第三章 湘江流量估计模型——数值积分法(修改2010.3.19)

第三章 湘江流量估计模型

——数值积分法

3.1 湘江水流量估计的实际意义

水流量是水文特征值的一个重要指标，而水文特征值对于水资源的合理利用，防洪以及抗旱具有指导性的作用，因此湘江水流量估计对于湘江流域的社会经济和人民生活具有重大的影响。现根据实际测量得到湘江某处河宽700m ，其横截面不同位置某一时刻的水深如表3.1.1所示。若此刻湘江的流速为0.5m/s ，试估计湘江此刻的流量。要计算湘江水流量就需要知道其横截面面积，如果知道此处江的水深曲线函数()h x ，则其横截面面积为()b

a h x dx ⎰。但是在实际中()h x 是

不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的横截面面积的近似值。

表3.1.1 湘江某处横截面不同位置的水深数据 单位：m x

50

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

h(x) 4.2 5.9 5.8

5.2

4.5

5.7

5

5.5

4.8

5.9

4.1

5.1

4.6

5.7, 4.7

3.1.1 数值求积的必要性

在高等数学中，曾用牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式：

()()

()()b

b

a

a

f x dx F x F b F a ==-⎰

（其中()F x 是()f x 的一个原函数）来计算定积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到如下情况：

(1)()f x 的结构复杂，求原函数困难； (2)()f x 的原函数不能用初等函数表示；

(3)()f x 的精确表达式不知道，只给出了一张由实验提供的函数表。

对于这些情况，要计算积分的精确值都是十分困难的，这就要求建立积分的近似计算方法。此外，积分的近似计算又为其它一些数值计算，例如微分方程数值解、积分方程数值解等提供了必须的基础。

3.1.2 构造数值求积公式的基本方法

可以从不同的角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式。但常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式。具体做法如下：

在积分区间[,]a b 上取一组点：

01n a x x x b ≤<<<≤，作()f x 的n 次插值多项式：

()()()n

n k k k L x f x l x ==∑

其中()(0,1,

,)k l x k n =为n 次Lagrange 插值基函数。用()n L x 近似代替被积函数

()f x ，则得：

()()()()n

b

b

b

n k k a

a

a

k f x dx L x dx f x l x dx =≈=∑⎰

⎰⎰ （3.1.1）

若记

011011()()()()

()()()()()

b

b

k k n k k a

a

k k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰

（3.1.2）

得数值求积公式：

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

（3.1.3）

形如（3.1.3）的求积公式称为机械求积公式。其中k x 称为求积节点，k A 称为求积系数。若求积公式（3.1.3）中的求积系数k A 是由（3.1.2）确定的，则称该求积公式为插值型求积公式。

本章主要讨论插值型求积公式。

3.1.3 求积公式的余项

积分()b

a f x dx ⎰的真值与由某求积公式给出的近似值之差，称为该求积公式的余项，记作[]R f 。

例3.1.1 求积公式（3.1.3）的余项为：

[]0

()()n

b

k k a

k R f f x dx A f x ==-∑⎰

如果求积公式（3.1.3）是插值型的，则由上知：

[]()()[()()]b

b

b

n n a

a

a

R f f x dx L x dx f x L x dx

=-=-⎰⎰⎰

于是，由插值余项公式得：

[](1)1()

()(1)!

n b n a

f R f w x dx n ξ++=+⎰

（3.1.4）

其中

101()()()(),(,)n n x x x x x x x a b ωξ+=--⋯-∈。

3.1.4 求积公式的代数精度

为了使一个求积公式能对更多的积分具有良好的实际计算意义，就应该要求

它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在数值计算中，常用代数精度这个概念来描述。

定义3.1.1 若求积公式：

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

对任意不高于m 次的代数多项式都准确成立，而对于1m x +却不能准确成立，则称该公式的代数精度为m 。 例3.1.2 梯形公式（在几何上就是用梯形面积近似代替曲边梯形面积，如图3.1.1所示）

[]()()()2

b a

b a f x dx f a f b -≈+⎰ （3.1.5） 的代数精度1m =。

图3.1.1 梯形求积公式几何直观示意图

解：当()1f x =时，在（3.1.5）中：

左端=⎰-=b

a a

b dx 1，

右端=

[]a b a

b -=+-112

， 左端=右端， 这表明求积公式（3.1.5）对()1f x =是准确成立的；

当()f x x =时，在（3.1.5）中：

左端=

[])(21222a b b a a

b -=+-， 右端=)(2

122a b xdx b a

-=⎰， 左端=右端，

这表明求积公式（3.1.5）对()f x x =也是准确成立的；

综上所述，容易看出求积公式（3.1.5）对函数()1f x =和()f x x =的任一线性组合（不高于一次的代数多项式）都准确成立，故公式（3.1.5）的代数精度m

)

(x f y =y

x

A

B

b

a