华工概率论答案(7-8)
华南理工2020年线性代数与概率统计随堂练习答案
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1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.(单选题)%答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C}问题解析：6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.(单选题)·答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：-2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）>参考答案：D问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：)7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）|参考答案：B问题解析：10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：【2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）、参考答案：A问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：》2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C[问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)"答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C；问题解析：7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）&参考答案：B问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：)5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）{参考答案：B问题解析：8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：@10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D-问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.(单选题)'答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C（问题解析：8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：10.(单选题)&答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A选题)'答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A！问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.(单选题).答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D…问题解析：9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）[参考答案：B单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.(单选题)：答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：（3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率是，两人同时射中目标的概率为，则目标被射中的概率为（）A．;B．;C．;D．.<答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D选题)答题： A. B. C. D. （已提交）]参考答案：D问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：A&4.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，则两粒都发芽的概率为（）A．; B．; C．; D．.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，则至少有一粒发芽的概率为（）"A．; B．; C．; D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，则恰有一粒发芽的概率为（）A．; B．; C．; D．…答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D?问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题)(答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：·3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C…问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.(单选题).从一副扑克牌（52张）中任意取出5张，求抽到2张红桃的概率A ;B ;C ;D答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B选题)答题： A. B. C. D. （已提交））参考答案：C问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：%4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B)问题解析：2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题)[答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：1.(单选题) 设随机变量X的分布列为则分别为（）.A．，;B．, ;C．, ;D．, .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D…问题解析：2.(单选题) 一批产品分为一、二、三等品及废品，产值分别为6元、5元、4元、0元，各等品的概率分别为，，，，则平均产值为（）.A．元;B．元;C．元;D．元.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.(单选题) 已知随机变量X在服从均匀分布，试求为（）A．B．C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.(单选题) 设随机变量X的密度函数，则下列关于说法正确的是（）A．=0B．C．D．@答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.(单选题) 设随机变量X的密度函数，则下列关于=？A． ;B． ;C． ;D． .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.(单选。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
概率论与数理统计答案(华南理工)
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 2 2 ˆ 2 S50 Xi ( X ) 50 i 1
此时，ˆ ,
ˆ
2
为两个统计量
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近 假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入统计量中，有
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50 计算样本 的期望和
若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 ln L 第（3）步改为 0, (i 1, 2, , n) i 解方程组即可。
华东理工大学-概率论与数理统计-附参考答案
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
概率论与数理统计习题解答 华南理工大学出版社
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为 止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170
1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p
P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题7
第七章 参数估计1. 解 )1()(,)(),,(~p np X D np X E p n B X -==∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==22)1(,)()(B p np Xnp B X D X X E 即由解之，得n,p 的矩估计量为XB p B X X n 2221,-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∧∧注：“[ ]”表示取整。
2. 解 因为：22)(22)(1)1()(1)()(λλθλλθλθλθλ++=⋅=+=⋅==⎰⎰⎰∞+--∞+--∞+∞-dx ex x E dx ex dx x xf x E x x所以，由矩估计法得方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2221)1(1λλθλθA X 解得λθ,的矩估计量为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∧∧221B B X λθ3. 解 (1) 由于 222)]([)()(X E X E X D -==σ令∑===ni iX nA X E 12221)( 又已知 μ=)(X E故 2σ的矩估计值为∑∑==∧-=-=-=ni ini iX nX nA 12122222)(11μμμσ(2) μ已知时，似然函数为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅=∑=-n i i n x L 122222)(21exp )2()(μσπσσ因此∑=---=ni ixn L 12222)(21)2ln(2)(ln μσπσσ令 0)(2112)(ln 124222=-+-=∑=ni ixn L d dμσσσσ解得2σ的极大似然估计为:∑=∧-=ni iX n122)(1μσ4. 解 矩估计：λλ=∴=)()(X E X E令X X E =)(故X =∧λ为所求矩估计量。
注意到 λ=)(X D 若令 2)(B X D =, 可得: 2B =∧λ似然估计：因为λλ-==ek k X P k!)(所以，λ的似然函数为∏=-=ni i x ex L i1!)(λλλ取对数λλλn x x L ni ini i --=∑∑==11)!ln(ln )(ln令ln 1=-=∑=n xd d ni i λλλ, 解得∑=∧=ni ix n11λ故,λ极大似然估计量为X =∧λ5. 解 矩估计：21)1()()(11++=+==⎰⎰+∞+∞-θθθθdx xdx x xf X E令 X X E =)(, 即 X=++21θθ; 解之X X --=∧112θ似然估计: 似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∏∏==其它其它,010,)()1(,010,)1()(11i ni i n i n i i x x x x L θθθθθ只需求10,)()1()(11<<+=∏=i n i i nx x L θθθ的驻点即可.又∑=++=ni ix n L 11ln )1ln()(ln θθθ令∑=++=ni ix nL d d11ln1)(ln θθθ; 解之∑=∧--=ni ix n1ln1θ6. 解：似然函数为∑===---=-=---∏∏ni i i x n i i n ni x i ex ex L 12222)(l n21112212)(l n 12)()2(21),(μσσμπσσπσμ取对数得∑----===∏ni i ni i x x n L 122122)(l n 21)l n ()2l n (2),(ln μσπσσμ由 0)(l n 2112),(ln 0)1()(ln 221),(ln 124222122=∑-+⋅-=∂∂=∑-⋅--=∂∂==ni i ni i x nL x L μσσσμσμσσμμ 联立解之，2,σμ的极大似然估计值为∑∑-=∑===∧=∧ni ni i i ni i x nx nx n12121)ln 1(ln 1,ln 1σμ7. 解：似然函数为ni x x e ax L i i n i x a i a i,,2,1;0,00,)(11 =⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∏=--λλλ只需求∑⋅===--==--∏∏ni aia ix a n i nn ni x a iex a eaxL 111111)()(λλλλλ的最值点。
华南理工大学概率论与数理统计试卷及参考解答2
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
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10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。
5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。
10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。
现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
华南理工大学概率论
第九章9-1 ①提出假设010:32.05H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =;对给定的0.01α=,查表 得0.005 2.575u =.④求观察值.31.13, 2.05X u ==-.⑤作出判断.当0.05α=时, 2.05 1.96u =>,所以拒绝0H ;当0.01α=时, u2.05 2.275=<,所以接受0H .9-2 ①提出假设00:5H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得0.005 2.575u =. ④求观察值. 5.32, 3.2X u ==.⑤作出判断.当0.01α=时, 3.2 2.275u =>,所以拒绝0H . 9-3 (1)①提出假设00:50H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. 2.25u =.⑤作出判断.当0.05α=时, 2.25 1.96u =>,所以拒绝0H . (2)①提出假设00:50H μμ==. ②找统计量.()~1X t t n =-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.0258 2.31t =. ④求观察值.48.5, 2.5, 1.8X S t ===-.⑤作出判断.当0.05α=时, 1.8 2.31t =<,所以接受0H .9-4 ①提出假设00: 2.7H μμ==.②找统计量.()~1X t t n =-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.02529 2.04t =. ④求观察值.°0.18,301 2.05/29n S S t n ==-⨯. ⑤作出判断.当0.05α=时, 2.04t <,所以接受0H . 9-5 ①提出假设00:H μμ=.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得0.005 2.575u =. ④求观察值. 1.5u =.⑤作出判断.当0.01α=, 1.5 2.575u =<,所以拒绝0H . 9-6 (1)①提出假设00:100H μμ==.②找统计量.()~0,1X u N =.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值.99.9,0.25X u ==.⑤作出判断.当0.05α=时,0.25 1.96u =<,所以接受0H .(2)①提出假设22200: 1.2H σσ==.②找统计量. ()92222101()~ii Xn χμχσ==-∑.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9 2.7χχ==.④求观察值. 28.2χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时,22.719.0χ<<,所以接受0H .9-7 ①提出假设2200:0.04H σσ==.②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.9751426.1,14 5.63χχ==. ④求观察值. 21.84χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时,25.63χ<,所以拒绝0H ,有显著差异. 9-8 ①提出假设00:9H σσ==.②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9χχ==2.7.④求观察值. 2221162.9,(62.9)9nii X Xχ===-∑.⑤作出判断. 当0.05α=时, 22.719χ<<,所以接受0H ,即可认为溶化时间 的标准差为9.9-9 (1)①提出假设00:500H μμ==.②找统计量. ()~0,1X u N =.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. 501.3,0.82X u ==.⑤作出判断. 当0.05α=时, 0.82 1.96u =<,所以接受0H ,即包装机工作 正常.(2)①提出假设00: 2.7H μμ==.②找统计量. ()~1X t t n =-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.0259 2.26t =. ④求观察值. 2501.3,31.57,0.73X S t ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.26t <,所以接受0H .9-10 (1)①提出假设2200:25H σσ==.②找统计量. ()2222101()~ni i X X n χχσ==-∑. ③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.9751020.5,10 3.25χχ==.④求观察值. 212χ=.⑤作出判断. 当0.05α=时, 23.2520.5χ<<,所以接受0H . (2)①提出假设00:5H σσ==. ②找统计量. ()2222101()~1nii XX n χχσ==--∑.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()()220.0250.975919.0,9χχ==2.7. ④求观察值. 22501.3,31.57,11.37X S χ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 22.719χ<<,所以接受0H .9-11 ①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()~0,1X Y u N μμ---=.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. ④求观察值. u =. ⑤作出判断. 当0.05α=时, 1.96u >,所以拒绝0H .9-12 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()0.0250.9755,57.15,5,50.14F F ==④求观察值. 222112221139.33,269,0.14655S S S F S =⨯=⨯==.⑤作出判断. 当0.05α=时, 0.147.15F <<,所以接受0H . (2)①提出假设012:0H μμ-=. ②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.02510 2.23t =. ④求观察值. 0.14067,0.13883,0.57X Y t ===. ⑤作出判断. 当0.05α=时,0.57 2.23t =<,所以接受0H .9-13 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.01α=,查表得()()0.0050.9958,9 6.69,8,9F F ==17.34. ④求观察值. 2221122264,226,0.28S S S F S ====.⑤作出判断.当0.01α=时,16.697.34F <<,所以接受0H . (2)①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值. 对给定的0.01α=,查表得()0.00517 2.9t =. ④求观察值. 533,562,X Y t ===.⑤作出判断. 当0.01α=时, 2.9t >,所以拒绝0H .9-14 ①提出假设012:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n ---=+-.③求临界值. 对给定的0.05α=,查表得()0.02511 2.20t =. ④求观察值. 17.681,17.630,X Y t ===⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.2t <,所以接受0H .9-15 (1)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑.③求临界值.对给定的0.10α=,查表得()()0.050.9518,5 4.82,8,5 3.69F F ==. ④求观察值. 22211222113.69,19.2,0.1285S S S F S =⨯=⨯==.⑤作出判断. 当0.10α=时,13.69F <,所以拒绝0H . (2)①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()1221111222121()~,1()n i i n i i X n F F n n Y n μμ==-=-∑∑. ③求临界值.对给定的0.10α=,查表得()()0.050.9519,6 4.06,9,6 3.37F F == ④求观察值. 0.128F =. ⑤作出判断.当0.10α=时,13.37F <,所以拒绝0H . 9-16 ①提出假设02:0H μμ-=.②找统计量.()12~2X Y t t n n μμ---=+-.③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.02513 2.16t =. ④求观察值. t =.⑤作出判断. 当0.05α=时, 2.16t <,所以接受0H .9-17 ①提出假设21022:1H σσ=.②找统计量. ()12211122121()1~1,11()1n i i n i i X X n F F n n Y Y n ==--=----∑∑. ③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()()0.0250.97516,751.2,6,7 5.7F F ==. ④求观察值. 222112220.1048,0.0272, 3.85S S S F S ====.⑤作出判断.当0.10α=时,15.125.7F <<,所以接受0H . 9-18 根据题目要求,考虑假设检验()()()()0010:,:H F x F x H F x F x =≠.其中0F 服从泊松分布,其分布律为{}() 0,1,2,!kP X k e k k λλ-===Lλ的极大似然估计为样本均值X ,其观察值为()106544940.61200X =++++= 则统计量为()25210.7853i i i in np np χ=-==∑其中200n =,i p 是按0.61λ=的泊松分布律计算出的X 的取值为0,1,2,3,4 这五种情况的概率.查表得()220.0549.49χχ=>,故接受0H .9-19 根据题目要求,考虑假设检验()()00:H F x F x =,其中0F 服从等概率分布,其 分布律为{}()11,2,,66P X k e k λ-===L由观测数据得120,20i n np ==,则统计量为()()26211936102525 4.820i i i in np np χ=-==+++++=∑其中120n =.查表得()220.05511.1χχ=>,故接受0H .。
大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》试卷及参考解答
件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。
解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。
概率论第7-10章课后习题答案
习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：1-求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 0.094x =- 0.101893s =9n = 0.094.EX x ==-由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计. (2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}i i x ≤≤不是θ的无偏计.6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量.(2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=-所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0nn ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本 （1） 求θ的矩估计量ˆθ；（2） 求ˆ()D θ. 【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===， 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ= 13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知 那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<2)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】813ˆ(1)()34,()4 28i i x E X E X x xx θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2） 似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ=. 由于1,2> 所以θ的极大似然估计值为 ˆθ=15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1） 当α=1时，求β的矩估计量；（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0, 1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i n i i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏其他显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？2/2()dz tz tϕ-=⎰z【解】26~ 3.4,X Nn⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),XZ N={1.4 5.4}33210.95333ZP X PPZΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛⎛⎛⎫=-=-≥-⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是0.975Φ≥ 1.96≥,∴n≥35.17. 设总体X的概率密度为f(x，θ)=,01,1,12,0,.xxθθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,X n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,x n中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计.解(1)由于1201(;)d d(1)dEX xf x x x x x xθθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-.令32Xθ-=，解得32Xθ=-，所以参数θ的矩估计为32Xθ=-.似然函数为1()(;)(1)nN n NiiL f xθθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=， 所以θ的最大似然估计为N nθ=.18. 19. 习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H H n Z Z x x Z Z Z αμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H 0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25 设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H H n t n t x s x t t t αμμμμα==≠===-====-===<所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s 2=0.1(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）.【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H H n z x x z z z μμμασ≥<======-===->-=- 所以接受H 0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1） H 0：μ=0.5(%)；H 1：μ＜0.5(%).（2）0:H σ' =0.04(%)；1:H σ'＜0.04(%). 【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5) 4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n t x s x t t t αμα===-====-===-<-=-所以拒绝H 0，接受H 1. (2)2222010.95222220220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).n x s n s ασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H 0，拒绝H 1.6.某种导线的电阻服从正态分布N （μ，20.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s =0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.025220:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H H n s n s αασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===> 故应拒绝H 0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 第一批棉纱样本：n 1=200，x =0.532kg, s 1=0.218kg ； 第二批棉纱样本：n 2=200，y =0.57kg, s 2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05)【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1. 9. 10. 11. 12. 习题九1 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结8 1【解】14,26;====∑ri i r n n2442..11===-∑∑T iji j T S x n =69895900-69700188.46=195711.54, 242...11==-∑A i i iT S T n n =69744549.2-69700188.46=44360.7, =-E T A S S S =151350.8,0.05/(1)44360.7/3 2.15/()151350.8/22(3,22) 3.05.-===-=>A E S r F S n r F F ,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.2. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相等.【解】13,40,====∑ri i r n n232..11in T iji j T S x n ===-∑∑=199462-185776.9=13685.1, 232...11==-∑A i i iT S T n n =186112.25-185776.9=335.35, =-E T A S S S =13349.65,0.05/(1)167.70.465/()360.8(2,37) 3.23.-===-=>A E S r F S n r F F故各班平均分数无显著差异.取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异？【解】由已知r =4,s =3,t =3........,,,ij i j T T T T 的计算如表9-3-1.22 (111)22 (12)2.....122....111106510920.25144.75,11092310920.25 2.75,110947.4210920.2527.17,173.50=====⨯===-=-==-=-==-=-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑rstT ijki j k r A i i s B j j r s ij A B A B i j T S x rst T S T st rst T S T rt rst T T S S S t rst ,41.33.⨯=---=E T A B A B S S S S S0.050.050.05(3,24) 3.01,(2,24) 3.40,(6,24) 2.51.===F F F接受假设01H ，拒绝假设0203,H H .即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4. 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配【解】由已知r =s =3,经计算x =52, 1.x =50.66, 2.x =533.x =52.34, .1x =52, .2x =57, .3x =47,2112.12.1()162;()8.73,()150,3.27.rsT ij i j r A i i rB j j E T A B S x x S s x x S r x x S S S S =====-==-==-==--=∑∑∑∑表9-4-1得方差分析表由于0.050.05(2,4) 6.94,(2,4).A B F F F F =>< 因而接受假设01H ,拒绝假设02H .即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A ）、防老剂（B ）、硫化系统（C ）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，4试作最优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系. 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.【解】(1) 对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次顺序为：主→次B ,A ,C最优工艺条件为：223A B C .(2) 利用表9-5-1的结果及公式2211==-∑r j ij i T S T r P,得表9-5-2.表9-5-2 表9-5-2中第4列为空列，因此40.256==e S S ,其中2=e f ，所以eeS f =0.128方差分析表如表9-5-3.由于0.05(2,2)19.00F，故因素C作用较显著，A次之，B较次，但由于要求油体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BAC，这与前面极差分析的结果是一致的.6. 某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比例（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结果分析见下表：(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.(2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.【解】被考察因素有4个：A，B，C，D每个因素有两个水平，所以选用正交表L8（27），进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为：,,,→主次B C A D 最优方案为：1222A B C D(2) 利用表9-6-1的结果及公式2211n j ij i T s T r P==-∑得表9-6-2.表9-6-2表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以ees f =6.110.而在上表中其他列中j ejes s f f <.故将所有次均并入误差，可得 ΔΔ18.895,7.===e T e s s f整理得方差分析表为表9-6-3.由于0.05(1.7) 5.59=F ，故4因素的影响均不显著，但依顺序为：,,,→主次B C A D 与（1）中极差分析结果一致.习题十1. 在硝酸钠(NaNO 3)的溶解度试验中，测得在不同温度x (℃)下，溶解于100份水9999211112234,811.3,10144,24628.6,110144(234)4060,9124628.6234811.33534.8.9ii ii i i i i i xx xy xy x x y S S =========-==-⨯⨯=∑∑∑∑故^^^811.32340.8706,67.5078,99xyxx S b a b S ===-⨯=从而回归方程：^67.50780.8706.y x =+求（1） 儿子身高y 关于父亲身高x 的回归方程.（2） 取α=0.05，检验儿子的身高y 与父亲身高x 之间的线性相关关系是否显著. （3） 若父亲身高70英寸，求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间. 【解】经计算得，9999922111112291603,604.6,40569,40584.9,40651.68140569(603)168,9140584.9603604.676.7,9140651.68(604.6)35.9956.9ˆˆˆ(1)0.4565,/9/ii ii i i i i i i i xx xy yy xyi i i xx xy x x y y S S S S b a x b x S ============-==-⨯⨯==-====-⨯∑∑∑∑∑∑91936.5891,i ==∑故回归方程：ˆ36.58910.4565.yx =+20.05(2) 35.0172,35.995635.01720.9784,250.5439(1,7) 5.59./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0，即两变量的线性相关关系是显著的.00.025/2ˆ(3)36.58910.45657068.5474,ˆ0.05,(7) 2.3646,0.3739,1.0792, (2) 2.36460.3739 1.079yt t n αασσ=+⨯========-=⨯⨯给定故20.9540.=从而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为(68.5474±0.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了10个家庭，调查了他们的家庭月收入x （单位：百元）和月支出y (单(2) 求y 与x 的一元线性回归方程.(3) 对所得的回归方程作显著性检验.（α=0.025）【解】(1) 散点图如右，从图看出，y 与x 之间具有线性相关关系. (2) 经计算可得10101010102211111191,170,3731,3310,2948,82.9,63,58.170191ˆˆ0.7600,0.76 2.4849,1010ii ii i i i i i i i xx xy yy xy xxxy x x y y S S S S baS ================-⨯=∑∑∑∑∑故从而回归方程：ˆ 2.48490.76.yx =+题3图20.05(3) 47.8770,5847.87710.1230,37.8360(1,8)7.57./2xyxxS Q Q Q Q S Q F F Q n ===-=-===>=-回剩总回回剩故拒绝H 0,即两变量的线性相关关系是显著的.4.设y 为树干的体积，x 1为离地面一定高度的树干直径，x 2为树干高度，一共测量了31棵树，数据列于下表，作出y 对x 1,x 2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x 101201201231411.72356923.9,411.75766.5531598.713798.85,235631598.718027472035.6.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，b 0=-54.5041,b 1=4.8424,b 2=0.2631. 故回归方程：^y =-54.5041+4.8424x 1+0.2631x 2.5.一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量.由n =25个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下，求日报周末发行量y 关于总零售额x 1和人口密度x 2的线性回归方程.【解】类似于习题4，可得正规方程组01201201225 739.5 1576.6 98.2,739.5 22429.15 47709.1 2968.58,1576.6 47709.1 101568 6317.95.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，b 0=0.3822,b 1=0.0678,b 2=0.0244.故回归方程：ˆy=0.3822+0.0678x 1+0.0244x 2.(1) 作散点图.(2) 以模型y =b 0+b 1x 1+b 2x 2+ε,ε~N (0,σ2)拟合数据，其中b 0,b 1,b 2,σ2与x 无关，求回归方程ˆy =0ˆb +1ˆb x +2ˆb x 2. 【解】散点图如下图.题6图122，根据表中数据可得下表根据上表中数据可得正规方程组01201201215 300 6750 450.5,300 6750 165000 9155,6750 165000 4263750 207990.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得:b 0=19.0333,b 1=1.0086,b 2=-0.0204.故y 关于x 1与x 2的回归方程：=19.0333+1.0086x 1-0.0204x 2,从而抗压强度y 关于浓度x 的回归方程: ˆy=19.0333+1.0086x -0.0204x 2.。
概率论习题答案 第7章答案
θˆ = −1 −
n
n ln xi
i =1
从而θ 的极大似然估计量为
θˆ = −1 − n n
∑ ln X i
i =1
(2) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
n
∏ L( p) =
n
p(1 −
p) xi −1
=
p n (1 −
∑ xi −n p) i=1
5. (1)
E(X ) = E(eZ ) =
∫ 1
+∞
− ( z−μ )2
e z e 2σ 2 dz
2π σ −∞
∫ =
1
∞
exp{−
1
(z 2 − (2μ + 2σ 2 )z + (μ + σ 2 )2 − 2μσ 2 − σ 4 )}dz
2π σ −∞
2σ 2
∫ = exp{μ + 1 σ 2} 2
=
1 mn
n i =1
xi
=
1 m
x
第 7 章习题答案 总 11 页第 4 页
∑ 所以 p 的极大似然估计量为
pˆ
=
1 mn
n i =1
Xi
=
1 m
X
4 (1)已知, λ 的极大似然估计值为 λˆ = x ,又 P{X = 0} = e−λ ,所以根据极大似然估计的性
质, P{X = 0}的极大似然估计值为 e−x
∏ L(σ ) =
n i =1
f
(xi ,σ )
=
1σ 2
e ∑ −n
−1 σ
n i =1
东华理工大学概率论与数理统计练习册答案
第一章 概率论的基本概念一、选择题1．答案：（B ） 2. 答案：（B ）解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）4. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ） 注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案：（C ）8. 答案：（D ） 注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nnnnni i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ） 注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω.10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365rr r rC r PP A ⋅==，故365()1365rrP P A =-.11.答案：（C ） 12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明A B C ⊂，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P A B P A B P A B P A B P B P B P B P B P A B P B P B P A P B P A B P B P B P A B P B P B P A P B P A B P B P B P A B P A B P B P B P A P B P B P B P A B P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P A B P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案：（A ）解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==.15.答案：（D ）解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案：（B ） 解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-⋃⋃=---+++-=---+++-=注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++.二、填空题1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC 3．0.3，0.5解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.7.7/12解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 8.1/4解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有293()3()16P A P A =-，解得P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故所求的概率为417!1260=.11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯.12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5， 故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯.三、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P .求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
4. 设总体
其中
是未知参数 又
(1) 证明
是参数 的无偏估计和相合估计
(2) 求 的极大似然估计 (1) 证:
为取自该总体的样品 为样品均值
是参数 的无偏估计 又
是参数 的相合估计
(2)
故其分布密度为
其他 似然函数
其他 因对所有 有
习题 7.3
1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度
差分别为
.设 A,B 两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为
.求方差比
的置信度 0.9 的置信区间.
解:
查表知
故
的置信度 0.9 的置信区间为:
自测题 7 一、填空题
设总体 的无偏估计. 解:
则
是来自 的样本 则当常数
时
是未知参数 的无偏估计
是未知参数
二、一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
解:此处
的置信度 0.90 的置信区间为:
4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如下:
14.6
14.7
15.1
14.9
14.81ຫໍສະໝຸດ .015.115.2
14.8
2021版 华工《线性代数与概率统计》(工程数学)随堂练习参考答案
2021版华工《线性代数与概率统计》（工程数学）随堂练习参考答案----3e9068de-6ea3-11ec-8357-7cb59b590d7d2021版华工《线性代数与概率统计》（工程数学）随堂练习参考答案线性代数和概率统计课堂练习的参考答案1.计算a．b．c．d．？（）参考答案：a2.行列式a．3b．4c．5d．6参考答案：b？3.利用行列式定义计算n阶行列式：a．b．c．d．参考答案：c=?()4.使用行列式的定义计算行列式a.1，4b中的展开系数。
1，-4C。
-1，4D。
-1, - 4.5.计算行列式A.-8b.-7C.-6D.-5参考答案：B=？（）6. 计算行列式a.130b。
140摄氏度。
150天。
160参考答案：D=？（）7. 四阶行列式a.b.c.d.的值等于（）参考答案：d8.行列式a．b．c．d．参考答案：b=？（）9.已知a．6mb．-6mc．12md．-12m参考答案：a，则？10.设＝a．15|a|b．16|a|c．17|a|d．18|a|参考答案：d，则?21.(单选题)设矩阵a．-1；b．0；c．1；d．2.，求=？参考答案：c11.让矩阵A-1B。
0C。
1D。
2参考答案：B，查找=？12.计算行列式a.1500b。
0c。
1800天。
1200参考答案：C=？13.齐次线性方程组A-1B。
0C。
1D。
2参考答案：如果C有一个非零解，那么=？（）14. 齐次线性方程组a.1或-3B。
1或3C。
-1或3D。
-1或-3参考答案：a有非零解的条件是=？（）16. （单选）如果非线性方程的系数行列式么，下列正确的结论是哪个？a．无解;b．唯一解;c．一个零解和一个非零解;d．无穷多个解参考答案：b17.(单选题)如果齐次线性方程组那么，下列正确的结论是哪个？a．只有零解;b．只有非零解;c．既有零解，也有非零解;d．有无穷多个解.的系数行列式，参考答案：a15.齐次线性方程组个数时，它一定有___解。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
第一章1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.1-2 （1）A为随机事件；B为不可能事件；C为随机事件；D为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.1-3 （1）A；（2）ABC；（3）A B C；（4）ABC；（5） .ABC ABC ABC1-4 （1）ABC；（2）ABC ABC ABC；（3）ABC；（4）或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC A B CABC；（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或或ABC.1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，ABC A=.1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有246C C A次.而在10个中取出7个共有710A种取法.376设 A ={测试7次}，故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设 A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有 26C 种取法，故2611()15P A C == . 1-9 设 A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设 A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有 35125= 种. 三个数字不同的取法有335360C A = 种，故 60()0.48125P A == ； 三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327=种取法，故 27()0.216125P A == ； 三个数字5出现两次，即有 213412C C = 种取法，故12()0.096125P C == .1-12 设 A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故3!8!1()10!15P A == 1-13 （1）21134339()416C C C P A ==；（2）341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.（1）设 A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在 610 之间还有地两个号码，即有 25C 种方法，故253101()12C P A C ==（2）设 B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有 24C 种方法，故243101()20C P B C ==1-15 （1）112211661()9C C P A C C == ；（2）1111244211664()9C C C C P B C C +== . 1-16 （1） 22261()15C P A C == ；（2）1124268()15C C P A C == .1-17 （1）设 A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则11844210056()825C C P A C ==； （2）设 B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则1112421008()825C C P B C == ；（3）设 C ={退货}，则2112496412210076()825C C C C P C C ++==； （4）设D ={该批货被接受}，则2118484122100749()825C C C PD C +==； （5）设E ={样品中有一套优质品}，则1184162100224()825C C P E C ==. 1-18 (1)设 A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设 B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则 3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==第二章2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯=（3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆ ，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立； 当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明 (())()()()(P A B C P A CB CP A CP B C PA CBC ==+- (()())()()P A P B P C P A B P C=+- (()()())(P A P B P A B P C =+- ()()P A B P C= ()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P A B P C P A B P C ==- 所以，A B A B AB - 、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+；（2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯= 2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以 5551015201052530()()(|)C C C P A B P A P B A C C ==2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++===所以 12312131()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A= 1111112b b c a a b a b c a bcC C CC C C ++++++=2b b c aa b a b c a b c+=+++++2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯= （2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯=（3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生} （1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=； （3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P AB =+ 0.66%0.410%0.=⨯+⨯= 2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯（2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））=2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A === 123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++）））））））） 0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯ （2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++ 11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，551()25(|)1()52P AB P B A P A === ；（3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.360.20.410.60.141=⨯+⨯+⨯= 2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.8639= 2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757= （2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭===第三章3-1 根据题意可知{}()1x a x aP X x F x a x b b ax b ≤⎧⎪-⎪<==<≤⎨-⎪>⎪⎩当当当3-2 根据题意可知00()1012x f x x ≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩当 当所以 001(){}1211x F x P X x x x x ≤⎧⎪⎪=<=<≤⎨⎪>⎪⎩当当0当3-3 根据题意可知011126(){}223313x x F x P X x x x ≤-⎧⎪⎪-<≤⎪=<=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩当当当当3-4 设X ={取到的次品的个数}.（1）取出后放回：1144115516{0}25C C P X C C === ，1111144111558{1}25C C C C P X C C +=== 111111551{2}25C C P X C C === 因此，取得的次品数的分布列为X 0 1 2P 1625 825 125（2）取出后不放回：114311543{0}5C C P X C C ===， 1111144111542{1}5C C C C P X C C +===因此取得的次品数的分布列为 X 0 1P 35 253-5 当X k =时，说明前1k -次失败，第k 次成功，因而1{}(1)k P X k p p -==- (1,2,)k = 3-6 （1）放回袋中的情况：512161{0}243C P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 111111422225111116666610{1}243C C C C C P X C C C C C C === ，111112442225111116666640{2}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111113444225111116666680{3}243C C C C C P X C C C C C C === ， 111114444425111116666680{4}243C C C C C P X C C C C C C ===， 111115444445111116666632{5}243C C C C C P X C C C C C C === . 因此红球个数的分布列为X 0 1 2 3 4 5P1243 10243 40243 80243 80243 32243（2）不放回袋中的情况：223524562{3}3C P P P X P ===， 114524561{4}3C P P P X P ===.因此红球个数的分布列为X 3 4P23 133-7 {1}0.9P X ==， {2}0.10.90.09P X ==⨯=，{3}0.10.10.90P X ==⨯⨯=，{4}0.10.10.10.90P X ==⨯⨯⨯=， {5}0.10.10.10.1P X ==⨯⨯⨯=因此，X 1 2 3 4 5P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00013-8 由题意知，1~8000000,2000000X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于8000000n =较大，12000000p =很小，故二项分布可用4np λ==的泊松分布近似代替，则有44{}!k P X k e k -==3-9 设X ={废品的件数}，1000,0.0063n p ==可用泊松近似公式( 6.3)np λ==得所求概率为6 6.36.3{6}0.166!P X e -==≈3-10 设X ={单位时间内纱线被扯断的次数}，由题意可知，~(800,0.005)X B ，则（1）448004800{4}(0.005)(0.995)0.195367P X C -===；（2）108008000{10}(0.005)(0.995)0.997160i i i i P X C -=≤==∑.3-11 设X ={该单位患有这种疾病的人数}，5000,0.001n p ==，可用泊松近似公式(5)np λ==得所求概率为5505{5}1{5}1!k k P X P X e k -=>=-≤=-∑10.00670.03370.08420.140=----- 0.38404=3-12 设X ={在同一时刻向总机要外线的分机数}，则~(300,0.30)X B ，在同一时刻至少有13台分机向总机要外线的时候不能满足.可用泊松近似公式得所求概率为13909{13}0.92615!k k P X e k -=≤==∑3-13 这分布不是离散的，因为X 的分布函数不是阶梯型的，也不是连续的（在x =1处是跳跃的）.3-14 由连续型随机变量概率密度分布的性质可知：2()111A x dx dx A x ϕπ+∞+∞-∞-∞==⇒=+⎰⎰因此 1A π=121111{11}[arctan1arctan(1)]0.51P X dx x ππ--<<==--=+⎰3-150002010211()()022411224x xx x xxe dxx F x x dx e dx dx x e dx dx x ϕ-∞-∞-∞-∞⎧≤⎪⎪⎪==+<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰当当当化简得10211()022412xex F x x x x ⎧≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当当当3-16 （1）因为()F x 在(,)-∞+∞上的左连续性，所以(1)1F A == ，则200()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当（2）对分布函数求导得分布密度函数为201()()0x x x F x ϕ<<⎧'==⎨⎩当其他（3） 0.70.3{0.30.7}20.4P X xdx <<==⎰.3-17 （1）0.0151001.5{100}1{100}10.0150.223xP X P X edx e ---∞>=-≤=-==⎰（2）0.0150.015{}1{}10.0150.1xx x P X x P X x edx e ---∞>=-≤=-=<⎰因此ln 0.1153.50.015x >-=. 3-18 由题意可知1030()30x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 10012{10}1{10}1303P X P X dx ≥=-<=-=⎰3-19 由题意可知212(1)01()0x x x x ϕ⎧-<<=⎨⎩当其他 120.8{0.8}12(1)0.0272P X x x dx >=-=⎰120.9{0.9}12(1)0.0037P X x x dx >=-=⎰3-20 （1）{ 2.2}(2.2)0.9861P X φ<==； （2）{ 1.76}1(1.76)0.0392P X φ>=-=；（3）{0.78}1(0.78)0.2177P X φ<-=-=；（4）{ 1.55}{1.55 1.55}2(1.55)10.8788P X P X φ<=-<<=-=； （5）{ 2.5}{ 2.5}{ 2.5}22(2.5)0.0124P X P X P X φ>=<-+>=-=. 3-21 1,4μσ=-= .（1）()2.441{ 2.44}0.860.80514P Y φφ+⎛⎫<=== ⎪⎝⎭；（2）1{ 1.5}1{ 1.5}1(0.125)0.54988P Y P Y φφ⎛⎫>-=-≤-=--== ⎪⎝⎭；（3） 2.81{ 2.8}(0.45)1(0.45)0.32644P Y φφφ-+⎛⎫<-==-=-= ⎪⎝⎭；（4）4141{4}{44}44P Y P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫<=-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1.25(10.75)0.6678φφ=--=； （5）2151{52}44P Y φφ+-+⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.75[11]0.6147φφ=--=；（6）2101{11}{2}{0}144P Y P Y P Y φφ++⎛⎫⎛⎫->=>+<=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.8253=.3-22 设A ={一次测量中误差的绝对值不超过30}.（1）由题意可知，2~(20,40)X N ，20,40μσ==，则(){30}{3030}(0.25)( 1.25)P A P XP X φφ=≤=-≤≤=-- (0.25)(1.25)10.φφ=+-= （2）设Y 表示3次独立重复测量中事件A 发生的次数，则~(3,0.4931)Y B{1}1{1}1{0}P Y P Y P Y ≥=-<=-=331(10.4931)0.87C =--=3-23 首先求出电子管的损坏概率为150150201001001()03P x dx dx x ϕ==+=⎰⎰设Y ={电子管损坏的个数}，则1~(3,)3Y B .（1）0303118{0}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）333111{3}13327P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3-24 设A ={生产的零件合格}，2~(50,0.75)X N ，50,0.75μσ==，则(){50 1.550 1.5}P A P X =-≤≤+501.55050501.550{}0.750.750.75X P ---+-=≤≤(2)(2)2(2)10.φφφ=--=-= 3-25 强度2~(200,18)X N .（1）18020010{180}1{180}10.8665189P X P X φφ-⎛⎫⎛⎫>=-≤=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）强度不低于150MPa 的概率为()150200{150}1{150}1 2.770.997218P X P X φφ-⎛⎫≥=-<=-== ⎪⎝⎭3-26 由题意可知X -3 -2 0 1 21X -- 2 1 -1 -2 -32X 9 4 0 1 4P18 14 18 13 16所以1X --的分布列为1X -- 2 1 -1 -2 -3 P 18 14 18 13 162X 的分布列为2X 0 1 4 9P18 13 512 183-27 由23(0,1)()0(0,1)xx x x ϕ⎧∈=⎨∉⎩当当知300()0111x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩当当当.（1）令21Y X =-+，Y 的分布函数为(){}{21}Y F x P Y x P X x =<=-+<1211()2xx P X x d x ϕ--∞-⎧⎫=>=-⎨⎬⎩⎭⎰ 当1012x -≤<时312201()1312xY x F x x dx --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰， 所以 221131()32222Y x x f x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当102x-<时，12()0xx dx ϕ--∞=⎰，此时，1x >，()1Y F x =；当112x-≤时12()1xx dx ϕ--∞=⎰此时，1x ≤-，()0Y F x = .因此 3011()111211Y x x F x x x ≤-⎧⎪-⎪⎛⎫=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩当当当23111()220Y x x f x ⎧-⎛⎫-<≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩当其他 （2）设2Y X = ，Y 的分布函数为2(){}{}()Y F x P Y x P X x x t d t=<=<=<1> ，即1x >时，()1Y F x =；当01<≤，即01x <≤时，23/2()3Y F x t dt x==，所以1/23()2Y f x x =；0=，即0x =时，()0Y F x =.因此 3/200()0111Y x F x xx x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩当当当 1/2301()2Y xx f x ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-28 当0x >时，(){}{}{ln }X Y F x P Y x P e x P X x =<=<=<2222l n l n()/2()/2xx t a t a dt e dt σσ-----∞-∞==⎰22(ln )/2()0()00x a Y Y dF x x x dx x σϕ--⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩当当3-29 1/331/3(){}{}{}()x Y F x P Y x P X x P X x t dt ϕ-∞=<=<=<=⎰2/31/3()1()()3Y Y dF x x x x dx ϕϕ-==令()1x ϕ=代入上式可得2/3101()3Y xx x ϕ-⎧<≤⎪=⎨⎪⎩当其他 3-30 /2/2(){}{2ln }{}x e x t Y F x P Y x P X x P X e e dt λλ-=<=<=<=⎰因此/2/2/2/211()22x x x e x e Y f x e e e λλλλ--==()x -∞<<+∞第四章4-1X 1 2 3Y1 0 16 1122 16 16 163 112 164-2 4352410{,}i j i jC C C P X i Y j C --=== 4-3 由于11(,)14RAf x y dxdy Axydxdy A xdx ydy +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故4A =，代入密度函数，得401,01(,)0xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩当其他所以 112300111{,}42336P X Y xdx ydy <<==⎰⎰4-4 （1）当0X >且0Y >时，()0(,)(1)(1)xyu v x y F x y du e dv e e -+--==--⎰⎰；当00x y <<或时，(,)0F x y =.所以 (1)(1)0,0(,)0x ye e x y F x y --⎧--<<+∞<<+∞=⎨⎩当其他（2）由于{(,):0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤，有11()10(,)(,)12xx y DP X Y f x y dxdy dx e dy e --+-===-⎰⎰⎰⎰4-5 由题意可知：14(,)111(,)220x y B f x y ⎧=∈⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪⎩当其他当12x ≤-或0y ≤时，(,)0F x y =； 当102x -<≤且021y x <≤+时，102(,)42(21)x y y F x y dudv y x y -==--⎰⎰；当102x -<≤且21y x >+时，212102(,)42(21)x x F x y dudv x +-==+⎰⎰； 当0x >且01y <≤时，102(,)42(1)xyy F x y dudv y y -==-+⎰⎰；当0x >且1y >时，(,)1F x y =.因此 2100212(21)00212(,)12(21)02122(1)001101x y y x y x y x F x y x x y x y y x y x y ⎧≤-≤⎪⎪⎪-+-<≤<≤+⎪⎪=⎨⎪+-<≤>+⎪⎪-><≤⎪>>⎪⎩当或当且当且当且当且4-61{0}6P X ==， 7{0}12P Y ==， 5{1}12P X =-=，1{1}3P Y ==， 5{2}12P X ==， 11{}312P Y ==. 4-7 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰，得1(,)(,)0x y Df x y ∈⎧=⎨⎩当其他当[0,1]x ∈时，220()122xX f x dv x -==-⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.因此 2201()0X x x f x -<<⎧=⎨⎩当其他当[0,2]y ∈时，2201()1(2)2yY f y du y -==-⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.因此 1102()2Y y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他 4-8 由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰ 当0x >时，0()x v x X f x e dv e +∞---==⎰；当0y >时，0()u y y Y f y e du e +∞---==⎰.因此 0()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当， 0()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当4-9 由题意可知1X 0 12X0 0.1 0.81 0.1 0 4-10 由于1X -1 0 12X-1 0 140 14 0 141 0140 4-11 （1）由于(34)(34)(,)112x y x yRAf x y dxdy Ae dxdy A dx e dy +∞+∞+∞+∞-+-+-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故12A =.（2）当0x <或0y <时，(,)0F x y =； 当00x y <<且时，(34)340(,)12(1)(1)x yu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰.故 34(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩当其他（3）34(34)9160{03,04}12(1)(1)x y P X Y dx e dy e e -+--<≤<≤==--⎰⎰4-12 由题意可知1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩当其他当10x -≤<时，111()12x X x f x dv x +--==+⎰； 当01x ≤≤时，111()12x X x f x dv x -+-==-+⎰. 故 110()1010X x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩当当其他 4-13 （1）11111111118812121216161616a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故14a =. （2）1{}4P Xi ==(1,2,3,4i =， 25{1}48P Y ==，13{2}48P Y ==，27{3}48P Y ==，3{4}48P Y ==.（3）111125{}48121648P XY ==+++=. 4-14 由联合分布函数的性质可知 （1）(,)()()122F A B C ππ+∞+∞=++=，(,)()()022F A B C ππ-∞-∞=--=，(,)()(a r c t a n )023yF y A B C π-∞=-+=，(,)(a r c t a n )()022x F x A B C π-∞=+-=，故21A π=，2Bπ=，2C π=.（2）21(,)arctan arctan 2223x y F x y πππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++. （3）222262()(4)(9)(4)X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰，222263()(4)(9)(9)Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰4-15 （1）由于122002(,)()13f x y dxdy x Cxy dxdy C +∞+∞-∞-∞=+=+=⎰⎰⎰⎰，故13C=. （2）当00x y <<或时，(,)0F x y =； 当1,2x y >>时，(,)1F x y =；当01,02x y ≤≤≤≤时，232200111(,)()3312xyF x y du u uv dv x y x y =+=+⎰⎰；当01,2x y ≤≤>时，223200121(,)()333xF x y du u uv dv x x =+=+⎰⎰当1,02x y >≤≤时，12200111(,)()3312yF x y du u uv dv y y =+=+⎰⎰.故 3223220001101,0231221(,)01,233111,0231211,2x y x y x yx y F x y x x x y y y x y x y <<⎧⎪⎪+≤≤≤≤⎪⎪⎪=+≤≤>⎨⎪⎪+>≤≤⎪⎪>>⎪⎩当或当当当当（3）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰，当[0,1]x ∈时，222012()233X f x x xy dy x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 22201()3X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他当[0,2]y ∈时，120111()336Y f y x xy dx y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰；当[0,2]y ∉时，()0Y f y =.故 1102()360Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩当其他（4）由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =，故 26201,02(|)20x xyx y f x y y ⎧+≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他故 301,02(|)62x yx y f y x x +⎧≤≤≤≤⎪=+⎨⎪⎩当其他 4-16 由于|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =， |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =， （1）当0x >时，(2)20()22x y x X f x e dy e +∞-+-==⎰；当0y >时，(2)0()2x y y Y f y e dx e +∞-+-==⎰.故 2|20,0(|)0x X Y e x y f x y -⎧>>=⎨⎩当其他|0,0(|)0y Y X e x y f y x -⎧>>=⎨⎩当其他（2）21(2)0012{2,1}{2|1}{1}x y ydx e dyP X Y P XY P Y edy-+-≤≤≤≤==≤⎰⎰⎰14541111e e e e e -------+==--. 4-17 （1）由于()1X f x = (01)x <<|1(|)1Y X f y x x=- (01,1)x x y <<<<故 101,1(,)10x x y f x y x⎧<<<<⎪=-⎨⎪⎩当其他 （2）由于01()(,)l n (1)1yY f y f x y d x d x y x+∞-∞===---⎰⎰故l n (1)01()0Y y y f y --<<⎧=⎨⎩当其他 （3）11121{()1}l n 21yy P X Y d yd x x-+>==-⎰⎰ 4-18X Y 与相互独立的充要条件是ij i j p p p = (1,2;1,2,3)i j ==，因此有{1,3}{1}{3}P X Y P X P Y =====1111169181818B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{2,3}{2}{3}P X Y P X P Y =====11318A B B B ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得21,99A B ==. 4-19 （1）由0.5()0.5()(,)0.251x xu v x X F x f u v dvdu e dvdu e +∞+∞-+--∞-∞-∞-∞===-⎰⎰⎰⎰故 0.510()00x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩当当同理可得0.510()00y Y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩当当（2）0.5()20.250,0(,)(,)0x y e x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩当其他当0x >时，0.5()0.50()(,)0.250.5x v x X f x f x v dv e dv e +∞+∞-+--∞===⎰⎰；当0x ≤时，()0X f x =.故 0.50.50()00x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当当同理可得0.50.50()00y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩当当（3）由于(,)()()X Y f x y f x f y =，故X Y 、相互独立. （4）0.5()0.10.10.1{0.1,0.1}0.25x y P XY dy e dx e +∞+∞-+->>==⎰⎰.4-20 （1）由于1001(,)()12x f x y dxdy dx C x y dy C +∞+∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰⎰，故2C=.（2）由于()(,)X f x f x v dv +∞-∞=⎰， ()(,)Y f y f u y du +∞-∞=⎰当[0,1]x ∈时，20()2()3x X f x x y dy x =+=⎰；当[0,1]x ∉时，()0X f x =.故 2301()0X x x f x ⎧≤≤=⎨⎩当其他当[0,1]y ∈时，12()2()123Y yf y x y dx y y =+=+-⎰；当[0,1]y ∉时，()0Y f y =.故 212301()0Y y y y f y ⎧+-≤≤=⎨⎩当其他（3）当01x y ≤≤≤时，有(,)2()f x y xy =+， 22()()3(123)X Y f x f y x y y =+-可见，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与并不相互独立. （4）11201{1}2()3y yP XY dy x y dx -+≤=+=⎰⎰.4-21 （1）由于X Y 与相互独立，故()0,0(,)()()0x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>==⎨⎩当其他 （2）110{1|0}{1}1x P X Y P X e dx e --≤>=≤==-⎰.第五章5-1 （1）1111210(1)12666EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，222211117210(1)26663EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=，11(21)(221)(211)(201)26E X -+=-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯11(2(1)1)166+-⨯-+⨯=-； （2）224()3DX EX EX =-=，()X σ==.5-2 （1）00;kk k k qEX kpq pq q p∞∞=='⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑（2）2222221000kk k k k k k k EXk pq pqk qpq q pq kq ∞∞∞∞--====''⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑200k k k k pq q pq q ∞∞=='''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑222q qp p=+2222222q q q q q DX p p p p p=+-=+5-3 （1）1()02xEX xf x dx x e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰；（2）22201()2(3)22x DX EX EX x e dx +∞-=-==Γ=⎰. 5-4 （1）0(1)1EXp p p =⨯-+⨯=， 0(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；（2）由于20(1)1EX p p p =⨯-+⨯=，20(1)1EY p p p =⨯-+⨯=；22()(1)DX EX EX p p =-=-，22()(1)DY EY EY p p =-=-；（3）由于00(1)11EXY p p p =⨯⨯-+⨯⨯=，故2cov(,)(1)X Y EXY EX EY p p p p =-⋅=-=-.5-5222()()2g t E X t EX tEX t =-=-+， ()220dg t t EX dt=-=， 因此，tEX =，即t EX =时，()g t 达到最小值为DX .5-6 当2Y X =时，022x EYxe dx +∞-==⎰；当3XYe-=时，3014x x EYe e dx +∞--==⎰. 5-7 222()/2(ln 2)/2xx u a EY a dx a eμσσ+∞---∞==⎰ 22()DY EY EY =-222222()/2(l n 2)/222l n 2l n2()()(1)xx u a u a a a e d x a ea e e μσσσσ+∞---∞=-=-⎰ 5-8 由于12102()23EX x x dx x dx ϕ+∞-∞===⎰⎰， (5)20()y EY y y dy ye dy ϕ+∞+∞---∞==⎰⎰6=，且X Y 与相互独立，所以有2643EXY EX EY =⋅=⨯=， 220(+)+633E X Y EX EY ==+=5-9 证明)0E Y E E X E X==-=22221()()1DY EY EY E E X EXDX=-==-=5-10 证明)XYρ===()()0E X E X Y E Y⇒--=()0E X Y Y E X X E Y E X E Y⇒-⋅-⋅+⋅=E X Y E X E Y⇒-⋅=()2c o v(,)D X Y D X D Y X Y D X D Y⇒+=++=+5-15 （1）由于2200(,)sin()x y dxdy A x y dxdyππϕ+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰2c o s c o s2A x x d xππ⎡⎤⎛⎫=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰21A==，故12A=.（2）22200011sin()cos cos2224 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ⎡⎤⎛⎫=+=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰，由于X Y与相互对称，故有4EY EXπ==；2 222222200011sin()[sin cos]22282 EX x x y dxdy x x x x dxπππππ=+=+=+-⎰⎰⎰22222()22824162DX EX EXπππππ⎛⎫=-=+--=+-⎪⎝⎭由于X Y与相互对称，故有22162DYππ=+-.（3）222000112sin()sin cos222EXY xy x y dxdy x x x dxππππ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭⎰⎰⎰22π-=2cov(,)1162X Y EXY EX EY ππ=-⋅=-+-2211622162XYππρππ-+-==+- 5-12 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1(,)(,)0x y Af x y ∈⎧=⎨⎩当其他12(1)12(1)000012,33x x EX xdydx EY ydydx --====⎰⎰⎰⎰12(1)0016x EXY xydydx -==⎰⎰. 5-13 设抽到次品所需要次数为X ，则X 服从下列分布：X 1 2 3 k P2n 221n n n -⋅- 23212n n n n n --⋅⋅-- 2(2)(3)()(1)(2)(1)n n n k n n n n k ------- 即2{}1n k P Xk n n -==⋅-，因此 11112{}1n n k k n k EX k P X k k n n --==-=⋅==⋅⋅-∑∑1121121(2)3n n k k n kn k n n --==+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭∑∑122121n k n k EX k n n -=-=⋅⋅-∑11231121(1)(2)6n n k k k n k n n n n --==⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭∑∑221()(1)(2)18DX EX EX n n =-=+- 5-15 （1）11005(2)12EX x x y dydx =--=⎰⎰， 512EY EX ==.1122001(2)4EX x x y dydx =--=⎰⎰， 2214EY EX == 2211()144DX DY EX EX ==-=11001(2)6EXY xy x y dydx =--=⎰⎰2151cov(,)612144X Y EXY EX EY ⎛⎫=-⋅=-=- ⎪⎝⎭5()2cov(,)36D X Y DX DY X Y +=++=（2）103()(2)2X f x x y dy x =--=-⎰， 103()(2)2Y f y x y dx y =--=-⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以两者不独立.111441111144XYρ-===-故两者相关. 5-16(5)5()22y X f x xedy x +∞--==⎰， 1(5)(5)0()2y y Y f y xe dx e ----==⎰可见，()()(,)X Y f x f y f x y =，故两者独立.1(5)054y EXY xye dydx +∞--==⎰⎰5-17 两台仪器无故障时间的密度分布为1511150()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他， 2522250()0x e x f x -⎧>=⎨⎩当其他联合密度函数为125()121212250,0(,)()()0x x e x x f x x f x f x -+⎧>>==⎨⎩当其他设无故障工作时间为12y x x =+，则联合分布函数为1125()5512210(,)()2551y y x x x y y F x x F y e dx dx ye e --+--===--+⎰⎰5()()25y df y F y e y dy-==所以密度函数为5250()0y e y y f y -⎧>=⎨⎩当其他 2502255yEY y edy +∞-==⎰， 235062525y EY y e dy +∞-==⎰ 262225525DY ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭5-18 根据题意有()EX P A =， ()EY P B =， ()EXY P AB ={1}()P XY P AB ==， {0}1()P XY P AB ==-已知0XYρ=，所以cov(,)0X Y =，即cov(,)()()()0X Y EXY EX EY P AB P A P B =-⋅=-=故()()()P AB P A P B =.事件A B 与相互独立，由事件的独立性定理可得：A ，A ，B ，B 两两相互独立，即{11}{1}{1}P X Y P X P Y =====， {10}{1}{0}P X Y P X P Y =====， {01}{0}{1}P X Y P X P Y =====， {00}{0}{0}P X Y P X P Y =====，因此，X Y 和相互独立.5-19 已知11~0,,~0,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正态分布的性质可知：()1D X Y DX DY -=+=， ()0E X Y -=故()()~0,1XY N -，令Z X Y=-，则()~0,1ZN .22()zE Z z e dz+∞--∞==⎰22222()()()()1D Z EZE Z DZ EZ E Zπ=-=+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦第六章6-1 设11nn iiY Xn==∑,再对n Y利用契比雪夫不等式:{}1222222nii nnn nD XDY nP Y EYn nεεεε=→∞⎛⎫⎪⎝⎭-≥≤=≤−−−→∑故{}n X服从大数定理.6-2 设出现7的次数为X,则有()~10000,0.1,1000,900X B E X n p D X===由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}100096810001696810.14303015XP X P--⎧⎫⎛⎫<=<=-Φ=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭6-311,212i iEX DX==由中心极限定理可知,10110iX-⨯∑,所以101011616110.136i ii iP X P X==⎧⎫⎧⎫>=-≤=-Φ=-Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑6-4 设报各人数为X,则.100,100==DXEX.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得()0228.021100100120}120{=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=≥DXEXXPXP。
新编概率论与数理统计(华东理工大学出版社)习题8答案
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第八册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第二十二次作业一．填空题：1．假设检验的基本思想基于“小概率反例否定性”。
2．在控制了犯第一类错误的概率后，要尽量减小犯第二类错误的概率，可以采用的办法是 增加样本容量 。
二. 选择题：1. 假设检验中分别用0H 和1H 表示原假设和备择假设，则显著性水平α的含义为( C )。
A.}|{00为真接受H H PB. }|{00为不真接受H H PC. }|{00为真拒绝H H PD. }|{00为不真拒绝H H P2. 假设检验时，下面哪一个不属建立原假设的一般原则( B )A. 包含等号B. 原假设和备择假设对称C. 尊重原假设D. 控制后果严重性三. 计算题：1．已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布)75.0,54(2N ，在某日生产的零件中抽取10件，测得质量（g ）如下：54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，55.3如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异（显著水平)05.0=α ？解：由样本观测值计算,得54.46X =，本问题相当于要检验01:54.46,:54.46H H μμ=≠，考虑到总体服从正态分布2(54,0.75)N ,故采用双侧U 检验法，取检验统计量的测试值为ˆ 1.9395X U ===， 由水平0.05α=,查表得0.97512 1.96U U α-==,由于0.975ˆU U <，故接受0H ，即该日生产得零件的质量的均值没有显著差异。
2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25（显著水平05.0=α）。
华东理工大学概率论答案-7,8
概率论与数理统计作业簿（第三册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第七次作业一．填空题：1. ξ的分布列为:则=E ξ 2.7 。
2.ξ的分布列为:则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2=E ξ24。
二．填空题：1. 若对任意的随机变量ξ，E ξ存在，则(())E E E ξ等于 （ C ）。
(A)．0 (B)．ξ (C)．E ξ (D)．2()E ξ2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） (A) 6.5 （B ）12 （C ）7.8 （D ）9三．计算题1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x p x θθθ--⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，，其他其中θ >1，求 EX 。
解 21111110011111011----====--⎰⎰EX x x dx x dx x θθθθθθθθθ。
2. 设随机变量ξ的概率密度函数,0(=0,0x e x p x x -⎧>⎨≤⎩） 求2,(23),()E E E e ξξξξ-++和(max{,2})E ξ。
解 01x E x e d x ξ+∞-==⎰；(23)235E E ξξ+=+=；22204()()13x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞----+=+=+⋅=⎰； 0(max{,2})max{,2}()max{,2}x E x p x dx x e dx ξ+∞+∞--∞==⎰⎰222220222(1)22x x e dx xe dx e e e e +∞------=+=-++=+⎰⎰。
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。
华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案
第一章行列式·1.1 行列式概念1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第一章行列式·1.2 行列式的性质与计算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第一章行列式·1.3 克拉姆法则1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第二章矩阵·2.2 矩阵的基本运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第二章矩阵·2.3 逆矩阵1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第二章矩阵·2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D11.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B12.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A13.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第三章线性方程组·3.1 线性方程组的解1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第三章线性方程组·3.2 线性方程组解的结构1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第四章随机事件及其概率·4.1 随机事件1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第四章随机事件及其概率·4.2 随机事件的运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为（）A．0.8 ;B．0.85;C．0.97;D．0.96.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.4 条件概率与事件的独立性1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：AA4.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则两粒都发芽的概率为（）A．0.8 ; B．0.72 ; C．0.9 ; D．0.27 .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则至少有一粒发芽的概率为（）A．0.9 ; B．0.72 ; C．0.98 ; D．0.7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则恰有一粒发芽的概率为（）A．0.1 ; B．0.3 ; C．0.27 ; D．0.26答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.5 全概率公式与贝叶斯公式1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.2 离散型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)从一副扑克牌（52张）中任意取出5张，求抽到2张红桃的概率？A 0.1743;B 0.2743;C 0.3743;D 0.4743答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.3 连续型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第五章随机变量及其分布·5.4 正态分布1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C。