文档：怎样利用垂径定理进行证明或计算

怎样利用垂径定理进行证明或计算？

垂径定理及其推论中的三要素是：垂直、平分、过圆心(直径)．它们在圆内常常构成角相等、等分线段、直角三角形等．从而可应用勾股定理或解直角三角形的方法进行其证明或计算．下面举例说明．

例1已知：图1的⊙O中弦AB=12，OM垂直AB于M，OM=6．求：(1)∠AOB的度数；(2)⊙O的半径．

解：连结OA、OB，因为OM垂直AB于M，所以

因为 OM=6，所以∠AOM=∠OAM=45°．

同理∠OBM=∠BOM=45°，

所以∠AOB的度数为90°．

利用直角三角形的边角关系得出结论．

例2已知：图2中，AB是⊙O的直径，弦CD在AB同一侧，CE⊥CD于E，DF⊥CD于F．求证：AE=BF．

分析：此题是圆和直角梯形，并且点O是AB的中点，由此联想梯形的中位线，作OG 垂直CD于G，有垂径平分弦CG=DG，利用平行线等分线段可得OE=OF，因此 AE=BF．证明略．

例3如图3，半径为10厘米的⊙O中，弦AB⊥CD于 E，AB=CD=16厘米，求OE的长．

分析：要把OE纳入三角形或特殊四边形才利于计算．作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，容易证明四边形EGOF为正方形，且AF=BF=CG=GD=8厘米,那么OF

利用垂径垂直弦，构造直角三角形或特殊四边形，再进行推证和计算是本例的特点．例4如图4所示，已知⊙O的半径为5厘米，A为⊙O外一点，ACB交⊙O于C和B，若AO=8厘米，∠OAB=30°．求 AC、BC的长．

分析：利用垂径是经过圆心的直径，构造直角三角形．作OD⊥BC于D，连结OB得直角三

角形AOD和直角三角形BOD．在直角三角形AOD中,∠OAB=30°,

将垂径定理与勾股定理结合起来，容易得到圆中半径R、弓形高h、弦长d(图5)之间的关系：

根据此公式，R、h、d这三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量．