优秀课件垂径定理

C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
O A E
叠 合 法
D
ห้องสมุดไป่ตู้径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
O · • 老师提示: A E D B
• 垂径定理是圆中一个重要的定理,
三种语言要相互转化,形成整体, 才能运用自如.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
例2如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C E F
●

解:连接OC.
O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
A
O
D B
C
练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
D A
E
O
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据
B
D 定理求出第三个量：
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据
A、∠COE=∠DOE
A
B、CE=DE
C、OE=AE D、BD=BC
⌒ ⌒
C
E O· B
D
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则AB= 解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ AE OA OE
2 2 2 2
cm。
A E · O B
10 6 8cm
∴ AB=2AE=16cm
人教版九年级上册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
不借助任何工具，你能找到圆形
纸片的圆心吗? 由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴．
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA 1 ∴ AE AB 4cm 2 E A OE 3cm ∴ AE
2
B
AE OE
2 2
2
· O
4 3 5cm
即⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段 和弧? 为什么? C
线段: AE=BE
O ·
弧: AC=BC,
⌒ ⌒
AD=BD
⌒ ⌒
A
E D
B
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
C
你能利用垂径定理解决求
赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
B
D 定理求出第三个量：
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB ∴ AE=1/2 AB=5 C A E · O D
B 设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得 x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13
∴ CD=2OA=26
即直径CD的长为26.
E
例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ ）
2
R 2 300 2 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上 的一个动点，那么OP长的取值范围 是 3cm≤OP≤5cm 。
5
A
O
4
3
C
P
B
C
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， B A点和B点重合， ⌒和BE ⌒ AE 重合， ⌒ ⌒ ⌒ BC ⌒、BD ⌒重合． ⌒ AC、AD分别和 ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
3.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
D
A
F
E O C
B
4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm， OC=8cm，则AB= ；
4
┌
O
5
D
8
30°
A
B