)福建省厦门市高中数学教材人教A版目录(详细版)
考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1—2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2—1,2—2,2—3选考内容（三选二）：选修4-2，4—4,4—5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1。
1 集合1。
1。
1 集合的含义与表示1。
1。
2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1。
2.1 函数的概念1。
2。
2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1。
3。
1 单调性与最大（小）值1.3。
2 奇偶性第二章基本初等函数(I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2。
1。
2 指数函数及其性质2。
2 对数函数2。
2。
1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2。
3 幂函数第三章函数的应用3。
1 函数与方程3.1。
1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3。
2.1 几类不同增长的函数模型3。
2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1。
1 空间几何体的结构1.1。
1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1。
2 空间几何体的三视图和直观图1。
2。
1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3。
1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3。
2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2。
1 空间点、直线、平面之间的位置关系2。
1。
1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2。
1。
4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2。
1 直线与平面平行的判定2.2。
2 平面与平面平行的判定2.2。
3 直线与平面平行的性质2.2。
4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3。
1 直线与平面垂直的判定2。
2023-2024学年北师大版数学四年级上学期《期末考试卷》含答案解析
2023-2024学年第一学期期末测试北师大版数学四年级试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________（时量：70分钟总分：100分）一、填空。
（21分，每空1分。
）1. 2021年公布的第七次全国人口普查数据显示。
（1）全国人口共1411780000人，横线上的数读作（），“4”在（）位上，这个数改写成用“万”作单位的数是（）万人。
（2）其中，女性人口为六亿八千八百四十四万人，横线上的数写作（），用“四舍五入法”省略亿位后面的尾数，近似数是（）亿。
2. 在括号里填上适当的面积单位。
一个教室面积约60（）；长沙县的总面积约是1756（）。
3. □56÷44，要使商是一位数，□里最大可以填（）；要使商是两位数，□里最小可以填（）。
4. 如图，已知∠1＝40°，∠3＝90°，∠2＝（）°，∠5＝（）°。
5. 由36个万和7606个一组成的数是（）。
6. 450÷18＝（450÷□）÷（18÷9）＝25，□里填________。
7. 如图，由一大一小的两个正方形组成，阴影部分的形状是____。
8. 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
80000万（）8亿9306048（）930648086×22（）43×44300÷25（）300÷249. 根据“37037×3＝111111”填空37037×（）＝55555537037×9＝（）10. 玲玲每天早晨7：20起床，要完成下面这些事：穿衣服2分钟，刷牙3分钟，洗脸3分钟，整理床铺2分钟，吃早餐8分钟，听英语录音10分钟。
完成这些事后，玲玲最早能在（ ）出门去上学。
二、选择。
（12分）11. 下面各数中，只读一个零的数是（ ）。
A. 2903000B. 500604008C. 1003009700D. 4005504012. 14512⨯的结果比14612⨯的结果少（ ）。
知识点46 新定义型、阅读理解型问题2021
一、选择题5．(2021·绥化)定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a－2＋ab＋|－b|，那么（－12）▲2的值是（）A．－3 B．5 C．－34D．325．B7．(2021·包头7题) 定义新运算“⨂”，规定:a⨂b＝a-2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞-1，则m 的值是（）A．-1 B．-2 C．1 D．2{答案}B【解析】∵a⨂b＝a-2b，x⨂m＞3，∴x-2m＞3，∴x＞2m+3．又∵x⨂m＞3的解集为x＞-1，∴2m+3＝-1，解得m＝-2.12．(2021·贺州)如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{1a，｜a｜，ba}，若A＝B，则b－a的值是()A．－1 B．0 C．1 D．2C{解析}∵集合A＝B，∴集合B中必有元素0和1．∵分母a不能为0，∴b＝0．①若1a＝1，则a＝1，此时不满足“互异性”，舍去；②｜a｜＝1，则a＝－1(舍去a＝1)．∴b－a＝0－(－1)＝1．故选C．10．（2021·永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0{答案}C{解析}（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．8．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④B【解析】①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④两个广义勾股数的积是广义勾股数，故④结论正确，∴依次正确的是①②④．10．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1=−1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=−1x和y2＝﹣x+1A【解析】A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x=−1+√52或x=−1−√52，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；C．令y1+y2＝0，则−1x−x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝0，则−1x−x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；故选A．9．（2021•甘肃省卷9题）对于任意的有理数a，b，如果满足a2+b3=a+b2+3，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3A【解析】∵（m，n）是“相随数对”，∴m2+n3=m+n2+3，∴3m+2n6=m+n5，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2．10．（2021•长沙10题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9A 解析：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的．8．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC 有交点时m的最大值和最小值分别是（）A ．4，﹣1B ．5−√172，﹣1 C ．4，0 D ．5+√172，﹣1 D 【解析】如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），∴B （2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点A （0，2）时，m ＝0，或m ＝﹣1；当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点B （2，2）时，m =5−√172或m =5+√172．∴互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，﹣1．8．（2021•达州）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F 来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …十六进制0 1 2 … 8 9 A B C DEF 10 11 …例：十六进制2B 对应十进制的数为2×16+11＝43，10C 对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E 对应十进制的数为（ ） A ．28B ．62C ．238D ．334D 【解析】由题意得14E ＝1×16×16+4×16+14＝334．10．（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ．有[m ，p ]※[q ，n ]＝mn +pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x 的方程[x 2+1，x ]※[5﹣2k ，k ]＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜54且k ≠0B ．k ≤54C ．k ≤54且k ≠0D ．k ≥54C 【解析】根据题意得k （x 2+1）+（5﹣2k ）x ＝0，整理得kx 2+（5﹣2k ）x +k ＝0， 因为方程有两个实数解，所以k ≠0且△＝（5﹣2k ）2﹣4k 2≥0，解得k ≤54且k ≠0．8．(2021·通辽) 定义：一次函数y ax b =+的特征数为,a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ）A. []2,3B. []2,3-C. []2,3-D. []2,3--D{解析}由点A 、B 关于原点对称，可得平移后的直线经过原点，也就是y=-2x+m 向上平移3个单位经过原点，m=－3，一次函数的特征数为[]2,3--，故选D ．二、填空题16．（2021•北京16题）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn 的值为 ．2：3 12 解析：设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得：4x+1＝2（5﹣x）+3，解得：x＝2，∴分配到B生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2：3；∴第二天开工时，给生产线分配了（2+m）吨原材料，给生产线分配了（3+n）吨原材料，∵加工时间相同，∴4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，解得：m=12n，∴mn=12，故答案为：2：3；12．18.（2021·上海）定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,正方形ABCD的边长为2,O为正方形中心,当正方形ABCD绕O旋转时,d的取值范围是.22【解析】如图2，设AD的中点为E，那么点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，等于1,OA2∵OP=2为定值，∴当OP经过点E时，d最大为1；当OP经过点A时，d最小为222216．（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是．244872【解析】由三个等式，得到规律：5*3⊕6＝301848可知：5×6 3×6 6×（5+3），2*6⊕7＝144256可知：2×7 6×7 7×（2+6），9*2⊕5＝451055可知：9×5 2×5 5×（9+2），∴4*8⊕6＝4×6 8×6 6×（4+8）＝244872．25．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a MN=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．解：（1）5 3 0 【解析】log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0．（2）证明：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴MN =a ma n=a m﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log a MN，又∵m﹣n＝log a M﹣log a N，∴log a MN=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝5．13．（2021•菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．①②③【解析】由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此抛物线的的对称轴为直线x=−b2a=−1−m2m=m−12m，∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，∴函数图象过原点，故②正确；∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；∵m＜0，∴对称轴x=m−12m=12−12m，抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即x＞12−12m时，y随x的增大而减小．故④错误．故答案为：①②③．14．（2021•十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为．2或﹣1【解析】由题意得x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0．解得x1＝2，x2＝﹣1．16．（2021·呼和浩特）若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n={0，x n−1=x n+11，x n−1≠x n+1并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是．0，1，0，1 解析：当n ＝1时，x 0＝x 4＝1＝x 2，∴y 1＝0，当n ＝2时，x 1≠x 3，∴y 2＝1，当n ＝3时，x 2＝x 4，∴y 3＝0，当n ＝4时，x 3≠x 5＝x 1，∴y 4＝1，∴“伴生数列”B 是：0，1，0，118．（2021·贵港）我们规定：若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1212a b x x y y ⋅=+．例如(1,3)a =，(2,4)b =，则123421214a b ⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1)a x x =+-，(3,4)b x =-，且23x -，则a b ⋅的最大值是 ． 8[解析】根据题意知：2(1)(3)4(1)(1)8a b x x x x ⋅=+-+-=+-．因为23x -，所以当3x =时，2(31)88a b ⋅=+-=，即a b ⋅的最大值是8．三、解答题28．（2021•北京28题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．解：（1）B 2C 2 解析：由旋转的旋转可知：AB ＝AB ′，AC ＝AC ′，∠BAB ′＝∠CAC ′， 由图可知点A 到圆上一点的距离d 的范围为√2−1≤d ≤√2+1，∵AC1＝3＞d，∴点C1′不可能在圆上，∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC2＝1，AB2=√5，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC3＝2，AB3=√5，∴当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），由图可知此时C3′不在圆上，∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．故答案为；B2C2．（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，∵A（0，t），∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为√3，∴t=√3或−√3．（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，此时OA＝OB′＝OC′，∴∠AB′C＝90°，∴B′C′=√AC′2−AB′2=√22−12=√3．当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，此时OA ＝2，过点A 作AE ⊥OC ′于E ，过点C ′作C ′F ⊥OA 于F ． ∵AO ＝AC ′＝2，AE ⊥OC ′，∴OE ＝EC ′=12， ∴AE =√AO 2−OE 2=√22−(12)2=√152， ∵S △AOC ′=12•AO •C ′F =12•OC ′•AE ，∴C ′F =√154， ∴OF =√OC ′2−C ′F 2=√12−(√154)2=14，∴FB ′＝OB ′﹣OF =34，∴B ′C ′=√FB ′2+FC ′2=(34)(√154)=√62． 综上OA 的最小值为1时，此时BC 的长为√3，OA 的最大值为2，此时BC 的长为√62．23．（2021·赤峰）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 1，y 2≠y 2，若M 、N 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M 、N 的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M 、N 的“相关矩形”． （1）已知点A 的坐标为（2，0）．①若点B 的坐标为（4，4），则点A 、B 的“相关矩形”的周长为 ；②若点C 在直线x ＝4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的解析式；（2）已知点P 的坐标为（3，﹣4），点Q 的坐标为（6，﹣2）若使函数y ＝的图象与点P 、Q 的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k 的取值20．（2021·山西20题）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F=95C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1R =1R1+1R2求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R1+1R2计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，1 R =1R1+1R2=17.5+15=5+7.57.5×5=13，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA=12∠AOB=12×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴OCAM =BOBM．∴OC7.5=57.5+5．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．24．（2021•重庆A 卷）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A ×B ，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M ＝A ×B 的过程，称为“合分解”． 例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10， ∴609是“合和数”． 又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10， ∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M ＝A ×B ．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P （M ）；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q （M ）．令G （M ）=P(M)Q(M)，当G （M ）能被4整除时，求出所有满足条件的M ．解：（1）∵168＝12×14，2+4≠10，∴168不是“合和数”． ∵621＝23×27，十位数字相同，且个位数字3+7＝10，∴621是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，（m ，n 为自然数，且3≤m ≤≤9，1≤n ≤9）， 则A ＝10m +n ，B ＝10m +10﹣n ，∴P （M ）＝m +n +m +10﹣n ＝2m +10，Q （M ）＝|（m +n ）﹣（m +10﹣n ）|＝|2n ﹣10|． ∴G （M ）=P(M)Q(M)=2m+10|2n−10|=m+5|n−5|=4k （k 是整数）．∵3≤m ≤9，∴8≤m +5≤14，∵k 是整数，∴m +5＝8或m +5＝12，①当m +5＝8时，{m +5=8|n −5|=1或{m +5=8|n −5|=2，∴M ＝36×34＝1224或M ＝37×33＝1221，②当m +5＝12时，{m +5=12|n −5|=1或{m +5=12|n −5|=3，∴M ＝76×74＝5624或M ＝78×72＝5616．综上，满足条件的M 有：1224，1221，5624，5616．24．（2021•重庆B 卷）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”．例如：m ＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m ＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F （n ）=n3．求满足F （n ）各数位上的数字之和是偶数的所有n ．解：（1）∵5+3＝2×（3+1），∴5313是“共生数”，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生数”； （2）∵n 是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设n 的千位上的数字为a ，则十位上的数字为2a ，（1≤a ≤4），设n 的百位上的数字为b ， ∵个位和百位都是0﹣9的数字，∴个位上的数字为9﹣b ，且9﹣b ＞b ，∴0≤b ≤4 ∴n ＝1000a +100b +20a +9﹣b ；∴F （n ）=1000a+100b+20a+9−b3=340a +33b +3，由于n 是“共生数”，∴a +9﹣b ＝2×（2a +b ），即a +b ＝3，可能的情况有：{a =1b =2，{a =2b =1，{a =3b =0，∴n 的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有2148和3069，∴n 的值是2148或3069．20．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）和直线Ax +By +C ＝0（其中A ，B 不全为0），则点P 到直线Ax +By +C ＝0的距离d 可用公式d =00√A 2+B 2来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d=00√A2+B2=√22+(−1)2=√5=√55．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线y=√3x+9的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y=√3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．解：（1）∵y=√3x+9可变形为√3x﹣y+9＝0，则其中A=√3，B＝﹣1，C＝9，由公式得，点M（0，3）到直线y=√3x+9的距离d=√3×0−3+9|√(√3)2+(−1)2=3，∴点M到直线y=√3x+9的距离为3．（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，∵圆的半径r＝4，∴d＜r，∴直线y=√3x+9与⊙M相交，两交点记作E，F，连接EM，过点M作MH⊥EF于H，则EF＝2EH，在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得，EH=√EM2−MH2=√42−32=√7，∴弦长n＝EF＝2EH＝2√7．24．（2021•长沙24题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y={−4x(x＜0)tx2(x≥0，t≠0，t是常数)的图象上的一对“T点”，则r＝，s＝，t＝（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y ＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）4 -1 4 解析：∵A，B关于y轴对称，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐标为（1，4），把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得t＝4，故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4．（2）当k＝0时，有y＝p，此时存在关于y轴对称得点，∴y＝kx+p是“T函数”，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，∴y＝kx+p不是“T函数”．（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，∴c＝0，∵y ＝ax 2+bx +c 是“T 函数”，∴b ＝0，∴y ＝ax 2， 联立直线l 和抛物线得{y =ax 2，y =mx +n ，即ax 2﹣mx ﹣n ＝0，x 1+x 2=m a ，x 1x 2=−na． 又∵(1−x 1)−1+x 2=1，化简得：x 1+x 2＝x 1x 2， ∴m a=−n a，即m ＝﹣n ，∴y ＝mx +n ＝mx ﹣m ，当x ＝1时，y ＝0，∴直线l 必过定点（1，0）．26．(2021·常州)【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用. 【理解】（1）如图1，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ，已知AD=a ，BD=b （0＜a ＜b ）.①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）； ②比较大小：CE CD （填“＜”、“=”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系. 【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()01>=x xy 的图象上，横坐标分别为m 、n .设n m p +=，n m q 11+=，记pq l 41=. ①当m =1，n =2时，l = ；当m =3，n =3时，l = ；②通过归纳猜想，可得l 的最小值是 .请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立.{答案}解：（1）①∵∠A+∠AC D=90°，∠BCD+∠AC D=90°，∴∠A=∠BCD ，又∵∠ADC =∠BDC =90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴CDAD BD CD =，∴ab CD =2，∴ab CD =（ab CD -=不合题意，舍去）； ∵∠AC D=90°，AD=a ，BD=b ，点E 是AB 边中点，∴CE=21AB=()b a +21；②∵CD ⊥AB ，∴CD ＜CE ，∵ab CD =，CE=()b a +21，∴()b a +21＞ab ，即ab b a 2>+；（2）①∵n m p +=，n m q 11+=，记pq l 41=，∴pq l 41==()()()mn n m mn n m n m n m 441114122+=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++， ∴当m =1，n =2时，l =89；当m =3，n =3时，l =1； ②1，构图如下：如图，分别在反比例函数()01>=x x y 的图象上取点M （m ，m 1）、N （n ，n1），再取MN 的中点P ，则22p n m x P =+=，21121qn m y P =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，即P （2p ，2q），过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，垂足依次为G 、H ，设PG 与反比例函数()01>=x x y 的图象交于点Q ，再作QK ⊥y 轴于点K ，则l pq S PGOH ==41矩形，1=Q GO K S 矩形，由PGOH S 矩形≥QGOKS 矩形，可得l ≥1，当且仅当m =n 时，（即点M 与点N 重合时）l 取得最小值1.27．(2021·常州)在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A ′两点，若在y 轴上存在点T ，使得∠A TA ′=90°，且TA=TA ′，则称A 、A ′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M （-2，0）、N （-1，0），点Q （m ，n ）在一次函数12+-=x y 的图象上.（1）①如图，在点B （2，0）、C （0，-1）、D （-2，-2）中，点M 的关联点是 （填“B ”、“C ”或“D ”）；②若在线段MN 上存在点P （1，1）的关联点P ′，则点P ′的坐标是 ； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q ′，求实数m 的取值范围；（3）分别以点E （4，2）、Q 为圆心，1为半径作⊙E ，⊙Q ，若对⊙E 上的任意一点G ，在⊙Q 上总存在点G ′，使得G 、G ′两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标.{解析}本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂题意，准确找出关联点所在直线的解析式． {答案}解:（1）①点M 的关联点是B ；设A （a ，b ），其中a ≠0，作点A 关于y 轴的对称点（- a ，b ），则y 轴上必存在点1T ，使11A AT ∆为以1T 直角顶点的等腰直角三角形，且这样的点1T 存在两个，如图所示，即点1A （-a ，b ）必定是点A （a ，b ）的一个关联点； 在y 轴上再任取一个异于1T 的点2T ，以2T 为直角顶点作相应的等腰22A AT Rt ∆，则点2A 为A （a ，b ）的另一个关联点，易证22T AT ∆∽21A AA ∆，则2121T AT A AA ∠=∠=45°；设直线21A A 与x 轴交于点B ，则=∠BO A 145°或135°，故点A 的关联点都在两条互相垂直的直线上，且这两条直线恰好都经过点A 关于y 轴的对称点1A ，并且与x 轴正半轴成45°或135°；由此可设关联点所在直线的解析式为t x y +=或t x y +-=，代入1A （-a ，b ），可得t a b +-=或t a b +=，解得a b t+=或a b t -=，故关联点所在直线的解析式为a b x y ++=或a b x y -+-=，即a b x y +=-或a b x y -=+；②点P ′的坐标是（-2，0）.理由如下：由前可知，点P （1，1）的关联点所在的直线解析式为11+=-x y 或11-=+x y ，即2+=x y 或x y -=；显然直线x y -=与线段MN 无交点，而直线2+=x y 与线段MN 的交点坐标为（-2，0），故点P ′的坐标为（-2，0）；（2）设Q （m ，-2m +1），由前可知，点Q 的关联点所在的直线解析式为()m m x y ++-=-12或()m m x y -+-=+12，即1+-=m x y 或13+--=m x y ；令y=0，可得x =m -1或x =-3m +1，则112-≤-≤-m 或1132-≤+-≤-m ，解得01≤≤-m 或132≤≤m ，即m 的取值范围为01≤≤-m 或132≤≤m ； （3）如图5，在⊙E 上任取点G ，作点G 关于y 轴的对称点1G ，再过点1G 作与x 轴正方向成45°或135°的两条互相垂直的直线1l 与2l ，由前可知，点G 的关联点G ′必落在直线1l 或2l 上．当点G 在⊙E 上运动一周时，点1G 也在一个圆上运动，且此圆即为1G E 关于y 轴的对称圆⊙E ′，如图6，过⊙E ′上的每一点都作与x 轴正方向成45°或135°的两条互相垂直的直线，则这些“直线簇”会形成两块矩形区域，则点G 的关联点全部都会落在这两块矩形区域内（含边界）；要使⊙Q 上总存在点G 的关联点G ′，⊙Q 必须都要在这两个矩形区域内（含边界）；又这两个矩形区域的宽为2，⊙Q 的直径也为2，故圆心Q 必然恰好落在这两个矩形区域的对称轴上，即过点E ′且与x 轴正方向成45°或135°的两条互相垂直的直线上，否则不可能保证⊙Q 落在这两个矩形区域内（含边界）； 设t x y +=或t x y +-=，将E ′（-4，2）代入得t +-=42或t +=42，解得t =6或-2，故有6+=x y 或2--=x y ，将其与直线12+-=x y 联立，即可求得符合题意的点Q （35-，313）或（3，-5）。
点到直线的距离
点到直线的距离、有关直线的对称问题及线性规划1、点到直线的距离（1）点P（x0，y）到直线Ax＋By＋C=0的距离注意：运用本公式要把直线方程变为一般式 .（2）两条平行线之间的距离.注意：运用此公式时要注意把两平行线方程 x、y前面的系数变为相同的.例 1、过直线2x＋y＋8=0和直线x＋y＋3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线x －y－5=0和x－y－2=0之间的线段长为，求该直线的方程.解析：由交点M（－5，2）．设所求直线 l与l1、l2分别交于B、A两点，由已知 |AB|=，又l1、l2间距离，在 Rt△ABC中，．设l1到l的角为α，则.设直线 l的斜率为k，由夹角公式得.所求直线的方程为 2x＋y＋8=0或x＋2y＋1=0.例2、设x＋2y=1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求x2＋y2的最大值.解析：欲求 x2＋y2的最小值，可利用代入法转化为关于x（或y）的二次三项式，然后利用函数求最值的方法处理，但考虑到x2＋y2的几何意义较明显，即表示P（x，y）到原点的距离，故可从这个角度入手处理本题.如图所示，在直角坐标系中， x＋2y=1表示直线，记d2=x2＋y2，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线x＋2y=1的距离的平方即为所求的最小值，即.若x≥0，y≥0，问题即为求线段AB上的点与原点距离平方的最大值，显然有.2、直线中有关对称的问题（1）点关于点对称问题通常利用中点坐标公式.点 P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P'（2a－x，2b－y）. （2）直线关于点的对称直线通常用转移法来求或取特殊点.设 l的方程为：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0）和点P（x0，y），求l关于P点的对称直线方程.设P'（x'，y'）是对称直线l'上任意一点，它关于P（x0，y）的对称点（2x0－x'，2y－y'）在直线l上，代入得A（2x－x'）+B（2y－y'）＋C=0。
333点到直线的距离公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
化为
一般
(3) P(3,－5) l: x = －1
式！
(1) 4 13 13
(2)1
(3)4
2.点A(a,6)到直线3x-4y=2旳距 离等于4,求a旳值.
a=2 或 a 46
3
练习反馈题
（1）P（—2，3）到直线y= —2旳距离是_5_______
5 （2）P（—1，1）到直线3x= 2旳距离是___3______
d
22 (7)2
53 53
❋直线到直线旳距离转化为点到直线旳距离
y P l1 思索：任意两条平行线旳距离是多少
Q 呢l2？ 任意两条平行直线都能
O
x
够写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
5.用此公式时直线要先化成一般式。
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
l
y
R
Q
O
P
d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
x l:3x=2
d 2 (1) 5
3
2.3.2两点间的距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离
反思感悟 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 2 ,求l1的方程.
解 (方法 1)∵l1∥l2,
∴可设 l1 的方程为 x+y+c=0.
l2 的距离为 1+1
= 2,
|c+1|=2.∴c=1 或 c=-3.
从而 l1 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0.
素养形成
一题多解——求直线的方程
典例求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程.
【规范答题】
解
1
(方法 1)由题意可得 kAB=- ,线段 AB 的中点为 C(1,1),满足条件的直线经过
关于参数的方程即可.
延伸探究 已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值
为
.
解析 由点到直线的距离公式可知
∵a>0,∴a=-1+ 2.
答案 -1+ 2
|-2+3|
d=
=1,解得
2
a=-1± 2.
探究四
两平行线间的距离
例4(1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是
2023
人教版普通高中教科书·数学
第二章
选择性必修
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
两条直线的交点与距离公式
类题通法
点关于直线对称：若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax ＋By＋C＝0 对称，则线段 P1P2 的中点在对称轴上，而且连接 P1P2 的
A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0 直线垂直于对称轴 l，由方程组yx22－ －yx11·－AB＝－1
，可得到
点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2).
答案：6x－y－6＝0 解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则 反射光线所在直线过点 M′，
所以a－－b32－＋－4a3－·1b＝＋2 －4＋1，3＝0，
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为6y－－00＝2x－－11，即 6x－y－6＝0.
1．若直线 y＝－2x＋3k＋14 与直线 x－4y＝－3k－2 的交点位于
第四象限，则实数 k 的取值范围是( )
A．－6<k<－2 B．－5<k<－3
C．k<－6
D．k>－2
答案：A 解析：解方程组yx＝－－4y＝2x＋－33kk＋－124，， 得 x＝k＋6，y＝k＋2， 由题意知kk＋＋62><00 ，解得－6<k<－2.
5．已知 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意 一点，则|PQ|的最小值为________．
答案：2190 解析：先把两直线方程化为同系数方程，6x＋8y－24＝0 和 6x＋ 8y＋5＝0，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故 d＝|5－62－＋2842|＝ 2190.
解析：因为所求直线与直线 2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方 程为 x－2y＋C1＝0，又直线过点 A(2,1)，
河北省涞水波峰中学人教A版高一数学必修二课件：333-334点到直线的距离(共31张PPT)
你想到哪些方法？
方法3：利用倾斜角解直角三角形。 由直线x-y+1=0的方程可知倾角为45°，可 转化为直角三角形内角。 思在考Rt：△若AP倾B中斜，角不是特殊角，又如何解呢?
|根的PQ据正|=斜弦|A率值P|，，si先就n4求可5°∠解=P得APQQ（2长等。于倾斜角）
你想到哪些方法？
方法4：在上面图形基础上，也可利 用三角形等面积公式求斜边上的高。
∵|AP|·|PB|=|AB|·|PQ|，
| PQ | | AP | | PB | 2 AB
能否上升到公式高度？
问题4：在一般情形下，若对点P(x0，y0) 和直线l：Ax+By+C=0，你能否推导点到直 线的距离公式？
先考虑特殊情形：字母系数
y
|y1-y0|
y y1
y1
|x1-x0|
y0 O
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
l1:2x-7y+8=0
O
l2: P(3,0)
2xx-7y-6=0
两平行线间的
距离处处相等
思考：能否也上升到公式高度？
两平行线之间的距离公式：
y
l1
任意两条平行直线都
P
l2 可以写成如下形式：
OQ x
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
两平行线之间的距离公式：
任意两条平行直线：
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
d C2 C1 A2 B2
注意：A、B要先化 成一样的
练习：
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
333 点到直线的距离公式PPT课件
1
当A=0或B=0时,直线方程为
y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ y0 - y1
2
x=x1
PQ=x0 -x1
练习1 5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是__3____. 4
A(1,2)
2
x-2y+5=0
5
-1
5
15
例5的变式练习 求过点A(-1,2)且与原点的距离等于3
A(1,2)
2
-3 -1
无解
3
16
练习3 如图，P（2,3），Q（3,2）直线l经过
点Q，且点P到直线l的距离最大，求直线l的方程 y
P
l
R
o
Q
x
x-y-1=0
17
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
10
练习2
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___5_3__;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是__1_3_.
注：用两平行线间距离公式须将方程中 x、y的系数化为 相等。
11
例4、过点P（1，2），且与点A（2，3） 和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 ABC的
初中几何最值问题
.一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．P1C1A1PECBA【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．．初中几何最OPNDCBAOCDN备用图例题精讲.【例2】如图，90MON??°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________【巩固】已知：AOB△中，2ABOB??，COD△中，3CDOC??,ABODCO?∠∠.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO??∠，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，则PM的最大值为____________PNMDCBAO【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且10DEAB??．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．GFEDxyOABM. 【例3】如图，已知11(,)2Ay，2(2,)By为反比例函数1yx?图像上的两点，动点(,0)Px在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_________2、轴对称【例1】求??22341xx????的最小值【例2】ABCD是半径为5的O的两条弦，8AB?，6CD?，MN为直径，ABMN?于点E,CDMN?于点F，P为EF上任意一点，则+PAPC的最小值为_________PONMFEDCBA【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O，直径为AB,CD、是半圆上两点，若弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在直径AB上，则+CPPD的最小值是_______【巩固】设正三角形ABC的边长是2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则+PAPM的最大值为_______,最小值为________yxOABP. 【例3】如图，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是.FEDCBA【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1【例5】如图，直线323yx???分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A 顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD△的面积；（2）求△BCD周长的最小值；（3）当△BCD的周长取得最小值，且523BD?时，求BCD△的面积．Axy1O D212 M NB3 4C Ax y1O 2123 4C 备用图Axy1 O212 3 4 C 备用图??1,2A??， . 【例6】在直角坐标系中，??4,1B?，??,0Cm，??,Dnn为四边形的4个顶点，当四边形ABCD的周长最短时，mn _________yxABCD【巩固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B 两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
四年级上数学期末知识点及复习试题
四年级上册数学期末复习资料班级________ 姓名_________同学们，时间过的真快，转眼一学期的时间就过去了，那么你都学会了哪些有趣的数学知识呢？利用这份题目，将它们复习一遍，看看你已经掌握了哪些地方，哪些地方掌握的还不是很好，加油哦！第一单元《认识更大的数》知识点：1、认识数级、数位、计数单位，并了解它们之间的对应关系。
数级……亿级万级个级数位……千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位……千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十个2、十进制计数法：相邻两个计数单位之间的进率是十，也就是十进制关系。
3、数数：能一万一万地数，十万十万地数，一百万一百万地数……4.亿以内数的读数方法：含有个级、万级和亿级的数，必须先读亿级，再读万级，最后读个级。
（即从高位读起）亿级或万级的数都按个级读数的方法，在后面要加上亿或万。
在每级末尾的零不读，在每级中间的零必须读。
中间不管有几个零，只读一个零。
5.亿以内数的写数方法：从高位写起，按照数位的顺序写，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在那一位上写0。
6.比较数大小的方法：多位数比较大小，如果位数不同，那么位数多的这个数就大，位数少的这个数就小。
如果位数相同，从左起第一位开始比起，哪个数字大，哪个数就大。
如果左起第一位上的数相同，就开始比第二位……直到比出大小为止。
7.改写以“万”或“亿”为单位的数的方法：以“万”为单位，就要把末尾的四个0去掉，再添上万字；以“亿”为单位，就要把末尾八个0去掉，再添上亿字。
8.用四舍五入法保留近似数的方法：根据题中要求，看到所要保留位数的下一位，如果这一位满5，则向前一位进一；如果不够5则舍去。
而不管尾数的后几位是多少。
如精确到万位，只看千位，精确到亿位，只看到千万位。
最后一定要写出单位名称。
第一单元知识检测总分100分一、请读出下列数字。
（6分）134578919 读作：（）376008704 读作：（）2030607080 读作：（）200000004 读作：（）90990900008 读作：（）57080023040 读作：（）二、请写出下列数字。