(完整版)三角形的外角习题及答案
(完整)三角形的外角(习题及答案)
三角形的外角（习题)➢ 例题示范例1：已知：如图,点E 是直线AB ，CD 外一点,连接DE 交AB 于点F ,∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ,需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中,∠1是它的一个外角,∠1=115°,∠A =40°,∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBA2. 已知:如图，在△ABC 中,∠BAC =50°,∠C =60°，AD ⊥BC ,BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．DC EA BFF BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°,则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图,已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°,∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,∠BDC =70°，求∠C 的度数．解:如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD(_____________________）∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________)∴∠ABD =_______-________=________—________ =________(_____________________）∵BD 平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______=__________（_____________________）∴∠C =180°-∠A —∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________)第4题图DCAB7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F,∠A=60°，∠E=55°,求∠B的度数．8.已知:如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．(2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余,由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角,考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．E DCBA2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期,内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理,而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容,用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的:首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”,“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实,而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：(1）从任意点到任意点作直线是可能的．(2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．(5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1)跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．(5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理,推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°(已知）∴∠ABD=∠BDC—∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°(三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行,内错角相等)∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线(已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD—∠A=110°—60°=50°（等式的性质）8.解:如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°(已知)∴∠ABD=∠BDC—∠A=60°-45°=15°(等式的性质)∵BD平分∠ABC（已知)∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°(角平分线的定义)∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC(两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.(1)同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。
初一数学三角形的外角试题
初一数学三角形的外角试题1.已知，如图，点是中边上的一点，点是边延长线上一点，说明：．【答案】见解析【解析】本题主要考查的是三角形外角与内角的关系. 由于∠DCB是△DCE的一个外角，所以∠DCB＞∠CDE；又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠ADB＞∠DCB，故∠ADB＞∠CDE．证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角∴∠DCB＞∠CDE∵∠ADB是△BCD的一个外角∴∠ADB＞∠DCB∴∠ADB＞∠CDE2.已知，如图，中，的平分线与的平分线交于点，若，求的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形内角及外角平分线的性质. 根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∵CD是外角∠ACE的角平分线，∴∠DCE=∠ACD=∠ACE，∵∠D=∠DCE-∠DBC=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=×80°=40°．∴∠D的度数是40°．3.已知，如图，在中，是高和的交点，观察图形，试猜想和之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．【答案】．证明见解析【解析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理. 由于∠DOE是△AOE的外角，故∠DOE=∠OAE+∠AEO=∠OAE+90°=∠OAE+∠ADC，即∠C+∠DOE=∠OAE+∠ADC+∠C=180°解：∠C+∠DOE=180°．∵AD，BE是△ABC的高（已知），∴∠AEO=∠ADC=90°（高的意义），∵∠DOE是△AOE的外角（三角形外角的概念），∴∠DOE=∠OAE+∠AEO（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和）=∠OAE+90°（∠AEO=90°）=∠OAE+∠ADC（∠ADC=90°）∴∠C+∠DOE=∠OAE+∠C+∠ADC=90°+90°=180°．另法：在四边形CEOD中，∠C+∠EOD+90°+90°=360°，则∠C+∠EOD=180°．4.如图所示，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P= ；O【答案】35°【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.∵AB∥CD，∠A=55°∴∠AOC=∠A=55°∵∠C=20°∴∠P=∠AOC-∠C=55°-20°=35°5.如图所示，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E= ；【答案】180°【解析】本题主要考查了三角形的外角和内角和定理因为∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠E，所以∠A +∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°6.如图所示，已知AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 .B．∠1=2∠2+∠3C．∠1=2∠2-∠3D．∠1=180°-∠2-∠3【答案】A【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.因为AB∥CD，所以∠ABD=∠3，因此∠1=∠2+∠ABD=∠2+∠3；7.若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则与之相邻的三个外角的度数之比为（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．3∶4∶5D．5∶4∶3【答案】D【解析】本题主要考查了三角形内角和定理及内角与外角的关系. 先根据三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3及三角形内角和定理求出三个内角的度数，再分别求出其对应的外角度数即可设三角形三个内角分别为，则，解得，所以三角形三个内角分别为30°，60°，90°，与之相邻的三个外角的度数分别为150°，120°，90°，故选D8.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.【答案】不合格【解析】本题主要考查了三角形内角和定理. 连接AD，利用三角形内角与外角的关系求出此零件合格时∠BDC的度数与已知度数相比较即可．解：如图，连接AD并延长至E，则∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，所以∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠BAD=21°+32°+90°=143°≠148°，所以这个零件不合格.9.图中（）是△ABC的外角．A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【答案】C【解析】本题考查的是三角形外角的定义根据三角形外角的定义解答．根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．10.如图，△ABC中，D是BC上一点，F是BA延长线上一点，连接DF交AC于E，且∠B=42°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、外角定理、对顶角相等由∠B=42°，∠C=59°，根据三角形的外角定理即可求得∠FAE，再根据对顶角相等求得∠AEF，最后根据三角形内角和定理即可求得∠F的度数．∠B=42°，∠C=59°，∠FAE=∠B+∠C=101°，∠DEC=47°，∠AEF=47°，∠∠FAE∠AEF。
初中数学：三角形的外角检测题(含答案)
初中数学：三角形的外角检测题(含答案)总分100分时间40分钟一、选择题(每题5分)1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角.解：如下图所示，∠ACD<∠ACB，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACB>90°.∴△ACB是钝角三角形.故应选C.考点：三角形的外角2、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.100°D.120°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的三个外角的度数比为2:3:4，设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据三角形外角和是360°列方程求出x的值，求出每个外角的度数，根据外角的度数求出三角形的内角度数.解：设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据题意可得：x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴三角形最小的外角的度数是2x=80°，∴三角形最大的内角的度数是180°-80°=100°.考点：三角形外角的性质3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的一个外角是120°，求出三角形的一个内角是60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定结果.解：如下图所示，∵∠ACD=120°，∴∠ACB=60°，又∵△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形.故应选C.考点：1.三角形外角的性质；2.等腰三角形的判定.二、填空题(每题8分)4、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA 到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是______【答案】∠1>∠2>∠3【解析】试题分析：根据三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角.解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠2，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2>∠3，∴∠1>∠2>∠3.考点：三角形外角的性质5、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。
三角形的外角(习题及答案)
度数．
ED
BC
3
思考小结
8.在证明过程中：
（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．
（2）要求一个角的度数：
①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；
②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑
的度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．90
4.如图，已知∠A=25°，∠EFB=95°，∠B=40°，则∠D的度数为
_____________．
E
D
C
A
F
ACD
B
EB
第4题图第5题图
5.如图，已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，
∠DAE=50°，则∠D=_______，∠ACB=_______．
三角形的外角（习题）
例题示范
例1：已知：如图，点E是直线AB，CD外一点，连接DE交
AB于点F，∠D=∠B+∠E．
求证：AB∥CD．
E
E
AFBAFB
CDCD
①读题标注
②梳理思路
要证AB∥CD，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．
因为已知∠D=∠B+∠E，而由外角定理得∠AFE=∠B+∠E，
故∠D=∠AFE，所以AB∥CD．
∠D=35°，则∠2=________．
D
C
2 E
1
ABF
1
2. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，
BE是∠ABC的平分线，AD，BE交于点F，则∠AFB的度数
三角形的外角专题(含答案)
11.2.2三角形的外角一、单选题1.三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定2.如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=50∘，则∠AED=.3.如图，在ΔABC中，EF//BC，∠ACG是ΔABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACG=β，∠AEF=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是.4.将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是.5.如图，几条线段首尾顺次连接，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为.6.下列命题中，属于假命题的是( )A.三角形中至少有一个角大于60∘B.如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和D.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形7.在△ABC中，∠A=60∘，∠C=2∠B，则∠C的度数为.8.如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为.9.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形二、填空题10.如图，BE平分∠ABC，CE平分ΔABC外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A度数为______.11.如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30∘，则∠1+∠2的度数为__________. 12.如图所示的折线图形中，α+β的度数为__________. 13.如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75∘,∠B=65∘,将纸片折叠，使点C，D分别落在AB边上的点C′,D′处，折痕为MN，则∠AMD'+∠BNC'的度数是__________. 三、解答题14.如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠DAE的度数．15.如图，将ΔABC分别沿AB，AC翻折得到ΔABD和ΔAEC，线段BD与AE交于点F，连接BE． (1)如果∠ABC=16°，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； (2)如果BD⊥CE，求∠CAB的度数．11.2.2三角形的外角1.【答案】A;【解析】略2.【答案】B;【解析】该题考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，掌握好基本性质及定义的解答该题的关键． 根据平行线的性质得出∠CAB=180∘−∠C=130∘，根据角平分线的定义得出∠CAE=12∠CAB=65∘，根据∠AED是ΔACE的外角，得出∠AED=∠C+∠CAE=115∘，即可得出结果． 解：∵AB//CD，∴∠C+∠CAB=180∘， ∴∠CAB=180∘−∠C=130∘，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB=65∘，∵∠AED是ΔACE的外角，∴∠AED=∠C+∠CAE=115∘，故选B．3.【答案】B;【解析】解：∵EF//BC， ∴∠γ=∠B， 由三角形的外角性质得，∠α=∠B+∠BAD=∠γ+∠BAD， ∠β=∠α+∠CAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠α−∠β=∠γ−∠α， ∴∠β=2α−∠γ. 故选：B. 根据两直线平行，同位角相等可得∠γ=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α、∠β，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后整理即可得解． 此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解答该题的关键．4.【答案】B;【解析】解：∵∠EDC=45°， ∴∠ADF=135°， ∵∠AFE是ΔADF的一个外角， ∴∠AFE=∠A+∠ADF=30°+135°=165°， 故选：B. 根据邻补角的概念求出∠ADF，再根据三角形的外角性质计算即可． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：∵如图可知∠BGD=∠C+∠B，∠GFE=∠E+∠A， 又∵∠BGD=∠D+∠GFD， ∴∠B+∠C=∠D+∠GFD， 又∵∠GFE+∠GFD=180°， ∴∠E+∠A+∠B+∠C−∠D=180°， 又∵∠D=28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠E=180°+28°=208°. 故选：B. 首先求出∠C+∠B=∠D+∠GFD，然后证明出∠A+∠B+∠C+∠E−∠D=180°，最后结合∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 此题主要考查了三角形内角的外角，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠E+∠B−∠D=180°，此题难度不大．6.【答案】A;【解析】 该题考查命题与定理，解答该题的关键是熟练掌握三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，属于中考常考题型． 根据三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可一一判断． 解：A、错误． B、正确．理由：4+6>9． C、正确．角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． D、正确．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．故选A．7.【答案】C;【解析】略8.【答案】A;【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=12∠A=12×30°=15°． 故选：A． 先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可． 该题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．9.【答案】D;【解析】略10.【答案】50°;【解析】解：∵∠E=25°， ∴∠ECD−∠EBD=∠E=25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=12∠ABC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=12∠ACD， ∴∠A=∠ACD−∠ABC=2×(∠EBD−∠ECD)=2×25°=50°， 故答案为：50°. 根据三角形的外角性质得到∠ECD−∠EBD=∠E=25°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．11.【答案】60∘;【解析】解：∠A′DA=180∘−∠1,∠A′EA=180∘−∠2,∠A′=∠A=30∘. ∵∠A′+∠A′DA+∠A+∠AEA′=360∘, ∵30∘+180∘−∠1+30∘+180∘−∠2=360∘,∴∠1+∠2=60°.12.【答案】85°;【解析】解：∠1=a+70∘,∠2=β+65∘,∵∠1+∠2+140∘=360∘. ∴a+70∘+β+65∘+140∘=360∘,∴α+β=85∘. 13.【答案】80∘;【解析】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C+∠D=220°，∠MD′B=∠D， ∠NC′A=∠C，∴∠MD′B+∠NC′A=220°，∵∠MD′B+∠NC′A+∠D′MN+∠C′NM=360°,∴∠D′MN+∠C′NM=140°，∵∠A+∠B+∠AMD′+∠D'MN+∠BNC'+∠C'NM=360°,∴140∘+140∘+∠AMD'+∠BNC'=360°, ∴∠AMD°+∠BNC'=80∘.14.【答案】解：在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°， ∴∠BAC=180°-20°-110°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=25°， ∴∠AEC=∠B+∠BAC=20°+25°=45°， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠D=90°， ∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°．;【解析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线定义得出∠BAE的度数，再由三角形外角的性质求出∠AEC的度数，进而得出答案． 此题主要考查的是三角形内角和定理．熟悉定理与性质并准确识图，理清图中各角度之间隐含的关系是解决本题的关键．15.【答案】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD， ∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC． ∴∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°， ∠EAC=∠BAD=∠BAC=180°-30°-16°=134°， ∵∠DAC=360°-∠BAD-∠BAC， ∴∠DAC=360°-134°-134°=92°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=134°-92°=42°； （2）∵BD⊥CE， ∴∠5=90°， ∴∠DBC+∠ECB=90°． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠DBC+∠ECB=2∠3+2∠1=90°． ∴∠3+∠1=45°， 在△ABC中，∠CAB=180°-（∠3+∠1）=180°-45°=135°．;【解析】 (1)由折叠的性质可得∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°，由周角的性质和外角性质可求解； (2)由三角形内角和定理可求解． 该题考查了翻折变换，三角形的内角和定理，外角性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．。
三角形的外角 (讲义及答案)
三角形的外角（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，则∠A +∠B =______，∠ACD =________，由此你得到∠A +∠B _______∠ACD （填“>”、“<”或“=”）．AD CB➢ 知识点睛1. 三角形的__________________组成的角，叫做三角形的外角．2. 三角形外角定理：三角形的外角等于_________________________________________．已知：如图，∠1是△ABC 的一个外角． 求证：∠1=∠A +∠B ．ABCD 12证明：如图，∵∠A +∠B +∠2=180° （___________________________） ∠1+∠2=180°（___________________________）∴∠1=∠A +∠B （___________________________）➢ 精讲精练1. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，∠B =70°，∠BAD =60°，则∠ADC =_______．CB D AFEC DBA第1题图 第2题图2. 如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =______，∠BEC =_______．3. 如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，∠C =67°，∠CBD =33°，DE 平分∠ADB ，交AB 于点E ，则∠ADE =_______．EABDCE D CBA第3题图 第4题图4. 如图，AC ∥ED ，∠C =25°，∠B =35°，则∠E=_______．5. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=______．α6. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．A F DBCEGH第6题图OFE D C BA第6题图 第7题图7. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，BF平分∠ABC 交AC 于点F ，AE ，BF 相交于点O ．若∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =_____，∠AED =_____，∠BOE =_________．8. 如图，在△ABE 中，D 是BE 上一点，C 是AE 延长线上一点，连接CD ．若∠A =80°，∠B =35°，∠BDC =140°，求∠C 的度数．解：如图，∵∠BEC 是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴_____=_____+_____（______________________________） ∵∠A =80°，∠B =35°（已知） ∴∠BEC =_____+______ =______（等量代换）∵__________________________（外角的定义）∴∠BDC =_____+_____（______________________________） ∵∠BDC =140°（已知） ∴∠C =______-______ =______-______=______（___________________）9. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，点E 在BA 的延长线上，AD 平分∠EAC ．求证：AD ∥BC ．A B CD EE DA10.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC=∠B+2∠E．EAB C D11.如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求△ABC的外角∠ACD的度数．AEB C D【参考答案】➢课前预习1.120°，120°，=➢知识点睛1.一边与另一边的延长线2.和它不相邻的两个内角的和三角形的内角和等于180°平角的定义等式的性质➢精讲精练1.130°2.50°3.95°，80°4.60°5.75°6.145°7.20°，85°，55°8.解：如图，∵∠BEC是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠BEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=80°，∠B=35°（已知）∴∠BEC=80°+35°=115°（等量代换）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠BEC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC=140°（已知）∴∠C=∠BDC-∠BEC=140°-115°=25°（等式的性质）9.证明：如图，∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠C+∠C=2∠C（等量代换）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC =2∠DAC （角平分线的定义） ∴∠C =∠DAC （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 10. 证明：如图，21EDBA∵∠BAC 为△ACE 的一个外角（外角的定义）∴∠BAC =∠1+∠E （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠2为△BCE 的一个外角（外角的定义）∴∠2=∠B +∠E （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和）∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∴∠1=∠B +∠E （等量代换） ∴∠BAC =∠B +∠E +∠E=∠B +2∠E （等量代换）11. 解：如图，∵AB ∥CE （已知）∴∠ABE =∠E （两直线平行，内错角相等） ∵∠E =30°（已知） ∴∠ABE =30°（等量代换） ∵BE 是∠ABC 的平分线（已知） ∴∠ABC =2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD 是△ABC 的一个外角（外角的定义）∴∠ACD =∠A +∠ABC （三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和） ∵∠A =50°（已知） ∴∠ACD =50°+60°=110°（等量代换）。
三角形的外角习题及答案
三角形的外角习题及答案三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和角度关系是我们学习的基础知识之一。
在这篇文章中，我将介绍一些与三角形外角相关的习题，并给出详细的答案解析。
一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下有关三角形外角的基本概念。
对于任意一个三角形ABC来说，顶点A的外角定义为：外角A = 角BAC的补角外角A与角BAC的和为180度，即：外角A + 角BAC = 180度这个性质将会是我们解题的基础。
二、习题一题目：已知三角形ABC中，角A的外角为85度，求角BAC的度数。
解析：根据外角的定义，外角A与角BAC的和为180度。
所以我们可以列出等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件，可得：85度 + 角BAC = 180度然后解方程，得到：角BAC = 180度 - 85度 = 95度所以角BAC的度数为95度。
三、习题二题目：在三角形ABC中，角BAC的度数为45度，外角A为120度，求角B的度数。
解析：同样地，我们可以利用外角的定义来解题。
根据外角的性质，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：120度 + 45度 = 180度化简可得：外角A = 180度 - 45度 = 135度由于外角A是角B的补角，所以我们有等式：外角A + 角B = 180度带入已知条件，得到：135度 + 角B = 180度解方程可得：所以角B的度数为45度。
四、习题三题目：在三角形ABC中，角B的度数为55度，外角A的度数为145度，求角C的度数。
解析：同样地，我们可以利用外角的性质来解题。
根据外角的定义，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：145度 + 角BAC = 180度解方程可得：角BAC = 180度 - 145度 = 35度所以角BAC的度数为35度。
由于角BAC是角C的补角，所以我们有等式：角BAC + 角C = 180度带入已知条件，得到：35度 + 角C = 180度解方程可得：所以角C的度数为145度。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角习题(含答案) (59)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，已知//AB CD ，72A ∠=︒，58C ∠=︒，则E ∠=________．【答案】14︒【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等以及三角形的外角和定理计算即可．【详解】∵//AB CD ，72A ∠=︒,58C ∠=︒∴72DFE A ∠=∠=︒∴根据三角形外角定理725814E DFE C ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：14︒．【点睛】平行线的性质以及三角形的外角定理是解决本题的关键．82．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于_____．【答案】165°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【详解】解：∠1＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故答案为：165°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键.83．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．【答案】110°【解析】【分析】先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【详解】解：如图：延长直线：∵a 平移后得到直线b ，∴a ∥b ，∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，∴∠2-∠3=∠5=110°故答案为：110°．【点睛】本题考查平移问题，解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求角．84．如图，A ABC CB =∠∠，AD ，BD ，CD 分别平分ABC ∆的外角EAC ∠，内角ABC ∠，外角ACF ∠．以下结论：①//AD BC ；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分ADC ∠；⑤12BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有______________．（把正确结论序号填写在横线上）【答案】①②③⑤【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC ，∠EAC=2∠EAD ，∠ACF=2∠DCF ，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC ，∠EAC=∠ABC+∠ACB ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAC=2∠EAD ，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB ，∠ABC=∠ACB ，∴∠EAD=∠ABC ，∴AD ∥BC ，∴①正确；∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴②正确；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC=12∠EAC，∠DCA=12∠ACF，∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）=180°-12（∠EAC+∠ACF）=180°-12（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）=180°-12（180°+∠ABC）=90°-12∠ABC，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-12∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠CBD=12∠ABC，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF=12∠ACF，∴∠DCF-∠CBD=12∠ACF-12∠ABC∵∠BAC=∠ACF-∠ABC ∠BDC=∠DCF-∠CBD∴∠BDC=12∠BAC，⑤正确.故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．85．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．【答案】45°【解析】【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可．【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．86．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=32°，则∠2的度数为________【答案】28°【解析】【分析】添加辅助线后，根据平行线的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：延长直角边与直线相交，如图：∵两直线平行∠=∠=︒∴3132∵三角板是含30角的直角三角板∠=︒-︒=︒∴4903060∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴243603228故答案是：28︒【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，题目较为简单，添加适当的辅助线是解题的关键．∠+∠+∠+∠+∠的度数为______度．87．如图，A B C D E【答案】180【解析】【分析】延长BD交AC于点G，先由三角形外角的性质得出∠CFG=∠EDF+∠E，∠CGF=∠A+∠B，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：延长BD交AC于点G，∵∠CFG 是∵DEF 的外角，∠CGF 是∵ABG 的外角，∴∠CFG=∠EDF+∠E ，∠CGF=∠A+∠B ，∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠EDF+∠E=180°．故答案为：180．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．88．如图，已知DC 是ABC ∆中ACB ∠的外角平分线，则DCA ∠__________B （填“>”、“<”或“=”）【答案】>【解析】【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义解答．【详解】解：DCE ∠是DCB ∆的一个外角，DCE B ∴∠>∠， DC 是ABC ∆中ACB ∠的外角平分线，DCE DCA ∴∠=∠，DCA B ∴∠>∠，故答案为：＞．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．89．已知60ABC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，过点D 作//DP AB ，如果3PBD ABC ∠=∠，则DPB ∠=_______．【答案】40︒或100︒【解析】【分析】结合题意由点P 得位置不同画出相应的图形，再根据平行线的性质、角的倍分计算、三角形外角性质或三角形内角和定理即可求得答案．【详解】解：①当点P 在ABC ∠内部时，如图：∵60ABC ∠=︒，3PBD ABC ∠=∠∴20PBD ∠=︒∵//DP AB∴60PDC ABC ∠=∠=︒∴40DPB PDC PBD ∠=∠-∠=︒；②当点P 在ABC ∠外部时，如图：∵60ABC ∠=︒，3PBD ABC ∠=∠∴20PBD ∠=︒∵//DP AB∴60PDB ABC ∠=∠=︒∴180100DPB PDB PBD ∠=︒-∠-∠=︒；∴综上所述，40DPB ∠=︒或100DPB ∠=︒．故答案是：40︒或100︒【点睛】本题考查了根据已知条件画图、平行线的性质、角的倍分计算、三角形外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论的思想方法，注意此题不要漏解．90．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=39°，则∠β的度数为_______．【答案】51°【解析】【分析】先根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠1，再根据两直线平行线同位角相等求出∠2，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠β的度数．【详解】解：如图，由直角三角板可知∠B=30°，∠A=60°，由直尺可知EF∥GH．∵∠B=30°，∠α=39°，∴∠1=∠B+∠α=69°，∵EF∥GH，∴∠2=∠1=69°，∵∠A=60°，∴∠β=180°-∠2-∠A=180°-69°-60°=51°，故答案为：51°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握相关定理，并且能正确识图完成角度之间的转换是解决此题的关键．。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角练习题(含答案) (60)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)已知△ABC、△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB=△DFE=90°，△A=△D=30°.（1）将它们摆成如图①的位置（点E、F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G).求∠AGD的度数.（2）将图①的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°.①当△DEF旋转到DE△AB的位置时（如图2），n = ；②若由图①旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为 .【答案】（1）150°；（2）①60，②60或90或150.【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和与外角的性质可得∠DEA=∠DFE+∠D，∠AGD=∠A+∠DEA；（2）①根据平行线的性质可得∠EFA=∠E；②此题要分情况讨论：当EF∠AC时；当EF∠AB时；当EF∠BC时分别进行计算．试题解析：（1）∠∠DFE=90°，∠D=30°，∠∠DEA=30°+90°=120°，∠∠A=30°，∠∠DGA=120°+30°=150°；（2）∠∠∠DFE=90°，∠D=30°，∠∠E=60°，∠DE∠AB，∠∠E=∠EFA=60°，∠n=60，故答案为60；②当EF∠AC时，n=180-90-30=60，当EF∠AB时，n=90，当EF∠BC时，n=360-30-90-90=150，故答案为60或90或150．【点睛】本题主要考查了三角形内角与外角，以及三角形内角和，平行线的性质，关键是注意要考虑全面，不要漏解．92．如图，在△ABC中，点D在BC 上，点E 在AC 上，AD交BE于F. 已知EG∥AD交BC于G, EH⊥BE交BC于H，∠HEG = 50°.（1）求∠BFD的度数.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度数.【答案】（1）∠BFD=40°；（2）∠BAC=99°．【解析】（1）根据垂直的定义可得∠BEH=90°，然后求出∠BEG=40°，再根据两直线平行线，同位角相等可得∠BFD=∠BEG；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．试题解析：（1）∠EH∠BE，∠∠BEH=90°，∠∠HEG=50°，∠∠BEG=40°，又∵EG∠AD，∠∠BFD=∠BEG=40°；（2）∠∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∠∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=40°，∠∠C=41°，∠∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-41°=99°．93．已知：如图，在△ABC中，△A＝90°，点D、E分别在AB、AC上，DE△BC，CF与DE的延长线垂直，垂足为F．（1)求证：△B＝△ECF ；（2）若△B＝55°，求△CED的度数．【答案】（1）见解析；(2) 145°【解析】【分析】（1）先由DE∠BC得出∠B=∠ADE，再根据∠A=90°得出∠ADE+∠AED=90°．由∠F=90°可知∠ECF+∠CEF=90°．由对顶角相等可知∠AED=∠CEF，故∠ADE=∠ECF，由此可得出∠B=∠ECF；（2）由（1）可知∠B=∠ECF=55°，故∠CED=∠F+∠ECF=90°+55°=145°．【详解】证明：（1）∠DE∠BC，∠∠B=∠ADE．∠∠A=90°，∠∠ADE+∠AED=90°．∠∠F=90°，∠∠ECF+∠CEF=90°．∠∠AED=∠CEF，∠∠ADE=∠ECF，∠∠B=∠ECF；（2）∠由（1）可知∠B=∠ECF=55°，∠∠CED=∠F+∠ECF=90°+55°=145°．94．如图，△ABC的角平分线相交于P，△A=m°,（1）若△A=40°,求△BPC 的度数；（2）设△ABC 的外角△CBD 、△BCE 的平分线相交于Q ， 且△A=m °，求△BQC 的度数（3）设△ABC 的外角△CBD 、△BCE 的n 等分线相交于R ，且△A=m °，△CBR=1n △CBD ，△BCR=1n△BCE ，求△BRC 的度数【答案】（1）110°（2）90°+12m ° （3）1n n ×180°-mn（此结果形式可以不同，只要正确皆可） 【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可； （2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可． 试题解析：解：（1）∠∠A =40°，∠∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∠BP 、CP 是角平分线，∠∠ABC =2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∠∠PBC +∠PCB =12（∠ABC +∠ACB ）==12×140°=70°，∠∠P =180°－70°=110°．（2）∠∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∠∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∠BQ ，CQ 是角平分线，∠∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∠∠QBC +∠BCQ =12（∠DBC +∠ECB ）=12（m +180°）=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°－（∠QBC +∠BCQ ）=180°-（90°+12m ）=90°-12m ．（3）由（2）得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n（∠DBC +∠ECB ）=1n （m +180°）．在△BCR 中，∠R =180°－（∠RBC +∠BCR ）=180°-1n （m +180°）=1180n mn n-⨯- ． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．95．认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题．探究1：如图(1)在△ABC 中，O 是△ABC 与△ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现△BOC=90°+12△A，理由如下：△BO和CO分别是△ABC和△ACB的角平分线，△△1=12△ABC，△2=12△ACB．△△1+△2=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=90°-12△A．△△BOC=180°-（△1+△2）=180°-（90°-12△A）=90°+12△A探究2：如图(2)中，O是△ABC与外角△ACD的平分线BO和CO的交点，试分析△BOC与△A有怎样的关系？请说明理由．【答案】∠BOC=12∠A.【解析】试题分析：根据提供的信息，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；试题解析：解：结论：∠BOC=12∠A．理由如下：∠BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∠∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD．又∠∠ACD是∠ABC的一外角，∠∠ACD=∠A+∠ABC，∠∠2=1 2（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1．∠∠2是∠BOC的一外角，∠∠BOC=∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A．点睛：本题考查了三角形外角的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．96．已知直线12l l//，直线3l与1l、2l分别交于C、D两点，点P是直线3l上的一动点，（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【答案】（1）∠3+∠1=∠2成立．（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2．【解析】试题分析：（1）∠3+∠1=∠2成立，理由如下：过点P作PE∥1l，利用两直线平行内错角相等得到1AEP ∠=∠， 根据1l ∥2l ，得到PE ∥2l ，再利用两直线平行内错角相等，根据2BPE APE ∠+∠=∠，等量代换即可得证；（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2，理由为：过P 作PE ∥1l ，同理得到3BPE ∠=∠， 根据2BPE APE ∠-∠=∠， 等量代换即可得证；试题解析：(1)∠3+∠1=∠2成立，理由如下： 过点P 作PE ∥l 1， ∴∠1=∠AEP ， ∵l 1∥l 2， ∴PE ∥l 2， ∴∠3=∠BPE ， ∵∠BPE +∠APE =∠2， ∴∠3+∠1=∠2；(2)∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3−∠1=∠2，理由为： 过P 作PE ∥l 1， ∴∠1=∠APE ， ∵l 1∥l 2， ∴PE ∥l 2， ∴∠3=∠BPE ， ∵∠BPE −∠APE =∠2， ∴∠3−∠1=∠2.97．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．【答案】见解析【解析】3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°；（2）图（1）中的点A向下移到BE上时（如图（2））五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；试题分析：通过作辅助线，并利用三角形内角和定理及三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）求解．试题解析：解：（1）连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图1：∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°．（2）无变化．理由如下：连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图2：∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠CAD+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BD C=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°．故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°没有变化．98．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数．【答案】∠E＝45°.【解析】试题分析：设∠ABC=x°，再根据三角形外角的性质得出∠BAD=∠B+∠C=90°+x°，根据AF平分外角∠BAD可知∠DAF=12∠BAD=12（90°+x°），根据对顶角的性质得出∠EAG=∠DAF=12（90°+x°），根据BE平分∠ABC可知∠CBE=12∠ABC=12x°，故可得出∠AGE的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．试题解析：解：设∠ABC=x°．∵∠BAD是△ABC的外角，∠C=90°，∴∠BAD=∠ABC+∠C=90°+x°．∵AF平分外角∠BAD，∴∠DAF=12∠BAD=1 2（90°+x°），∴∠EAG=∠DAF=12（90°+x°）．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=12x°，∴∠AGE=∠BGC=90°﹣∠CBE=90°﹣12x°．∵∠E+∠EAG+∠AGE=180°，即∠E+12（90°+x°）+90°﹣12x°=180°，解得：∠E=45°．点睛：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．99．如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D＝46°，求∠BCD的度数．【答案】见解析【解析】试题分析：根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．试题解析：解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠D=46°，∴∠A=44°．∵∠BCD=∠A+∠B，∴∠BCD=44°+28°=72°．100．小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣.她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角.小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①尝试探究：（1）如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？解：数量关系：∠l+∠2=180°+∠A理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)∵三角形的内角和为180°∴∠3+∠4=180°-∠A∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题.②初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=________；（3）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P 与∠A有何数量关系？________________.（直接填答案）③拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.）【答案】（2）50°（3）∠A+2∠P=180°（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°，理由见解析.【解析】试题分析：（2）根据（1）即可得出结论；（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，再由三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论；（4）延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知：∠Q+2∠P=180°．由（1）可知：∠1+∠2=180°+∠Q，整理即可得出结论．试题解析：解：（2）由（1）知：∠l+∠2=180°+∠C，∠∠2－∠C=180°－∠1=180°－130°=50°；（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A．∠∠P=180°－(∠PBC+∠PCB)=180°－12（∠DBC+∠ECB）=180°－12（180°+∠A）=90°－12∠A，∠∠A+2∠P=180°；（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°．理由如下：如图，延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知，∠Q+2∠P=180°．由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠Q，∠(∠1+∠2-180°)+2∠P=180°，∠∠1+∠2+2∠P=360°．点睛：本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质．熟记有关定理结论是解答本题的关键．。
人教版八年级数学上册习题：11.三角形的外角习题
三角形的外角（习题）例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBA2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．DC EA BFF BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70°（_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________） ∵BD 平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________（_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）第4题图D CABFEA7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．8.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________E DCBA________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。
完整版三角形的外角练习题及标准答案
7. 2. 2三角形的外角基础过关作业1若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是______________ 三角形.2. \ ABC中，若/ C-Z B=Z人，则厶ABC的外角中最小的角是________ （填“锐角”、“直角” 或“钝角”）.3. 如图1, x= ______ .4. 如图2,A ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E,连EF, 则Z 1,Z 2,Z 3的大小关系是___________________ .5. 如图3,在厶ABC中，AE是角平分线，且Z B=52°,Z C=78°，求Z AEB的度数.6. 如图，在△ ABC中，Z A=60°, BD CE分别是AC AB上的高，H是BD ?CE的交点，求ZBHC的度数.综合创新作业7. 如图所示，在厶ABC中, AB=ACAD=AE Z BAD=60 , 贝UZEDC= ________& 一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定Z A 应等于90°,ZB Z D应分别是30°和20°, 李叔叔量得Z BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？AB D(2)如图 7-2-2-7 (2),求出/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的度数.10. ________________________________________ (易错题)三角形的三个外角中最多有 个锐角. 培优作业11. (探究题)(1)如图，BD CD 分别是△ ABC 的两个外角Z CBE Z BCF?勺平分线，试探索 Z BDC 与Z A 之间的数量关系.(2)如图，BD %A ABC 的角平分线，ABC 的外角Z ACE 的平分线，它们相交于点 D, 试探索Z BDC 与Z A 之间的数量关系.ADB12. （趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接•如图所示•城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：？能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现•该怎样走才好呢？？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.？?好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707〜1783）.欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在.你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案：1. 钝角2. 直角点拨：•••/ C- / B=Z A,「./ C=Z A+Z B.又•••(/ A+Z B) +Z C=180°,A Z C+Z C=180°,「・Z C=90°, •••△ABC的外角中最小的角是直角.3. 60 点拨：由题意知x+80=x+ (x+20).解得x=60 .4. Z 1>Z 2>Z 3点拨：T Z 1是Z 2的外角，Z 2是Z 3的外角，•••/ 1>Z 2>Z 3.5. 解：/ BAC=180 - (/ B+Z C) =180° - (52° +78 °) =50 ° .•/ AE是Z BAC的平分线，1•••Z BAE玄CAE=_ Z BAC=25 .2• Z AEB玄CAE+Z C=25° +78°=103°.6. 解：在厶ACE中，Z ACE=90 - Z A=90° -60 ° =30°.而Z HDC的外角，所以Z BHC Z HDC-Z ACE=90 +30° =120 ° .17. 30°点拨：设Z CAD=2a 由AB=AC知Z B=—(180° -60 ° -2a ) =60° -?a , ?2Z ADB=180 - Z B-60 ° =60° +a,由AD=AE知，Z ADE=90 -a,所以Z EDC=180 - Z ADE-Z ADB=30 .&解法1:如答图1,延长BC交AD于点E,则Z DEB Z A+Z B=90° +30° =?120°,从而Z DCB Z DEB+Z D=120° +20° =140°.若零件合格，Z DCB应等于140° .李叔叔量得Z BCD=142 ,因此可以断定该零件不合格.(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同.解法2:如答图2,连接AC并延长至E,则Z 3=Z 1+Z D,Z 4=Z 2+Z B,因此Z DCB=/ 1+Z D+Z 2+Z B=140°.以下同方法1.解法3:如答图3,过点C作EF// AB,交AD于E,则Z DEC=90 , Z FCB=Z B=?30°,所以Z DCF=/ D+Z DEC=110 ,从而Z DCB=/ DCF+Z FCB=140 .以下同方法 1 .说明：也可以过点C作AD的平行线.点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.9. 解：(1)由图知Z A+Z F=Z OQA Z B+Z C=Z QPC Z D+Z E=Z EOP而Z OQA ?Z QPC Z EO^A OPQ勺三个外角.•Z OQA Z QPC Z EOP=360 .•Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=Z OQA Z QPC Z EOP=360 .(2) 360° 点拨：方法同(1).10. 1点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3.111. 解：(1)z BDC=90 - _ / A.2理由：/ ABC+Z ACB=180 - / A./ EBC Z FCB=( 180°- Z ABC + ( 180°- Z ACB =360°- (Z ABC+Z ACB =180°+Z A. ••• BD CD 分别为Z EBC Z FCB的平分线，1 1•••Z CBD J Z EBC Z BCD J Z FCB.2 21 1•Z CBD-Z BCDd (Z EBC+Z FCB =_ x( 180°+Z A)2 21=90 °+ —Z A.21 1在^ BDC中, Z BDC=180 - (Z CBD-Z BCD =180°- (90°+—Z A) =90°- — Z A.2 21(2)Z BDC」Z A.2理由：T Z ACE是△ ABC的外角，•Z ACE Z A+Z ABC•/ CD是Z ACE的平分线，BD是Z ABC的平分线，1 1 1 1•Z DCEd Z ACE—Z A+—Z ABC Z DBA Z ABC2 2 2 2T Z DCE是△ BCD的外角，1 1 1 1•Z BDC Z DCE-Z DBA Z A+ —Z ABC-—Z ABC—Z A.2 2 2 212. 解：如图，设球员接球时位于点C,他尽力向球门冲近到D,此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中.理由说明如下：延长CD到E,则Z ADE Z ACE Z BDE>Z BCE• Z ADE+Z BDEN ACE+Z BCE 即Z ADB>Z ACB点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题.数学世界答案：欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题. 这个图形显然无法一笔画出，也就是说，？要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的.AD。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角习题(含答案) (56)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，一艘轮船按箭头所示方向从A开始行驶，C处有一灯塔．(1)当轮船从点A行驶到点B时，ACB∠的度数是多少?(2)当轮船行驶到距离灯塔的最近点时，请画出此时轮船的位置点D，并求∠的度数．(不必尺规作图)出ACD【答案】（1）40︒；（2）图见解析，60︒【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质，可以求得∠C；（2）)过点C作直线AB的垂线，垂足为D，点D就为航线上到灯塔的距离∠．最近的点；根据直角三角形两锐角互余，即可求出ACD【详解】解：(1) 由三角形的外角性质可知：703040ACB︒︒︒∠=-=(2)过点C作直线AB的垂线，垂足为D，点D就为航线上到灯塔的距离最近的点90,60CD AB A ACD ACD ︒︒⊥∴∠+∠=∴∠=，.【点睛】本题考查了三角形外角定理，直角三角形两锐角互余，垂线段最短等知识点，关键要熟记相关定理．52．已知：AD ∥BC ，点P 为直线AB 上一动点，点M 在线段BC 上，连接MP ，=BAD α，=APM β，PMC γ．（1）如图1，当点P 在线段AB 上时，若MP AB ⊥，α=150°，则γ=________°；（2）如图2，当点P 在AB 的延长线上时，写出α，β与γ之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P 在BA 的延长线上时，请画出图形，直接写出α，β与γ之间的数量关系．【答案】（1）120°；（2） =γαβ，证明见解析；（3）图见解析，180.γαβ【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B ，然后利用三角形的外角的性质求出γ.（2）过点N 作PN ∥AD ，根据两直线平行，内错角相等，因为AD ∥BC ，所以PN ∥BC ，两条直线平行内错角相等，即可得解.（3）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B ，然后然后利用三角形的外角的性质求列式计算即可得解．【详解】（1）∵AD ∥BC ，α=150°∴180BAD B ∠+∠=︒∴18030B α∠=︒-=︒∵MP ⊥AB∴∠APM=90︒∴30120γβ=+︒=︒故答案：120︒（2）=γαβ证明：如图所示，过点P 作PN ∥AD∴.APN BAD α∵AD ∥BC∴PN ∥BC∴MPN γ∴MPN APN APM αβ即：=γαβ故答案：=γαβ（3）∵AD ∥BC∴180B α∠=︒-∵∠PMC=∠B+∠APM∴180γαβ=︒-+故答案：180γαβ=︒-+【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质.53．学习了平行线后，我们知道，通过添加平行线，可以得到一些相等的角．（1）如图1，在三角形ABC 中，D 是BC 延长线上一点，过点A 作AE ∥BC ，则可以得到哪些相等的角？∠ACD 与∠BAC 、∠B 三者之间有和数量关系？（直接回答结论，不写理由）（2）如图2，若BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACE ，请你通过添加平行线的方法说明∠D ＝12∠A 的理由． （3）如图3，设BP 平分∠ABE ，CP 平分∠ACE ．若∠A ＝70°，∠E ＝20°，则∠BPC 的度数是 （直接填写结果）【答案】（1）∠EAB ＝∠B ，∠ACD ＝∠EAC ，∠ACD ＝∠BAC +∠B ；（2）见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAB＝∠B，∠ACD＝∠EAC，由三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACE和∠DCE，再根据角平分线的定义表示出∠DBC和∠DCE，然后整理得到∠D＝1 2∠A；（3）根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠PBE，∠ACP＝∠PCE，设∠ABP＝∠PBE＝α，∠EBC＝β，然后根据∠ACP＝∠PCE列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵AE∵BC，∵∵EAB＝∵B，∵ACD＝∵EAC，由三角形的外角的性质可知，∵ACD＝∵BAC+∵B；（2）解：由三角形外角性质，∵ACE＝∵A+∵ABC，∵DCE＝∵DBC+∵D，∵BD、CD分别平分∵ABC和∵ACE，∵∵DBC＝12∵ABC，∵DCE＝12∵ACE，∵12∵A+12∵ABC＝12∵ABC+∵D，∵∵D＝12∵A；（3）∵BP平分∵ABE，∵∵ABP＝∵PBE，∵CP平分∵ACE，∵∵ACP＝∵PCE，设∵ABP＝∵PBE＝α，∵EBC＝β，∵∵DCE＝20°+β，∵PCE＝∵P+α+β，∵ACD＝2α+β+70°，∵∵P +α+β﹣（20°+β）＝2α+β+70°﹣[∵P +α+β﹣（20°+β）]，∵∵BPC ＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并整理得到∠D ＝12∠A 是解题的关键．54．如图，//AB CD ACD ∠,平分线CE 交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，连接EF ，且DCE CED ∠=∠，BEF CEF ∠=∠．（1）求证：// AC BD ；（2）若DEF EDF ∠=∠，求CDE ∠的度数．【答案】（1）证明见详解（2）108︒【解析】【分析】（1）结合已知条件根据角平分线的性质、平行线的判定和性质进行推导即可得证结论；（2）在（1）的基础之上，可设ACE DCE CED x ∠=∠=∠=︒，根据三角形外角的性质、角的和差、邻补角的性质可列出关于x 的方程，解出x 的值后再根据三角形内角和定理即可求得答案．【详解】解：（1）证明：∵ACD ∠平分线CE 交BD 于点E∴∠=∠ACE DCE∵DCE CED ∠=∠∴ACE CED ∠=∠∴//AC BD ；（2）∵由（1）可设ACE DCE CED x ∠=∠=∠=︒∴2EDF DCE CED x ∠=∠+∠=︒∵DEF EDF ∠=∠∴2DEF EDF x ∠=∠=︒∴3CEF CED DEF x ∠=∠+∠=︒，1801802BEF DEF x ∠=︒-∠=︒-︒ ∵BEF CEF ∠=∠∴31802x x =-∴36x =︒∴36DCE CED ∠=∠=︒∴180108CDE DCE CED ∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角的和差、邻补角的性质以及利用一元一次方程解决几何问题等知识点，难度不大，认真推导即可．55．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系（1）如图①，已知AB∥CD，求证：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可过点P作PO∥AB）（2）如图②，已知AB∥CD，求证：∠B＝∠P+∠D．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）过点P作PE∵AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∵B ＝∵BPE、∵D＝∵DPE，结合角之间的关系即可得出结论；（2）过点P作PE∵CD，根据平行线的性质即可得出∵B＝∵BOD，根据平行线的性质即可得出∵BOD＝∵BPE、∵D＝∵DPE，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】（1）过点P作PE∵AB，如图1所示．∵AB∵PE，AB∵CD，AB∵PE∵CD．∵∵B＝∵BPE，∵D＝∵DPE∵∵BPD＝∵BPE+∵DPE＝∵B+∵D．（2）过点P作PE∵CD，如图2所示．∵AB∵CD，∵∵B＝∵BOD，∵PE∵CD，∵∵BOD＝∵BPE；∵D＝∵DPE∵∵BPE＝∵BPD+∵DPE＝∵BPD+∵D∵∵BOD＝∵BPD +∵D即∵B＝∵BPD +∵D．【点睛】本题考查了两条直线平行，内错角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．56．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC ＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由见解析；（2）①40°；②90°；③70°．【解析】【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∵BDF＝∵BAD+∵B，∵CDF＝∵C+∵CAD；∵∵BDC＝∵BDF+∵CDF，∴∵BDC＝∵BAD+∵B+∵C+∵CAD.∵∵BAC＝∵BAD+∵CAD；∴∵BDC＝∵BAC +∵B+∵C；（2）∵由（1）的结论易得：∵ABX+∵ACX+∵A＝∵BXC，又因为∵A＝50°，∵BXC＝90°，所以∵ABX+∵ACX＝90°﹣50°＝40°；∵由（1）的结论易得∵DBE＝∵DAE +∵ADB+∵AEB，∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∵ADB+∵AEB＝80°；∴∠DCE＝12(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°；∵由②知，∠BG1C＝110(ABD+∵ACD)+A，∵∵BG1C＝77°，∵设∵A为x°，∵∵ABD+∵ACD＝140°﹣x°，∵110(40﹣x)x＝77，∴14﹣110x+x＝77，∴x＝70，∵∵A为70°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．57．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，M，N分别是边BC上两点，∠BAM＝∠CAN，并且∠AMN＝∠MAN，求∠MAC．【答案】60°【解析】【分析】设∠BAM=x°，则∠MAN=∠BAC-2x°，再由∠MAN=∠AMN可得出∠BAC的度数，进而可得出结论．【详解】解：设∵BAM＝x°，则∵MAN＝∵BAC﹣2x°，∵∵MAN＝∵AMN＝∵B+x°＝（180°﹣∵BAC﹣∵ACB）+x°＝180°﹣2∵BAC+x°，∵∵BAC﹣2x°＝180°﹣2∵BAC+x°，∵∵BAC＝60°+x°，∵∵MAC＝∵BAC﹣∵BAM＝60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．58．已知AE∥BD，如图：（1）若∠A=70°，∠1=60°，求∠EBD的度数．（2）若∠1=∠2，∠3=∠4，求证：ED∥AC．【答案】（1）∠EBD=50°；（2）证明见详解．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠1+∠EBD=180°，代入求解即可；（2）根据平行线的性质得到∠3=∠EBD，根据三角形外角的性质和已知可推出∠1=∠DEB，即可证明ED∥AC．【详解】解：（1）∵AE∥BD，∴∠A+∠1+∠EBD=180°，∵∠A=70°，∠1=60°，∴∠EBD=50°；（2）证明：∵AE∥BD，∴∠3=∠EBD，∵∠1=∠2，∠2=∠EBD+∠BEC，∠3=∠4，∴∠1=∠DEB，∴ED∥AC．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质的应用，能正确利用定理进行推理是解此题的关键．59．（1）如图⑴，在△ABC中，∠ABC 、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC＝90°＋1∠A；2（2）如图⑵，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D＝90°－1∠A；2（3）如图⑶，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE 的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A＝2∠D。
(完整版)三角形的外角练习题及标准答案
7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。
(完整版)三角形的外角练习题及答案
7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C—∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．（1）（2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中,AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图,在△ABC中,∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、•CE的交点,求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2—6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．(1）如图7-2—2—7（1)，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2)如图7—2—2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题)三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．(探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．(2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上,足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近,说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥,将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题:•能否一次不重复地把这七座桥走遍?可是,走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案：1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1〉∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1〉∠2〉∠3．5．解：∠BAC=180°—(∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°—2a）=60°—•a，•∠ADB=180°—∠B-60°=60°+a,由AD=AE知，∠ADE=90°—a，所以∠EDC=180°-∠ADE—∠ADB=30°．8．解法1：如答图1,延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°,从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) （2） (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D,∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3,过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°,∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解:（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：(1）∠BDC=90°-12∠A．理由:∠ABC+∠ACB=180°—∠A．∠EBC+∠FCB=（180°—∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB)=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线,∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB)=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中,∠BDC=180°—（∠CBD+∠BCD）=180°—（90°+12∠A)=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC—12∠ABC=12∠A．12．解：如图,设球员接球时位于点C,他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下:延长CD到E，则∠ADE>∠ACE,∠BDE〉∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB〉∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案：欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形,于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。
初中数学专题--三角形的外角-练习含答案
11。
2。
2三角形的外角基础知识一、选择题1．（20*＊•襄阳)如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°，则∠A 等于( ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°答案：C2．（20*＊•湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形,其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°,则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°答案：A3。
设α,β，γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ，α+γ 中 ( ）A 。
有两个锐角、一个钝角B 。
有两个钝角、一个锐角C 。
至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角答案：C4。
(20＊＊ 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C ＝70°,若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于 ( ）A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°答案：B5.已知△ABC，（1）如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°+21∠A； (2）如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°—∠A；A C B12(3）如图3,若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°—21∠A ． 上述说法正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案:C6．（20*＊•漳州）将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°答案：C7。
如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是( )A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°答案：C8。
初二年级奥数三角形的外角试题及答案
初二年级奥数三角形的外角试题及答案1 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的______.1-1 如图所示,______是△ABC的一个外角.2 三角形的外角等于与______的两个内角的______.2-1 如图所示,∠A=65°,∠B=45°,则∠ACD=______.1.如图，以∠AOD为外角的三角形是______.2.若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能3.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是( )A.10°B.20°C.30°D.80°4.已知△ABC的三个内角度数之比是1∶2∶3，则三个外角对应的度数之比是______.5.求出图中的 x的值.6.如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°7.如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=______度.8.如图，在△ABC中，∠A =50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )A.85°B.80°C.75°D.70°9.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A.15°B.25°C.30°D.10°10.如图，∠α＝125°，∠1 ＝50°，则∠β的度数是______.11.如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D.若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,则∠1的度数是多少？12.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E 分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，求∠1+∠2的度数.参考答案1 外角1-1 ∠ACD2 它不相邻和2-1 110°1.△AOB和△COD2.B3.C4.5∶4∶35.由图知x+80=x+x+20.解得x=60.6.C7.808.A 9.A 10.105°11.∵∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠A,∴∠1=∠3+∠A+∠4=25°+67°+40°=132°.12.连接AA′，由图可知：∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠EAD+∠EA′D.∵∠A =75°，∠A′=75°，∴∠1+∠2=150°.。
三角形的外角(计算)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：三角形外角定理：三角形的一个外角等于__________________．问题2：已知，如图，BD∥EF，∠E=60°，∠A=70°，求∠ACD的度数．（要求：请你首先读题标注，然后走通思路，最后再设计方案，书写过程）以下是问题及答案，请对比参考:问题1：三角形外角定理：三角形的一个外角等于．答：和它不相邻的两个内角的和．问题2：已知，如图，BD∥EF，∠E=60°，∠A=70°，求∠ACD的度数．（要求：请你首先读题标注，然后走通思路，最后再设计方案，书写过程）答：解：如图∵BD∥EF（已知）∴∠ABC=∠E（两直线平行，同位角相等）∵∠E=60°（已知）∴∠ABC=60°（等量代换）∵∠ACD是△ABC的一个外角（已知）∴∠ACD=∠ABC+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=70°（已知）∴∠ACD=∠ABC+∠A=60°+70°=130°（等量代换）三角形的外角（计算）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD的度数为( )A.25°B.85°C.60°D.95°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠BOE的度数为( )A.60°B.50°C.70°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )A.110°B.115°C.120°D.145°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角4.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.110°B.100°C.95°D.120°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角5.如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，点D在BC上，DE交AB于点F，若∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数为( )A.25°B.10°C.20°D.15°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.如图，EG∥AD，EG交AB于点F，交CA的延长线于点G，若∠B=20°，∠GFA=30°，则∠ADC的度数为( )A.50°B.40°C.45°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角7.已知：如图，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，则∠D的度数为( )A.45°B.55°C.65°D.85°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角8.如图，已知∠B=∠ADB，∠3=55°，∠2=20°，则∠1的度数为( )A.35°B.10°C.30°D.15°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。
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三角形的外角（习题）
➢ 例题示范
例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．
D C
E
A B F
①读题标注 ②梳理思路
要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，
∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）
∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）
∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）
➢ 巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，
∠D =35°，则∠2=________．
2
1E F D
C
B
A
D
C E
A B
F
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，
BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．
F B
A
E
C D
α
第2题图 第3题图
3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α
的度数为（ ） A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90
4. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为
_____________．
F
E
D
C
B A
D C
E
A
B
第4题图 第5题图
5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．
6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于
点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，
∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD
（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）
∴∠ABD =_______-________
=________-________ =________
（_____________________）
第4题图
D
C
A
B
∵BD 平分∠ABC （_____________________）
∴∠ABC =2∠ABD
=_____×______ =__________ （_____________________）
∴∠C =180°-∠A -∠ABC
=180°-________-_______ =________
（_____________________）
7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交
AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．
8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，
DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．
E
D
C
B
A
F
E
D
C B A
➢思考小结
1.在证明过程中：
（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．
（2）要求一个角的度数：
①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；
②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑
____________；
③若把一个角看作三角形的内角，考虑__________________
_____________；
④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________
________________________．
2.阅读材料
欧几里得公理体系
几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．
欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．
他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．
5条公设是：
（1）从任意点到任意点作直线是可能的．
（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．
（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．
（4）所有直角彼此相等．
（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．
5条公理是：
（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．
（2）等量加等量，总量仍相等．
（3）等量减等量，余量仍相等．
（4）彼此重合的东西是相等的．
（5）整体大于部分．
其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．
欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．
【参考答案】
➢巩固练习
1.40°
2.125°
3.C
4.20°
5.20°，70°
6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和）
∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）
∴∠ABD=∠BDC-∠A
=70°-40°
=30°（等式的性质）
∵BD平分∠ABC（已知）
-40°-60°
=80°（三角形的内角和等于180°）
7.解：如图，
∵EF∥BC（已知）
∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）
∵∠E=55°（已知）
∴∠ECD=55°（等量代换）
∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）
∴∠ACD=2∠ECD
=2×55°
=110°（角平分线的定义）
∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠A=60°（已知）
∴∠B=∠ACD-∠A
=110°-60°
=50°（等式的性质）
8.解：如图，
∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两
个内角的和）
∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）
∴∠ABD=∠BDC-∠A
=60°-45°
=15°（等式的性质）
∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠ABD
=2×15°
=30°（角平分线的定义）
∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠AED=30°（等量代换）
➢思考小结
1.（1）同位、内错、同旁内．
（2）①同位角、内错角、同旁内角；
②互补，对顶角相等；
③三角形的内角和等于180°．
④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。