构建轴对称模型求线段和的最小值
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题：这种模型就是著名的“将军饮马”问题：解决方法如上面图（2），作点B（点A也行）关于直线l的对称点B′,连接A B′交直线l于点C，则点C就是要找的使输气管道最短的位置。
其原理就是“三角形任意两边之和大于第三边”(北师大版七下第五章1 23页第5题类似)。
求两线段之和最小是最值问题中很基本的一个模型，一般已知两定点一动点，动点在某条定线上，两定点在定线同侧。
求解步骤为：①利用轴对称作其中任一定点关于定线的对称点；②连接对称点和另外一个定点，交定直线于某点，此点即为所求；③利用勾股定理等知识求解算出答案。
这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN 的最小值。
这时需平移BN（或AM），转化为求解决，如下图所示．平移NB至MB＇转化为轴对称模型本文讲练结合，对线段和最小值问题的原理、常见题型及解法思路层层剖析，后面附有练习题和配套答案，力求能使大家熟练掌握这种求最值的方法。
【典例】1、如下图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
解析：如下图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥B C，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′=√5，故答案为：√5.2、如下图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解析：因为BQ是定值，所以求△PBQ周长的最小值就是在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小即可，依然是标准的轴对称模型，如果你能这样考虑，恭喜你答对了，下面就按照此类模型的标准解法做就行了。
初中数学中利用轴对称性求最值问题例析_王水友
段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求 PC＋PD 的最
小值就转化为求 PC＋PA 的最小值，即求 AC 的长度
即可。
例 2 已知抛物线
y
y =ax2 + c 经 过 A （0，1）， P（2姨 3 ，-3）。
（1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 并 判 定 C（ 姨 3 ，0） 是否在此抛物线上；
A
D
C
O
x
M
P
（2） 点 M 是 抛 物 线
对称轴上的动点，连 MP、MC，试 求△PCM 周 长 的 最
小值。
【分析】 此题第二问是二次函数中利用轴对称
性求三角形周长的最小值问题 。由于 PC 的长度 保
持不变，要使△PCM 的周长最小，只要使 CM+MP的
值最小即可，这样问题就转化成例 1 的类型。
和点 B（2，1）。 （1） 求 此 抛 物 线 解
析式； （2） 点 C、D 分别是
x 轴和 y 轴上的动点， 求 四 边 形 ABCD 的 周 长的最小值。
y A′（-1，3）
D
A（1，3）
B（2，1）
E
C
x
B′（2，-1）
（3） 过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 E 点 ，点 P
A
N
B 线 时 ，BN′ 的 长 就 是 BM + MN 的 最 小 值 ，而 BN′大 于
或等于 BH，所以 BH 的长就是 BM+MN 的最小值，
容易算出 BH=4。
（五） 两动两定型
已知两定点，分别在两条直线上找两点，使这
两点与已知两定点构成的四边形周长最小。
例 7 已知抛物线 y=ax2+bx+1 经过点 A（1，3），
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
「初中数学」利用对称求线段和最值
「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
初中数学构建轴对称模型求最小值
初中数学构建轴对称模型求最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。
在现行教材“轴对称”一节中有一例题：如图1，在直线l同侧有两点A、B，在直线l 上求作一点P使PA+PB最小。
图1其作法如图2：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，那么点P 就是所求作的点。
以此作为模型可以解决下列求最小值的问题。
图2例1. 如图3，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图3分析：首先分解此图形，构建如图4模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图5，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，图4图5由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，3223DE =⨯=故PE+PB 的最小值为3。
例2. 如图6，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。
图6分析：分解出图形，构建如图7模型，转化为在ON 上，求作一点P ，使PA+PB 最小。
根据圆的对称性，易知点A 关于ON 的对称点A ′在⊙O 上如图8，连结A ′B ，A ′B 即为PA+PB 的最小值，又因为A ′三等分半圆，∠A ′OP=60°，∠BOP=30°，∠A ′OB=90°，则由勾股定理得：2B 'A =，故PA+PB 的最小值为2。
图7图8例3. 如图9，抛物线c bx x y 2++=与x 轴交于)0,1(A -、)0,3(B 两点。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC 的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
巧用轴对称性解决线段和最小值问题
．
０， ，
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
（） ａ
（） ｂ
１ ２ 实践运 用 ．
如题（ ） ， ｃ 图 已知 ６Ｏ的直径 Ｃ 为 ４ 弧 Ａ ３ Ｄ ， Ｄ的度 数为 ６ 。点 是弧 Ａ 的 中点 ， 直径 Ｃ ０， Ｄ 在 Ｄ上找 一点 Ｐ使 ＋ Ｐ的值最小 ， ， Ａ 并求 Ｂ Ａ Ｐ＋ Ｐ的最小值
其光路 图． 分 析 ： 题 的 实 质 就 是 镜 本 面反射原 理． 解 ： 点 Ａ关 于 ＭＮ 的对 称 点 Ａ ， 结 Ａ 交 作 连 Ｂ， ＭＮ于点 Ｐ， 连结 Ａ Ｂ ． Ｐ、Ｐ １ 有一 圆柱形 食 品 盒 ， 的高 ． 它 等 于 ４Ｔｍ， 面 直 径 为 １ｃ 蚂 叮 ｃ 底 ６ ｍ， 蚁爬行 的 速度 为 ２ ｍ ｓ 如 果 在 盒 ｃ ／． 外下底 面 的 处 有 一只 蚂蚁 ， 它想 吃到盒 内对 面中部点 Ｂ处 的食 物 ， Ａ
理 中重要 的作 图之一． 其 实数学 问题 中的线段 和的最小值 问题 等价于 物理问题 中的光 的传播 问题 ： 问题 １ 如 图 ， 、 ： Ａ Ｂ在 直 线 ｆ 两侧 ， Ｚ 找 一 点 ， 得 Ｐ到 在 上 使 Ａ、 的距 离之 和最短 ， 何作 出 如 点 Ｐ？ 答： 连结 Ａ Ｂ交 Ｚ Ｐ， Ｐ为所求 点． 于 则 结论一 ： 两点 在 直 线 两 侧 时 （ 在 均 匀介 质 当 光 传播 ） 直接利用 两点之 间线 段最 短 （ 的直 线传 播 ， 光 原理 ）连 结线段 即可． ， 问题 ２ 如 图 ， 在 直 ： Ａ、 线￡ 同侧 ， Ｚ 找 一点 ， 在 上 使 得 Ｐ到 Ａ、 的 距 离 之 和最 Ｂ 短， 如何作 出点 Ｐ ？ 答 ： Ａ关 于 ｆ 对 称 作 的 点 Ａ， 连结 Ｂ Ｚ Ｐ Ａ交 于 ．
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。
通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。
本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。
若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。
二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型 (一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少 作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中，ME B'CDAAE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
利用轴对称知识求最值
利用轴对称求最小值数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边。
现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。
一、两点一线的最值问题例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点。
理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。
首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。
因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。
二、两点两线的最值问题已知两个定点位于平面内两个相交的的直线之间，要在两条直线上确定两个动点使得线段和最短。
这类问题中动点满足最值的位置是由动点和定点所在的直线位置决定，可以通过轴对称图形的性质“搬点移线”（在保持线段的长度不变的情况下将某点搬至某线段所在的直线），将所求线段移到同一直线上就可以了。
例：（课本P47练习题9），如图（4）A 点为马厩，B 点为帐篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草地边某一点牧马，然后到河边去饮水，再回到帐篷，请你确定一天的最短路程。
线段和的最小值问题
----线段和的最小值问题
七星中学
陈自先
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站 P 应建在什么地方，才 能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A 街 道 P P B
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站 P 应建在什么地方，才 能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ B A 街 道 P A’
第27课时 │归类示例 归类示例
类型之一 矩形的性质及判定的应用
如图 27－1，在△ABC 中，点 O 是 AC 边 上(端点除外)的一个动点， 过点 O 作直线 MN∥BC. 设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E， 交∠BCA 的外角 平分线于点 F，连接 AE、AF.那么当点 O 运动到何 处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．
11，边长为6的菱形ABCD中，M为AB的中点， ∠BAD=60°,P为AC上一动点使PM+PB最小， 这个最小值是
分析：按上述分析，要求的最小值就是B点关于AC的对 称点D点与M的连线段DM的长
1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点， P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知， B与D关于直线AC称．连结ED交AC于P，则PB+PE 的最小值等于线段_____ 的长度，最小值等于 DE _________ B 5 ； C E 变式训练 A’ P A C P
2 17 A、17
4 17 B、 17
A . P
D
C
8 17 17
D、3
B
C
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为
4 3 1 ， 3
图形的轴对称与最小值问题教案
4.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值.
5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和
对相关知识整合应用，尝试数学模型的魅力，提升学生思维高度.
学生自主小结，适当引导，知识应用模型化.
A B
NA
A B
a aM
二、合作探究
1.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，求PE+PC的最小值.
2．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，求△PMN周长的最小值.
点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，求∠AOB的度数.
6.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值．
三、拓展迁移
如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），求四边形AEPQ的周长的最小值，及此时四边形AEPQ的面积.
教案
课题：图形的轴对称与最小值问题
设计意图
教学目标：
1.巩固轴对称及轴对称图形的概念.
2.巩固轴对称的性质.
3.探索利用轴对称解决线段之和的最小值问题．
4.尝试构建“利用轴对称解决线段之和的最小值问题”的数学模型.
求线段和的最小值
运用图形的轴对称求线段和的最小值学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题.学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和最小值问题.学习方法：自主探究法、合作交流法学习过程：一、知识链接1、已知直线l及其两侧两点，在直线l上求作一点P，使PA+PB和最小。
2、如图，已知点A,B在直线l的同一侧，在l上求作一点P，使得PA+PB最小。
二、知识应用如图，铁路l同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE分别为500m,300m,DE=600m.现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB最小，求这个最小值。
三、自主探究知识链接：在等腰三角形，等边三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有__________________ _________ 。
1、如图1，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点。
连接EP,CP,则EP+CP的最小值是_________2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E为AD的中点，M为AC上一动点，则EM+DM的最小值是_________3、如图3，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则其最小值为_________4、如图，⊙O直径AB为2，∠COB=60°，D是弧BC中点，P是直线AB上一动点，则PC+PD的最小值为_________总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。
四、研讨1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小，求点D的坐标。
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D,E分别是AB,AC的中点，点F是BC上的一动点，则△DEF的周长的最小值是_________3、如图抛物线y=a x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C，且A(-1,0) B(3,0) C(0,-3)（1）在对称轴上是否存在一点P使△PAC周长最小，若存在，请求出P的坐标。
轴对称中几何动点最值问题总结
轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题:（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使△PAB 的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
（3） 两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
求线段和最小值三例
点，当 ＣＰ＝
时，△ＡＰＥ 的周长最小．
ＣＥ，得到 ＥＣ＝ＥＦ，因 此 ＥＣ＋ＥＤ＝ＥＦ＋ＥＤ ＝ＦＤ．在 Ｒｔ△ＢＤＦ 中，利 用 勾 股 定 理，可 得
ＦＤ＝槡５．
二、直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 连 线 中，
垂线段最短
例３ 如图 ５，在锐角 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＝
４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，∠ＢＡＣ 的 平 分 线 交ＢＣ 于
思路与方法
江 苏 省 姜 堰 市 励 才 实 验 学 校 （２２５５００） 张 宇 石
在几何问题中，有一类求线段和最小 值 的 问 题 ，本 文 试 举 三 例 ．
一 、利 用 轴 对 称 求 线 段 之 和 最 短
例１ 如图１，矩 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，
ＢＣ＝８，Ｅ 为 ＣＤ 的 中 点，点 Ｐ 为 ＢＣ 上 的 动
∴ ＢＨ ＝ＡＢ·ｓｉｎ４５°＝４， ∴ ＢＭ ＋ＭＮ 的 最 小 值 是ＢＭ′＋Ｍ′Ｎ′ ＝ＢＭ′＋Ｍ′Ｈ ＝ＢＨ＝４． 点评 解 此 题 是 受 ４５°和 角 平 分 线 启 发， 分别构造直角三角形和利用角平分线 定 理，把 ＢＭ＋ＭＮ 进 行 转 化，把 两 条 线 段 的 和 的 最 小 值转化为点到直线的距离．构造和转化 法 是 解 题中常用的一种方法，对于最值的求解 是 考 查 的重点也是难点．
图５
图６
解 如图６，作 ＢＨ⊥ＡＣ，垂足为 Ｈ，交 ＡＤ 于 Ｍ′点，过 Ｍ′点作 Ｍ′Ｎ′⊥ＡＢ，垂足为 Ｎ′，
则线段 ＢＨ 的长为所求的最小值． 因为∠ＢＡＣ 的平分线交ＢＣ 于点Ｄ， 由角平分线性质可知，Ｍ′Ｈ ＝Ｍ′Ｎ′， 当 ＢＨ 是点Ｂ 到直线ＡＣ 的距离时（垂线 段 最 短 ），
∵ ＡＢ＝４槡２，∠ＢＡＣ＝４５°，
利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题
利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题韶关市一中实验学校李仙群一、教学内容和内容解析1.教学内容利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题2.内容解析从近几年的中考来看，线段和的最小值问题经常出现在各省市的中考题中，问题常以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形等图形为背景，让学生求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值、四条线段和（四边形周长）的最小值等，这些问题中又以二次函数背景下求两条线段和的最小值、三条线段和（三角形周长）的最小值最为常见．从题型来看，线段和最小值问题涉及选择题、填空题、解答题，其中选择题、填空题通常以正方形、矩形、菱形为背景求线段和的最小值，且题目有一定难度。
以二次函数或几种图形组合为背景的线段和的最小值问题都出现在解答题，大部分都是以较难题、难题出现，是学生中考中不易答出的部分．从考察的数学思想方法看，线段和的最小值问题往往需要学生灵活利用轴对称将线段和最小值问题转为“两点之间，线段最短”问题（本课时主要解决这类问题），再结合相似、勾股定理等知识求出相应点的坐标及最小值。
从学生的知识掌握程度看，九下学生已经学完了初中所有新课内容，经过了一轮基础知识的复习，对解决此类题型的知识源，如两点之间，线段最短；利用轴对称求最短路径；几何转化为代数解法，如利用一次函数、反比例函数增减性、二次函数的最值问题等知识，掌握了这些知识源的一些用法，会利用这些知识源把动态问题转化为静态问题，实现问题的转化与解决．基于以上分析，本课时的重点是研究利用轴对称解决二次函数中线段和的最小值问题．二、教学目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，体会图形转化在求最值问题中的作用，感悟转化思想．2.目标解析达成目标的标志是：学生能通过画图等方式，说出如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求值为最小值；在探索线段和的最小值过程中，体会轴对称的转化作用，感悟数学的转化思想．三、教学问题诊断分析经历学习新人教版八上《13.4最短路径问题》及初三第一轮基础知识复习，学生对“当点A，B在直线l的同侧时，通过做轴对称，在直线l上找一点C，使AC与BC的和最小”这类问题有了一定的认知，但在二次函数等较复杂的情境下如何将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”的问题过程中，该做哪个点关于哪条直线对称，哪个点做对称更方面计算和求解等问题，学生在理解和操作上存在着许多困难，甚至很多学生想不到，困在转化之前．基于以上分析，本课时的难点是如何利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题．四、教学过程设计图五、教学过程设计中考涉及很多以二次函数、反比例函数、正方形、矩形、菱形、三角形等为背景求两条线段和的最小值、三角形周长的最小值、四边形周长的最小值的问题，这些问题都可以归结为求线段和的最小值问题，要解决这些问题都需要利用轴对称将这些问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，并结合勾股定理、三角形全等、三角形相似、二次函数等知识求出最小值。
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构建轴对称模型求线段和的最小值
张店区沣水中学 高刚
近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。
学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。
能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，
进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。
情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学
的能力。
引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。
分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。
首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。
因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。
（1）A
B
（3）
A
总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。
以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。
例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。
图4
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。
如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，
图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，
3
22
3DE =⨯=
故PE+PB 的最小值为
3。
跟踪练习1： 如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。
图7
跟踪练习2. 如图8，正三角形ABC 的边长为2，M 是BC 边上的中点，P 是AC 边上的一个动点，求PB+PM 的最小值.
M
图8
例2. 如图9，抛物线c bx x y 2
++=与
x 轴交于)0,1(A -、)0,3(B 两点。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于点C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC
∆的周长最小？如果存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
图9
重点分析第（2）问，要使△QAC 的周长最小即AC+CQ+QA 最小，由于AC 长度一定，故只要
CQ+QA 最小时，周长最小。
设抛物线的对称轴为直线MN ，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN 上找点Q ，使CQ+QA 最小。
由抛物线的对称性可知，点A 、点B 关于直线MN 对称，连结BC 交MN 于点Q ，只要找出点Q 的位置，其坐标不难求得。
跟踪练习3:点A 的坐标为（0，2）点，点B 是半径为2的⊙B 的圆心，点B 的坐标为（4，2），请你探索在x 轴上是否存在一个点C 以及在⊙B 上是否存在一个点D ，使得AC+CD 最小，若存在，请你在图中作出点C 和点D ，并求出点C 、D 的坐标和AC+CD 的最小值；若不存在请说明理由。
跟踪练习4：如图10，抛物线2
3
y x =-
-
+交x 轴于A 、B 两
点，交y 轴于点Ｃ，顶点为D ． （1）求A 、B 、C 的坐标．
（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180 ，得到四边形AEBC ： ①求E 点坐标．②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．
（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 学生总结： 分层作业：
A 组：1、如图11，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为_____________。
图11
2、如图12， 在锐角△ABC 中，
AB=BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________.
图12
B 组：1、如图，在直角坐标系中，A ，B ，
C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，
D 为直线l 上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；
(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作圆A ； ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与圆A 相切； ②写出直线BD 与圆A 相切时，点D 的另一个坐标。
2、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，
AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标；
（2）若y=c bx x 7
362++-过点
A 、E ，求抛物线的解析式。
（3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，
并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。