【精品】2013-2014年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷带解析

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2013-2014年江苏扬州中学高一(上)数学期末试卷及答案

2013-2014学年江苏省扬州中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4，5}，则∁U A=．2．（5.00分）函数的最小正周期为．3．（5.00分）幂函数f（x）=的定义域为．4．（5.00分）平面直角坐标系xOy中，60°角的终边上有一点P，则实数m的值为．5．（5.00分）已知a=﹣，b=log23，c=sin160°，把a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来：．6．（5.00分）半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为cm2．7．（5.00分）函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0且a≠1）的图象必经过定点P，则点P的坐标为．8．（5.00分）已知||=2，，若，的夹角为60°，则|+2|=．9．（5.00分）已知函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围．10．（5.00分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，G为AC与DE的交点，且，若=，，则用，表示=．11．（5.00分）若x∈（﹣∞，﹣1]，不等式（m﹣m2）•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围为．12．（5.00分）将函数y=2sinx的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象，若x ∈[0，]，则函数y=f（x）的值域为．13．（5.00分）已知△ABC中，BC边上的中线AO长为2，若动点P满足（θ∈R），则（+）•的最小值是．14．（5.00分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）•f （f（x）+）=2，则f（1）=．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知，且α是第一象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．16．（14.00分）已知=（1，1），=（2，3），当k为何值时，（1）k+2与2﹣4垂直？（2）k+2与2﹣4平行？平行时它们是同向还是反向？17．（15.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）求方程f（x）=0的解集．18．（15.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0且a≠1）的图象经过点P（﹣，2）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数y=g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．19．（16.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．20．（16.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2013-2014学年江苏省扬州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4，5}，则∁U A={1，2，6} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4，5}，∴∁U A={1，2，6}．故答案为：{1，2，6}2．（5.00分）函数的最小正周期为．【解答】解：因为函数，所以T==．所以函数的最小正周期为．故答案为：．3．（5.00分）幂函数f（x）=的定义域为[0，+∞）．【解答】解：∵f（x）==，∴x≥0，∴幂函数f（x）=的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．4．（5.00分）平面直角坐标系xOy中，60°角的终边上有一点P，则实数m的值为1．【解答】解：∵角60°的终边上有一点，∴tan60°==，∴m=1．故答案为：1．5．（5.00分）已知a=﹣，b=log23，c=sin160°，把a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来：a＜c＜b．【解答】解：∵a=﹣，b=log23＞log22=1，0＜c=sin160°＜1，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．6．（5.00分）半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为3πcm2．【解答】解：扇形的弧长是：3×=2π，则扇形的面积是：×2π×3=3π（cm2）．故答案为：3π．7．（5.00分）函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0且a≠1）的图象必经过定点P，则点P的坐标为（2，0）．【解答】解：根据函数y=log a x的图象经过点（1，0），对于函数f（x）=log a（x﹣1），令x﹣1=1，求得x=2，且f（2）=0，可得点P的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．8．（5.00分）已知||=2，，若，的夹角为60°，则|+2|=2．【解答】解：∵||=2，，，的夹角为60°，∴===1．∴|+2|===．故答案为：．9．（5.00分）已知函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围（﹣2，1）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小∴f（1）＜0∴1+a2﹣1+a﹣2＜0∴a2+a﹣2＜0∴﹣2＜a＜1∴实数a的取值范围为（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）10．（5.00分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，G为AC与DE的交点，且，若=，，则用，表示=．【解答】解：∵，∴．∵，，∴，∴===．故答案为：．11．（5.00分）若x∈（﹣∞，﹣1]，不等式（m﹣m2）•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围为﹣1＜m＜2．【解答】解：不等式（m﹣m2）•2x+1＞0等价为（m﹣m2）•2x＞﹣1，即m﹣m2＞，当x∈（﹣∞，﹣1]时，，∴，∴要使不等式恒成立，即m﹣m2＞﹣2，即m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2，故答案为：﹣1＜m＜2．12．（5.00分）将函数y=2sinx的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象，若x ∈[0，]，则函数y=f（x）的值域为[﹣1，2] ．【解答】解：令y=g（x）=2sinx，则g（x﹣）=2sin（x﹣），∴f（x）=2sin（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，即函数y=f（x）的值域为[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．13．（5.00分）已知△ABC中，BC边上的中线AO长为2，若动点P满足（θ∈R），则（+）•的最小值是﹣2．【解答】解：由题意可得，∵点P满足（θ∈R），∴．又sin2θ+cos2θ=1，所以P、A、O三点共线，即点P在AO上．∵，∴（+）•=2•=﹣2||•||．∴||+||=|AO|=2，利用基本不等式可得||•||≤=1，∴﹣2||•||≥﹣2，当且仅当|PO|=|PA|时，等号成立，故（+）•的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．14．（5.00分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）•f （f（x）+）=2，则f（1）=1±．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴当x=1时，f（1）•f（f（1）+2）=2，∴f（f（1）+2）=；f（1）+2作为f（f（1）+2）的自变量的一个取值，它必须在定义域内，∴f（1）+2＞0，即f（1）＞﹣2；设f（1）=a，（其中a＞﹣2），∴f（a+2）=…①；令x=a+2（其中a＞﹣2），代入f（x）•f（f（x）+）=2中，得f（a+2）•f（f（a+2）+）=2…②；把①代入②，得•f（+）=2，即f（+）=a …③；∵a=f（1），∴f（+）=f（1）；把+和 1 分别看作函数f（x）的自变量的2个取值，由于函数f（x）是单调函数，要使对应的函数值相等，自变量必须相等；即+=1，解得a=1+或a=1﹣；∵1+和1﹣都大于﹣2，∴两个数值都符合题意；综上，f（1）=1+或f（1）=1﹣；故答案为：1±．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知，且α是第一象限角．（1）求cosα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α是第一象限角，∴cosα＞0，∵sinα=，∴cosα==；（2）∵tanα==，∴原式=tanα+=tanα+1=．16．（14.00分）已知=（1，1），=（2，3），当k为何值时，（1）k+2与2﹣4垂直？（2）k+2与2﹣4平行？平行时它们是同向还是反向？【解答】解：（1）=k（1，1）+2（2，3）=（4+k，6+k），=2（1，1）﹣4（2，3）=（﹣6，﹣10），由，得：﹣6（4+k）﹣10（6+k）=0，化为﹣16k﹣84=0，解得：．∴当k=﹣时，．（2）由，得﹣6（6+k）+10（4+k）=0，化为4k+4=0，解得：k=﹣1．此时=（3，5）=﹣（﹣6，﹣10）=﹣，∴它们方向相反．17．（15.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调增区间；（3）求方程f（x）=0的解集．【解答】解：（1）由图知，A=1，∵周期T=4（﹣）=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），又f（）=﹣1，∴sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ+（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）；（2）﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z．∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数y=f（x）的单调增区间为：[﹣+kπ，+kπ]k∈Z．（3）∵f（x）=0，∴2x+=kπ，k∈Z．∴x=﹣+kπ，k∈Z．∴方程f（x）=0的解集为{x|x=﹣+kπ，k∈Z}．18．（15.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0且a≠1）的图象经过点P（﹣，2）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数y=g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．【解答】解：（1），解得：a2=9，∵a＞0 且a≠1，∴a=3；函数y=f（x）的解析式：f（x）=log3…（3分）（2）设x1、x2为（﹣1，1）上的任意两个值，且x1＜x2，则x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0∵g（x1）﹣g（x2）==…（6分）∴g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2）．∴在区间（﹣，1）上单调递减．…（8分）（3）∵∴…（10分）由，得：t2﹣2t﹣2＞0或t2﹣2t﹣2＜﹣1；由∴0＜t2﹣2t﹣2＜1…（13分）∴或．…（15分）19．（16.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．20．（16.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜∴f （x ）在（﹣∞，2a ）上单调增，在（2a ，a ﹣1）上单调减，在（a ﹣1，+∞）上单调增，∴当f （a ﹣1）＜tf （2a ）＜f （2a ）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有三个不相等的实数根；即﹣（a ﹣1）2＜t•4a ＜4a ， ∵a ＜﹣1， ∴，设，∵存在a ∈[﹣2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有三个不相等的实数根， ∴1＜t ＜g （a ）max ，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g （a ）max =，∴1＜t ＜；综上：1＜t＜．。

2013-2014年江苏省常州市高三上学期数学期末试卷与解析

2013-2014学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A={x|x2＜1，x∈R}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=．2．（5分）若=1+ni（m，n∈R，i为虚数单位），则mn的值为．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则a的值为．4．（5分）某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为．5．（5分）某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为．6．（5分）函数y=2sin2x+3cos2x﹣4的最小正周期为．7．（5分）已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=5﹣x2﹣y2的最大值为．9．（5分）若曲线C1：y=3x4﹣ax3﹣6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，则实数a的值为．10．（5分）给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为．11．（5分）已知θ∈（﹣），等比数列{a n}中，a1=1，a4=3θ，若数列{a n}的前2014项的和为0，则θ的值为．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则||的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若，c=a，求角A；（2）若=3bsinB，cosA=，求cosC的值．16．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若A1A=2AB=2BC=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．17．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，已知S3=a5，S5=25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若p，q为互不相等的正整数，且等差数列{b n}满足b=p，b=q，求数列{b n}的前n项和T n．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为（其中e为椭圆的离心率），且OQ=OM．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（16分）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t（x）=﹣a（x+5）2+10050；②当60≤x≤70时，t（x）=﹣100x+7600．设该店月利润为M（元），月利润=月销售总额﹣月总成本．（1）求M关于销售价格x的函数关系式；（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x﹣，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x﹣1）+x﹣1+|，若实数b满足：b＞a 且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4＜b＜5．【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21题）选修4—1：几何证明选讲21．（10分）如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD．过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E．求证：∠DAE=∠BAC．选修4-2：矩阵与变换22．（10分）已知直线l：ax﹣y=0在矩阵A=[]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点P（2），直线l：ρcos（θ+）=2，求点P到直线l的距离．选修4-5：不等式选讲24．已知x≥1，y≥1，求证：x2y+xy2+1≤x2y2+x+y．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．（1）若PA=2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值的大小为，求PA．26．（10分）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M={a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对（A，B）的个数；（2）若M={a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对（A，B）的个数．2013-2014学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A={x|x2＜1，x∈R}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=[0，1）．【解答】解：∵A={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0≤x≤2}=[0，1）．故答案为：[0，1）．2．（5分）若=1+ni（m，n∈R，i为虚数单位），则mn的值为﹣1．【解答】解：∵=，又=1+ni，∴m﹣i=1+ni，则m=1，n=﹣1．∴mn=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则a的值为1．【解答】解：由双曲线=1（a＞0）可得渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y=0，∴a=1．故答案为：1．4．（5分）某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为15．【解答】解：设在高二年级学生中应抽取的人数为x，则，解得x=15，故答案为：155．（5分）某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为．【解答】解：由题意得：=（115+125+132+128+125）=125，∴数据的方差S2=[（115﹣125）2+（125﹣125）2+（132﹣125）2+（128﹣125）2+（125﹣125）2]=．故答案为：6．（5分）函数y=2sin2x+3cos2x﹣4的最小正周期为π．【解答】解：∵y=2sin2x+3cos2x﹣4=y=2+cos2x﹣4=﹣2=cos2x﹣，∴三角函数的周期T=，故答案为：π7．（5分）已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为．【解答】解：从5瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为=10（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=3（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1﹣=．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=5﹣x2﹣y2的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=5﹣x2﹣y2，得x2+y2=5﹣z，则5﹣z的几何意义为区域内的动点P到原点距离的平方，则由图象可知当点位于点O在直线x+y=3上的垂足A时，此时|OA|的距离最小，对应的z最大，则|OA|=，∴5﹣z=|OA|2=，∴z max=5﹣=，故答案为：9．（5分）若曲线C1：y=3x4﹣ax3﹣6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，则实数a的值为．【解答】解：由y=3x4﹣ax3﹣6x2，得y′=12x3﹣3ax2﹣12x，∴y′|x=1=﹣3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4﹣ax3﹣6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴﹣3a•e=﹣1，解得：a=．10．（5分）给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为（1）（2）．【解答】解：（1）若两个平面平行，根据面面平行的性质和定义可知，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；正确，（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；正确，（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线可能平行于另一个平面也可能在平面内，故错误；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面．故错误，故正确的是（1）（2），故答案为：（1）（2）11．（5分）已知θ∈（﹣），等比数列{a n}中，a1=1，a4=3θ，若数列{a n}的前2014项的和为0，则θ的值为﹣．【解答】解：等比数列{a n}中，a1=1，a4=3θ，则a4=3θ=1•q3，即q=，若数列{a n}的前2014项的和为0，若q=1，则不满足条件，若q≠1，则，即q=﹣1，即q==﹣1，∴tan3，∵θ∈（﹣），∴3θ∈（﹣，），即3θ=，即，故答案为：﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为＜k＜4．【解答】解：f（﹣2）=，f（4）=（4﹣1）2=32=9，则不等式等价为f（k）＜9，若k＜0，由，解得log，若k≥0，由（k﹣1）2＜9，解得﹣2＜k＜4，此时0≤k＜4，综上：＜k＜4，故答案为：＜k＜413．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c=4．【解答】解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：414．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则||的最小值为．【解答】解：如图所示，∵，∴．∵，则||=．当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．设k PM=k，∵∠QPM=45°，∴，解得k=．∴直线PM的方程为：，化为x﹣3y+5=0，∴，化为10y2﹣30y+9=0，解得．∴x=3y﹣5=．∴M．∴===．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若，c=a，求角A；（2）若=3bsinB，cosA=，求cosC的值．【解答】解：（1）∵，∴acosA=ccosC．由正弦定理，得sinAcosA=sinCcosC．化简，得sin2A=sin2C．∵A，C∈（0，π），∴2A=2C或2A+2C=π，从而A=C（舍）或A+C=．∴．在Rt△ABC中，tanA==，．（2）∵=3bcosB，∴acosC+ccosA=3bsinB．由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，从而sin（A+C）=3sin2B．∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB．从而sinB=．∵，A∈（0，π），∴，sinA=．∵sinA＞sinB，∴a＞b，从而A＞B，B为锐角，．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，=．16．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若A1A=2AB=2BC=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：连结A1C．∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1C1C是矩形，∴点F在A1C上，且为A1C的中点．在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC．…（2分）又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（4分）（2）证明∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC．∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF．…（6分）∵B1B∩AB=B，∴EF⊥平面ABB1A1．…（8分）∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1．…（10分）===…（14（3）解：V E﹣ABC分）17．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，已知S3=a5，S5=25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若p，q为互不相等的正整数，且等差数列{b n}满足b=p，b=q，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由已知，得，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．（2）∵p，q为正整数，由（1）得a p=2p﹣1，a q=2q﹣1，=p，b2q﹣1=q，进一步由已知，得b2p﹣1∵{b n}是等差数列，p≠q，∴{b n}的公差d=，由，得b1=1．∴．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为（其中e为椭圆的离心率），且OQ=OM．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k＜0，m＞0）交椭圆于A，B两点，当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则A（a，0），B（0，b），M（）．∵线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，∴Q（，），由O，M，Q三点共线，得，化简，得b=1．…（2分）∵OQ=OM，∴=，化简，得2a=．由，解得a2=5，c2=4，…（4分）∴椭圆E的标准方程为．…（6分）（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入，得（5k2+1）x2+10mkx+5m2﹣5=0．…（8分）当△＞0，5k2﹣m2+1＞0时，，y M=，从而点M（﹣，）．…（10分）∴直线OM的方程y=﹣．由，得．…（12分）∵OP是OM，OQ的等比中项，∴OP2=OM•OQ，从而=|x M|x Q=﹣．…（14分）由，得m=﹣2k，从而，满足△＞0．…（15分）∴为常数﹣2．…（16分）19．（16分）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t（x）=﹣a（x+5）2+10050；②当60≤x≤70时，t（x）=﹣100x+7600．设该店月利润为M（元），月利润=月销售总额﹣月总成本．（1）求M关于销售价格x的函数关系式；（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．【解答】解：（1）当x=60时，t（60）=1600，代入t（x）=﹣a（x+5）2+10050，解得a=2．…（2分）∴M（x）=…（4分）（2）设g（u）=（﹣2u2﹣20u+10000）（u﹣34）﹣20000，34≤u＜60，u∈R，则g′（u）=﹣6（u2﹣16u﹣1780）．令g′（u）=0，解得u1=8﹣2（舍去），u2=8+2∈（50，51]．…（7分）当34＜u＜50时，g′（u）＞0，g（u）单调递增；当51＜u＜60时，g′（u）＜0，g（u）单调递减．…（10分）∵x∈N*，M（50）=44000，M（51）=44226，∴M（x）的最大值为44226．…（12分）当60≤x≤70时，M（x）=100（﹣x2+110x﹣2584）﹣20000单调递减，故此时M（x）的最大值为m（60）=21600．…（14分）综上所述，当x=51时，月利润M（x）有最大值44226元．…（15分）答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x﹣，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x﹣1）+x﹣1+|，若实数b满足：b＞a 且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4＜b＜5．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a=0时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0得x=1．…（1分）列表：x（0，1）1（0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘所以f（x）的极大值为f（1）=﹣1．…（3分）（2）f′（x）=．令f′（x）=0得﹣x2+x+a=0，记△=1+4a．（ⅰ）当a＜﹣时，f′（x）＜0，所以f（x）单调减区间为（0，+∞）；…（5分）（ⅱ）当a=﹣时，导数为零的根是，函数在（0，+∞）单调减（iii）当a＞﹣时，由f′（x）=0得x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则x1＞x2＞0，由f′（x）＜0，得0＜x＜x2，x＞x1；由f′（x）＞0，得x2＜x＜x1．所以，f（x）的单调减区间为（0，），（，+∞），单调增区间为（，）；…（7分）②若a=0，由（1）知f（x）单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；③若a＞0，则x1＞0＞x2，由f′（x）＜0，得x＞x1；由f′（x）＞0，得0＜x＜x1．f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（0，）．…（9分）（3）g（x）=|ln（x﹣1）|（x＞1）由g（）=g（a），得ln||=|ln（a﹣1）|．∵1＜a＜b，∴b﹣1=a﹣1（舍），或（a﹣1）（b﹣1）=1．∴b＞2．…（12分）由g（b）=2g（）得|ln（b﹣1）|=2|ln[（a﹣1）+（b﹣1）]（*）因为≥=1，所以（*）式可化为ln（b﹣1）=2ln[（a﹣1）+（b﹣1）]，即b﹣1=．…（14分）令b﹣1=t（t＞1），整理，得t4﹣4t3+2t2+1=0．记h（t）=t4﹣4t3+2t2+1，h′（t）=4t（t2﹣3t+1），令h′（t）=0得t=（舍），t=，列表：t（1，）（，+∞）h′（t）﹣+h（t）↘↗所以，h（t）在（1，）单调减，在（，+∞）单调增，又因为h（3）＜0，h（4）＞0，所以3＜t＜4，从而4＜b＜5．…（16分）【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21题）选修4—1：几何证明选讲21．（10分）如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD．过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E．求证：∠DAE=∠BAC．【解答】证明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∴AD=BC．∴∠ACD=∠BAC．…（4分）∵AE为圆的切线，∴∠EAD=∠ACD．…（8分）∴∠DAE=∠BAC．…（10分）选修4-2：矩阵与变换22．（10分）已知直线l：ax﹣y=0在矩阵A=[]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．【解答】解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′（x′，y′），则=[]，化简，得…（4分）代入ax﹣y=0，整理，得﹣（2a+1）x′+ay′=0．…（8分）将点（1，1）代入上述方程，解得a=﹣1．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点P（2），直线l：ρcos（θ+）=2，求点P到直线l的距离．【解答】解：由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴点P的直角坐标为，将直线l的方程展开得：ρcosθ﹣ρsi nθ=4，即其普通方程为x﹣y﹣4=0．从而点P到直线l的距离为=．选修4-5：不等式选讲24．已知x≥1，y≥1，求证：x2y+xy2+1≤x2y2+x+y．【解答】证明：左边﹣右边=（y﹣y2）x2+（y2﹣1）x﹣y+1=（1﹣y）[yx2﹣（1+y）x+1]…（4分）=（1﹣y）（xy﹣1）（x﹣1），…（6分）∵x≥1，y≥1，∴1﹣y≤0，xy﹣1≥0，x﹣1≥0．…（8分）从而左边﹣右边≤0，∴x2y+xy2+1≤x2y2+x+y．…（10分）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．（1）若PA=2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值的大小为，求PA．【解答】解：连结OC．∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且OA=OB=OC=a．…（2分）如图，建立空间直角坐标系．（1）PA=2a，PO=a．A（0，﹣a，0），B（0，a，0），C（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，a）．…（4分）从而=（0，﹣a，﹣a），=（﹣a，，a）．∵cos＜，＞==﹣，∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为．…（6分）（2）设PO=h，则P（0，0，h）．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．从而=（a，0，0）是平面PAB的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），∵=（0，a，﹣h），=（a，﹣a，0），∴不妨令x=1，则y=1，z=，则=（1，1，）．…（8分）由已知，得=，化简，得．∴PA===a．…（10分）26．（10分）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M={a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对（A，B）的个数；（2）若M={a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对（A，B）的个数．【解答】解：（1）若集合A 含有1个元素，则A 有，不妨设A={1}，则B={2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，此时B 有7个，此时共有4×7=28个．若集合A 含有2个元素，则A 有种，不妨设A={1，2}，则B={3}，{4}，{3，4}，{1，4}，{1，3}，{1，3，4}，{2，3}，{2，4}，{2，3，4}，此时B 有9个，此时共有6×9=54个．若集合A 含有3个元素，则A 有=4，不妨设A={1，2，3}，则B={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，此时B 有7个，此时共有4×7=28个．综上共有28+28+54=110种结果．（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对（A ，B ）有2n （2n ﹣1）个．若A ⊊B ，并设B 中含有k （1≤k ≤n ，k ∈N •）个元素，则满足A ⊊B 的有序集合对（A ，B ）有=3n ﹣2n 个．同理，满足B ⊊A 的有序集合对（A ，B ）有3n ﹣2n 个．故满足条件的有序集合对（A ，B ）的个数为2n （2n ﹣1）﹣2（3n ﹣2n ）=4n +2n ﹣2×3n ．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

(完整版)常州市届高三上学期期末考试数学试题

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ． 4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC-的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列FBCE A 1A 1B 1C （第16题）rb{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m=+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos(4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －CPA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是AABCDOP（第22题）的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数；（2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 155．31.6（写成1585也对） 6．p7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p 12．12(log 9,4) 13．4 14．-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C =． ………………………………………………2分∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，从而A C =（舍）或2A C p+=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==6A p =． …………………………………6分（2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=．从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B=-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分16．证明：（1）连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形， ∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1A C 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ．………………………………8分∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………………4分∴21n a n =-．……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数，由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分18．解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e ，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21be aa c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a =2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+，从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k=-．由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551Pk x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅，从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+．……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2mk=-，满足△0>． ……………15分∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-，28(50,51)u =+．……………7分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．（1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '+0 -()f x ↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分(2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．Al t h（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x ==①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；…………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分（3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<，∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）．………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =（舍），1t =+，列表：t(1,1+(1)+∞()h t '-+()h t ↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)+∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ．从而A A AD BC=．∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为，…………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=，………………………………………8分从而点P 到直线l …………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分=(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ．∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且OA OB OC===． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz-．（1）2PA a=，PO=．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C，)P，D．…………4分从而(0,)PA=，，()CD=．∵cos,PA CDPA CDPA CD⋅<>===∴异面直线PA与CD．……………………………6分（2）设PO h=，则(0,0,)P h．∵PO⊥O C，OC⊥AB，∴OC⊥平面P AB．从而,0,0)OC=是平面PAB的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=，∵(0,)PB h=-，,0)BC=-，，0,0.n PBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hzx y==⎪⎩不妨令x=1，则y=1，z n=． ………………………8分OC nOC n⋅==，化简，得2223h a=．∴PA===．…………………………………10分23．解：（1）110；………………………………………………………………3分（2）集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A,B)有2(21)n n-个．若A⊂≠B，并设B中含有*(1,)k k n k∈N≤≤个元素，则满足A⊂≠B的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nk kkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个． …………………6分同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n nn---=+-⨯………………………………………………10分。

2015-2016学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B={1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，∴∁U B={1，3}，又A={1，4}，∴A∩∁U B={1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．cos300°的值是．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=故答案为【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．3．函数的最小正周期为．【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为{﹣2，0}．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．∴f（x）的值域为{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．5．已知向量，，则的值为5．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出的坐标，再计算模长．【解答】解：=（3，4），∴||==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模长计算，属于基础题．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（﹣1，0）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．8．函数的定义域为（﹣2，4]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣2＜x≤4．∴函数的定义域为（﹣2，4]．故答案为：（﹣2，4]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，训练了指数不等式的解法，是基础题．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为1cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为c，a，b．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由有理指数幂的化简与求值可得a＜1，b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵=，＜0，=log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．【点评】本题考查实数的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ=0，求得φ=，故f（x）=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】设=，=，则=，=+，从而=，由此能求出λ+μ．【解答】解：设=，=，∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，∴=，=+，∵，λ，μ均为实数，，∴=，∴，解得，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，即±3也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，即或，解得．故答案为：．【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==，==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解：====，====．∴（）•（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．：=．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．（1）求A∪B；（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．【考点】子集与真子集；并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】（1）由已知条件利用并集定义能求出A∪B．（2）先求出A∩B，从而求出C={2，3}．由此能写出集合C的所有子集．【解答】解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}．…（2）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，∵C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，∴C={2，3}．…∴集合C的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2，3}．…【点评】本题考查并集的求法，考查集合的子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．16．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，∴．（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；（2）由∥得，对进行化简得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∴．∴．∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴．（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．∴，．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．（2）由题意y=e kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）由题意，，∴…∴当x=30时，．…答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（2）由题意y=e kx+b≥80，∴，…∴kx≥10k．由可知k＜0，故x≤10．…答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x）•log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）令t=log2x，则t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x）•log2x，令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…（2）∵f（x3）•f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，∴k≤﹣20；…②当，即k≥16时，由φ（3）＞0，得，不成立；…③当，即﹣20＜k＜16时，由，得，∴．…综上，．…【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出f（x）的解析式并化简，根据函数类型判断f（x）的单调区间；（2）分离参数得，作出其函数图象，根据函数图象得出m的范围．【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=x2+3x﹣|1﹣x2|．①当﹣1≤x≤1时，．∴f（x）在递减，在递增．②当x＜﹣1或x＞1时，f（x）=3x+1．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．（2）∵f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，∴方程x2+mx﹣|1﹣x2|=0在区间（0，2）上有且只有1解，即方程在区间（0，2）上有且只有1解，从而函数图象与直线y=m有且只有一个公共点．作出函数的图象，结合图象知实数m的取值范围是：或m=﹣1．【点评】本题考查了分段函数的单调性与单调区间，分段函数的零点个数判断．属于中档题．21．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．【考点】函数单调性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，∴f（x）在上为减函数，在上为增函数．…①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴，且，∴．…②由①知，∴，∵，∴．…（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．∵，∴．…①若，∵f（x）在上为减函数，∴解得或，不合题意．…②若，∵f（x）在上为增函数，∴解得不合题意．…综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．。

江苏省常州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版

2012-2013学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：= ﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．解答：解：因为复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，所以====﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．4．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11 ．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的情况下继续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n值．由此结合题意即可得到本题答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；然后经过第二次循环得到S=2°+21，n=2；然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；…依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值由以上规律，可得：当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出由此可得，输出的结果为11故答案为：11点评：本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有=2．因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=．故答案为．点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．6．（5分）函数的最小正周期为 2 ．考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根据周期公式可得T=故答案为：2点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题7．（5分）函数的值域为（﹣∞，2] ．考函数的值域．点：专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d= 7 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得 3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．∴==﹣1，∴．或由，得．故向量，的夹角的大小为π．故答案为π．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．10．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足，，则= ．数列递推式；数列的求和．考点：专计算题；等差数列与等比数列．题：分析：由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．解解：∵，，答：∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ﹣4cosθ+4=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．∴的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．解答：解：当x=，y=时，，=，．由知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．均与题中所给条件不等式矛盾．综上，只有x=，y=时，条件成立，所以x+y的取值范围为{}．故答案为{}．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．解答：证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．…（9分）在Rt△PDA 中，，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．…（11分）在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则D N⊥PB．…（13分）又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．17．（14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．（1）求S关于x的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：应用题．分析：（1）根据题意，分析可得，欲求，△AEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的周长求出另一边长AF，再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；（2）对于（1）所列不等式，可利用导数研究它的单调性求它的最大值，从而解决问题．解答：解：（1）设AF=y ，则，整理，得．…（3分），x∈（0，b]．…（4分）（2）∴当时，S′＞0，S在（0，b]递增，故当x=b 时，；当时，在上，S′＞0，S 递增，在上，S′＜0，S递减，故当时，．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数解析式的求解及常用方法及导数的应用等基础知识，属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E ：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．解答：解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E 的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E 的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N 共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．19．（16分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{b n}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由已知可求a2，b2，结合已知a1=b2，可得等差数列{a n}的公差d，可求a n=，然后由b3=a4，可求{b n}的公比q，进而可求b n（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q ，由已知可得．分别利用等差数列及等比数列的通项表示已知项可得关于d，q的方程，解方程可求d，即可求解解答：解：（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．可得a2=5，b2=3，所以a1=b2=3，从而等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=2n+1，从而b3=a4=9，{b n}的公比q=3所以．…（3分）（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则a1=5﹣d ，，a3=5+d，b3=3q．因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以．设，m，n∈N*，mn=64，则，整理得，d2+（m﹣n）d+5（m+n）﹣80=0．解得（舍去负根）．∵a3=5+d，∴要使得a3最大，即需要d最大，即n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．∵m，n∈N*，mn=64，∴当且仅当n=64且m=1时，n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．从而最大的，所以，最大的…（16分）点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣lnx．（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即．根据的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=x|x﹣1|﹣lnx．当x∈[1，e]时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，，所以f（x）在[1，e]上单调增，∴．（2）由于f（x）=x|x﹣a|﹣lnx，x∈（0，+∞）．（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2﹣ax﹣lnx，，令f′（x）=0，得（负根舍去），且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（ⅱ）当a＞0时，①当x≥a时，，令f′（x）=0，得（舍），若，即a≥1，则f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上单调增；若，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增．②当0＜x＜a时，，令f′（x）=0，得﹣2x2+ax﹣1=0，记△=a2﹣8，若△=a2﹣8≤0，即，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，a）上单调减；若△=a2﹣8＞0，即，则由f′（x）=0得，，且0＜x3＜x4＜a，当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减．综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；当时，f（x）单调递减区间是（0，）和，单调的递增区间是和（a，+∞）．（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x﹣a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；（ⅱ）当x=1时，|1﹣a|≥0，，所以a≠1；（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．令，则．因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．因为恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．令，则．再令e（x）=x2+1﹣lnx，则在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．综上所述，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，1）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．选做题：21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A的逆矩阵．考点：特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A，求出A的行列式，即可求得逆矩阵A﹣1．解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，可得=6，即c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为可得，=，即3c﹣2d=﹣2，解得，即A=，A逆矩阵是．点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．23．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离大于半径，由此可得两曲线的位置关系．解答：解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：，表示一条直线．曲线，即，表示一个圆，半径为．圆心到直线的距离，∴曲线C1与C2相离．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用，属于基础题．24．设f（x）=x2﹣x+14，且|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：先利用函数f（x）的解析式，代入左边的式子|f（x）﹣f（a）|中，再根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|＜1+|2a|+1，进行放缩即可证得结果．解答：证明：由|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣a2+a﹣x|=|（x﹣a）（x+a﹣1）|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|（x﹣a）+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a|+1＜|2a|+2 =2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，属于中档题．25．（10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．26．（10分）空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a n个部分．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）写出a n关于n的表达式并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接通过直线分平面所得部分写出a1，a2，a3，a4；（2）利用（1）写出a n关于n的表达式，直接利用用数学归纳法证明的步骤证明结论即可．解答：解：（1）一条直线把平面分成2部分，所以a1=2，两条直线把平面最多分成4部分，所以a2=4，三条直线把平面最多分成8部分，所以a3=8，四条直线最多分成15部分，所以a4=15；（2）由（1）可知，．证明如下：当n=1时显然成立，设n=k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即，则当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了个，∴=，即当n=k+1时，结论也成立．综上，对∀n∈N*，．点评：本题考查数学归纳法在实际问题中的应用，考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查逻辑推理能力．。

江苏省常州市高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= ．2．cos300°的值是．3．函数的最小正周期为．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为．5．已知向量，，则的值为．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．8．函数的定义域为．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为cm2．10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．（1）求A∪B；（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．16．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁U B= {1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，∴∁U B={1，3}，又A={1，4}，∴A∩∁U B={1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．cos300°的值是．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=故答案为【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．3．函数的最小正周期为．【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为{﹣2，0} ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．∴f（x）的值域为{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．5．已知向量，，则的值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出的坐标，再计算模长．【解答】解： =（3，4），∴||==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模长计算，属于基础题．6．已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（﹣1，0）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．7．已知tan（α+）=2，则tanα=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα 的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴ =2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．8．函数的定义域为（﹣2，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣2＜x≤4．∴函数的定义域为（﹣2，4]．故答案为：（﹣2，4]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，训练了指数不等式的解法，是基础题．9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为： =1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为c，a，b ．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式．【分析】由有理指数幂的化简与求值可得a＜1，b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵ =，＜0， =log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．【点评】本题考查实数的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ=0，求得φ=，故f（x）=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】设=， =，则=， =+，从而=，由此能求出λ+μ．【解答】解：设=， =，∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，∴=， =+，∵，λ，μ均为实数，，∴=，∴，解得，∴λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．13．已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，即±3也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，即或，解得．故答案为：．【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==， ==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解： ====， ====．∴（）•（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．： =．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．（1）求A∪B；（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．【考点】子集与真子集；并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】（1）由已知条件利用并集定义能求出A∪B．（2）先求出A∩B，从而求出C={2，3}．由此能写出集合C的所有子集．【解答】解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}．…（2）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，∵C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，∴C={2，3}．…∴集合C的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2，3}．…【点评】本题考查并集的求法，考查集合的子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．16．已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，∴．（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．17．已知向量，，θ为第二象限角．（1）若，求s inθ﹣cosθ的值；（2）若∥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；（2）由∥得，对进行化简得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∴．∴．∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴．（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．∴，．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．（1）求该食品在30℃的保鲜时间；（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．（2）由题意y=e kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）由题意，，∴…∴当x=30时，．…答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…（2）由题意y=e kx+b≥80，∴，…∴kx≥10k．由可知k＜0，故x≤10．…答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x）•log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）令t=log2x，则t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x）•log2x，令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…（2）∵f（x3）•f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，∴k≤﹣20；…②当，即k≥16时，由φ（3）＞0，得，不成立；…③当，即﹣20＜k＜16时，由，得，∴．…综上，．…【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出f（x）的解析式并化简，根据函数类型判断f（x）的单调区间；（2）分离参数得，作出其函数图象，根据函数图象得出m的范围．【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=x2+3x﹣|1﹣x2|．①当﹣1≤x≤1时，．∴f（x）在递减，在递增．②当x＜﹣1或x＞1时，f（x）=3x+1．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．（2）∵f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，∴方程x2+mx﹣|1﹣x2|=0在区间（0，2）上有且只有1解，即方程在区间（0，2）上有且只有1解，从而函数图象与直线y=m有且只有一个公共点．作出函数的图象，结合图象知实数m的取值范围是：或m=﹣1．【点评】本题考查了分段函数的单调性与单调区间，分段函数的零点个数判断．属于中档题．21．已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．【考点】函数单调性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，∴f（x）在上为减函数，在上为增函数．…①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴，且，∴．…②由①知，∴，∵，∴．…（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．∵，∴．…①若，∵f（x）在上为减函数，∴解得或，不合题意．…②若，∵f（x）在上为增函数，∴解得不合题意．…综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．。

江苏省常州高级中学高一数学上学期期末试卷(含解析)

江苏省常州高级中学2014-20 15学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α2．（5分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣34．（5分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是5．（5分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=166．（5分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k27．（5分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交8．（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线9．（5分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台11．（5分）下列几种关于投影的说法不正确的是（）A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线在中心投影中不平行12．（5分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的倍．14．（5分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）15．（5分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是．16．（5分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．18．（8分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．19．（10分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．20．（10分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．21．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．22．（12分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．23．（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？江苏省常州高级中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据点与直线，元素与集合以及直线与平面间的关系进行判断．解答：解：A、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项正确；B、点A在平面α内，记作：A∈a，故本选项错误；C、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项错误；D、直线l在平面α内，记作：l⊂α，故本选项错误．故选：A．点评：本题主要考查了点与直线，线与平面的位置关系的符号表示，属于基础题．2．（5分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：直接由棱柱的结构特征逐一核对四个几何体得答案．解答：解：由棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行．可知：图（1）为三棱柱；图（3）为六棱柱；图（4）为三棱柱．∴题中所给的几何体是棱柱的有3个．故选：C．点评：本题考查了棱柱的结构特征，关键是对棱柱结构特征的理解，是基础题．3．（5分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣3考点：直线的斜率．专题：计算题．分析：根据两点的坐标，代入k=中即可求出直线AB的斜率．解答：解：因为A（1，﹣3），B（﹣1，3），所以直线AB的斜率k==﹣3．故选D．点评：此题考查学生会利用两点坐标求两点确定直线的斜率，是一道基础题．4．（5分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是考点：两点间距离公式的应用．专题：直线与圆．分析：根据两点间的距离公式求出三角形的各边长度即可．解答：解：AB=，BC==，AC=，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形．故选：C点评：本题主要考查三角形形状的判断，利用两点间的距离公式求出长度是解决本题的关键．5．（5分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=16考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准过程直接求解即可．解答：解：由圆的标准方程可知，以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为：（x﹣3）2+（y+1）2=16，故选：C点评：本题主要考查圆的标准方程的求解，比较基础．6．（5分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解答：解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．7．（5分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：通过直线垂直的定义得到a，c所成的角是90°，利用直线与直线所成角的定义及直线垂直的定义得到a与c的垂直解答：解：∵b⊥c∴b，c 所成的角是90°∵a∥b∴a，c所成的角是90°∴a与c的关系是垂直；故选：C．点评：本题考查直线垂直的定义、考查直线与直线所成角的定义，属于基础题．8．（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．9．（5分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径考点：构成空间几何体的基本元素．专题：阅读型．分析：A、B中只有以直角边旋转才符合要求．D中圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长．由排除法可选出答案．解答：解：A中以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体不是圆锥，故A错误；B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故B错误；C显然正确；D中圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．故选C点评：本题考查圆柱、圆锥、圆台的机构特征，属基础知识的考查．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选D．点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．11．（5分）下列几种关于投影的说法不正确的是（）A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线在中心投影中不平行考点：中心投影及中心投影作图法．分析：中心投影是由一点向外散射形成的投影，它的光线之间的关系不确定，平行的直线在中心投影中不平行，点在线上时，在中心投影下点仍在线上，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．解答：解：平行投影的投影线是互相平行的，A正确，中心投影的投影线是从一点出发的，不一定互相垂直．故B不正确，点在线上时，在中心投影下点仍在线上，故C正确，平行的直线在中心投影中不平行，故D正确故选B点评：本题考查中心投影及中心投影的作图，是一个日常生活中常见的现象，本题是一个基础题，解题的关键是弄清楚中心投影的特点．12．（5分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面积公式直接解答即可．解答：解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C．点评：本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的8 倍．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：我们设出原来球的半径为R，则可以计算出原来球的表面和体积，再根据球的表面积扩大了4倍，我们可以求出扩大后球的半径，进而求出扩大后球的体积，进而得到答案．解答：解：设原来球的半径为R则原来球的表面积S1=4πR2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的4倍，则S2=16πR2则球的半径为2R体积V2==∵V2：V1=8：1故球的体积扩大了8倍故答案为：8点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，熟练掌握球的体积和表面积公式，是解答醒的关键．14．（5分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为①③．（写出所有正确结论的编号）考点：点、线、面间的距离计算．专题：压轴题；分类讨论．分析：由已知中平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，根据平行四边形对角线上两顶点到平面α的距离的和相等，我们可以根据A到α距离为0，另外三个顶点中有两个顶点到a的距离分别为1和2，分类讨论，即可得到答案．解答：解：如图，B、D到平面a的距离为1、2，则D、B的中点到平面a的距离为，所以C到平面a的距离为3；B、C到平面a的距离为1、2，D到平面a的距离为x，则x+1=2或x+2=1，即x=1，所以D到平面a的距离为1；C、D到平面a的距离为1、2，同理可得B到平面a的距离为1；所以选①③．故答案为：①③点评：本题考查的知识点是空间中点、线、面之间的距离，其中根据行四边形对角线上两顶点到平面α的距离的和相等，结论其它条件进行分类讨论，是解答本题的关键．15．（5分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：求出A（1，5），B（2，4）的垂直平分线的方程，分别令x=0，y=0，即可得出结论．解答：解：A（1，5），B（2，4）的垂直平分线的方程为y﹣4.5=﹣（x﹣1.5），令x=0，可得y=3；令y=0可得x=﹣3，∴在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．故答案为：（0，3）或（﹣3，0）．点评：本题考查线段垂直平分线的方程的求解，考查学生的计算能力，比较基础．16．（5分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为或．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：我们可以分圆柱的底面周长为4，高为6和圆柱的底面周长为6，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．解答：解：若圆柱的底面周长为4，则底面半径R=，h=6，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，若圆柱的底面周长为6，则底面半径R=，h=4，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，∴圆锥的体积为：或．故答案为：或．点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，设出点P（x，0），由∠MPN为直角，得•=0，由此求出x的值即可．解答：解：根据题意，设点P（x，0），∴=（2﹣x，2），=（5﹣x，﹣2）；又∵∠MPN为直角，∴•=0；即（2﹣x）（5﹣x）+2×（﹣2）=0，化简得x2﹣7x+6=0，解得x=1或x=6；∴P（1，0）或P（6，0）．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．18．（8分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：直接由直线方程的点斜式写出直线方程，化为一般式得答案．解答：解：∵直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，由直线方程的点斜式得：y+2=，化为一般式得：4x+3y﹣6=0．点评：本题考查了直线方程的点斜式，是基础题．19．（10分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．考点：平面图形的直观图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，OB=OC=a，OA=a，∠AOC=45°，∠AOB=135°，利用余弦定理，求出直观图中AB和AC的长度．解答：解：由题意，OB=OC=a，OA=a，∠AOC=45°，∠AOB=135°，∴AC==a=a，AB==a．点评：本题考查直观图中AB和AC的长度，考查余弦定理，比较基础．20．（10分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设P坐标为（x，y），由已知有y=2x﹣1，由两点间距离公式有|PM|2+|PN|2=10x2﹣8x+4，根据二次函数的性质可知最小值及取最小值时点P的坐标．解答：解：设P坐标为（x，y），由已知有y=2x﹣1，故PM2+PN2=y2+（x+1）2+y2+（x﹣1）2=2y2+2x2+2=2（2x﹣1）2+2x2+2=10x2﹣8x+4，由二次函数的性质可知，其图象开口向上，最小值为=．此时x=﹣=﹣，故PM2+PN2的最小值为，点P的坐标（﹣，﹣）．点评：本题主要考查了两点间距离公式的应用，二次函数的图象和性质，属于中档题．21．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：连结SB，连结SD，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．解答：证明：连结SB，连结SD，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：过a作平面γ交平面α于b，过a作平面ξ交平面β于C．从而b∥C，b∥β．进南昌b∥l，且a∥b．由此能证明a∥l．解答：证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样，过a作平面ξ交平面β于C．∵a∥β，∴a∥C．∴b∥C．又∵b⊄β且C⊂β，∴b∥β．又平面α经过b交β于l．∴b∥l，且a∥b．∴a∥l．点评：本题考查二直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．23．（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）根据方案一，则仓库的底面直径变成16m，由圆锥的体积公式建立模型．根据方案二，则仓库的高变成8m，由圆锥的体积公式建立模型．（2）根据方案一，仓库的底面直径变成16m，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成8m，由表面积公式建立模型，（3）方案更经济些，在于容量大，用材少，即体积大，表面积小，所以比较V2，V1，S2，S1即可．解答：解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积（2分）如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积（4分）（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m棱锥的母线长为l=则仓库的表面积S1=π×8×4=32π（m2）（6分）如果按方案二，仓库的高变成8m棱锥的母线长为l==10则仓库的表面积S2=π×6×10=60π（m2）（8分）（3）∵V2＞V1，S2＜S1∴方案二比方案一更加经济（12分）点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了空间几何体的结构特征，圆锥的体积公式，表面积公式和模型的比较．。

(完整)高一数学期末考试试卷分析

高一数学期末考试质量分析数学备课组逯丽萍这次数学考试范围是必修一，特点是：符号多，概念多，内容多。

而且比较抽象，与初中的数学明显不一样，很多学生比较不适应。

从考试成绩可以看出总体上还是偏难。

绝大部分学生对这一部分内容掌握得不是很好。

由于进度比较紧张，考前没有很充足的时间来讲评练习，再加上对学生的估计不是很准确，学生很多没有去复习，诸多因素导致这次数学成绩比较不理想。

在试卷中主要问题是学生对基本概念模糊不清，基础不扎实，审题不认真，解题不规范，选择题，填空题易做但也易错，解答题17、1）答题不规范3），个别同学粗心，题目抄错；4）运算能力不过关解决方法：1）注意规范解题，多参考课本例题；2）学会好的解题方法并学以致用3）勤练基本功19.属典型题型，有固定的解题模式问题1）对此类题型掌握混乱，思路不清晰2）分类标准不明确3）语言表达不简练明了4）结果没明确标出，数学语言应用不当解决办法：1）上课注意认真听讲，记好笔记2）课后注意反思整理，真正学会3）加强练习达到举一反三4）经常复习，内化成自己的知识18题1）.部分学生不明确证明题是要有严谨的步骤，2）.学生在用作差法证明过程中化简不彻底，没有都化为因式形式，还有一部分学生没有指出各个因式的正负，学生基本功还待加强。

3）.在求最值的时候只是简单的代入端点求出端点值，并没有严格说明其在区间上具有两个单调性。

说明学生数学表达能力还要不断的完善。

思维不严密。

4）.部分学生出现极其简单的计算错误！计算能力还要提高。

解决办法：1）.引领学生学会用数学的表达方式书写过程，注重数学步骤的严谨。

2）.提高学生的运算能力。

3）.学生应试能力和心态还需要不断的锤炼。

22.题1）经验不足，不能直达问题本质2）基本概念理解不是很透彻，应用起来也不是得心应手3）细节容易遗漏，思路不够严密解决方法：（1）加强基本概念和基本方法的掌握。

（2）培养学生转化问题的能力，学会问题的划归和转化，真正做到举一反三。

(完整版)江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含答案,推荐文档

（2） p ， q 为正整数，由（1）得 ap 2 p 1， aq 2q 1． …………………8 分
进一步由已知，得 b2 p1 p ， b2q1 q ． ………………………………………10 分
∵{bn} 是等差数列，
p
q
，∴{bn} 的公差
d
q 2q
p 2p
1 2
．
………………12 分
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分 10 分)
如图，三棱锥 P－ABC 中，已知平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点 O，D 分
别是 AB，PB 的中点，PO⊥AB，连结 CD．
（1）若 PA 2a ，求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦
值的大小；
2
13．4 14． 3 3 5
二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵ m∥ n ，∴ a cos A c cos C ．由正弦定理，得 sin Acos A sin C cos C ．
化简，得 sin 2A sin 2C ．
由 b2b1 b1 (2 p 2)d p ，得 b1 1．
∴ Tn
2．若 1 mi 1 ni （ m， n R ，i 为虚数单位），则 mn 的值为 ▲ ． i
3．
已知双曲线 x2 a2
y2 4
1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，则 a 的值为
▲
．
4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名．现用分层抽
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) ln x x a ， a R ． x

2013~2014常州教育学会高一下数学期末统考试卷

常州市教育学会学业水平监测高一数学试题 2014.6一·填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.过两点A （-2，m ），B （1，4）的直线倾斜角是45°，则m 的值是 __ .2.已知｛a n ｝为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S3=12，则公差d 等于__ .3.若关于x 的不等式m （x-1）>x2-x 的解集为{x|1<x<2}，则实数m 的值为__ .4.设a,b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α;②若a ⊥b ，a ⊥α，则b∥α；③若a ⊥α,a ⊥β,则a ∥β；④若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α.其中所有正确命题的序号是__ .5.已知直线l 1:x+my+56=0与l 2:(m -2)x+15y+2m=0平行，则m 的值是__ . 6.正项等比数列｛a n ｝的公比为2，且a 1·a 2···a 30=230,则a 2·a 5···a 20的值为__ .7.点(-1,2)关于直线l ：x+y=2对称点的坐标是__ .8.在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，b =2,B =6,若ΔABC 有两个解，则a 的取值范围是__ .9.已知｛a n ｝为等比数列，其前n 项和为S n ，且S n =3n+1+l ，则l =__ .10.对一切实数x ，不等式x 2+a ︱x ︱+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__ .11.已知圆（x-1）2+（y+2）2=16上到直线l ：3x-4y-6=0的距离为h 的点恰有两个，则h 的取值范围是__ .12.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若a 、b 、c 成等比数列，则B 的取值范围是__ .13.在圆x 2+y 2-5x=0内，过点（2325，）有n 条长度成等差数列的弦，最小弦长为a 1，最大的弦长为a n ，若公差d ∈[3151，]，那么n 的取值集合是__ .14.已知各项全不为零的数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n =31a n a n+1(n ∈N *),其中a 1=1,则a 2014=__ .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，b =a cosC+7c,a=8，△ABC 的面积为10√3.（1）求角A 的正弦值；（2）求b+c 的值. 16.(本小题满分14分)长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2AA 1，点E 、F 分别为C 1D 1、BD 的中点，求证：（1）EF ∥面A 1ADD 1，(2)面BDE ⊥面BCE.17,（本题满分14分）已知正实数x,y满足xy=2x+y,(1）当x,y为何值时，xy取得最小值(2）若x+y+z>0恒成立，求z的取值范围18、（本题满分14分）某区招商引资建设若干项目。

2013-2014学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2013-2014学年高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是，解得：正方体的棱长为=3即为球的直径，所以半径为）5．（5分）已知圆与圆相交，则与圆7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为B，圆锥的高为：π××22B=，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．所以球的体积为：10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．，故答案是11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于1．，∴===中，EOF=13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P 的坐标为（3，1）．，求得定点，14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3]．=1=315．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．R=V=SH=．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．的圆锥．．17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．；时，有故它们之间的距离为18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．BE=19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．FEG==．．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．由．21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．=AB=40AC=10，=．所以船的行驶速度为．．。

江苏省常州市2013-2014学年高一下学期期末考试物理试题-Word版含解析

江苏省常州市2013-2014学年高一下学期期末考试物理试题-Word版含解析江苏省常州市2013-2014学年下学期期末考试高一物理试卷一、单项选择题（共6小题，每小题3分，共18分）．3．（3分）（2013•朝阳区二模）经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨．“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T1和T2，它们在近日点的加速度分别为a1解：根据开普勒第三定律有：根据万有引力产生加速度有4．（3分）高中生小明骑电动自行车沿平直公路行驶，因电瓶“没电”，改用脚蹬车以5m/s 的速度匀速前进，骑行过程中所受阻力恒为车和人总重的0.02，取g=10m/s2．估算小明骑5．（3分）某静电场的电场线分布如图所示，一负点电荷只在电场力作用下先后经过场中的M、N两点．过N点的虚线是电场中的一条等势线，则（）6．（3分）右侧方框内为某台电风扇的铭牌，如果已知该电风扇在额定电压下工作时，转化为机械能的功率等于电动机消耗电功率的97%，则在额定电压下工作时，通过电动机的电流I及电动机线圈的电阻R分别是（）10．（4分）以恒定的功率P行驶的汽车以初速度v0冲上倾角一定的斜坡，设受到的阻力（不包括汽车所受重力的沿斜面向下的分力）恒定不变，则汽车上坡过程中的v﹣t图象可能是B三、填空题（每空2分，共20分）11．（8分）现有一个灵敏电流计，它的满偏电流为I g=1mA，内阻R g=200Ω，若要将它改成量程为3V的电压表，应串（填“串”或“并”）一个2800Ω的电阻；若要将它改装成量程为50mA的电流表，应并（填“串”或“并”）一个4Ω（保留一位有效数字）．﹣=12．（12分）某同学用如图a所示的实验装置验证重物自由下落过程中机械能守恒定律：（1）实验中，下列测量工具会用到的有CEA．天平B．秒表C．交流电源D．直流电源E．刻度尺（2）为保证重物的初速度为零，所选择的纸带第1、2两点间距应接近2mm；（3）已知电源的频率为50Hz，重物的质量m=1kg，当地重力加速度g=9.80m/s2，实验中该同学得到的一条点迹清晰的完整纸带如图b所示，纸带上的第一个点记为O，另选连续的三个点A、B、C进行测量，图中给出了这三个点到O点的距离h A、h B和h C的值，回答下列问题（计算结果保留3位有效数字）：打点计时器打B点时重物的速度v B= 3.95m/s，由O到B点，重物动能的增加量等于7.80J，重物重力式能的减小量等于7.84J，实验结论是：在误差允许范围内机械能守恒．h==0.002m=2mm==7.80J四、解答题（共5小题，46分。

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2013-2014学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线位置上．1．（3.00分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=．2．（3.00分）与﹣660°角终边相同的最小正角是．3．（3.00分）求值：=．4．（3.00分）已知点M（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第象限．5．（3.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=．7．（3.00分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为．8．（3.00分）已知平行四边形ABCD，M是AD的中点，若，则向量=（用向量表示）．9．（3.00分）已知向量，若，则实数k=．10．（3.00分）已知函数，则满足f（x0）=1的实数x0=．11．（3.00分）已知，则=．12．（3.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边在y轴上的角的集合是；②函数y=sinx在第一象限是增函数；③函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象．13．（3.00分）若函数y=2sinx在区间（n，m）（n＜m）上的值域是[﹣2，1），则m﹣n的最大值是．14．（3.00分）如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B 作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知函数的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={x|log2x＜﹣1}．（1）求A∪C；（2）若C⊊（A∩B），求a的值．16．（10.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的值域．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．18．（10.00分）坐落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角∠ACB=45°，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．19．（10.00分）已知函数的图象如图所示，直线是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；（2）若f（α）=且，求f（α）的值．20．（10.00分）已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2013-2014学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线位置上．1．（3.00分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x|1＜x≤2} ．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}故答案为：{x|1＜x≤2}2．（3.00分）与﹣660°角终边相同的最小正角是60°．【解答】解：与﹣660°终边相同的角的集合为{α|α=﹣660°+k•360°，k∈Z}令﹣660°+k•360°＞0°解得k＞故k=2时，α=60°满足条件故答案为：60°3．（3.00分）求值：=﹣．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣4．（3.00分）已知点M（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第四象限．【解答】解：∵点M（tanα，cosα）在第二象限，∴∴α在第四象限．故答案为：四5．（3.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．【解答】解：由点P在线段AB上，且作图如下：可得P为AB的三等分点，且靠近A，由实数与向量的乘法的意义可得，∴λ=故答案为：6．（3.00分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=4．【解答】解：设f（x）=x n，∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴2n=∴n=﹣2．这个函数解析式为f（x）=x﹣2．则f（）=（）﹣2=4故答案为：4．7．（3.00分）设a=log30.8，b=log30.9，c=0.80.9，则a，b，c按由小到大的顺序排列为a＜b＜c．【解答】解：∵y=log3x是增函数，∴a=log30.8＜log30.9=b＜log31=0，c=0.80.9＞0，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．8．（3.00分）已知平行四边形ABCD，M是AD的中点，若，则向量=﹣（用向量表示）．【解答】解：如图所示，∵平行四边形ABCD，M是AD的中点，∴．在△ABM中，==．故答案为：．9．（3.00分）已知向量，若，则实数k=8．【解答】解：由题意可得=（1，2）﹣2（0，﹣1）=（1，4），∵，∴=0，代入数据可得1×k+4×（﹣2）=0，解得k=8故答案为：810．（3.00分）已知函数，则满足f（x0）=1的实数x0=2或﹣．【解答】解：若x0＞0，由f（x0）=1得，即x0﹣2=0，∴x0=2，若﹣1≤x0≤0，由f（x0）=1得sin（π）=1，即π=，即x0=或（舍去），∴x0=2或，故答案为：x0=2或．11．（3.00分）已知，则=﹣．【解答】解：∵sin（﹣2x）=cos[﹣（﹣2x）]=cos（+2x）=2cos2（x+）﹣1∵cos（x+）=∴sin（）=2×=故答案为：12．（3.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是③④．①终边在y轴上的角的集合是；②函数y=sinx在第一象限是增函数；③函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图象．【解答】解：①终边在y轴上的角的集合是}，故①不正确；②因为第一象限角描述的是角的位置，而角的大小不能确定，故函数y=sinx在第一象限是增函数不正确；③函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，最小正周期是π，正确；④把函数的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[（2﹣）+]=3sin2x的图象，故正确．故答案为：③④．13．（3.00分）若函数y=2sinx在区间（n，m）（n＜m）上的值域是[﹣2，1），则m﹣n的最大值是．【解答】解：由y=2sinx=﹣2，则sinx=﹣1，由y=2sinx=1得sinx=，即﹣1≤sinx，不妨取一个周期区间[]，当sinx=时，x=或，∴满足条件的最大值区间为（，），此时m﹣n的最大值为，故答案为：．14．（3.00分）如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B 作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为（log32，2）．【解答】解：设A（n，3n），B（m，3m），由9x=3m=32x，即m=2x，解得x=，即C（，3m）．∵AC平行于y轴，∴n=，m=2n，∴A（，3n），B（m，3m）．又A，B，O三点共线．∴k OA=k OB，∴=，∴3m=2•3n=32n，即3n=2，即n=log32，∴，故点A的坐标是（log32，2）．故答案为：（log32，2）．二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知函数的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={x|log2x＜﹣1}．（1）求A∪C；（2）若C⊊（A∩B），求a的值．【解答】解：（1）由题意得，A=（0，+∞），C=（0，）∴A∪C=（0，+∞）（2）由题意得，B=（﹣∞，）∴A∩B=（0，）∵C⊊（A∩B），∴∴0＜a＜2又∵a∈N*∴a=116．（10.00分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，，∴函数f（x）是奇函数．（2）令t=2x，∵x∈（1，+∞），∴t∈（2，+∞），则函数f（x）等价为y=g（t）=，∵t＞2，∴t+1＞3，，∴，故函数的值域为（﹣1，）．17．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．18．（10.00分）坐落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角∠ACB=45°，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【解答】解：如图作CE⊥AB于E．∵AB∥CD，AB=150，CD=90，∴BE=90，AE=60．设CE=x，∠ACE=α，∵∠ACB=45°，∴∠BCE=45°﹣α．在Rt△AEC和Rt△BEC中，∵tanα=，tan（45°﹣α）=∴=tan（45°﹣α）=，化简整理得x2﹣150x﹣5400=0，解得x1=180，x2=﹣30（舍去）．答：两建筑物底部间距离BD是180米．19．（10.00分）已知函数的图象如图所示，直线是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式并写出函数的单调增区间；（2）若f（α）=且，求f（α）的值．【解答】解：（1）由题意，，∴T=π，又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），（2分）由，解得，又，∴，∴．（5分）由知，∴函数f（x）的单调增区间为．（7分）（2）解法1：依题意得：，即，（8分）∵，∴，∴，（10分）∵．（14分）解法2：依题意得：，得，①（9分）∵，∴，∴=，（11分）由得②①+②得，∴（14分）解法3：由得，（9分）两边平方得，，∵∴，∴，（11分）∴，又，∴，∴．（14分）20．（10.00分）已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）⇒log4（4﹣1+1）﹣k=log4（4+1）+k，∴．（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令t=2x＞0，则方程有一个正根①，不合题意；②或﹣3若，不合题意；若③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。