2019年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.7 对数与对数函数(讲)

2019年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第07节 对数与对数函数【考纲解读】【知识清单】对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对点练习设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于（ ） A ．10B ．10C ．20D ．100【解析】由已知，得25a log m b log m ＝，＝，则251111a b log m log m+=+=25102m m m log log log ＋＝＝．解得m = 对数的性质、换底公式与运算性质（1）对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1)（2）对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．（3）对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ． 对点练习【2018新疆乌鲁木齐二模】已知函数()22,0{ log ,0x f x xx x -<=>，若()2f a =，则实数a =（ ） A ．-1 B ．4 C ．14或1 D ．-1或4 【答案】D【解析】当0a <时，由()2f a =得22a-=，解得1a =-，符合题意；当0a >时，由()2f a =得2log 2a =，解得4a =，符合题意．综上可得1a =-或4a =，故选D ．对数函数及其性质（1）概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． （2）对数函数的图象与性质对点练习【2018四川联测促改】已知函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,4D ．[]2,4 【答案】A反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 对点练习函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称，且函数()()13g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点_____________．【答案】()1,2-【解析】因为函数()y f x =的图象和函数log a y x = (01)a a >≠且的图象关于直线y x =对称， 所以()xf x a =，故函数()()1133x g x f x a-=--=-，则函数()y g x =图象必过定点()1,2-．【考点深度剖析】与对数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往对数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 对数的化简、求值【1-1()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-； 【1-2】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值． 【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩ （），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==． 【1-3】若log 2,log 3,a a m n ==则2m na +=________，用,m n 表示4log 6为________．【答案】 122m nm+ 【解析】∵log a 2=m ，log a 3=n ，∴a m =2，a n =3，a 2m +n =(a m )2×a n =22×3=12，4log 6log 2log 3log 6log 42log 22a a a a a m nm++===． 【领悟技法】1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．2．ba N ⇔＝ ab log N ＝ (a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用． 3．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化． 4．有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”．【触类旁通】【变式一】【2018河南豫南九校一模】27log cos4π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D【答案】B【解析】1222227ππ1log cos cos log log 2442log -⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B ． 【变式二】【2018河北衡水模拟】河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C考点2 对数函数的图象及其应用【2-1】【2018湖南张家界三模】在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，当0a >，函数()2f x ax =-为单调递减函数，若01a <<时，函数()2f x ax =-与的零点022x a=>，且函数()()log 2a g x x =+在()2-+∞，上为单调递减函数；若1a >时，函数()2f x ax =-与的零点022x a =<，且函数()()log 2a g x x =+在()2-+∞，上为单调递增函数．综上得，故选A ．【2-2】当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】B【解析】由0＜x ≤12，且log a x ＞4x ＞0，可得0＜a ＜1，由412＝log a 12可得a ＝22，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，若4x＜log a x ，则说明当0＜x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a ＞22． 综上，可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1．【2-3】已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1] 【答案】D【解析】在(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，值域为(0,1]，在(0,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，值域是(,)-∞+∞，因此方程()f x k =有两个不等实根，则有(0,1]k ∈． 【2-4】【2018山东济南一模】设1x ，2x 分别是函数()xf x x a-=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是A ．[)4,+∞B ．()4,+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞ 【答案】D【方法点睛】本题主要考查函数的零点、反函数的性质，函数零点问题主要有以下思路：（1）直接法，函数图象与横轴的交点横坐标；（2）转化为方程解的问题；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点问题，二是转化为(),y a y g x ==的交点问题． 【领悟技法】1．log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2．涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零． 3．涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．【触类旁通】【变式一】【2018安徽安庆二模】函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()()log 11log {log 10 1log 0.a a a a x x x f x x x x x x x --<-+==--<<+>，，，，， 故选C ． 【变式二】【2018青海西宁一模】函数()()212log f x x x =-的单调增区间为（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】令2(0)t x x t =->，则12log y t =是减函数，由复合函数知识知，只需求函数 2(0)t x x t =->的单调递减区间即可，而2(0)t x x t =->的单间区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故原函数的单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，选D ． 考点3 对数函数性质及其应用【3-1】若2()120a a log a log a <<＋，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)B ．⎝⎛⎭⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】由题意得0a >且1a ≠，故必有212a a >＋，又2()120a a log a log a <<＋，所以01a <<，同时21a >，∴12a >．综上，1(,1)2a ∈． 【3-2】函数2()log )f x x =的最小值为_________．【答案】14-【领悟技法】1．比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数． 2．对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零． 3．数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点．【触类旁通】【变式一】【2018北京顺义区二模】若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b << 【答案】C 【解析】0.81331log 0,log 9.12,1222,.2a b c a c b ==<=<=∴<< 故选C ． 【变式二】若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 【答案】[1，2)【解析】令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2)．．【变式三】已知函数()()8a f x log ax ＝－ (a >0，且a ≠1)，若()1f x >在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】8(1,)3易错试题常警惕易错典例：1．函数213log (43)y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(0，＋∞) 易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误．正确解析：令243u x x =-+，原函数可以看作13log y u =与243u x x =-+的复合函数．令2430u x x =-+>，则1x <或3x >，∴函数213log (43)y x x =-+的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．又243u x x =-+的图象的对称轴为2x =，且开口向上，∴243u x x =-+在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数13log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴213log (43)y x x =-+的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 温馨提醒：（1）复合函数的单调性，遵循“同增异减”； （2）注意遵循“义域优先”的原则．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”．因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果．【典例】【2017浙江温州中学3月模拟】已知函数，则函数的零点个数的判断正确的是（）A．当时，有4个零点；当时，有1个零点B．无论为何值，均有2个零点C．当时，有3个零点；当时，有2个零点D．无论为何值，均有4个零点【答案】A。