2020年马鞍山市二模文科数学含参考答案
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. 0，B. 0，C. 0，1，D. 0，1，2，2.已知复数z满足，，则A. 0B. 1C.D.3.命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A. 乙所得分数的极差为26B. 乙所得分数的中位数为19C. 两人所得分数的众数相同D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数5.已知a，b，，，，，则下列不等关系中正确的是A. B. C. D.6.函数的图象平移后对应的函数为，若为偶函数，则的最小值为A. B. C. D.7.函数的图象大致为A. B.C. D.8.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是若，，则；若，，则；若，，，则；若，，，则；A. 1B. 2C. 3D. 49.已知三内角A，B，C满足且，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，10.若点A为抛物线上一点，F是抛物线的焦点，，点P为直线上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 811.已知三棱锥中，，，，平面平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知函数的定义域为，是的导函数．若，则关于x的不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且，则______．14.已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为______．15.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点到渐近线的距离为______．16.根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.记是等差数列的前n项和，且，．求的通项公式；求数列的前n项和．18.如图，在长方体中，，，P为的中点．证明：平面平面；求多面体的体积．19.已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；若点P的坐标为，斜率为的直线l与椭圆相交于E，异于P点两点．证明：PE，PF的斜率，的和为定值．20.为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．1患感冒人数不患感冒人数合计男生3070100女生4258p合计m n200温差x678910患感冒人数y810142023写出m，n，p的值；判断是否有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱若，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱．附：参考公式：，．，，，．21.已知函数．讨论的单调性；若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，且，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出曲线C和直线l的直角坐标方程；若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求．23.已知a，b为实数，且满足证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：0，1，2，，0，1，，0，1，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：由，得，．故选：A．把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：C解析：解：全称命题的否定是特称命题．命题p：，的否定是：，；故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．4.答案：D解析：解：A、乙所得分数的极差为，故本选项说法正确；B、乙所得分数的中位数为19，故本选项说法正确；C、甲、乙两人所得分数的众数都为22，故本选项说法正确；D、，，则，故本选项说法错误．故选：D．根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．5.答案：D解析：解：，，，，．．故选：D．，，，，，即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：函数的图象平移后对应的函数为，由于为偶函数，所以，解得，当时，，即的最小值为．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：B解析：解：函数的定义域为，，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当，排除C，D，故选：B．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．8.答案：B解析：解：对于，若，，则或，故错误；对于，若，，则或与，故错误；对于，若，，则，又，，故正确；对于，若，，，则，故正确．说法正确的个数是2．故选：B．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：D解析：解：，，可得：，由正弦定理得：，，又，可得：，可得：，由于A，B为锐角，可得．故选：D．由二倍角的余弦函数公式化简已知可得，由正弦定理得：，可求，由已知等式及二倍角公式可得，进而可求，即可得解．本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，，，由抛物线的定义可知，，，代入抛物线方程，得，不妨取点A为，设点F关于的对称点为E，则，．故选：B．先根据抛物线的定义可知，，可求出，代入抛物线方程后可得点A的坐标，设点F关于的对称点为E，则，利用点关于直线的对称性，将问题进行转化，，最后利用两点间距离公式求出线段的长即可得解．本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：取AB的中点D，连接CD，PD，如图所示：因为，，，所以，所以为直角三角形，且，点D是AB的中点，，点D为的外接圆的圆心，又平面平面ABC，且，平面PAB，此三棱锥的外接球的球心在CD上，又为等边三角形，的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的半径，此三棱锥的外接球的表面积为：，故选：B．取AB的中点D，由题意可知点D为的外接圆的圆心，由平面平面ABC得到平面PAB，所以此三棱锥的外接球的球心在CD上，又为等边三角形，所以的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出的外接圆的半径即可解题．本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．12.答案：C解析：解：函数的定义域为，不等式，即．令，，，，函数在上单调递减，，即为：，解得．关于x的不等式的解集为故选：C．函数的定义域为，不等式，即令，，利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：2解析：解：，则，，，故答案是：2．根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．14.答案：解析：解：六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，基本事件总数，数字之和为偶数包含的基本事件个数，则数字之和为偶数的概率．故答案为：．基本事件总数，数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出数字之和为偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：2解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，双曲线方程为：，可得焦点坐标，焦点到渐近线的距离为：．故答案为：2．通过双曲线的渐近线方程，求出m，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16.答案：乙、丁解析：解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选，若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾，若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾，若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求，故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁，故答案为：乙、丁．利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出．本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档题．17.答案：解：等差数列的公差设为d，由，，可得，，即，解得，，则；，可得．解析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．18.答案：解：证明：在长方体中，，，P为的中点．，，，，，，，平面，平面平面平面．解：多面体的体积为：．解析：推导出，，从而，，从而平面由此能证明平面平面．多面体的体积为：，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由椭圆的方程可得，，由题意可得中线AP的方程为：，设，联立直线与椭圆可得：，整理可得：，所以，所以，代入直线AP中可得，所以，所以，所以直线PB的斜率为；由题意设直线l的方程，设，，则直线l与椭圆联立，整理可得，，即，，，所以，所以可证的PE，PF的斜率，的和为定值0．解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标，由题意可得中线AP的方程，与椭圆联立求出P的坐标，进而求出直线PB的斜率；设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出，的和，求出为定值．本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：根据表中数据直接可以得出，，；由题中数据直接代入，所以没有的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；由题，，所以，则，所以y与x的线性相关性很强．解析：根据表中数据直接可以算出结果；由题中数据直接代入公式，算出结果，进而判断结论；由题算出，代入r公式即可算出结果，进而判断结论．本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题．21.答案：解：由已知，函数的定义域为，，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增．综上，的单调递减区间为，单调递增区间为；恒成立，即等价于恒成立，令，令，则在上恒成立，在上单调递增，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，，，即实数a的取值范围为．解析：求导，判断导函数与0的关系，进而得出单调性情况；问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．直线l与x轴交点记为M，即，转换为参数方程为为参数与曲线C交于P，Q两点，把直线的参数方程代入方程．得到，所以，，则：．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：，当且仅当取等号，且，，，；证明：a，b为实数，且满足．可得：，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为，，因为，所以．所以．解析：根据基本不等式即可证明；利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可．本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．。
2020年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷2(3月份) (含答案解析)
2020年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷2（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|(x −2)(x +1)≥0}，则A ∩∁U B =( )A. (0,2)B. [2,4]C. (−∞,−1)D. (−∞,4]2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z1+i =( )A. −32+32i B. −32+12i C. −12+32i D. 12+32i 3. 若函数f (−x )=x 3+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为( )A. y =5x −3B. y =x −1C. y =5x −5D. y =−x +1 4. 若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=14，则S 8等于( )A. 14B. 28C. 56D. 1125. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6. 已知y =sinx ，在区间[−π,π]上任取一个实数x ，则y ≥−12的概率为( )A. 712 B. 23 C. 13 D. 56 7. 平面上四个点P,A,B,C 满足PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 2B. 23C. 32D. 38. 已知A,B,C 三点都在以O 为球心的球面上，OA,OB,OC 两两垂直，三棱锥O −ABC 的体积为43，则球O 的体积为( )A.16π3B. 16πC.32π3D. 32π9. 抛物线x 2=2py(p >0)的准线交圆x 2+y 2+6y −16=0于点A ，B.若|AB|=8，则抛物线的焦点为( )A. (4,0)B. (0,2)C. (0,6)D. (0,3)10. 已知f(x)={e x+1,x ≤2−log 2(x −1),x >2，且f(x 0)=1，则f(4−x 0)=( )A. −2B. −1C. 0D. 111. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线方程为x +2y =0,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|=5，则|PF 2|= ( )A. 1B. 3C. 1或9D. 3或712. 如图，四棱锥S −ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A. 2+√3B. 3+√3C. 3+2√3D. 2+2√3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{1≤x ≤3−1≤x −y ≤0，则z =y x 的最大值为______ ．14. 从6个运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么有_______种不同的参赛方案(用数字作答)．15. 用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n +2(n ∈N ∗)”时，第一步验证的表达式为__________． 16. 函数f(x)=sin(x +π6)+sin(x −π6)−cosx +3的最小值等于__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AD =1，BD =2√10，∠CAD =π4，tan∠ADC =−2．(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积．18.如图，四边形ABCD为菱形．将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．(1)求证：直线BD⊥平面ACE；(2)若二面角E−BD−C的大小为60°，∠DBF=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,P(−2,0)是它的一个顶点，过点P作圆C2:x2+y2=r2的切线PT,T为切点，且|PT|=√2．(1)求椭圆C1及圆C2的方程；(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A,B两点，求△ABD面积的最大值．20.某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜(以下简称A蔬菜)，购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的A蔬菜没有售完，则批发商将没售完的A蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A蔬菜低价处理完，且当天不再购进).该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天A蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．(1)若某天该蔬菜批发商共购入6袋A蔬菜，有4袋A蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买．现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？(2)若今年A蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商每天都购进A蔬菜5袋或者每天都购进A蔬菜6袋，估计这100天的平均利润，以此作为决策依据，该蔬菜批发商应选择哪一种A蔬菜的进货方案？21.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax −1(a∈R)，当0<a<12时，讨论f(x)的单调性．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =2+2cos θy =−1+2sin θ(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．23. 已知函数f(x)=|x −a|+12|x +3|．(1)当a =1时，解不等式f(x)≤3;(2)若f(x)≥x +2对于任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集与补集运算，属于基础题．求出集合A与集合B的补集，即可得出A∩∁U B.【解答】解：集合A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4}，B={x|(x−2)(x+1)≥0}={x|x≤−1或x≥2}，则∁U B={x|−1<x<2}．所以A∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2)．故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z，代入z1+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意，z=−1+2i，则z1+i =−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i．故选：D．3.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．利用导数研究曲线上某点切线方程计算得结论．【解答】解：因为函数f(−x)=x3+x2，所以f(x)=−x3+x2，因此f’(x)=−3x2+2x，所以f’(1)=−1，f(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−(x−1)=−x+1．故选D．4.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由等差数列性质得S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为S n，a4+a5=14，∴S8=82(a1+a8)=82(a4+a5)=56．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，考查读图能力，属于基础题．结合折线图逐项分析即可．【解答】解：由图知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．6.答案：B解析：【分析】本题考查几何概型，考查已知三角函数值求角，属于基础题．求出满足y≥−12的角x的范围，由测度比是面积比得答案．【解答】解：y =sinx ，由y ≥−12，得sinx ≥−12， ∵x ∈[−π,π]，可得x ∈[−π,−5π6]∪[−π6,π]，∴满足y ≥−12的概率为−5π6−(−π)+π−(−π6)2π=23．故选：B ．7.答案：B解析：【分析】本题主要考察向量的加减法运算，属简单题．【解答】∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ=23． 故答案为B ．8.答案：C解析： 【分析】本题考查简单组合体的结构特征及三棱锥的体积及球的体积公式的应用，基础题 设球O 的半径为R ，先求出三棱锥的体积为16R 3，列方程求出球的半径即可． 【解答】解：设球O 的半径为R ， 则OA =OB =OC =R ，所以三棱锥O −ABC 的体积=13×(12R 2)R =16R 3， 由16R 3=43，可得R =2， 故球O 的体积为．故选C ．9.答案：C解析：解：抛物线x2=2py(p>0)的准线，：y=−p2，交圆x2+y2+6y−16=0于点A，B．若|AB|=8，可得：|−p2+3|=3，可得p=12，抛物线x2=24y，抛物线的焦点坐标：(0,6)．故选：C．求出抛物线的准线方程，利用直线与圆的关系求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．10.答案：A解析：∵x>2，∴−log2(x−1)<0，∵f(x0)=1>0，∴e x0+1=1，则x0=−1，∴f(4−x0)=f(5)=−log24=−2...11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程.由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|即可．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得1a2=14，∴a=2，由双曲线的定义可得||PF2|−5|=2a=4，∴|PF2|=1或9故选C.12.答案：C解析：【分析】本题考查棱锥的特征、线面平行的判定与性质，根据题意利用线面平行的判定与性质可得四边形CDEF为等腰梯形，进而即可求得结果．【解答】解：因为CD//AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD//平面SAB ，又CD ⊂平面CDEF ，平面SAB ∩平面CDEF =EF ， 所以CD//EF ，因为E 是SA 的中点，所以F 为SB 的中点， 又四棱锥S −ABCD 的所有的棱长都等于2，所以四边形CDEF 为等腰梯形，且CD =2，EF =1，DE =CF =√3， 所以四边形CDEF 的周长为3+2√3． 故选C ．13.答案：2解析：解：由约束条件{1≤x ≤3−1≤x −y ≤0作出可行域如图，联立{x =1x −y =−1，解得A(1,2)，k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，利用z =yx 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：240解析： 【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题.由题意知，先从甲，乙以外的4名运动员中选1人跑第一棒，再从剩下的5人中选3人跑第二，三，四棒，利用乘法原理可求出结果． 【解答】解：第一步，从甲，乙以外的4名运动员中选1人跑第一棒有C 41种选法；第二步，从剩下的5人中选3人跑第二，三，四棒，有A 53种选法；根据乘法原理有C 41A 53=4×5×4×3=240种参赛方案．故答案为240．15.答案：21+1≥12+1+2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n =1时，21+1≥12+1+2．16.答案：1解析：因为f(x)=2sinxcos π6−cosx +3=√3sinx −cosx +3=2sin(x −π6)+3.所以f(x)的最小值为1．17.答案：解：(1)∵tan∠ADC =−2，∴sin∠ADC =2√55，cos∠ADC =−√55． ∴sin∠ACD =sin(∠CAD +∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC +cos∠CADsin∠ADC =√22×(−√55)+√22×2√55=√1010． 在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD =CDsin∠CAD ，即√1010=√22，解得CD =√5． (2)∵AD//BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°， ∴sin∠BCD =sin∠ADC =2√55，cos∠BCD =−cos∠ADC =√55． 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CD 2+BC 2−2BC ·CD ·cos∠BCD ， 即40=5+BC 2−2BC ，解得BC =7或BC =−5(舍)． ∴S △BCD =12BC ·CD ·sin∠BCD =12×7×√5×2√55=7．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据tan∠ADC =−2计算sin∠ADC ，得出sin∠ACD ，在△ACD 中使用正弦定理求出CD ； (2)根据∠ADC +∠BCD =180°求出sin∠BCD ，cos∠BCD ，在△BCD 中使用余弦定理解出BC ，则S △BCD =12BC ⋅CD ·sin∠BCD ．18.答案：解：(1)连结AC 、BD ，交于点O ，连结EO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴EO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∵EO ∩CO =O ，EO ，CO ⊂平面ACE ， ∴BD ⊥平面ACE;(2)以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则C(0,√3,0)，E(0,√32,32)，A(0,−√3,0)，B(1,0，0)，CE =(0,−√32,32)，BA =(−1,−√3 ，0)，BE =(−1,√32,32)，设平面ABE 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则 n ⃗⃗⃗ ⋅ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −√3y =0， n⃗⃗⃗ ⋅ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√ 32y + 32z =0，取y =1，得 n ⃗⃗⃗ =(−√ 3,1,− √3)，设直线CE 与平面ABE 所成角为θ，则sinθ= | CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗⃗⃗⃗ | | CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅| n ⃗⃗ |=√3√3√7= 2√ 77， ∴直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值为2√77．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题．(1)连结AC 、BD ，交于点O ，连结EO ，推导出EO ⊥BD ，CO ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面ACE; (2)以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)由椭圆的焦点在x 轴上，则a =2，e =ca=√22，则c =√2，b 2=a 2−c 2=2， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 22=1；由已知r =√|PO|2−|PT|2=√2， 则圆C 2的方程：x 2+y 2=2；(2)设直线l 1的斜率存在，直线l 1的方程：y =k(x +2)，则{y =k (x +2)x 2+2y 2=4,整理得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−4=0， 则x P +x D =−8k 21+2k2，由x P =−2，则x D =2−4k 21+2k 2，则|DP|=√1+k 2|x P −x D |=4√1+k 21+2k2， 直线l 2的方程y =−1k (x +2)， 即x +ky +2=0，则|AB|=2√2−(√1+k2)2=2√2k 2−21+k 2， 则△ABD 面积S △ABD =12×|AB||PD|=12×2√2k 2−21+k 2×4√1+k 21+2k 2 =4√2k 2−22k 2+1=4√2k 2−22k 2−2+3=√2k 2−2+32≤2√3=2√33， 当且仅当√2k 2−2=√2k 2−2，即k =±√102时取等号，∴△ABD 面积的最大值2√33．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率求得a 和c ，b 2=a 2−c 2，即可求得椭圆的方程，利用勾股定理即可求得圆C 2的半径，求得圆C 2的方程；(2)设直线l 1的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|DP|，利用点到直线的距离公式及勾股定理即可求得|AB|，则△ABD 面积S △ABD =12×|AB||PD|，利用基本不等式求得△ABD 面积的最大值．20.答案：解：(1)设这6人中花150元/袋的价格购买A 蔬菜的顾客为a ，b ，其余4人为c ，d ，e ，f ，则从6人中任选2人的基本事件为：(a,b )，(a,c )， (a,d )，(a,e )，(a,f )，(b,c )，(b,d )，(b,e )，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共15个，其中至少选中1人是以150元/袋的价格购买的基本事件有：(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)(b,d)，(b,e)，(b,f)，(a,b)，共9个．所以至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率为P=915=35．(2)当购进A蔬菜5袋时，每天所获平均利润为x1=(100×4−50)×0.3+100×5×0.7=455(元)，当购进A蔬菜6袋时，每天所获平均利润为x2=(100×4−50×2)×0.3+(100×5−50)×0.6+100×6×0.1=420(元)．故应该每天购进A蔬菜5袋，所获平均利润更大．解析：本题考查统计问题和古典概型求概率的问题.是中档题．(1)设这6人中花150元/袋的价格购买A蔬菜的顾客为a，b，列出所有的基本事件即可求出至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率；(2)分别求出两种情况：当购进A蔬菜5袋和购进A蔬菜6袋的每天所获平均利润，直接比较即可得出结论．21.答案：解：∵f(x)=lnx−ax+1−ax−1，∴f′(x)=1x −a−1−ax2=x−ax2−(1−a)x2，=−ax2+x−(1−a)x2=[ax−(1−a)](−x+1)x2又∵0<a<12，∴当0<x<1或x>1a−1时，f′(x)<0，当1<x<1a−1时，f′(x)>0，∴当x∈(0,1)，(1a−1,+∞)时，f(x)单调递减；当x∈(1,1a−1)时，f(x)单调递增．解析：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，先求导，解不等式，即可得到函数的单调性．22.答案：解：直线l的普通方程为x−2y−2=0，曲线C的普通方程为(x−2)2+(y+1)2=4，点(2,−1)到直线x−2y−2=0的距离d=√5=√5，所以AB=2√4−45=8√55．解析：本题考查直线的参数方程及圆的参数方程，以及直线与圆位置关系，属于基础题目．将直线与圆的参数方程转化为普通方程，求出圆心到直线的距离，进而求出弦AB的长度．23.答案：解：(1)由f(x)=|x−1|+12|x+3|可得f(x)={−3x2−12,x<−3,−x2+52,−3≤x≤1, 3x2+12,x>1.若f(x)≤3，则{x<−3,−3x2−12≤3或{−3≤x≤1,−x2+52≤3或{x>1,3x2+12≤3,解得−1≤x≤53，所以不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x≤53}．(2)由题知|x−a|≥x+2−12|x+3|恒成立．设g(x)=|x−a|，ℎ(x)=x+2−12|x+3|={32x+72,x<−3,x2+12,x≥−3.作出g(x)，ℎ(x)的图像，如图所示，由图可知a≤−1，即实数a的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查不等式与绝对值不等式．|x+3|，即可求解不等式f(x)≤3;(1)当a=1时，零点分段化简函数f(x)=|x−a|+12(2)根据绝对值的性质，可得x=a或x=−3时取得最小值同时满足，结合f(x)≥x+2对于任意的实数x恒成立，可得实数a的取值范围．。
2020马鞍山市高三二模数学试卷(文科)答案
A1D 平面 ABC1 ． 又 Q A1D 平面 PA1D ， 平面 PA1D 平面 ABC1 ．
……………………….6 分
【解】（2） V V V V V 多面体P-A1BDD1
三棱锥P- A1D1B
三棱锥D- A1D1B
三棱锥D1 - A1PB
三棱锥B- A1DD1
…….…….8 分
1 3
SA1PB
A1D1
1 3
SA1DD1
AB
1 1 111 1 1 11 2 1
32
32
2
…. ……. ……. ……. ……. …….12 分
19．(12 分) 【解】（1）设 P(x0 , y0 ), 由题知： A（-2, 0），B(2, 0) ，于是：
第 1页（共 4页）
k AP
y0 x0
2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 文科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 C A C D D B A B D
B
B
C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
23 5 5 7
2n 1 2n 3 2 3 2n 3 6 4n 6
……………12 分
18．(12 分) 【证明】（1）如图，连接 AD1 ， Q AA1 AD ， A1D AD1 ．
Q AD1 / /BC1 ， A1D BC1 ．
又 Q A1D AB ，AB I BC1 B ，AB 平面 ABC1 ，BC1 平面 ABC1 ，
2020届安徽省马鞍山市高三下学期第二次教学质量监测数学(文)试题(解析版)
利用积化和差得到 cos A B cos C sin C ，然后下结论.
【详解】因为 cos 2A cos 2B 1 cos 2C ，
所以 2cos A B cos A B 2cos2 C ， 即 cos A B cosC ，
又因为 2sin Asin B sin C ，
所以其否定为特称命题，
故为 p : x0 0, ex0 1 .
故选：C 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A. 乙所得分数的极差为 26 B. 乙所得分数的中位数为 19 C. 两人所得分数的众数相同 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图分析判断. 【详解】A. 由茎叶图知乙所得分数的极差为 26，故正确. B. 由茎叶图知乙所得分数的中位数为 19，故正确. C. 由茎叶图知两人所得分数的众数都是 22，故正确.
3.命题 p : x 0, e x 1 ，则命题 p 的否定是（ ）
A. p : x 0, e x 1
B. p : x 0, e x 1
C. p : x0 0, ex0 1
D. p : x0 0, ex0 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题求解.
【详解】因为命题 p : x 0, e x 1 是全称命题，
a
bi,(a,b R)
，化简为
1 2
1 2
i
a
bi
，再利用复数相等求解.
【详解】因为 1 a bi,(a, b R) ， 1 i
所以 1 1 i a bi ， 22
2020年马鞍山市二模文科数学试卷
19．（12 分） 已知椭圆 E : x2 y2 1 ，点 A ，B 分别是椭圆的左，右顶点， P 是椭圆上一点. 42 （1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（ 2，1），斜率为 2 的直线 l 与椭圆相交于 E，F （异于 P 点）两点.证明： 2
8．已知 m ， n 为两条不同直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（▲）
①若 m / / ， / / ，则 m / / ；
②若 m / / ， m / / ，则 / / ；
③若 m ， n ， / / ，则 m / /n ； ④若 m ， n ， ，则 m n ；
2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 文科数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在
答题卡 “条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
A． 1
B． 2
C．3
D．4
9．已知 △ABC 三内角 A, B,C 满足 cos 2 A cos 2B 1 cos 2C 且 2sin A sin B sin C ，则下列结论正确 A B,C 2
C． A B,C 2
D． A B,C 2
10．若点 A 为抛物线 y2 4x 上一点, F 是抛物线的焦点， |AF | 6 ，点 P 为直线 x 1 上的动点，则
| PA | | PF | 的最小值为（▲）
A． 2 13
B． 2 21
C． 2+2 14
D．8
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.若(2−i)2=a+bi3(a,b∈R)，则a+b=()A. 7B. −7C. 1D. −13.已知命题p:∃x∈R，x2+2x+3<0，则命题p的否定是()A. ∃x∈R，x2+2x+3>0B. ∀x∈R，x2+2x+3≤0C. ∀x∈R，x2+2x+3≥0D. ∀x∈R，x2+2x+3>04.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是()A. 甲命中个数的极差是29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲命中个数的中位数是255.设a=1，b=2ln2，c=ln3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=2sin (2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位后图象关于y轴对称，则f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. −1B. 1C. −√3D. √37.函数的图象大致为()A. B.C. D.8.对于空间中的直线m，n以及平面α，β，下列说法正确的是()A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB. 若α//β，m⊥α，m⊥n，则n//βC. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥nD. m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β9.若△ABC的内角A、B、C满足sin A：sin B：sinC=2：3：4，则cosB=()A. √154B. 34C. 3√1516D. 111610.已知抛物线C：y2=2px(0<p<4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4,0)，B(p,√2p)，且|PA|的最小值为√15，则|BF|等于()A. 4B. 92C. 5 D. 11211.三棱锥D−ABC中，AD⊥平面ABC，∠ABC=120∘，AB=BC=AD=2，则该三棱锥外接球的表面积为()A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π12.偶函数f(x)定义域为(−π2,0)∪(0,π2)，其导函数是f′(x)，当0<x<π2时，有，则关于x的不等式的解集为()A. (π4,π2) B. (−π2,−π4)∪(π4,π2)C. (−π4,0)∪(0,π4) D. (−π4,0)∪(π4,π2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=____________． 14. 从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，的9张卡片中任取2张，则这两张卡片上的数字之和是偶数的概率是____________．15. 双曲线x 2+ay 2=1的一条渐近线的方程为2x +3y =0，则a = ______ ．16. 从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选出3人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：①甲、丙两人中至少要选上一人； ②乙、戊两人中至少要选上一人；③乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选．如果乙未被选上，则一定入选的两人是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3+a 6=20，S 5=35．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{1Sn+n+2}的前n 项和为T n ，求使T n >920成立的n 的最小值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，△PCD 为正三角形，∠BAD =30°，AD =4，AB =2√3，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． (1)证明：BE ⊥PC ； (2)求多面体PABED 的体积．19.如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，且焦距为2√2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1⋅k2是定值．20.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验，如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角1仪器的顶点入口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向左或者向右落下，在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球．该小组连续进行200次试验，并统计容器中的小球个数得到如下的柱状图．(Ⅰ)每个小球下落的路径可用“□→□→⋯→□”(方框中填入“左”或“右”)的形式来表示，请你列出小球落入2号容器的三种可能的路径；(Ⅱ)该小组为了探索挡板形状对小球的分布是否有影响，将菱形挡板替换为圆形挡板，重新再做100次试验，统计得到落入4号容器的小球个数为40个，请你完成下面的列联表，并判断是否有99％的把握认为挡板形状对小球的分布有影响．落入4号容器的小球个数落入其他容器的小球个数总计菱形挡板圆形挡板总计，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.50.250.10.050.01k00.455 1.323 2.706 3.841 6.63521.已知函数f(x)=12x2−(a2−a)lnx−x(a≤12).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=a2lnx2−x，若f(x)>g(x)对∀x>1恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b是正实数，且a+b=2，证明：(1)√a+√b≤2；(2)(a+b3)(a3+b)≥4．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x>2}；∴A∩B={3,4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：解：∵(2−i)2=3−4i=a+bi3=a−bi，∴a=3，b=4．∴a+b=7．故选：A．自己由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3.答案：C解析：解：因为命题p：∃x∈R，x2+2x+3<0，是存在量词命题，故命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x+3≥0；故选：C．直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，再否定结论即可．本题考查存在量词命题的否定，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4.答案：D解析：解：根据茎叶图知，甲命中个数的极差是37−8=29，A正确；乙命中个数的众数是21，B正确；甲命中的数据主要集中在20～30之间，乙命中的数据主要集中在10～20之间，∴甲的命中率比乙高，C正确；甲命中的中位数是22+242=23，∴D错误．故选：D．根据茎叶图中的数据，分别求出甲组数据的极差、乙组数据的众数，甲组数据的中位数以及甲、乙两组数据的分布情况即可．本题利用茎叶图考查了数据在极差、众数、中位数以及数据分布特点的应用问题，是基础题．5.答案：B解析：本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用对数函数的性质即可比较．解：因为，所以a<c<b，故选B．6.答案：A解析：本题考查三角函数图象的变换及性质，熟练掌握三角函数图象的变换及三角函数的性质是解决此类问题的关键．由函数图象平移得到，再由函数为偶函数及φ的范围得到2π3+φ=kπ+π2,k∈Z，求出φ的值，则函数f(x)解析式可求，再由x的范围求得函数f(x)在[0,π2]上的最小值．解：函数的图象向左平移个单位后为，由它的图象关于y轴对称有2π3+φ=kπ+π2,k∈Z，又，所以，故，由有，所以当，即时．故选A．7.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，函数图象的作法，函数图象的应用，属于中档题，先由函数f(x)是奇函数，排除B，再取特殊值x=π2，f(π2)>0排除D，取x→π，f(π)→+∞排除C即可．解：，∴f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除B，取特殊值x=π2，f(π2)>0，排除D，取x→π，f(π)→+∞排除C，故选A．8.答案：D解析：解：对于A选项，m，n可能异面，故A错误；对于B选项，可能有n⊂β，故B错误；对于C选项，m，n的夹角不一定为90°，故C错误；故对D选项，因为α//β，m⊥α，故m⊥β，因为m//n，故n⊥β，故D正确．故选：D．对于A，m，n可能异面；对于B，可能有n⊂β；对于C，m，n的夹角不一定为90°；故对D，由α//β，m⊥α，得m⊥β，由m//n，得n⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：D解析：由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cos B的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．解：△ABC的内角A，B，C满足sin A：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，则令a=2x，则b=3x，c=4x，由余弦定理：b2=a2+c2−2accosB，可得cosB=a2+c2−b22ac=(4+16−9)x22×2×4x2=1116，故选：D．10.答案：B解析：解：设P(x,y)，则|PA|=√(x−4)2+y2=√(x−4+p)2+8p−p2，∴x=4−p时，|PA|的最小值为√8p−p2=√15，∵0<p<4，∴p=3，∴B(3,3√2)，∴|BF|=3+32=92，故选B．利用|PA|的最小值为√15，求出p，可得B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．本题考查抛物线的定义与方程，考查配方法的运用，正确求出p是解题的关键．11.答案：D解析：本题考查球体表面积的计算，关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查了计算能力，属于中等题利用余弦定理求出BC，然后利用正弦定理求出△ABC外接圆的直径2r，再利用公式2R=√(2r)2+PA2计算出该三棱锥的外接球的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．解：在△ABC中，由余弦定理得BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=2√3，所以，△ABC的外接圆的直径为，由于DA⊥平面ABC，且DA=2，所以，三棱锥D−ABC的外接球直径为2R=√(2r)2+DA2=2√5，则R=√5，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．故选D．12.答案：C解析：根据题意，设g(x)=f(x)cosx ，结合题意求导分析可得函数g(x)在(0,π2)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g(x)为偶函数，进而将不等式f(x)<√2f(π4)cosx转化为g(x)<g(π4)，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得|x|>π4，解得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性和奇偶性，函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数g(x)=f(x)cosx，并分析其单调性．解：根据题意，设g(x)=f(x)cosx，其导数为，又由0<x<π2时，有，则有g′(x)<0，则函数g(x)在(0,π2)上为减函数，因为f(x)在定义域(−π2,0)∪(0,π2)上是偶函数，则g(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=g(x)，则函数g(x)为偶函数，f(x)>√2f(π4)cosx⇒f(x)cosx>√2f(π4)⇒f(x)cosx>f(π4)cosπ4⇒g(x)>g(π4)，又由g(x)为偶函数且在(0,π2)上为减函数，且其定义域为(−π2,0)∪(0,π2)，则有|x|<π4，且|x |≠0， 解得：x ∈(−π4,π4)且x ≠0， 即不等式的解集为(−π4,0)∪(0,π4)． 故选：C ．13.答案：103解析： ↵考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可．解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．14.答案：49解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．基本事件总数n =C 92=36，这两张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件个数：m =C 42+C 52=16，由此能求出这两张卡片上的数字之和是偶数的概率．解：从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，基本事件总数n =C 92=36，这两张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件个数：m=C42+C52=16，∴这两张卡片上的数字之和是偶数的概率是p=mn =1636=49．故答案为49．15.答案：−94解析：解：双曲线x2+ay2=1，∴a<0．∴双曲线x2+ay2=1的渐近线是x=±√−ay，又双曲线x2+ay2=1的一条渐近线的方程为2x+3y=0，可知√−a=32，∴a=−94．故答案为：−94．通过双曲线方程求出渐近线方程，与已知方程比较即可求出a的值．本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．16.答案：甲、戊解析：解：∵乙未被选上，乙、戊两人中至少要选上一人，∴戊被选中，∵乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选甲、丙两人中至少要选上一人；∴甲一定选中，故答案为：甲、戊根据乙未被选上，乙、戊两人中至少要选上一人，得到戊被选中，根据乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选，甲、丙两人中至少要选上一人，甲一定选中．推理是不是合情推理、演绎推理，主要看是不是符合合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．17.答案：解：(1)设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6=20，S5=35，S5=5a3=35，所以a3+a6=20，a3=7，解得a6=13，所以a6−a3=3d=6，解得{a1=3 d=2,所以a n=2n+1．(2)由(1)得S n=n2+2n，所以1S n+n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，所以T n=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2．令12−1n+2>920，解得n>18，所以使T n>920成立的n的最小值为19．解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)由等差数列的求和公式可得S n=n(n+2)，1S n+n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，由数列的裂项相消求和可得T n，解不等式可得所求最小值．18.答案：证明：(1)∵BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2√3，∴PF=3，EG=32，∴V P−ABCD=13×2×2√3×3=4√3，V E−BCD=13×12×2×2√3×32=√3，∴多面体PABED的体积V=V P−ABCD−V E−BCD=4√3−√3=3√3．解析：(1)推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P−ABCD−V E−BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)∵焦距2√2，∴2c=2√2，得c=√2，由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，∴|F1B|+|F2B|=4，因此2a=4，a=2，于是b=√2，因此椭圆方程为x24+y22=1；(2)设B(x0,y0)，P(x1,y1)，则A(−x0,y0)，直线PA的方程为y−y1=y1−y0x1+x0(x−x1)，令x=0，得y=x1y0+x0y1x1+x0，故M(0,x1y0+x0y1x1+x0)，直线PB的方程为y−y1=y1−y0x1−x0(x−x1)，令x=0，得y=x1y0−x0y1x1−x0，故N(0,x1y0−x0y1x1−x0)，∴k1=1001√2(x+x)，k2=1001√2(x−x)，因此k1⋅k2=12·x12y02−x02y12x12−x02，∵A，B在椭圆C上，∴y12=2−x122,y02=2−x022，∴k1k2=12⋅x12(2−12x02)−x02(2−12x12)x12−x02=1．故k1·k2为定值1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由题意求得c，由对称性结合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；(2)设B(x0,y0)，P(x1,y1)，则A(−x0,y0)，分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，结合A、B在椭圆上可得k1⋅k2是定值．20.答案：解：(Ⅰ)所有可能的路径共6种：①左→左→左→左→左→右，②左→左→左→左→右→左，③左→左→左→右→左→左，④左→左→右→左→左→左，⑤左→右→左→左→左→左，⑥右→左→左→左→左→左．(Ⅱ)K2=300×(60×60−140×40)2200×100×200×100=3<6.635没有99%的把握认为挡板形状对小球的分布有影响．解析：本题考查了学生的实际应用问题，重复试验的数学期望公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)分析所有可能的路径共6种，即可；(Ⅱ)根据公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，直接计算，然后比较表中的数值即可解答．21.答案：解：(I)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−a2−ax −1=x2−x−(a2−a)x=(x−a)(x+a−1)x，令f′(x)=0，得x=a或x=1−a.-----(2分)当a≤12时，a≤1−a，且1−a>0．①当a=12时，a=1−a=12>0，f′(x)>0．∴f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增；--------------------------(3分)②当a≤0时，f(x)在(0,1−a)上单调递减，在(1−a,+∞)上单调递增；---------------------------(4分)③当0<a<12时，f(x)在(0,a)和(1−a,+∞)上单调递增，在(a,1−a)上单调递减．---------------(5分)(II)由题意知，12x2−(a2−a)lnx−x>a2lnx2−x，即3a2−a<x22lnx对∀x>1恒成立令ℎ(x)=x22lnx ，则ℎ′(x)=x(2lnx−1)2(lnx)2.---------------(7分)令ℎ′(x)=0，得x=√e.---------------(8分)当x∈(1,√e)时，ℎ(x)单调递减；x∈(√e,+∞)时，ℎ(x)单调递增．所以当x=√e时，ℎ(x)取得最小值ℎ(√e)=e.---------------(10分)∴3a2−a<e⇒1−√1+12e6<a<1+√1+12e6．又∵a≤12，∴1−√1+12e6<a≤12.---------------(12分)解析：(Ⅰ)求出f(x)的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)问题转化为3a2−a<x22lnx 对∀x>1恒成立，令ℎ(x)=x22lnx，通过讨论函数ℎ(x)的单调性得到其最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)∵a，b是正实数，∴a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，∴√ab≤1，∴(√a+√b)2=a+b+2√ab≤4，∴√a+√b≤2，当且仅当a=b=1时，取“=”．(2)∵a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=4，∴a2+b2≥2，∴(a+b3)(a3+b)=a4+b4+a3b3+ab≥a4+b4+2a2b2=(a2+b2) 2≥4，当且仅当a=b=1时，取“=”．解析：本题考查基本不等式的应用，是基本知识的考查．(1)利用基本不等式证明即可．(2)通过基本不等式证明即可．。
安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x2-x-2＜0}，B＝{x|2x＜2}，则有A. A∩B＝{x|0＜x＜2}B. A∩B＝{x|-1＜x＜1}C. A∪B＝{x|-1＜x＜1}D. A∪B＝{x|-1＜x＜2}2.已知i是虚数单位，则=（）A. 2iB. -2iC. 2D. -23.已知向量，若，则实数m=（）A. 0B.C. 3D.4.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)（n≥2，x1，x2，…，x n互不相等）的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线，y＝-2x+100上，则这组样本数据的样本相关系数为A. -1B. 0C.D. 15.下列命题正确的是（）A. 若p∧q为假命题，则p、q都是假命题B. a＞b是ln a＞ln b的充分不必要条件C. 命题“若cosα=cosβ，则α=β”的逆否命题为真命题D. 命题“∃x0∈R，x0+6＜0”的否定是“∀x0∈R，x0+6≥0”6.x、y满足约束条件，若z=kx+y取得最大值的最优解有无数个，则实数k的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -1或07.已知，则的值为（）A. B. C. ± D.8.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且-a3，a2，a4成等差数列，则S n与a n的关系是A. S n＝2a n-1B. S n＝2a n+1C. S n＝4a n-3D. S n＝4a n-19.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A.B.C.D.10.某饲料厂原有陈粮10吨，又购进新粮x吨，现将粮食总库存量的一半精加工为饲料．若被精加工的新粮最多可用y1吨，被精加工的陈粮最多可用y2吨，记f（x）=y1+y2，则函数f（x）的图象为（）A.B.C.D.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：(x -3)2+(y -a )2＝4上存在两点A ，B 满足∠AOB＝60°，则实数a 的最大值是A. 5B. 3C.D.12. 设函数，曲线f （x ）在（1，f （1））处的切线方程是（ ）A. 5x -y -4=0B. 3x -y -2=0C. x -y =0D. x =1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为________． 14. 已知双曲线C ：的离心率为，C 与抛物线y 2=8x 的准线交于A 、B 两点，|AB |=2，则双曲线C 的焦距为______． 15. 设等差数列{a n }的公差为d ，若，且，则{a n }的前n项和S n 取得最大值时项数n 的值为______． 16. 如图，平面图形由一个边长为6的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为6、8、10，现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥，则该四棱锥的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，，b＝3．（1）求边c 和sin C ；（2）设D是BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．18.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中．已知点M在正方形A1B1C1D1内部，，．（1）经过点M在平面A1B1C1D1内作一条直线与CM垂直（说明作法及理由）；（2）求直线CM与平面BDD1B1所成角的余弦值．19.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产．现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由．20.已知△PAB的三个顶点都在椭圆C：上，且AB过椭圆的左焦点F，O为坐标原点，M在AB上，且．（1）求点M的轨迹方程；（2）求|PM|的取值范围．21.已知函数,,．当时,求函数的单调区间,并求出其极值；若函数存在两个零点,求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的极坐标方程为ρ-ρcos2θ-4cosθ=0，直线l的参数方程为．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=8，求以AB为直径的圆的方程．23.设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）当恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算；可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可；属于基础题；【解答】解：A={x|-1＜x＜2}，B={x|x＜1}；∴A∩B={x|-1＜x＜1}．故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：===-2．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的应用，考查了转化思想以及计算能力，直接利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题；【解答】解：向量，若，可得：3+m=6，解得m=．故选B.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查相关系数的定义以及性质，属于基础题.解题的关键是掌握相关系数的定义．根据题意，分析可得组样本数据完全负相关，即可得答案．【解答】解：根据题意，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=-2x+100上，那么这组样本数据完全负相关，则相关系数为-1.故选A．5.【答案】C【解析】解：p∧q为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以A不正确；a＞b＞0是ln a＞ln b的充分不必要条件，所以B不正确；命题“若cosα=cosβ，则α=β”的逆否命题为：α≠β，则cosα≠cosβ，反例α=30°，β=-30°，cosα=cosβ不正确，所以C不正确；命题“∃x0∈R，x0+6＜0”的否定是“∀x0∈R，x0+6≥0”，满足命题的否定形式，所以D 正确；故选：C．利用复合命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；四种命题的逆否关系判断C的正误；命题的否定判断D的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，充要条件．四种命题的逆否关系，是基本知识的考查．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=kx+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据．作出不等式组对应的平面区域，利用z=kx+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由z=kx+y得y=-kx+z.若k=0时，直线y=-kx+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件.当-k＞0时，则直线y=-kx+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时直线与x=y重合时，最大值有无数个，-k=1，解得k=-1．当-k＜0时，目标函数的最优解只有一个，不满足题意.故选A．7.【答案】C【解析】解：∵=cos（α-），∴sin（α-）=±=±，则=sin（2α-）=sin2（α-）=2sin（α-）cos（α-）=2•（±）•=±，故选：C．由题意利用诱导公式求得cos（α-）的值，可得sin（α-）的值，再根据=sin （2α-）=sin2（α-），利用二倍角公式求得结果．本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，设等比数列的公比为q（q＞0），由已知列式求得q，再由等比数列的通项公式与前n项和求解得答案，属于基础题．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），由a1=1，且-a3、a2、a4成等差数列，得2a2=a4-a3，即2q=q3-q2，得q=2．∴，，则S n=2a n-1．故选A．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，题目比较基础．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：由题意可知几何体上部是半径为2的半球；下部是圆台，下底半径为2，上底半径为1，高为4.所以，几何体的表面积为：S=22•π+2π×12+π（2+1）•=6π+3π．故选D．10.【答案】B【解析】解：若x=0，则此时库存为10吨，则库存的一半为5吨加工成饲料，则y1=0，y2=5，此时f（0）=0+5=5，排除A，若x=10，则此时库存为10+10=20吨，则库存的一半为10吨加工成饲料，若全部被加工的是陈粮，则y2=10，若全部被加工的是新粮，则y1=10，此时f（10）=10+10=20，若x=20，则此时库存为10+20=30吨，则库存的一半为15吨加工成饲料，若全部被加工的是陈粮，则y2=10，若全部被加工的是新粮，则y1=15，此时f（20）=10+15=25，排除D，∵（0，5），（10，20），（20，25）三点不共线，∴不可能是直线，故排除C，故选：B．根据条件，利用特殊值分别验证当x=0，10，20时，函数图象的对应值，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特值法结合排除法是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，由圆的方程分析可得圆心在直线x=3上，进而可得当a＞0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB=60°，此时a取得最大值，据此可得|OC|=2|AC|=4，即（3-0）2+（a-0）2=16，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析角∠AOB的变化规律，属于基础题．【解答】解：根据题意，圆C的圆心为（3，a），在直线x=3上，分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，如图：当a＞0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB=60°，此时a取得最大值，此时∠AOC=30°，有|OC|=2|AC|=4，即（3-0）2+（a-0）2=16，解可得a=，故实数a的最大值是，故选：C．12.【答案】A【解析】解：由，得f（1）=f′（）-2，由，得f′（x）=，取x=，可得f′（）=f′（）-2+2f（1），f（1）=1，代入f（1）=f′（）-2，得f′（）=3，∴f（x）=3x2-2x+ln x，则f′（x）=6x-2+．∴f′（1）=5，∴曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程是y-1=5（x-1），即5x-y-4=0．故选：A．由已知取x=1，可得f（1）=f′（）-2，把已知等式求导，取x=求得f（1），进一步得到f′（），则函数解析式可求，则曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是明确f′（）为常数，是中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键，属于基础题.利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P==，故答案为.14.【答案】【解析】解：∵抛物线y2=8x，2p=8，p=4，∴=2．∴抛物线的准线方程为x=-2．设双曲线与抛物线的准线x=-2的两个交点A（-2，y），B（-2，-y）（y＞0），则|AB|=|y-（-y）|=2y=2，∴y=1．将x=-2，y=1．代入双曲线C：，得，①又双曲线C：的离心率为，∴=，即=2，b2=a2②由①②得a2=3，b2=3，∴双曲线C的焦距为：6，故答案为：6．根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=2，即可求得结论．本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：∵，∴（a11-1+a1-1）（a11-1-a1+1）=0，∴（12a1+10d-2）10d=0，∴12a1+10d-2=0，∴a1=，∴a n=+（n-1）d=+（n-）d，∵a n≥0时，+（n-）d≥0，∴6n-11≤-，∵-＜d＜-，∴2＜＜3，∴6n-11≤-3，∴n≤，∴{a n}的前n项和S n取得最大值时项数n的值为2．故答案为：2．推导出a1=，从而a n=+（n-1）d=+（n-）d，由a n≥0，得6n-11≤-，由-＜d ＜-，得到6n-11≤-3，由此能求出{a n}的前n项和S n取得最大值时项数n的值．本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力能力，是中档题．16.【答案】12【解析】解：由侧面展开图可知四棱锥的一个侧面与底面垂直，该侧面为等腰三角形，腰长为8，底边为6，∴此等腰三角形的高为=，故四棱锥的高为，∴四棱锥的体积V==12．故答案为：12．根据四棱锥的侧棱长可知一个侧面与底面垂直，此侧面的高即棱锥的高，利用勾股定理求出高即可得出棱锥的体积．本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵，∴，∴根据余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，得：（舍去），∴根据正弦定理：，∴,综上，；（2）由，得出，在直角△ADC中，，∴，∴，即△ABD的面积为．【解析】（1）由已知可求A的值，根据余弦定理解得c的值，利用正弦定理可求sin C 的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，在直角△ADC中，可求AD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】【解答】解：（1）过点M在平面A1B1C1D1内作一条直线B1D1即为所求．理由如下：连接C1M，在直角△CC1M中，可计算．又，，所以点M是A1C1的中点，所以B1D1⊥C1M，B1D1⊥CC1，C1M∩CC1=C1，所以B1D1⊥平面CC1M，CM平面CC1M，所以B1D1⊥CM．（2）连接AC与BD交于点O，易证AC⊥平面BDD1B1，所以直线CM在平面BDD1B1内的射影是MO，所以∠CMO就是直线CM与平面BDD1B1所成角，在△CMO中，．故直线CM与平面BDD1B1所成角的余弦值为．【解析】【分析】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．（1）计算C1M可知M为A1C1的中点，故B1D1即为所求直线；（2）取AC，BD的交点O，则可证AC⊥平面BDD1B1，于是∠CMO为所求角．19.【答案】解：（1）由题意可知，当天需求量n＜30时，当天的利润y=8n+5（30-n）-6×30=3n-30，当天需求量n≥30时，当天的利润y=8×30-6×30=60．故当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式为：，n∈N．（4分）（2）由题意可得：所以这30天的日利润的平均数为（元），方差为．（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．理由如下：由，可得，所以，所以x k≤10，由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产．（12分）【解析】（1）当天需求量n＜30时，当天的利润y=8n+5（30-n）-6×30=3n-30，当天需求量n≥30时，当天的利润y=8×30-6×30=60．由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式．（2）由题意能求出这30天的日利润的平均数和方差．（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产．本题考查函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】（12分）解：（1）法一（代数法）由已知可得F（-2，0），故当直线AB斜率不为0时，可设AB：x=my-2，M（x，y）由消去m得x2+y2+2x=0（x≠0）经检验，当直线AB斜率为0，M（0，0）也符合上式，故点M的轨迹方程为：（x+1）2+y2=1．法二（几何法）由已知可得F（-2，0），OM⊥AB，所以M的轨迹为以OF为直径的圆（经检验，原点也符合题意）．∴M的轨迹方程为：（x+1）2+y2=1．（2）由（1）知，M的轨迹为以N（-1，0）为圆心，1为半径的圆，设P（x0，y0）则，∴，∴当时，当时，，∴|PM|的取值范围是．【解析】（1）法一（代数法）设AB：x=my-2，M（x，y），通过消去m得x2+y2+2x=0（x≠0）推出结果．法二（几何法）由已知可得F（-2，0），OM⊥AB，说明M的轨迹为以OF为直径的圆（经检验，原点也符合题意）．求解即可．（2）由（1）知，M的轨迹为以N（-1，0）为圆心，1为半径的圆，设P（x0，y0），则，求出PN的表达式，利用二次函数的性质求解最大值与最小值即可．本题考查轨迹方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：（1）当k=1时，，∴f'（x）=（x+1）e x-（x+1）=（x+1）（e x-1），故x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数.故函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）．所以函数的极大值为；极小值为f（0）=0．（2）由已知，，g（x）=ke x-x，∴，∴F'（x）=kxe x-x=x（ke x-1）.①当k＜0时，F（x）在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且注意到F（0）=-k＞0，函数F（x）的图象两边向下无限伸展，故此时F（x）存在两个零点，符合题意．②当k=0时，在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且F（0）=0，故此时F （x）只有一个零点．③当k=1时，,故函数（-∞，+∞）为增，易知函数F（x）只有一个零点．④当k∈（0，1）时，，F（x）在（-∞，0）为增，为减，为增，且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．⑤当k∈（1，+∞）时，，F（x）在为增，为减，（0，+∞）为增，且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．综上，k的取值范围是（-∞，0）.【解析】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，综合性较强，有一定难度．（1）先求出函数的导数，然后根据导数的符号，判断函数的单调区间，利用单调性确定出极大值与极小值；（2）对k分情况讨论，根据各种情况函数F（x）零点个数，确定k的取值范围.22.【答案】解（1）由ρ-ρcos2θ-4cosθ=0得ρ2-ρ2cos2θ-4ρcosθ=0⇒x2+y2-x2-4x=0所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（3分）由，消去参数t得直线l的直角坐标方程为y=tanα•（x-1）．（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得tan2α•x2-（2tan2α+4）x+tan2α=0．所以，（7分）因直线l恒过点（1，0）即过抛物线C的焦点，所以．（8分）由题设知，又，故tanα=1，因此l的方程为y=x-1．又|AB|=x1+x2+2=8⇒x1+x2=6，所以AB的中点坐标为（3，2），（9分）因此所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16．（10分）【解析】（1）两边同乘以ρ后，用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，有直线参数方程消去参数t后可得直线l的直角坐标方程；（2）联立直线与曲线C根据韦达定理以及抛物线的定义可得tanα=1，根据中点公式可得AB的中点的坐标，再写出圆的方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1），f（x）≥2等价于或或，所以或0≤x＜1或x≥1，故原不等式的解集为．（2）y=f（x）的图象如图所示：，B（1，3），直线过定点,因为，所以．【解析】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及计算能力，属于基础题．（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．。
安徽省马鞍山市2020届高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题含答案
．
15．已知双曲线 mx2+y2＝1 的一条渐近线方程为 y x，则其焦点到渐近线的距离为
．
16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工
作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉
的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）﹣ax+1≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
（2）求多面体 PA1BDD1 的体积．
19．已知椭圆 E： 鏈 1，点 A，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点．
（1）若直线 AP 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）若点 P 的坐标为（ ，1），斜率为 的直线 l 与椭圆相交于 E，F（异于 P 点） 两点．证明：PE，PF 的斜率 k1，k2 的和为定值． 20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的 学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情 况统计如表 2 所示． 表1
患感冒人数 不患感冒人数 合计
男生
30
70
100
女生
42
58
p
合计
m
表2
n
200
温差 x
6
7
8
9
10
患感冒人数 y
8
10
14
20
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2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷（含解析）
2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷（含解析）2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）2019的相反数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣2．（4分）下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a7B．a3+a4＝a7C．（﹣a）3?（﹣a）4＝a7D．a7÷（﹣a）4＝a33．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（）A．215×10﹣9米B．2.15×10﹣9米C．2.15×10﹣11米D．2.15×10﹣7米5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m＜﹣1D．m＞﹣16．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A 类：不放烟花爆竹；B 类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（）A．900名B．1050名C．600名D．450名7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m2（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．B．C．x?＝3D．x?＝38．（4分）如图，点A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函＝，则k＝（）数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABCA．6B．﹣6C．D．﹣9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P 运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（）A．B．C．2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）﹣27的立方根是．12．（5分）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝．13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝度．14．（5分）已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C 均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．②填空：tan∠AB'C'＝．18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC＝∠DFG．六、（本题满分12分）21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：组别步数分组频率A x＜60000.1B6000≤x＜70000.5C7000≤x＜8000mD x≥8000n合计1根据信息解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝；并补全条形统计图；（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在组；（填组别）（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）今年五一期间采石矶景区将启用新的大门，景区决定利用现有的不同种类花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场．已知每个A种造型的成本y1与造型个数x（0＜x＜60）满足关系式y1＝82﹣x，每个B种造型的成本y2与造型个数x（0＜x＜60）的关系如表所示：x（个）…10203050…y2（元）…93867965…（1）请求出y2与x的函数关系式；（2）现在广场需搭配A、B两种园艺造型共60个，要求每种园艺造型不得少于20个，并且成本总额W（元）不超过5000元．以上要求能否同时满足？请你通过计算说明理由．八、（本题满分14分）23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BG⊥AC交AC于点G，E为AB中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF．（1）若∠ABG＝30°，证明AF＝FD；（2）如图2，若∠EFC＝90°，连接BF，FM⊥FB交CD于点M．①证明：DM＝MC；②求的值．2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）2019的相反数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．2．（4分）下列运算正确的是（）A．（a3）4＝a7B．a3+a4＝a7C．（﹣a）3?（﹣a）4＝a7D．a7÷（﹣a）4＝a3【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则分别求每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a3）4＝a12，故本选项不符合题意；B、a3和a4不能合并，故本选项不符合题意；C、（﹣a）3?（﹣a）4＝（﹣a）7＝﹣a7，故本选项不符合题意；D、a7÷（﹣a）4＝a7÷a4＝a3，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．3．（4分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．【解答】解：A、主视图是正方形，故此选项错误；B、主视图是圆，故此选项正确；C、主视图是三角形，故此选项错误；D、主视图是长方形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．4．（4分）2018年8月，非洲猪瘟首次传入我国，非洲猪瘟病毒粒子的直径约为175～215纳米，1纳米等于10﹣9米，215纳米用科学记数法表示为（）A．215×10﹣9米B．2.15×10﹣9米C．2.15×10﹣11米D．2.15×10﹣7米【分析】215＝2.15×100＝2.15×102，再根据1纳米等于10﹣9米，即可表示出215纳米的结果．【解答】解：∵1nm＝10﹣9m∴215纳米可表示为215×10﹣9米而215＝2.15×100＝2.15×102∴215纳米＝2.15×102×10﹣9＝2.15×10﹣7故选：D．【点评】本题考查的是小于1的科学记数法，把握a×10﹣n中a、n的意义与表示方法是重点．5．（4分）关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，那么m的取值范围为（）A．m＞1B．m＜1C．m＜﹣1D．m＞﹣1【分析】根据不等式的性质3得出不等式1﹣m＜0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣m）x＜m﹣1的解集为x＞﹣1，∴1﹣m＜0，解得：m＞1，故选：A．【点评】本题考查不等式的基本性质，能得出关于m的不等式是解此题的关键．6．（4分）由于各地雾霾天气越来越严重，2018年春节前夕，安庆市政府号召市民，禁放烟花炮竹．学校向3000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A 类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并将对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，请估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（）A．900名B．1050名C．600名D．450名【分析】用全校的学生数乘以“使用电子鞭炮”所占的百分比即可得出答案．【解答】解：被调查的学生中“使用电子鞭炮”的学生由100﹣（30+35+15）＝20全校“使用电子鞭炮”的学生有：20÷100×3000＝600．故选：C．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．7．（4分）用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是两个全等的矩形，窗框的总面积为3m2（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．B．C．x?＝3D．x?＝3【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm ，宽为，依题意，得：x ?+×（x ）2＝3，即x ?+x 2＝3．故选：D ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（4分）如图，点A 是反比例函数y ＝图象上一点，过点A 作x 轴的平行线交反比例函数y ＝﹣的图象于点B ，点C 在x 轴上，且S △ABC ＝，则k ＝（）A ．6B ．﹣6C ．D ．﹣【分析】延长AB ，与y 轴交于点D ，由AB 与x 轴平行，得到AD 垂直于y 轴，利用反比例函数k 的几何意义表示出三角形AOD 与三角形BOD 面积，由三角形AOD 面积减去三角形BOD 面积表示出三角形AOB 面积，由于S △AOB ＝S △ABC ，将已知三角形ABC 面积代入求出k 的值即可．【解答】解：延长AB ，与y 轴交于点D ，∵AB ∥x 轴，∴AD ⊥y 轴，∵点A 是反比例函数y ＝图象上一点，B 反比例函数y ＝﹣的图象上的点，∴S △AOD ＝﹣k ，S △BOD ＝，∵S △AOB ＝S △ABC ＝，即﹣k ﹣＝，解得：k ＝﹣6，故选：B ．【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．9．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P 运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题是动点函数图象问题，可由菱形的对角线互相平分，选取特殊位置﹣﹣两对角线交点来考虑，问题不难解答．【解答】解：y随x的增大，先是由大变小，当点P位于AC与BD交点处时，y＝0；由于菱形的对角线互相平分，所以点P在从AC 与BD的交点处向点D的运动过程中，函数图象应该与之前的对称，故排除掉选项B，C，D．只有A正确．故选：A．【点评】考查了菱形对角线互相平分的性质．动点函数图象问题，可以着重考虑起始位置，中间某个特殊位置，采用排除法来解题比较简单．10．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（）A．B．C．2D．1【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，CD转化为BE，由于AE、AD、BD都是定值，所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．【解答】解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，ED＝5．∵AE、AD、BD都是定值，所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．此时BE最小值为DE﹣BD＝5﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转转化线段，利用两点之间线段最短求最值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．12．（5分）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．【分析】根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解．【解答】解：4x2﹣y2+2y﹣1＝4x2﹣（y2﹣2y+1）＝（2x）2﹣（y﹣1）2＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键．13．（5分）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝35度．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠B OC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝40°，OA＝OB，∴∠ABO＝＝70°．∵直径CD∥AB，∴∠BOC＝∠ABO＝70°，∴∠BAC＝∠BOC＝35°．故答案为：35．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．14．（5分）已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是m＝0或m＞4．【分析】有2个不相等的实数根，其含义是当y＝m时，对应的x 值有两个不同的数值，根据图象可以看出与x轴有两个交点，所以此时m＝0；当y取的值比抛物线顶点处值大时，对应的x值有两个，所以m值应该大于抛物线顶点的纵坐标．综合表述即可．【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．故答案为m＝0或m＞4．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点问题，解题的关键是根据图象分析判断函数值与自变量之间的关系．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝2﹣2×+1﹣3＝﹣2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．【分析】由题目条件可设客房x间，房客y人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组求得．【解答】解：设有客房x间，房客y人，由题意得：解得故该店有客房8间，房客63人．【点评】本题考查二元一次方程组的应用或一元一次方程的应用，也可用一元一次方程解决，理清题中的等量关系是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C 均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．②填空：tan∠AB'C'＝2．【分析】（1）利用网格作出BC的中点，再连接AD即可得；（2）①根据位似变换的定义作图可得；②先利用勾股定理逆定理证△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，再利用tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝可得答案．【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；（2）①如图所示，△AB'C'即为所求；②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵△ABC∽△AB′C′，∴tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及勾股定理逆定理．18．（8分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图②所示，其示意图如图③所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2m．现有一高度为2.4m的货车要送货进入地下车库，问此货车能否安全通过？请通过计算说明．（栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，求出DE的长与2.4比较即可判断．【解答】解：过E作ED⊥BC于D，AG⊥ED于G，则∠AEG＝37°，DG＝AB＝1.2m，EG＝AE cos37°＝1.2×0.80＝0.96m，∴ED＝EG+DG＝1.2+0.96＝2.16m＜2.4m，故此货车不能安全通过．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，，；当a为偶数时，，；证明：当a为奇数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数”．当a为偶数时，a2+b2＝∴（a，b，c）是“勾股数“．”【点评】本题考查了勾股数，数字的变化类﹣规律型，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC＝45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC＝∠DFG．【分析】（1）连接OD，OC，先证明△DOE是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE＝CE＝3，从而得CD的长；（2）先由垂径定理可得：＝，则∠ACD＝∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG＝∠ACD，从而得结论．【解答】解：（1）如图1，连接OD，OC，∵直径AB⊥CD，∴，DE＝CE，∴，又∵在Rt△DEO中，，∴DE＝3，∴CD＝6；（2）证明：如图2，连接AC，。
安徽省马鞍山市2020年高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题(解析版)
2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．已知复数z满足11+i=a+bi，（a，b∈R），则a+b＝（）A．0B．1C．﹣1D．√23．命题p：∀x＞0，e x＞1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，e x≤1B．∀x≤0，e x≤1C．∃x0＞0，e x0≤1D．∃x0≤0，e x0≤14．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．乙所得分数的极差为26B．乙所得分数的中位数为19C．两人所得分数的众数相同D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数5．已知a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），若g（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π67．函数f（x）=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（）①若m∥α，α∥β，则m∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；A．1B．2C．3D．49．已知△ABC三内角A，B，C满足cos2A+cos2B＝1+cos2C且2sin A sin B＝sin C，则下列结论正确的是（）A．A＝B，C≠π2B．A≠B，C=π2C．A≠B，C≠π2D．A＝B，C=π210．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝6，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．2√13B．2√21C．2+2√14D．811．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝1，PB=√3，CA＝CB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．25π3B．16π3C．7π3D．5π312．已知函数f（x）的定义域为（−π2，π2），f'（x）是f（x）的导函数．若f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（）A．（−π2，π4）B．（−π4，π4）C．（π4，π2）D．（−π2，−π4）∪（π4，π2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（2，﹣1），b→=（1，t），且|a→+b→|＝|a→−b→|，则t＝．14．已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为．15．已知双曲线mx2+y2＝1的一条渐近线方程为y=12x，则其焦点到渐近线的距离为．16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．记S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n+1}的前n项和T n．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．（1）证明：平面PA1D⊥平面ABC1；（2）求多面体PA1BDD1的体积．19．已知椭圆E：x24+y22=1，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．（1）若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；（2）若点P的坐标为（√2，1），斜率为√22的直线l与椭圆相交于E，F（异于P点）两点．证明：PE，PF的斜率k1，k2的和为定值．20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．表1患感冒人数不患感冒人数合计男生3070100女生4258p合计m n200表2温差x678910患感冒人数y810142023（1）写出m，n，p的值；（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）．附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.250.150.100.0500.0250.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i−x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝10，∑5i=1（y i−y）2＝164，√410≈20.2485．21．已知函数f（x）＝x2lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣ax+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=t2+4t2−4y=2t−4t（t为参数，且t＞0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣3ρsinθ﹣1＝0．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求1|PM|+1|QM|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b为实数，且满足3a2+4b2≤12．证明：（1）ab≤√3；（2）a+2b≤4．参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，B＝{x||x|≤2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足11+i=a+bi，（a，b∈R），则a+b＝（）A．0B．1C．﹣1D．√2【分析】把已知等式变形，咋样复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解．解：由11+i=a+bi，得1＝（a+bi）（1+i）＝（a﹣b）+（a+b）i，∴a+b＝0．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．命题p：∀x＞0，e x＞1，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，e x≤1B．∀x≤0，e x≤1C．∃x0＞0，e x0≤1D．∃x0≤0，e x0≤1【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：∵全称命题的否定是特称命题．∴命题p：∀x＞0，e x＞1的否定是：∃x0＞0，e x0≤1；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，是对基本知识的考查．4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A．乙所得分数的极差为26B．乙所得分数的中位数为19C．两人所得分数的众数相同D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项进行对照，即可得解．解：A、乙所得分数的极差为33﹣7＝26，故本选项说法正确；B、乙所得分数的中位数为19，故本选项说法正确；C、甲、乙两人所得分数的众数都为22，故本选项说法正确；D、甲=10+15+16+21+22+22+23+32+349=1739，乙=7+11+12+16+19+20+22+22+339=1629，则甲＞乙，故本选项说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题．5．已知a，b，c∈R，3a＝2，4b＝5，5c＝4，则下列不等关系中正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】3a＝2，4b＝5，5c＝4，a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1，即可得出a，b，c的大小关系．解：∵3a＝2，4b＝5，5c＝4，∴a＝log32＝log94＜log54＜1，b＞1．∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较、对数函数的单调性性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），若g（x）为偶函数，则|φ|的最小值为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的平移变换的应用求出结果．【解答】函数f（x）＝sin（x+π6）的图象平移后对应的函数为g（x）＝sin（x+π6+φ），由于g （x ）为偶函数，所以π6+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ＝k π+π3，当k ＝0时，φ=π3， 即|φ|的最小值为π3．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．函数f （x ）=e x −e −xx 2的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可． 解：函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）=e −x −e xx 2=−f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当x →+∞，f （x ）→+∞排除C ，D ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．8．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（）①若m∥α，α∥β，则m∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；A．1B．2C．3D．4【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．解：对于①，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故①错误；对于②，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β，故②错误；对于③，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故③正确；对于④，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故④正确．∴说法正确的个数是2．故选：B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9．已知△ABC三内角A，B，C满足cos2A+cos2B＝1+cos2C且2sin A sin B＝sin C，则下列结论正确的是（）A．A＝B，C≠π2B．A≠B，C=π2C．A≠B，C≠π2D．A＝B，C=π2【分析】由二倍角的余弦函数公式化简已知可得sin2A+sin2B＝sin2C，由正弦定理得：a2+b2＝c2，可求C=π2，由已知等式及二倍角公式可得sin2A＝sin2B＝1，进而可求A＝B，即可得解．解：∵cos2A+cos2B＝1+cos2C，∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B＝1+1﹣2sin2C，可得：sin2A+sin2B＝sin2C，∴由正弦定理得：a2+b2＝c2，∴C=π2，又∵sin C＝2sin A sin B，可得：2sin A sin B＝2sin B cos B＝2sin A cos A＝1，可得：sin2A＝sin2B＝1，由于A，B为锐角，可得A＝B=π4．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．10．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝6，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．2√13B．2√21C．2+2√14D．8【分析】先根据抛物线的定义可知，|AF|=x A+p2，可求出x A，代入抛物线方程后可得点A的坐标，设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），利用点关于直线的对称性，将问题进行转化，|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|，最后利用两点间距离公式求出线段|AE|的长即可得解．解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，|AF|=x A+p2=x A+1=6，∴x A＝5，代入抛物线方程，得y A2=20，不妨取点A为（5，2√5），设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|=√(5+3)2+(2√5)2=2√21．故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质、点关于直线的对称问题等，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于基础题．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝1，PB=√3，CA＝CB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．25π3B．16π3C．7π3D．5π3【分析】取AB的中点D，由题意可知点D为△PAB的外接圆的圆心，由平面PAB⊥平面ABC得到CD⊥平面PAB，所以此三棱锥的外接球的球心在CD上，又△ABC为等边三角形，所以△ABC的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径即可解题．解：取AB的中点D，连接CD，PD，如图所示：因为PA＝1，PB=√3，AB＝2，所以AB2＝PA2+PB2，所以△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，∵点D是AB的中点，∴DA＝DB＝DP，∴点D为△PAB的外接圆的圆心，又∵平面PAB⊥平面ABC，且CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，∴此三棱锥的外接球的球心在CD上，又∵△ABC为等边三角形，∴△ABC的外接圆的圆心即为三棱锥的外接球的球心，△ABC的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，∴三棱锥的外接球的半径R=1232=2√33，∴此三棱锥的外接球的表面积为：4πR2＝4π×(2√33)2=16π3，故选：B．【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球的问题，是中档题．12．已知函数f（x）的定义域为（−π2，π2），f'（x）是f（x）的导函数．若f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（）A．（−π2，π4）B．（−π4，π4）C．（π4，π2）D．（−π2，−π4）∪（π4，π2）【分析】函数f（x）的定义域为（−π2，π2），不等式f（x）＜√2f（π4）cos x，即f(x)cosx＜f(π4)cosπ4．令g（x）=f(x)cosx，x∈（−π2，π2），利用导数研究其单调性即可得出不等式的解集．解：函数f（x）的定义域为（−π2，π2），不等式f（x）＜√2f（π4）cos x，即f(x)cosx＜f(π4)cosπ4．令g（x）=f(x)cosx，x∈（−π2，π2），∵f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，∴g′（x）=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x＜0，∴函数g（x）在x∈（−π2，π2）上单调递减，∴f(x)cosx ＜f(π4)cosπ4，即为：g（x）＜g（π4），解得π4＜x＜π2．∴关于x的不等式f（x）＜√2f（π4）cos x的解集为（π4，π2）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性解不等式、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=（2，﹣1），b→=（1，t），且|a→+b→|＝|a→−b→|，则t＝2．【分析】根据向量垂直的等价条件以及平面向量的坐标运算，求值计算即可．解：∵|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→⊥b→，∴a →•b →=2×1﹣1×t ＝0，∴t ＝2， 故答案是：2．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．14．已知六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概率为25．【分析】基本事件总数n =C 62=15，数字之和为偶数包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，由此能求出数字之和为偶数的概率．解：六张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片， 基本事件总数n =C 62=15，数字之和为偶数包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，则数字之和为偶数的概率p =m n =615=25． 故答案为：25．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知双曲线mx 2+y 2＝1的一条渐近线方程为y =12x ，则其焦点到渐近线的距离为 2 ． 【分析】通过双曲线的渐近线方程，求出m ，求出焦点坐标，利用点到直线的距离转化求解即可．解：双曲线mx 2+y 2＝1的一条渐近线方程为y =12x ，可得√−m =12，解得m =−14，双曲线方程为：y 2−x 24=1，可得焦点坐标（0，±√5），焦点到渐近线的距离为：√5√1+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加．为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选．根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 乙、丁 ．【分析】利用假设法，分别假设哪两人没有入选，得出相对应的结论即可推出． 解：由于最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选，若没有入选为甲、乙，则丁、戊一定入选，与“丁、戊”只有一人相矛盾， 若没有入选为甲、丁，则乙、戊一定入选，与“乙、戊”只有一人相矛盾， 若没有入选为乙、戊，则甲、丁一定入选，与“甲、丁”只有一人相矛盾， 若没有入选为丙、戊，则乙、丁一定入选，则甲没有入选，则符合题意要求， 故最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是乙、丁， 故答案为：乙、丁．【点评】本题考查简单的合情推理，考查数据分析能力以及推理论证能力，属于中档题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．记S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n+1}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，由a1+S2＝11，a2+a4＝a3+7，可得3a1+d＝11，2a1+4d＝a1+2d+7，即a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），可得T n=12（13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3）=12（13−12n+3）=n6n+9．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．（1）证明：平面PA1D⊥平面ABC1；（2）求多面体PA1BDD1的体积．【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，BC1⊥AB，从而BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，从而BC1⊥平面PA1D由此能证明平面PA1D⊥平面ABC1．（2）多面体PA1BDD1的体积为：V=V D−A1PB +V P−A1DD1=13×12×A1P×AA1×AD+13×12×A1D1×DD1×A1P，由此能求出结果．解：（1）证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，P为A1B1的中点．∴BC1⊥B1C，BC1⊥AB，∵B1C∥A1D，AB∥A1P，∴BC1⊥A1D，BC1⊥A1P，∵A1D∩A1P＝A1，∴BC1⊥平面PA1D，∵BC1⊂平面ABC1．∴平面PA1D⊥平面ABC1．（2）解：多面体PA1BDD1的体积为：V=V D−A1PB +V P−A1DD1=13×12×A1P×AA1×AD+13×12×A1D1×DD1×A1P =13×12×1×1×1+13×12×1×1×1=13．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19．已知椭圆E：x24+y22=1，点A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点．（1）若直线AP的斜率为2，求直线PB的斜率；（2）若点P的坐标为（√2，1），斜率为√22的直线l与椭圆相交于E，F（异于P点）两点．证明：PE，PF的斜率k1，k2的和为定值．【分析】（1）由椭圆的方程可得A，B的坐标，由题意可得中线AP的方程，与椭圆联立求出P的坐标，进而求出直线PB的斜率；（2）设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，进而求出k1，k2的和，求出为定值．解：（1）由椭圆的方程可得A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得中线AP的方程为：y＝2（x+2），设P（m，n），联立直线与椭圆可得：{y=2(x+2)x24+y22=1，整理可得：9x2+32x+28＝0，所以﹣2•m=289，所以m=−14 9，代入直线AP中可得n＝2（−149+2）=89，所以P（−149，89），所以k PB=89−149−2=−14，所以直线PB的斜率为−1 4；（2）由题意设直线l 的方程x =√2y +t ，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 则直线l 与椭圆联立{x =√2y +tx 24+y 22=1，整理可得4y 2+2√2ty +t 2﹣4＝0，△＝8t 2﹣4×4（t 2﹣4）＞0，即t 2＜8，y 1+y 2=−√22t ，y 1y 2=t 2−44，所以k 1+k 2=1x 1−22x 2−2=12√2)+(y 21√2)(x 1−2)(x 2−2)=1√2y 2√2)+(y 2√2y 1√2)(√2y 1+t−√2)(√2y 2+t−√2)=2√2y 1y 2+(t−2√2)(y 1+y 2)−2(t−√2)2y 1y 2+√2(t−√2)(y 1+y 2)+(t−√2)2=2√2⋅t 2−44+(t−2√2)⋅−√2t 2−2(t−√2)2⋅t 2−44+2(t−2)⋅−√2t 2+(t−2)2＝0，所以可证的PE ，PF 的斜率k 1，k 2的和为定值0．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示． 表1患感冒人数不患感冒人数合计 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计mn200表2温差x678910患感冒人数y810142023（1）写出m，n，p的值；（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）根据表2数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）．附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.250.150.100.0500.0250.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2√∑i=1(y i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝10，∑5i=1（y i−y）2＝164，√410≈20.2485．【分析】（1）根据表中数据直接可以算出结果；（2）由题中数据直接代入K2公式，算出结果，进而判断结论；（3）由题算出x，y，代入r公式即可算出结果，进而判断结论．解：（1）根据表中数据直接可以得出m＝72，n＝128，p＝100；（2）由题中数据直接代入K2=(30×58−42×70)272×128×100×100=3.125＜3.841，所以没有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；（3）由题x=6+7+8+9+105=8，y=8+10+14+20+235=15，所以∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)=40， 则r =10164=410=2020.2485=0.9877＞0.75，所以y 与x 的线性相关性很强．【点评】本题主要考查的是独立性检验及相关系数，是道基础题． 21．已知函数f （x ）＝x 2lnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣ax +1≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）求导，判断导函数与0的关系，进而得出单调性情况；（2）问题转化为a ≤xlnx +1x 恒成立，令g(x)=xlnx +1x ，利用导数求其最小值即可．解：（1）由已知，函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=2xlnx +x =2x(lnx +12)，令f ′（x ）＝0，解得x =√e e，当0＜x ＜√ee 时，f ′（x ）＜0，f （x ）在(0，√ee )上单调递减，当x ＞√e e时，f ′（x ）＞0，f （x ）在(√e e，+∞)上单调递增．综上，f （x ）的单调递减区间为(0，√ee )，单调递增区间为(√ee，+∞)；（2）∵f （x ）﹣ax +1≥0恒成立，即x 2lnx ﹣ax +1≥0等价于a ≤xlnx +1x恒成立，令g(x)=xlnx +1x ，g′(x)=lnx +1−12，令h(x)=lnx +1−12，则h′(x)=1x +23＞0在（0，+∞）上恒成立，∴g ′（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵g ′（1）＝0，∴0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）上单调递减， x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴g （x ）min ＝g （1）＝1，∴a ≤1，即实数a 的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t 2+4t 2−4y =2t −4t（t 为参数，且t ＞0），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣3ρsin θ﹣1＝0．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交点记为M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，求1|PM|+1|QM|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =t 2+4t 2−4y =2t −4t （t 为参数，且t ＞0），转换为直角坐标方程为y 2＝4x ．直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣3ρsin θ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为x ﹣3y ﹣1＝0． （2）直线l 与x 轴交点记为M ，即（1，0），转换为参数方程为{x =1310y =110（t为参数）与曲线C 交于P ，Q 两点， 把直线的参数方程代入方程y 2＝4x ．得到t 210−√10t −4=0，所以t 1+t 2=12√10，t 1t 2＝﹣40，则：1|PM|+1|QM|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(12√10)2+16040=1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b 为实数，且满足3a 2+4b 2≤12．证明： （1）ab ≤√3； （2）a +2b ≤4．【分析】（1）根据基本不等式即可证明；（2）利用已知条件转化为椭圆上的点坐标，利用三角函数有界性，转化求解即可． 【解答】证明：（1）∵3a 2+4b 2≥4√3|ab |，当且仅当√3|a |＝2|b |取等号，且3a 2+4b 2≤12， ∴4√3|ab |≤12， ∴|ab |≤√3， ∴ab ≤√3；（2）证明：a ，b 为实数，且满足3a 2+4b 2≤12． 可得：a 24+b 23≤1，表示的图形是椭圆以及内部部分，椭圆上的点为（2cos θ，√3sin θ）， a +2b ＝2cos θ+2√3sin θ＝4cos （θ−π3）， 因为cos （θ−π3）≤1，所以4cos（θ−π3）≤4．所以a+2b≤4．【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，三角函数的有界性以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．。
安徽省马鞍山二中2020年高中学业水平考试数学模拟试题含答案
1安徽省马鞍山二中2020年高中学业水平考试模拟试题数学全卷共25小题，满分100分，考试时间为90分钟第Ⅰ卷（选择题共54分）一、选择题（本大题区18小题，每小题3分，共54分．每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分）1．已知集合{0,1,2}A ，{,2}Ba ，若B A ，则a （）A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或22．函数lg 12fx x x 的定义域为（）A ．|12x xB ．|12x x C ．|12x xD ．2|x x 3．在等差数列n a 中，若25a ，1021a ，则6a 等于（）A ．13B ．15C ．17D ．484．不等式组111yxy x表示的平面区域面积是（）A ．21B ．41C ．1D ．25．下列说法中正确的是（）A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为53，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9人病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%6．直线07ay x 与直线0142)1(y x a互相平行，则a 的值是（）A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或27．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与BC 1所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则y x ＝（）A ．6B ．5C ．4D ．3甲乙93x 12012226y 1529．下列函数既是奇函数又在（0，）上单调递减的函数是（）A ．22xyB ．xyln C ．xy1D ．xy sin 10．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（）A ．－1B ．12C ．1D ．211．正弦定理已知函数π()sin (0)4f x x 的最小正周期为π，刚该函数的图象（）A ．关于点π,04对称B ．关于直线π8x 对称C ．关于点π,08对称D ．关于直线π4x对称12．设函数1232,2()log 1,2x exf x x x，则2ff 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．313．已知向量a ＝（1，0），b ＝（21，23），则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°14．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.6815．当0＜a ＜1时，函数xa y 和2)1(x a y的图象只能是下图中的（）A B C D316．已知直线22ny mx（m ＞0，n ＞0）过圆5)2()1(22y x 的圆心，则nm21的最小值为（）A ．3B ．323C ．6D ．22317．已知△ABC 的重心为O ，且AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，则AC BO ＝（）A ．320B ．320C ．328D ．1618．已知偶函数f x 在区间0,上单调递增，则满足211f x f 的x 取值范围是（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（－1，1）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在相应位置）19．计算：5lg 2lg 320的值是．20．现有A ，B ，C ，D 四本书，若将四本书随机分配给甲、乙两人阅读，要求每人两本，则A ，B 恰好分到同一人手中的概率为．21．直线l ：1kx y 与圆O ：122yx 相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝．22．已知函数2()23f x xx m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（本小题满分10分）已知函数的x x x f cos 3sin )(．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若3)(B f ，3b ，求△ABC 的面积的最大值．424．（本小题满分10分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC 1D 1；（2）求证：EF ⊥B 1C ．25．（本小题满分10分）正项等比数列}{n a 中，1a ＝1，且621a 是5a 和42a 的等差中项．（1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列n a n 的前n 项和n T ；（3）设n a b nn8，求n b 的最小项．5参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分）题号12345678910答案BAAADBCDCD题号1112131415161718答案BCCADDBB 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上.）19．220．3121．±122．（0，4）三、解答题（本大题共3小题，满分30分．解答题应写出文字说明及演算步骤）23．解：)3sin(2cos 3sin )(xxxx f ，（1）令22k≤3x≤22k，Z k，则62k ≤x ≤652k，Z k，函数)(x f 的单调递增区间为65262kk ，（Z k）．（2）由3)(B f ，得23)3sin(B ，因为)0(，B，所以33B，即32B．由余弦定理，得B ac c a b cos 2222，即ac c a 229≥ac 3，所以ac ≤9，所以B ac SABCsin 21≤433，当且仅当3ca 时，等号成立，故△ABC 的面积的最大值为433．24．（1）证明：连接1BD ，如图，在△1DD B 中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又D 1B平面ABC 1D 1，EF平面ABC 1D 1，EF ∥平面ABC 1D 1．（2）连接BC 1，则BC 1⊥B 1C ，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB ⊥B 1C ，又B AB BC 1，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1，6因为BD 1平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥平面BD 1，因为EF ∥D 1B ，所以EF ⊥B 1C ．25．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0．∵a 1＝1，且621a 是5a 和42a 的等差中项，∴4562a a a ，即a 1q 5＝a 1q 4＋2a 1q 3，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2，∴12n na ．（2）依题意知：121n nn a n ，∴12121213212211n nnT ，①又nnnT 2121321221121321，②由①－②可得：nn nnT 2121212121121132n nnn n22221211211，∴1224n nn T ．（3）∵b n ＝a n ﹣8n ＝2n ﹣1﹣8n ，∴b n+1﹣b n ＝2n ﹣1﹣8，令b n+1﹣b n ＞0，解得n ＞4，∴当n ≥5时，b n 单调递增；当n ＝4时，b 4＝b 5＝﹣24；当n ≤4时，b n 单调递减，∴b n 的最小项为b 4＝b 5＝－24．。
2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷 含答案
2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．﹣5B．5C．0.2D．﹣0.22．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝2B．a2•2a﹣2＝2C．a2÷a＝1D．（﹣2a）3＝﹣6a33．下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（）A．圆锥B．正方体C．正三棱柱D．圆柱体4．新冠肺炎疫情突袭，防疫物资紧缺成为各国亟待解决的难题．我国在保障国内防控需求的基础上，尽己所能不断对外输送防疫物资，为国际社会共同抗击疫情提供了巨大支持和坚强保障．据悉，自3月1日至4月30日，全国共验放出口主要防疫物资价值712亿元．712亿用科学记数法表示为（）A．712×108B．7.12×108C．71.2×1010D．7.12×1010 5．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（）A．25°B．35°C．40°D．60°6．如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（）年龄13141516频数57﹣a13aA．13B．14C．15D．167．如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．58．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．5B．4C．2D．39．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为C，已知﹣2≤c≤﹣1，顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．C．对于任意实数m，不等式a+b＞am2+bm恒成立D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1B．C．D．二．填空题（共4小题）11．分解因式：a2b﹣4b3＝．12．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是．13．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为．14．平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y＝x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2，则a的值为．三．解答题（共9小题）15．计算：（）﹣2﹣（﹣）×+|2cos30°﹣2|．16．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金银一枚各重几何？意思是：今有黄金9枚（每枚黄金重量相同），白银11枚（每枚白银重量相同）．黄金与白银的重量恰好相等，互相交换1枚后，黄金部分减轻了13两，问每枚黄金、白银各重多少两？17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）画出△C1DA1，使△C1DA1≌△ABC且点D在A1C1的右侧；（3）填空：sin∠B1C1D＝．18．我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．（1）观察以上图形并完成如表：根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为．（用含n的式子表示）图形名称基本图形的个数特征图形的个数图111图223图337图44………………（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是；图2020中所有特征图形的面积之和为．19．如图，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE（请将下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）恰为45°，则此时平台DE的长为米；（2）坡前有一建筑物GH，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物GH高为多少米？20．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长．21．某校为了解学生零用钱支出情况，从七、八、九年级800名学生中随机抽取部分学生，对他们今年5月份的零用钱支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：频数（人数）频率组别零用钱支出x（单位：元）节俭型一x＜20m0.05二20≤x＜304a 富足型三30≤x＜40n0.45四40≤x＜5012b 奢侈型五x≥504c合计1（1）表中a+b+c＝；m＝；本次调查共随机抽取了名同学；（2）在扇形统计图中，“富足型”对应的扇形的圆心角的度数是；（3）估计今年5月份全校零花钱支出在30≤x＜40范围内的学生人数；（4）在抽样的“奢侈型”学生中，有2名女生和2名男生．学校团委计划从中随机抽取2名同学参加“绿苗理财计划”活动，请运用树状图或者列表说明恰好抽到一男一女的概率．22．在“6•18”活动中，某网店拿出当季新款鞋30双参加网络拼团促销：若拼团一次性购买不超过10双，则每双售价300元；若拼团一次性购买超过10双，则每多买一双，所买的每双鞋的售价均降低3元．已知该新款鞋的进价是200元/双，设顾客拼团一次性购买鞋x双，该鞋店可获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）顾客拼团一次性购买多少双时，该鞋店获利最多？23．如图1，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．（1）若AE＝DA，求证：△ABE≌△DF A．（2）若AB＝6，AD＝8，且E为BC中点．①如图2，连接CF，求sin∠DCF的值．②如图3，连接AC交DF于点M，求CM：AM的值．2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．﹣5B．5C．0.2D．﹣0.2【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣5的绝对值是|﹣5|＝5．故选：B．2．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝2B．a2•2a﹣2＝2C．a2÷a＝1D．（﹣2a）3＝﹣6a3【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法，积的乘方，即可解答．【解答】解：A、3a2﹣a2＝2a2，故错误；B、a2•2a﹣2＝2，故正确；C、a2÷a＝a，故错误；D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故错误；故选：B．3．下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（）A．圆锥B．正方体C．正三棱柱D．圆柱体【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；C、三棱柱的主视图和左视图为不全等的长方形，符合题意；D、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；故选：C．4．新冠肺炎疫情突袭，防疫物资紧缺成为各国亟待解决的难题．我国在保障国内防控需求的基础上，尽己所能不断对外输送防疫物资，为国际社会共同抗击疫情提供了巨大支持和坚强保障．据悉，自3月1日至4月30日，全国共验放出口主要防疫物资价值712亿元．712亿用科学记数法表示为（）A．712×108B．7.12×108C．71.2×1010D．7.12×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将712亿＝71200000000用科学记数法表示为：7.12×1010．故选：D．5．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（）A．25°B．35°C．40°D．60°【分析】由DE∥BC，推出∠EDB＝∠1＝110°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，求出∠A 即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠1＝110°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴110°＝∠A+70°，∴∠A＝40°，故选：C．6．如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（）年龄13141516频数57﹣a13aA．13B．14C．15D．16【分析】根据给出的数据先求出总人数，再根据中位数的定义直接解答即可．【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为16岁的频数和为7﹣a+a＝7，则总人数为：5+7+13＝25人，把这些数从小到大排列，则中位数是15岁，故选：C．7．如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据点B、C的横坐标，代入反比例函数的解析式求出纵坐标，表示出BC的长，根据三角形面积公式求出k的值．【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），点B的坐标（t，），BC＝+，则（+）×t＝3，解得k＝5，故选：D．8．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．5B．4C．2D．3【分析】由三角形面积得出＝＝，设BC＝x，则OB＝2x，在Rt△OBC中，由勾股定理得出方程，解方程得出BC＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，∵AE⊥BC，∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，∴＝＝，设BC＝x，则OB＝2x，在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，解得：x＝，∴BC＝，∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；故选：A．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为C，已知﹣2≤c≤﹣1，顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．C．对于任意实数m，不等式a+b＞am2+bm恒成立D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根【分析】A、由抛物线的顶点坐标代入可得a+b＝n﹣c，由最小值为n可知c＞n，可得结论A错误；B、利用对称轴可得b＝﹣2a，结合点A的坐标，可得c＝﹣3a，代入已知中c的不等式中，可判定结论B正确；C、由抛物线的顶点坐标及a＞0，可得出n＝a+b+c，且n≤ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，结论C错误；D、由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，将直线上移可得出抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．【解答】解：A、∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴a+b+c＝n，∴a+b＝n﹣c，由图象可知：抛物线开口向上，有最小值是n，∴n＜c，∴a+b＝n﹣c＜0，结论A错误；②∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝3a+c＝0，∴c＝﹣3a∵﹣2≤c≤﹣1，∴﹣2≤﹣3a≤﹣1，∴，结论B正确；③∵a＞0，顶点坐标为（1，n），∴n＝a+b+c，且n≤ax2+bx+c，∴对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，结论C错误；④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，∵抛物线开口向上，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根，结论D错误．故选：B．10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1B．C．D．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AB＝1，DE＝＝＝，∴OD的最大值为：+1．故选：A．二．填空题（共4小题）11．分解因式：a2b﹣4b3＝b（a+2b）（a﹣2b）．【分析】先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2b﹣4b3＝b（a2﹣4b2）＝b（a+2b）（a﹣2b）．故答案为b（a+2b）（a﹣2b）．12．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是60%．【分析】可设该医疗器械这两年的平均降价率是x，根据题意可得方程（1﹣x）2＝（1﹣20%）×（1﹣80%），解方程即可求解．【解答】解：设该医疗器械这两年的平均降价率是x，依题意有（1﹣x）2＝（1﹣20%）×（1﹣80%），解得x1＝60%，x2＝140%（舍去）．故该医疗器械这两年的平均降价率是60%．故答案为：60%．13．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为x1＜a＜b＜x2．【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）＝1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）＝0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）＝1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：x1＜a＜b＜x2，故答案为：x1＜a＜b＜x2．14．平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y＝x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2，则a的值为2+或2﹣．【分析】设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC，根据点P的坐标可得⊙P 的半径PC为2，由于满足条件的点P可能在直线y＝x的上方，也可能在直线y＝x的下方，因此需分两种情况讨论．当点P在直线y＝x上方时，如图1，连接CP并延长交直线y＝x于点E，则有CE＝OC．过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理可求出AD，在Rt △ADP中，运用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，运用三角函数可求出PE，就可求出a的值；当点P在直线y＝x下方时，如图2，连接PC，过点P作PD⊥AB于D，过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，同理可得：OM＝MN，PD＝1，PN＝．易证四边形PCOM是矩形，从而有OM＝PC ＝2，OC＝PM，进而可以求出a的值，问题得以解决．【解答】解：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．∵点P的坐标为（2，a），∴PC＝2．①若点P在直线y＝x上方，如图1，连接CP并延长交直线y＝x于点E，则有CE＝OC．∵CE⊥OC，CE＝OC，∴∠COE＝∠CEO＝45°．过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理可得：AD＝BD＝AB＝×2＝．在Rt△ADP中，PD＝＝＝1．在Rt△PDE中，sin∠PED＝＝＝，解得：PE＝．∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．∴a＝2+．②若点P在直线y＝x下方，如图2，连接PC，过点P作PD⊥AB于D，过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，同理可得：OM＝MN，PD＝1，PN＝．∵∠PCO＝∠COM＝∠PMO＝90°，∴四边形PCOM是矩形．∴OM＝PC＝2，OC＝PM．∴OC＝PM＝MN﹣PN＝OM﹣PN＝2﹣．∴a＝2﹣．故答案为：2+或2﹣．三．解答题（共9小题）15．计算：（）﹣2﹣（﹣）×+|2cos30°﹣2|．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别计算得出答案．【解答】解：原式＝4+2+2﹣＝6+．16．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金银一枚各重几何？意思是：今有黄金9枚（每枚黄金重量相同），白银11枚（每枚白银重量相同）．黄金与白银的重量恰好相等，互相交换1枚后，黄金部分减轻了13两，问每枚黄金、白银各重多少两？【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程即可．“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银各重几何？【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，解得：．即每枚黄金重两，每枚白银重两．17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）画出△C1DA1，使△C1DA1≌△ABC且点D在A1C1的右侧；（3）填空：sin∠B1C1D＝．【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1；（2）依据△C1DA1≌△ABC且点D在A1C1的右侧，即可得到△C1DA1；（3）过B1作B1H⊥C1D，依据三角形面积即可得到B1H的长，进而得出sin∠B1C1D的值．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△C1DA1即为所求；（3）如图所示，过B1作B1H⊥C1D，则×B1D×2＝×C1D×B1H，即B1H＝＝，∴Rt△B1C1H中，sin∠B1C1D＝＝．故答案为：．18．我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．（1）观察以上图形并完成如表：根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为4n﹣5．（用含n的式子表示）图形名称基本图形的个数特征图形的个数图111图223图337图44………………（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是；图2020中所有特征图形的面积之和为．【分析】（1）根据从第3个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可．（2）根据图形的特征解决问题即可．【解答】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，故答案为：4n﹣5．（2）如图2中，图形的面积＝2×2﹣×2＝，图2020中所有特征图形的面积之和为＝2020×2﹣2019××2＝，故答案为，．19．如图，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE（请将下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）恰为45°，则此时平台DE的长为7米；（2）坡前有一建筑物GH，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物GH高为多少米？【分析】（1）根据题意解直角三角形即可得出答案；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角＝45°，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，D为AB的中点，∴BC＝10，AC＝24，AD＝BD＝13，∴BF＝CF＝EF＝BC＝5，DF＝AC＝12，故：DE＝DF﹣EF＝12﹣5＝7（米）；则平台DE的长为7m，故答案为：7；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DP A中，DP＝CF＝5，P A＝AC＝12，在矩形DPGM中，MG＝DP＝12，DM＝PG＝12+AG，在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝×（12+AG），GH＝HM+MG＝×（12+AG）+5，∵∠HAG＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：AG＝，∴HG＝AG＝≈17.9（米），答：建筑物GH高约为17.9米．20．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长．【分析】（1）要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD＝90°即可．（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE＝90°，∴∠EAB+∠E＝90°．∵∠E＝∠C，∠C＝∠BAD，∴∠EAB+∠BAD＝90°．∴AD是⊙O的切线．（2）解：由（1）可知∠ABE＝90°，直径AE＝2AO＝6，AB＝4，∴．∵∠E＝∠C＝∠BAD，BD⊥AB，∴cos∠BAD＝cos∠E．∴．∴．21．某校为了解学生零用钱支出情况，从七、八、九年级800名学生中随机抽取部分学生，对他们今年5月份的零用钱支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：组别零用钱支出x（单位：元）频数（人数）频率节俭型一x＜20m0.05二20≤x＜304a 富足型三30≤x＜40n0.45四40≤x＜5012b 奢侈型五x≥504c合计1（1）表中a+b+c＝0.5；m＝2；本次调查共随机抽取了40名同学；（2）在扇形统计图中，“富足型”对应的扇形的圆心角的度数是162°；（3）估计今年5月份全校零花钱支出在30≤x＜40范围内的学生人数；（4）在抽样的“奢侈型”学生中，有2名女生和2名男生．学校团委计划从中随机抽取2名同学参加“绿苗理财计划”活动，请运用树状图或者列表说明恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）由x＜10的人数及其频率可得总人数，总人数乘以20≤x＜40的百分比，再减去20≤x＜30的人数即可得m的值，同理计算出n的值；（2）根据题意求得n＝360°×“30≤x＜40“和40≤x＜50范围的学生人数对应比例即可得到结论；（3）总人数乘以“30≤x＜40范围的学生人数对应比例即可得到结论；（4）列表得出所有等可能结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）表中a+b+c＝1﹣（0.05+0.45）＝0.5；本次调查的总人数为（4+12+4）÷0.5＝40（人），m＝40×0.05＝2，故答案为：0.5，2，40；（2）n＝40×0.45＝6，∴“富足型”对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝162°；故答案为：162°；（3）估计该校今年5月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数约为800×＝120（人）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率＝＝．22．在“6•18”活动中，某网店拿出当季新款鞋30双参加网络拼团促销：若拼团一次性购买不超过10双，则每双售价300元；若拼团一次性购买超过10双，则每多买一双，所买的每双鞋的售价均降低3元．已知该新款鞋的进价是200元/双，设顾客拼团一次性购买鞋x双，该鞋店可获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）顾客拼团一次性购买多少双时，该鞋店获利最多？【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，当0≤x≤10时，y＝（300﹣200）x＝100x，当10＜x≤30时，y＝[300﹣200﹣3（x﹣10）]x＝﹣3x2+130x，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）∵当0≤x≤10时，y＝100x，∴当x＝10时，y取得最大值1000，∵当10＜x≤30时，y＝﹣3x2+130x＝﹣3（x﹣）2+，∴当x＝＝21时，y取得最大值，∵x为整数，∴当x＝22时，y取得最大值1408，∵1000＜1408，∴当x＝22时，该鞋店获利最多，答：拼团一次性购买22双时，该鞋店获利最多．23．如图1，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．（1）若AE＝DA，求证：△ABE≌△DF A．（2）若AB＝6，AD＝8，且E为BC中点．①如图2，连接CF，求sin∠DCF的值．②如图3，连接AC交DF于点M，求CM：AM的值．【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）①如图2中，过点F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．利用相似三角形的性质求出AF，DF，解直角三角形求出FJ，DJ，CH，FH即可解决问题．②如图3中，延长DF交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°，∵AD＝AE，∴△ABE≌△DF A（AAS）．（2）①解：如图2中，过点F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．∵四边形ABCD是矩形，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∴∠B＝90°，∵BE＝EC＝4，∴AE＝＝＝2，∵∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△DF A，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，AF＝，∵FJ⊥AD，∴FJ＝DH＝＝，DJ＝FH＝＝＝，∴CH＝CD﹣DH＝6﹣＝，∴CF＝＝＝6，∴sin∠DCF＝＝＝．②解：如图3中，延长DF交CB的延长线于K．∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴＝，∴＝，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝＝．。
2020届安徽省马鞍山市第二中学高三第二次阶段性素质测试数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省马鞍山市第二中学高三第二次阶段性素质测试数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则u C A 等于（ ） A ．R B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】利用补集定义直接求解． 【详解】解：Q 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，∴集合{}2,4,5U A =ð．故选：C ． 【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．命题P ：20,2x x x ∀<≥，则命题P ⌝为（ ）A ．02000,2xx x ∃<≥ B ．02000,2xx x ∃≥< C ．02000,2x x x ∃<<D ．02000,2x x x ∃≥≥【答案】C【解析】命题P ⌝为:02000,2xx x ∃<<,选C. 点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题.3．已知=2tan α，则22sin 1sin 2αα+=（ ）A ．53B．134-C．135D．134【答案】D【解析】本题主要考查的是三角函数中的奇次求值问题．由条件可知，又，所以，代入得，应选D．4．已知132a-=，21log3b=，121log3c=，则（）．A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log0,log1,33a b c-=∈==所以.b a c<<选C．【考点】比较大小5．某几何体的三视图如何所示，则该几何体的体积为（）A．163B．643C．803D．143【答案】C【解析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】解：由已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：它有四棱锥F ABCD -与三棱锥F ABE -组成， 故体积111804442443323V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是棱锥的体积，简单几何体的三视图，属于中档题． 6．直线:10l x y -+=与圆22:4210C x y x y +--+=位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心 D ．相交但不过圆心 【答案】D【解析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径r ，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d ，比较d 与r 的大小可得出直线与圆的位置关系即可得到正确的选项． 【详解】解：由圆的方程22:4210C x y x y +--+=，化成标准式为()()22:214C x y -+-=得到圆心坐标为()2,1，半径2r =，Q 圆心到直线10x y -+=的距离22d r ==<，∴直线与圆的位置关系是相交但不过圆心．故选：D ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及点与直线的位置关系，直线与圆的位置关系可以用d 与r 的大小来判断：当0d r <…时，直线与圆相加；当d r =时，直线与圆相切；当d r >时，直线与圆相离． 7．若定义域为R 的函数()f x 在()4,+∞上为增函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A ．()()23f f < B ．()()25f f < C ．()()36f f < D ．()()35f f <【答案】C【解析】先利用函数的奇偶性求出()()35f f =，再利用单调性判断函数值的大小． 【详解】解：(4)y f x =+Q 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-+=+ 令3x =，得()()3(14)(14)5f f f f =-+=+=， 又知()f x 在(4,)+∞上为增函数， 56<Q ，()()56f f ∴<，()()36f f ∴<， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查偶函数的图象性质：关于y 轴对称及函数的图象中平移变换，属于中档题． 8．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间B ．()3,5为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值 【答案】D【解析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()y f x =的导函数的图象可知： 当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当13x -<<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当35x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当5x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 单调递减区间为(,1),(3,5)-∞-，递增区间为(1,3),(5,)-+∞， 且函数()f x 在1x =-和5x =取得极小值，在3x =取得极大值， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．2B ．23C D ．0【答案】B【解析】连结BE ，则//CD AB ，从而BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 【详解】 解：连结BE ，Q 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，//CD AB ∴，BAE ∴∠是异面直线AE 与CD 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则2AB =，BE ==AB BE ⊥，3AE ===，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为：2cos 3AB BAE AE ∠==． 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．10．若直线220(0,0)ax by a b +-=>>始终平分圆：224280+---=x y x y 的周长，则14a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．9C ．10D ．322+【答案】B【解析】由题意得，直线过圆心(2,1)，即1a b +=，14144()()5b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式求出其最小值． 【详解】解：224280x y x y --+-=Q()()222113x y ∴-+-=由题意，直线220(0,0)ax by a b +-=>>始终平分圆，所以直线过圆心(2,1)， 即2220(0,0)a b a b +-=>>，所以，1a b +=．∴1144()()545942b a b aa b a b a b a b a b +=++=+++⋅…，当且仅当4b a a b=时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】本题考查直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，解题的突破口是判断直线过圆心，解题的关键是利用1a b +=．11．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．【详解】 如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3， 由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，故选D ．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．12．函数()f x 在定义域()0,∞+内恒满足()()3()f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 导函数，则（ ）A ．1(1)18(2)2f f << B ．1(1)18(2)4f f << C ．1(1)116(2)8f f << D ．1(1)13(2)2f f <<【答案】A【解析】分别构造函数()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】 解：令()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞， 2()()()xf x f x g x x '-'=，(0,)x ∀∈+∞Q ，()()3()f x xf x f x '<<恒成立，()0f x ∴>，2()()0xf x f x x '-<，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，()()12g g ∴<，即()()212f f <，2(1)1(2)f f <； 令3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞， 4()3()()xf x f x h x x '-'=，(0,)x ∀∈+∞Q ，()()3()f x xf x f x '<<恒成立， 4()3()()0xf x f x h x x '-∴'=<，∴函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，()()12h h ∴>，即()(2)18f f >，(1)1(2)8f f >， 综上可得1(1)18(2)2f f << 故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．函数()cos sin f x x x =+的最大值为________________.【解析】先利用两角和公式对函数解析式化简，进而利用正弦函数的性质求得答案． 【详解】解：()cos sin )4f x x x x π=+=+1sin()14x π-+Q 剟∴【点睛】本题主要考查了两角和公式的化简求值，正弦函数的单调性，三角函数的最值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．14．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则yx的最大值为_____________.【解析】当直线y kx =与圆相切时，k 取得最值，利用切线的性质求出k ； 【详解】解：设圆22:410C x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．设yk x=，则当直线y kx =与圆C 相切时，直线斜率最大或最小，即k 最大或最小． 如图所示：设直线y kx =与圆C 切于第一象限内的点A ，则3AC =2OC =，1OA ∴=， tan 3ACk AOC OA∴=∠=由图象的对称性可知当y kx =与圆C 相切于第四象限内时，3k =∴yx3，最小值为3． 3【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．15．已知球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为____． 【答案】16π【解析】由题意知，CD 为该球的直径，由此易知，当顶点A 在底面的射影为球心O 时，且底面BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD -体积最大，所以1182323R R R ⨯⋅⋅⨯=，解得2R =，故所求球O 的表面积为2416S R ππ==. 点睛：此题主要考查了简单组合体的体积、表面积的计算，以及空间想象能力等有关方面的知识与能力，属于中高档题型，也是常考题型.此题中需要对三棱锥的体积在约定的条件下，什么情况出现最大值作出判断，那当然是底面积最大且高最长时出现最大值，而由条件已知底面三角形中一边为球的直径，因此当该三角形的高为半径时面积最大，又当三棱锥的高亦为半径时，所求三棱锥的体积最大，从而问题可得解. 16．已知函数()xx f x e =，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有2个不同的实数解，实数m 的值为___________________. 【答案】11e-或m 1≥且2m ≠ 【解析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++-=，即为210t mt m ++-=，解得t ，再由图象可得m 的方程，解得． 【详解】 解：函数()x x f x e =的导数为1()xxf x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增； 当1x >，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在1x =处取得极大值()11f e=， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++-=， 即为210t mt m ++-=， 解得1t =-或1t m =-，当1t =-时，即()1f x =-存在一个实根；要使2[()]()10f x mf x m ++-=恰有2个不同的实数解即关于t 的方程210t mt m ++-=的另一个根11t m e =-=或10t m =-≤且11t m =-≠-解得11m e=-或m 1≥且2m ≠故答案为：11e-或m 1≥且2m ≠． 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知，圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）34a =-；（2）7140x y -+=和20x y -+=. 【解析】（1）直线l 与圆C 相切，求出圆心到直线的距离，与半径相等，得出关于a 的方程，求解，即可得出结论；（2）AB =l，得到关于a 的方程，求解，即可得出结论； 【详解】将圆C 的方程228120x y y +-+=配方得标准方程为()2244x y +-=，则此圆的圆心为()0,4，半径为2. （1）若直线l 与圆C2=，化简得43a =-，34a =-. （2）当直线l 与圆C 相交于A 、B两点，AB = 圆的半径为2，=，整理得2870a a ++=解得：7a =-或1a =-，∴直线l 的方程是7140x y -+=和20x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，要注意圆的性质在解题中的应用，属于中档题. 18．已知函数()sin sin cos 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将得到的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()y g x =图像，求()g x 的单减区间.【答案】(1) 2π (2) 3,()44x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）利用两角和差的正弦公式及辅助角公式化简函数解析式，再利用周期公式2T ||πω=求得其最小正周期. （2）按照三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，再结合正弦函数的单调性求单调区间. 【详解】解：（1）()sin sin cos 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()sin cossincos sin cossincos cos 6666f x x x x x x ππππ∴=++-+()cos f x x x ∴=+()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2T 2||ππω∴== （2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移12π个单位长度，得62sin 2sin 2212x y x ππ⎪⎡⎤⎫=⎛=-+ ⎝⎥⎣⎭⎢⎦即()2sin 2g x x =，要求其单调递减区间，令322,2()22x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦.解得3,()44x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦即()2sin 2g x x =的单调递减区间为3,()44x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．19．如图所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，PC ⊥平面ABC ，M 是AB 上一个动点，AB ，PC 为定值.求证：（1）平面PBC ⊥平面PCA（2）当PM 取得最小值时，求AMBM 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)3AMBM= 【解析】（1）由PC ⊥平面ABC 可得PC BC ⊥，又BC AC ⊥可证BC ⊥平面PCA ，即可得证.（2）在Rt PCM ∆中22PM PC CM +，由于PC 为定值，要使PM 取最小值，即是使CM 取最小值，当且仅当CM AB ⊥时，CM 取得最小值，即可求出AMBM的值. 【详解】解：（1）∵PC ⊥平面ABC ∴PC BC ⊥由题意可知，BC AC ⊥∵AC PC P =I .AC ⊂平面PCA ，PC ⊂平面PCA . ∴ BC ⊥平面PCA 又BC ⊂平面PBC . ∴平面PBC ⊥平面PCA（2）∵PM =，PC 为定值∴当CM 取得最小值时，PM 即取得最小值 即当CM AB ⊥时，CM 取得最小值由题意可知，当CM AB ⊥时，60ACM ∠=°，30BCM ∠=︒. ∴3AMBM=. 【点睛】本题考查面面垂直的判定，属于基础题.20．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222sin B a b c =+-．（1）求角C 的大小．（2）若sin(π)cos b A a B -=，且b =ABC V 的面积．【答案】（1）π6;（2. 【解析】【详解】试题分析：（1）由正余弦定理化简可得角C 得大小；（2）由()sin cos b A a B π-=，根据正弦定理化简，求出c ，即可求出ABC ∆得面积.试题解析：（1）在ABC V 中，由222sin B a b c =+-， 由余弦定理：2222cos a b c ab C +-=，可得：sin 2cos B ab C =．sin sin cos C B B C =， ∵0πB <<，sin 0B ≠，cos C C =，即tan C =，∵0πC <<， ∴π6C =． （2）由()sin πcos b A a B -=， ∴sin sin sin cos B A A B =， ∵0πA <<，sin 0A ≠， ∴sin cos B B =， ∴π4B =， 根据正弦定理sin sin b c B C=，可得2ππsin sin 46c=，解得1c =， ∴11sin 21sin 22ABC S bc A A ==⨯⨯⨯V ， ()22ππsin πsin 2246B C ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭， 314+=． 21．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，且侧面1ACC A ⊥底面ABC ，1AC A B ⊥，AB BC ⊥，AB BC =，E ，F 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：直线//EF 平面11ABB A ； （2）若2AC =，求三棱锥1F ABA -的体积.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】（1）取11A B 中点为P ，连结FP ，AP ，证明四边形FPAE 为平行四边形，得//EF AP 即可证明；（2）连1A E ，BE ，证明1A E ⊥底面ABC ，转化111F ABA E ABA A ABE V V V ---== 求解即可【详解】（1）取11A B 中点为P ，连结FP ，AP .∵E ，F ，P 为AC ，11B C ，11A B 的中点，∴//FP AE ，FP AE =. ∴四边形FPAE 为平行四边形，∴//EF AP .又∵AP ⊂平面11ABB A EF ⊄平面11ABB A ，∴//EF 平面11ABB A（2）连1A E ，BE∵AB BC =，且E 为中点，∴BE AC ⊥.又1AC A B ⊥且1BE A B B ⋂=，∴AC ⊥平面1A BE . ∴1A E AC ⊥. ∴11AA A C =.又∵四边形11ACC A 为菱形，∴112AC AA AC ==1A E AC ⊥. ∵侧面11ACC A ⊥底面ABC ，∴1A E ⊥底面ABC . 由（1）知//EF 平面11ABB A . ∴111111616334F ABA E ABA A ABE ABE V V V A E S ---∆===⋅⋅==. 【点睛】本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积计算，考查空间想象及推理能力，注意等体积转化的应用，是中档题22．设2()x f x xe ax =-，2()ln 1eg x x x x a=+-+-. (1)求()g x 的单调区间；(2)当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤. 【解析】(1)()()()211 x x g x x-+-='，解()0g x '>，()g x '<0得单调区间；(2)不等式恒成立转化为()0min h x ≥,()()1xa h x x e x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，利用零点存在定理得00x ae x =，结合()h x 的单调性确定其最小值为()0ln 0h x e a a =-≥,解不等式即可 【详解】 (1).()()()211112x x g x x x x-+-=+-='，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减。
安徽省马鞍山市二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试文科数学试题 Word版含答案
马鞍山市第二中学2020-2021学年度第一学期高二年级10月月考高二文科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共12题，每题5分，共60分）1．若集合{}230M x x x =-=，{}2 log 2N x x =<，则M N =（ ）A ．{}2-B ．()0,4C ．(),4-∞D ．[)0,42．已知直线l 过圆22:2410C x y x y +---=的圆心C ，且倾斜角为90︒，则l 方程为（ ）A ．2y x =B ．1x =C ．2y =D ．1y x =+3．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π4．若直线20x y -=与y 轴交点P ，则点P 将圆22(1)25x y ++=的直径分为两段的长度之比是（） A ．73or 37 B ．74or 47 C ．75or 57 D ．76or 675．若实数x 、y 满足3220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．246．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则圆锥的表面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．163π7．已知向量(,1)a m =，(2,3)b =-，若(2)a b b -⊥，则m =（ ）A ．194- B ．194 C ．23- D ．23。