三角形外角定理
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？一、关键信息1、三角形外角定理的定义及表述定义：＿___________________________表述：＿___________________________2、学习三角形外角定理的目标知识层面：＿___________________________应用层面：＿___________________________3、适用的初中数学教材版本版本名称：＿___________________________对应章节：＿___________________________4、学习方法与技巧理论学习：＿___________________________实践练习：＿___________________________5、考核与评估方式日常作业：＿___________________________阶段测试：＿___________________________二、协议内容11 三角形外角定理的详细阐述三角形外角定理是初中数学中的重要知识点，它对于解决与三角形相关的角度计算和证明问题具有关键作用。
其定义为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在表述上，可以用数学语言表示为：若∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ＝∠A ＋∠B。
111 理解定理的内涵为了更好地掌握这一定理，学生需要深入理解其内涵。
外角是三角形一边的延长线与另一边所形成的角，而不相邻的两个内角是指除了与外角相邻的内角之外的另外两个内角。
通过图形的直观展示和实例分析，能够帮助学生清晰地理解外角与内角之间的关系。
112 定理的推导过程了解定理的推导过程有助于学生从本质上把握其原理。
可以通过平行线的性质、内角和定理等已有知识来推导三角形外角定理，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑推理的严谨性。
12 学习三角形外角定理的目标121 知识层面的目标学生应能够准确记忆和表述三角形外角定理的定义和表述，理解其推导过程和原理。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法证明三角形外角判定方法三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba则∠1=∠a，∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°∴∠a+∠b+∠acb=180°2、证法二:过点c作de∥ab则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°证明三角形外角判定性质三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质三角形的外角具有以下性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
什么是三角形的外角
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外角则是与三角形相关的一个重要概念。
本文将详细介绍什么是三角形的外角以及它的特性和性质。
正文内容：1.外角的定义1.1三角形的内角三角形由三条线段组成，而每个顶点都对应一个角度，称为内角。
三角形的内角之和一定为180度。
1.2外角的概念在三角形的一条边的延长线上，取一点使其与另外两条边的一条延长线上的点相连，所形成的角度称为三角形的外角。
一个三角形有三个外角，分别对应于三个顶点。
2.外角与内角的关系2.1外角与内角的关系2.2外角的性质2.2.1外角的度数三角形的外角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于三角形的内角。
当内角为直角时，外角为直角；当内角为锐角时，外角也是锐角；当内角为钝角时，外角为钝角。
2.2.2外角与三角形的顶点三角形的外角是以三角形的顶点为中心的角度，外角的度数等于不与它相邻的两个内角的度数之和。
3.外角的特性3.1外角定理外角定理是三角形的一个重要性质，表明三角形的一个外角等于它不相邻的内角之和。
即一个三角形的外角A等于不与它相邻的内角B和C之和，也就是A=B+C。
3.2外角与内角和的关系对于任意一个三角形，它的三个外角之和等于360度。
即外角A+外角B+外角C=360度。
4.外角的应用4.1利用外角求内角通过知道三角形的一个外角的度数，可以利用外角与内角的关系推导出该外角对应的内角的度数。
4.2利用外角定理求解问题根据外角定理，可以求解一些与三角形的内角和外角相关的问题，例如寻找缺失的角度或计算三角形的内角和外角之和。
5.总结三角形的外角是相对于三角形顶点的角度，在三角形中具有重要的性质和特性。
外角与内角之间存在着一定的关系，可以利用这些关系求解三角形相关的问题。
通过对外角的研究，可以更好地理解三角形的性质和特点。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理在三角形中，有一个有趣的性质：三角形的外角和等于360度。
这个性质被称为三角形的外角和定理。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角和定理，以及它的证明和应用。
1. 定义和性质：首先，让我们来定义什么是三角形的外角和。
三角形的外角是指一个三角形的两个相邻内角所对的外角。
如下图所示，对于三角形ABC，∠1，∠2和∠3是三个内角，而∠4，∠5和∠6是对应的外角。
[插入图片：三角形外角的示意图]根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度。
这意味着三角形的三个外角之和总是等于360度。
除了这个定义，三角形的外角和还有以下一些性质：- 每个外角都是相邻内角的补角。
也就是说，∠4 = 180度 - ∠1，∠5 = 180度 - ∠2，∠6 = 180度 - ∠3。
- 任意两个非相邻外角的和等于一个内角。
例如，∠4 + ∠6 = ∠2。
2. 证明：接下来，让我们来证明三角形的外角和定理。
我们可以利用一些几何原理来证明这个性质。
首先，我们将三角形的一个内角延长，形成一个平行线。
如下图所示，我们延长∠1，使之与边BC形成一条平行线段。
[插入图片：三角形外角和的证明图1]根据平行线的性质，我们可以得到：∠4 = ∠1（对应角）∠3 + ∠1 = 180度（内角和为180度）∠5（外角） = ∠3 + ∠1（因为平行线所形成的锐角与外角互补）将以上两个等式结合起来得到：∠5 = ∠4∠5 + ∠4 = 2∠4我们可以使用同样的方法延长∠2，得到：∠6 = ∠5∠6 + ∠5 = 2∠5将∠5 + ∠6的结果相加，得到：∠5 + ∠6 + ∠4 = 2∠4 + 2∠5∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5 + ∠6)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(360度) （根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度）∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度由于角度的度数是有限的，所以我们只能得到以下结论：∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度 = 360度因此，我们证明了三角形的外角和定理。
三角形外角定律
三角形外角定理
三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于18 0°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°。
三角形外角的性质
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
3、三角形的外角和为360°。
外角正弦定理
外角正弦定理外角正弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它描述了一个三角形的外角和它对应的两个内角正弦之间的关系。
这个定理在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在介绍外角正弦定理之前，我们先来了解一下什么是外角。
一个三角形有三个内角，这三个内角的和是180度。
当我们将三角形的一个内角延长成一个外角时，这个外角和与它对应的内角之和也是180度。
例如，如果一个三角形的一个内角是x度，那么它对应的外角就是180度减去x度。
那么，外角正弦定理是如何描述这个关系的呢？外角正弦定理的表达式如下：sin(A) = sin(B+C)其中，A是一个三角形的外角，B和C是它对应的两个内角。
外角正弦定理的应用非常广泛。
在解决三角形相关问题时，我们经常需要求解未知的角度或边长。
通过应用外角正弦定理，我们可以根据已知的信息来求解未知的角度或边长。
这个定理在解决实际问题时非常有用。
下面，我们通过一个具体的例子来演示一下外角正弦定理的应用。
假设我们有一个三角形ABC，已知边长AB为5，边长AC为8，角B 为30度。
我们需要求解角A和角C。
我们可以利用三角形的内角和为180度的性质来求解角A和角C。
根据已知信息，我们可以得到角A和角C的和为150度（180度减去角B的30度）。
接下来，我们可以利用外角正弦定理来求解角A和角C的正弦值。
根据外角正弦定理，我们可以得到：sin(A) = sin(B+C) = sin(150度)通过查表或计算器，我们可以得到sin(150度)的值是0.5。
因此，我们可以得到：sin(A) = 0.5接下来，我们可以通过反正弦函数来求解角A的值。
通过计算，我们可以得到角A的值是30度。
由于角A和角B的和为180度，我们可以得到角C的值是150度。
通过应用外角正弦定理，我们成功地求解出了三角形ABC的角度。
外角正弦定理的应用不仅限于求解角度，它还可以用来求解三角形的边长。
例如，如果我们已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们就可以利用外角正弦定理来求解未知的边长。
三角形的内角和外角的计算与证明技巧
三角形的内角和外角的计算与证明技巧三角形是几何学中最基础的图形，具有丰富的性质和特点。
在三角形中，内角和外角是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的计算方法和证明技巧。
一、内角和外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以定义如下角度：1.内角：三角形的内角是指该角的顶点在三角形内部，两边分别位于三角形的两侧。
三角形的内角总和是180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
2.外角：三角形的外角是指该角的顶点在三角形外部，两边分别延长到三角形的另外两边上。
三角形的外角总和是360度，即∠D+∠E+∠F=360°。
内角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形内角和公式：根据定义，三角形的内角和总和为180度。
因此，可以直接通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠A=60°，∠C=90°，那么∠B=180°-∠A-∠C=30°。
2.内角关系定理：在三角形中，存在一些内角的关系定理，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，三角形的补角定理：如果∠A和∠B是一对补角，那么它们的度数之和为90度。
三角形的余角定理：如果∠A和∠B 是一对余角，那么它们的度数之和为180度。
利用这些定理，我们可以推导出一些角度的值。
3.角平分线定理：在三角形中，角平分线把一个角平分成两个相等的角。
因此，如果我们知道一个角被角平分线平分成两个相等的角，那么我们可以通过计算其中一个角的度数来得到另外一个角的度数。
4.使用三角函数：三角函数是一个强大的工具，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，如果我们知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用正弦定理或余弦定理来计算另外两个内角的度数。
外角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形外角和公式：根据定义，三角形的外角和总和为360度。
因此，可以通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠D=120°，∠E=150°，那么∠F=360°-∠D-∠E=90°。
三角形的外角公式
三角形的外角公式
三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到一些公式，其中之一就是三角形的外角公式。
外角公式
对于任意三角形，其一个内角的外角等于其他两个内角的和。
假设三角形的三个内角分别为A、B和C，它们对应的外角分别为A'、B'和C'。
那么有以下关系成立：
A' = B + C
B' = A + C
C' = A + B
外角公式的应用非常广泛。
其中一个常见的应用是在解题中利用已知角度来计算未知角度。
例如，当我们已知一个三角形的两个内角，并且想要求解第三个内角时，可以利用外角公式来解决。
此外，外角公式也有助于我们理解三角形的性质。
通过研究外角的性质，我们可以发现以下结论：
1.三角形的三个外角之和等于360度。
2.一个内角的外角越大，另外两个内角的和越小。
在实际应用中，外角公式还可以用于证明三角形的性质。
例如，我们可以利用外角公式证明以下结论：
•等腰三角形的底角相等。
•等边三角形的三个内角均为60度。
通过深入学习和理解三角形的外角公式，我们可以更好地解决与三角形相关的问题，并且能够更准确地推导和证明三角形的性质。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段连接在一起，并形成了三个顶点和三个内角。
除了内角，我们还可以研究三角形的外角。
本文将介绍三角形的外角及其相关定理。
什么是三角形的外角？在三角形中，每个顶点的外角是指当顶点所对的两条边向外延伸时形成的角。
我们可以以三角形ABC为例，点A的外角为角BAC的补角，点B的外角为角ABC的补角，点C的外角为角BCA的补角。
那么，三角形的外角和定理是什么呢？外角和定理是指三角形的外角之和等于360度。
也就是说，对于任意一个三角形ABC，它的三个外角A、B、C的度数之和等于360度。
这一定理也可以简单地表示为∠A+∠B+∠C=360°。
为了更好地理解外角和定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=80°，∠C=100°。
我们可以计算一下这个三角形的三个外角之和。
根据外角和定理，我们有∠A'+∠B'+∠C'=360°。
由于∠A'=∠B，∠B'=∠C，∠C'=∠A，我们可以将上述等式转化为∠B+∠C+∠A=360°。
带入我们已知的角度值，即可得到80°+100°+60°=360°。
因此，我们可以知道这个三角形的三个外角之和确实等于360度，验证了外角和定理的正确性。
外角和定理的证明可以通过几何学中的角和线段的性质来推导。
首先，我们可以利用内角和定理，即三角形的内角之和等于180度。
我们可以得知三角形的一个内角与其所对的外角之和等于180度。
又因为三角形的三个内角之和也等于180度，我们可以得出三个外角之和等于三个内角之和。
即∠A+∠B+∠C=180°。
然后，我们再来考虑一个完整的圆，它的周角等于360度。
根据圆的性质，一个圆的周角等于它的圆心角之和。
初中三角形的定理
初中三角形的定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
三角形的外角和推导与证明
三角形的外角和推导与证明三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，每个角都有一个对应的外角。
本文将探讨三角形的外角特性，并推导和证明相关定理。
一、外角定义及性质三角形的外角指的是三角形内一角的补角。
例如，对于三角形ABC，若角A为内角，则角A的外角为角A'，满足角A+角A'=180度。
同理可得，角B的外角C'和角C的外角B'满足角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
由此可以得出三角形的一个基本定理：三角形的三个外角的度数之和等于180度。
这个定理可以通过角度之和的性质进行证明。
对于任意一个三角形ABC，我们可以将其扩展为一个平行四边形ABCD，其中BD是三角形的外角A'的延长线。
根据平行四边形的性质，AD与角B'相等，由此可得角A+角A'=180度。
同理可证角B+角C'=180度，角C+角B'=180度。
二、外角与内角的关系三角形的内角和外角具有一定的关系。
特别地，一个三角形的内角和其对应的外角相加等于180度。
例如，对于三角形ABC，角A的外角为角A'，则有角A+角A'=180度。
这一定理可以通过补角关系进行证明。
三、外角推导及证明1. 外角与内角的关系推导在三角形中，我们可以针对某个角的外角进行推导。
假设角A的外角为角A'，则角A和角A'的和等于180度。
由此可以推论出角A'=180度-角A。
同理可得，角B'=180度-角B，角C'=180度-角C。
2. 外角和的证明根据三角形外角和的定理，三角形的三个外角的度数之和等于180度。
我们可以通过如下的证明来验证这个定理。
假设三角形ABC的内角分别为角A、角B和角C，对应的外角分别为角A'、角B'和角C'。
我们需要证明：角A'+角B'+角C'=180度。
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。
初中三角形的定理
初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
三角形外角和定理证明
目 录
• 引言 • 基础知识 • 定理证明方法 • 具体证明过程 • 定理应用举例 • 总结与拓展
01
引言
定理介绍
三角形外角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角之和。
定理描述
在三角形ABC中，角A的外角等于角B 和角C之和，即∠A外=∠B+∠C。
定理重要性
1 2 3
第三步，通过计算得出三角形的一个外角等于相邻两个内角的和，从而证 明了三角形外角和定理。
间接证明法
01
第一步，假设三角形外角和定理不成立，即存在一 个三角形的外角和不等于相邻两个内角的和。
02
第二步，利用反证法的思想，通过逻辑推理和计算 ，找出与假设相矛盾的结论或事实。
03
第三步，根据矛盾的存在，推翻原假设，从而间接 证明了三角形外角和定理的正确性。
输标02入题
第二步，根据向量加法的性质，向量AB与向量BC的 和等于向量AC。
01
03
第四步，根据向量数量积的性质，向量AB与向量BC 的数量积等于|AB|×|BC|×cos(α+β)，由此可推出三角
形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
04
第三步，将向量AB与向量BC的夹角表示为α和β，则 三角形的外角等于α+β。
外角性质是三角形的基本性质之一，它可以 帮助我们更好地理解三角形的结构和性质。
通过利用外角性质，我们可以推导 出三角形外角和定理，即一个三角 形的三个外角之和等于360度。
03
定理证明方法
直接证明法
第一步，根据三角形外角的定义，延长三角形的一条边，与相邻的外角构 成一个新的三角形。
第二步，利用三角形内角和定理，即三角形内角和等于180度，计算新三 角形的内角和。
三角形外角的公式
三角形外角的公式三角形外角的公式是指在一个三角形中，每个内角与其相邻的外角之和等于180度。
这个公式可以用来计算三角形的外角。
在一个任意的三角形ABC中，我们可以找到三个内角A、B和C。
以内角A为例，它与相邻的外角A'之和等于180度。
同样地，内角B 与相邻的外角B'之和也等于180度，内角C与相邻的外角C'之和也等于180度。
根据三角形外角的公式，我们可以得到以下三个等式：A + A' = 180度B + B' = 180度C + C' = 180度这个公式的原理是基于三角形的性质。
在一个平面内，任意三个点可以确定一个三角形。
而在一个三角形中，内角的和等于180度。
当我们考虑三角形的外角时，可以发现每个外角都是由与之相邻的内角形成的。
为了更好地理解三角形外角的公式，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个三角形ABC，其中内角A=40度，内角B=60度，内角C=80度。
根据三角形外角的公式，我们可以计算出相应的外角。
我们计算A'，也就是角A的相邻外角。
由于A + A' = 180度，我们可以得到A' = 180度 - A = 180度 - 40度 = 140度。
接下来，我们计算B'，也就是角B的相邻外角。
同样地，由于B + B' = 180度，我们可以得到B' = 180度 - B = 180度 - 60度 = 120度。
我们计算C'，也就是角C的相邻外角。
同样地，由于C + C' = 180度，我们可以得到C' = 180度 - C = 180度 - 80度 = 100度。
因此，在这个三角形中，角A的相邻外角A'等于140度，角B的相邻外角B'等于120度，角C的相邻外角C'等于100度。
三角形外角的公式在几何学和三角学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算三角形中的各个角度，从而解决与三角形相关的问题。
三角形的外角定理(一)
三角形的外角定理（一）引言概述：在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而研究三角形的性质和定理有助于我们更好地理解和解决几何问题。
本文将重点介绍三角形的外角定理，并从不同的角度探讨其相关概念。
正文：一、外角的定义与性质：1. 外角的定义：三角形的外角是指不在三角形内部的角，位于两个相邻内角的补角。
2. 外角与内角的关系：外角与其相邻的内角之和等于180°。
3. 外角和其他角度的关系：外角与该三角形的其他内角和两个内角的补角之间有特定的数学关系。
4. 外角和三角形的边的关系：外角与其对边的关系可以用于推导和证明三角形的其他定理。
5. 外角的运用：外角定理在解决几何问题和证明中起着重要的作用，可以帮助我们解决各种与三角形相关的数学问题。
二、外角定理的证明与推导：1. 外角定理的几何证明：通过几何方法来证明外角定理的正确性和有效性。
2. 外角定理的代数推导：通过代数方法来推导外角定理，利用三角函数和三角比值的关系来解释外角定理。
3. 外角定理的应用：探讨外角定理在实际应用中的具体用途，如测量和计算三角形的角度，以及在建筑、工程和导航等领域的应用。
三、外角定理的相关定理和性质：1. 内角定理：内角和外角的关系，以及内角之和与180°的关系。
2. 外角的性质：外角的大小和性质随着三角形形状的变化而变化。
3. 内外角的比较：比较和分析内角和外角的特点和性质，探讨它们在三角形中的作用和关系。
4. 外角的刻画：用数学方式刻画外角的特点和性质，如利用三角形的边长和角度来计算外角的值。
5. 外角定理的扩展：外角定理的推广和扩展，以及相关的数学推论和拓展。
总结：本文重点介绍了三角形的外角定理及其相关概念。
我们深入探讨了外角的定义与性质，证明和推导了外角定理，并介绍了它的应用和相关的定理和性质。
通过学习和理解三角形的外角定理，我们能够更好地解决几何问题，提升数学思维和应用能力。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理在几何学中，三角形是最基本的图形之一，是由三个线段相连而构成的多边形。
三角形具有许多独特的性质和定理，其中外角和定理是三角形中一个重要的概念。
定义：在三角形ABC中，将角A的外角点命名为D，角B的外角点命名为E，角C的外角点命名为F。
则我们可以得到以下结论，即外角和定理：定理：三角形的外角和等于360度。
证明：我们以角A的外角点D为例进行证明。
首先，我们可以得出角D是由线段AB和线段AC所围成的内角，而角A是由线段BC和线段AC所围成的内角。
根据角的定义，我们知道内角的和等于180度，即角A+角D=180度。
然后，我们可以推导出角D和角B之间的关系。
根据三角形内角之和定理，我们知道三角形ABC的内角之和等于180度，即角A+角B+角C=180度。
由此可得，角B=180度-角A-角C。
接下来，我们将角B的度数带入到角D和角B的关系等式中，即角D+角B=角D+180度-角A-角C=180度。
我们可以得到，角D=360度-角A-角C。
根据上述推导，我们可以得出结论：三角形的外角和等于360度。
同样的推理也可以用于角E和角F。
因此，我们可以得出三角形的外角和定理。
应用：外角和定理在解决各种与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过了解外角和的特性，我们可以更好地理解和计算三角形的角度关系。
例如，当我们已知一个三角形的两个内角的度数时，我们可以通过外角和定理计算出第三个内角的度数。
如果我们已知两个内角分别为60度和80度，则第三个内角的度数为：180度 - 60度 - 80度 = 40度。
此外，该定理还可以应用于解决三角形边长和角度的问题，以及解决与多边形的角度关系有关的题目。
总结：三角形的外角和定理是三角形的基本性质之一。
它指出了三角形的外角之和等于360度。
通过运用这个定理，我们可以更好地理解三角形的角度关系，并解决与三角形相关的各种几何问题。
值得注意的是，在使用该定理时需要注意计算角度时的单位一致性，并且我们可以根据已知条件灵活应用该定理来解决具体问题。
三角形的外角定理
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
编辑ppt
AD
F C
B 编辑E ppt
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
编辑ppt
B
D C
生活应用
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外编角辑pp和t 等于360°
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
编辑ppt
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和 编辑ppt
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
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北师大版八上第七章第五节
《三角形内角和定理2》
教学设计
郑州市第七十五中学郑红莉
《三角形内角和定理2》教学设计
郑州市第七十五中学郑红莉
一课标要求
掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。
二基于对教材的理解
本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。
三基于对考试要求的分析
能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。
四基于对学情的分析
1、学生已有知识基础。
学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。
2、已有的活动经验
具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象
的材料来理解相关知识和概念。
3、学习本节可能出现的难点
学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。
4、学生座次表
AB层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用，CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。
五学习目标
1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角；
2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程；
3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题
【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用
【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几
何计算问题，特别是证明两个角的不等关系。
六学习过程
（一）复习巩固，引入外角
活动1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路
问题①三角形内角和定理？
问题②在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？
活动2：引入外角
视频引入，为了测量△ABC中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边BC延长得到∠ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。
引入外角定义。
针对性练习1：
△ADC的外角是（）
A.∠ABC
B.∠ACD
C.∠BDC
D.∠BCD 【学生活动】能画出△ABC的其它外角，并说明其特点每一个三角形有几个外角？每一个顶点处相对应的外角有几个？这些外角中有几个外角相等？（所有同学能独立完成，D层同学可以借助同桌帮忙完成）【设计意图】通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。
（二） 新课探究，交流解惑 活动3：三角形外角与内角关系
1.问题 ：猜想∠1与其他各角角有什么关系？
预设：80%学生可以说出∠1与∠4，∠1与∠2，∠3的等量关系，但是不等关系可能猜想不到，一方面可以看看预习的效果，一方面可以在上课的时候适当的引导。
2.问题④：你能推理证明你的猜想吗？ ∠1+∠4=180°
∠1=∠2+∠3 预设：学生可能通过“同角的补角相等”得到证明，如若有作
辅助线的方法要及时给与鼓励
∠1>∠2,∠1>∠3
3.及时小结：外角与相邻的内角的关系
外角与不相邻的两个内角的数量关系 外角与任何一个不相邻的内角的数量关系 针对性练习2：
1.如图:△ABC 中，D 是BC 延长线上一点
(1)则∠ ＞∠ ， ∠ ＞∠
(2)若∠A=35°, ∠DCA=80°，则 ∠ACB=
°∠B= 2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
【学生活动】会描述自己的猜想并进行口述的推理证明，CD层能叙述推论的内容，并能完成针对练习1，AB层同学在此基础上能正确叙述出两个推论的证明思路。
【设计意图】推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。
活动4：推论的概念
问题⑤：刚刚我们证明出的结论是通过三角形内角和定理直接推导出的两个新定理，那么它又叫什么呢？
活动5：三角形外角有关定理的应用
1、例题解析：
已知：如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 问题⑥证明两条线段平行的一般方法有哪些？
问题⑦认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？
问题⑧请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换一种方法试试。
【设计意图】能在读懂例题思路的基础上进行方法的修改，培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写，ABC层同学能进行方法的修改，D层同学能看懂例题。
2.小组互相讨论，说一说其推理过程，看看哪组最快，方法最多？（奖励小组3积分）
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
求证：∠BPC ＞∠A
预设：会有三种方法延长BP交AC一点，延长CP交AB于一点，前两种BC层同学能描述，连接AP延长AP交BC于一点，A层同学能描述。
3.根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间等量关系的结论吗？并说明理由。
预设：从刚刚的不等关系到找到相应的数量关系，学生可能会无从下手，通过小组讨论或者给出∠BPC与∠ABP、∠A、∠ACP确定三角关系
【设计意图】学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。
让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习, （三）课堂小结，分享收获
请以同桌为单位总结本节课你获得了哪些收获？还有哪些疑问？可以围绕知识点，或者易错点或者数学思想方法等角度展开。
【设计意图】通过学生对一节课的学习进行梳理，有利于学生理清框架，在知识，技能，数学思想方面获得提升，同时有利于培养学生的表达能力。
（四）巩固练习，深化理解
活动6：独立完成，教师给出答案，小组交流释疑。
1.求下列各图中∠1的度数。
（目标3）
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为____.（目标1、3）（涉及分类讨论）补救：提醒一个外角指的是顶角的外角还是底角的外角。
3.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________. （目标3）
4.已知：在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC 到D,连接DE.求证: ∠1>∠2.（目标2、3）
【设计意图】依据学习目标设置必要的练习，让学生通过练习，用所学知识去解决问题，提升运用能力，再一次巩固深化对概念的理解和把握。
七作业设计
1、AB层 p183的T2
2、CD层 p183的T3/4
【设计意图】学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解，通过运用所学知识解决习题，进一步强化对定理的理解，同时规范自己的证明步骤。
八 板书设计
7.5三角形内角和定理（2）
---关注三角形外角
1、三角形外角
如图所示∠1是△ABC 的外角
2.三角形的外角与各个内角的关系
∠1+∠4=180° ∠1=∠2+∠3 ∠1>∠2,∠1>∠3
如何证明？
3.推论
4.三角形内角和定理的推论应用 （1）例题
（2）
九 教学反思
本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。
其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。
另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。
但在推论应用的环节，增加的
一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。
推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。