反比例函数对称性

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初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟

反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。

而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。

反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。

增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。

反比例函数对称中心公式

反比例函数对称中心公式让我们来了解什么是对称中心。

对称中心是指函数图像关于某个点对称时，该点即为对称中心。

对称中心具有特殊的性质，即对称中心两侧的点关于对称中心的距离相等。

在反比例函数中，对称中心即为函数图像的中心点。

我们来推导一下反比例函数对称中心的公式。

假设对称中心的横坐标为h，纵坐标为k。

由对称性可知，对于函数图像上的任意一点(x, y)，其关于对称中心的对称点坐标为(2h-x, 2k-y)。

根据对称性质，这两点之间的距离应相等，即有：√[(x-2h)^2 + (y-2k)^2] = √[(x-h)^2 + (y-k)^2]进一步化简得到：(x-2h)^2 + (y-2k)^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2展开并整理得到：4h^2 + 4k^2 - 4hx - 4ky = h^2 + k^2 - 2hx - 2ky化简后可得：3h^2 + 3k^2 = 2hx + 2ky由于对称中心的纵坐标k是常数，所以上式可进一步化简为：3h^2 = 2hx化简后可得：h = 2x/3这个公式即为反比例函数的对称中心公式。

通过这个公式，我们可以根据给定的横坐标x，计算出对称中心的横坐标h。

接下来，让我们通过一个例子来说明如何使用反比例函数对称中心公式。

假设我们有一个反比例函数y=5/x，我们要求该函数的对称中心。

根据对称中心公式，我们可以计算出：h = 2x/3代入反比例函数的横坐标x=6，可得：h = 2*6/3 = 4因此，反比例函数y=5/x的对称中心为(4, k)。

通过这个例子，我们可以看到对称中心公式的实际应用。

通过计算对称中心，我们可以确定反比例函数图像的中心点，从而更好地理解和分析该函数的性质。

总结起来，反比例函数的对称中心公式为h = 2x/3。

这个公式允许我们计算出反比例函数的对称中心，进而更好地理解和分析反比例函数的性质。

对称中心在函数图像的对称性研究中起到重要的作用，通过对称中心的计算，我们可以更好地理解函数的性质和特点。

专题反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)

专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。

实际问题与反比例函数

实际问题与反比例函数知识点一：反比例函数的图象应用知识要点1.反比例函数图象的平移：（1（22.反比例函数图象的对称性：典例分析例1、反比例函数的图象经过点)32,3(-M ，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 _________ .例2、若将反比例函数xky =的图象绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则反比例函数的解析式为__________.巩固练习：1.反比例函数的图象经过点)32,6(-M ，将其图象向右平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为______ .2.已知反比例函数xky =的图象经过点A （-2，3），将它绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则旋转后的反比例函数的解析式为__________.知识点二：反比例函数的应用知识要点1.方式方法：把实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，运用数学知识解决实际问题。

2.常见题型：利用反比例函数求具体问题中的值，解决确定反比例函数中常数k 值的实际问题。

典例分析题型一：反比例函数的实际应用例1、京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （k m /h ）之间的函数关系式为？例2、若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是（）例3、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？巩固练习：1.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图像是（）A ．B ．C ．D ．2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（）(第2题图) A ．不大于3m 3524 B ．不小于3m 3524 C ．不大于3m 3724D ．不小于3m 37243．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y （m ）是面条的横截面积S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y （m ）与S （mm 2）的函数关系式；⑵求当面条的横截面积是1.6 mm 2时，面条的总长度是多少米？4.正在新建中的饿某会议厅的地面约5002m ，现要铺贴地板砖. （1）所需地板砖的块数n 与每块地板砖的面积S 有怎样的函数关系？（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为80×802cm ，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？5.一场暴雨过后，一洼地存雨水20m 3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a m 3/min ，且排水时间为 5～10min（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围；（2）当排水量为3m 3/min 时，排水的时间需要多长？（3）当排水时间4.5分钟时，每分钟排水量多少？题型二：反比例函数与一次函数的交点问题例1、如图，一次函数y =kx +5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y =-8x的图象交于A (-2,b )，B 两点. (1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m (m >0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A (-2,b )在y =-8x上， ∴-2b =-8，b =4.∴A (-2,4). ∵A (-2,4)在y =kx +5上， ∴k ＝12， ∴一次函数为y ＝12x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y =12x +5-m ，由题意，得15.82y y x m x=-=+⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，整理得12x 2+(5-m )x +8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m )2-4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.巩固练习：1.如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（-1，2）．⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点D 的坐标；⑶ 利用图象直接写出当x 在什么范围内取值时，12y y >．2.反比例函数中y =5x-，当x <2时，y 的取值范围是；当y ≥-1时，x 的取值范围是 .3.一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x 的图象如图，则关于x 的方程kx+b =2x的解为( ) xyD CBAOA . x l =1，x 2=2B . x l =-2，x 2=-1C . x l =1，x 2=-2D . x l =2，x 2=-题型三：反比例函数求面积类问题例2、如图，点A 、B 在反比例函数ky x的图象上， A 、B 两点的横坐标分别为a 2a （a ＞0），AC ⊥x 轴于点C ，且ΔAOC 的面积为2． ⑴求该反比例函数的解析式；⑵若点（-a ，y 1），（-2a ，y 2）在该反比例函数的图象上，试比较y 1 与y 2的大小；⑶求ΔAOB 的面积．例3、如图，一次函数y =-x +2的图象与反比例函数y =-3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称. (1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积.巩固练习：1.如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y =kx在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.2.如图，在直角坐标系xOy 中，直线y =mx 与双曲线y =nx相交于A (-1，a )、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m 、n 的值； (2)求直线AC 的解析式.课后作业1．如图1，一次函数y x b =+与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，若已知一个交点为A （2，1），则另一个交点B 的坐标为（）图1A . （2，－1）B .（－2，－1）C . （－1，－2）D . （1，2）2．点P 为反比例函数图象上一点，如图2，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为 __________3.如图3，利用函数图象解不等式xx 1<，则不等式的解集为______________4．不解方程，利用函数的图象判断方程02=-x x的解的个数为_____________ 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A (1，0)，与反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象相交于点B (2，1). (1)求m 的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x >0时，不等式kx +b >mx的解集.6.如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象过点P (-32，0)，且与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象相交于点A (-2,1)和点B . (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？7.已知一次函数y =kx -6的图象与反比例函数y =-2kx的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2. (1)求k 的值和点A 的坐标； (2)判断点B 的象限，并说明理由.。

初中中考专题-巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．一、求对称坐标例1（2009•乌鲁木齐）如图，正比例函数y=mx与反比例函数y=（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（）A、（﹣2，﹣4）B、（﹣2，﹣1）C、（﹣1，﹣2）D、（﹣4，﹣2）考点：反比例函数图象的对称性。

分析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标．解答：解：∵正比例函数y=mx与反比例函数y=的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选C．点评：本题考查了反比例函数图象的对称性．函数知识的考查是每年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多积累规律．练习1、（2009•贵阳）已知正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（）A、（1，﹣2）B、（﹣1，2）C、（﹣1，﹣2）D、（2，1）考点：反比例函数图象的对称性。

分析：解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．解答：解：由已知可得，解这个方程组得，x1=1，x2=﹣1，则得y1=2，y2=﹣2，则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2），因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选C．练习2.（2006•威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y=（k≠0）的图象分别交于A，B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（）A、（a，b）B、（b，a）C、（﹣b，﹣a）D、（﹣a，﹣b）考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标．解答：解：根据图象，A、B两点关于原点对称．A点的坐标为（a，b），则B点坐标为（﹣a，﹣b）．故选D．点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点．练习3、(2006•贵港）已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是（）A、（﹣1，﹣3）B、（﹣3，﹣1）C、（﹣1，﹣2）D、（﹣2，﹣3）考点：反比例函数图象的对称性。

反比例函数图像的对称性

数学实验：反比例函数图像的对称性教学背景：《反比例函数》是苏科版数学八年级下学期的重要内容之一，对于反比例函数图像对称性的学习，学生往往局限于初步的感性认识，对称性结论的了解，缺乏推理证明和深入的思考，一方面是教材中没有对应的教学内容，可以不花过多精力学习；另一方面证明有一定的难度，需要一定的教学时间，所以教学时往往是一带而过。

这就导致学生对反比例函数图像的对称性只能停留在了解的层面上，遇到问题很难与对称性相结合，快速简便的解决问题。

数学实验的意义：数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。

数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。

借助于计算机的技术和数学软件包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。

教学目标：借助于透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观。

教学重点难点：借助于几何画板软件和平面直角坐标系内对称点的坐标的特点证明反比例函数图像的对称性。

教学用具：透明纸片、大头针（或图钉）、剪刀、几何画板软件的多媒体教学一体机、苏科版八年级数学《实验手册》.教学过程：1.提出问题：反比例函数图像具有对称性吗？2.数学实验：苏科版八年级数学《实验手册》P39（1）验证反比例函数图像的中心对称图形；（2）验证反比例函数图像是轴对称图形.3.几何画板验证中心对称性：4.推理证明：（1）为什么反比例函数的图像是中心对称图形？（2）为什么反比例函数的图像是轴对称图形？5.结论：反比例函数既是中心对称图形，又是中心对称图形.6.实验感受：遇到问题时，要敢于提出问题，经历大胆猜想，操作验证，理论证明等探索过程，最终解决问题.7.典型应用例题1：求点的坐标如图，直线与双曲线的一个交点A是（3，2），则它们的另一个交点B的坐标是.例题2：求面积如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B为圆心紧挨着x轴画圆，点A的坐标为（2，1）,求图中两个阴影部分面积的和是.例题3：代数式求值如图，直线y=kx(k＞0)与双曲线y=(2/x)交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x[1],y[1]),B(x[2],y[2]),则x[1]y[2]+x[2]y[1]的值.【点评：反比例函数图像中心对称性的应用】延伸拓展：如图，已知直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点A、B，与双曲线y=(k/x)(k＜0)交于C、D两点，且AB=2CD,求△COD的面积.【辅助线】【点评：反比例函数图像轴对称性的应用】。

验证反比例函数图像的对称性

验证反比例函数图像的对称性
实验目的：
借助透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观.
实验准备：
透明纸片，大头针（或图钉或圆规），剪刀.
活动一、验证反比例函数图像是中心对称图形.
（1）利用透明纸片验证.
利用实验手册附录9中的透明纸
当反比例函数在一三象限时：
将P绕O旋转180°得到P'.
几何证明：板书展示（略）
给学生展示改变P 的情况，体现所有点都满足. 同理，P＜0时上述结论依然成立.
活动二、验证反比例函数图像是轴对称图形.
当反比例函数在一三象限时：
验证P和P' '关于O中心对称，验证P和P '关于y x
中心对称. 几何证明：板书展示（略）
同理，当反比例函数过二四象限时依然成立.
结论：反比例函数图像既是中心对称图形又是轴对称图形，且对称中心是原点，对称轴有两条，分别是：y=x和y=-x.。

中考数学专题复习：反比例函数经典

中考专题复习一、反比例函数的对称性1、直线y=ax（a＞0）与双曲线y= 3/x交于A（x1，y1）、B（x2,y2）两点,则2、如图1，直线y=kx(k＞0）与双曲线y= 2/x交于A,B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1),B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为( ）A、—8B、4C、-4D、0图1 图2 图3 图4二、反比例函数中“K”的求法1、如图2，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3．将BC边在直线l上滑动,使A，B在函数 y=k/x的图象上．那么k 的值是（）A、3B、6C、12D、 15/42、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x（x＞0）上,AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于3、如图4，双曲线y= k/x（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（)A、y=1/xB、y=2/xC、y=3/xD、y=6/x三、反比例函数“K"与面积的关系1、如图5，已知双曲线 y1=1/x(x＞0)， y2=4/x（x＞0），点P为双曲线y2=4/x上的一点,且PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B，PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C 两点,则△PCD的面积为( )图5 图6 图72、如图6，直线l和双曲线 y=k/x（k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则（) A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S33、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 y=k/x交于C、D4、反比例函数y= 6/x 与y= 3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( ）A、 3/2B、2C、3D、1图8 图9 图10 图115、如图9，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=k/x交OB于D,且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（)A、等于2B、等于 3/4C、等于 24/5D、无法确定6、如图10，反比例函数y=k/x(x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6,则k的值为（）A、1B、2C、3D、47、如图11，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上,下底边BC交x轴于E(2,0），则四边形AOEC的面积为（）A、根号3B、 3C、根号3-1D、根号3+18、如图,A、B是双曲线y= k/x（k＞0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=图1 图2 图3四、反比例函数与一次函数综合：1、如图1,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= 1/x（x＞0)2、如图2,过y轴上任意一点P，作x轴的平行线,分别与反比例函数 y=—4/x和y=2/x 的图象交于A 点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC，BC，则△ABC的面积为( ）A、3B、4C、5D、63、如图3,直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y= k/x（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④当AB= 2时,ON—BN=1；其中结论正确的个数为（)A、1B、2C、3D、44、如图4，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 y=4/x(x＞0)图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F．则AF•BE=（） A、8 B、6 C、4 D、 6倍根号2图4 图55、如图5,反比例函数 y=k/x(k＞0)与一次函数 y=1/2x+b的图象相交于两点A（x1，y1），B(x2,y2），线段AB交y轴与C,当|x1-x2｜=2且AC=2BC时,k、b的值分别为( ）A、k= 1/2，b=2B、k= 4/9，b=1C、k= 1/3，b= 1/3D、k= 4/9,b= 1/3五、综合(函数与几何）1、如图,▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0）,B（0,—2），顶点C、D在双曲线y= k/x上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=．2、如图，已知C、D是双曲线，y= m/x在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点,设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD．（1）求证：y1＜OC＜y1+ m/y1；（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana= 1/3，OC= 根号10，求直线CD的解析式；（3)在(2)的条件下，双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．3、如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E 是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数y=k/x(x＞0）的图象与边BC交于点F．（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1+S2=2，求k的值；（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?4、如图,已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= m/x（x＞0）交于点B（2，1）．过点P （p,p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= m/x（x＞0）和y=- m/x（x＜0)于点M、N．（1)求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证:△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．5、如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=k/x（x＞0）的图象经过点B、E，F；（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y=k/x（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．。

反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。

今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。

首先，咱们得知道啥是反比例函数。

一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。

接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。

反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。

这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。

在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。

打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。

这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。

当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。

在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。

比如说，你背的东西越重，走得就越慢。

这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。

再来说说反比例函数图象的对称性。

这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。

对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。

咱们再看看反比例函数的性质。

从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。

还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。

为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。

那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。

反比例函数的性质及解析方法

反比例函数的性质及解析方法反比例函数是数学中常见且重要的函数类型之一。

它的特点是随着自变量的增大，函数值会随之减小，并且二者之间呈现一种相对的关系。

本文将探讨反比例函数的性质以及解析方法。

一、反比例函数的定义反比例函数可以用以下的形式进行表示：y = k/x，其中k为常数，x 不等于0。

该函数中，自变量x的值越大，函数值y就越小，反之亦然。

二、反比例函数的特性1. 零和不存在点：由于反比例函数中的自变量x不能等于0，因此该函数在x=0处不存在定义。

当自变量等于0时，函数值无法确定。

2. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了x=0以外的实数集，值域为除了y=0以外的实数集。

3. 关于x轴和y轴的对称性：反比例函数关于x轴对称，即(x, y)在函数曲线上，则(x, -y)也在函数曲线上。

4. 渐近线：除了x=0，反比例函数还存在一条水平渐近线y=0。

当x趋近于无穷大或无穷小时，函数值会趋近于0但不会等于0。

5. 单调性：反比例函数具有单调性，即在定义域内，随着x的增大，函数值y逐渐减小。

三、反比例函数的图像反比例函数在坐标平面上呈现一种特殊的曲线形状，该曲线称为反比例函数的图像。

由于反比例函数的特性，图像通常会表现出以下几个特点：1. 零点：函数曲线与x轴的交点，即(x, 0)。

2. 渐近线：函数曲线与y=0的水平渐近线。

3. 函数曲线的变化趋势：随着x的增大，函数曲线逐渐向y轴靠拢，形成一个由第一象限向第三象限延伸的曲线。

四、解析反比例函数解析反比例函数的过程可以通过以下几个步骤完成：1. 确定常数k的值：可以通过已知条件或函数图像来确定常数k的值。

2. 确定定义域和值域：由于反比例函数的特性，定义域为除了0以外的实数集，值域为除了0以外的实数集。

3. 求解零点：当函数值为0时，解方程k/x=0，可以得到x=0。

4. 画出函数图像：根据常数k的值以及定义域和值域的特性，可以画出反比例函数的图像。

初一数学期末考试知识点总结反比例函数

初一数学期末考试知识点总结反比例函数这个知识点虽然不像之前那几个章节那么重要，但也是有些地方需要总结归纳和复习的。

虽然不会出特别难的知识点和考题，但该注意的地方还是要注意一下的。

考点一：概念形如y=k/x（k≠0）的函数叫做反比例函数。

这个函数比较特别，因为x做分母，所以x≠0，且k≠0，所以y也不能为0，这也就是反比例函数和坐标轴没有交点的原因。

函数解析式还可以写成y=kx-1的形式，或者xy=k。

y=kx-1可以小计算题，需要知道x的次数。

需要注意的一点是：反比例函数和成反比例不是一回事。

我们可以说：x-3与y+1成反比例，写成函数为（x-3）（y+1）=k，但不能说这个函数是反比例函数。

考点二：图像反比例函数图像和其他函数图像不同。

图像分为两部分，分别在两个象限内。

当k＞0时，图像分别在第一、第三象限。

当k＜0时，图像分别在第二、第四象限。

因为图像在第一、三象限的时候，横纵坐标同号，相乘是正数，所以k＞0时在这两个象限，第二、四象限亦然。

期末考试可能出现的考题是同一坐标系内，一次函数和反比例函数（或一次函数与二次函数）放在一起，共用同一个参数，问哪个选项的图像是符合题意的。

只要能够分清图像所表达的参数正负就能解决问题。

考点三：k的意义如果反比例函数出现在解答题中，那么k的意义是很常见的考点。

K的代数意义在前面已经介绍了，下面说说k的几何意义。

在反比例函数上任取一点，分别向x轴和y轴做垂线。

两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积，就是|k|。

进而，反比例函数上任取一点，向x 轴（或y轴）做垂线，连接这个点与原点。

由此构成的三角形面积是|k|的一半。

能够搞清楚这两点，k的几何意义基本上就没有问题了。

考点四：对称性我们还会看到一种题，是考查反比例函数对称性的。

在反比例函数中，对调x和y的位置，函数本身不发生变化，因此反比例函数是关于原点成中心对称的。

所以有时候我们会看到反比例函数出现双解的情况。

以上就是对反比例函数这一章的考点总结，希望能够通过这样的方式帮助孩子们更好的进行期末复习。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。

二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。

2. 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。

3. 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。

4. 双曲线的对称轴是 y 轴。

三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数，其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。

2. 反比例函数的值域为全体实数 R。

3. 反比例函数是奇函数，具有对称性，其对称中心为原点 (0, 0)。

4. 当 x 的值增大时，y 的值减小；当 x 的值减小时，y 的值增大。

5. 反比例函数没有渐近线，但当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大或负无穷大。

四、运算法则1. 反比例函数的加法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。

2. 反比例函数的减法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。

3. 反比例函数的乘法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。

4. 反比例函数的除法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。

五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。

例如，在电路分析中，电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R，其中 V 为电压，I 为电流，R 为电阻，这可以看作是反比例函数的一个特例。

六、常见问题及解析1. 问题：如何确定反比例函数的定义域和值域？解析：反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。

高中类反比例函数对称中心

高中类反比例函数对称中心
反比例函数在几何图形中常见到，是一种重要的函数，对称性也至关重要。

高中类反比例函数是高中几何中的一个核心概念，它的对称性在高中数学中发挥着重要的作用。

本文将分析高中类反比例函数的对称中心，以期能够帮助大家更好地理解反比例函数的特性。

首先，需要了解什么是反比例函数。

反比例函数（也称为反函数）是指一种函数，它反映了自变量和因变量在坐标轴上之间的变化关系，它具有“反比例”性质，即因变量随着自变量增加而减少，反之亦然。

换句话说，当自变量x增加时，因变量y减少，反之亦然。

其次，让我们来看看高中类反比例函数的对称中心。

对称中心是指给定的对称图形的几何中心，即在图形中心的两边的对称图形的中心点，也称之为图形的原点，是一种具有一定秩序和结构的特殊点，在数学中很常见。

高中类反比例函数的对称中心是一种具有一定的结构的特殊点，即把反比例函数像对称的轴，穿过该点则可进行对称变换，这个点就是反比例函数的对称中心。

最后，让我们来看如何求反比例函数的对称中心。

求反比例函数的对称中心，一般情况下，反比例函数f(x)=1/x，这个函数的对称
中心就是原点(0,0)。

在反比例函数f(x) = a/x（a≠0）中，对称中心是点（-a,0）。

通过以上介绍，我们对反比例函数的对称中心有了更深的了解。

反比例函数的对称中心是一种具有一定的结构的特殊点，它可以帮助我们了解反比例函数的特性，进而掌握反比例函数的概念与方法。

希
望本文有助于大家更好地理解反比例函数，并在学习和实践中取得更大的成就。

反比例函数的面积问题的解题技巧

反比例函数的面积问题的解题技巧
反比例函数是指一种具有如下形式的函数：y=k/x，其中k是常数。

在解决反比例函数的面积问题时，有以下几种解题技巧：
1. 确定函数图像：反比例函数的图像通常是一条双曲线。

确定函数图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律，从而更好地解决面积问题。

2. 确定积分区间：反比例函数的积分区间通常是有限的，因为函数在x = 0处不存在。

在解决面积问题时，需要确定积分区间以便进行积分计算。

3. 利用对称性：反比例函数具有对称性，即在y轴和x轴上对称。

在解决面积问题时，可以利用对称性简化计算。

4. 利用换元法：在进行积分计算时，可以利用换元法将反比例函数变形成容易积分的形式，从而简化计算。

5. 利用图形面积计算公式：反比例函数的面积可以用图形面积计算公式求解。

这种方法适用于简单的反比例函数图形，但对于复杂的反比例函数图形不太实用。

总之，在解决反比例函数的面积问题时，需要充分理解函数性质和规律，灵活运用解题技巧，才能得到准确的答案。

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高中类反比例函数对称中心

高中类反比例函数对称中心在数学课上，反比例函数经常被老师们所提及，而反比例函数的对称中心也是一个重要概念。

在本文中，我们将聚焦于高中类反比例函数的对称中心，以及它们所代表的概念。

高中类反比例函数是指在高中类数学中，表示函数的方程的形式。

它的公式形式如下：y=k/x，其中k为常数。

反比例函数对称中心为(0, k/2)，即平行于y轴的反比例函数的对称中心x=0，y=k/2。

反比例函数的对称中心的学习有助于我们分析和理解反比例函数的特征及其重要性，这也是学习反比例函数的基础。

另外，它也可以帮助我们更好地掌握反比例函数的应用，从而更好地解决数学问题。

首先，要理解反比例函数的对称中心，就要从函数的定义开始。

反比例函数可以定义为，当横坐标x发生变化时，纵坐标y经过变化可以使函数保持对称，从而满足反比例函数的条件。

由于反比例函数函数的形式为y=k/x，可以很容易地看出，当x=0时，y=-∞，x取任意值时，函数都会使y取得极大值，因此反比例函数的对称中心x=0，y=k/2。

另外，反比例函数的对称中心可以用于表征函数的曲线以及它的对称性。

反比例函数的曲线有如此的特点：一方面，当x变大时y变小，当x变小时y变大；另一方面，当x>0时，曲线在反比例函数的对称中心经历右急转弯，当x<0时，曲线则经历左急转弯，这是反比例函数的两个特点。

此外，反比例函数的对称中心也可以用来解决实际问题。

比如，某出租公司根据不同里程数来决定不同里程数的费用。

在这种情况下，可以用反比例函数来实现里程费用的计算，其中反比例函数的对称中心可以表示出里程每增加一个单位，费用减少的程度或里程减少一个单位，费用增加的程度。

另外，反比例函数的对称中心也可以用来计算用水量和费用的关系，从而更好地节约用水费用。

例如，反比例函数的对称中心可以表示出水的使用量如果增加一个单位，费用上涨的幅度，或者水的使用量减少一个单位，费用减少的幅度。

总之，反比例函数的对称中心是重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解和分析反比例函数，从而更好地掌握反比例函数，便于更好地解决实际问题。

《反比例函数》讲义

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

例如，在路程 s 一定的情况下，速度 v 和时间 t 之间的关系为 v ＝s/t，当 s 为常数时，v 就是 t 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中，x 作为分母不能等于 0，所以函数的定义域是x≠0 的一切实数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），变形可得 y ＝ k/x。

3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这里的 x^（－1)表示 1/x。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图象的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

再比如，函数 y ＝－3/x，由于 k ＝－3＜0，图象的两支就在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

为了更准确地画出反比例函数的图象，我们可以采用以下步骤：1、列表：选取一些 x 的值，计算出相应的 y 值，列出表格。

2、描点：根据表格中的数值，在平面直角坐标系中描出对应的点。

3、连线：用平滑的曲线将这些点连接起来。

四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图象关于原点对称。

这意味着如果点（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（a，b）也在图象上。

它的图象还是关于直线 y ＝ x 和 y ＝ x 对称的。

2、增减性当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

《反比例函数》讲义

需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。

例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。

如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。

3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。

而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

其对称中心是坐标原点（0，0）。

2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。

3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数的对称性

的图象相交于A，B两点，过A，B两
如图，函数y=﹣x与函数y=−4
x
点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积
为。

称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
解答：
解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．
点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
利用几何画板可测量出A、B两点的坐标，便于课上组织同学回忆反比例函数的对称性，并对两点的几何关系以及坐标做出猜测和验证。

利用几何画板对原题进行进一步拓展变化，课上可引导同学展开相关讨论和研究。

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