第5章 张角定理及应用
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第5章 张角定理及应用
【基础知识】
张角定理 设A ，C ，B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线PA ，PC ，PB 上的点，线段AC ，CB
对点P 的张角分别为α，β，且180αβ+<︒，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是：sin()
PC
αβ+=
sin sin PB PA
αβ
+
． 证明 如图5-1，A ，C ，B 三点共线ABP ACP CBP S S S ⇔=+△△△
β
αC
B
A
P
图5-1
111
sin()sin sin 222PA PB PA PC PC PB αβαβ⇔⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ sin()sin sin PC PB PA
αβαβ
+⇔
=+
． 推论 在定理的条件下，且αβ=，即PC 平分APB ∠，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是：
2cos PC
α
= 11
PB PA
+
． 注 若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点C 可表示在AB 的延长线上的情形．
上述定理把平面几何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式．用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决． 【典型例题与基本方法】
1．恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键
例1 如图5-2，已知ABCD 为四边形，两组对边延长后得交点E ，F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =． （1978年全国竞赛题）
ββ
αG
F
E
D
C
B A
图5-2
证明 以E 为视点，令BEC α=∠，CEG β=∠，分别对B ，C ，F ；A ，D ，F 及A ，C ，G 应用张角定理，得
sin()sin sin EC EF EB
αβαβ
+=+
， ① sin()sin sin ED EF EA αβαβ
+=+
， ② sin()sin sin EC EG EA
αβαβ
+=+
．
③
又由BD EF ∥，有BDE β=∠，在△BED 中应用正弦定理，有sin()sin ED EB
αββ
+=
． 由①+②-③-④，得
2sin sin EF EG
αα
=
， ∴ 2EF EG =，即EG GF =．
例2 已知ABC △的顶点A ，B ，C 对应的三边长分别为a ，b ，c ，E 为其内切圆圆心，AE 交BC
于D ．求证：AE b c
ED a +=
． （1979年广东省竞赛题）
证明 如图5-3，连BE 并延长交AC 于F ，令BAE α=∠，由于E 为内心，则EAF α=∠．以A 为视点，分别对B ，E ，F 及B ，D ，C 应用张角定理的推论，得
F
E
D
C
B
A
图5-3
2cos 11AE AB AF α=+，2cos 11
AD AB AC α=+
． 上述两式相除，得
()()
AC AB AF AD AE AF AC AB +=+， 而
1AD AE ED ED
AE AE AE
+==+
， 从而 ()()AB AC AF ED AB CF
AE AF AC AB AF AB AC
-==⋅++． ①
又BF 平分B ∠，则
AB AF BC CF =，即AB BC
AF CF
=
． 于是，由上式代入①式，得
ED BC AE AB AC =+，故AE b c
ED a
+=
． 例3 如图5-4，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠．在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，
延长DF 交BC 于G ．求证：GAC EAC =∠∠． （1999年全国高中联赛题）
（G '）
G
F
E
D
C
B
A
图5-4
证明 作CAG CAE '=∠∠，交BC 于G '．只须证G '，F ，D 三点共线，设BAC CAD θ==∠∠，
CAG CAE α'==∠∠．
以A 为视点，分别对B ，F ，E ；B ，G '，C ；C ，E ，D 应用张角定理，有 ()sin sin sin AF AB AE θααθ
+=+
， ① sin sin sin()
AG AB AC
θαθα-=+
'， ② sin sin sin()
AE AD AC θαθα-=+
， ③
由①-②+③式，得
sin()sin sin AF AD AG θααθ
+=+
'
． 又以A 为视点，对G '，F ，D 应用张角定理，知G '，F ，D 三点共线．
由此，知G '与G 重合，故GAC EAC =∠∠．
例4 如图5-5，已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，任作一直线顺次交AB ，AC ，AM 于P ，Q ，
N ．求证：
AB AP ，AM
AN
，AC AQ 成等差数列．
（1979年辽宁省竞赛题）