05实验五 一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学是微积分的重要分支，它研究的是函数的积分、面积、弧长等概念和性质。
通过对函数的积分，我们可以得到函数的原函数，进一步求解曲线下的面积、曲线的弧长等问题，同时也可应用于物理、经济、工程等领域的实际问题中。
在进行一元函数积分学及其应用的实验过程中，我获得了以下总结和反思：
1. 实验准备要充分：在进行实验之前，我需要对相关的理论知识进行复习和准备，确保自己对一元函数积分学的基本概念和方法有清晰的理解。
同时，还需要准备好实验所需的材料和工具，确保实验可以顺利进行。
2. 实验过程要仔细：在进行实验过程中，我需要认真观察和记录实验现象，遵循实验操作规范，确保数据的准确性和可靠性。
同时，还需要注意实验环境的安全，避免实验过程中出现意外情况。
3. 实验结果要进行分析和总结：在实验结束后，我需要对实验结果进行仔细的分析和总结，找出规律和问题。
如果实验结果与理论知识不符，我需要思考可能的原因，并尝试解决问题。
同时，还可以通过实验结果对理论知识进行验证，加深对知识的理解。
4. 实验中的创新思维：在进行一元函数积分学及其应用的实验中，我也可以尝试一些创新思维，比如探索新的实验方法、设计新的实验方案等。
通过创新思维，我可以更好地理解和应用一元函数积分学的知识，提高自己的实践能力。
总的来说，一元函数积分学及其应用的实验是提高自己对知识理解和应用能力的重要途径。
通过认真准备、仔细实施和精确分析，我可以更好地掌握一元函数积分学的知识，并将其应用于实际问题中。
同时，也可以培养自己的创新思维和实践能力。
实验库1：一元函数微分学5
1实验一 一元函数微积分学实验5 抛射体的运动（综合实验）引言 Mathematica 可以被用来探索各种各样的可能性,从而能在给定的假设条件下模拟出所求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验,具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动. 我们意图通过这样一个范例,让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解. 在你写实验报告时,一定要清楚地解释你做了什么以及为什么要这样做,同时逐步熟悉科学报告的写作方法.问题 根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小时 50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求 每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹 发射速度可控制在0.2km/s 至0.6km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以 最有效摧毁敌军坦克.说明 假设不考虑空气阻力,则炮弹的运动轨迹由参数方程t a v t x )sin ()(=,221)cos ()(gt t a v t y -=给出,其中v 是炮弹发射的初速度,a 是炮弹的发射角,g 是重力加速度（9.8m/2s ）. 上面第一个方 程描述炮弹在时刻t 的水平位置,而第二个方程描述炮弹在时刻t 的垂直位置.我们假设大炮位于坐标原点（0==y x ）,y 轴正向垂直向上,x 轴水平指向敌军坦克. 下面先利用Mathematica 绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹. 输入horiz[v_,a_,t_]:=v Cos[a Pi/180] tvert[v_,a_,t_]:=v Sin[a Pi/180] t-(1/2) g t^2g=9.8假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 65,输入ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},{t,0,50},PlotRange->{0,5000},AxesLabel->{x,y}]得到炮弹运行轨迹的典型图形（图5-1）:2图5-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica 画出炮弹运行的轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km 处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克？画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km 处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角？从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km 处以每小时50km 向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案？实验6 一元函数积分学(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.实验举例：1、用定义计算定积分当)(x f 在],[b a 上连续时, 有∑∑⎰=∞→-=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n k n n k n b a n a b k a f n a b n a b k a f n a b dx x f 110)(lim )(lim )( 因此可将 ∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-10)(n k n a b k a f nab 与 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n k n a b k a f n a b 1)( 作为⎰b adx x f )(的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为b a f ,,和n 的函 数.3例1.1 (教材 例1.1) 计算⎰102dx x 的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1", "s2"}}]则输出n s1 s22 0.125 0.6254 0.21875 0.468758 0.273438 0.39843816 0.302734 0.36523432 0.317871 0.34912164 0.325562 0.341187128 0.329437 0.33725256 0.331383 0.335289512 0.332357 0.3343111024 0.332845 0.333822这是⎰102dx x 的一系列近似值. 且有.21102s dx x s <<⎰例1.2 计算⎰10sin dx x x的近似值.输入Clear[g];g[x_]=Sin[x]/x;js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]则得到定积分的一系列近似值:{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…,{48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}4 注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n 收敛很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节). 如果用Nintegrate 命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例1.3 用定义求定积分⎰b a dx x 2的动画演示.输入Clear[f,x,a,b];f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction->Identity];For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={ };tt2={ };For[i=0,i<m,i++,x1=a+i*(b-a)/m;x2=x1+(b-a)/m;tt1=Append[tt1,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]];tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]];Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotLabel->m ''intervals '']]执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅), 如果观察动画, 只要选中24幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画. 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义。
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。
一元积分主要分为不定积分⎰dx x f )(和定积分⎰badx x f )(。
化为函数图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。
因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。
积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。
故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。
微元法建立积分表达式在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。
而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。
其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ∆的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dxx f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值⎰⎰==b abadx x f dQ Q )(。
（分割，近似，求和，取极限）在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ∆所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(=。
定积分在几何中的应用在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
一元函数的积分与积分的应用
一元函数的积分与积分的应用积分作为微积分的核心概念之一，对于一元函数的研究和探索具有重要意义。
本文将探讨一元函数的积分定义、基本性质以及积分在求面积、求弧长以及解微分方程等方面的应用。
一、一元函数的积分定义和基本性质1. 积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，则称f(x)在[a, b]上的定积分为∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
2. 基本性质(1) 线性性质：若f(x)在[a, b]和[g, h]上可积，则对于任意实数A和B，有∫[a, b](A·f(x) + B·g(x))dx = A∫[a, b]f(x)dx + B∫[a, b]g(x)dx。
(2) 区间可加性：若f(x)在[a, b]上可积，则对于[a, b]的任意分割[a, c]和[c, b]，有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
(3) 积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx = f(ξ)·(b-a)。
二、积分的应用1. 求面积利用积分可以求曲线图形与x轴之间的有向面积，如计算抛物线y = ax^2的[0, 1]上的有向面积，可以通过计算∫[0, 1]ax^2dx来实现。
更一般地，通过积分可以求解一元函数在某一区间上的面积。
2. 求弧长对于一条曲线，可以通过积分求解其在给定区间上的弧长。
设曲线由参数方程x = φ(t)，y = ψ(t)表示，其中a ≤ t ≤ b，则弧长L可以通过积分公式L = ∫[a, b]√[φ'(t)^2 + ψ'(t)^2]dt进行计算。
3. 解微分方程积分在解微分方程中发挥重要作用。
对于给定的微分方程，可以通过对两边同时积分来求得方程的解。
例如，对于一阶常微分方程dy/dx = f(x)，可以通过积分得到y = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用教案：一元函数积分学的应用引言：在高中数学中，一元函数积分学是一个重要的概念，它是微积分的核心内容之一。
积分学是研究函数积分的方法和应用的学科。
通过学习一元函数积分学，我们可以研究函数的变化趋势、面积计算、物理问题的建模和解决等一系列问题。
本教案将针对一元函数积分学的应用进行深入的探讨，帮助学生更好地理解该知识点的实际应用。
一、定积分与反常积分1.1 定积分的概念和性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性质、区间可加性、保号性1.2 反常积分的概念和性质- 反常积分存在的条件- 反常积分的判定方法二、定积分的应用2.1 函数的面积计算- 定积分与曲线下面积的关系- 利用定积分计算曲线下的面积2.2 平均值和中值定理- 平均值定理的说明和应用- 中值定理的说明和应用2.3 函数的积分学基本定理与变限积分 - 函数的积分学基本定理的说明和应用 - 变限积分的定义和计算2.4 应用题- 利用定积分求解几何问题- 利用定积分求解物理应用问题三、反常积分的应用3.1 收敛性和计算方法- 收敛性的定义和判定- 常见反常积分的计算方法3.2 物理问题的建模与解决- 利用反常积分解决物理问题- 建立数学模型求解问题结语：通过本教案的学习，学生将对一元函数积分学的应用有更深入的理解，能够掌握定积分和反常积分的基本概念、性质和应用方法，并能够将其应用于面积计算、物理问题的建模和解决等实际场景中。
同时，本教案也可激发学生对数学的兴趣和求知欲望，培养他们的数学思维和问题解决能力。
希望学生们通过学习，能够掌握一元函数积分学的应用，为今后的学习打下坚实的基础。
数学实验报告 实验五 一元函数积分
数学与统计学院实验报告实验项目名称所属课程名称实验类型实验日期班级学号姓名成绩附录1：源程序x 34Log3x54Log1xx4 3218x4Log x14x4Log x2ArcTan32Tan x625Sinh355 3239120023ArcTan35523ArcTan33910.1x2If Re x20Im x20, 0.0999445SinIntegral 1.x20.1x2,Integrate Sin0.1t0.1x20.1t0.1x2,t,0,1,Assumptions Re x20Im x2032Erf411428Erf22Erfi4114428附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
一元函数积分法及其应用
第五章.一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主要是讨论导函数的概念，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律是不是只是描述了一个特定函数的变化率呢？根据变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都具有相同的变化率变化规律，这实际上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也可以这么说，即相差任意一个常数的函数具有相同的导函数。
这样我们就得到了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F （x ）+c （c 为任意常数），对应着一个唯一的函数f （x ），满足)())((x f dx c x F d =+，或 dx x f c x F d )())((=+。
换一种观念，上面的过程也可以看成是一种对于函数F （x ）的运算，即微分的运算，得到函数F （x ）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数f （x ）的逆运算过程，得到函数F （x ）+c 本身，这种逆运算就是积分，或者说不定积分，写成⎰⎰+==+c x F dx x f c x F d )()())((。
这里，相对地，我们就把被积函数f （x ）称为原函数F （x ）+c 的导函数，而把原函数F （x ）+c 称为被积函数f （x ）的不定积分。
因此我们可以把不定积分理解为微分的逆运算，只不过是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无穷多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很容易地理解下面的表达式：⎰+=c x F dx x F )()('； ⎰=dx x f dx x f d )())((； ⎰=)()')((x f dx x f 。
希望同学们多加体会这些表面看来很绕的表达式，深切体会不定积分的逆运算含义。
第五章一元函数积分学
一般地，若不定积分被积表达式能写成
恒等变形 g ( x)dx
f ( x) '( x)dx f ( x) d ( x) f (u )du F (u ) c g ( x)dx F ( x) c
x2 x 证 (1)因为 c x 4 , 所以 x 4 dx c; 5 5 ' 1 1 (2)由于 sin 2 x c cos 2 x, 所以 cos 2 xdx sin 2 x c 2 2
'
由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律：
因为[F ( x) c]' F '( x) f ( x),所以F ( x) c是f ( x)的原函数;反 证 之,若G( x)为f ( x)在该区间内的一原函数,则G '( x) f ( x),又因为 F '( x) f ( x),所以,[G( x) F ( x)]' 0,对于该区间内的一切x成立由 . 前一章所学知识知道,G( x) F ( x)等于常数c,因此G( x) F ( x) c.
第五章 一元函数积分学
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
不定积分的概念与性质 不定积分法 定积分的概念与性质 牛顿-莱布尼兹公式 定积分的换元法与分部积分法 广义积分 数学实验四 用Mathematica计算积分
第五章 一元函数积分学
微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的 基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实 际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原 来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定 积分两大部分.
一元函数的积分学及其应用2
F a f (x)dx.
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2.平面图形的面积计算
1）直角坐标系情形
由定积分的几何意义，在区间 [a, b] 上的非负连
续曲线 y f (x) 、 x 轴及二直线 x a 与 x b 所围成 的曲边梯形的面积 S 是
b
S a f (x)dx ，
其中被积表达式 f (x)dx 就是直角坐标下的面积元素，
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
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2. 水压力
由物理学知道，在水深为h处的压强为 p gh ，这里 是水的密度．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
yБайду номын сангаас
l 2
,
2l ,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a •M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
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小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
（二） 将微元dF 在a,b 上积分（无限累加），即得
微积分中的一元函数积分法
微积分中的一元函数积分法微积分是数学中的重要内容之一，它研究了函数的导数和积分，这两个概念在数学与应用中都有广泛而深刻的应用。
这篇文章将介绍微积分中的一元函数积分法。
一、定积分的基本概念定积分，指在区间[a,b]上的函数f(x)在x轴的正半轴方向上方的曲边梯形地面积和。
定积分与导数密切相关，积分是导数的逆运算，所以确立定积分的三个步骤是：1. 称之为f(x)的原函数F（x），其导数为f(x)，即F（x）’=f （x）2. 划分积分区间3. 描述积分区间的计算方法我们想象f（x）在x轴的正半轴上方对应的图形下，将其构造成一个梯形，通过极限分割，分别得到各个小长方形的面积f(xi)·Δx，这些小长方形的面积和，使得其越来越接近三角形的面积。
二、变量代换法在微积分中，积分是连续的。
从小长方形的面积出发，我们可以快速了解某一定积分是否连续、面积是否闭合等问题。
但是，不是所有的函数都能通过定积分得到它们的原函数F（x）。
因此，在积分计算中使用变量代换法，用代换方法将积分转化为其他形式有更好的解决方法。
它是一种基于换元的积分方法，通常使用的变量代换法是柯西变量替换。
例如，需要计算f（x）=cos（x），x∈（-π/2，π/2）的积分。
使用代换法，先假设x=arctan（t）则dx=1/(1+t^2)·dt;代入得$F(t)=\int cos (arctan (t))\frac{1}{1+t^2}dt$。
由三角函数的性质可推出cos（arctan（t））=1/（1+t^2）,所以有：$F(t)=\int \frac{1}{1+t^2}dt=arctan (t)+C$再将x=arctan（t）代回F（t）中可得原函数为：$F(x)=arctan (x)+C$三、分部积分法积分求解通常可以采用分部积分法。
从上述变量代换法的例子中，我们已经了解了把原函数分解成若干个基本形式的积，并且使用细微分割来进行求解。
(整理)第五章一元函数积分学
第五章一元函数积分学本章前半部分介绍不定积分的概念及其计算方法，然后简单介绍微分方程的基本概念以及利用不定积分方法求解两类简单微分方程；后半部分介绍定积分的概念、计算方法，以及定积分在几何和物理的应用。
本章内容占全出考试内容25%。
重点是不定积分和定积分计算，难点是换元法，分部积分。
5.1原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数。
如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的均有或Df(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。
例如，因为对任意的均有，所以sinx是cosx在区间（-∞，+∞）内的一个原函数。
因为对任意的均有，所以arcsinx是在（-1，1）内的一个原函数。
显然，一个函数的原函数不是唯一的。
事实上，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，即，那么，对任意常数C，均有，从而F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数。
这说明，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数，那么f(x)在I上有无穷多个原函数。
另一方面，如果函数F(x)和G(x)都是函数f(x)在区间I上的原函数，那么，从而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C为某个常数。
因此，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的全体原函数组成的集合为函数族。
定义5.2如果函数f(x)在区间I上有原函数，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。
由定义以及前面的说明知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，其中C为任意常数，例如，，。
一个函数要具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？关于这个问题，我们有如下结论，（证明略去）定理5.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得。
一元函数积分学公式
一元函数积分学公式一元函数积分学公式基本的积分公式•常数积分：∫k dx=kx+C，其中 k 是常数，C 是积分常数例如：∫3 dx=3x+C•幂函数积分：∫x n dx=1n+1x n+1+C，其中 n 是不等于 -1 的常数例如：∫x2 dx=13x3+C•指数函数积分：∫e x dx=e x+C例如：∫e2x dx=12e2x+C•对数函数积分：∫1x dx=ln|x|+C例如：∫1x2 dx=−1x+C•三角函数积分：∫sinx dx=−cosx+C，∫cosx dx=sinx+C，∫tanx dx=−ln|cosx|+C例如：∫sin(3x) dx=−13cos(3x)+C•反三角函数积分：∫√1−x2=arcsinx+C，∫11+x2 dx=arctanx+C例如：∫√1−x2 dx=arcsin(π4)+C常用的积分公式•三角函数积分：∫sin2x dx=12x−14sin(2x)+C，∫cos2x dx=12x+14sin(2x)+C例如：∫sin2(2x) dx=12x−18sin(4x)+C•倒数积分：∫1x dx=ln|x|+C，∫1x2 dx=−1x+C例如：∫1(2x+1)2 dx=−12(2x+1)+C•分式积分：∫f′(x)f(x) dx=ln|f(x)|+C例如：∫2xx2+1 dx=ln|x2+1|+C•换元积分：∫f(g(x))⋅g′(x) dx=F(g(x))+C，其中 F 是 f 的一个原函数例如：∫e sinx⋅cosx dx=e sinx+C 综合运用的积分公式•分部积分法：∫u dv=uv−∫v du例如：∫xsinx dx=−xcosx+∫cosx dx=−xcosx+sinx+C•用递推公式求积分：∫x n dx=1n+1x n+1+C，∫x n e x dx=x n e x−n∫x n−1e x dx例如：∫x3e x dx=x3e x−3∫x2e x dx=x3e x−3(x2e x−2∫xe x dx)=x3e x−3x2e x+6∫xe x dx部分积分法•部分积分法公式：∫u dv=uv−∫v du例如：∫xcos(x) dx= xsin(x)−∫sin(x) dx=xsin(x)+cos(x)+C用换元法求积分•换元法公式：∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(u) du例如：∫sin(2x) dx，设u=2x，则du=2 dx，所以∫sin(2x) dx=12∫sin(u) du=−12cos(u)+C=−12cos(2x)+C用递推公式求积分•递推公式：∫x n dx=1n+1x n+1+C，∫x n e x dx=x n e x−n∫x n−1e x dx例如：∫x3e x dx=x3e x−3∫x2e x dx=x3e x−3(x2e x−2∫xe x dx)=x3e x−3x2e x+6∫xe x dx+C用分式分解法求积分•分式分解公式：∫f′(x)f(x) dx=ln|f(x)|+C例如：∫2xx2+1 dx，将分母分解为(x2+1)=(x+i)(x−i)，则2xx2+1=Ax+i+Bx−i，展开后得到2x=(A+B)x+(A−B)i，比较系数得A=1，B=−1，所以2xx2+1=1x+i−1x−i，然后可得∫2xx2+1 dx=ln|x2+1|+C以上是一元函数积分学中一些常用的公式和方法。
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5.2.4 变上限积分
d cos2 ( x ) w( x)dx 【例11】求 0 dx
输入: diff(int('w(x)',0,(cos(x))^2)) 则得到输出: ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)^2) 即:
2cos( x)sin( x)w(cos2 x)
5.1.2数值积分命令
quad('f',a,b)命令是用辛普森法求定积分 似值。其形式为: syms x quad('f(x)',a,b)
1
b
a
f ( x)dx 的近
sin x 2 dx 的近似值，可以输入: 例如求定积分 0
syms x quad('sin(x.^2)',0,1) 则输出为: ans= 0.3103
因此将 b a n1
f ( x)dx 的近似值。在例1中定义这两个近似值为f，a，b和n的函
a
b
数。
【例1】计算 x dx 的近似值。 0 输入: n=128; x=0:1/n:1; left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n left_sum=left_sum+x(i)^2*(1/n); right_sum=right_sum+x(i+1)^2*(1/n); end left_sum right_sum 输出为: left_sum= 0.3294 right_sum= 0.3372
图5-2
又输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r.*cos(t); z=r.*sin(t); y=r.*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕y轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴') 便得到绕y轴旋转所得旋转体的图形(见图5-3)。
输出为: left_sum=0.9469 righ_sum=0.9453 若将以上输入中的n依次换为50，150，200，500，而 其余不改动，则输出依次为: n left_sum right_sum 50 0.9447 0.9445 100 0.9469 0.9453 150 0.9466 0.9456 200 0.9465 0.9457 500 0.9462 0.9459 注 用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n收 敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度 （quad命令就是利用抛物线法的）。
5.2.2 不定积分计算
【例3】求 x (1 x ) dx。 输入: syms x int('x^2*(1-x^3)^5',x) 则得到输出: ans= -1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^95/6*x^6+1/3*x^3
2 3 5
x3 5 x6 10 x9 5 x12 x15 x18 C 即: 3 6 9 6 3 18
即:
1 2 x e (3cos 3 x 2sin 3 x) C 13
【例5】求 x arctan xdx
输入: syms x int('atan(x)*x^2',x) 则得到输出: ans= 1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1) 即:
x2 1 3 1 x arctan x log(1 x 2 ) C 6 3 6
x dx 的一系列近似值，且有left_sum< x 2 dx <right_sum。 0
2
1
1
0
sin x dx 【例2】计算 的近似值。 0 x
1
输入: n=100; x=0:1/n:1; left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n if i==1 left_sum=left_sum+1/n; else left_sum=left_sum+sin(x(i))/x(i)*(1/n); end right_sum=right_sum+sin(x(i+1))/x(i+1)*(1/n); end left_sum right_sum
【例8】求
4
0
x 2 dx
输入: syms x jf=int('abs(x-2)',x,0,4) 则得到输出: jf= 4
【例9】求
2
1
4 x 2 dx
输入: syms x jf=int('sqrt(4-x^2)',x,1,2) 则得到输出: jf= 2/3*pi-1/2*3^(1/2)
5.2 实验内容
5.2.1 用定义计算定积分
当f(x)在[a,b]上连续时，有:
b
a
b a n1 ba ba n ba f ( x)dx lim f (a k ) lim f (a k ) n n n n n n k 0 k 1
ba 与 ba n b a 作为 f (a k n ) f (a k n ) n k 0 n k 1
注 用MATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数C。
2 x 【例4】求 e sin 3 xdx 。
输入: syms x int('exp(-2*x)*sin(3*x)',x) 则得到输出: ans= -3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x)
1
2
若将以上输入中的n依次换为2，4，8，16，32，64，128，256， 512，1024，而其他的不改动，则输出依次为: n left_sum right_sum 2 0.1250 0.6250 4 0.2188 0.4688 8 0.2734 0.3984 16 0.3027 0.3652 32 0.3179 0.3491 64 0.3256 0.3412 128 0.3294 0.3372 256 0.3314 0.3353 512 0.3324 0.3343 1024 0.3328 0.3338 这是
2
sin x dx 【例6】求 x
输入: syms x int('sin(x)/x',x) 则输出为: ans= sinint(x) 它已不是初等函数。
5.2.3 定积分计算
【例7】求
( x x )dx
2 0
1
输入: syms x jf=int('(x-x^2)',x,0,1) 则得到输出: jf= 1/6
为了作出旋转体的图形，输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r; z=r.*sin(t).*sin(r).^2; y=r.*cos(t).*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕x轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴') 便得到绕x轴旋转所得旋转体的图形(见图5-2)。 注 利用曲面参数方程作出曲面图形的命令，详见实验六。
MATLAB
高等数学实验
实验五
一元函数积分学
实验目的 掌握用MATLAB计算不定积分与定积分的 方法。通过作图和观察，深入理解定积分 的概念和几何意义。理解变上限积分概念。 提高应用定积分解决各种问题的能力。
5.1 学习MATLAB命令
5.1.1 积分命令
MATLAB软件求函数积分的命令是int，它既可以用于计 算不定积分，也可以用于计算定积分。 具体为: (1)int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分; (2)int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分; (3)int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量的从a到b 的定积分; (4)int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。
注 这里使用了复合函数求导公式。
5.2.5 定积分应用
【例12】求曲线 g ( x) x sin x (0 x ) 与x轴所围成的图形 分别绕x轴和y轴旋转所形成的旋转体体积。用surf命令作 出这两个旋转体的图形。
2
在图形绕x轴旋转时，体积 v 在图形绕y轴旋转时，体积 v
【例10】求
e
0
1
x2
dx
输入: syms x jf=int('exp(-x^2)',x,0,1) 则输出为: jf= 1/2*erf(1)*pi^(1/2) 其中erf是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分， 输入: syms x quad('exp(-x.^2)',0,1) 则有结果: ans= 0.7468
15 3 ) 即: ( 64 8
又输入: syms x int('2*x^2*pi*sin(x)^2',x,0,pi) 则得到: ans= 1/3*pi^4-1/2*pi^2 即: