第1章 数学物理方程概述

第一章 数学物理方程概述数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。

由于一般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。

本章的目的，归纳出几个常见物理问题对应的数学物理方程。

§1.1 常见数学物理方程的导出1.1.1 常见的几个偏微分方程波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。

热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。

拉普拉斯（Laplace ）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。

()⎪⎩⎪⎨⎧−=∇=∇zy x u u ,,022ρ 其中，算符z y x zy x e e e ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇，Δ2=∇⋅∇=∇，Δ称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯算子的展开形式，以()02=∇r u v为例 直角坐标系()z y x O ,,下：球坐标系()ϕθ,,r O 下：柱坐标系下()z O ,,ϕρ下：1.1.2 常见数学物理方程的导出一、波动方程的导出1、弦的横振动如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x 轴）附近做横向微小振动()1<<α。

已知弦的线密度为ρ，作用于弦单位长度的外力为()t x F ,，方向垂直x 轴，弦上的张力为T ，()t x u ,表示弦上x 点在时刻t 的距离平衡位置的垂直位移。

推导弦横向振动所满足的方程。

图1 弦的横振动将弦上任意一小段()x x x Δ+,作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅Δ=Δ+−=2211222211sin sin cos cos t ul l F T T T T ραααα由于弦的振动幅度比较小（α较小），所以有如下近似条件： T T T ==⇒≈=21211cos cos αα,T 为常数； x x u∂∂=⇒=111sin tan sin ααα，xx xu Δ+∂∂=2sin α；弦长x x x u l xx xΔd 1ΔΔ2≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=∫+。

将上述近似结果代入到方程可得：2222t u x x F x x x u x u T t u x x F x u T xu T x xx x xx ∂∂⋅Δ=Δ+Δ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛Δ∂∂−∂∂⇒∂∂⋅Δ=Δ+∂∂−∂∂Δ+Δ+ρρ 2222tux x F x x u T ∂∂⋅Δ=Δ+Δ∂∂⇒ρ 所以 ρρFx u T tu +∂∂=∂∂2222 令 ()()ρρt x F t x f Ta ,,,2==则弦振动方程可简写为（1）式称为受迫振动方程。

()t x f ,为单位质量的弦所受外力。

如果弦不受外力作用，则()0,=t x f ，即为弦自由振动方程2、杆的纵振动一根具有弹性的均匀杆，杆的密度为ρ，横截面积为S ，杨氏模量为Y ，杆所受沿x 方向外力密度为()t x F ,。

研究沿杆长方向的纵向位移()t x u ,所满足的方程。

图2 杆的纵振动由胡克定律得杆上的应力：0l lYSF Δ= 取杆任意一个小段AB ),(x x x Δ+为研究对象。

假设振动过程中，A 端相对平衡位置的位移为()t x u ,，B 端相对平衡位置的位移为()t x x u ,Δ+。

平衡状态杆长： x Δ=AB振动过程中杆长：()[]()[]()()x x u x x u x u x x x u x x Δ+−Δ+=+−Δ++Δ+=B'A' 因此振动中AB 杆的应变（相对伸长量）为()()()x t x u x t x u t x x u x ∂∂=Δ−Δ+=→Δ,,,lim ABB'-ABA'0 A 端所受杆拉力()xx t x u YSF ∂∂=,AB 端所收杆拉力()xx x t x u YS F Δ+∂∂=,B 由牛顿第二定律得()()()()()()()()22222222,,,,,,,,t t x u F x t x u Y t t x u x S x FS x x x t x u x t x u YS t t x u x S x FS x t x u YS x t x u YS xx x x x x ∂∂=+∂∂⇒∂∂⋅Δ=Δ+ΔΔ∂∂−∂∂⇒∂∂⋅Δ=Δ+∂∂−∂∂Δ+Δ+ρρρ 即()()ρρFx t x u Y t t x u +∂∂=∂∂2222,, 令()()ρρt x F t x f Ya ,,,2==可得，杆的受迫振动方程如果杆不受外力作用，则()0,=t x f ，即为杆自由振动方程3、薄膜振动方程膜的受迫振动方程膜的自由振动方程4、电磁波波动方程真空中电磁波传播，由于已经脱离场源，所以电荷密度,0=ρ电流密度0=J ，因此，电磁波传播满足如下的麦克斯韦方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂=×∇∂∂−=×∇0000B E t E H t H E εμ第二个方程对时间t 求偏导，得()()[]E E E E t H t E 20200220111∇=∇−⋅∇∇−=×∇×∇−=∂∂×∇=∂∂μμμε 整理得其中，20021c a==με，c 为真空中的光速。

同理，磁场强度也满足波动方程另外，如果电磁波在一般介质中传播，a 为电磁波在该介质中的传播速度。

二、热传导方程的推导由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。

空间温度()t z y x u ,,,；热传导强弱用热流强度q 表示，代表单位时间内垂直通过单位面积的热量。

其中由热学中的傅里叶定律知，u k q ∇−=，比例常数k 为导热系数。

考察介质中任一小体积V Δ，其表面积为S ；ρ,c 分别表示比热容和密度；()t z y x Q ,,,表示介质中热源单位时间单位体积所放出的热量。

由热量守恒定律得，单位时间内，V Δ所增加的热量等于由S 流入的热量与V Δ内热源所释放热量之和，即∫∫∫∫∫∫∫∫ΔΔ+⋅−=∂∂VS n V QdV dS e q dV c t uρ 由高斯公式得∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΔΔΔ+⋅∇−=∂∂VV V QdV qdV dV c t uρ 由于，u k q ∇−=，所以，Q u k tuc +∇=∂∂2ρ令 ()ρρc Q t z y x f c k a ==,,,,2可得到热传导方程温度的稳定分布：如果热源不随时间变化，即()()z y x f t z y x f ,,,,,=，那么温度将达到稳定分布，即0=∂∂tu。

因此稳定的温度场所满足的方程为：（10）式为三维泊松方程。

如果无热源，温度场所满足的方程为：()0,,2=∇z y x u （11）（11）式为三维拉普拉斯方程。

另外，由于浓度不均匀而引起的物质扩散运动，所满足的方程推导过程和方程形式与热传导情况完全一致，其扩散方程：其中，()t z y x u ,,,为物质浓度，2a 为扩散系数。

三、拉普拉斯方程和泊松方程的导出静电场方程真空中静电场的高斯定律的微分形式 ()z y x E ,,1ρε=⋅∇其中，()z y x ,,ρ为自由电荷密度。

由于静电场是无旋场，即0=×∇E ，所以定义 ()z y x u E ,,−∇=其中，()z y x u ,,是电势。

带入第一式中，可以得到静电场电势所满足的方程：（12）式为泊松方程。

如果所研究区域没有自由电荷，即0=ρ，静电场电势将退化为如下的拉普拉斯方程：()0,,2=∇z y x u （13）§1.2 定解问题1.2.1 定解问题的相关定义1、 泛定方程：在数学上，数学物理方程本身叫做泛定方程。

2、 边界条件：函数（物理量本身或者其导数或者二者的线性组合）在区域边界上的值。

3、 初始条件：物理量在初始时刻的值。

4、 定解条件：边界条件、初始条件的合称。

5、 定解问题：包含泛定方程和定解条件的数学物理方程。

举例：长为l 的弦振动方程（波动方程）的定界问题()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====∂∂=∂∂====)3(,,)2(0,0,)1(000222x t x u x t x u t x u t x u x u a t u t t t l x x ψϕ（1）式为泛定方程；（2）式为泛定方程的边界条件；（3）式为泛定方程的初始条件。

（2）（3）合称为泛定方程的定解条件；（1）（2）（3）成为定解方程。

1.2.2 边界条件分类一、第一类边界条件（狄利克雷边界条件）特点：直接给出物理量在边界上的值。

热传导的定解问题，给出了两端点温度随时间的变化规律，其边界条件可写为其中，()t f 1和()t f 2为已知函数。

弦振动的定解问题，两端点固定，其边界条件写为（4）（5）这种边界条件分别成为第一类非齐次边界条件和第一类齐次边界条件。

二、第二类边界条件（诺依曼边界条件）特点：给出了物理量在边界上的法向导数nu∂∂的值，其中，n 代表边界面的外法向方向。

例如杆的纵振动问题，在l x =一端给出外力随时间的变化规律()t f ，由胡克定律，有()()t f t x u YS l x x ==,。

因此，l x =一端的边界条件可写为如果0=x一端自由振动（没有施加外力），则其边界条件可写为 （6）、（7）这种边界条件分别成为第二类非齐次边界条件和第二类齐次边界条件。

又比如一维热传导问题，在0=x 和l x =端均有向外流出的热流,其强度随时间变化的规律为()t q ，由热学中傅里叶定律，有()t q u k l x =∇−=，所以在 l x =和0=x 满足的第二类非齐次边界条件：注意：l x =端外法向方向为x 轴正方向，而0=x 端外法向方向为x 轴负方向，因此（8）中两式相差一个负号。

如果两端均绝热（与外界没有热流交换），则其边界条件满足第二类齐次边界条件：如果三维空间的热传导中，给出边界面S 的热流密度随时间的变化规律()t q ，则其边界条件写 ()kt q u Sn−=；如果界面绝热，则其边界条件写为 0=S n u 。

三、第三类边界条件特点：混合型的边界条件，给出边界上的物理量本身和其法向导数的线性组合的值。

其一般形式为其中，()t f 为已知函数，βα、为边界面上空间变量和时间变量的已知函数。

例如：一维热传导问题，在l x =一端，介质与周围环境按牛顿冷却定律交换热量。

所谓牛顿冷却定律，是说单位时间从单位表面垂直流出的热量（即热流强度的法向分量n q ）同表面处该介质的温度Su 与周围环境的温度0u 之差成正比，即()0u u b nu kq S SSn−=∂∂−=其中，比例系数b 称为传热系数。

因此，l x =端满足边界条件其中0>=kbh 。