北京市房山区2016届高三第二次模拟数学理科试卷 Word版含解析
2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1.1，2，3}，则A∩B=（）A。
{﹣1.1}B。
{，1}C。
{，1，2}D。
{﹣1.1，2}2.（5分）若x，y满足x+y=4且x2+y2的最小值为2，则2x+y的最大值为（）A。
2B。
3C。
4D。
53.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.（5分）设a、b为向量，则||a+b||=||a-b||的充分必要条件是（）A。
a·b=0B。
a=bC。
||a||=||b||D。
a·b=||a||·||b||5.（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A。
x-y＞0B。
sinx-siny＞0C。
（x+y）/（x-y）＜2D。
XXX＞06.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A。
8/3B。
10/3C。
12/5D。
14/57.（5分）将函数y=sin（2x-π/2）图象上的点P（π/6，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A。
t=1，s的最小值为π/6B。
t=1/2，s的最小值为π/6C。
t=1，s的最小值为π/3D。
t=1/2，s的最小值为π/38.（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。
甲、乙、丙是三个空盒。
每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。
重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A。
乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B。
乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C。
乙盒中红球不多于丙盒中红球D。
乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年北京市房山区高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2016年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出得四个选项中，选出符合题目要求得一项．1．在复平面内，复数z对应得点得坐标为（2，﹣1），则|z|=（）A．B．5 C．3 D．12．设不等式组表示得平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内得概率为（）A．B．C．D．3．执行如图所示得程序框图，若输入x=1，则输出y得值就是（）A．7 B．15 C．23 D．314．在极坐标系中，过点且平行于极轴得直线方程就是（）A．ρ=1 B．ρsinθ=1 C．ρcosθ=1 D．ρ=2sinθ5．函数f（x）得定义域为R，“f（x）就是奇函数”就是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”得（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．某几何体得三视图如图所示，则该几何体得体积就是（）A．32 B．16 C．D．7．已知函数若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a得取值范围就是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣2，﹣）D．[﹣2，0]8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种就是即时价格曲线y=f （x），另一种就是平均价格曲线y=g（x），如f（3）=4表示开始交易后第3小时得即时价格为4元；g（3）=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票得平均价格为2元．下面给出四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确得就是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线得渐近线方程为．10．已知向量=（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k=．11．在△ABC中，若a=3，c=4，cosC=﹣，则b=．12．在某校召开得高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师与1位语文老师做典型发言．现在安排这6位老师得发言顺序，则3位数学老师互不相邻得排法共有种．（请用数字作答）13．设T n为等比数列{a n}得前n项之积，且a1=﹣6，，则公比q=，当T n最大时，n得值为．14．对于函数f（x）与实数M，若存在m，n∈N+，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M得一个“生长点”．若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M得一个“生长点”，则M=；若f（x）=2x+1，M=105，则函数f（x）关于M得“生长点”共有个．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期与最大值；（Ⅱ）若，且，求α得值．16．为降低雾霾等恶劣气候对居民得影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同得检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格得概率为，第二种检测不合格得概率为，两种检测就是否合格相互独立．（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售得概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利﹣80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品得获利，求X得分布列及数学期望．17．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB得中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PM；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角得正弦值；（Ⅲ）在线段PB上就是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出得值，若不存在，说明理由．18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）得极大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a得取值范围．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）得离心率就是，且椭圆C上任意一点到两个焦点得距离之与就是4．直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限．（Ⅰ）求椭圆C得标准方程；（Ⅱ）求点P得坐标（用k表示）；（Ⅲ）若过坐标原点O得直线l1与l垂直于点Q，求|PQ|得最大值．20．已知数集M={a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意得i，j （1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于M．（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与{0，2，3，5}就是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=0，且a n=；（Ⅲ）当n=5时，证明：a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．2016年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出得四个选项中，选出符合题目要求得一项．1．在复平面内，复数z对应得点得坐标为（2，﹣1），则|z|=（）A．B．5 C．3 D．1【考点】复数求模．【分析】由复数得几何意义可得z=2﹣i，由复数得模长公式可得．【解答】解：由题意可得z=2﹣i，∴|z|==故选：A2．设不等式组表示得平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内得概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应得平面区域，求出对应得面积，结合几何概型得概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应得平面区域，则平面区域为D得面积S=2×2=4，点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内面积S=，则在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内得概率P==，故选：A．3．执行如图所示得程序框图，若输入x=1，则输出y得值就是（）A．7 B．15 C．23 D．31【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，按照循环结构进行运算，求出满足题意时得y．【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得输入x=1，第一次循环：y=2×1+1=3，不满足条件|x﹣y|＞8，x=3；第二次循环：y=2×3+1=7，不满足条件|x﹣y|＞8，x=7；第三次循环：y=2×7+1=15，不满足条件|x﹣y|＞8，x=15第四次循环：y=2×15+1=31，∵|x﹣y|=16＞8，∴结束循环，输出y=31．故选：D．4．在极坐标系中，过点且平行于极轴得直线方程就是（）A．ρ=1 B．ρsinθ=1 C．ρcosθ=1 D．ρ=2sinθ【考点】简单曲线得极坐标方程．【分析】设P（ρ，θ）为直线上得任意一点，利用直角三角形得边角关系即可得出．【解答】解：设P（ρ，θ）为直线上得任意一点，由题意可得：1=ρcosθ．故选：C．5．函数f（x）得定义域为R，“f（x）就是奇函数”就是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”得（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件得判断．【分析】由“f（x）就是奇函数”⇒“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：由“f（x）就是奇函数”⇒“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”，反之不成立．∴“f（x）就是奇函数”就是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”得充分不必要条件．故选：A．6．某几何体得三视图如图所示，则该几何体得体积就是（）A．32 B．16 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得该几何体就是放倒得四棱锥，由三视图求出几何元素得长度、判断出线面得位置关系，由锥体得体积公式求出该几何体得体积．【解答】解：根据三视图得：该几何体就是放倒得四棱锥，直观图如图所示：E就是棱CD得中点，且PE⊥平面ABCD，PE=2，四棱锥得底面就是边长为4、2得矩形，高为PE，所以该几何体得体积V==，故选：D．7．已知函数若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a得取值范围就是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣2，﹣）D．[﹣2，0]【考点】分段函数得应用；函数得值域．【分析】分别作出函数y=log2（x+1）+1与y=2（x+1）2得图象，观察函数值在[0，2]内得图象，讨论最小值与最大值得情况，即可得到结论．【解答】解：由分段函数得表达式得﹣1＜k≤1，此时函数f（x）在[k，1]上为增函数，此时f（1）=log22+1=1+1=2，f（k）=log2（k+1）+1，此时log2（k+1）+1≤f（x）≤2，当a≤x＜k时，f（x）=2（x+1）2在[a，k）上不就是增函数，若f（x）=2（x+1）2=2得（x+1）2=1，即x=0或﹣2，若f（x）=2（x+1）2=0得x=﹣1，若log2（x+1）+1=0，则log2（x+1）=﹣1，则x+1=，即x=﹣，若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则﹣≤k≤1，若a＜﹣2，则此时函数f（x）＞2，不满足条件．排除A．当a=﹣2时，f（﹣2）=2，此时当﹣≤k≤1满足条件，当a=0时，f（0）=2，当0≤x＜k时，f（x）≥2，不存在实数k使得该函数值域为[0，2]，排除D．若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则﹣2≤a＜﹣，故选：C．8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种就是即时价格曲线y=f （x），另一种就是平均价格曲线y=g（x），如f（3）=4表示开始交易后第3小时得即时价格为4元；g（3）=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票得平均价格为2元．下面给出四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确得就是（）A．B．C．D．【考点】函数得图象．【分析】根据即时价格与平均价格得价格波动关系进行判断即可．【解答】解：刚开始交易时，即时价格与平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线得渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线得简单性质．【分析】先确定双曲线得焦点所在坐标轴，再确定双曲线得实轴长与虚轴长，最后确定双曲线得渐近线方程．【解答】解：∵双曲线得a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线得渐近线方程为y=±∴双曲线得渐近线方程为y=±故答案为：y=±10．已知向量=（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k=﹣1．【考点】平面向量数量积得运算．【分析】由条件利用两个向量坐标形式得运算法则求得k﹣得坐标，再利用两个向量得数量积公式，两个向量垂直得性质，求得k得值．【解答】解：∵向量=（1，1），，∴k﹣=（k+3，k﹣1），若k﹣与垂直，则（k﹣）•=（k+3，k﹣1）•（1，1）=k+3+k﹣1=2k+2=0，求得实数k=﹣1，故答案为：﹣1．11．在△ABC中，若a=3，c=4，cosC=﹣，则b=．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴42=32+b2﹣2×3b×，化为：2b2﹣3b﹣14=0，解得b=．故答案为：．12．在某校召开得高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师与1位语文老师做典型发言．现在安排这6位老师得发言顺序，则3位数学老师互不相邻得排法共有144种．（请用数字作答）【考点】计数原理得应用．【分析】把3位数学老师插入2位英语老师与1位语文老师全排，形成了4个空中，问题得解决．【解答】解：先把2位英语老师与1位语文老师全排，形成了4个空，再把3位数学老师插入，故有A33A43=144种，故答案为：144．13．设T n为等比数列{a n}得前n项之积，且a1=﹣6，，则公比q=，当T n最大时，n得值为4．【考点】等比数列得通项公式．【分析】a1=﹣6，，可得：=﹣6q3，解得q=．可得a n．于就是T n=（﹣6）n．只考虑n为偶数时，与1比较即可得出．【解答】解：∵a1=﹣6，，∴=﹣6q3，解得q=．∴a n=．∴T n=（﹣6）n×=（﹣6）n．T2n=36n．==36•．n=1时，=＞1；n≥2时，＜1．∴T2＜T4＞T6＞T8＞…．则公比q=，当T n最大时，n得值为4．故答案分别为：；4．14．对于函数f（x）与实数M，若存在m，n∈N+，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M得一个“生长点”．若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M得一个“生长点”，则M=﹣；若f（x）=2x+1，M=105，则函数f（x）关于M得“生长点”共有3个．【考点】数列与函数得综合；函数得值．【分析】根据“生长点”得定义建立方程即可求M，结合等差数列得求与公式进行判断即可．【解答】解：若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M得一个“生长点”，则M=f（1）+f（2）+f（3）=cos（+）+cos（×2+）+cos（×3+）=﹣sin﹣cos+cos（﹣）=﹣﹣+=﹣，若f（x）=2x+1，M=105，则f（m）就是公差为2得等差数列，则由f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=105得（n+1）（2m+1）+=105即（n+1）（2m+1）+n（n+1）=105，即（n+1）（2m+n+1）=105，∵105=1×105=3×35=5×21=7×15，∴由得，此时“生长点”为（2，16），由得，此时“生长点”为（4，8），由得，此时“生长点”为（6，4），故函数f（x）关于M得“生长点”共有3个，故答案为：﹣，3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期与最大值；（Ⅱ）若，且，求α得值．【考点】三角函数得最值；三角函数得周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简f（x）得解析式，再利用正弦函数得周期性、最值，得出结论．（Ⅱ）由条件求得sin（2α﹣）=1，再根据2α﹣∈（﹣，）；可得2α﹣=，从而求得α得值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数=sin2x+﹣=sin （2x﹣），∴f（x）得最小正周期为=π，函数得最大值为．（Ⅱ）若，2α﹣∈（﹣，）；∵=sin（2α﹣），∴sin（2α﹣）=1，∴2α﹣=，∴α=．16．为降低雾霾等恶劣气候对居民得影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同得检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格得概率为，第二种检测不合格得概率为，两种检测就是否合格相互独立．（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售得概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利﹣80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品得获利，求X得分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量得期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，由此利用对立事件概率计算公式能求出每台新型防雾霾产品不能销售得概率．（Ⅱ）由已知，可知X得取值为﹣240，﹣120，0，120．分别求出相应得概率，由此能求出X得分布列及EX．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，则P（A）=1﹣（1﹣）（1﹣）=．所以，该产品不能销售得概率为．（Ⅱ）由已知，可知X得取值为﹣240，﹣120，0，120．P（X=﹣240）=（）3=，P（X=﹣120）==，P（X=0）==，P（X=120）=（）3=，∴X得分布列为：X ﹣240 ﹣120 0 120PEX=﹣240×﹣120×+0×+120×=30．17．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB得中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PM；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角得正弦值；（Ⅲ）在线段PB上就是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出得值，若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成得角；空间中直线与直线之间得位置关系．【分析】（I）取AC中点O，连接OP，OM，可证AC⊥平面POM，故而AC⊥PM；（II）以O为原点建立坐标系，求出与平面PAB得法向量得坐标，于就是PC与平面PAB所成角得正弦值为|cos＜＞|；（III）设，用λ表示出得坐标，求出，求出平面CNM得法向量，令=0得出λ．【解答】证明：（I）取AC中点O，连接OP，OM．∵PA=PC，∴PO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PO⊥平面ABC．∵M就是AB得中点，∴OM∥BC，∵BC⊥AC，∴OM⊥AC．又OP∩OM=O，∴AC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴AC⊥PM．（II）以O为原点，以OA，OM，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），P（0，0，1），B（﹣1，4，0）．∴=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，0，1），=（﹣2，4，0）．设平面PAB得法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1得=（2，1，2），∴cos＜＞==﹣．∴PC与平面PAB所成角得正弦值为．（III）∵M（0，2，0），∴=（﹣1，4，﹣1），=（1，0，1），=（1，2，0）．设线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB．设=（﹣λ，4λ，﹣λ），（0≤λ≤1）．则==（1﹣λ，4λ，1﹣λ）．设平面CNM得法向量为=（x，y，z），则，∴，设y=1得=（﹣2，1，）．∵平面CNM⊥平面PAB，∴．即﹣4+1+=0，解得．∴线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB，=．18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）得极大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a得取值范围．【考点】利用导数研究函数得极值；函数零点得判定定理；利用导数研究函数得单调性．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导数，确定函数得单调性，即可求函数f（x）得极大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，分类讨论，即可求a得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=lnx﹣2x2+3x，∴f′（x）=﹣4x+3=﹣，∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数取得极大值1；（Ⅱ）因为f′（x）=a≤0，函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∵f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，∴f（e）≤0，∴1+ae2﹣（2a+1）e≤0，∴a≥，∴≤a≤0；a＞0，令f′（x）=0，x1=1，x2=＞1因为f（1）＜0，f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，∴f（e）≥0，∴1+ae2﹣（2a+1）e≥0，∴a≤，不合题意，综上所述，≤a≤0．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）得离心率就是，且椭圆C上任意一点到两个焦点得距离之与就是4．直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限．（Ⅰ）求椭圆C得标准方程；（Ⅱ）求点P得坐标（用k表示）；（Ⅲ）若过坐标原点O得直线l1与l垂直于点Q，求|PQ|得最大值．【考点】椭圆得简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆得定义可得a=2，再由离心率公式可得c，由a，b，c得关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，可得x得方程，运用判别式为0，解方程可得P得坐标；（Ⅲ）由于l1与l垂直于点Q，则|PQ|即为P到直线l1得距离，设l1：y=﹣x，即x+ky=0，运用点到直线得距离公式，化简整理，再由基本不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得定义可得2a=4，即a=2，由e==，可得c=，b==1，即有椭圆C得方程为+y2=1；（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由直线与椭圆相切，可得△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，化为m 2=1+4k 2，可得P 得横坐标为﹣=﹣=﹣， 纵坐标为﹣+=，即有P （﹣，）；（Ⅲ）由于l 1与l 垂直于点Q ，则|PQ |即为P 到直线l 1得距离，设l 1：y=﹣x ，即x +ky=0，可得|PQ |= ==≤==1．当且仅当4k 2=，即k=时，|PQ |取得最大值1．20．已知数集M={a 1，a 2，…，a n }（0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2）具有性质P ：对任意得i ，j （1≤i ≤j ≤n ），a i +a j 与a j ﹣a i 两数中至少有一个属于M ．（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与{0，2，3，5}就是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：a 1=0，且a n =；（Ⅲ）当n=5时，证明：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列．【考点】集合得表示法．【分析】（Ⅰ）利用新定义，可以判断集合{0，1，3}不具有性质P ，{0，2，3，5}具有性质P ；（Ⅱ）令j=n ，i ＞1，可得a n ﹣a i 属于M ，证明a n =a i +a n+1﹣i ，倒序相加即可得到结论； （Ⅲ）当 n=5时，取j=5，当i ≥2时，a i +a 5＞a 5，由M 具有性质P ，结合等差数列得定义逐步可得．【解答】（Ⅰ）解：由于3﹣1与3+1都不属于集合{0，1，3}，∴该数集不具有性质P ； 由于2+0、3+0、5+0、3+2、5﹣2、5﹣3、0﹣0、2﹣2、3﹣3、5﹣5都属于集合{0，2，3，5}，∴该数集具有性质P ．（Ⅱ）证明：令j=n ，i ＞1，则∵“a i +a j 与a j ﹣a i 两数中至少有一个属于M ”，∴a i +a j 不属于M ，∴a n ﹣a i 属于M ．令i=n ﹣1，那么a n ﹣a n ﹣1就是集合M 中某项，a 1不行，就是0，a 2可以．如果就是a 3或者a 4，那么可知a n ﹣a 3=a n ﹣1，那么a n ﹣a 2＞a n ﹣a 3=a n ﹣1，只能就是等于a n 了，矛盾．∴令i=n ﹣1可以得到a n =a 2+a n ﹣1，同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到a n=a i+a n+1，﹣i∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+a n=a n，即a n=；（Ⅲ）证明：当n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由M具有性质P，a5﹣a i∈M，又i=1时，a5﹣a1∈M，∴a5﹣a i∈M，i=1，2，3，4，5．∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，则a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉M，则a4﹣a3∈M，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，即a1，a2，a3，a4，a5就是首项为0，公差为a2得等差数列．2016年8月22日。
2016年高考数学(理)北京卷参考答案
数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年北京市房山区中考数学二模试卷及解析答案word版
2016年北京市房山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：下列各题均有四个选项，其中只有一个使符合题意的，请把正确答案的字母在答题卡相应位置涂黑.1．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×1082．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，倒数最大的是（）A．b B．d C．a D．c3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）小明掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，那么向上一面的点数大于4的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如果一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．86．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．90°C．80°D．50°7．（3分）国家气象局监测2015年某日24小时PM2.5的值，其中6个时刻的数值如表：A ．331；332.5B ．329；332.5C ．331；332D ．333；3328．（3分）函数y=kx ﹣k 与在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ． C．D ．9．（3分）在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的计费方式成为了人们所关心的具有实际意义的问题．下表是两种移动电话的计费方式：若小明的爸爸每月打电话的时间在300分钟，请问选择哪种方式省钱（ ） A ．方式一 B ．方式二 C ．两种方式一样 D ．无法确定 10．（3分）如图，正方形ABCD 的顶点A （0，），B （，0），顶点C ，D 位于第一象限，直线x=t ，（0≤t ≤），将正方形ABCD 分成两部分，设位于直线l 左侧部分（阴影部分）的面积为S ，则函数S 与t 的图象大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共18分，每小题3分）：11．（3分）分解因式y3﹣2y2+y=．12．（3分）如图，公园内有一小湖，为了测量湖边B、C两点间的距离，小明设计如下方案，选取一个合适的A点，分别找到AB、AC的中点D、E，若测得DE 的长为35米，则B、C两点间的距离为米．13．（3分）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．一位家住十渡地区的张老师持卡乘车，上车时站名上对应的数字是6，下车时站名上对应的数字是24，那么，张老师乘车的费用是元．14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的面积为．15．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：如图1，Rt△ABC，∠C=90°．求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．小芸的作图步骤如下：如图2：（1）作线段FE=CB；（2）过点F作GF⊥FE于点F；（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，交射线FG于点D，连接DE，所以△DEF即为所求作的直角三角形．老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC的依据是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P5的坐标为，点P2016的坐标为．三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：17．（5分）计算：．18．（5分）已知4a2﹣a﹣1=0．求代数式（3a+1）（3a﹣1）﹣a（a+2）﹣1的值．19．（5分）解不等式x+1＜6（x﹣2）﹣2，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12．求AD的长．21．（5分）为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．22．（5分）已知：如图，▱ABCD，延长边AB到点E，使BE=AB，连接DE、BD 和EC，设DE交BC于点O，∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．23．（5分）当雾霾出现红色预警时，全市中小学就随即展开“停课不停学”的活动，这一活动倍受家长们的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对“停课不停学”的态度（态度分为：A：无所谓；B：赞成；C：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调査中，共调査了名中学生家长；（2）将图①补充完整；（3）请就雾霾期间如何学习的问题说说你的看法．24．（5分）我们定义：关于x的一次函数y=ax+b与y=bx+a叫做一对交换函数，例如y=3x+4与y=4x+3就是一对交换函数（1）写出一次函数y=﹣2x+b的交换函数．（2）当b≠﹣2时，写出（1）中两函数图象的交点的横坐标．（3）如果（1）中两函数图象与y轴围成三角形的面积为3，求b的值．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示．已知此图象经过A（m，n），B（2，2）两点．过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）如果AC=OD，求a、b的值；（2）如果BC∥AE，求BC的长．26．（5分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）如果sinC=，AE的长为2．求⊙O的半径．27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），C（﹣1，1），D（0，﹣3），A，B在x轴上，且P为AB中点，S△CAP=1．（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q=S△APC，求点Q坐标．在此新图象G上，且S△APQ（3）若一个动点M自点N（0，﹣1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．28．（7分）在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°﹣α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．29．（8分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．2016年北京市房山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：下列各题均有四个选项，其中只有一个使符合题意的，请把正确答案的字母在答题卡相应位置涂黑.1．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108【解答】解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107．故选C．2．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，倒数最大的是（）A．b B．d C．a D．c【解答】解：由数轴可得：a=﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d=4，故这四个数中，倒数最大的是c，故选：D．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）小明掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，那么向上一面的点数大于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点数大于4的数为：5，6，∴向上一面的点数大于4的概率==．故选C．5．（3分）如果一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵多边形的外角和为360°，∴边数=360°÷72°=5，故这个正多边形的边数是5．故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．90°C．80°D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠C=40°，∴∠DAB=∠C=40°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°．故选D．7．（3分）国家气象局监测2015年某日24小时PM2.5的值，其中6个时刻的数值如表：则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A ．331；332.5 B ．329；332.5 C ．331；332D ．333；332【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：324，325，329，333，342，342，所以这组数据的中位数是=331，平均数==332.5，故选A ．8．（3分）函数y=kx ﹣k与在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当k ＞0时，一次函数过一三四象限，反比例函数过一三象限，符合选项C ，故选C ．9．（3分）在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的计费方式成为了人们所关心的具有实际意义的问题．下表是两种移动电话的计费方式：若小明的爸爸每月打电话的时间在300分钟，请问选择哪种方式省钱（）A．方式一B．方式二C．两种方式一样D．无法确定【解答】解：方式一费用为：58+0.25×150=95.5元；方式二费用为：88元，则方式二省钱．故选B10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图形知道，当直线x=t在BD的左侧时，如果直线匀速向右运动，左边的图形是三角形；因而面积应是t的二次函数，并且面积增加的速度随t的增大而增大；直线x=t在B点左侧时，S=t2，t在B点右侧时S=﹣（t﹣）2+1，显然D是错误的．故选C．二、填空题（本大题共18分，每小题3分）：11．（3分）分解因式y3﹣2y2+y=y（y﹣1）2．【解答】解：y3﹣2y2+y，=y（y2﹣2y+1），=y（y﹣1）2．故答案为：y（y﹣1）2．12．（3分）如图，公园内有一小湖，为了测量湖边B、C两点间的距离，小明设计如下方案，选取一个合适的A点，分别找到AB、AC的中点D、E，若测得DE 的长为35米，则B、C两点间的距离为70米．【解答】解：∵AD=DB，AE=EC，∴DE=BC，∵DE=35m，∴BC=70m，故答案为70．13．（3分）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．一位家住十渡地区的张老师持卡乘车，上车时站名上对应的数字是6，下车时站名上对应的数字是24，那么，张老师乘车的费用是2元．【解答】解：|24﹣6|=18，∵16＜18＜20，∴对应票价为4元．∵一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，∴张老师乘车的费用=4×0.5=2（元）．故答案为：2．14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的面积为．【解答】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，∴△ABC的面积为：3×3﹣﹣﹣=，故答案为：．15．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：如图1，Rt△ABC，∠C=90°．求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．小芸的作图步骤如下：如图2：（1）作线段FE=CB；（2）过点F作GF⊥FE于点F；（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，交射线FG于点D，连接DE，所以△DEF即为所求作的直角三角形．老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC的依据是斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理．【解答】解：由作法得，FE=CB，DE=AB，GF⊥FE，∴∠DFE=∠ACB=90°，在Rt△ACB和Rt△DFE中，∴Rt△ACB≌Rt△DFE，∴AC=DF，故答案为：斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P5的坐标为（﹣2，0），点P2016的坐标为（0，0）．【解答】解：观察，发现规律：P 0（0，0），P 1（2，0），P 2（﹣2，2），P 3（0，﹣2），P 4（2，2），P 5（﹣2，0），P 6（0，0），P 7（2，0），…，∴P 6n （0，0），P 6n +1（2，0），P 6n +2（﹣2，2），P 6n +3（0，﹣2），P 6n +4（2，2），P 6n +5（﹣2，0）（n 为自然数）． 当n=5时，P 5（﹣2，0）； ∵2016=6×336， ∴P 2016（0，0）．故答案为：（﹣2，0）；（0，0）．三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）： 17．（5分）计算：．【解答】解：原式=9+2+1﹣3=10﹣．18．（5分）已知4a 2﹣a ﹣1=0．求代数式（3a +1）（3a ﹣1）﹣a （a +2）﹣1的值． 【解答】解：（3a +1）（3a ﹣1）﹣a （a +2）﹣1 =9a 2﹣1﹣a 2﹣2a ﹣1 =8a 2﹣2a ﹣2 =2（4a 2﹣a ﹣1）， ∵4a 2﹣a ﹣1=0， ∴原式=0．19．（5分）解不等式x +1＜6（x ﹣2）﹣2，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：x +1＜6x ﹣12﹣2，x﹣6x＜﹣12﹣2﹣1，﹣5x＜﹣15，∴x＞3，这个不等式的解集在数轴上表示为：20．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12．求AD的长．【解答】解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴，∵DE=3，BC=5，AC=12，∴．∴AD=．21．（5分）为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．【解答】解：设第二次捐款人数为x人，则第一次捐款人数为（x﹣50）人，根据题意，得（3分）解这个方程，得x=200（4分）经检验，x=200是所列方程的根（5分）答：该校第二次捐款人数为200人．（6分）22．（5分）已知：如图，▱ABCD，延长边AB到点E，使BE=AB，连接DE、BD 和EC，设DE交BC于点O，∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．23．（5分）当雾霾出现红色预警时，全市中小学就随即展开“停课不停学”的活动，这一活动倍受家长们的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对“停课不停学”的态度（态度分为：A：无所谓；B：赞成；C：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调査中，共调査了200名中学生家长；（2）将图①补充完整；（3）请就雾霾期间如何学习的问题说说你的看法．【解答】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；（2）持反对态度的学生家长有200﹣50﹣120=30人，补全统计图如图：（3）如：饮食清淡，多吃蔬菜，少开门窗，减少出门，口罩要戴．故答案为：（1）200．24．（5分）我们定义：关于x的一次函数y=ax+b与y=bx+a叫做一对交换函数，例如y=3x+4与y=4x+3就是一对交换函数（1）写出一次函数y=﹣2x+b的交换函数y=bx﹣2．（2）当b≠﹣2时，写出（1）中两函数图象的交点的横坐标1．（3）如果（1）中两函数图象与y轴围成三角形的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）一次函数y=﹣2x+b的交换函数为y=bx﹣2．故答案为y=bx﹣2；（2）将y=﹣2x+b代入y=bx﹣2，得﹣2x+b=bx﹣2，整理得，（b+2）x=b+2，∵b≠﹣2，∴b+2≠0，方程两边同时除以b+2，得x=1，故（1）中两函数图象的交点的横坐标为1．故答案为1；（3）设函数y=﹣2x+b与y轴的交点A的坐标为（0，b），函数y=bx﹣2与y轴的交点B的坐标为（0，﹣2）．∵两函数图象与y围成三角形的面积为3，两直线交点到y轴的距离为1，∴AB×1=3，∴AB=6，∴b﹣（﹣2）=6或﹣2﹣b=6，∴b=4或b=﹣8．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示．已知此图象经过A（m，n），B（2，2）两点．过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）如果AC=OD，求a、b的值；（2）如果BC∥AE，求BC的长．【解答】解：（1）如图1，∵点B（2，2）在y=的图象上，∴k=4，，∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为（0，2），OD=2．∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为3，∵点A在的图象上，∴A点的坐标为（，3），∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，∴解得∴a=，b=2，（2）如图2，设A点的坐标为（m，），则C点的坐标为（m，0），∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形，∴CE=BD=2，DE=BC，∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=，在Rt△ACE中，tan∠AEC=，∴，解得m=1，∴C点的坐标为（1，0），∴BC=．26．（5分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）如果sinC=，AE的长为2．求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图1所示：连接OD．∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB．∵AB=AC．∴∠B=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴DF⊥AC．（2）解：连结BE，AD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠AEB=90°∵AB=AC，∴BD=CD．∵DF⊥AC，∴FD∥BE．∴可得点F是CE的中点．设⊙O的半径为r，则AB=AC=2r．则CE=2r+2，∴FC=r+1．∴AF=r﹣1．∵∠ABD=∠C=∠ADF，∴sin∠ABD=sin∠ACB=sin∠ADF=．∴AD=．∵sin∠ADF===∴r=3．27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），C（﹣1，1），D（0，﹣3），A，B在x轴上，且P为AB中点，S△CAP=1．（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q 在此新图象G上，且S=S△APC，求点Q坐标．△APQ（3）若一个动点M自点N（0，﹣1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．【解答】解：（1）∵S=1，C（﹣1，1），△CAP∴•AP•1=1，∴AP=2，∵P为AB中点，P（﹣1，0），∴A（﹣3，0），B（1，0）；设过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=a（x+3）（x﹣1），把D（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=1，∴过A、B、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3；（2）如图1，抛物线y=x2+2x﹣3沿x轴翻折所得的新抛物线关系式为y=﹣x2﹣2x+3，∴图象G的解析式为y=x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），y=﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）∵S=S△APC=1，△APQ∴点Q到x轴的距离为1，∴点Q的纵坐标为1，∴x2+2x﹣3=1或﹣x2﹣2x+3=1，解得x2+2x+3=1得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；解方程﹣x2﹣2x+3=1得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；∴所求Q点的坐标为：（﹣1+，1），（﹣1﹣，1），（﹣1+，1），（﹣1﹣，1）；（3）如图2，∵N（0，﹣1），∴点N关于x轴对称点N′（0，1），∵点D（0，﹣3），∴点D关于对称轴的对称点D′（﹣2，﹣3），连接N′D′交x轴于E，交直线x=﹣1于点F，∵EN=EN′，FD=FD′，∴NE+EF+FD=EN′+EF+FD′=N′D′，∴此时点M运动的总路程最短，设直线N′D′的解析式为y=kx+b，把N′（0，1），D′（﹣2，﹣3）代入得，解得，∴直线N′D′的关系式为y=2x+1，∴E（﹣，0），当x=﹣1时，y=﹣1，∴F（﹣1，﹣1）．28．（7分）在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°﹣α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）BC=AB+DC，理由如下：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图1所示：∵∠ABC=42°，∠ACB=32°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=106°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=∠ABC=21°，在△BDE和△BDA中，，∴△BDE≌△BDA（SAS），∴∠BED=∠A=106°，∴∠CED=180°﹣106°=74°，∵∠BED=∠C+∠CDE，∴∠CDE=∠BED﹣∠C=74°=∠CED，∴CE=CD，∴BC=BE+CE=AB+CD；（2）①BC=AB+AD，思路如下：延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图2所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△BED≌△BCD（SAS），∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°∴∠EDC=360°﹣150°﹣150°=60°，∴△CDE为等边三角形，∵∠ACD=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°∴AC垂直平分DE．∴AD=AE，∴BC=BE=AB+AE=AB+AD；②∠ADB=120°+α．理由如下：同①，延长BA到点E，使BE=BC，连接ED，EC，如图3所示：∵∠ACD=30°，∠ACB=60°﹣α，∴∠BCD=30°﹣α，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=α，∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠BCD=180°﹣α﹣（30°﹣α）=150°，∵BD=BD，∴△BED≌△BCD（SAS），∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，∠BED=∠BCD=30°﹣α，∴∠EDC=360°﹣150°﹣150°=60°，∴△CDE为等边三角形，∵∠ACD=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴AC垂直平分DE．∴AD=AE，∴∠ADE=∠BED=30°﹣α，∴∠ADB=150°﹣（30°﹣α）=120°+α．29．（8分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，“等邻边四边形”A BCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）AB=BC，理由：∵四边形ABCD是凸四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是“等邻边四边形”．（2）①正确；理由为：∵四边形的对角线互相平分且相等，∴四边形ABCD是矩形∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴四边形ABCD是菱形∴对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形，（3）BC2+CD2=2BD2证明：如图，∵AB=AD，∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，，∴△ACF∽△ABD，∴，∵，∴，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴∴BC2+CD2=2BD2．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：F AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.。
北京市西城区2016届高三二模考试数学理试题(全WORD版含官方参考答案及评分标准)
北京市西城区2016年高三二模试卷数 学（理科） 2016.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<<，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 若复数z 满足+i 23i z z ⋅=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（ ） （A ）23（B ）14（C ）34（D ）164. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） （A ）2 （B（C ）3 （D）正（主）视图侧（左）视图俯视图 11 25. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,()(), .C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（ ） （A ）11.5元 （B ）11元 （C ）10.5元 （D ）10元7. 如图，点A，B 在函数2log 2y x =+的图象上，点C 在函数2log y x =的图象上，若ABC D 为等边三角形，且直线//BC y 轴，设点A 的坐标为(,)m n ，则m =（ ） （A ） 2（B ） 3 （C（D8. 设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2Cx y ：-+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ?o ，则a 的取值范围是（ ）（A ）[18,6]- （B ）[6-+ （C ）[16,4]-（D ）[66---+E AFDCB第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在62(x x+的展开式中，常数项等于____.10. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是____.11. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为______.12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y x =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.13. 如图, △ABC 为圆内接三角形，BD 为圆的弦，且//BD AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . 若4AB AC ==，5BD =，则AFFD=_____； AE =_____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2=.f x x x()(1)cosfα的值；（Ⅰ）若α是第二象限角，且sinα=()f x的定义域和值域.（Ⅱ）求函数()16．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=. 设G 为AF 的中点.（Ⅰ）求证：DG EF ⊥；（Ⅱ）求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,P Q 分别为线段,DG CF 上一点，且//PQ 平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值.18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线与直线32y x =-平行，求a 的值； （Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围.ECF E GA BD C ⇒20．（本小题满分13分）已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中01a =，12,,,{0,1}k a a a ∈ ，k ∈N ．对于n *∈N ，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a 中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =．如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =．（Ⅰ）写出数列{}n b 的前8项；（Ⅱ）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（Ⅲ）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值．（结论不要求证明）北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．160 10．7311．527 12 22184x y -=13．456 14．10 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 α是第二象限角，且sin α=，所以cos α= ………………2分所以sin tan cos ααα== ………………4分所以2()(1f α==. ………………6分 （Ⅱ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ………………8分化简，得2()(1)cos f x x x =2(1)c o s x =2c o s s i n c o s x x x =1c o s 23i n 22x x +=………………10分 π1sin(2)62x =++， ………………12分 因为x ∈R ，且ππ2x k ≠+，k ∈Z ， 所以π7π22π66x k +≠+， 所以1π1sin(2)6x -+≤≤.所以函数()f x 的值域为13[,]22-. ………………13分（注：或许有人会认为“因为ππ2x k ≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为π()06f -=.）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分 （Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分 （Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402⨯⨯=人. 故X 的可能取值为1，2，3. ………………9分则 123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 所以X 的分布列为：……………… 12分 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点， 所以EF FD ⊥，EF FA ⊥， 又因为FD FA F = ，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以DG EF ⊥. ………………4分 （Ⅱ）解：因为60DFA ∠= ，DF FA =，AG GF =， 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥. 又因为DG EF ⊥，EF FA F = ，所以DG ⊥平面ABEF . (5)分 设BE 的中点为H ，连接GH ，则,,GA GH GD 两两垂直，故以,,GA GH GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，(1,4,0)B ，(0,C ，(1,0,0)F -，所以(1,0,0)GA =,(1BC =- ，(2,4,0)BF =--. ………………6分 设平面BCF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BC ⋅= m ，0BF ⋅= m，得0,240,x x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令2z =，得2)=m . (7)设直线GA 与平面BCF 所成角为α，则||sin |cos ,|19||||GA GA GA α⋅=<>==m m m . 即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为19. ………………9分（Ⅲ）由题意，可设(0,0,)(0P k k ≤，(01)FQ FC λλ=≤≤， 由(1,FC = ，得(,4)FQ λλ=，所以(1,4)Q λλ-，(1,4)PQ k λλ--=. ………………10分 由（Ⅱ），得GD =为平面ABEF 的法向量. 因为//PQ 平面ABEF ，所以0GD PQ ⋅=0k -=. ………………11分所以||PQ ==………………12分 又因为221172117()171716λλλ-+=-+，所以当117λ=时，min ||17PQ =.所以当117λ=，17k =PQ 17. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且， ………………1分由题意，(0)f '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 由题意，得243(0)3a f a'==，解得1a =±.验证知1a =±符合题意. ………………5分 （Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………7分 ② 当0a >时， 令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………8分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 的单调递减区间为(,)a -∞-，(3,)a +∞，单调递增区间为(,3)a a -．………………9分因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以只要考虑1(,)x a ∈-∞，且1x a ≠-即可． 当1(,)x a ∈-∞-时，由()f x 在(,)a -∞-上单调递减，且1111||2x x x a a <++<-， 得1111()(||)2f x f x x a >++， 所以存在2111||2x x x a =++，使得21()()f x f x <，符合题意； 同理，当1(,)x a a ∈-时，令2111||2x x x a =-+， 得21()()f x f x <，也符合题意；故当0a >时，对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <成立．………11分 ③ 当0a <时，随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x a f x x a -=>+，当x a <时，()0f x <， 所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为[0,)a ∈+∞. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得：4,a b c ⎧⎪⎨⎪⎩== ………………2分 又因为222c b a +=解得a =1b =，1c =， ………………4分所以椭圆C 的方程为1222=+y x . ………………5分 （Ⅱ）解：（方法一）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为0=x ，此时E ，F 为椭圆的上下顶点，且2=EF ，因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >，所以10<<m .故点B 在椭圆内. ………………6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分因为点B 在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 有两个公共点，即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .设),(),,(2211y x F y x E ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+. ………………9分 设EF 的中点),(00y x G ，则12222210+-=+=k km x x x ，12200+=+=k m m kx y ， 所以)12,122(22++-k m k km G . ………………10分 所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m ， 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k . ………………11分 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以2EFDG <对于k ∈R 恒成立.所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简，得1323722422242++<++k k m k m k m ，整理，得31222++<k k m ， ………………13分 而2221221()113333k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）. 所以312<m ， 由0>m ，得330<<m . 综上，m 的取值范围是330<<m . ………………14分（方法二）… … 则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+. …………………9分 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以0DE DF ⋅<. ………………11分因为11(,)DE x y m =+ ，22(,)DF x y m =+ ，所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m km k km m k k --=+++<++， 整理，得31222++<k k m . ………………13分 （以下与方法一相同，略）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1，1，0，1，0，0，1，1. ………………3分 （Ⅱ）证明：设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =．由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，则01,,,k a a a 中有奇数个1． （1）当01,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++++ ，所以111011202020202k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，111021202020212k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ．所以1m b =，11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1． ………………5分（2）当01,,,k a a a 中有0时，① 若0k a =，即11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅++⋅+⨯ ，则110011122212k k k m a a a --+=⋅+⋅++⋅+⨯ ，因为01,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续1项为1． ………………7分 ② 若1k a =，即111001 122202121212ik k s s s m a a --=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以， 则111001 0212212020202ik k s s s m a a --+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，111001(1)0222212020212i k k s s s m a a ---+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，（其中i ∈N ）如果s 为奇数，那么11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1．如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项1m b =．综上所述，连续为1的项不超过2项． ………………10分 （Ⅲ）解：2051n =或2052n =. ………………13分。
【高3】2016年北京市房山区高考一模数学(理科)答案
房山区2016年高考一模考试 数学（理）答案及评分标准201603一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分） 9. 12y x =± 10. 1- 11. 212. 144 13.1,42 14. 132-三、解答题：本大题共6小题,共80分． 15（共13分） 解： ()11cos 21sin 2222x f x x -=+-11sin 2cos 222x x =-………4分)4x π=-………………6分（Ⅰ）22T ππ==， ()f x………………10分（Ⅱ）因为()sin(2)242f παα=-=所以 sin(2)14πα-= ………………11分因为(0,)2πα∈，所以32(,)444πππα-∈-所以242ππα-= 解得 38πα= ………………13分16（共13分）解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫1－16×⎝⎛⎭⎫1－110＝14 ………………3分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为-240，-120,0,120 ………………4分311(240)()464P X =-==223139(120)()4464P X C =-==1231327(0)()4464P X C === 3327(120)()464P X ===………………………………8分所以X 的分布列为………………………………10分19272724012001203064646464EX =-????………………………………13分17（共14分）解:（Ⅰ）取AC 中点O ，连结,PO OMPAC ∆为等腰直角三角形，且PA PC ⊥PO AC ∴⊥ ………………1分又 在ABC ∆中, CA CB ^,M 为AB 的中点.//OM CB ∴OM AC ∴⊥………………2分 =PO OM O ⋂ PO OM POM ⊂，平面AC POM ∴⊥平面……………3分 PM POM ⊂ 平面AC PM ∴⊥ ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ） PO AC ⊥,OM AC ⊥∵平面PAC ^平面ABC 平面PAC Ç平面ABC=ACPO AC ⊥ PO PAC ⊂平面 PO ∴⊥平面ABCPO OM ∴⊥,,PO AC OM ∴两两垂直,以O 为原点,建立空间直角坐标系如图: …5分(001)P ，，,-1,0,0C （）,10,0A （，）,-1,4,0B （） 10,1PA ∴=- （，）,,0AB = （-2，4）设平面PAB 法向量1(,,)n x y z =,{1100PA n AB n ⋅=⋅=∴{0240x z x y -=-+=∴1(2,1,2)n ∴=………………7分,1PC =- （-1，0） ………………8分111cos ,||||PC n PC n PC n⋅∴<>=………………9分 ∴PC 与平面PAB（Ⅲ）在线段PB 上存在点N ,使得平面CNM ^平面PAB ，PN PB =19…10 证明如下：设PNPB=,λλ∈（0，1） 由（Ⅱ）知平面PAB 法向量1(2,1,2)n =(0,2,0)M ,2,0CM ∴=（1）CN CP PN CP PB λ=++==,4,1λλλ-（1-）设平面CNM 法向量2(,,)n x y z =,{2200CM n CN n ⋅=⋅=∴{20(1)4(1)0x y x y z λλλ+=-++-=∴262(2,1,)1n λλ-∴=--………………12分平面CNM ^平面PAB 120n n⋅=即62412()01λλ--++=- 解得19λ=………………14分∴在线段PB 上存在点N ,当PN PB =19时,平面CNM ^平面PAB .18（共13分）解：（I ）当2a =-时，2()ln 23,f x x x x =-+21431(41)(1)()43(0)x x x x f x x x x x x-+++-+'=-+==> (2)令()0f x '= 得1x =（14x =-舍） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以当1x =时，()f x 取得极大值(1)1f =………………4分(II) 22(21)1(21)(1)()(0)ax a x ax x f x x x x-++--'==> (5)①当 0a =时，(1)()x f x x--'=在(0,1)上()0f x '>，在(1,e)上()0f x '<所以 ()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减 所以()f x 在区间(1,e)上的最大值为(1)f ， 而(1)10f =-<所以 函数()f x 在(1,e)上没有零点，0a =不符合 ………………6分当 0a ¹时 令()0f x '=,得1211,2x x a==②当102a<时，即0a <时， 在(0,1)上()0f x '>，在(1,e)上()0f x '<所以 ()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减 所以()f x 在区间(1,e)上的最大值为(1)1f a =--， 因为 0a < 所以 01a e <<2222()ln ()(21)2(21)(1)0a a a a a a aaaaaaf e e a e a e a ae ae e a e e e a e e =+-+=+--=-+-=--<22()ln (21)12(2)10f e e ae a e ae ae eae e e =+-+=+--=--+<所以 要使函数()f x 在(1,e)上仅有一个零点，只需(1)10f a =--= 解得 1a =-（满足0a <） ………………………………9分 ③当11e 2a <<时,即1122a e <<时 在(0,1)上()0f x '>，在1(1,)2a 上()0f x '<，在1(,e)2a上()0f x '> 所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 而(1)10f a =--<所以 要使函数()f x 在(0,e)上仅有一个零点，只需()0f e >即 2(e)ln e+e (21)e 0f a a =-+>，解得2e 11()e 2e 2a ->>- 与12a <矛盾 ………………………………11分 ④当1 e 2a ≥时，即102a e<≤时 在(0,1)上()0f x '>，在(1,e)上()0f x '<所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以()f x 在区间(0,e)上的最大值为(1)f ，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，所以函数无零点 ………………13分 综上所述， 1a =-.19（共14分） 解：（Ⅰ）由已知24,2c a a ==及222a b c =+…………3分得2,1,a b c ==所以椭圆的标准方程为：2214x y +=………………4分 (Ⅱ)由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=因为直线:l y kx m =+与椭圆C 相切于点P所以22222(8)4(41)(44)410km k m k m ∆=-+-=-+=即2241m k =+ ………………6分解得224,4141km mx y k k -==++， 即P 的坐标为224(,)4141km mk k -++………………8分因为点P 在第二象限，所以0,0k m >>，所以m 所以P的坐标为………………9分（Ⅲ）因为直线1l 与l 垂直于点Q所以PQ 是点P 到直线1l 的距离，设直线1l 的方程为1y x k =-则PQ ==………………11分313=≤= ………13分当且仅当2214k k =，k =时，PQ 有最大值1………………14分20（共13分）解（Ⅰ）因为13+与31-均不属于集合M ，所以数集{}0,1,3不具有性质P .………………2分 因为02,03,05,23,52,53,00,22,33,55++++------均属于集合M ， 所以数集{}0,2,3,5是具有性质P .………………4分（Ⅱ）因为对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于M ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个是数列{}n a 中的项， 因为数列{}n a 是递增有限数列，且10a ≥ 所以n n n a a a +>，故n n a a A +∉. 从而0n n a a A =-∈， 所以10a =.因为120n a a a =<<< ，所以k n n a a a +>，故()2,3,,k n a a A k n +∉= . 所以()()1,2,3,,n k a a A k n -∈= .又因为121n n n n n n a a a a a a a a --<-<<-<- ，所以1122110,,,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---==-=-=-= ， 即1212()n n n na a a a a -=+++ . 所以1212()n n n a a a a a n -=++++………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有542533,a a a a a a -=-=， 即52432a a a a =+=，因为1250a a a =<<< ，所以34245a a a a a +>+=， 所以34()a a A +∉，所以43()a a A -∈. 由2432a a a +=，得3243()a a a a A -=-∈， 且3230a a a <-<，所以322a a a -=， 即544332212a a a a a a a a a -=-=-=-=所以12345,,,,a a a a a 是首相为0，公差为2a 的等差数列..………………………………13分。
2016年北京高三二模解析大题理科
2016年北京高三二模解析大题（理科）1 ．（2016年北京市海淀区高三二模理）已知点1122(,),(,)(A x y D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点,,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ,且||2BC =.(Ⅰ)当点B 的坐标为(1,0)时,求直线AD 的斜率;(Ⅱ)记OAD ∆的面积为1S ,梯形ABCD 的面积为2S ,求证:1214S S <.2 ．（2016年北京市西城区高三二模理）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为24. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设过点)0)(,0(>m m B 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,点B 关于原点的对称点为D ,若点D 总在以线段EF 为直径的圆内,求m 的取值范围.3 ．（2016年北京市东城区高三二模理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点(2,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点,P ,0)p （是X 轴上的定点,求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标. 4 ．（2016年北京市朝阳区高三二模理）在平面直角坐标系O x y 中,点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上,过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点,试求OAB ∆面积的最小值;(Ⅲ)设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ,2F ,点Q 与点1F 关于直线l 对称,求证:点2,,Q P F三点共线.5 ．（2016年北京市丰台区高三二模理）已知椭圆C :22143x y +=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若椭圆C 与直线y x m =+交于N M ,两点,且=||MN ,求m 的值; (Ⅲ)若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上,且点A 在第一象限,点P 在第二象限,点B 与点A 关于原点对称,求证:当22124x x +=时,三角形PAB ∆的面积为定值.6 ．（2016年北京市房山区高三二模理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,1),且长轴长. 过椭圆左焦点F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线AB 垂直于x 轴,判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)若点O 在以线段AB 为直径的圆内,求直线AB 的斜率k 的取值范围.7 ．（2016年北京市昌平区高三二模理）已知椭圆M :()222210x y a b a b+=>>的焦距为2,点(0,D在椭圆M上,过原点O作直线交椭圆M于A、B两点,且点A不是椭圆M的顶点,过点A作x 轴的垂线,垂足为H,点C是线段AH的中点,直线BC交椭圆M于点P,连接AP.(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;(Ⅱ)求证:AB AP.答案1. 略2. 1222=+y x(Ⅱ)解:(方法一)当直线l 的斜率不存在时,由题意知l 的方程为0=x , 此时E ,F 为椭圆的上下顶点,且2=EF , 因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内,且0m >,所以10<<m . 故点B 在椭圆内 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=, 因为点B 在椭圆内, 所以直线l 与椭圆C 有两个公共点,即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .设),(),,(2211y x F y x E ,则122421km x x k -+=+,21222221m x x k -=+设EF 的中点),(00y x G ,则12222210+-=+=k kmx x x ,12200+=+=k m m kx y , 所以)12,122(22++-k m k km G所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m , 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立. 所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简,得1323722422242++<++k k m k m k m , 整理,得31222++<k k m , 而2221221()113333k g k k k +==--=++≥(当且仅当0=k 时等号成立).所以312<m , 由0>m ,得330<<m . 综上,m 的取值范围是330<<m (方法二)则122421kmx x k -+=+,21222221m x x k -=+ 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内, 所以0DE DF ⋅<因为11(,)DE x y m =+ ,22(,)DF x y m =+ , 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m km k km m k k --=+++<++,整理,得31222++<k k m (以下与方法一相同,略)3. 解:(Ⅰ)椭圆的的标准方程为12422=+y x(Ⅱ)222)(y p x MP +-=.因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点,所以12422=+y x , 故 22)41(2222x x y -=-=.所以 222222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点, 所以 2≤x .(1) 若22≤p 即1≤p ,则当2x p =时MP 取最小值22p -, 此时M (2,p .(2)若1p >,则当2x =时,MP 取最小值2-p ,此时M )0,2(. (3)若1p <-,则当2x =-时,MP 取最小值2+p ,此时M )0,2(- 4. 解:(Ⅰ)e == (Ⅱ)因为直线l 与x 轴,y 轴分别相交于,A B 两点,所以000,0x y ≠≠.令0y =,由0012x x y y +=得02x x =,则02(,0)A x .令0x =,由0012x x y y +=得01y y =,则01(0,)B y .所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上,所以220012x y +=.所以220012x y =+≥.即002x y ≤,则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥当且仅当22002x y =,即001,x y =±=时,OAB ∆(Ⅲ)①当00x =时,(0,1)P ±.当直线:1l y =时,易得(1,2)Q -,此时21F P k =-,21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =,所以三点2,,Q P F 共线. 同理,当直线:1l y =-时,三点2,,Q P F 共线. ②当00x ≠时,设点(,)Q m n ,因为点Q 与点1F 关于直线l 对称,所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++. 又因为200(1,)F P x y =- ,220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++ , 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++. 所以2//F P 2F Q.所以点2,,Q P F 三点共线.5. 解:(Ⅰ)因为2,a b ==所以1c =,离心率12e =(Ⅱ)22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 的并化简得22784120x mx m ++-= 2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->,设1122(,),(,)M x y N x y ,则||7MN ==,解得2m =±,且满足0∆>(Ⅲ)直线AB 的方程为11y y x x =,即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB的距离d =,||AB =21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,2222112233(4),(4)44y x y x =-=-,12y y ==所以21212112||||||y x x y y x y x -=+21||)x x =2221)x x =+,=所以当22124x x +=时,三角形△PAB的面积为定值(Ⅲ)方法二:设直线AB 的方程为y kx =,即0kx y -=. 220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩,解得2121234x k =+. 1||2|AB x ==点22(,)P x y )到直线AB的距离d =11221|||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-,因为12120,0,0,0x x y y ><>>,则0k >.所以1x =,2x ==21y x ===22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==. 所以三角形△PAB 的面积为定值6. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为:2212x y +=(Ⅱ)由(Ⅰ)得(1,0)F -, 当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 的方程是1x =- 由22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得y =所以2AB y ==,又1OF c == 因为2AB OF < 所以点O 在以线段AB 为直径的圆外方法二:点,A B的坐标为((1,22---11cos ((1,1022OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-⋅-=-=>所以 cos 0AOB ∠>,即AOB ∠为锐角.所以点O 在以线段AB 为直径的圆外 (Ⅲ)设直线AB 的方程为(1)y k x =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +++-= 所以22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++ 方法一:因为点O 在以线段AB 为直径的圆内, 所以AOB ∠为钝角,所以0OA OB⋅<121212122221212224222(1)(1)(1)()2(1)(1)402121OA OB x x y y x x k x k x k x x k x x k k k k k k k⋅=+=+++=++++-+-=++<++ 整理得 22k <所以k <<方法二:线段AB 的中点00(,)M x y ,则212022221x x k x k +==-+,20222(1)2121k k y k k k =-+=++AB ==22121k k +==+OM == 因为点O 在以线段AB 为直径的圆内,所以2AB OM >所以224AB OM>所以22228(1)(21)k k ++42224(4)(21)k k k +>+ 422320k k --< 202k ≤<所以k <<7. 解:(I)所以椭圆M 的方程为22143x y +=,椭圆M 的离心率为12(II)设0011(,),(,)A x y P x y ,则0000(,),(,).2yB x yC x --由点,A P 在椭圆上,所以2200143x y +=① 2211143x y += ②点A 不是椭圆M 的顶点,②-①得 2210221034y y x x -=-- . 法一:又01001000332,,24PB BC y y y y k k x x x x +===+且点,,B C P 三点共线,所以10010034y y y x x x +=+, 即 0100104().3()y y y x x x +=+所以,22010101010220101010104()4()43()1,3()3()34AB PA y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+--即 AB AP ⊥法二: 由已知AB 与AP 的斜率都存在,2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 221022103()344x x x x --==--又003,4PB BC yk k x ==得00,PA x k y =-则0000()1AB PA y xk k x y -==- , 即 AB AP ⊥。
北京市房山区高三二次模拟考试理科数学Word版含答案
房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （理科）本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A.p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B.tan y x =C. 3y x =D.2log y x =3.如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的 延长线交于点E .若110BCD ︒∠=，则DBE ∠= A. 75︒ B.70︒ C. 60︒ D.55︒4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A.4B.5C.D.5.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C. D.1726.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = A. 12n -B. 21n -C.13n -D.1(31)2n -7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C.18+D.98.定义运算a b ⎡⎢⎣c d ⎤⎥⎦x ax cy y bx dy +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，称x a y b'⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线 y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是A.1,2,3,3k m p q ==-==B.1,3,3,2k m p q ====-C.2,3,3,1k m p q =-===D.2,1,3,3k m p q =-===二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为.10.直线l 的参数方程为1312x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为.11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B =. 12.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于，该展开式中的常数项为. 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于.14.在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为 比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列；②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；俯视图侧（左）视图③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图,ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ， DE AF //，3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置， 使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.17.（本小题满分13分）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34,45． （Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的规范，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．FEDCB A18.（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x x a e =+-（0a >）. （Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当5x =-时，()f x 取得极值.①若5m ≥-，求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；②求证：对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12|()()|2f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点A ．直线2y x m =+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．20.（本小题满分13分）设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． （Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A2C 3B 4D 5B 6C7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(1,2) 10.23-11. 412.6,1513.22,4y x = 14. ①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分） （Ⅰ）由最小正周期为π可知22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=，………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x = …………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.…………………………………………………13分16（本小题满分14分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………1分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以)1,3,0(-=，)2,0,3(-=， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则0BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ，令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………8分 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，所以147,cos ==><CA n ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为147. …………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD上一个动点，设(,,0)(0M t t t ≤≤.则(3,,0)AM t t =-， 因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， ……………11分 即0)3(2=+-t t ，解得2=t . ……………13分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=， 343(=2)=455P X ⨯=． ………………………………8分173310122020520EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y ，则1(3,)2YB ，所以13322EY =⨯=．………………12分 因为EX EY >，所以选择路线1上学最好．………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x xa a af x x x a e x e x x a e a a=+-++=++…………1分当1=a 时，'()(3)xf x x x e =+解()0f x '>得0x >或3x <-,解()0f x '<得30x -<<……………2分 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞，单调减区间为(3,0)-………3分（Ⅱ）①当5x =-时，()f x 取得极值， 所以1'(5)(5)(512)0xa f a e a-=--++=解得2a =（经检验2a =符合题意） ……………4分()1'()52x f x x x e =+所以函数()f x 在(),5-∞-，()0+∞递增，在()5,0-递减. ……5分当51m -≤≤-时，()f x 在[],1m m +单调递减，12min ()(1)(3)m f x f m m m e+=+=+………………6分当10m -<<时01m m <<+()f x 在[],0m 单调递减，在[]0,1m +单调递增，min ()(0)2f x f ==-. ………………7分当0m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，2min ()()(2)(1)m f x f m m m e ==+-……………………8分综上，()f x 在[],1m m +上的最小值12min 2(3),51,()2,10,(2)(1),0.m mm m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩……………………9分②令'()0f x = 得0,5x x ==-（舍） 因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,()2f x f x ==-……………11分所以，对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-=……………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ） a c e ==22， 22211a b+=，222c b a += ∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=． ------------------------------------------3分 （Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)D x y ，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-= ∴282m 0∆=->22m ⇒-<<12,x x +=① 2122x x m =-②----------------------5分12BD x =-=--------------------8分 设d 为点A 到直线BD：=+2y x m 的距离， ∴d =分∴12ABD S BD d ∆==≤分当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =时，ABD ∆----------------14分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c 有6个，3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列{}n c 的创新数列为等比数列． 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个，所以m e m =．若}{n e 为等比数列， 设公比为q ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以1≥q ．……………7分 当1=q 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, 当1>q 时，}{n e 为增数列，符合条件的数列只能是m ,,2,1 ， 又m ,,2,1 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………8分（Ⅲ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列，设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个， 所以m e m =．若}{n e 为等差数列，设公差为d ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以0≥d ．且*N d ∈当0=d 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, （或写通项公式),,2,1(m n m e n ==），此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个数列；………………………………………11分当1=d 时，符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ，此时数列{}n c 是m ,,2,1 ， 有1个；当2≥d 时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾，所以此时}{n e 不存在.综上满足条件的数列{}n c 的个数为111m m A --+个（或回答1)!1(+-m 个）．……………………………………………13分。
北京2016各区模拟高三理科数学一模、二模分类之压轴题部分
{西城}16年高三一模 理科 数学20．设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1mi ii a b=-∑.（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离 （Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.{顺义}16年高三一模 理科 数学20.在数列中，，，其中，．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； （Ⅲ）当时，证明：存在，使得．{海淀}16年高三一模 理科 数学20．（本小题满分13 分）给定正整数n (n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下 列条件：① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为S A ， S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ； 则称集合 U n 为可分集合．（Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合； （Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）{东城}16年高三一模 理科 数学20．（本小题共13 分）数列{}n a 中， 给定正整数m （m ＞1），V （m ）＝111||m i i i aa -+=-∑．定义：数列{}n a 满足1i i a a +≤（i ＝1，2，…，m －1），称数列{}n a 的前m 项单调不增． （1）若数列{}n a 的通项公式为(1),(*)n n a n N =-∈，求V （5）．（2）若数列{}n a 满足：1,,(1,*,)m a a a b m m N a b ==>∈>，求证：V （m ）＝a －b 的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增．（3）给定正整数m （m ＞1），若数列{}n a 满足：0n a ≥，（n ＝1，2，…，m ），且数列{}n a 的前m 项和为m 2，求V （m ）的最大值与最小值．（写出答案即可）{朝阳}16年高三一模 理科 数学20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.{80零模}16年高三一模 理科 数学20．(本小题满分13分)对于任意的*n ∈N ，记集合{1,2,3,,n E n =⋅⋅⋅，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω．如当2n =时，2{1,2}E =，2{1,P =．122,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*k ∈N ，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω． （Ⅰ） 写出集合35,P P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅ ，使15E A B = ． （Ⅲ）若存在,A B 具有性质Ω，且A B =∅ ，使n P A B = ，求n 的最大值．。
2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =（ ） （A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1AB =-，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （4）【2016年北京，理4，5分】设a ，b 是向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b ，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =”与“a b a b +=-”表示的几何意义，是解答 的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故 选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） （A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）32t =，s 的最小值为6π（C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题． 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学文试题 Word版含答案
房山区2016年高三二模数 学（文科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|21}A x x =-≤≤，B ={}0x x <，则A B = （A ）(,0)-∞（B ）(,1]-∞（C ）[2,0)-（D ）(1,)+∞（2）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =（B ）ln y x =（C ）sin y x =（D ）2xy =（3）在△ABC 中，“3A π＝”是“1cos 2A =” 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）23 （5）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（6）已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且1()2AO AB AC =+ ，则AB 与AC的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（7）直线3y kx =+被圆22(2)(3)4x y -+-=截得的弦长为k =（A ）（B（C（D（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价. 其电价标准如下表：用电量为 （A ）350千瓦时（B ）300千瓦时（C ）250千瓦时（D ）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若(2i)i i a b -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=___.（10）为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有___只这种动物.（11）33,0,()1log ,0.x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩ 则 ((1))f f -等于___.（12）某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为___ .（13）抛物线24x y =的焦点F 的坐标为___，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为4，则线段AB 的长度为___.正（主）视图俯视图（14）观察下面的数表2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2224 26 28 30……该表中第6行最后一个数是___；设2016是该表的m 行第n 个数，则m n +=___.三、解答题共6小题，共80分。
2016年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅱ，理1，5分】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 取值范围是（ ） （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， 【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ． （2）【2016年全国Ⅱ，理2，5分】已知集合{}1,23A =,，{}|(1)(2)0B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = （ ）（A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123，，， （D ）{}10123-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，{}0123A B = ，，，，所以选C ．（3）【2016年全国Ⅱ，理3，5分】已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =（ ）（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）【2016年全国Ⅱ，理4，5分】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a =（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．（5）【2016年全国Ⅱ，理5，5分】如图，小明从街道的E 处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． （6）【2016年全国Ⅱ，理6，5分】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）【2016年全国Ⅱ，理7，5分】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212k x k =-∈Z （D ）()ππ212k x k =+∈Z【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（8）【2016年全国Ⅱ，理8，5分】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（9）【2016年全国Ⅱ，理9，5分】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ） 15- （D ）725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）【2016年全国Ⅱ，理10，5分】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m（C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的 阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）【2016年全国Ⅱ，理11，5分】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 3sin sin 13F F M e MF MF F F ====---，故选A ． （12）【2016年全国Ⅱ，理12，5分】已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点 '0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2016年全国Ⅱ，理13，5分】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______．【答案】2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． （14）【2016年全国Ⅱ，理14，5分】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】． （15）【2016年全国Ⅱ，理15，5分】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______． 【答案】()1,3【解析】由题意得：丙不拿()2,3，若丙()1,2，则乙()2,3，甲()1,3满足，若丙()1,3，则乙()2,3，甲()1,2不满足，故甲()1,3． （16）【2016年全国Ⅱ，理16，5分】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = _______．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为： ()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2016年全国Ⅱ，理17，12分】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．（2）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2016年全国Ⅱ，理18，12分】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保（1（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 解：（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=． （2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （30.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）【2016年全国Ⅱ，理19，12分】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置OD '=（1）证明：DH'⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．解：（1）∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （2）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，， ()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩， 取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r ，，， ∴1212cos n n n nθ⋅===u r u u r u r u u r sin θ=． （20）【2016年全国Ⅱ，理20，12分】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为(0)k k > 的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （1）当4t =，AM AN =时，求AMN ∆的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．解：（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k k k =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （2）直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =x =AM ==所以3AN k k =+，因为2AM AN =，所以23k k=+，整理得， 23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（21）【2016年全国Ⅱ，理21，12分】（1）讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a的值域．解：（1）()2e 2x x f x x -=+，()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>， ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>． （2）()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x xx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭= [)01a ∈， 由（1）知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+， ∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2016年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在正方形ABCD ，E ，G分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． （1）证明：B C G F ，，，四点共圆；（2）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．解：（1）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，DF CFDG BC=， ∵DE DG =，CD BC =，∴DF CFDG BC=，∴GDF BCF △∽△，∴CFB DFG ∠=∠， ∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（2）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）【2016年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =l 的斜率．解：（1）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：22369014k k =+，整理得253k =，则k = （24）【2016年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．解：（1）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．。
2016年北京房山区 高考第二次模拟测试试卷-理科综合-含答案
房山区 2016年高考第二次模拟测试试卷A ．DNA 分子的嘌呤数目大于嘧啶 C ．番茄种子的基因突变频率提高B ．DNA 序列中C —G 转换成 T —AD ．体细胞染色体数目保持不变理科综合5．有关生物学实验或调查的叙述，不正确的是A ．用血细胞计数板在显微镜下可以对酵母菌进行计数B ．果酒制作需要定期排气，果醋制作需要通入无菌空气C ．调查血友病的遗传方式，可在学校内对同学进行随机抽样调查D ．用苏丹Ⅲ染液处理含脂肪较多的细胞，显微镜下可见橘黄色的脂肪颗粒6．我国古代文献资料中记载了大量的化学研究过程与成果。
下列选项不．．．涉及化学变化 的是 本试卷共 16页，共 300分。
考试时长 150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cl- 35.5 Cu- 64第一部分（选择题共 120分）本卷共 20小题，每小题 6分，共计 120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最 符合题目要求的一项。
密 封 线 内 不 能 答 题选项A ．B ．C ．D ．欲去杂还纯，再入 水煎炼，倾入盆 中，经宿成白雪 重结晶方法提纯物质1．有关生物膜结构和功能的叙述，正确的是 A ．膜载体蛋白的合成不需要 ATP 以曾青涂铁，铁丹砂烧之成水银， 原文水火既济而土和赤色如铜 金属的置换积变又还成丹砂 B ．葡萄糖跨膜运输不需要载体蛋白 C ．线粒体外膜与内膜的主要功能不同 D ．变形虫和草履虫的细胞膜基本组成成分不同2．野外旅游迷路的人，长时间不吃饭、不喝水、不休息，其体内激素含量变化正确的是 物质间转化的可逆性解释粘土烧结成陶瓷 7．下列说法正确的是A ．甲状腺激素增多，胰高血糖素减少 C ．促甲状腺激素和抗利尿激素均减少B ．胰高血糖素和抗利尿激素均增多 D ．胰岛素和抗利尿激素均减少A ．苯酚、甲醛通过加聚反应可制得酚醛树脂B ．75%的酒精可使蛋白质变性从而起到消毒作用C ．纤维素在人体内可水解成葡萄糖，供人体组织的营养需要 3．2014年诺贝尔生理学或医学奖授予三位发现大脑“内置 GPS ”的科学家，大脑定位 系统的一关键组成部分是“网格细胞”，这种神经细胞的兴奋能形成坐标系，可以精确 定位和寻找路径。
北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学理试题 Wo
房山区2016年高三二模数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4,5},{0,2,4},M N P M N ===，则P 的子集共有（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个（2）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）23 （3）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（4）在61()2x x-的展开式中，4x 的系数为 （A ）3- （B ）12- （C ）3（D ）6（5）设函数2()sin f x a x x =+，若(1)2f = ，则(1)f -= （A ）2 （B ）-2 （C ）1（D ）0（6）多面体MN ABCD -的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为（A（B（C（D）（7）已知等差数列{}n a 满足*n a N ∈，且前10项和10290S =，则9a 的最大值为 （A ）29 （B ）49（C ）50（D ）58（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的 用电量为 （A ）350千瓦时 （B ）300千瓦时（C ）250千瓦时（D ）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）定积分121x dx -⎰的值为___.（10）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是圆O 的直径，PC 交圆O 于点圆B ，∠30PAB =°，则圆O 的半径为___.（11）已知:,:13p x m q x <≤≤，若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是___.（12）抛物线28y x =的准线l 的方程为____，若直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为___. （13）直线y kx =与函数tan ()22y x x ππ=-<<的图象交于,M N (不与坐标原点O 重合) 两点，点A 的坐标为(,0)2π-，则()AM AN AO +⋅=___.（14根，则实数k 的取值范围是___；②若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是___.三、解答题共6小题，共80分。
北京房山区2016年高三数学二模理科试题
北京房山区2016年高三数学二模理科试题房山区2016年高三二模数学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则的子集共有（A）个（B）个（C）个（D）个（2）若满足则的最大值为（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（A）3（B）4（C）5（D）6（4）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（5）设函数，若，则（A）2（B）-2（C）1（D）0（6）多面体的底面为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则的长为（A）（B）（C）（D）（7）已知等差数列满足，且前项和，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价.其标准如下表：用户类别分档电量（千瓦时/户.月）电价标准（元/千瓦时）试行阶梯电价的用户一档1-240（含）0.4883二档241-400（含）0.5383三档400以上0.7883北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（A）千瓦时（B）千瓦时（C）千瓦时（D）千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）定积分的值为已知是圆的切线，切点为，，是圆的直径，交圆于点圆，∠°，则圆的半径为已知，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是抛物线的准线的方程为____，若直线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为直线与函数的图象交于(不与坐标原点重合)两点，点的坐标为，则已知函数①若，且关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是___；②若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是___.三、解答题共6小题，共80分。
北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学文试题Word版含答案
房山区 2015 年高三二模数学（文科）本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
（1）若会合A { x |2x 1} ， B x x0 ，则 A B（A）( ,0)（B）( ,1]（C）[2,0)（D）(1, )（2）以下函数中，既是奇函数又在区间(0,) 上单一递加的是（A） y x3（B） y ln x（C） y sin x（ D）y2x（3）在△ ABC 中，“A＝1” 的”是“ cos A =32（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件x y0,（4）若x, y知足x y1, 则 z = x + 2 y 的最大值为y0.（A）0（B）1（C）2（ D）2（5）履行以下图的程序框图，若输入A的值为2，则输出的 n 值为（A） 3（B）4（C）5（D） 6（6）已知△ ABC 外接圆的圆心为O ，且 AO1(AB AC) ，则 AB 与 AC 的夹角为2（A ）（ B ）（ C ） 3 （ D ）642（7）直线 ykx 3 被圆 ( x 2)2( y 3)2 4截得的弦长为 2 3 ，则 k =（A ） ±3 （ B ）±3 （ C ）3 （D ） 333（ 8）为促使资源节俭型和环境友善型社会建设，指引居民合理用电、节俭用电，北京居民生活用电试行阶梯电价 . 其电价标准以下表：分档电量电价标准用户类型（千瓦时 / 户. 月） （元 / 千瓦时）一档1-240 （含）0.4883试行阶梯电 二档 241-400 （含）0.5383价的用户400 以上三档0.7883北京市某户居民 2016 年 1 月的均匀电费为 0.4983（元 / 千瓦时），则该用户 1 月份的用电量为（A ） 350 千瓦时 （ B ） 300 千瓦时 （ C ） 250 千瓦时（ D ） 200 千瓦时二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
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2016年北京市房山区高三第二次模拟数学理科试卷一、单选题（共8小题）
1．已知集合，则的子集共有( ) A．个B．个C．个D．个
考点：集合的运算
答案：B
试题解析：
所以的子集有：共4个。
故答案为：B
2．若满足则的最大值为（）
A．B．C．D．
考点：线性规划
答案：D
试题解析：作可行域：
由图知：当目标函数线过B（）时，目标函数值最大，为
故答案为：D
3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）
A．3B．4C．5D．6
考点：算法和程序框图
答案：C
试题解析：否；否；
否；否；
是，故输出的值为5.
故答案为：C
4．在的展开式中，的系数为（）
A．B．C．D．
考点：二项式定理与性质
答案：A
试题解析：的展开式的通项公式为：，令所以的系数为
故答案为：A
5．设函数，若，则（）
A．2B．-2C．1D．0
考点：函数的奇偶性
答案：D
试题解析：
所以
故答案为：D
6．多面体的底面为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则的长为（）
A．B．C．D．
考点：空间几何体的三视图与直观图
答案：C
试题解析：由正（主）视图和侧（左）视图知：AB=4，AD=2，MN=2.设M在底面内的射影为M’，所以MM’=2.则AM’=所以AM=
故答案为：C
7．已知等差数列满足，且前项和，则的最大值为（）A．B．C．D．
考点：等差数列
答案：C
试题解析：，
又
得：
显然越小，越大，又因为，所以是9的倍数，
所以=1时，不是9的倍数；
=2时，=
故答案为：C
8．为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价.其标准如下表：
北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（）
A．千瓦时B．千瓦时
C．千瓦时D．千瓦时
考点：函数模型及其应用
答案：B
试题解析：当用电量为400千瓦时时，
平均电费为。
所以该用户1月份的用电量小于400千瓦时且大于240千瓦时.
设该用户1月份的用电量为x千瓦时，
所以有：
解得：千瓦时。
故答案为：B
二、填空题（共6小题）
9.定积分的值为___.
考点：积分
答案：
试题解析：
故答案为：
10.已知是圆的切线，切点为，，是圆的直径，交圆于点圆，∠°，则圆的半径为___.
考点：圆相似三角形
答案：
试题解析：由弦切角定理知：∠°。
又是圆的直径，所以.所以，所以AB=.
在直角三角形ABC中，AC=2R,所以AB=R=.
故答案为：
11.已知，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是___.考点：充分条件与必要条件
答案：
试题解析：若是的必要而不充分条件，则q是p的真子集，
所以。
故答案为：
12.抛物线的准线的方程为____，若直线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为___.
考点：双曲线抛物线
答案：
试题解析：抛物线中，且焦点在x轴正半轴，所以其准线的方程为：x=-2.
若直线过双曲线的一个焦点,则，所以.
又双曲线的离心率为2,所以
所以该双曲线的方程为：
故答案为：
13.直线与函数的图象交于(不与坐标原点重合)两点，点的坐标为，则___.
考点：平面向量的几何应用函数的奇偶性
答案：
试题解析：因为与函数都是奇函数，所以两点关于原点对称，
所以
所以。
故答案为：
14.已知函数①若，且关于的方程有两个不同的实根，则
实数的取值范围是___；②若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是___.
考点：零点与方程分段函数，抽象函数与复合函数
答案：
试题解析：若则时，时，。
所以结合分段函数的图像知：要使方程有两个不同的实根，则
若关于的方程有且只有一个实根，显然只有一个实根。
显然.所以是方程的实根。
所以时，与y=1无交点。
a>0时，在x轴下方，成立；
时，所以要使与
无交点，则-a<1,即
综上：
故答案为：
三、解答题（共6小题）
15.如图，在△中，点在边上，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△的面积．
考点：正弦定理两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）7
试题解析：（Ⅰ）因为，C是三角形内角
所以．
又因为，所以
．
．
（Ⅱ）在中，由，得．所以
16.随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有2名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示．
（Ⅰ）若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名，求选出的4名学生中有女生的概率；（Ⅱ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名，设随机变量表示选出的女生人数，求的分布列和数学期望．
考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型
答案：（Ⅰ）13/14（Ⅱ）的分布列为
试题解析：（Ⅰ）从参加冬令营的8名学生中任选4名，有女生的概率为
（Ⅱ）随机变量的可能取值为，
所以的分布列为
17.如图，已知直角梯形与等腰梯形所在的平面互相垂直，，
，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）判断直线与平面的位置关系，并说明理由．
考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行垂直
答案：（Ⅰ）取中点，连结，由已知可得是平行四边形，所以，所以又平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以（Ⅱ）二面角的余弦值为（Ⅲ）直线与平面平行．平面的法向量为，因为
所以所以平面
试题解析：（Ⅰ）取中点，连结，
由已知可得是平行四边形，所以，所以
又平面平面，平面平面
所以平面，
又平面，所以
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面
所以平面，由（Ⅰ）知
如图，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为，则
即所以
设平面的法向量为，则
即所以
所以二面角的余弦值为
（Ⅲ）直线与平面平行．
平面的法向量为，
因为所以所以平面
18.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.
考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
答案：（Ⅰ）函数增区间为，，减区间为（Ⅱ）的取值范围为.
试题解析：（Ⅰ）当时，
…………2分
令得
变化情况
所以函数增区间为，，减区间为
（Ⅱ）
当时，
若在上有两个极值点，在上至少有两零点，即方程在上至少有两个不等实根，
即方程在上至少有两个不等实根
设，
解的
在上单增，在上单减
所以在上的最大值为
又
所以要使方程有两个不等实根，的取值范围为
设，解得
当时，
且在单调递减；在单调递增．
设为方程的两个不等实根，
则在上，在上，在上
所以在上，在上，在上
即为的两个极值点
综上所述，在内存在两个极值点时，的取值范围为.
19.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍.过椭圆左焦点F
的直线交椭圆于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率的取值范围.
考点：圆锥曲线综合椭圆
答案：（Ⅰ）椭圆的标准方程为：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程是由得所以，又因为所以点O在以线段AB为直径的圆外（Ⅲ）
试题解析：（Ⅰ）因为长轴长是焦距的倍，所以，即
又因为椭圆过点，所以
由，得
所以椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程是
由得
所以，又
因为
所以点O在以线段AB为直径的圆外
（Ⅲ）设直线AB的方程为，，，
由得
所以
因为点O在以线段AB为直径的圆内，
所以为钝角，所以
整理得
所以
20.已知函数，数列满足，．
（Ⅰ）当时，写出数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出所有符合要求的的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时，求证：.
（其中是求乘积符号，如，）
考点：数列综合应用
答案：（Ⅰ）数列的通项公式为（Ⅱ）由已知，
所以，，假设存在实数，使数列为等比数列，则必有，且所以，即，解得因为当时，
，，数列为等比数列，所以存在，使得数列是等比数列（Ⅲ）因为，，所以且，即所以所以
设当
时，，所以即当时，所以当
时，
试题解析：（Ⅰ），,
所以数列的通项公式为
（Ⅱ）由已知，
所以，，
假设存在实数，使数列为等比数列，
则必有，且
所以，即，解得
因为当时，，，数列为等比数列，所以存在，使得数列是等比数列
（Ⅲ）因为，，
所以且，即
所以
所以
设
当时，，所以
即当时，
所以当时，。