《证明的必要性》教案 探究版

《证明的必要性》教案 探究版

教学目标 知识与技能

运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 过程与方法

经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．

情感、态度

了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． 教学重点

理解推理、论证的必要性 教学难点 推理论证的过程 教学过程 一、情境导入

小明任意画了几个三角形，用量角器分别测量各三角形内角的度数，然后把三个角度加起来，发现每个三角形的内角的和都是180度.

于是他就得出了一个一般性的结论：

小颖对小明的做法提出了异议：你怎么知道你的结论一定可靠呢？三角形有无数个，你才测量了几个三角形？即使测量几千个、几万个，也只是很小的一部分，怎么能从这很小的一部分的性质推出所有三角形的性质呢？

再说，你的测量不可能没有误差，你怎么能确定三角形的内角和正好是180度，而不是181度或179度呢？

再来考考你的眼力：下图a ，b ，c 中的谁与线段d 在一条直线上？

直接凭感觉很容易出现错误判断，只有亲自用直尺比量验证一下，才能确定问题的正确答案.

设计意图：受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.

二、探究新知

在数学学习中，我们可以通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题，这些命题不一定是真命. 我们一同来做几个猜想并验证的活动：

1.某学习小组发现，当n =0，1，2，3时，代数式n 2－n +11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ，n 2－n +11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．

答案：列表归纳为

2.小刚发现122>

，133>，1

44

>，由此得到一个命题：任何一个整数都大于它的倒数.你认为小刚得出的命题正确吗？为什么？

答案：不正确：如122-<

-，1

11

=，等． 通过验证包括举反例发现：大于2的整数都大于它的倒数.

3.小颖在一张纸上画出一条直线，这条直线把纸面分成2部分；她在纸上又画出一条直线，发现这两条直线最多可以把纸面分为4部分．于是她猜想：“三条直线最多可以把一个平面分为6部分．”小明则认为：“三条直线最多可以把一个平面分为7部分．”你认为谁

d

a

b

c

的说法是正确的？为什么？

答案：通过画图验证发现：三条直线如果相交于一点，则可将纸面分成六部分；但是如果不相交于一点，则最多可以把纸面分成七部分，如图：

通过猜想并验证活动，我们可以体会到：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根据地进行推理．推理的过程就是证明（proof ）．

三、典例精讲

例1 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ．DE 与BC 有怎样的位置关系和数量的关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？与同伴进行交流．

解：过C 作AB 的平行线交DE 的延长线于G 点．

∵CG ∥AD ， ∴∠A =∠ACG ．

∵∠AED =∠CEG ，AE =CE ，∠A =∠ACG ， ∴△ADE ≌△CGE （ASA ）．

A

D

E

B

C

G

A

D E

B

C

∴AD =CG (全等三角形对应边相等)． ∵D 为AB 中点， ∴AD =BD ． ∴BD =CG ． 又∵BD ∥CG ，

∴BCGD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ∴DG ∥BC 且DG =BC ． ∴DE ∥BC ，22

DG BC

DE =

=．

例2 如图，四边形ABCD 四边的中点E 、F 、G 、H ，度量四边形EFGH 的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？

解：连接AC ．

∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边中点， ∴EF ∥AC ，EF =

21AC ；GH ∥AC ，GH =2

1

AC ． ∴EF 平行且等于GH ． ∴四边形EFHG 为平行四边形． 四、课堂练习

1．（1）解决我们开始提到的问题，如图中三条线段a 、b 、c ，哪一条线段与线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下．

（2）图中两条线段a 与b 的长度相等吗？

A B

E C

D

F G H

2．当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？

答案：1.（1）线段b与线段d在同一直线上．

（2）线段a与b的长度相等．

2.当n＝11时，231155

++=，是合数，所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定n n

是质数．

五、课堂小结

今天这节课你学到了什么知识？

1.要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．

2.要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．

设计意图：通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学杜绝随意性，数学是严密的科学．

六、布置作业

1．下列结论，你能肯定的是（）

A．今天天晴，明天必然还是晴天．

B．三个连续整数的积一定能被6整除．

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖．

D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的

2．下列推理正确的是（）

A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁

B．如果a＞b，b＞c，则a＞c

C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多

D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角

3．如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是A，B，C，D四个同学