第四章 线性规划对偶-2017-09-20

目标函数值：z0 cB B118 b
B 1b x 0, 为基可行解。 0
* , , b* , 0 , , 0 )T 是对应于基 B 的一个 最优性条件： 若 x* ( b1 m 基可行解，且 0，则 x *是最优解。
x1 x2 x m xm 1 xn
求此问题的一个基本解和一个基本可行解。
解
1 2 1 4 A 2 2 2 1
1 4 2 1 取B N 2 1 2 2
基变量xB=[x1,x4]T, 非基变量xN=[x2,x3]T
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16 0 9 令非基变量 xN 得 xB B 1b B 1 Nx N 14 0 9
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个 可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行 的问题无界。 3、最优性判别定理： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b，则X*. Y*分别是问题 P和D 的最优解。
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4、对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解，则它们都有 最优解，且目标函数的最优值必相等。
x i 0 , i 1,2,3
4. 数学模型 max
S 4 x1 5 x2 7 x3
2 x1 1.5 x 2 3 x 3 100 s .t . x1 2 x 2 2 x 3 150 x i 0, i 1,2,3
5
例2:例1中的设备如果都用于外协加工，工厂收取加工费 。试问：每单位原材料和每工时如何收费才最有竞争力 ？设y1 ，y2 分别为每单位原材料和每工时收取的费用。
x (
x2 x1 2 1 1 2 cB x3 x4 cN x2 x2 1 1 2 1 1 2 B b B N x3 x3
xB x N
xB I 0 B 1 N
T
B 1 b T 1 cB B b
注 求极小问题的最优性条件: 基可行解与 0
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例 给定( LP )问题 max z x1 2 x2 x3 2 x4
s .t .
x1 2 x 2 x 3 4 x4 8 2 x1 2 x 2 2 x 3 x4 2 x1 , x 2 , x 3 , x4 0
线性对 偶 理 论
(Duality Theory) 对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶单纯形法
1
一.对偶问题
什么是对偶？ 对同一事物（或问题），从不同的角度（或立场）提出 对立的两种不同的表述。
例如：关于矩形，如果使用面积与周长的关系 来描述正方形，可以有两种不同的表达： 周长一定，面积最大的矩形是正方形 面积一定，周长最小的矩形是正方形 以上两种表达方式就是互为对偶的表达，利于 加深对事物的认识和理解。线性规划问题也有 对偶关系。
矩阵形式： P max Z C X
T
AX b X0 D min W b TY A T Y C Y0
8
(1)
二、对偶定理
对偶理论揭示了原问题与对偶问题之间的 内在联系，为对偶单纯形算法提供理论依 据。
定理1: 如果问题(P)中第k个约束条件是等 式，那么它的对偶规划(D)中的第k个变量 无非负限制，反之亦然
产品
资源 原材料
工时
利润（千元/件）
A 2 1
B
C
资源总量
1.5
2
3
2
100 150
4
5
7
4
解：1. 确定决策变量
设 A、B、C 的产量分别为 x1、x2、x3 。
2. 确定目标函数
设总利润为S，则
S 4 x1 5 x2 7 x3 3. 确定约束条件 2 x1 1.5 x2 3 x3 100 x1 2 x 2 2 x 3 150
其对偶问题为： D m i nW Yb
YA C Y 无符号限制（无约束）
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对偶单纯形法是求解线性规划的另一基本方法。它 是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的，因 此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问 题的单纯形法。 由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我 们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
(m) (n-m)
xB 目标函数：z c B c N x cB x B c N x N N cB ( B 1b B 1 Nx N ) c N x N cB B 1b (c N cB B 1 N ) x N
检验数 T cN cB B1 N
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j 0
定义1 设x0是原问题的一个基本解，它对应的基矩阵为 B，记y=cBB-1,若y是对偶问题的可行解，即有yPj-cj0, 则称x0是原问题的对偶可行的基本解。 对偶单纯形法的基本思想： 从（P）的一个对偶可行的基本解（非基可行解）开始
逐步迭代

j j
迭代到基本解是原问题的可行解时
即找到了（P）的最优解
推论⑷.若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个 也有最优解，且目标函数的最优值相等。 推论(5) 若原问题存在一个对应于基B的最优基本可 行解，则 y=cBB-1 为其对偶问题的一个最优解。
原问题是max CX s.t. B是基 AX=b,X 0 对应最优解X= X B 0
XB 其中 AX= B N =BX B b X B B 1b X N
对偶问题（D Dual Problem）
min
100y1 150y2 2 y1 y2 4 1.5 y 2 y 5 1 2 3 y1 2 y2 7 y1 , y 2 0
7
s.t.
一、线性规划的对偶理论
（一）、对偶问题的形式
1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
cB 1 1 2 **** 2 1 1 2 B 2 2
xN
z x1 2 x2 x3 2 x4
16 14 , 0, 0, )T 是基本可行解。 9 9
xB
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对 偶 单 纯 形 法
考虑如下的线性规划问题：
矩阵形式： P m ax Z CX AX b X 0
b
b1 b2 bm z0
单纯形表
x1 1 0 0 a1 ,m 1 a1n x 2 0 1 0 a2 ,m 1 a2 n xm
0 0 1 am ,m 1 amn 0 0 0 m 1 n
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进基变量和出基变量选择的原则： 1.若bj<0,说明不满足原问题的可行性，所以选择 xk, {k|bk =min{bj<0 }. 2. 基变换后(设出基变量为xk，入基变量为xf) ，判别 数之间存在下面的关系：
j j
fakf2对于线性规划问题，存在另一个线性规划问题与它 密切相关，一个叫原问题，另一个叫对偶问题。
3
一. 线性规划模型
例1 生产计划问题
某工厂利用某种原材料 生产A、B、C三种产品，它们的单位 产品所需材料的数量和 耗费的加工时间各不相 同，如下表。 A、B、C单位产品的利润为 4、 5、 7千元。问：该厂应如何 安排 生产计划，才能使所获 利润最大？
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回顾（单纯形法）：
( LP )
max
z cx
(1) ( 2) ( 3)
r ( Amn ) m， A P 1
Ax b s.t . x0
Pm Pm1
(b0)
Pn B N
Ax b
xB B1b B1 NxN
c cB cN
由于其满足检验数非正（yP -c 0）
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对偶 单纯形表 max 存在bi < 0 （至 少有一个）
初始表
全部σj≤0 迭 代 最终表
在原问题解不可行，对偶 问题解可行的基础上迭代， 至原问题解可行，对偶问 题解也可行，也就同时达 到最优。
用对偶单纯形法求解原问 题时必须满足两个条件：
迭代规则保持 原问题可行解 全部 bi ≥0
（1） 单纯形表的常数列中 至少有一个负的分量。 { 存在 bi < 0 } （2） 单纯形表的检验数行 的全部元素不大于0。{ 全 部 σ j≤ 0 }
全部σj≤0
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用对偶单纯形法求解原问题 maxZ = CX AX = b X ≥0 步骤如下：
1．若初始表σj≤0，bi ≥0，则目前解为最优解。 若初始表σj≤0，存在bi < 0 （至少有一个），则转入下一步 进行迭代。 2．选出基变量： min{bi | bi<0 }=b k ,则k行为主元行，x k 出 基。 3．选入基变量： min {σj /a kj | a kj<0 } = min {检验数行 / 主元行中小于0的元素}=σf /a kf 则 f 列 为 主 元 列 ， xf 为 入 基 变 量 。 （ 即 最 小 θ 比 值 的原则） 4．重复迭代，直至σj≤0，bi ≥0，求出最优解。
__ __ n m
__
和 Y
__
分别是问
C X Y b, 即 c j x j yi bi
j 1 i 1
推论⑴ .若 X Y和 分别是问题（P）和（D）的可 __ __ CX 行解，则 是（D）的目标函数最小值的一个下界； Yb 是（P）的目标函数最大值的一个上界。
11
__
__
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。