基本乘法公式及应用.学生版
小学生数学公式大全
小学生数学公式大全，第二部分：定义定理（算术方面）1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5=2×5+4×5。
6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
0除以任何不是0的数都得0。
7、等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8、方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9、一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
数学教案高中乘法公式总结
数学教案高中乘法公式总结
教学目标：
1. 熟练掌握高中乘法公式的运用；
2. 提高学生对乘法公式的理解和应用能力；
3. 培养学生的计算技巧和思维能力。
教学重点和难点：
重点：熟练掌握常见的高中乘法公式；
难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备乘法公式的总结资料；
2. 学生准备笔记本和笔。
教学过程：
一、复习：回顾乘法公式的基本概念和运用。
二、学习：介绍高中乘法公式的分类和应用。
1. 平方公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. 差平方公式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
3. 两数乘积公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
4. 三角形中的乘法公式：底乘高等于底的一半乘以高
5. 等差数列中的乘法公式：连续三个数的乘积等于中间数的平方减去一个数的平方
6. 等比数列中的乘法公式：连续三个数的乘积等于最大数的平方减去最小数的平方
三、练习：学生通过练习巩固所学知识，灵活运用乘法公式解决实际问题。
四、归纳总结：学生总结本节课所学习的乘法公式，加深理解。
五、拓展：介绍更多关于乘法公式的应用场景，拓展学生的思维。
六、作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够熟练掌握高中乘法公式的运用，提高了对乘法公式的理解和应用能力。
为了更好地巩固所学知识，学生需要不断练习，在实际问题中提高运用乘法公式解决问题的能力。
初二数学乘法公式用法总结(学生版)
乘法公式用法总结一、公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3二、用法：(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力.例1. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题.例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a(三)、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例3. 计算：()()57857822a bc abc +---+(四)、变用: 题目变形后运用公式解题。
例4. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--例5. 计算：()()x y z x y z +-++26(五)、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22例8. 已知实数x 、y 、z 满足x y z x y y +==+-592，，求z y x 32++的值.(六)、为使用公式创造条件例9. 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
数学一到六年级公式
数学公式是数学学习的基础，从一到六年级，学生将接触到许多重要的数学公式。
本文将简要介绍每个年级的几个重要公式，以便更好地了解学生在不同阶段需要掌握的内容。
一年级：加法、减法、乘法和除法一年级学生将学习基本的算术运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算都有对应的数学公式，例如加法公式：a+b=c，减法公式：a-b=c，乘法公式：a×b=c，除法公式：a÷b=c。
二年级：乘法口诀表二年级学生将学习乘法口诀表，这是乘法运算的基础。
乘法口诀表包括9x9乘法表和2x2乘法表等。
学生需要熟练掌握这些口诀，以便在后续的学习中能够快速准确地计算乘法。
三年级：长方形和正方形的面积公式三年级学生将学习长方形和正方形的面积公式。
长方形面积公式为：长×宽=面积，正方形面积公式为：边长×边长=面积。
这些公式将用于计算图形的面积，是几何学的基础知识。
四年级：乘法和除法的分配律四年级学生将学习乘法和除法的分配律。
乘法分配律公式为：(a+b)×c=a×c+b×c，除法分配律公式为：(a+b)÷c=a÷c+b÷c。
这些公式将用于简化复杂的算式，提高计算速度和准确性。
五年级：分数的加减法和乘除法五年级学生将学习分数的加减法和乘除法。
分数的加减法需要将分数化为同分母后再进行计算，而分数的乘除法则需要使用相应的公式进行计算。
这些知识将为后续的分数运算打下基础。
六年级：圆的周长和面积公式六年级学生将学习圆的周长和面积公式。
圆的周长公式为：C=2πr，圆的面积公式为：S=πr²。
这些公式将用于计算圆的周长和面积，是几何学的重要内容之一。
总之，从一到六年级，学生将接触到许多重要的数学公式，这些公式不仅是数学学习的基础，也是解决实际问题的关键工具。
因此，学生在学习中需要不断练习这些公式，以加深理解和掌握。
四年级乘法运算律和公式
四年级乘法运算律和公式（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1、乘法公式(学生版)
乘法公式的用法1、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例 1. 计算:解:原式2、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例 2.计算：解：原式例 3.计算：解：原式3、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4.计算:解：原式5、变用: 题目变形后运用公式解题。
例 5.计算：解：原式6、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例 6. 已知，求的值。
解:例 7. 计算：解：原式例 8. 已知实数 x 、 y 、 z 满足，那么（）解：由两个完全平方公式得：从而学习乘法公式应注意的问题注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1、计算 (-2 x 2 -5)(2 x 2 -5)分析：本题两个因式中“ -5 ”相同，“ 2 x 2 ”符号相反，因而“ -5 ”是公式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 中的 a ，而“ 2 x 2 ”则是公式中的 b ．解：原式 =(-5-2 x 2 )(-5+2 x 2 )=(-5) 2 -(2 x 2 ) 2 =25-4 x 4 ．例2、计算 (- a 2 +4 b ) 2分析：运用公式 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 时，“ - a 2 ”就是公式中的 a ，“ 4 b ”就是公式中的 b ；若将题目变形为 (4 b - a 2 ) 2 时，则“ 4 b ”是公式中的 a ，而“ a 2 ”就是公式中的 b ．（解略）注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x + y - z +5)(2 x - y + z +5) ．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ 2 x ”、“ 5 ”两项同号，“ y ”、“ z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式 = 〔 (2 x +5)+( y - z ) 〕〔 (2 x +5)-( y - z ) 〕=(2 x +5) 2 -( y - z ) 2=4 x 2 +20 x +25- y +2 yz - z 2 ．例 4 计算 ( a -1) 2 ( a 2 + a +1) 2 ( a 6 + a 3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式 =[( a -1)( a 2 + a +1)( a 6 + a 3 +1)] 2=[( a 3 -1)( a 6 + a 3 +1)] 2=( a 9 -1) 2 = a 18 -2 a 9 +1例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1) ．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 8 +1)= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）=2 16 -1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ，可推广得到： ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 ac +2 bc ．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍．例 6 计算 (2 x + y -3) 2解：原式 =(2 x ) 2 + y 2 +(-3) 2 +2 · 2 x · y +2 · 2 x (-3)+2 · y (-3)=4 x 2 + y 2 +9+4 xy -12 x -6 y ．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1) 已知 x + y =10 ， x 3 + y 3 =100 ，求 x 2 + y 2 的值；(2) 已知： x +2 y =7 ， xy =6 ，求 ( x -2 y ) 2 的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形： x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy ， x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ， ( x + y ) 2 -( x - y ) 2 =4 xy ，问题则十分简单．解： (1) ∵ x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ，将已知条件代入得 100=10 3 -3 xy · 10 ，∴ xy =30 故 x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy =10 2 -2 × 30=40 ．(2)( x -2 y ) 2 =( x +2 y ) 2 -8 xy =7 2 -8 × 6=1 ．例 8 计算 ( a + b + c ) 2 +( a + b - c ) 2 +( a - b + c )+( b - a + c ) 2 ．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 ( a + b ) 2 +( a - b ) 2 =2( a 2 + b 2 ) ，因而问题容易解决．解：原式 =[( a + b )+ c ] 2 +[( a + b )- c ] 2 +[ c +( a - b )] 2 +[ c -( a - b )] 2=2[( a + b ) 2 + c 2 ]+2[ c 2 +( a - b ) 2 ]=2[( a + b ) 2 +( a - b ) 2 ]+ 4 c 2= 4 a 2 +4 b 2 + 4 c 2（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算 ( a -2 b + 3 c ) 2 -( a +2 b -3 c ) 2 ．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式 =[( a -2 b + 3 c )+( a +2 b -3 c )][( a -2 b + 3 c )-( a +2 b -3 c )]= 2 a (-4 b + 6 c )=-8 ab + 12 ac ．例 10 计算 ( 2 a +3 b ) 2 -2( 2 a +3 b )(5 b -4 a )+( 4 a -5 b ) 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式 =( 2 a +3 b ) 2 +2( 2 a +3 b )( 4 a -5 b )+( 4 a -5 b ) 2=[( 2 a +3 b )+( 4 a -5 b )] 2=( 6 a -2 b ) 2 = 36 a 2 -24 ab +4 b 2 ．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a 、 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（ x +2 y － 3 z ） 2 ，若视 x +2 y 为公式中的 a ， 3 z 为 b ，则就可用（ a － b ） 2 = a 2 － 2 ab + b 2 来解了。
初中数学.整式的乘除与乘法公式
）
2 2 4
B． x 2 y 2 y x x 2 y
7
C． x 2 y 2 y x x 2 y x 2 y 【例 1】 1000 100 10 的结果是 【巩固】计算： 10 104 105 103 107
幂的运算
模块一
1.
同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即 a m a n a m n （ m 、 n 都是正整数） 【巩固】如果把 x 2 y 看作一个整体，下列计算正确的是（ A． x 2 y 2 y x x 2 y
3 6 ⑵ ( a8b 2 a 3b 4 1.8a 2 b3 ) 0.6ab 2 5 5
【巩固】计算：⑴ (4 x 2 y )2 8 y 2 ；
1 3 ⑶ ( a 3b 2 )3 ( ab 2 ) 2 ； 3 4
⑵ 9a m n b 2 m n c3n 2 m 3a 2 b3 . ⑷ (0.8 x 2 y n )3 (4 x 2 y n )2
2 3 2
计算下列各式：⑴ 2 x y
3 2 2 1 xy 4 z ；⑵ 3a 2 a 2 2a 2 5a 3 2
4
初中数学．整式的乘除．第 01 讲．学生版
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⑶ a a 3 a 4 a 2 2a 4 ；⑷ 2 x 2 x3 3x3 5 x x 7
计算 ( x3 2 x 2 5)(2 x 2 3x 1)
【巩固】计算： (3x 2 2)(5 x 4 2 x 2 3) (5 x 4 x 2 3)(3x 2 3)
小学1-6年级数学常用计算公式
√加法交换律：a+b=b+a，a+b+c=a+c+b√加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)√乘法交换律：a×b=b×a，a×b×c=a×c×b√乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)√乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c√除法分配律：(a+b)÷c=a÷c+b÷c√减法性质：a-b-c=a-(b+c)√除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)√长方形的周长=(长+宽)*2 公式：C=(a+b)×2√正方形的周长=边长*4 公式：C=4a√长方形的面积=长×宽公式：S=ab√正方形的面积=边长*边长公式：S=a²√三角形的面积=底*高÷2 公式：S=ah÷2√平行四边形的面积=底*高公式：S=ah√梯形的面积=(上底+下底)*高÷2 公式：S=(a+b)×h÷2√直径=半径×2 公式：d=2r√半径=直径÷2 公式：r=d÷2√圆的周长=圆周率*直径=圆周率*半径*2 公式：C=πd=2πr √圆的面积=圆周率*半径*半径公式：S=πr²√三角形的内角和=180度√长方体的体积=长*宽*高公式：V=abh√长方体(或正方体)的体积=底面积*高公式：V=Sh√正方体的体积=棱长³公式：V=a³√圆柱的侧面积=底面的周长乘高。
公式：S=Ch=πdh=2πrh √圆柱的表面积=底面的周长乘高再加上上下两底面圆的面积公式：S圆柱=Ch+2S圆=2πrh+2πr=2π(r+h)√圆柱的体积=底面积乘高公式：V=Sh√圆锥的体积=1/3底面积*高公式：V=1/3Sh√分数的加、减法：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
二年级乘法口诀
二年级乘法口诀乘法口诀是二年级数学的重要学习内容，也是学生进行乘法运算的基础。
掌握乘法口诀能够帮助学生们更快速地计算乘法，提高计算效率。
在二年级的乘法口诀中，学生们需要掌握从1乘以1到9乘以9的所有乘法口诀。
这些口诀包括一一得一二得二二得一三得二三得三三得一四得二四得三四十四四十一五得二五一十、三五十四五二十、五五二十一六得二六十三六十四六二十五六三十、六六三十六等。
为了更好地掌握这些乘法口诀，学生们可以通过多种方式进行练习。
他们可以在课堂上跟随老师一起朗读口诀表，熟悉口诀的顺序和内容。
他们可以利用一些小卡片或小册子进行自我练习，反复背诵和默写乘法口诀。
还可以通过做一些有关乘法口诀的练习题来加深对口诀的理解和记忆。
在掌握乘法口诀的基础上，学生们可以进一步学习更复杂的乘法运算。
例如，他们可以学习如何计算两位数的乘法，如12乘以13，这需要用到乘法口诀中的“二三得六”和“二四得八”。
通过不断练习，学生们可以逐渐提高自己的乘法计算能力，并应用于实际生活中。
二年级乘法口诀是学生们学习数学的重要内容之一。
通过掌握乘法口诀，学生们可以更快速地计算乘法，提高计算效率，并为将来的数学学习打下坚实的基础。
因此，学生们应该多加练习，熟悉口诀的顺序和内容，并应用于实际生活中。
胚胎工程是指对动物____和____所采用的一系列技术的总称。
胚胎工程中的胚胎移植实际上是生产胚胎的供体和孕育胚胎的受体共同完成的一项工作，通过这项工作，使胚胎获得____和____，受体对移入子宫的外来胚胎基本不发生____反应，使胚胎在受体内的存活率提高。
胚胎分割可以看做动物无性繁殖或克隆的方法之一。
进行胚胎分割时，应选择发育良好、形态正常的桑椹胚或囊胚进行分割，这是因为此时的胚胎细胞数目较少，随着胚胎的发育，这些细胞将逐渐具有不同的分化能力，从而影响分割后胚胎的恢复和进一步发育。
对囊胚阶段的胚胎进行分割时要注意将____均等分割，否则会影响分割后胚胎的恢复和进一步发育。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
专题16 乘法公式-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题 乘法公式-重难点题型【知识点1 乘法公式】平方差公式：(a +b )(a -b )=a 2-b 2。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a -b )2=a 2-2ab +b 2。
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。
这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2+2ab +b 2【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ） 【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（−13a −1） 【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x 2﹣mx +9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．12C ．±12D ．±6 【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x 2+8x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．4B ．16C ．±4D ．±16【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x ﹣my ）2＝x 2+kxy +4y 2（m 、k 为常数），则常数k 的值为 ．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x 2﹣2（m ﹣1）x +4是一个完全平方式，则m ＝ ．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A ，B 两个正方形，按图甲所示将B 放在A 的内部，按图乙所示将A ，B 并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）A．13B．19C．11D．21【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．3B．6C．12D．18【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a ﹣b ＝9，ab ＝﹣14，则a 2+b 2的值为 ．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a ﹣b ＝6，a 2+b 2＝20，求下列代数式的值：（1）ab ；（2）﹣a 3b ﹣2a 2b 2﹣ab 3．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝ ．①计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2①，（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2①，①﹣①得：（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，所以ab =(a+b)24−(a−b)24=(a+b 2)2−(a−b 2)2． 利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499． 【发现运用】根据阅读解答问题 （1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= (a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA①AB，EB①AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为．【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；①已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．。
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)•、基本公式1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 22例：计算 1999 -2000 X 199822 22. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)例：运用公式简便计算3. 完全平方公式a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项(a+b)2、(a-b) 2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项① a 2 b 2 = (a b)2 - 2aba 2b 2 = (a-b) 2+2ab2 2 2 2② (a-b) =(a+b) -4ab(a+b) =(a-b) +4ab(2)完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合2 2 2 2(a+b) + (a-b) =2 (a+b)例1 •已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2例 2.已知 a • b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.例6.已知a +丄=5,求(1) a 2+W , (2) (a —丄)2的值.a a a(1)完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项2 2 2=a -2ab+b (1) 1032(2) 19821 1例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x3=a -b二、公式的灵活运用1. 对公式的基本变用 _ 2 2(1)位置变化，x y -y x =x_y(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2= x 2-y 22. 整体思想的应用(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”2 2例1计算(-a +4b )分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)练习 1•计算：5x 23y 25x 2-3y 2练习2•计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：Ixy z m Jlxy- z m 1练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2-5)(2 x 2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2-b 2中的a,而 _____ 则是公式中的b .解：原式=(3 )应用整体思想，要善于分组加括号例&解下列各式(1) (2) (3) 已知 a 24b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b ) (a-b) =a 2 -b 2a(1)几何解释平方差公式 b-b -如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a2-b2;第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为( a+b),宽为(a-b),它的面积是：(a + b) (a-b)结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a2— b2= (a + b) (a —b)。
(2)在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a+b）2a ---- b-> 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以它的面积就是：a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）几何解释完全平方（差）公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a-b）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，S阴影=5大正方形-S小正方形-2 1方形其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是（a-b）,宽是b,所以它的面积就是：a2-b2-2 , a -b b = a2-2ab , b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a-b 2 =a2-2ab+b2(3)在进行运算时，防止出现以下错误：(a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2 =a 2-b 2。
七秋04-乘法公式(学生版)-数学
初中数学 备课组 教师 班级 初一VIP学生日期上课时间教学内容 乘法公式 知识精要知识点1 平方差公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. 即22()()a b a b a b +-=-2.要深刻理解该公式，必须抓住公式的结构特征和理解公式中字母的广泛含义.（1）公式中的字母“a ”、“b ”既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式.从本质上说“a ”、“b ”所表示的内容具有广泛性，它可表示为（○+□）（○-□）=○2-□2. （2）掌握公式中的几种变化形式有利于理解公式.a. 位置变化：如()()a b b a +-+，可利用加法交换律；将第二个括号变为()a b -，即可变为“标准型”.b.符号变化：如()()a b a b ---，将第一个括号变形，即可得到()()[()]()a b a b a b a b ---=-+-()()a b a b =-+-2222()a b b a =--=-；也可直接用平方差公式特点去解.因为在这两个括号中，有一项完全相同，即都是()b -，另一项互为相反数，即a -与a ，故而，2222()()()()()a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-. c.增项变化：（多项平方差）如()()a b c a b c +++-，若能将a b +看作一个整体，则在两个因式中既有相同的项()a b +，又有互为相反数的项c 与c -，即可用平方差公式写出结果：22222()()[()][()]()2a b c a b c a b c a b c a b c a ab b c +++-=+++-=+-=++-. d.增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++，可连续运用平方差公式写出结果， 即原式222244444488()()()()()a b a b a b a b a b a b =-++=-+=-.例 1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式的，先把式化成公式的标准形式，再计算结果.（1）(34)(34)x y x y +-； （2）(34)(43)x y y x --； （3）(34)(34)x y x y -++； （4）(34)(34)x y x y -+--； （5）(34)(34)x y x y -+-； （6）(34)(34)x y x y +--.例2 计算下列各题:（1）22(7)(7)33x y y x +-； （2）11(2)(2)22x y x y ---；（3）22(13)(31)a b a b ---； （4）2332(3)(3)x y y x --.例3 化简求值， 2[2()()][(2)(2)(2)(2)]x x y x y x x y y -+-+-+---，其中1x =，12y =-.练习1.计算：（1）22(2)(4)(2)a b a b a b ++- ； （2）(1)(1)x y x y -++-；（3）248100(21)(21)(21)(21)(21)+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+.2.利用平方差公式计算：（1）529910077⨯； （2）2200620072005-⨯.3.若(221)(221)63a b a b +++-=，求a b +的值.知识点2 完全平方公式1.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2 倍.即222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.2.完全平方公式的特点：（1）在公式222()2a b a ab b ±=±+中，左边是一个二项式的完全平方，右边都是一个二次三项式.其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定,本公式可用语言叙述为：首平方、尾平方，二倍乘积在中央.（2）公式中的“a ”、“b ”既可以代表具体的数，也可以是单项式或多项式. （3）222()()()a b b a a b -+=-=-；22()()a b a b --=+. 3.应用完全平方公式时应注意的问题：（1）将完全平方公式与平方差公式区分开.二者的形式完全不同.（2）将2()a b +与22a b +区分开：2()a b +是先求和然后再平方，读作“a 与b 两数和的平方”，它的展开式222a ab b ++是二次三项式；22a b +是先求平方再求和，读作“a 与b 两数的平方和”，它是一个二次二项式.只有当0ab =时，才有22a b +=2()a b +.（3）掌握完全平方公式的几种常见变形，灵活地解决问题.如：2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+；22()()4a b a b ab +=-+；22()()4a b a b ab -=+-；22()()4a b a b ab -=+-等.（4）当完全平方的底数为三项式时，可把其中两项看作整体视为一项，再利用完全平方公式展开.如：2222222()[()]()2()222a b c a b c a b a b c c a b c ab ac bc ++=++=++⋅+⋅+=+++++. 例1 计下列各题： （1）21(3)2a b -； （2）21(2)4a b +；（3）2(25)x y -+； （4）2(32)x y --.例2 下面的计算对不对？若不对，指明错误原因，并改正. （1）222(+)x y x y =+ （2）222()2x y x xy y -=--（3）22211()24x y x xy y -+=++（4）22211()24x y x xy y --=-+例3 化简：22(2)(2)()2(2)x y x y x y x xy +-++--. 练习： 1.计算（1）22(2)(2)(4)a b a b a b +--； （2）(23)(23)a b c a b c +---；（3）22(3)(3)a b a b +-.2.利用完全平方公式计算：（1）299.7； （2）22006.3.先化简，再求值. 2222111[()()](2)222x y x y x y ++--，其中1x =-，2y =.4.计算2()a b c ++，并利用它的结论直接计算：2(23)x y z -+.5.（1）已知2a b -=，1ab =，求2()a b +的值.（2）已知2(1)()2a a a b +-+=，求222a b ab +-的值.（3）已知13x x +=，求221x x+的值. 巩固练习一．填空题1. 与 的乘积等于这两个数的 .2.()()a b a b +- = ；3.(2)(2)x y y x ---= ；4.(4)(4)mn mn +- = ；5.2(3)( )9x x +=-；6. 2(5)( )25a a +=-；7.22(2)(2)(4)x y y x x y +-+= ； 8.(1)a -( )=21a -； 9.22()( )()a b a b ++=-；22210.( )4129x xy y =++； 2211. ( )4( )( )m n +=++ 212.(0.2 )( )2( ) a a +=++ 22 13.(34)( )(34)x y x y -+=+；14. 22()()2222a b a b +--= ；32715.(2)2m a -= ；16.2(23)a b c ++= ； 17.22(3)(3)m n m n +-= .二．选择题1.下列计算中，能用平方差公式计算的是（ ）A.()()p q p q +--B.()()p q q p --C.(53)(35)x y y x +-D.(23)(32)a b a b +- 2.计算[()()]x y x y +-[()()]x y x y +-所得结果是（ ）A.44x y -B.4224x x y y -+C.44x y +D.42242x x y y -+ 3.下列运算中正确的是（ ）A.55102 x x x +=B.358()()x x x ---=-C.23333(2)424x y x x y -=-D.22111(3)(3)9224x y x y x y +-+=-4.下列等式能够成立的是（ ）A.222(2)42 x y x xy y -=-+B.222()x y x y +=+C.22211() 24a b a ab b -=-+D.22211()x x x x+=+5.273() 32x +等于（）A.273732x x ++B.24979924x x ++C. 24997 94x x ++D.2779324x x ++6.要使式子2412a a -成为一个完全平方式的结果，则应加上（ ） A. 3 B. 9 C. 2.25 D. 1.57.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）A.222() a b a b -=-B.326(2)4a a -=C.3252 a a a +=D.(1)1a a ---=-- 8.下列运算中正确的是（ ）A. 336 x x x =B. 235325x x x +=C. 235()x x =D.2224()x y x y +=+ 三．计算题1.利用平方差公式计算：（1）()()22b bm m +- （2）(35)(35)x y x y --- （3）2332()()a b b a ---（4）(1)(1)xy xy -+-- （5）22()()()p q p q p q +-+（5）()()()()()()a b a b b c b c c a c a +-+-++-+2.利用完全平方公式计算：（1）2(1) 2a-； （2）232(25)a b -+；（3）(231)(231)a b a b --++； （4）2(23)a b --.3.用简便方法计算：（1）99.8(100.2)⨯-； （2）299.99.4.计算：（1）22(2)()(32)x y x y x xy y ---+-； （2）2222(2)(2)(24)(24)a b a b a ab b a ab b -+-+++；2233(3)(32)(964)(278) x y x xy y x y -++-42 (4)(2)(2)(416)p p p p +-++四．解答题1.计算：2(2)(2)(4)a a a +-+.2.化简：248+++++(21)(21)(21)(21)13.化简求值：22x x y x y x y x y y-+----++，其中x=-1，y=-2.[2()()][()()2]223++-++-+=解方程：x x x x x4.6(1)2(1)(1)2(1)325.解不等式(34)(34)9(2)(3)+-<-+.x x x x226.解不等式：-+->-+y y y y(13)(21)13(1)(1)227已知，求的值+==+.8,1477.x y xy x y22已知：求：的值+-++++=+-8.623100,.x y x y z x z y家庭作业 一．填空题1.计算：(6)(6)x y x y -+--= ；2.计算：(6)(6)x y x y -++= .3.计算：(6)(6)x y x y -+-= ；4.计算：(6)(6)x y x y -+-= .5.计算：()()m n n m x y y x +-= ；6.计算：232(3)m x y x +-= .7.(2)x y -（ ）=224y x -；8.（ ）2=221m m -+.9.（ +3）2=24x +（ ）（每格内只需填一个代数式）. 10.计算：22()()()x y x y x y ++-= . 11.计算：2222(1)(1)(1)a a a -++= . 12.计算：2200620052007-⨯= . 13.若2210a b +=，3ab =，则2()a b -= . 14.已知74xy =，4x y +=-，则22x y += . 15.已知3x y -=-，则222x y xy +-= . 二．计算题1.22(94)(32)(32)x y x y x y --+--2.2(2)(2)(2)m n m n m n ---+3.2(32)x y +-4.(21)(21)x y x y -+++5. 18(3)(6)2x x -+6.22111()()()224x y x y x y +-- 7.22(2)(2)a b a b -+7. 用乘法公式计算：（1）6.97.1⨯ （2）21403933⨯ （3）59.860.2⨯（4）2499 （5）21(14)2（6）2210299+；（7）2105； （8）2197.三．解答题1.求不等式22(13)(21)13(1)(1)y y y y -++>-+的最大整数解.2.一个正方形，如果先把一组对边延长2cm ，再把另一组对边减少2cm ，这时得到的长方形面积恰好与原正方形边长减少1cm 后的正方形面积相等，求原正方形的面积.3.如图，已知ABE 和DCE 都为等腰直角三角形，AB BE a ==，DC EC b ==. 求ADE 的面积.（用含a 、b 的代数式表示）bbaa DC EBA。
学而思初一数学寒假班第5讲.基本乘法公式及应用.学生版
代数式6级 复杂乘法公式及整式除法代数式5级 基本乘法公式及应用代数式4级 整式乘法原来如此漫画释义满分晋级阶梯5基本乘法公式及应用题型切片（四个）对应题目题型目标平方差公式及几何意义例1；完全平方公式及几何意义例2；例3；简便计算例4；乘法公式的综合运用例5；例6；例7；例8公式示例剖析平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．bbbaa注意：⑴负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．知识导航模块一平方差公式及几何意义知识互联网题型切片【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）图乙图甲bbaaabbA ．222()2a b a ab b +=++ B ．222()2a b a ab b -=-+ C ．22()()a b a b a b -=+- D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-⑵如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+⑶计算① ()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ② ()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⑵ 运算性质中，字母a ，b 可表示一个数一个单项式或一个多项式．⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用．⑷ 零指数计算中底数不能为零．夯实基础模块二 完全平方公式及几何意义【例2】 计算⑴()2x y + ⑵()2x y -+ ⑶()2x y --⑷2(3)x y + ⑸2(23)x y -- ⑹ 2324x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【例3】 ⑴ 有若干张面积分别为2a ，2b ，ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为2a 的正方形纸片，4张面积为ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为2b 的正方形纸片为（ ）A ．2张B ．4张C ．6张D ．8张 ⑵ 化简：()()()222m n m n m n m -+++-公 式示例剖析完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+ 222()2a b a ab b +=++两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．()22121x x x +=++完全平方公式几何意义：bbaaba ba关于完全平方公式的重要变形： 222()2a b a b ab +=+- 222()2a b a b ab +=-+()22()4a b a b ab +=-+221()()4ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 夯实基础知识导航⑶2(25)(52)(25)x x x ---- ⑷()()x y z x y z +++-⑸()()x y z x y z +--+ ⑹(59)(59)x y x y +--+对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.【例4】 ⑴ 2999 ⑵2299101+⑶ 22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭模块四 乘法公式的综合运用知识导航模块三 简便计算能力提升首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.【例5】 ⑴ 先化简，再求值:()()()2111x x x x +-+-，其中2x =-⑵ 已知21y x +=，求代数式()()2214y y x +--的值⑶()()()22322x y x y x y +-+-，其中1132x y ==-，⑷若22m m +=，求代数式()221(1)(2)(23)(32)m m m m m ++----+的值.【例6】 ⑴ 若()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值.⑵ 已知2214x y y z x z -=-=+=，，，求22x z -的值.【例7】 ⑴已知()()212x x x y ---=-，求222x y xy +-的值.夯实基础知识导航能力提升⑵已知72a b ab +==，，求① 22a b +；② 22a ab b -+.【例8】 已知2410x x -+=，求 ① 1x x +；② 221x x+.知识模块一 平方差公式及几何意义 课后演练【练习1】 计算()()2112x x +-= .知识模块二 完全平方公式及几何意义 课后演练 【练习2】⑴ 计算 22(2)(2)x x +-；⑵ 计算 2222()()a ab b a ab b ++-+； ⑶ 化简：()()22121x x x ++--;⑷ 如果26x xy m ++是一个完全平方式，则m =（ ） A ．9y 2B ．3y 2C ．y 2D ．6y 2知识模块三 简便运算 课后演练 【练习3】⑴ 2238.977.848.948.9-⨯+;⑵ 2222221009998979621-+-+-⋅⋅⋅+-.真题赏析实战演练知识模块四乘法公式的综合应用课后演练【练习4】⑴先化简，再求值：()()()222a a a a-+--，其中1a=-.⑵先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x+-----，其中13 x=-.【练习5】13aa-=，则221aa+= .【练习6】已知实数x、y、z满足259x y z xy y+==+-，，求23x y z++的值.第十四种品格：信念飞翔的信念信念就是一支火把，它能最大限度地燃烧一个人的潜能，指引他飞向梦想的天际。
人教版初二(上)数学第37讲：整式乘法(学生版)
整式乘法___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ _______1、掌握单项式与单项式相乘的算理。
2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。
3、灵活运用公式，简化计算。
1、单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
2、单项式乘以多项式的运算法则单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
4、幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：n m n m a a a +=⋅ （m 、n 为正整数）②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：n m n m a a ⋅=）（ （m 、n 为正整数）③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：n n n b a )b a (⋅=⋅ （n 为正整数）④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
n -m n m a a a =÷（m>n ，m 、n 为正整数）5、乘法的运算律：①乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c）②乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
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题型切片（四个） 对应题目
题
型目标
平方差公式及几何意义 例1；
完全平方公式及几何意义 例2；例3； 简便计算
例4；
乘法公式的综合运用
例5；例6；例7；例8
公 式
示例剖析
平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
b
b
b
a
a
注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．
⑵ 运算性质中，字母a ，b 可表示一个数一个单项式或一个多项式． ⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用． ⑷ 零指数计算中底数不能为零．
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模块一 平方差公式及几何意义
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基本乘法公式及应用 题型切片
【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的
部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
图乙
图甲
b
b
a
a
a
b
b
A ．2
2
2
()2a b a ab b +=++ B ．2
2
2
()2a b a ab b -=-+ C ．22()()a b a b a b -=+- D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-
⑵如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )
A ．()2222a b a ab b -=-+
B ．()2
222a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+
⑶计算
①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
夯实基础
【例2】 计算⑴()2
x y +；
⑵()2
x y -+； ⑶()2x y -- ⑷2(3)x y + ； ⑸2(23)x y --；
公 式
示例剖析
完全平方公式：
222()2a b a ab b -=-+ 222()2a b a ab b +=++
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．
()
2
2121x x x +=++
完全平方公式几何意义：
b
b
a
a
b
a b
a
关于完全平方公式的重要变形： 222()2a b a b ab +=+- 222()2a b a b ab +=-+
()
2
2()4a b a b ab +=-+
22
1()()4ab a b a b ⎡⎤=+--⎣
⎦ 夯实基础
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模块二 完全平方公式及几何意义
⑹ 2
324x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【例3】 ⑴ 有若干张面积分别为2a ，2b ，ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面
积为2a 的正方形纸片，4张面积为ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则
还需要抽取面积为2b 的正方形纸片为（ ）
A ．2张
B ．4张
C ．6张
D ．8张 ⑵ 化简：()()()2
22m n m n m n m -+++-
⑶2(25)(52)(25)x x x ----；
⑷()()x y z x y z +++-
⑸()()x y z x y z +--+
⑹(59)(59)x y x y +--+.
对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.
【例4】 ⑴ 2
999;
⑵2299101+；
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模块三 简便计算
能力提升
⑶ 22221111111123410⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
;
⑷ 24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++.
首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.
【例5】 ⑴ 先化简，再求值:()()()2111x x x x +-+-，其中2x =-
⑵ 已知21y x +=，求代数式()()
2
214y y x +--的值．
⑶()()()2
2322x y x y x y +-+-，其中1132
x y ==-，.
夯实基础
知识导航
模块四 乘法公式的综合运用
⑷若22m m +=，求代数式()2
21(1)(2)(23)(32)m m m m m ++----+的值.
【例6】 ⑴ 若()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值.
⑵ 已知2214x y y z x z -=-=+=，，，求22x z -的值.
【例7】 ⑴已知()()2
12x x x y ---=-，求22
2
x y xy +-的值.
⑵已知22610340m n m n +-++=，求m n -的值.
⑶已知72a b ab +==，，求① 22a b +；② 22a ab b -+.
能力提升
⑷已知3a b +=，2230a b ab +=-，求2211a ab b -++的值.
【例8】 已知2410x x -+=，求 ①
1x x +；② 221x x
+.
知识模块一 平方差公式及几何意义 课后演练
【演练1】 计算()()2112x x +-= .
知识模块二 完全平方公式及几何意义 课后演练 【演练2】⑴ 计算 22(2)(2)x x +-；
⑵ 计算 2222()()a ab b a ab b ++-+； ⑶ 化简：()()2
2121x x x ++--;
⑷ 如果26x xy m ++是一个完全平方式，则m =（ ）
A ．9y 2
B ．3y 2
C ．y 2
D ．6y 2
知识模块三 简便运算 课后演练
【演练3】⑴ 2238.977.848.948.9-⨯+;
⑵ 2222221009998979621-+-+-⋅⋅⋅+-.
真题赏析
实战演练
知识模块四乘法公式的综合应用课后演练
【演练4】⑴先化简，再求值：()()()
222
a a a a
-+--，其中1
a=-.
⑵先化简，再求值：2
(32)(32)5(1)(21)
x x x x x
+-----，其中
1
3 x=-.
【演练5】
1
3
a
a
-=，则2
2
1
a
a
+= .
【演练6】已知实数x、y、z满足2
59
x y z xy y
+==+-
，，求23
x y z
++的值.。